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Universit degli Studi di Pisa

Anno Accademico 2001/2002

Corso di Laurea in Ingegneria Edile (Nuovo Ordinamento)

Insegnamento di SCIENZA DELLE COSTRUZIONI (12CFU)Docente: Ing. Salvatore Sergio Ligar

(per segnalazioni e suggerimenti [email protected])

Parte III)CINEMATICA E STATICA DEI SISTEMI DI TRAVI ELASTICHE

TEMA 3a

Data la trave elastica mostrata in figura, incastrata ad un estremo, appoggiata

allaltro, e caricata uniformemente,

p

L

A B

1. determinarne la linea elastica e tracciarne il grafico;2. tracciare i diagrammi quotati ed in scala delle caratteristiche della

sollecitazione.

SOLUZIONE:

1. Determinazione della linea elastica

a)

Posizione del problema

Per semplicit, si suppone che la trave sia prismatica e costituita da un materiale

elastico lineare, omogeneo ed isotropo. Sia EJla sua rigidezza flessionale.

Inseriamo un numero sufficiente di sezioni al fine di isolare tutti i possibili punti

di discontinuit(di vincolo, di carico e geometriche) del sistema. Al termine di tale

operazione, sindividua la trave ed i nodi A e B, connessi fra loro e coi vincoli nelmodo indicato nella figura seguente.

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Scienza delle Costruzioni Edili (N. O.), a.a. 2001/2002 Cinematica e statica dei sistemi di travi elastiche

2

p

L

1 21

A=O B

z

y,v

Lequilibrio elastico della struttura governato dalle relazioni:

Lz

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3

2. Il tracciamento dei diagrammi

Sostituendo i valori delle costanti, e posto Lz/= , con 10 , si hanno:

inflessione:

[ ]2344

35248

)( +=EJ

pLv

z0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9

1

0. 5

0

- 0. 5 v

rotazione:

[ ]+== 615848

)(')( 233

EJ

pLv

z0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9

1

0

- 0. 5

0. 5

momento flettente:

)154(8

)('')( 22

+==pL

vEJM 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9

z

1

0

- 1/ 8 M

sforzo di taglio:

)58(8

)(''')( ==pL

vEJT 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1

- 3/ 8

0

5/ 8

T

+

-

i cui grafici, a meno delle quantit costanti, sono riportati accanto alle espressioni.

Di particolare interesse sono i valori che tali grandezze assumono negli estremi A e B

della trave, riportati nella tabella seguente:

Grandezza Estremit A Estremit B

Inflessione 0)0( == vvA 0)1( == vvB

Rotazione 0)0(' === vA EJ

pLvB

48)1('

3

===

Momento flettente8

)0(''2pL

vEJMA == 0)1('' == vEJMB

Sforzo di taglio pLvEJTA8

5)0(''' == pLvEJTB

8

3)1(''' ==

A differenza dai casi precedenti questa volta la struttura una volta iperstatica, ma

non ci abbiamo fatto caso!

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4

TEMA 3b


allaltro, e soggetta ad un carico concentrato P nella sezione di mezzeria,

P

A B

L/2 L/2

C

1. determinarne la linea elastica e tracciarne il grafico;2. tracciare i diagrammi quotati ed in scala delle caratteristiche dellasollecitazione.

SOLUZIONE:

1.Determinazione della linea elastica

a) Posizione del problema

Per semplicit, si suppone che la trave sia prismatica e costituita da un materialeelastico lineare, omogeneo ed isotropo. Sia EJla sua rigidezza flessionale.



operazione, sindividuano le travi e ed i nodi A, B, e C, connessi fra loro e coi

vincoli nel modo indicato nella figura seguente.

P

BL/2

C

1 1A=O

z

,v

32 42

L/2

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5


2/0 Lz

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6

0)0(1 =v 04=c

0)0('1 =v 03=c

)2/()2/( 21 LvLv = 0)(2

)(8

)(48

)( 44332

22

3

11 =+++ dcL

dcL

dcL

dc

)2/(')2/(' 21 LvLv = 0)(2

)(8

)( 3322

2

11 =++ dcL

dcL

dc

)2/('')2/('' 21 LvLv = 0)(2

)( 2211 =+ dcL

dc

PLvEJLvEJ += )2/(''')2/(''' 21 Pdc = 11

0)(2 =Lv 0

26

43

2

2

3

1 =+++ dLdL

dL

d

Da:

0)(''2 = LvEJ

risulta

021 =+ dLd

ovvero,

=

0

0

0

0

0

0

0

0010000

126

0000

00010001

0012

0012

0128

0128

12848

12848

00000100

00001000

4

3

2

1

4

3

2

1

23

22

2323

P

d

d

d

d

c

c

c

c

L

LLL

LL

LLLL

LLLLLL

un sistema di otto equazioni algebriche lineari, non omogeneo per la presenza del

caricoP, nelle otto incognite c1, c2, c3, c4e d1, d2, d3, d4. Risolvendo otteniamo:

Pc = 16/111 Pd = 16/51

PLc = 16/32 PLd = 16/52

03=c 8/2

3 PLd =

04=c 48/3

4 PLd =

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7/11


7

Effettuiamo la verifica considerando le sole condizioni di raccordo

)()(2221

LL vv = 0)(2/)(8/)(48/)( 44332

22

3

11 =+++ dcLdcLdcLdc

)(')('2221

LL vv = 0)(2/)(8/)( 33222

11 =++ dcLdcLdc

)()( 22 LL MM + = 0)(2/)( 2211 =+ dcLdc

in

Cz = L/2

PTT LL += + )()(22

ovvero

Pdc = 11

Risolviamole mediantesostituzione allindietro

Pdc = 11 Pdc = 11

2/22 PLdc = 2/22 PLdc +=

8/233 LPdc = 8/2

33 LPdc =

48/

3

44 PLdc =

da cui

48/

3

44 PLdc += Le restanti condizioni al contorno diventano

0)0(1 =v 048/3

4 =+PLd in A z = 0

=

=

0)0('

0)0(

1

1

v

v

0)0('1 =v 08/2

3 = LPd

0)(2 =Lv 02/6/ 432

2

3

1 =+++ dLdLdLd in B z = L

=

=

0)(

0)(2

LM

Lv

0)(''2 =Lv

Ovvero

021 =+ dLd

da cui, otteniamoPd = 16/51 Pc = 16/111

PLd = 16/52 PLc = 16/32

8/23 PLd = 03=c

48/34 PLd =

e

04=c

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8

2.Il tracciamento dei diagrammi

Sostituendo i valori delle costanti e posto Lz/= , con 10 , si hanno:

Tratto inflessione:

)911(96

)( 233

+=EJ

PLv

)212155(96

)(23

3

+=EJ

PLv

0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 901

z

vv1

v2

Tratto rotazione:

)611(32

)(')( 22

+==EJ

PLv

)4105(32

)(')( 22

+==EJ

PLv

x

0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1

- 4

- 2

0

2

4

1

z

v1

v2

Tratto Momento flettente:

)311(16

)('')( +==PL

vEJM

)1(516

)('')( ==PL

vEJM

z0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9

1

5/ 32PL

0

MP- 5/ 32PL

Tratto sforzo di taglio:

PvEJT16

11)(''')( ==

PvEJT16

5)(''')( ==

0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1

0

11/ 16P T

-

P z

- 5/ 16P

i cui grafici sono riportati accanto alle espressioni, a meno delle quantit costanti.

Di particolare interesse tecnico sono i valori che tali grandezze assumono negli

estremi A e B della trave e nella sezione C di applicazione del carico, riportati nellatabella seguente:

Grandezza Estremit A Estremit B Sezione C


+

== 123

)(

223

L

a

L

a

L

a

EJ

PLavvC

Rotazione [ ]22 236

LaLaEJL

PaA +== [ ]22

3

6La

EJL

PLB == [ ]

22 2323

LLaaEJL

PaC +==

Momento

flettente

0)0('' == vEJMA 0)1('' == vEJMB

L

aLaPMM MAXC

)( ==

Sforzo di

taglio L

aLPvEJTA

)()0(''' ==

L

aPvEJTB == )1(''' PTTT

D

C

s

CC ==

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9

TEMA 3c


allaltro estremo, e soggetta qui ad una coppia concentrata Q,

Q

L

A B

3. determinarne la linea elastica e tracciarne il grafico;4. tracciare i diagrammi quotati ed in scala delle caratteristiche della

sollecitazione.

SOLUZIONE:

3. Determinazione della linea elastica

a) Posizione del problema

Per semplicit, si suppone che la trave sia prismatica e costituita da un materiale

elastico lineare, omogeneo ed isotropo. Sia EJla sua rigidezza flessionale.



operazione, sindividua la trave

ed i nodi A, e B, connessi fra loro e coi vincoli nelmodo indicato nella figura seguente.

L

B

11

A=O

z

y,v

2 Q


Lz

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10

b) Integrazione dellequazione differenziale

Integrando quattro volte lequazione differenziale, si ottiene

Integrazione Tratto

0) 0=ivvEJ 1) 1''' cvEJ =

2) 21'' czcvEJ +=

3) 322

1 2/' czczcvEJ ++=

4) 432

2

3

1 2/6/ czczczcvEJ +++=

in cui le quattro costanti incognite c1, c2, c3, e c4devono essere determinate attraverso

le condizioni al contorno prima scritte.

0)0(1 =v 04=c 0)0('1 =v 03=c

0)( =Lv 02/6/ 432

2

3

1 =+++ cLcLcLc

Dallacondizione

QLvEJ = )(''2

si ottiene

QcLc =+ 21

ovvero,

=

Qc

c

c

c

L

LLL 0

0

0

001

12/6/

0100

1000

4

3

2

1

23

un semplice sistema di quattro equazioni algebriche lineari, non omogeneo per la

presenza della coppia Q, nelle quattro incognite c1, c2, c3, e c4 che ha per soluzione

LQc 2/31= 2/2 Qc =

03=c 04=c

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11

3.Il tracciamento dei diagrammi

Sostituendo i valori delle costanti e posto Lz/= , con 10 , si hanno:

inflessione:

)1(4

)( 22

=EJ

QLv

0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9

- 0. 2

0. 2

z

1

0

v

rotazione:

)23(

4

)(')( ==EJ

QLv

0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9

- 1

1

z

1

0

momento flettente:

)13(2

)('')( ==Q

vEJM 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9

z

10

-QM

Q/2

sforzo di taglio:

L

QvEJT

2

3)(''')( == 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1

- 3 /2L

0

T

-

i cui grafici, a meno delle quantit costanti, sono riportati accanto alle espressioni.

Di particolare interesse sono i valori che tali grandezze assumono negli estremi A e B

della trave, riportati nella tabella seguente:

Grandezza Estremit A Estremit B


Rotazione 0)0(' === vA EJ

QLvB

4)1(' ===

Momento flettente 2/)0('' QvEJMA == QvEJMB == )1(''

Sforzo di taglioL

QvEJTA

2

3)0(''' ==

L

QvEJTB

2

3)1(''' ==

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