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- CAPITOLO 3 –
TRAVE SU SUOLO ELASTICO
Il problema della trave su suolo elastico è un esempio di problema diffusivo, cioè il carico
concentrato viene distribuito su una zona più ampia rispetto alla sua impronta. La trave è in
grado di assorbire il carico in funzione del rapporto tra la sua rigidezza flessionale e quella del
terreno: più la trave risulta rigida e meglio viene distribuito il carico.
3.1 Caratterizzazione del suolo
Il suolo può essere suddiviso in due tipologie: coerente e incoerente.
Per definizione il suolo coerente (a) è quello la cui deformata è a catino, cioè molto più
grande dell’ impronta del carico. In questo caso
vengono trasmessi sforzi di taglio.
Il suolo incoerente (b) è invece quello in cui l’area
della zona soggetta a carico ha deformata coincidente
con l’impronta del carico. In questo caso non vengono
trasmessi sforzi di taglio.
FIGURA 3.1
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3.2 Suolo elastico alla Winkler
Questo è un esempio di terreno incoerente che viene schematizzato attraverso colonnine
indipendenti tra loro che non trasmettono sforzi di taglio al resto della struttura. Ancheun’argilla può essere schematizzata attraverso questo modello, infatti se consideriamo una
trave che poggia su un’argilla gli sforzi di taglio trasmessi al terreno sono quasi nulli, quindi è
possibile, almeno in prima approssimazione, considerare tale terreno come incoerente ed in
particolare modellizzarlo attraverso lo schema Winkler.
FIGURA 3.2 Esempio di modellizzazione del terreno alla Winkler
In ogni punto lo stato tensionale è caratterizzato da σT = K T* y(x). K T è la forza da applicare
al terreno per avere un abbassamento unitario, cioè K T [kg/cm3] = σT / L. I valori di K T
variano a seconda del tipo di terreno:
- K T = 2 – 3 kg / cm3 per sabbia
- K T = 8 – 10 kg / cm3 per argilla
- K T = 10 – 30 kg / cm3 per ghiaia
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3.3 Trattazione analitica
Si consideri una trave prismatica appoggiata su un suolo alla Winkler:
- σ
T è costante sulla larghezza;- la deformazione a taglio è trascurabile.
FIGURA 3.3
FIGURA 3.4 Trave prismatica appoggiata su suolo alla Winkler
Il problema risulta essere infinitamente iperstatico; per risolverlo si applica il metodo della
linea elastica alle derivate IV:
( ) ( ) EJ
xr x p y IV
−=
FIGURA 3.5
(trascurando il taglio)
( ) ( ) ( ) EJ
x ybK x p
EJ
b x p y T T IV ⋅⋅−
=⋅−
=σ
con ( ) ( ) b x xr T ×=σ
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si ottiene così:
( ) EJ
x p y
EJ
bK y T IV
=⋅
+
la soluzione di questa equazione differenziale sarà somma di un integrale particolare e di uno
generale:
( ) ( ) ( ) x y x y x yP+= 0 + 4 condizioni al contorno (due di tipo cinematica e due di tipo statico).
3.4 Trave di lunghezza illimitata sottoposta a un carico concentrato
in mezzeria
Si consideri il caso di una trave di lunghezza illimitata. La soluzione di questo caso è ancora
( ) ( ) ( ) x y x y x yP+= 0 .
Si risolve inizialmente l’integrale particolare ( ) x yP :
(1)( ) EJ
x p y y
IV =+
44α con EJ
bK T
4
4 ⋅=α
prendiamo come integrale particolare ( )( )bK
x p x y
T
P⋅
= .
Sostituendo in (1) si ottiene:( ) ( )
EJ
x p
bK
x p
EJ
bK
T
T =
⋅⋅
⋅+
4*
4
40 che è proprio l’integrale che
cercavamo.
In presenza di un carico ( ) x p (v.
figura 3.6)
si avranno degli abbassamenti pari a
( )( )bK
x p x y
T
P⋅
= cioè la trave trasla
FIGURA 3.6
verso il basso. In realtà, però i carichi distribuiti (come ad esempio il peso proprio ) danno
degli abbassamenti trascurabili, quindi l’ ( ) x yP
trovato non ci interessa.
Si consideri ora l’integrale generale dell’omogenea associata: ( ) x y0 :
04
4=+
y y
IV α
risolvendo otteniamo :
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( ) )cossin()cossin(0 x D xC e x B x Ae x yx x
⋅+⋅+⋅+⋅=−
α α α α α α
Rispetto ad un sistema di riferimento
definito come in figura 3.7,
il problema è simmetrico.
FIGURA 3.7
Si ricercano le condizioni al contorno:
- per +∞→ x ( ) 0= x y e ( ) 0= x y I questo vuol dire che il fenomeno diffusivo è
esaurito, quindi D = 0, C = 0.
- per 0→ x per simmetria la deformata ha tangente orizzontale pari a zero, quindi:
1. ( ) 00 = I y
2. - ( ) ( ) xV EJ x y III
=⋅ → ( )2
0p
EJ y III
−=⋅− (il segno – deriva dal fatto che il
taglio è antiorario). In conclusione si ottiene: ( ) EJ
p y
III
⋅=
20
A questo punto si possono ricavare anche i coefficienti A e B:
( ) )cossin(0 x B x Ae x y x⋅+⋅=
−α α
α
→ ( ) )sincos()cossin(0 x B x Ae x B x Ae x y x x I ⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅−=
−α α α α α α α
α α
→ ( ) B A A B y I =⇒=⋅+⋅−⇒= 0000 α α
→ ( ) x Ae x y x I ⋅−=
⋅−α α
α sin2
Derivando due volte si ottiene:
( ) x Ae x y x III ⋅⋅= ⋅− α α α cos4 3 e sostituendovi ( ) EJ p y III ⋅
=2
0 si ricava A EJ P 34
2α =
A =bK
p
EJ
P
T ⋅⋅
⋅=
28 3
α
α .
Si è calcolata quindi la soluzione del problema: ( ) )cos(sin2
x xebK
p x y x
T
⋅+⋅⋅⋅⋅
⋅=
⋅−α α
α α .
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3.5 Tracciamento
Poiché il problema è simmetrico possiamo considerare solo metà della struttura e poi
estendere i risultati all’ altra parte.Tracciamo il diagramma (figura 3.7) della funzione
( ) )cos(sin2
x xebK
p x y x
T
⋅+⋅⋅⋅⋅
⋅=
⋅−α α
α α
considerando che ( )bK
P y
T 2
0α
= si nota che la deformata è l’abbassamento in 0 smorzato della
funzione xe
α − . Per α = ¾ π si avrebbero delle trazioni, ovvero dei sollevamenti del terreno:
condizione non accettabile per i nostro tipo di problema. Si nota però che da ¾π a π la
deformata è solo il 4% del totale e può quindi essere trascurata. Inoltre solitamente si
considerano più carichi concentrati sovrapposti: si ha quindi un fenomeno di livellamento
dovuto alla sovrapposizione di tutte le compressioni.
Per le travi di fondazione per carichi modesti è il terreno stesso che si oppone al sollevamento
della trave.
E’ per questo motivo che si può trattare la trave reale (finita), come se fosse una trave
illimitata.
FIGURA 3.8
Si calcolano ora i diagrammi del taglio e del momento flettente per un carico concentrato P.
La zona di diffusione del carico, trascurando le code è di questo tipo (figura 3.9):
Con EJ
bK T
4
⋅=α .
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FIGURA 3.9
Momento flettente: (figura 3.10)
( ) =⋅−⋅⋅⋅
⋅−=
⋅− )cos(sin3
x xebK
p x y x
T
II α α
α α
=⋅−⋅⋅⋅
⋅−=
⋅− )cos(sin4
x xebK
p x
T
α α α
α α
)cos(sin4
x xebK EJ
bK p x
T
T ⋅−⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅−=
⋅−α α
α
α
Noto che: ( ) ( ) x M EJ x y II =− si ha che ( ) ( ) )cos(sin0 x xe M x M xα α
α −⋅=
−
con ( )α 4
0p
M = . Si nota che Mmax= M(0) smorzato da e-αx:
FIGURA 3.10
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Taglio: (figura 3.11)
( ) ( ) xV EJ x y III =−
( ) ( ) xeV xV x α α cos0 −⋅= con ( )
2 p xV −=
FIGURA 3.11
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LUNGHEZZA D’ONDA λ (lunghezza di diffusione del carico)
Dato:
π αλ 2
=
422
bK
EJ
T ⋅== π
α
π λ
si ha che e-αλ = 2 000 .
Da ciò si deduce che per L = λ non c’è più diffusione dei carichi. Di conseguenza non ha
senso fare una trave di lunghezza maggiore di λ perché il carico non verrebbe comunque
diffuso. Per λ 2≥ L è valida la teoria per travi illimitate.
λ indica qual è la dimensione dell’area sulla quale vanno a distribuirsi i carichi. Distribuire
gli sforzi su una lunghezza maggiore è un vantaggio perché si diminuiscono gli sforzi
massimi, ma si paga tale vantaggio con momenti flettenti più alti. Quindi è inutile aumentare
la lunghezza della trave senza aumentarne contemporaneamente la sua rigidezza.
Esempio:
Data una trave di sezione rettangolare con altezza h e larghezza b e12
3hb
J ⋅
= si calcola che il
valore della lunghezza d’onda è 4
3
4
3
12
42
12
42
T T K
Eh
bK
Ebhπ π λ == .
Per aumentare λ è inutile allargare la trave poiché il problema è governato dall’altezza h.
Se consideriamo che h= 60 –100 cm
E = 300000 kg/ cm2
K T = 5 – 15 kg/cm3
Si ottiene un valore di λ pari a 22-25 h.
Ciò che è molto importante è il rapporto tra EJ e K T, infatti è proprio tale rapporto che
governa il fenomeno diffusivo. Se consideriamo una putrella di 20 cm posta su una superficie
di sabbia il carico risulta essere ben diffuso, se al contrario la stessa putrella è posta su una
superficie di roccia il carico non viene per nulla diffuso.
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Un altro paramentro significativo è la σT :
( ) ( )b
QK
bK
QK y
T
T
T T ⋅
=⋅⋅⋅
⋅⋅=⋅=
λ
π
π
α π σ
200
Si nota che tanto maggiore è λ , tanto minore è ( )0T σ , cioè il fenomeno diffusivo è limitato.
Fin’ora si è sempre parlato di travi di lunghezza illimitata; proviamo a rimuovere tale ipotesi.
FIGURA 3.12
Si deve risolvere ancora una volta l’equazione differenziale di quarto grado ricavata in
precedenza:( ) EJ
x p y
EJ
bK y T IV
=⋅
+
Per calcolare la soluzione esatta sono necessarie 8 condizioni al contorno:
( ) 0= A M ⇒ ( ) 001 =⋅−II
y EJ ;
( ) 0= AV ⇒ ( ) 001 =⋅−III
y EJ ;
( ) ( ) 0== BV B M ⇒ ( ) 022 =⋅− l y EJ II
, ( ) 022 =⋅− l y EJ III
;
per continuità della trave: ( ) ( )0211 yl y = ;
rotazione relativa nulla: ( ) ( )0211
I I yl y = ;
( ) ( )0211
II II y EJ l y EJ ⋅−=⋅− ;
( ) ( ) P y EJ l y EJ III III
=⋅+⋅− 0211 .
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Se l1< l2 e l1≥2
λ si può approssimare la soluzione rigorosa a quella della trave
illimitata.
Si può quindi risolvere il problema considerando una trave illimitata da una sola parte (figura
3.13); in questo caso bisogna trovare 4 condizioni al contorno.
FIGURA 3.13
Innanzi tutto si può dire che per ∞→ x il fenomeno diffusivo sarà esaurito: quindi
( ) ( ) 0=∞=∞
I
y y . L’equazione della linea elastica ci permette di dire che C = D = 0, perché
altrimenti il termine )cossin( x D xC e x⋅+⋅ α α
α non andrebbe mai a 0.
A differenza del caso della trave illimitata, questa volta non c’è simmetria; quindi non si può
dire che A = B. Per risolvere il problema è necessario ricorrere agli equilibri.