Problema 1Consideriamo 3 cariche in figura con q1=-q, q2 = 2q, q3 =-2q, q=1 mC; sia a =3 cm; il punto P ha coordinate (x=0, y=a)a) Calcolare le componenti lungo gli assi Ex, Ey del campo

elettrico totale generato dalle 3 cariche nel punto Pb) Calcolare l’angolo a che la direzione del campo forma

con l’asse xc) Calcolare la d.d.p. V = VP – VP’ tra il punto P e il

punto P’ di coordinate (x = 0, y = 2a) dovuta al campo delle 3 cariche

d) Poniamo una quarta carica nel punto P, q4= 3q; calcolare le componenti lungo gli assi Fx, Fy della forza esercitata dal campo elettrico sulla carica q4

e) Calcolare il lavoro necessario per muovere la carica q4

dal punto P al punto P’ di coordinate (x=0, y=2a)

2

29

0

1094

1

C

Nmk ==

2q 1qa x

y

3q

a

P

a

2q 1qa x

y

3q

a

4q

a

Problema 1

ya

qkE ˆ

21 −=

ya

qkx

a

qkE oo ˆ)45sin(

2

2ˆ)45cos(

2

2222 +=

ya

qkx

a

qkEP

ˆˆ2

22−=

C

N

cm

C

C

NmEx

7

22

29 1041.1

)3(

2109 ==

m

C

N

cm

C

C

NmEy

7

22

29 100.1

)3(

1109 −=−=

m

ya

qkx

a

qkE oo ˆ)45sin(

2

2ˆ)45cos(

2

2223 −=

ararar 2;2; 321 ===

2q 1q

x

y

3q

o451E

3E

2E

o45

1cos(45 ) sin(45 )

2

o o= =

Problema 1

NC

NCEqF xx 3.421041.13 7

4 === m

NC

NCEqF yy 30100.13 7

4 −=−== m

tan( ) 0.71 35.3y o

x

E

Ea a= = − = −

Fa

2q 1qa x

y

3q

a

4q

a

Ea

2q 1qa x

y

3q

a

P

a

'P

a,1 ,2 ,3

2 2

2 2

P P P PV V V V

q q q qk k k k

a aa a

= + +

= − + − = −

' ',12

P P

qV V k

a= = −

29 5

' 2 2

19 10 1.5 10

2 6 10P P

q Nm CV V k V

a C m

m−

− = − = − = −

( ) 5

4 ' 3 1.5 10 0.45P PL q V V C V Jm= − = − = −

Problema 1

1 2 3

2 2

25 2 2

q q qV k V k V k

aa a= − = = −

2q 1q

x

y

3q

P

'P

2r

'

2r'

3r'

1r

' 2 2

1 4 5r a a a= + =

'

2 2(2 )r a=

'

3 2r a=

29 5

2

19 10 3 10

3P

q Nm CV k V

a C cm

m= − = − = −

29 5

' 2

1 1 19 10 0.26 0.78 10

35 2P P

q Nm CV V k V

a C cm

m − = − = − = −

Supponiamo di spostare la carica da P ad un punto P’ (x = a, y = 2a); ricalcoliamo la d.d.p. tra P e P’

Potenziale in P’:

Notiamo che il potenziale in P’ è maggiore del potenziale in P: vuol dire che per spostare la carica q4 da P a P’ bisogna compiere un lavoro negativo, ovvero lavorare CONTRO il campo generato dalle cariche q1, q2, q3 ; il lavoro speso dal campo delle 3 cariche per spostare q4 da P a P’ è:

( ) 5

4 ' 3 0.78 10 0.234P PL q V V C V Jm= − = − = −

Problema 2Consideriamo 3 cariche in figura con q1 = q, q2 =-q, q3=-q, q=1 mC; le loro distanze dall’origine sono r1=r2=4 cm, r3=3 cm, q=60°

a) Calcolare le componenti lungo gli assi Ex, Ey del campo elettrico totale generato dalle 3 cariche nell’origine del riferimento cartesiano (x=0,y=0)

b) Poniamo una quarta carica q4= 3q nell’origine; calcolare le componenti lungo gli assi Fx, Fy della forza esercitata dal campo elettrico sulla carica q4.

c) Calcolare modulo F e angolo a che la forza forma con l’asse x

d) Disegnare con una freccia la forza in figura, indicando approssimativamente direzione e verso

e) Calcolare il lavoro necessario a spostare la carica q4

dall’origine al punto P indicato in figura.

1

3

1rq

x

y

2

3r

2rq

P

4

1

3

1rq

x

y

2

3r

2rq

P

Problema 2: campo e forzay

r

qkE ˆ

2

3

3 =

yr

qkx

r

qkE ˆ)sin(ˆ)cos(

2

1

2

1

1 qq +=

yr

qkx

r

qky

r

qkx

r

qkE ˆˆˆˆ)60cos(

22

3

2

1

2

3

2

1

+=+=

C

N

cm

C

C

NmEx

7

22

29 1056.0

)4(

1109 ==

m

C

N

cm

C

C

NmEy

7

22

29 100.1

)3(

1109 ==

m

2 21.68 3 10 34.4F N N= + =o

x

y

F

F75.60785.1)tan( === aa

yr

qkx

r

qkE ˆ)sin(ˆ)cos(

2

2

2

2

2 qq −=

7

4 3 0.56 10 16.8x x

NF q E C N

Cm= = =

7

4 3 1.0 10 30y y

NF q E C N

Cm= = =

1

3

1rq

x

y

2

3r

2rq

F

a4

1

3

1rq

x

y

2

3r

2rq

1cos(60)

2=

Problema 2: potenziale

1 2 3

1 2 3

q q qV k V k V k

r r r= = − = −

4

1

3

1rq

x

y

2

3r

2rq

P

29 5

0 2

3

19 10 3 10

3

q Nm CV k V

r C cm

m= − = − = −

( ) ( ) ( )1 2 3

1 2 3 1cos cos sin

q q qV k V k V k

r r r rq q q= = − = −

+

( )

29 5

2

3 1

19 10 1.39 10

sin 6.464P

q Nm CV k V

r r C cm

m

q= − = − = −

+

( ) 5

4 0 3 (3 1.39) 10 0.483PL q V V C V Jm= − = − − = −

Il potenziale in P è maggiore del potenziale in (0,0); dunque per spostare la carica q4 dall’origine a P bisogna compiere un lavoro negativo, ovvero effettuato CONTRO il campo generato dalle cariche q1, q2, q3 ; ciò è facilmente intuibile dalla direzione della forza su q4 posta nell’origine, che tende a spostare la carica verso l’asse y positivo, dunque in direzione opposta rispetto a P.

Il potenziale generato da q1, q2, q3 nell’origine è:

Il potenziale totale è quindi:

Il potenziale generato da q1, q2, q3 in P è:

Il potenziale totale in P:

Esercizio 21.27Consideriamo le 4 cariche in figura con q1=-2e, q2 = +2e , q3=+4e , q4=+2e; q1=35° , d1=3 cm, d2=d3=2 cm; (e=1.6 10-19

C). Calcolare modulo, direzione e verso della forza agente sulla particella 4 per effetto delle altre

xd

ekFy

d

ekF ˆ

8;ˆ

42

3

2

342

2

2

24 −=−=

yd

ekx

d

ekF ˆ)sin(

4ˆ)cos(

412

1

2

12

1

2

14 qq −−=

ydd

kexdd

keF ˆ)sin(11

4ˆ)cos(12

4 12

1

2

2

2

12

1

2

3

2

4

+−

+−= qq

Ndd

keF x

23

12

1

2

3

2

,4 1054.0)cos(12

4 −−=

+−= q

Ndd

keF y

23

12

1

2

2

2

,4 1029.0)sin(11

4 −−=

+−= q

1F a

Esercizio 21.27Consideriamo le 4 cariche in figura con q1=-2e, q2 = +2e , q3=+4e , q4=+2e; q1=35° , d1=3 cm, d2=d3=2 cm; (e=1.6 10-19 C). Calcolare modulo, direzione e verso della forza agente sulla particella 4 per effetto delle altre

o

x

y

F

F2853.0)tan(

,4

,4=== aa

NF x

23

,4 1054.0 −−=

NF y

23

,4 1029.0 −−=

NFFF yx

232

,4

2

,44 1061.0 −=+=

Esercizio 21.11Date due cariche q1 e q2 nel piano (x,y), si consideri una terza carica positiva q3; calcolare le coordinate (x3,y3) del punto in cui che deve essere posta q3 affinché la forza netta su di essa sia nulla

cmycmxCq

cmycmxCq

5.1;2;4

5.0;5.3;3

222

111

=−=−=

===

m

m

1q2q

1x2x1y2y

x

y

✓ Essendo i campi generati da q1 e q2 radiali, gli unici punti in cui possono compensarsi sono lungo la direzione della retta congiungente le due cariche

✓ Nel segmento compreso tra q1 e q2 i campi sono CONCORDI, per cui non possono compensarsi

✓ Essendo q2 > q1, per compensarsi la carica q1 deve necessariamente essere quella più vicina a q3

Esercizio 21.11

cmycmxCq

cmycmxCq

5.1;2;4

5.0;5.3;3

222

111

=−=−=

===

m

m

( )

−=

+=

21

21

12132

1312

2

2

13

1

/1

/

qq

qqrr

rr

q

r

q

1q2q13r12r

3qx

y

La distanza r12 è nota; inoltre r23 = r12 + r13, per cui possiamo risolvere l’equazione rispetto all’unica incognita r13:

Siano r12, r13, r23 le distanze tra la cariche. Affinché i campi generati da q1 e q2 si compensino deve essere: 2

23

2

2

13

1

r

q

r

q=

cmcmr 2.36866.01

866.06.513 =

−=( ) ( ) cmyyxxr 6.5

2

21

2

2112 =−+−=

Esercizio 21.11

o

xx

yy3.101818.0)tan(

21

21 −=−=−

−= aa

cmycmxCq

cmycmxCq

5.1;2;4

5.0;5.3;3

222

111

=−=−=

===

m

m

a1q2q

3q3x

3yx

y

cmxxxr 1.39)cos( 31313 =−=a

cmyyyr 6)sin( 31313 −=−=a

Per calcolare le coordinate di q3 abbiamo bisogno di conoscere l’angolo a che il vettore distanza r13 forma con l’asse x; ma questo angolo è lo stesso che il vettore r12 forma con x, per cui:

13r

12r

Con l’angolo a calcoliamo x3 e y3 proiettando il vettore distanza r13 lungo gli assi:

Esercizio 21.14Date due cariche uguali q1 e q2 nel piano (x,y) a distanza 2d, si consideri una terza carica positiva q3 posta sull’asse delle x; calcolare il valore della coordinata x per cui l’intensità della forza esercitata su q3 è minima e massima

eqcmdeqq 4;17;2 321 ====

Siano r13=r23 le distanze tra la cariche; lungo y i campi generati da q1 e q2 si compensano per ogni valore di x, per cui solo il campo lungo x agisce su q3; la forza totale su q3 è

)cos(22

13

31,3 a

r

qqkF x =

222

13 xdr +=

xr =)cos(13 a

( ) 2/32231,3 2dx

xqkqF x

+=

Sfruttando le relazioni geometriche, esprimiamo la forza in funzione della posizione x di q3

x

13r

a

13F

23F

3F

Esercizio 21.14Date due cariche uguali q1 e q2 nel piano (x,y) a distanza 2d, si consideri una terza carica positiva q3 posta sull’asse delle x; calcolare il valore della coordinata x per cui l’intensità della forza esercitata su q3 è minima e massima

eqcmdeqq 4;17;2 321 ====222

12 xdr += xr =)cos(12 a

( ) 2/32231,3 2dx

xqkqF x

+=

( ) ( )( )322

2/12222/322

31

,3 320

dx

dxxdxqkq

x

F x

+

+−+==

( )2

3 222 dxxdx ==+

Il minimo è chiaramente ad x=0: per il massimo dobbiamo utilizzare la condizione di derivata nulla rispetto alla coordinata x

Problema 2Una sfera isolante uniformemente carica (in giallo) di carica qs = 4 mC e raggio a =4 cm, è posta al centro di un guscio conduttore sferico (in azzurro) con raggio interno b=9 cm ed esterno c=10 cm; sul guscio è presente una carica qc = -1 mC

c

ab

a) Determinare la carica Q accumulata sulla superficie interna ed esterna del guscio conduttore

b) Calcolare l’intensità del campo elettrico nei punti r =2 cm, r=4 cm, r=7 cm, r=9.5 cm, r=12 cm

Sup. interna Q = -4 mCSup. esterna Q = 3 mC

29 7

2 3

29 7

2 4 2

29 7

2 4 2

29 7

2 2 4 2

4 22 9 10 1.125 10 ( / )

(4 )

44 9 10 2.25 10 ( / )

16 10

47 9 10 0.735 10 ( / )

49 10

9.5 0

312 9 10 0.1875 10 ( / )

12 10

Nm C cmr cm E N C

C cm

Nm Cr cm E N C

C m

Nm Cr cm E N C

C m

r cm E

Nm Cr cm E N C

C m

m

m

m

m

−

−

−

= = =

= = =

= = =

= =

= = =

Problema 2

Sia dato un guscio sferico isolante carico, con carica distribuita uniformemente qs =3 mC, raggio interno a=5 cm ed esterno b=10 cm

ab a) Scrivere l’espressione del campo elettrico E(r) in

funzione della distanza r per r < a (nella cavità), per a > r > b (nel guscio), per r > b (esterno al guscio)

b) Calcolare l’intensità del campo elettrico nei punti r = 2 cm, r =7 cm, r =10 cm

3 3

2 2 3 3

2

( ) 0

( )) ( )

( )

s

s

r a E r

qq r r aa a r b E r k k

r r b a

qr b E r k

r

=

− = =

−

=

Problema 2

2 3 39 7

2 4 2 3 3

29 7

2 2 2

2 0

3 7 5) 7 9 10 0.137 10 ( / )

49 10 10 5

310 9 10 0.27 10 ( / )

10

r cm E

Nm Cb r cm E N C

C m

Nm Cr cm E N C

C m

m

m

−

−

= = −

= = = −

= = =

2

( )( )

q rE r k

r=

In un punto a distanza r interna al guscio il campo elettrico è dato da:

q(r) è la sola carica contenuta all’interno del raggio r; poiché la densità di carica 3D r è uniforme, si ha:

( ) ( ) sq r V r q Vr r= =

V è il volume del guscio, V(r) il volume del guscio di raggio esterno r:

3 3 3 3

3 3 2 3 3

( ) ( )( ) s

s

qq r V r r a r aE r k

q V b a r b a

− −= = =

− −

Esercizio 23.29Una sfera isolante uniformemente carica con qs =5 mC di raggio a=2 cm, è posta al centro di un guscio conduttore sferico con raggio interno b=4 cm ed esterno c=5 cm; sul guscio è presente una carica qC = -5 mC

❑ il guscio sferico non contribuisce ad E nella cavità ❑ r < a : E lineare in r❑ a < r < b : campo della carica puntuale qs nel centro

2

sqk

r

r

E

a cb

3

sqk r

a

❑ b < r < c : all’interno del conduttore deve essere E=0, per cui tutta la carica qC

deve essere sulla superficie interna del guscio, per compensare esattamente qs

❑ r > c : sfera isolante e guscio conduttore equivalgono entrambe a due cariche puntuali qs e qC poste nel centro; essendo uguali ed opposte in segno, i rispettivi campi si compensano: E=0

1) calcolare l’intensità del campo elettrico nei punti:r=0, r = 1 cm, r = 2 cm, r =3 cm; r =4.6 cm; r = 7 cm2) Quale carica appare sulla superficie interna ed esterna del guscio ?

Esercizio 23.29

29 7

2 3

29 7

2 2

29 7

2 2

0 0

51 9 10 1 5.625 10 ( / )

(2 )

52 9 10 11.25 10 ( / )

(2 )

53 9 10 5 10 ( / )

(3 )

4.6 0

7 0

r E

Nm Cr cm E cm N C

C cm

Nm Cr cm E N C

C cm

Nm Cr cm E N C

C cm

r cm E

r cm E

m

m

m

= =

= = =

= = =

= = =

= =

= =

2

1

r

qk

r

E

a cb

ra

qk

3

1

qs =5 mC a=2 cm; b=4 cm

Esercizio 23.30Un guscio sferico uniformemente carico ha densità di carica r=1.84 nC/m3, raggio interno a=10 cm ed esterno b=2a. Calcolare l’intensità del campo elettrico nei punti: r=0; r=a/2; r=a; r=1.5a; r=b; r=3b.

❑ r < a : E =0 il campo del guscio sferico è zero nella cavità❑ a < r < b : Applichiamo Gauss ad una superficie di raggio r. Attenzione: la cavità NON contribuisce alla carica.❑ r > b: E equivale al campo di una carica puntiforme centrata nell’origine

( )r 33

3

4abq −=La carica totale del guscio è

La carica interna ad una superficie di raggio r: ( )r 33

3

4)( arrq −=

All’interno del guscio:2r

qk

r

E

a b

2

)(

r

rqk

−==

2

3

0

2 3

)(

r

ar

r

rqkE

r

Esercizio 23.30Un guscio sferico uniformemente carico ha densità di carica r=1.84 nC/m3, raggio interno a=10 cm ed esterno b=2a. Calcolare l’intensità del campo elettrico nei punti: r=0; r=a/2; r=a; r=1.5a; r=b; r=3b.

Nella cavità:

−=

2

3

03 r

arE

r

( )m

Vcm

pFm

nCEar 3.75.10

85.83

84.15.1

2=

==

0:;2/;0 ==== Eararr

Nel guscio

( )2

1.842 17.5 12.1

3 8.85

nC Vr b a E cm

pFm m= = = =

2r

qk

r

E

a b

2

)(

r

rqk

Oltre il guscio:

−=

2

33

03 r

abE

r

( )m

Vcm

pFm

nCEar 35.194.1

85.83

84.16

2=

==

Esercizio 23.28Un guscio sferico isolante di raggio interno a=2 cm ed esterno b=2.4cm ha densità di carica volumica r=A/r, ove A è una costante ed r la distanza dal centro del guscio; nel centro è presente una carica puntiforme q=45 fC; Calcolare il valore di A per cui all’interno del guscio (a < r < b) il campo è costante, ovvero non dipende da r

Il campo generato da q è:

La carica del guscio è:

2r

qkE =

Il campo del guscio:2

)(

r

rqkE =

( )222 2''4''4)'()( arAdrrAdrrrrqr

a

r

a−=== r

( )2

22

2

22212 Aaq

r

kkA

r

akA

r

qkE −+=

−+=Il campo totale

all’interno del guscio:

Affinché E sia costante deve annullarsi il 2° termine, ovvero: 22

2 018.02

2m

nC

a

qAAaq ===

Esercizio 23.28Un guscio sferico isolante di raggio interno a=2 cm ed esterno b=2.4cm ha densità di carica volumica r=A/r, ove A è una costante ed r la distanza dal centro del guscio; nel centro è presente una carica puntiforme q=45 fC; Calcolare il valore di A per cui all’interno del guscio (a < r < b) il campo è costante, ovvero non dipende da r

2

0

2

0

2

1

22 r

AaA

r

qkE

−+=

22

a

qA =

2r

qk

r

E

a b

)2/( 0A

−

2

2

0

12 r

aA

Campo del guscio

Campo della carica

Campo totale

Esercizio 23.12Consideriamo un lungo tubo metallico di raggio R = 3 cm, parete sottile trascurabile, e densità di carica lineare l=20 nC/m; a) calcolare l’intensità del campo elettrico nei punti:

r =R/2; r=2Rb) tracciare in un grafico E(r) tra r=0 ed r=2Rc) calcolare la d.d.p. tra i punti r1=2R ed r2=4Rd) calcolare il lavoro necessario a spostare una

carica puntuale q0 = 1 mC da r1 ad r2

0

12

2E k

r r

l l

= =

✓ Nella cavità il campo è nullo✓ All’esterno del cilindro il campo è quello di un filo carico posto lungo l’asse del tubo:

29 3

2 2 2

20) 2 18 10 6 10

6 10

Nm nC Na r R E

C m C−= = =

rkl

2

r

E

R R2

Esercizio 23.12

( ) ( ) ( )2 2

1 1

21 2

1

12 2 ln 2 ln 2

r r

r r

rV r V r E dr k dr k k

r rl l l

− = = = =

Calcoliamo la caduta di potenziale tra r1=2R ed r2=4R

( ) ( )2

9

1 2 2

2018 10 0.69 249

Nm nCV r V r V

C m− = =

( ) ( )0 1 2 1 249 249L q V r V r C V Jm m = − = =

il potenziale diminuisce allontanandosi dal tubo, per cui il lavoro speso per allontanare la carica positiva q0 è positivo; dunque è lavoro compiuto dal campo elettrico

Esercizio 23.17Un lungo filo carico (rosso) con densità lineare lF = -3.6 nC/m, è racchiuso da un tubo cavo di spessore trascurabile, coassiale col filo, di raggio R=1.5 cm, con densità uniforme bidimensionale sT; si calcoli il valore di sT che rende nullo il campo totale al di fuori del cilindro

0

1

2

FFE

r

l

=

Il campo del filo è

0

1

2

TTE

r

l

=

2T TL RLl s=

2 2 2

3.62 38

2 2 1.5 10

FT T F T

nC nCR

R m m

ll s l s

−= = − = − = =

Il campo del cilindro, per r > R è

Per il cilindro, la relazione tra densità lineare e di superficie si trova dalla conservazione della carica:

Affinché i due campi si compensino deve essere:

a) Determinare la densità di carica lineare presente sulla superficie interna lint e sulla superficie esterna lext del cilindro

b) Calcolare l’intensità del campo elettrico nei punti r=3 cm, r=6 cm, r=10 cm

ab

In figura è mostrata la sezione di un guscio cilindrico conduttore di lunghezza L=2 m, raggio interno a=4 cm ed esterno b=8 cm, su cui è presente una carica Qc = 3 mC; al centro del guscio scorre un filo carico coassiale col guscio cilindrico, con densità di carica lineare lf = 1 mC/m; supponendo di poter trascurare gli effetti di bordo:

a) lint = lext =

Problema 2

Problema 2

29 5

2 2 2

29 5

2 2 2

13 18 10 6 10 ( / )

3 10

6 0

2.510 18 10 4.5 10 ( / )

10 10

Nm Cr cm E N C

C m

r cm E

Nm Cr cm E N C

C m

m

m

−

−

= = =

= =

= = =

( ) 2

( ) 0

( ) 2

f

f g

r a E r kr

a r b E r

r b E r kr

l

l l

=

=

+ =

int int1 2.5 1.5

2.5

ext g ext

f g ext

C C C

m m m

C

m

m m ml l l l l

ml l l

= − = = + =

+ = =

Esercizio 23.20Due fogli grandi isolanti paralleli hanno identica densità di carica s=1.7710-22 C/m2; trascurando effetti di bordo, calcolare il campo in modulo, direzione e verso, nelle tre zone: sopra, sotto, ed in mezzo ai fogli

ym

VyEyEyE ytotyy

ˆ102.0ˆ;ˆ2

;ˆ2

10

0

,

0

,2

0

,1

==== −

s

s

s

Il campo è perpendicolare ai piani, dunque Ex=0

ym

VEyEyE ytotyy

ˆ102.0;ˆ2

;ˆ2

10

,

0

,2

0

,1

−=−=−= −

s

s

0;ˆ2

;ˆ2

,

0

,2

0

,1 ==−= ytotyy EyEyE

s

s

Sopra i fogli:

Sotto i fogli:

In mezzo ai fogli:

foglio 1

foglio 2

EsercizioConsideriamo un condensatore vuoto carico, con carica qC = 5 pC; sia A = 1 cm2 l’area dei piatti, e d = 1 mm la distanza tra i piatti; sia x=0 la posizione del piatto positivo; trascurando gli effetti di bordo,a) calcolare il campo elettrico nei punti x1 =

0.4 mm, x2 = 0.8 mmb) calcolare l’energia immagazzinata nel

condensatorec) calcolare il lavoro necessario a spostare

una carica puntuale q0 = 1 pC da x1 ad x2

Mantenendo il condensatore carico ed isolato dal circuito, si riempie lo spazio tra i piatti di acqua distillata (r = 80); d) Ricalcolare le quantità ai punti a), b), c) con dielettrico inserito

++++++++++

----------

CqCq−

x

y

212

0 28.85 10

8.85

C

N m

pF

m

−=

=

EsercizioCondensatore vuoto:

++++++++

--------

CqCq−

x

y

4

212 4 20 0

2

50.56 10

8.85 10 10

Cx

q pC NE

CA Cm

N m

s

− −

= = = =

2 2 24 211

212 10

2

1 12.5 101.41 10

2 2 ( / )8.85 10 10

C Cq q CU J

CC A dm

N m

−−

− −

= = = =

( ) ( ) ( )2

1

1 2 2 1

4 30.56 10 0.4 10 2.24

x

x

V x V x E dx E x x

Nm V

C

−

− = = − =

=

( ) ( )0 1 2 1 2.24 2.24L q V x V x pC V pJ = − = =

EsercizioCondensatore pieno: essendo il condensatore isolato, la carica ai piatti resta la stessa; dunque campo elettrico ed energia del condensatore si riducono

4

0

10.56 10 70

80x

r

N NE

C C

s

= = =

211 131 1

1.41 10 1.76 102 80

C

r

qU J J

C

− − = = =

( ) ( ) ( ) 3

1 2 2 1 70 0.4 10 28N

V x V x E x x m mVC

−− = − = =

( ) ( ) 15

0 1 2 1 28 28 10L q V x V x pC mV J− = − = =

++++++++

--------

CqCq−

x

Esercizio 25.10

3 condensatori uguali hanno capacità C=25 mF; si chiude il circuito su una una batteria di f.e.m. E = 4200 V; all’equilibrio i condensatori saranno carichi; calcolare quanta carica totale ha attraversato l’amperometro

75 ;

75 4200 0.315

eq

eq

C F

q C F V C

m

m

=

= = =E

a a

b b

a

b

E

La carica totale è la somma delle cariche depositate sui piatti dei 3 condensatori, ovvero la carica depositata sui piatti del condensatore di capacità equivalente data dalla somma delle singole capacità; dunque:

EsercizioUna d.d.p. E = 200 V viene applicata su una coppia di

condensatori C1=6.0 mF e C2=4.0 mF in serie.a) Calcolare la capacita equivalenteb) Calcolare carica e d.d.p. su ciascun condensatorec) Si ripeta l'esercizio con i condensatori in parallelo.

( )1 2 1 2

4

1 2

4

1 2

1 2

/ 2.4

2.4 200 4.8 10

4.8 1080 ; 120

6

eq

eq

ac cb

C C C C C F

q q C F V C

q qCV V V V

C F C

m

m

m

−

−

= + =

= = = =

= = = = =

E

SERIE:

PARALLELO:

1 2

4

1 1

4

2 2

10 ;

6 200 12 10

4 200 8 10

eq abC C C F V V

q C F V C

q C F V C

m

m

m

−

−

= + = =

= = =

= = =

E

E

1C

2C

1q

2q

a

b

ccE

a

b

a

b

1C 2CE1q 2q

EsercizioUna batteria con f.e.m. E = 20 V viene connessa ad una coppia di condensatori con C1=3 pF e C2=7 pF in serie; i piatti di C1 hanno superficie A=30 mm2; all’equilibrio, calcolare:1) Le cariche q1 e q2 sui condensatori2) La distanza d tra le armature di C1

3) L’energia immagazzinata in C2

mmpF

m

m

pF

C

Ad 088.0

3

103085.8)2

26

1

0 =

==−

( )1 2 1 2

11

1 2

/ 2.1

1) 2.1 20 4.2 10

eq

eq eq

C C C C C pF

q q q C pF V C−

= + =

= = = = = E

( )J

pF

C

pF

C

C

qU 10

222

211

2

2

22 1026.11026.1

7

102.4

2

1

2

1)3 −−

−

==

==

1C

2C

1q

2q

a

b

ccE

Problema 3Dato il circuito in figura, con 4 condensatori con capacità C1 = 5 mF, C2 = 8 mF, C3 = 4 mF, C4 = 10 mF, ed una batteria con f.e.m. = 12 V

a) Calcolare le cariche q1, q2 , q3 , q4 presenti sui condensatorib) Calcolare le d.d.p. V1, V2, V3 , V4 presenti ai piatti dei condensatoric) Calcolare l’energia elettrostatica U1, U2, U3 , U4 immagazzinata nei 3 condensatorid) Ricalcolare le cariche q1, q2 , q3 , q4 dopo che C2 è stato interamente riempito di

una sostanza di costante dielettrica relativa r2 = 4, e C4 riempito di una sostanza con r4 = 6.

e) Ricalcolare i potenziali V1, V2, V3 , V4 dopo l’inserimento dei due dielettricif) Ricalcolare l’energia elettrostatica U1, U2, U3 , U4 dopo l’inserimento dei due

dielettrici

4C1C

E2C

3C

Problema 3

11

1

36.9237.385

5

q CV V

C F

m

m = = =

3 4 12V V V = =

12 1234

403.077 ; 17.077

13C F F C Fm m m= = =

22

2

36.9234.615

8

q CV V

C F

m

m = = =

2 2

1 1 1

2 2

2 2 2

2 2 2 2

3 3 3 4 4 4

12.5 (7.385 ) 136.345

2

14 (4.615 ) 85.19

2

1 12 (12 ) 288 5 (12 ) 720

2 2

U C V F V J

U C V F V J

U C V F V J U C V F V J

m m

m m

m m m m

= = =

= = =

= = = = = =

Dato il circuito in figura, con 4 condensatori con capacità C1 = 5 mF, C2 = 8 mF, C3 = 4 mF, C4 = 10 mF, ed una batteria con f.e.m. = 12 V

12 1 2 12 3 3 4 4

1234 1234

36.923 48 120

204.923

q q q C C q C C q C C

q C C

m m m

m

= = = = = = = =

= =

E E E

E

Problema 3

1 21 2

1 2

51.89 51.8910.378 1.622

5 32

q qC CV V V V

C F FC

m m

m m = = = = = =

12 12344.324 68.324C F C Fm m= =

C1 = 5 mF, C2 = 8 mF, C3 = 4 mF, C4 = 10 mF, f.e.m. = 12 V r2 = 4, r4 = 6.

12 1 2 12 3 3 4 4

1234 1234

51.89 48 720

819.89

q q q C C q C C q C C

q C C

m m m

m

= = = = = = = =

= =

E E E

E

3 4 12V V V = =

2 2

1 1 1

2 2

2 2 2

2 2 2 2

3 3 3 4 4 4

12.5 (10.378 ) 269.257

2

116 (1.622 ) 42.094

2

1 12 (12 ) 288 30 (12 ) 4320

2 2

U C V F V J

U C V F V J

U C V F V J U C V F V J

m m

m m

m m m m

= = =

= = =

= = = = = =

Esercizio 25.12Dato il circuito in figura, con cinque condensatori uguali con capacità 10 mF, ed una batteria con E = 10 V, calcolare le cariche e le d.d.p. ai piatti di ciascun condensatore

FCFCFC mmm 6;15;5 234523423 ===

234 5 2345 60eqq q q C Cm= = = =E

4 234 234/ 4acV V q C V = = =

2 3 23 20acq q C V Cm= = =

1 1 100q C Cm= =E

a a

c

b

3C

5C

4C

a

b

E

2345Ceqq

a

b

E234C

5C

234q

5q

a

b

cE 4 4 40acq C V Cm= =

5 5 5/ 6cbV V q C V = = =

2 2 2

3 3 3

/ 2

/ 2

V q C V

V q C V

= =

= =

1 10abV V V = = =E

Esercizio 25.14

Dato il circuito in figura, calcolare cariche e d.d.p. ai piatti dei 6 condensatori

1 6

2 4 3 5

20 ; 3

2 ; 4

V C C F

C C F C C F

m

m m

= = =

= = = =

E

60eq eqq C Cm= =E

16 1 6 1/ 10 30cb eq cbV q C V q q C V Cm = = = = =

2354 2 4 2/ 10 20ac eq acV q C V q q C V Cm = = = = =

5 5 3 3/ / 5ad dcV V q C q C V = = = =

a a

c c

b

d

E

2354C

16C

eqq

eqq

a

b

cE

FCFCFC mmm 6;6;2 16235435 ===

( )2354 16 2354 16/ 3eqC C C C C Fm= + =

3 5 35 35 20acq q q C V Cm= = = =

Esercizio 25.102 condensatori con capacità C1=1 mF, C2=3 mF vengono separatamente caricati con una batteria E = 100 V; una volta carichi, vengono connessi come in figura, connettendo i piatti di segno opposto: la corrente fluirà fino al raggiungimento dell’equilibrio; calcolare le cariche q1, q2

e la differenza di potenziale tra a e ball’equilibrio

01 1 02 2100 ; 300q C C q C Cm m= = = =E E

Prima di essere connessi, i 2 condensatori hanno carica:

A circuito chiuso, in equilibrio, applichiamo la legge di Kirchoff:

( ) ( ) 02

2

1

1 =+=−+−C

q

C

qVVVV abba

11 2

2

Cq q

C = −

Esercizio 25.10

1C

2C

a

a

b

1q

1q−

2q−2q

la carica totale sui piatti dei condensatori deve conservarsi: consideriamo la carica netta presente sul piatto negativo di C1 e sul piatto positivo di C2

02 01 200q q Cm− =

prima della chiusura del circuito:

2 1 2 1200 200q q C q q Cm m− = = +

dopo la chiusura del circuito questa carica (racchiusa dall’area rossa) deve essere la stessa, per cui:

12 2 2

2

200 150C

q q C q CC

m m= − + =

Sostituendo l’espressione precedente:

1 2

150

3q q Cm= − = −

2 1

2 1

15050

3b a

q qCV V V

C F C

m

m− = = = = −

Esercizio 25.10

300 Cm

300 Cm−100 Cm

100 Cm−

150 Cm

150 Cm−50 Cm−

50 Cm

Condensatori isolati:

Condensatori congiunti:

Si noti che poiché la capacità di C2 è il triplo di quella di C1, a circuito chiuso C2

deve avere il triplo della carica di C1; inoltre la carica totale sui piatti connessi dal filo deve conservarsi; ne segue che a circuito chiuso la polarità di C1 deve invertirsi

Esercizio 27.6

Essendo il generatore 2 più potente, è evidente che la corrente deve circolare in senso antiorario; dalla legge di Kirchhoff:

Calcolare il valore di R e la potenza termica dissipata su R

mWmARiP 994.0994)1( 22 ===

Nel circuito in figura scorre una corrente i=1 mA; inoltre:

==== 332 2121 rrVV EE

( )Rrri ++=− 2112 EE ( ) =+−−

= 9942112 rr

iR

EE

Esercizio 27.12

a) R1 ed R2 in serie: R12 = 2Rb) R12 in parallelo con R3: R123 = (2/3)Rc) R123 in serie con R4: R1234 = (5/3)Rd) R1234 in parallelo con R5:

Req = R1234 R5 / (R1234+ R5) = (5/3) / (8/3) R = (5/8) R = 3.13

1) Calcolare la resistenza equivalente tra i punti F ed H

Nel circuito in figura tutte le resistenze valgono = 5R

==++= 5.22

1

2

1

2

11 RR

RRRRFH

FH

2) Calcolare la resistenza equivalente tra i punti F e G

1

34

5

2

Esercizio 27.13

a) Calcolare la corrente i1 che attraversa la resistenze R1, la corrente i2 che attraversa la resistenza R2, la corrente i3 che attraversa il ramo della batteria 3.

b) Calcolare la differenza di potenziale V1 ai capi di R1, la differenza di potenziale V2 ai capi di R2, la differenza di potenziale Vab tra i punti a e b

c) Indicare con frecce in figura il verso delle correnti positive i1 i2 i3

d) Calcolare la potenza PB1 , PB2 , PB3 erogata dalle batterie 1, 2, 3

e) Calcolare la potenza PR1 , PR2 dissipata dalle resistenze R1, R2,

Consideriamo il circuito in figura con 3 batterie; sia:

1 2 3

1 2

4 2 7

5 10

V V V

R R

= = =

= =

E E E

Esercizio 27.13

Aiii 9.1213 =+=

AV

iRi 5.010

5222132 =

==−+ EEE

1 3 2 2 2 2 37 ; 5 ; 9a bV V V i R V V V V = = = = − = + =E E E

3 1 1 1

71.4

5

Vi R i A= = =

E

per la maglia superiore:

per la maglia inferiore:

Ipotizziamo un verso di percorrenza per le correnti positive, come indicato in figura, e risolviamo le equazioni di Kirchoff per le due maglie chiuse

le correnti sono tutte positive, dunque i versi ipotizzati sono effettivamente

quelli delle correnti positive; calcoliamo le d.d.p.: V1 non è altro che la d.d.p.

ai poli della batteria 3, e vab la somma delle d.d.p. ai poli delle batterie 2 e 3:

Equazione dei nodi in a:

1i

2i

3i

Esercizio 27.13

1 2 1

2 2 2

3 3 3

0.5 4 2

0.5 2 1

1.9 7 13.3

B

B

B

P i A V W

P i A V W

P i A V W

= = =

= = =

= = =

E

E

E

2 2 2

1 1 1

2 2 2

2 2 2

1.4 5 9.8

0.5 10 2.5

R

R

P i R A W

P i R A W

= = =

= = =

Notiamo che mentre la polarità delle batterie 2 e 3 è concorde col verso positivo delle correnti che attraversano i relativi rami, la polarità della batteria 1 è opposta al verso della corrente i2 , dunque la potenza PB1 è ASSORBITA, non erogata; la conservazione dell’energia impone quindi che:

Potenza dissipata sulle resistenze:

Potenza erogata dalle batterie:

2 3 1 2 1B B R R BP P P P P+ = + +

Inserendo i valori calcolati si può verificare che questa equazione è soddisfatta

1i

2i

3i

Esercizio 27.21

a) Calcolare la correnti i1 , i2 , i3 che attraversano i tre rami orizzontali del circuito

b) Calcolare la differenza di potenziale V ai capi di R, e la differenza di potenziale V1 e V2 ai capi di r del ramo superiore ed inferiore

c) Indicare con frecce in figura il verso delle correnti i1 i2 i3

Consideriamo il circuito in figura, con due batterie identiche con valori:

Ipotizziamo che il verso delle correnti siano quelli indicati dalle linee rosse e applichiamo Kirchhoff alle maglie chiuse:

12 0.3 10V r R= = = E

1i

3i

2i

13321 2iiiii ==+

Da cui segue che deve essere i1 = i2 ; inoltre dalla legge dei nodi:

Maglia inferiore: 2 3i r i R= +E

1 3i r i R= +EGiro largo:

Esercizio 27.21Consideriamo il circuito in figura, con due batterie identiche con valori: 12 0.3 10V r R= = = E

1i

3i

2i

3 1.18i A=

La d.d.p. ai capi dei rami orizzontali è uguale alla f.e.m. delle batterie meno la caduta di tensione dovuta alla resistenza interna delle batterie

( )

( )

1 3 1

1 2

2

120.59

2 20.3

i r i R i r R

Vi i A

r R

= + = +

= = = =+

E

E

3

1 2 1

1.18 10 11.8

0.59 0.3 0.2

V i R A V

V V i r A V

= = =

= = = =

Problema 27.3

La figura mostra un circuito a 2 maglie; date le f.e.m. e le resistenze, trovare i valori delle correnti in ogni ramo del circuito

1 2

1 2

3 6

2 4

V V

R R

= =

= =

E E

Ipotizziamo un verso per le correnti e scriviamo la 2° legge di Kirchoff per ciascuna maglia chiusa e la legge dei nodi in a:

1i 3i

3i

3i1i

Problema 27.3

2 1 3 (3)i i i= +

1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 22 (1)i R i R i R i R i R− = + + = +E E

( )2 2 3 1 2 2 3 1 3 2 2 10 / 2 (2)i R i R i R i i R R− = + + = = −E E

Maglia di sinistra:

Maglia di destra:

Sostituisco questo risultato nell’Eq. (1) e risolviamo rispetto ad i1

2 12 1 2 2 1

1 1 2

2(4)

2 2

R Ri i i i i

R R R= − =

+

Legge dei nodi:

Abbiamo un sistema di 3 equazioni in 3 incognite; sostituendo l’eq. (2) nella (3) ricaviamo la relazione tra i2 ed i1

( ) ARRR

RRi 5.0

44

2

21

2

1

21211 −=

+

+−= EE

Conoscendo i1 è facile calcolare i2 dall’eq. (4) e poi i3 dalla (3)

2 0.25i A= − 3 0.25i A=

Problema 27.3

Dai valori calcolati risulta che il verso delle correnti positive i1 e i2 è opposto a quanto ipotizzato; era preventivabile considerando che la batteria più potente è la 2, e dunque tende ad imporre il proprio verso di percorrenza stabilito dai suoi poli

1i 3i

3i

3i1i

Il giusto verso delle correnti positive è quindi quello disegnato in figura

Esercizio

Calcolare il valore di R3 che rende massima la potenza dissipata su questa resistenza

Consideriamo il circuito in figura, con:

Dobbiamo determinare la corrente nel circuito in funzione di R3

== 52 21 RR

3322231 RiRiRiVV ba ===−

( )2312

323

2

33321 1

RRR

RRi

R

Riiii

+=

+=

+=+=

E

( )231

12311 )(RR

iRRi+

=+=E

E

323121

2

32

321

2

32

3

1

RRRRRR

R

RR

RRR

R

RRi

++=

++

+=

EE

1i

3i2i

a

b

Esercizio

Calcolare il valore di R3 che rende massima la potenza dissipata su questa resistenza

Consideriamo il circuito in figura, con:

== 52 21 RR1i

3i2i 02 2

33

3

33

3

3

2

3 =+

=

= iR

R

ii

R

PRiP

( )( )

( )( ) 3

323121

21

2

323121

221

3

3 iRRRRRR

RR

RRRRRR

RRR

R

i

++

+−=

++

+−=

E

( )( )

12

323121

321 =++

+

RRRRRR

RRR=

=

+= 43.1

7

10 2

21

213

RR

RRR

Sostituisco la derivata nell’equazione precedente ed ottengo:

Problema 27.5: scarica dell’automobileDurante il moto, una quantità di elettroni si trasferiscono dal suolo alla carrozzeria attraverso i pneumatici. Una volta che l’auto è ferma, carrozzeria e suolo rappresentano i ‘piatti’ di un condensatore cortocircuitato dalla resistenza dei pneumatici; al sistema serve del tempo per scaricare attraverso le gomme l’energia accumulata durante il moto

Il sistema è equivalente ad un condensatore con le 4 resistenze dei pneumatici in parallelo; sia Rpn= 100 G la resistenza di ciascun pneumatico; siano C=500 pF e V0 = 30 kV capacità e potenziale del condensatore auto/suolo; immaginiamo di dover fare benzina: quanto tempo dobbiamo attendere prima di inserire la pistola nel serbatoio, affinché l’energia del condensatore cali al di sotto del valore di innesco della scintilla Uinc = 50 mJ ?

Problema 27.5: scarica dell’automobile

La corrispondente variazione di energia immagazzinata nel condensatore durante la scarica è:

( )2 2 2 /

0

1 1( ) ( )

2 2

tU t C V t CV e − = =

Possiamo invertire l’equazione e ricavare il tempo in funzione dell’energia:

2 /

2 2

0 0

2 2ln

2

tU Ue t

CV CV

− = = −

Il sistema può ridursi ad un RC equivalente con: =→= GRRR pn

2541

25 500 12.5RC G pF s = = =

Il tempo caratteristico dei questo circuito RC è:

È un tempo piuttosto lungo, a causa dell’altissima resistenza dei pneumatici (la gomma è isolante)

Carica e d.d.p. ai piatti del condensatore durante il processo di scarica variano secondo la legge: / /

0 0( ) ( )t tV t V e q t CV e − − = =

Problema 27.5: scarica dell’automobile

E’ un tempo considerevole: mai arrivare alla pompa e fare benzina al volo!

Nelle gare automobilistiche, tipicamente i pneumatici inglobano granuli di materiale conduttore (ad es. carbonio) per ridurre il tempo di scarica.

Calcoliamo il tempo necessario a far sì che l’energia del condensatore arrivi all’energia di soglia per l’innesco, ovvero il tempo corrispondente all’energia U = Uinc = 50 mJ:

( )22

0

2 12.5 2 50 10ln ln 6.25 ln 9.4

2 2 45500 30

U mJt s s s

CV pF kV

= − = − = − =

L’andamento dell’energia è prevalentemente stabilito dal tempo caratteristico, ovvero da RC; dal grafico vediamo che se la resistività dei pneumatici si riduce da 100 G a 10 G il tempo di soglia necessario a scongiurare l’innesco diventa inferiore al secondo

Esercizio 27.3: batteria auto

Immaginiamo di lasciare le luci dell’auto accese, e che queste consumino una potenza P = 100 W; in quanto tempo si scarica la batteria?

P i= E

Le caratteristiche più importanti di una batteria per auto sono: carica totale (q = 60 Ah) e la f.e.m. (voltaggio) E =12 V

0

60 127.2 7 ,12min

100

tq q Ah V

q i dt i t t h hi P W

= = = = = = = E

Se la potenza erogata è costante nel tempo, ed il voltaggio resta costante nel tempo, ovviamente anche la corrente è costante; si ha quindi:

560 60 3600 2.16 10Ah A s C= =

La potenza erogata dalla batteria è:

Esercizio: stufa elettrica

Se potenza erogata, voltaggio e corrente sono costanti nel tempo, la quantità di carica che attraversa la stufa in 1 ora è:

L’energia associata all’erogazione di una carica q spinta da una differenza di potenziale V costante è data da:

AV

W

V

PiiVPa 68.5

220

1250) ====

Una stufa elettrica della potenza di 1250 W viene alimentata con una d.d.p. di 220 V.a) Qual'e la corrente nella stufa? b) Qual'e la resistenza della spirale riscaldante?c) Quanta energia termica viene prodotta in un'ora dalla stufa?

45.68 3600 2.04 10q i t A s C= = =

JVCVqUc 64 105.42201004.2) ===

( )==== 74.38

68.5

1250)

22

2

A

W

i

PRRiPb

Problema 3Consideriamo una sfera isolante uniformemente carica di carica qs = 5 mC e raggio a=4 cm

2

33 2)()() r

a

qkrVr

a

qkrEara ss −==

a

b) scrivere l’espressione E(r) del modulo campo elettrico E(r) e del potenziale corrispondente V(r) in funzione della distanza dal centro, nella regione esterna alla sfera (r > a ). Per il calcolo del potenziale, si assuma nullo il potenziale all’infinito, ovvero V() = 0

a) scrivere l’espressione del modulo campo elettrico E(r) e del potenziale corrispondente V(r) in funzione della distanza dal centro, nella regione interna alla sfera (r < a) Per il calcolo del potenziale si assuma nullo il potenziale nel centro della sfera, ovvero V(0) = 0

r

qkrV

r

qkrEarb ss == )()()

2

Problema 3

c) Calcolare l’intensità del campo elettrico e del potenziale nei punti r=2 cm, r=6 cma

)/(1025.11036

51096

)/(1041.1)4(

251092

7

242

29

7

32

29

CNm

C

C

NmEcmr

CNcm

cmC

C

NmEcmr

=

==

=

==

−

m

m

Vm

C

C

NmEcmr

Vcm

cmC

C

NmVcmr

5

22

29

5

3

2

2

29

105.7106

51096

1041.1)4(2

451092

=

==

−=

−==

−

m

m