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Fiammetta Conforto — Francesco Oliveri

MATEMATICA DI BASE

Matematica di Base

Note per il Test di Accesso alla Facoltà di Scienze MM.FF.NN.Università di Messina

Fiammetta Conforto — Francesco Oliveri

Dipartimento di Matematica

Facoltà di Scienze mm.ff.nn.

Università di Messina

Matematica di Base F. Conforto, F. Oliveri

c© F. Conforto, F. Oliveri – 2011.

Queste note possono essere liberamente distribuite e riprodotte purché nona fini commerciali.

Prodotto dagli autori mediante il sistema di composizione tipografica LATEX2.

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Prefazione

Queste note contengono alcuni richiami alle nozioni matematiche di baserichieste per il superamento del test di ingresso ai corsi di laurea triennaledella Facoltà di Scienze MM.FF.NN. dell’Università di Messina. Tali nozionidovrebbero essere patrimonio di ogni studente che si accinge ad iscriversiall’Università. In linea di principio queste note dovrebbero quindi esseresuperflue, ma l’esperienza insegna che purtroppo così non è.

È comunque auspicabile che non siano inutili e che gli studenti–lettori(muniti di un bloc notes e di una penna), svolgendo autonomamente gli eser-cizi (per molti dei quali è esplicitamente fornito il procedimento risolutivo,con una pletora di dettagli a volte irritante), ne traggano qualche beneficio.Negli esercizi le risposte esatte sono marcate con un asterisco. Se alla fine lareazione della maggior parte dei lettori sarà di fastidio per avere tra le manidel materiale a loro ben noto, gli autori si riterranno comunque soddisfatti.

Il materiale contenuto è tratto dalle presentazioni tenute l’anno scor-so durante i corsi di allineamento organizzati dal Preside della Facoltà diScienze dell’Università di Messina, prof. Mario Gattuso. Altri colleghi delDipartimento di Matematica (Roberto Amato, Maddalena Bonanzinga, Pa-trizia Rogolino, Antoinette Tripodi) hanno contribuito nella formulazionedegli esercizi e nello svolgimento delle lezioni dei vari corsi di allineamento.Il prof. Francesco Santoro (Liceo Scientifico Statale “Archimede” di Messi-na) è l’autore del modulo 5 sul calcolo combinatorio e la probabilità. Alcunidottorandi del Dottorato di Ricerca in Matematica (Serena Sammarco, Ce-cilia Spinelli, Paola Lea Staglianò) hanno altresì contribuito ad una versionepreliminare delle presentazioni.

Un’avvertenza è necessaria: nessuno scritto è esente da errori e/o imper-fezioni, e questo non fa eccezione, anche alla luce del fatto che si tratta di unaversione 1.0. Gli autori hanno controllato il testo e gli esercizi, ma l’errore,come il diavolo, è solito nascondersi nei dettagli! Segnalazioni di errori e/o

3


imprecisioni saranno gradite (E-mail: [email protected]) in modo daprodurre versioni più accurate.

Agosto 2011 Fiammetta Conforto, Francesco Oliveri

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Indice

1 MATEMATICA DI BASE – MODULO 1 91.1 Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Diagrammi di Eulero–Venn . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 L’insieme vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3 Operazioni tra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.4 Prodotto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1 Logica Booleana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 Proprietà delle operazioni logiche . . . . . . . . . . . . 161.2.3 Implicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.1 Massimo comune divisore e minimo comune multiplo . 191.4.2 Fattoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.1 Potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.2 Radice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.3 Esponenziali e logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.4 Numero di cifre di un numero . . . . . . . . . . . . . . 251.5.5 Manipolazione di espressioni aritmetiche e notazione

scientifica dei numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.6 Percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6.1 Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6.2 Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.6.3 Numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.7 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5


1.7.1 Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.7.2 Numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2 MATEMATICA DI BASE – MODULO 2 432.1 Espressioni letterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.1 Identità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.2 Equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.3 Soluzione di un’equazione . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.4 Classificazione delle equazioni . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2 Equazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.1 Principi di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Equazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.1 Casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.2 Soluzioni dell’equazione di secondo grado . . . . . . . . 492.3.3 Proprietà delle soluzioni di un’equazione di secondo grado 512.3.4 Regola di Cartesio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4 Disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.4.1 Disequazioni quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.5 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.5.1 Soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5.2 Metodo di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5.3 Metodo del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5.4 Metodo di riduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5.5 Metodo di Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.6 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.6.1 Espressioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.6.2 Disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.6.3 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.7 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.7.1 Espressioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.7.2 Disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.7.3 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3 MATEMATICA DI BASE – MODULO 3 853.1 Matematica: concetti primitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.2 Gli Elementi di Euclide (Στoιχεια) . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.1 Nozioni comuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.2.2 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6


3.2.3 Postulati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.3 Figure piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.3.1 Poligonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.3.2 Poligono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.3.3 Punti notevoli di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . 903.3.4 Triangoli simili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.3.5 Quadrilateri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.3.6 Poligoni regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.3.7 Circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.3.8 Perimetro e area di figure piane . . . . . . . . . . . . . 953.3.9 Teoremi notevoli sui triangoli rettangoli . . . . . . . . . 96

3.4 Solidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.5 Piano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.5.1 Distanza tra due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.5.2 Retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.5.3 Circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.5.4 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.6 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.6.1 Geometria piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.6.2 Geometria solida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.6.3 Geometria analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.7 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.7.1 Geometria piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.7.2 Geometria solida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.7.3 Geometria analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4 MATEMATICA DI BASE – MODULO 4 1334.1 Relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.1.1 Proprietà delle relazioni su un insieme A . . . . . . . . 1344.2 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.2.1 Funzioni reali di variabile reale . . . . . . . . . . . . . 1374.2.2 Rappresentazione grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.2.3 Grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.2.4 Funzioni iniettive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.2.5 Grafici e iniettività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.2.6 Funzioni suriettive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.2.7 Grafici e suriettività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.2.8 Funzioni biettive o biunivoche . . . . . . . . . . . . . . 140

7


4.2.9 Grafici e biettività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2.10 Funzione composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2.11 Funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.2.12 Funzioni notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.3 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.3.1 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.4 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.4.1 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5 MATEMATICA DI BASE – MODULO 5 1695.1 Calcolo Combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.1.1 Cenni storici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.1.2 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.1.3 Disposizioni semplici di n elementi a k a k . . . . . . . 1705.1.4 Permutazioni di n elementi . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.1.5 Inversioni sulle permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . 1715.1.6 Combinazioni di n elementi a k a k . . . . . . . . . . . 1715.1.7 Proprietà del coefficiente binomiale . . . . . . . . . . . 1725.1.8 Binomio di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.2 Calcolo delle probabilità, cenni storici . . . . . . . . . . . . . . 1725.2.1 Giochi di dadi e calcolo delle probabilità . . . . . . . . 173

5.3 Teoria della probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.3.1 Teoria assiomatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.3.2 Notazioni abbreviate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.3.3 Probabilità condizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.3.4 Probabilità totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.3.5 Eventi indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.4 Paradossi nel calcolo delle probabilità . . . . . . . . . . . . . . 1795.4.1 Paradosso del compleanno . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.4.2 Problema di Monty Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.5 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.5.1 Calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.5.2 Calcolo delle probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

5.6 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.6.1 Calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.6.2 Calcolo delle probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

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Capitolo 1

MATEMATICA DI BASE –MODULO 1

Insiemi — Logica — Numeri

1.1 Insiemi

Intuitivamente, con il termine insieme si indica una collezione di oggettichiamati elementi.

Gli elementi di un insieme lo caratterizzano univocamente.

x ∈ A l’elemento x appartiene all’insieme A;x /∈ A l’elemento x non appartiene all’insieme A.

Due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi, cioè, dueinsiemi A e B coincidono se per ogni elemento x tale che x ∈ A risulta x ∈ B,e per ogni elemento x ∈ B risulta x ∈ A, o, più concisamente:

A = B ⇔ (∀x ∈ A ⇒ x ∈ B) e (∀x ∈ B ⇒ x ∈ A).

Nota 1 Il simbolo ∀ (quantificatore universale) si legge “per ogni”. L’altroquantificatore, ∃ (quantificatore esistenziale), che presto farà la sua compar-sa, si legge “esiste”. Il simbolo ⇒ si legge “implica”, mentre il simbolo ⇔ silegge “è equivalente”.

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Un insieme può essere descritto in maniera estensiva (elencando gli ele-menti che lo compongono), ad esempio

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},

o in maniera intensiva (le proprietà possedute dai suoi elementi), ad esempio

A = {gli studenti di quest’aula il cui compleanno cade in settembre}.

Per gli elementi di un insieme non si fa caso all’ordine degli elementi.Quindi

A = {x, y, z} e B = {y, z, x}

rappresentano lo stesso insieme.Un insieme B si dice sottoinsieme dell’insieme A, e si indica con

B ⊆ A,

se e solo se per ogni elemento x ∈ B risulta x ∈ A, o, più concisamente:

B ⊆ A ⇔ ∀ x ∈ B ⇒ x ∈ A.

Se esiste almeno un elemento x ∈ A che non appartiene a B (cioè x /∈ B)allora si dice che B è una parte propria di A e si scrive

B ⊂ A;

più concisamente si scrive:

B ⊂ A ⇔ (∀ x ∈ B ⇒ x ∈ A) e (∃x ∈ A tale che x /∈ B).

In particolare, due insiemi A e B coincidono se risulta

B ⊆ A e A ⊆ B.

Due insiemi si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune:

(∀x ∈ A ⇒ x /∈ B) e (∀x ∈ B ⇒ x /∈ A).

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1.1.1 Diagrammi di Eulero–Venn

Un diagramma di Eulero–Venn è la rappresentazione grafica di un insiemeche consiste nel racchiuderne gli elementi all’interno di una regione delimitatada una linea chiusa non intrecciata.

Gli elementi dell’insieme vengono evidenziati con punti interni alla re-gione, gli elementi che non appartengono all’insieme con punti esterni adessa.

A ⊂ B Insiemi disgiunti

1.1.2 L’insieme vuoto

Si chiama insieme vuoto l’insieme che non contiene nessun elemento. Taleinsieme si indica con il simbolo ∅ oppure con le parentesi graffe aperte echiuse

{} (insieme vuoto).

L’insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso se stesso).L’insieme vuoto è importante per definire in maniera generale le opera-

zioni tra insiemi.

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1.1.3 Operazioni tra insiemi

L’unione di due insiemi A e B,

A ∪B,

è l’insieme formato da tutti gli elementi che appartengono all’insieme A oall’insieme B o a entrambi.

L’intersezione di due insiemi A e B,

A ∩B,

è l’insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad entrambi gliinsiemi A e B.

La differenza B meno A,B \ A,

è data dall’insieme formato dai soli elementi di B che non appartengono adA,

B \ A = {x : x ∈ B e x /∈ A}.La differenza tra B e A si dice anche complementare di A rispetto a B.

La differenza simmetrica tra due insiemi è l’insieme degli elementi cheappartengono ad A e non a B oppure che appartengono a B e non ad A:

A∆B = (A \B) ∪ (B \ A) = (A ∪B) \ (A ∩B).

Nota 2 Nella definizione di insiemi il simbolo “:” si legge “tale che”.

Esempio 1

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},B = {4, 5, 6, 7, 8, 9},A ∪B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},A ∩B = {4, 5, 6, 7},A \B = {0, 1, 2, 3},A∆B = {0, 1, 2, 3, 8, 9}.

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Dati due insiemi A, ed U , con A ⊆ U , si definisce complementare di Arispetto ad U l’insieme formato dagli elementi che appartengono ad U manon appartengono ad A:

A = {x : x ∈ U e x /∈ A}.

Nella figura seguente il complementare di A rispetto ad U è identificata dallaparte in rosso.

Esempio 2

A = {x : x numero intero e 0 < x < 12}B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15}

A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}A ∩B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}A \B = {2, 4, 6, 8, 10}A∆B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 14, 15}

1.1.4 Prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l’insieme di tutte le possibilicoppie ordinate (a, b) con a ∈ A e b ∈ B:

A×B = {(a, b) : a ∈ A e b ∈ B}.

Esempio 3 SeA = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}

risulta

A×B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4),

(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}.

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1.2 Logica

La Logica classica è la scienza che tratta tutta la validità e le articolazionidi un discorso in termini di nessi inferenziali relativamente alle proposizio-ni che lo compongono. La prima formulazione della logica come scienzapropedeutica a ogni possibile conoscenza si deve ad Aristotele.

La logica aristotelica si basa sul fatto che esistono solo due valori di verità:Vero (V) e Falso (F).

Ogni proposizione è Vera oppure (in senso esclusivo) Falsa.È questo il cosiddetto Principio del Terzo Escluso (tertium non datur).

1.2.1 Logica Booleana

A metà dell’Ottocento George Boole (1815–1864), evidenziando l’analogiatra i simboli che rappresentano le proposizioni logiche e opportuni simbolialgebrici, ridusse la logica ad una disciplina matematica.

Boole ha di fatto creato un’algebra, detta Algebra Booleana, che opera suvariabili logiche, cioè, variabili in grado di assumere due soli valori, vero, chenel seguito indicheremo con il simbolo V , e falso, che nel seguito indicheremocon il simbolo F . L’Algebra Booleana è il fondamento del funzionamentodei calcolatori elettronici digitali in quanto tutte le operazioni si possonoricondurre a particolari operazioni logiche.

Le operazioni logiche sono operazioni che coinvolgono delle variabili logi-che e che danno come risultato delle variabili logiche. Poiché una variabilelogica ha due possibili valori (vero o falso), è comodo identificare questi duevalori di verità con i due simboli dell’alfabeto binario: possiamo identificareil simbolo 0 con il valore di verità F , e il simbolo 1 con il valore di veritàV . Le operazioni logiche fondamentali sono not, or, and e xor. Chiarire-mo il significato di queste operazioni logiche specificando la corrispondentetavola di verità (che è l’analogo delle tabellina di un’operazione aritmetica),indicando le variabili logiche con delle lettere minuscole, a, b, . . . .

Cominciamo con l’operazione not: si tratta di un’operazione unaria, cherichiede un solo argomento. Essa non è altro che l’operazione di negazionelogica: restituisce un risultato falso se il suo argomento è vero, mentre resti-tuisce il valore vero se il suo argomento è falso. La corrispondente tavola diverità è la seguente:

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a not(a)F VV F

Quando non c’è pericolo di ambiguità, si usa la notazione compatta a perindicare not(a), essendo a una variabile logica.

L’operazione logica or (detta anche “o” non esclusivo, somma logica,oppure disgiunzione logica: corrisponde al termine latino vel) è un’operazionebinaria che restituisce il valore di verità falso solo nel caso in cui entrambi glioperandi sono falsi, e vero in tutti gli altri casi. Una notazione alternativaper (a or b) è (a ∨ b).

L’operazione logica and (detta anche “e” logico, congiunzione logica, op-pure prodotto logico) è un’operazione binaria che fornisce un risultato verosolo quando entrambi gli operandi sono veri, e falso in tutti gli altri casi. Unanotazione alternativa per (a and b) è (a ∧ b).

L’operazione logica xor (“o” esclusivo, corrispondente al termine latinoaut ; il nome xor è un acronimo di “eXclusive OR”) è un’operazione binariache dà come risultato il valore di verità vero quando i suoi due operandi sonodiversi, mentre dà come risultato il valore di verità falso quando i suoi dueoperandi sono uguali1.

Le tavole di verità delle operazioni logiche or, and e xor sono prestoscritte:

a b a or b a and b a xor bV V V V FV F V F VF V V F VF F F F F

È facile vedere che l’operazione di xor può essere ricondotta ad unaopportuna combinazione di operazioni not, or ed and. Infatti, sussistel’identità

a xor b = (not(a) and b) or (a and not(b)),

che si dimostra confrontando le tavole di verità di entrambi i membri,1In italiano, ‘o’ e ‘oppure’ vengono usati indifferentemente sia in senso esclusivo (ad es.,

“o ti mangi questa minestra o ti butti dalla finestra”) che in senso non esclusivo (ad es.,“si assumono individui di sesso maschile o femminile”). In latino, invece, i due significatierano associati a parole diverse: vel per il senso non esclusivo, ed aut per il senso esclusivo.

15


a b (a and b) or (a and b) a xor bV V F FV F V VF V V VF F F F

da cui si evince la coincidenza delle ultime due colonne.

1.2.2 Proprietà delle operazioni logiche

Le operazioni logiche verificano alcune proprietà che si chiamano tautologie,in quanto sono verificate per ogni possibile valore di verità dei loro argomenti.Consideriamo le tautologie che riguardano le operazioni not, or e and.

Doppia negazione:

not(not(a)) = a,

che corrisponde alla nota asserzione “due negazioni affermano.”Proprietà Commutativa:

a or b = b or a;a and b = b and a.

Proprietà Associativa:

(a or b) or c = a or (b or c);(a and b) and c = a and (b and c).

Proprietà di Idempotenza:

a or V = V ; a or F = a;a and V = a; a and F = F .

Proprietà Distributiva:

a or (b and c) = (a or b) and (a or c);a and (b or c) = (a and b) or (a and c).

Leggi di De Morgan:

not(a or b) = (not(a)) and (not(b));not(a and b) = (not(a)) or (not(b)).

16


Per quando riguarda l’operazione logica xor si hanno, tra le altre, leseguenti tautologie (identità logiche vere qualunque sia il valore di veritàdelle proposizioni logiche coinvolte):

a xor b = b xor a;(a xor b) xor c = a xor (b xor c);a xor V = not(a);a xor F = a;not(a xor b) = (a or not(b)) and (not(a) or b).

Dimostriamo, in particolare, l’ultima tautologia:

not(a xor b) = not((not(a) and b) or (a and not(b))) =

= not(not(a) and b) and not(a and not(b)) =

= (a or not(b)) and (not(a) or b).

1.2.3 Implicazione

La notazionep⇒ q,

dove p e q sono delle espressioni logiche, indica che da p segue q. L’implica-zione è vera

1. se p è vera e q è vera,

2. se p è falsa e q è vera,

3. se p è falsa e q è falsa,

ed è falsa solo se p è vera e q è falsa. I casi 2 e 3 corrispondono alla ben notaproprietà che da una proposizione falsa è possibile dedurre qualunque cosa.

Non è difficile rendersi conto delle seguenti equivalenze:

p⇒ q ⇔ not(p) or q;

p⇒ q ⇔ not(q)⇒ not(p).

17


1.3 NumeriInsiemi importanti in Matematica sono quelli i cui elementi sono i numeri.

I numeri sono rappresentati mediante cifre, secondo un sistema di nume-razione (decimale, binario, ottale, esadecimale, . . . ).

1. Numeri Naturali: N = {0, 1, 2, 3, . . .}.

2. Numeri Relativi: Z = {0,±1,±2,±3 . . .}.

3. Numeri Razionali: Q = {mn

con m,n ∈ Z, n 6= 0}.

3

2,

15

229,−3

4=

3

−4= −3

4.

4. Numeri Irrazionali:√

2 = 1.414 . . ., π = 3.14159 . . ., e = 2.71828 . . ..

5. Numeri Reali: R, unione dei Razionali e degli Irrazionali.

6. Numeri Complessi: C = {a+ ib : a, b ∈ R, i =√−1}.

3 + 5i, 2.45− 3.61i,3

5+π

6i.

1.4 Numeri interiUn numero primo è un numero naturale che è divisibile solamente per sestesso e per 1.

I numeri primi sono infiniti (dimostrato da Euclide nel IV secolo a.C.):2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . .

Un numero composto è un numero naturale che ha più di due divisori;

6 = 2× 3,

280 = 2× 2× 2× 5× 7

sono esempi di numeri composti.

Teorema 1 (Teorema fondamentale dell’Aritmetica) Ogni numero na-turale diverso da 1 può essere scomposto nel prodotto di numeri primi. Talescomposizione è unica a meno dell’ordine dei fattori.

23244 = 2× 2× 3× 13× 149.

18


1.4.1 Massimo comune divisore e minimo comune mul-tiplo

Il massimo comune divisore (MCD) di due interi è il più grande numeronaturale che li divide entrambi. Ad es.,

MCD(30, 18) = 6, MCD(242, 180) = 2.

Due numeri a, b si dicono coprimi se MCD(a, b) = 1.Il minimo comune multiplo (mcm) di due interi è il più piccolo numero

naturale multiplo di entrambi. Ad es.,

mcm(30, 18) = 90.

Vale la relazionemcm(a, b) =

a · bMCD(a, b)

.

MCD(23244, 1456)

Scomposizione in fattori primi:

23244 = 22 × 3× 13× 149, 1456 = 24 × 7× 13.

Dunque:MCD(23244, 1456) = 22 × 13 = 52,

mcm(23244, 1456) =23244× 1456

52= 650832.

Usare la scomposizione in fattori primi per calcolare il MCD (e anche ilmcm) non è il metodo più efficiente.

Si può calcolare il MCD di due numeri più facilmente che scomponendoin primi ricorrendo alle seguenti proprietà:

•MCD(m, 0) = m se m 6= 0;

•MCD(m,n) = MCD(m− n, n), se m > n;

•MCD(m,n) = MCD(n, r), se n > 0,

dove r è il resto della divisione tra m ed n.

19


L’ultima proprietà (alla base del cosiddetto Algoritmo di Euclide) è quellache rende il calcolo del massimo comune divisore più veloce.

Esempio 4 Per calcolare

MCD(23244, 1456)

si divide 23244 per 1456 (quoziente 15 e resto 1404). Dunque

MCD(23244, 1456) = MCD(1456, 1404).

Si divide 1456 per 1404 (quoziente 1 e resto 52) e quindi

MCD(1456, 1404) = MCD(1404, 52).

Si divide 1404 per 52 (quoziente 27 e resto 0) da cui

MCD(1404, 52) = MCD(52, 0) = 52.

Esempio 5 Per calcolare

MCD(31287 + 1, 31287 − 1)

l’uso del metodo di cui all’esercizio precedente non è agevole (i numeri coin-volti hanno più di 600 cifre!).

IL MCD si può calcolare semplicemente facendo la differenza tra i duenumeri; si ha:

MCD(31287 + 1, 31287 − 1) = MCD(2, 31287 − 1).

Poiché il secondo numero è pari (e quindi divisibile per 2), il MCD èsemplicemente 2.

Il MCD e il mcm sono fondamentali nella manipolazione delle frazioni.I numeri razionali non hanno una rappresentazione unica! Le frazioni

3

4,

6

8,

21

28,−243

−324

rappresentano tutte lo stesso numero 0.75.

20

La rappresentazione è unica se si considerano le frazioni ridotte ai minimitermini, in cui numeratore e denominatore non hanno fattori in comune(basta dividerli per il loro MCD). Ad es.,

23244

1456=

23244/52

1456/52=

447

28.

Il mcm serve quando si eseguono operazioni aritmetiche tra numeri razionali.E il MCD per semplificare eventualmente il risultato.

1

4+

7

18− 5

36=

9 + 14− 5

36=

18

36=

1

2.

1.4.2 Fattoriale

Dato un numero intero positivo n, si definisce il fattoriale di n:

n! = 1 · 2 · · · (n− 1) · n,

dato dal prodotto dei primi n naturali. Per definizione, nonché per consi-stenza logica, è

0! = 1.

1.5 Numeri realiQuando si opera con i numeri reali si ha spesso a che fare con intervalli. Nelseguito a e b sono numeri reali assegnati con a ≤ b.

• Intervalli chiusi:

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b};

• Intervalli aperti a sinistra:

]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b};

• Intervalli aperti a destra:

[a, b[= {x ∈ R : a ≤ x < b};

21

• Intervalli aperti:

]a, b[= {x ∈ R : a < x < b}.

• Intervalli aperti illimitati a destra:

]a,+∞[= {x ∈ R : x > a}.

• Intervalli chiusi illimitati a destra:

[a,+∞[= {x ∈ R : x ≥ a}.

• Intervalli aperti illimitati a sinistra:

]−∞, a[= {x ∈ R : x < a}.

• Intervalli chiusi illimitati a sinistra:

]−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}.

• Intervallo illimitato a destra e a sinistra:

]−∞,+∞[= R.

Le disuguaglianze tra numeri reali possono essere manipolate utilizzandole seguenti proprietà:

a 0,

a ≤ b ⇔ a · c ≤ b · c, ∀a, b, c ∈ R, c > 0,

a b · c, ∀a, b, c ∈ R, c < 0,

a ≤ b ⇔ a · c ≥ b · c, ∀a, b, c ∈ R, c < 0,

a < b e c < d ⇒ a+ c < b+ d, ∀a, b, c, d ∈ R,a ≤ b e c < d ⇒ a+ c < b+ d, ∀a, b, c, d ∈ R,a < b e c ≤ d ⇒ a+ c < b+ d, ∀a, b, c, d ∈ R,a ≤ b e c ≤ d ⇒ a+ c ≤ b+ d, ∀a, b, c, d ∈ R.

22


1.5.1 Potenze

Dato un numero reale x e un numero naturale n la potenza n–esima di x,

xn,

è data dal prodottoxn = x · x · . . . · x︸︷︷︸

n volte.

Proprietà delle potenze.

x0 = 1 (a patto che x 6= 0, altrimenti è indeterminato),xm · xn = xm+n,

xm

xn= xm−n,

(xm)n = xm·n.

1.5.2 Radice

La radice n–esima (n numero naturale) del numero x, n√x, è quel numero y

tale che yn = x, cioèy = n√x ⇔ yn = x.

Se n è pari x non può essere negativo.Dalla definizione di radice n–esima e dalle proprietà delle potenze, si può

scriveren√x = x1/n.

1.5.3 Esponenziali e logaritmi

Generalizzando il concetto di potenza, si può introdurre il concetto di espo-nenziale,

ax,

dove a > 0 è un numero reale positivo, e x è un numero reale. Per definireax è opportuno prima definire ex, dove

e ≈ 2.718281828459045 . . .

23


è il numero di Nepero. L’esponenziale ex si definisce come somma della serieinfinita

ex = 1 + x+x2

2+x3

3!+x4

4!. . . =

∞∑k=0

xk

k!.

Il logaritmo in base e (logaritmo naturale) di un numero x > 0,

lnx,

è il valore y per cui ey = x. Si ha dunque che il logaritmo naturale èl’operazione inversa dell’esponenziale ex, cioè,

y = lnx ⇔ x = ey,

o, anche:elnx = x ∀x > 0, ln ex = x ∀x ∈ R.

A partire da ex si può definire l’esponenziale ax di base a come segue:

ax = e(ln a)x.

Valgono le seguenti identità:

a0 = 1, a1 = a, a−1 =1

a,

(ax)y = axy, axay = ax+y,ax

ay= ax−y.

Oltre a quelli naturali, importanti logaritmi sono quelli in base 10 (log10 x),e, per il loro uso in Informatica, i logaritmi in base 2 (log2 x).

In generale, presa una generica base a positiva e diversa da 1, possiamodefinire il logaritmo in base a di x, loga x. Risulta

y = loga x ⇔ x = ay,

o, anche:aloga x = x ∀x > 0, loga a

x = x ∀x ∈ R.

Valgono le seguenti relazioni:

loga 1 = 0, loga(x · y) = loga x+ loga y,loga x

n = n loga x, loga(x/y) = loga x− loga y,logb a = 1/loga b, logb a = logc a/logc b.

24

1.5.4 Numero di cifre di un numero

Il logaritmo in base 10 può essere usato per sapere con quante cifre sirappresenta un numero nel sistema decimale. Poiché è:

log10 1 = 0, log10 10 = 1, log10 100 = 2, . . . , log10 10n = n, . . .

ex < y ⇒ log10x < log10 y,

aggiungendo 1 alla parte intera del logaritmo in base 10 di un numero siottiene il numero di cifre della sua rappresentazione decimale.

Numero di cifre(1952799) = 1 + log10 1952799 = 1 + 2799 log10 195 ≈ 6410

Per sapere quanti bit ha la rappresentazione binaria di un numero, inmaniera analoga basta aggiungere 1 al logaritmo in base 2.

1.5.5 Manipolazione di espressioni aritmetiche e nota-zione scientifica dei numeri reali

Esempio 6134

=1 · 4

334· 43

=43

1=

4

3.

Esempio 713

+ 34

89− 7

4

=4+912

32−6336

=1312−3136

=

=1312· −36

31−3136· −36

31

=−468

372

1= −39

31

Nella notazione scientifica i numeri reali vengono rappresentati con unamantissa compresa tra 1

10e 1 (escluso) moltiplicata per una opportuna po-

tenza del 10.710 = 0.71 · 103

0.0013609 = 0.13609 · 10−2

25

Esempio 8

0.9 · 105

30 · 10−2=

0.9

30

105

10−2=

0.9

30· 107 = 0.03 · 107 = 3 · 105.

Esempio 910−8

2=

1

2· 10−8 = 0.5 · 10−8 = 5 · 10−9.

Il risultato non è né 5−8 né 10−4 (come qualche buontempone potrebbepensare)!

Esempio 10

10−2 + 0.5 · 10−3

2 + 3.2 · 10−2=

1 · 10−2 + 0.05 · 10−2

2 + 0.032=

=(1 + 0.05) · 10−2

2.032=

1.05

2.032· 10−2 = 0.516732 · 10−2

Esempio 11√

723√

54=

√23 · 32

3√

2 · 33=

=(23 · 32)1/2

(2 · 33)1/3=

23/2 · 321/3 · 3

=23/2

21/3= 27/6 = 21+1/6 = 2

6√

2.

Esempio 12 Il numero più grande tra

45

46e

46

47

è il secondo, perché45 · 47 < 462.

Esempio 13 Individuare i due numeri interi consecutivi tra i quali è com-preso il numero √

27 + 1.√

27 è maggiore di 5 (52 = 25) e minore di 6 (62 = 36), cioè

5 <√

27 < 6 ⇒ 5 + 1 <√

27 + 1 < 6 + 1 ⇒ 6 <√

27 + 1 < 7.

26

Esempio 14 Stimare (senza usare la calcolatrice) il numero

3√

141−√

5.

Si ha:3√

141 > 5 perché 141 > 53 = 125;3√

141 < 6 perché 141 < 63 = 216;√

5 è compreso tra 2 e 3.

Dunque:5 <

3√

141 < 6, 2 <√

5 < 3, −3 < −√

5 < −2.

5 + (−3) <3√

141 + (−√

5) < 6 + (−2) ⇒ 2 <3√

141−√

5 < 4.

1.5.6 Percentuali

Il p% di una quantità x si calcola moltiplicando x per p e dividendo il risultatoper 100. Ad es.,

Il 17% di 234 è :234 · 17

100=

1989

50= 39.78.

Che valore assume una quantità x se viene aumentata del p%?

x+ x · p

100=x(100 + p)

100.

Ad es., se x = 35 e p = 7, il valore che si ottiene è

35(100 + 7)

100=

749

20= 37.45.

Se una quantità x, diminuita del p% vale y, quanto vale x? Deve essere:

y = x− x p

100=x(100− p)

100⇒ x =

100y

100− p.

Se nel periodo dei saldi una maglietta, scontata del 30%, viene pagata59.99 Euro, il prezzo originale era:

100 · 59.99

100− 30= 85.70 Euro.

27


1.6 Esercizi svolti

1.6.1 Insiemi

1. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

a) Se A ∩B = A, allora A = B

b) Se A \B = A, allora B è vuoto

c) Se A ∪B = B, allora A ⊆ B (∗)d) Nessuna delle precedenti

Svolgimento. Esaminando la risposta a), l’affermazione A ∩ B = Aimplica, per definizione di intersezione tra 2 insiemi, che A ⊆ B. Èquindi chiaro che la risposta a) è errata, perché l’affermazione fattarisulta essere vera anche se A ⊂ B. Esaminando la risposta b), l’affer-mazione A\B = A implica che gli elementi dell’insieme B non possonoessere contenuti nell’insieme A, ovvero che gli insiemi A e B hannointersezione vuota, e quindi che l’insieme B sia vuoto è solo una pos-sibilità. Esaminando la risposta c), l’affermazione A ∪ B = B implica,per definizione di unione di 2 insiemi, che A ⊆ B. È quindi chiaroche la risposta c) è esatta. Pertanto, la risposta d) non può che essereerrata.

2. Se A \B = A allora

a) B = ∅b) A ⊆ B

c) B ⊆ A

d) A ∩B = ∅ (∗)

Svolgimento. L’affermazione A \ B = A implica che gli elementidell’insieme B non possono essere contenuti nell’insieme A, ovvero chegli insiemi A e B hanno intersezione vuota, e quindi la risposta esatta èla c). La risposta a) è sbagliata perché che l’insieme B sia vuoto è solouna possibilità. Se fossa vera la risposta b), si avrebbe che A \ B = ∅.Se fossa vera la risposta c), si avrebbe che se B ⊂ A, allora A \B ⊂ A,se invece A = B, allora A \B = ∅.

28


3. Dati gli insiemi A e B tali che A ⊂ B, quale delle seguenti affermazioniè vera?

a) A ∩B = B

b) A ∪B = A

c) A ∩B ⊆ B (∗)d) A ∪B ⊆ A

Svolgimento. L’affermazione A ⊂ B implica che A ∩ B = A ⊂ B equindi a) è falsa e c) è vera. Per completezza, l’affermazione A ⊂ Bimplica che A ∪B = B ⊂ B e quindi sono false anche le b) e d).

4. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

a) Se A ∩B = A, allora A ⊆ B (∗)b) Se A ∪B = A, allora B è vuoto

c) Se a ∈ A e a ∈ A \B, allora a ∈ Bd) Se A ha 10 elementi e B ha 7 elementi, allora A \B ha 3 elementi

Svolgimento. Esaminando la risposta a), l’affermazione A ∩ B = Aimplica, per definizione di intersezione tra 2 insiemi, che A ⊆ B. Èquindi chiaro che la risposta a) è esatta. Esaminando la risposta b),l’affermazione A ∪ B = A implica che B ⊆ A e quindi che l’insieme Bsia vuoto è solo una possibilità. La risposta c) è certamente falsa inquanto l’affermazione a ∈ A \ B implica, per definizione di differenzadi 2 insiemi, che a /∈ B. La risposta d) è anch’essa certamente falsa inquanto, per definizione di differenza di 2 insiemi, l’affermazione è verasolo nell’ulteriore ipotesi che B ⊂ A, cioè che i 7 elementi di B sianotutti contenuti nell’insieme A.

5. Se A \B = ∅ allora

a) A = B

b) A ⊆ B (∗)c) A = ∅d) Nessuna delle precedenti affermazioni è vera

29


Svolgimento. L’affermazione A \ B = ∅ implica che gli elementi del-l’insieme A devono appartenere tutti anche all’insieme B, cioè A ⊆ B, equindi la risposta esatta è la b). Le risposte a) e c) sono casi particolaridella più generale risposta b).

1.6.2 Logica

1. Se si afferma che “tutte le persone ricche sono felici ”, quale frase sipuòcertamente dedurre dall’affermazione fatta?

a) Se una persona è infelice, allora è povera (∗)b) Ogni persona felice è ricca

c) Tutte le persone felici sono ricche

d) Non esistono persone povere e felici

Svolgimento. L’affermazione

A ⇒ B ,

che in questo caso coincide con la seguente affermazione

ricco ⇒ felice ,

equivale logicamente all’implicazione

B ⇒ A ,

e cioèinfelice ⇒ povero ,

e quindi la risposta esatta è la a). Tutte le altre risposte sono logica-mente errate.

2. Se non è vero che “ogni adolescente italiano pratica il calcio o il basket”,allora quale delle seguenti affermazione è vera?

a) Nessun adolescente italiano pratica il calcio o il basket

b) Gli adolescenti italiani non praticano né il calcio né il basket

c) Almeno un adolescente italiano non pratica alcun tipo di sport

30


d) Qualche adolescente italiano non pratica né il calcio, né il basket(∗)

Svolgimento. La negazione logica dell’affermazione “ogni adolescenteitaliano pratica il calcio o il basket” è “almeno un adolescente italianonon pratica né il calcio, né il basket”, e quindi la risposta esatta è lad). Tutte le altre risposte sono logicamente errate.

3. In un palazzo abitano 15 bambini; di questi, 5 hanno la bicicletta, 7 ilpallone e 3 sia la bicicletta, che il pallone. Quanti di loro non hannoné la bicicletta, né il pallone?

a) 0

b) 6 (∗)c) 5

d) 9

Svolgimento. Dei 15 bambini, 5 hanno la bicicletta (e potrebberoavere anche il pallone), 7 il pallone (e potrebbero avere anche la bici-cletta) e 3 sia la bicicletta, che il pallone. In definitiva, il numero dibambini che hanno almeno una delle 2 cose è: 5 + 7− 3 = 9. Il numerodi bambini che non hanno né la bicicletta, né il pallone è: 15− 9 = 6.

4. Se p è la proposizione a ∧ b, quale delle seguenti affermazioni è vera?

a) p è vera se a è falsa (∗)b) p è vera solo se a è falsa

c) Se a è vera, allora p è falsa

d) Se b è vera, allora p è falsa

Svolgimento. La proposizione p si può scrivere equivalentemente comesegue:

p = a ∧ b = a ∨ b = a ∨ b ,

cioè p è vera o se a è falsa, o se b è vera. La risposta esatta è quindila a). La risposta b) è falsa perché p è vera anche se è vera solo b. Larisposta c) è falsa perché, anche se a è vera, p è vera se è vera solo b.La risposta d) è falsa perché, se b è vera, p è certamente vera.

31

5. Sia p la proposizione a ∨ b. Sapendo che b è una proposizione vera,quale delle seguenti affermazioni è vera?

a) Se a è vera, allora p è vera

b) p è vera solo se a è vera

c) Se a è falsa, allora p è vera (∗)d) Se a è falsa, allora p è falsa

Svolgimento. La proposizione p si può scrivere equivalentemente comesegue:

p = a ∨ b = a ∧ b = a ∧ b ,

cioè p è vera se a è falsa e contemporaneamente b è vera. La rispostaesatta è quindi la c). La risposta a) è falsa perché se a è vera, allorap è certamente falsa. La risposta b) è falsa perché, come abbiamo giàosservato, se a è vera, allora p è certamente falsa. La risposta d) è falsaperché a è falsa, allora p può essere vera.

1.6.3 Numeri

1. Dati i numerie ,

2

π, −1

4,π

2, −1

5,

27

10

quali delle seguenti affermazioni è vera?

a) −1

5< −1

4<

2

π<π

2< e <

27

10

b) −1

4< −1

5<

2

π<π

2< e <

27

10

c) −1

4< −1

5<

2

π<π

2<

27

10< e (∗)

d) nessuna delle precedenti affermazioni è vera

Svolgimento. I numeri certamente più piccoli sono quelli negativi ecioè −1/4 e −1/5; per stabilire il loro ordinamento procediamo con leseguenti considerazioni:

4 < 5 ⇒ 1

5<

1

4⇒ −1

4< −1

5;

32

il numero successivo nel senso dell’ordinamento è certamente 2/π, poi-ché è l’unico numero positivo minore di 1 perché il numeratore è minoredel denominatore (π = 3.14 . . .), mentre i rimanenti numeri sono tuttimaggiori di 1 (il loro numeratore è maggiore del denominatore) e quindipossiamo affermare che

−1

4< −1

5<

2

π;

dalla relazione3 < π = 3.14 . . . < 4

dividendo l’intera disuguaglianza per 2, si ha:

1.5 =3

2<π

2<

4

2= 2 ;

infine, poiché e = 2.718 . . . e dalla relazione

20 < 27 < 30

dividendo l’intera disuguaglianza per 10, si ha:

2 =20

10<

27

10= 2.7 <

30

10= 3 ,

possiamo affermare che tra i 3 numeri rimanenti la relazione d’ordine èla seguente

π

2<

27

10< e ,

e la risposta esatta è dunque la c).

2. Dati i numeri 3√

3 , 5√

5 , 3√

log3 30, quali delle seguenti affermazioni èvera?

a) 3√

3 < 3√

log3 30 < 5√

5

b) 3√

log3 30 < 3√

3 < 5√

5

c) 5√

5 < 3√

3 < 3√

log3 30 (∗)d) nessuna delle precedenti affermazioni è vera

33

Svolgimento. Per confrontare i numeri 3√

3 e 5√

5 , si utilizza la pro-prietà che dati due numeri reali positivi a e b e un numero naturalen ≥ 1, si può affermare che

a < b ⇔ an < bn ;

possiamo certamente affermare che5√

5 <3√

3

perché se eleviamo ambo i membri della disuguaglianza al minimo co-mune multiplo dei due indici di radice, 3 e 5, e cioè 15 = mcm {3, 5},si ha:(51/5

)15<(31/3

)15 ⇔ 515·15 < 3

13·15 ⇔ 53 < 35 ⇔ 125 < 243 .

Per confrontare i numeri 3√

3 e 3√

log3 30, utilizziamo la stessa proprietàdi prima e le seguenti due proprietà dei logaritmi:

i) dato un numero reale a > 0, a 6= 1, ed un numero reale b, possiamoaffermare che:

b = loga ab ;

ii) dato un numero reale a > 1, e 2 numeri reali b, c > 0, possiamoaffermare che:

b < c ⇔ loga b < loga c ;

quindi3√

3 < 3√

log3 30

perché se eleviamo al cubo ambo i membri della disuguaglianza, si ha:

3 < log3 30

e se, utilizzando la proprietà i), scriviamo il numero 3 come 3 =log3 33 = log3 27, otteniamo che

log3 27 < log3 30 ⇔ 27 < 30

che è vero per la proprietà ii). La risposta esatta è pertanto la c).

3. Se compro della merce con lo sconto del 25% e spendo 660 EURO,quanti EURO avrei speso se non avessi goduto di alcuno sconto?

34


a) 880 (∗)b) 165

c) 495

d) 825

Svolgimento. Se indichiamo con x l’incognita del problema, cioè ilcosto originario (senza sconto) della merce, il problema si può formularecome segue:

x− 25

100x = 660 euro ;

sommando le frazioni in x al primo membro, si ha:

75

100x = 660 euro

e moltiplicando ambo i membri per 100/75

x =100

75· 660 euro = 880 euro .

4. Quanto vale il rapporto tra 0.009 · 10−3 e 0.03 · 10−2?

a) 0.3 · 10−5

b) 0.003

c) 0.03 (∗)d) nessuna delle precedenti

Svolgimento. Osserviamo innanzitutto che i 2 numeri si possonoscrivere come segue:

0.009 · 10−3 = 9 · 10−3 · 10−3 = 9 · 10−3−3 = 9 · 10−6 ,

0.03 · 10−2 = 3 · 10−2 · 10−2 = 3 · 10−2−2 = 3 · 10−4 ;

utilizzando le espressioni precedentemente ottenute, il rapporto tra i 2numeri è

0.009 · 10−3

0.03 · 10−2=

9 · 10−6

3 · 10−4=

9

3·10−6

10−4= 3·10−6−(−4) = 3·10−6+4 = 3·10−2 = 0.03 .

La risposta esatta è dunque la c).

35


5. L’espressione 6√

0.125 è uguale a

a) 3

√1

2

b)13√

2

c) 6

√5

4

d) nessuna delle precedenti espressioni (∗)

Svolgimento. Il numero assegnato si può scrivere come segue:

6√

0.125 =6

√125

1000=

6

√53

103= 6

√53

(2 · 5)3=

6

√53

23 · 53=

6

√1

23=

(1

23

) 16

=

=1

16

(23)16

=1

2 (3· 16)

=1

212

=1√2

=

√1√2

=

√1

2.

Se si osserva che le risposte a) e b) sono uguali, in quanto

3

√1

2=

13√

2,

ed entrambe, evidentemente, errate, come pure la risposta c), si puòaffermare che la risposta esatta è la d).

1.7 Esercizi proposti

1.7.1 Logica

• Se si afferma che “ogni persona colta è intelligente”, quale frase si puòcertamente dedurre dall’affermazione fatta?

a) Tutte le persone intelligenti sono colte

b) Non esistono persone ignoranti che sono intelligenti

c) Se una persona è stupida, allora è ignorante (∗)d) Se una persona è intelligente, allora è colta

36


• Se si afferma che “tutti gli anziani sono saggi ”, quale frase si puòcertamente dedurre dall’affermazione fatta?

a) Se una persona non è saggia, allora non è anziana (∗)b) Non esistono giovani saggi

c) Ogni persona saggia è anziana

d) Se una persona è saggia, allora è anziana

• Se si afferma che “ogni persona intelligente è onesta”, quale frase si puòcertamente dedurre dall’affermazione fatta?

a) Se una persona non è intelligente allora non è onesta

b) Se una persona è onesta, allora è intelligente

c) Tutte le persone oneste sono intelligenti

d) Una persona disonesta non è intelligente (∗)

• Se si afferma che “ogni persona ricca è felice”, quale frase si può certa-mente dedurre dall’affermazione fatta?

a) Se una persona è felice, allora è ricca

b) Nessuna persona povera è felice

c) Tutte le persone felici sono ricche

d) Ogni persona infelice è povera (∗)

• Se si afferma che “ogni libro scientifico è interessante”, quale frase sipuò certamente dedurre dall’affermazione fatta?

a) Se un libro è interessante, allora è scientifico

b) Tutti i libri interessanti sono scientifici

c) Se un libro non è interessante allora non è scientifico (∗)d) Se un libro non è scientifico allora non è interessante

• Se non è vero che “tutti gli adolescenti italiani praticano il calcio o ilbasket”, allora quale delle seguenti affermazione è vera?

a) Nessun adolescente italiano pratica il calcio o il basket

37

b) Ci sono adolescenti italiani che non praticano alcun tipo di sport

c) Almeno un adolescente italiano non pratica né il calcio, né il basket(∗)

d) Nessun adolescente italiano pratica alcuno sport

• Se p è la proposizione a ∧ b, quale delle seguenti affermazioni è vera?

a) p è vera solo se a è falsa

b) p è vera solo se b è vera

c) Se a è vera, allora p è falsa

d) Se b è vera, allora p è vera (∗)

• Se p è la proposizione a ∧ b, quale delle seguenti affermazioni è vera?

a) Se b è vera, allora p è vera (∗)b) p è vera solo se b è vera

c) Se a è vera, allora p è vera

d) Se a è falsa, allora p è falsa

1.7.2 Numeri

• Dati i numeri 4√

2 , 5√

3 , 5√


a) 4√

2 < 5√

3 < 5√

log3 30 (∗)

b) 5√

3 < 5√

log3 30 < 4√

2

c) 5√

log3 30 < 4√

2 < 5√

3



2 , 5√

4 , 5√


a) 3√

2 < 5√

4 < 5√

log2 25

b) 5√

4 < 5√

log2 25 < 3√

2

c) 5√

log2 25 < 3√

2 < 5√

4 (∗)

38

2 , 5√

10 , 3√


a) 3√

2 < 3√

log5 10 < 5√

10

b) 3√

log5 10 < 5√

10 < 3√

2

c) 3√

log5 10 < 3√

2 < 5√

10 (∗)d) nessuna delle precedenti affermazioni è vera

• Quanto vale il rapporto tra 0.0018 · 10−3 e 0.02 · 10−2?

a) 0.9 · 10−2 (∗)b) 0.0009

c) 9 · 102

d) nessuna delle precedenti


a) 0.7 · 10−1 (∗)b) 0.0007

c) 7 · 10−14



a) 0.002 · 104 (∗)b) 0.0002

c) 2 · 104


• Quanto vale il rapporto tra 0, 024× 10−3 e 0, 8× 10−6?

a) 3× 103

b) 0,03

c) 0, 3× 102 (∗)

39


d) 3× 10−3

• L’espressione 5

√32a5b−10

x3y−5è uguale a

a) 2ayx−35 b−2 (∗)

b)2ab2

5√x3y5

c)2ay

x−35 b−2



√9a6b2

32x3y−1è uguale a

a)a2x

2

(3b

2y

)2/3

b)(a2x

2y

)1/3(3

2b

)2/3

c)a2

2x

(3

2b

)2/3

y1/3 (∗)



√9x6ab2

64yz3c−5è uguale a

a)3c

z(bc)2/3

(a

y

)1/3 (x2

)2b)

3

zb2/3c−5/3

(a

y

)1/3 (x2

)2c)

c

z(3bc)2/3

(a

y

)1/3 (x2

)2(∗)


40



√8x3y6

27a9b6è uguale a

a) a−1(

2xy

3b

)1/9

b) a−1(

3

2x

)−1/3(b

y

)−2/3(∗)

c) a

(2xy

3b

)1/3

d) a−1(

3

2

)−1/3(b

xy

)−2/3• L’espressione 4

(xb

)−2/3 z−2

y3a−1/3è uguale a

a) 3

√64ab2

x2y9z6(∗)

b) −4 3

√x

b

z2

ay

c) 4a3(xz)−2

(by)−3

d) nessuna delle precedenti espressioni

41


42

Capitolo 2


Espressioni algebriche — Equazioni di primo e secondo grado— Disequazioni — Sistemi lineari

2.1 Espressioni letteraliEspressioni aritmetiche come (

1 + 12

)32− 0.54

hanno la loro naturale estensione nelle espressioni letterali, in cui gli operatoriaritmetici combinano numeri e lettere, ad es.:(

a+ b2

)3−4/52− b4 + c

Le lettere che compaiono in un’espressione letterale possono avere duesignificati: costanti, generalmente indicate dalle prime lettere dell’alfabeto(a, b, c, . . .), o variabili, indicate dalle ultime lettere dell’alfabeto (x, y, z, t).

2.1.1 Identità

Una identità è una uguaglianza tra due espressioni verificata per qualunquevalore assegnato alle lettere in esse contenute e per cui le espressioni hannosignificato.

43


Ecco alcuni esempi di identità:

(a− b)(a+ b) = a2 − b2,(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2,

(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2,

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3,

(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3,(a+ b+ c)2 = a2 + 2ab+ 2ac+ b2 + 2bc+ c2,

1 + a3 = (1 + a)(1− a+ a2),

1− a3 = (1− a)(1 + a+ a2),

1 + a5 = (1 + a)(1− a+ a2 − a3 + a4),

1− a5 = (1− a)(1 + a+ a2 + a3 + a4).

2.1.2 Equazioni

Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni verificata solo per parti-colari valori (le soluzioni) assegnati ai simboli (le incognite) in esse contenutee per cui le espressioni hanno significato.

Ecco alcuni esempi di equazioni:

3(x− 2) = x+ 4, ⇒ x = 5;

x2 − 5x = −6, ⇒ x = 2 oppure x = 3;

x3 + 11x = 6(x2 + 1) ⇒ x = 1 oppure x = 2 oppure x = 3.

2.1.3 Soluzione di un’equazione

Risolvere un’equazione significa determinare l’insieme delle soluzioni, ovve-ro l’insieme dei valori che assegnati alle variabili, soddisfano identicamen-te l’equazione. Una classificazione delle equazioni può essere fatta in baseall’esistenza e al numero delle soluzioni.

Un’equazione si dice:

• determinata se ammette un numero finito di soluzioni:

x2 − 14x+ 24 = 0, ⇒ x = 2 oppure x = 12;

• indeterminata se ammette infinite soluzioni:

x+ y = 1 ⇒ y = 1− x con x valore arbitrario, è soluzione;

44


• impossibile se non ammette soluzioni.

x2 + 1 = 0 ⇒ nessun numero reale può soddisfarla.

Nota 3 La classificazione di un’equazione in determinata, indeterminata eimpossibile dipende dall’insieme numerico in cui si cercano le soluzioni. Adesempio, l’equazione

x2 − 2 = 0

è determinata nell’insieme dei numeri reali, ma impossibile nell’insieme deinumeri razionali (perché

√2 non è un numero razionale). Così l’equazione

x2 + 1 = 0,

che è impossibile nei numeri reali, diventa determinata nell’insieme dei nu-meri complessi, dove ha soluzioni x = ±i.

2.1.4 Classificazione delle equazioni

Le equazioni si classificano anche in base alle espressioni e operazioni coin-volte:

1. equazioni algebriche in cui sono coinvolte le 4 operazioni aritmetiche el’estrazione di radice; esempi di equazioni algebriche sono:

• le equazioni polinomiali:

x3 − 3x+ 4 = 0;

• le equazioni razionali fratte:

x2 + 1

x− 2+ x3 = 0;

• le equazioni irrazionali:√x3 − 1 = 5x;

2. equazioni trascendenti in cui compaiono funzioni trascendenti; esempidi equazioni trascendenti sono:

45


• le equazioni esponenziali:

e2x+3 = 7;

• le equazioni logaritmiche:

log(x+ 1)− 1 = 0;

• le equazioni trigonometriche:

sin(x) cos2(x)− 2 sin(x) = 1.

2.2 Equazioni di primo gradoUna equazione di primo grado (o lineare) nella sua forma canonica è espressadalla scrittura:

a · x = b

dove a è detto il coefficiente, e b è il termine noto.Tre casi vanno distinti:

• a 6= 0:

x =b

aè l’unica soluzione (equazione determinata);

• a = 0, b = 0: l’equazione è indeterminata e ogni valore di x è soluzionedell’equazione;

• a = 0, b 6= 0; l’equazione è impossibile e non ha soluzioni.

Data un’equazione di primo grado non in forma canonica, per risolverlaè necessario ridurla alla sua forma canonica e risolverla discriminando i trecasi.Attraverso quali operazioni possiamo trasformare un’equazione di primo gradoin forma canonica?

Definizione 1 Due equazioni sono equivalenti se tutte le soluzioni della pri-ma equazione lo sono anche della seconda, e viceversa.

Per ridurre un’equazione lineare in forma canonica dobbiamo usare ope-razioni che non fanno perdere soluzioni e che non ne introducano di spurie.In tal modo l’equazione canonica finale è equivalente a quella di partenza ele soluzioni dell’ultima sono le soluzioni di quella originale!

46


2.2.1 Principi di equivalenza

Data una equazione, se ne ottiene una equivalente, aggiungendo o toglien-do ad entrambi i membri uno stesso numero o una stessa espressione al-gebrica contenente o no l’incognita, purché quest’ultima non compaia aldenominatore (primo principio di equivalenza).

Regola 1 Dal primo principio di equivalenza deriva la regola del trasporto.In una equazione, un termine può essere trasportato da un membro all’altropurché venga cambiato di segno. In formule:

a = b ⇔ a+ c = b+ c ∀a, b, c ∈ R,a = b ⇔ a− c = b− c ∀a, b, c ∈ R,a+ c = b ⇔ a = b− c ∀a, b, c ∈ R.

Data una equazione, se ne ha una equivalente moltiplicando o dividendoentrambi i membri per lo stesso numero (diverso da zero) o per la stessaespressione letterale diversa da zero e non contenente l’incognita (secondoprincipio di equivalenza).

Regola 2 Il secondo principio di equivalenza si traduce nelle formule:

a = b ⇔ a · c = b · c ∀a, b, c ∈ R, c 6= 0,

a = b ⇔ a

c=b

c∀a, b, c ∈ R, c 6= 0.

È quindi possibile cambiare il segno a tutti i termini dell’equazione (si-gnifica moltiplicare entrambi i membri per −1) ed eliminare dall’equazioneeventuali denominatori.

Esempio 15 Risolvere l’equazione di primo grado

3x− 5 = x− 7.

1. Aggiungere 5 ad entrambi i membri:

3x− 5 + 5 = x− 7 + 5 ⇒ 3x = x− 2;

2. aggiungere −x ad entrambi i membri:

3x− x = x− 2− x ⇒ 2x = −2;

47


3. dividere entrambi i membri per 2:

2x = −2 ⇒ x = −1.

Esempio 16 Risolvere l’equazione di primo grado

3x− 5 =x

5− 3

2.

1. Moltiplicare ambo i membri per 5 e semplificare:

5(3x− 5) = 5

(x

5− 3

2

)⇒ 15x− 25 = x− 15

2;

2. moltiplicare ambo i membri per 2 e semplificare

2(15x− 25) = 2

(x− 15

2

)⇒ 30x− 50 = 2x− 15;

3. trasportare 2x al primo membro e semplificare:

30x− 50 = 2x− 15 ⇒ 30x− 2x = 50− 15 ⇒ 28x = 35;

4. dividere entrambi i membri per 28 e semplificare la frazione dividendoper 7 (massimo comune divisore tra 35 e 28):

28x = 35 ⇒ x =35

28=

5

4.

2.3 Equazioni di secondo gradoUna equazione di secondo grado nella sua forma canonica ha la forma:

ax2 + bx+ c = 0,

dove a (coefficiente quadratico), b (coefficiente lineare), c (termine noto) sonocostanti e a 6= 0 (altrimenti non è un’equazione di secondo grado).

2.3.1 Casi particolari

• c = 0: l’equazione ax2 + bx = 0 è detta spuria;

• b = 0: l’equazione ax2 + c = 0 è detta pura.

48

2.3.2 Soluzioni dell’equazione di secondo grado

Equazione spuria

ax2 + bx = 0, ⇒ x(ax+ b) = 0;

x(ax+ b) = 0 ⇒

x = 0oppureax+ b = 0 ⇒ x = − b

a

Equazione pura

ax2 + c = 0, ⇒ x2 +c

a= 0;

x2 +c

a= 0 ⇒ x2 = − c

a⇒ x = ±

√− ca

Nota 4 Se i coefficienti a e c sono concordi (hanno cioè lo stesso segno),non ci sono soluzioni perché nessun numero reale è la radice quadrata di unnumero negativo.

Equazione completa: ax2 + bx+ c = 0

Si calcola il discriminante: ∆ = b2 − 4ac.

1. se ∆ > 0 si hanno due soluzioni reali e distinte:

x1 =−b+

√b2 − 4ac

2a, x2 =

−b−√b2 − 4ac

2a;

2. se ∆ = 0 si hanno due soluzioni reali e coincidenti:

x1 = x2 = − b

2a;

3. se ∆ < 0 le soluzioni non sono reali ma complesse e coniugate:

x1 =−b+ i

√4ac− b2

2a, x2 =

−b− i√

4ac− b22a

.

49

Esempio 173x2 − 5x+ 2 = 0

∆ = (−5)2 − 4 · 3 · 2 = 25− 24 = 1 > 0.

Le soluzioni (reali e distinte) sono:

x1 =−(−5) +

√1

6= 1, x2 =

−(−5)−√

1

6=

2

3.

Sostituendo al posto di x i valori di x1 e di x2 l’equazione è soddisfatta.

Esempio 1816x2 − 8

√3x+ 3 = 0

∆ = (−8√

3)2 − 4 · 16 · 3 = 82 · 3− 192 = 192− 192 = 0.

Le due soluzioni (reali e coincidenti) sono:

x1 = x2 =−(−8

√3)

2 · 16=

√3

4.

Esempio 19−7x2 + 4x− 3 = 0

∆ = 42 − 4 · (−7) · (−3) = 16− 84 = −68 < 0.

Le due soluzioni (complesse e coniugate) sono:

x1 =−4 + i

√68

−14=

2− i√

17

7, x2 =

−4− i√

68

−14=

2 + i√

17

7.

Nota 5 I principi di equivalenza che abbiamo illustrato prima con le equa-zioni di primo grado si applicano a tutte le equazioni.

Esempio 20 Risolvere l’equazione:

3x(x− 1) + 5 = x2 − 7x(x

2+ 3).

Moltiplichiamo ambo i membri per 2 per eliminare il denominatore:

2(3x(x− 1) + 5) = 2(x2 − 7x

(x2

+ 3))

;

Sviluppiamo i prodotti e semplifichiamo:6x2 − 6x+ 10 = 2x2 − 7x2 − 42x;

Portiamo tutti i termini a primo membro e semplifichiamo:11x2 + 36x+ 10 = 0, che è in forma canonica.

50


2.3.3 Proprietà delle soluzioni di un’equazione di secon-do grado

Sia data una generica equazione di secondo grado

ax2 + bx+ c = 0.

Se x1 e x2 denotano le sue soluzioni, allora valgono le proprietà:

x1 + x2 = − ba, x1 · x2 =

c

a.

x1 + x2 =−b+

√∆

2a+−b−

√∆

2a=−2b

2a= − b

a.

x1 · x2 =

(−b+

√∆

2a

)·

(−b−

√∆

2a

)=b2 −∆

4a2=

4ac

4a2=c

a.

Esempio 21 Assegnati due numeri x1 e x2, determinare l’equazione di se-condo grado che le possiede come soluzioni.

Soluzione.Si calcolano

s = x1 + x2, p = x1 · x2.

L’equazione di secondo grado cercata è:

x2 − sx+ p = 0.

Esempio 22 Trovare l’equazione di secondo grado le cui soluzioni sono x1 =−3 e x2 = 5

2.

s = −3 +5

2= −1

2, p = −15

2

x2 +1

2x− 15

2= 0, ⇒ 2x2 + x− 15 = 0.

Esempio 23 Trovare l’equazione di secondo grado le cui soluzioni sono x1 =√3 e x2 = 2

√3.

s = 3√

3, p = 6

x2 − 3√

3x+ 6 = 0.

51

2.3.4 Regola di Cartesio

Dalle proprietà delle soluzioni delle equazioni di secondo grado discende laRegola di Cartesio, che si applica però solo alle equazioni di secondo gradocon ∆ > 0.

Elencando nell’ordine i segni dei coefficienti a, b, c, ad ogni variazione disegno corrisponde una soluzione reale positiva, ad ogni permanenza di segnouna soluzione reale negativa.

Esempio 24 Applicazione della regola di Cartesio:

• x2 + 5x + 6 = 0, + + +: due permanenze ⇒ due soluzioninegative.

• x2+3x−6 = 0, + + −: una permanenza e una variazione ⇒una soluzione negativa e una soluzione positiva.

• −x2 + 9x− 15 = 0, − + −: due variazioni ⇒ due soluzionipositive.

2.4 DisequazioniUna disequazione nell’incognita x nella sua forma canonica può assumere unadelle seguenti forme:

f(x) > 0, oppure f(x) ≥ 0,

dove f(x) è un’espressione (algebrica o trascendente). Le corrispondentidisequazioni con i segni di < o ≤ si ottengono cambiando il segno di f(x).

Come per le equazioni, una disequazione può amettere un insieme finitodi soluzioni, o un insieme infinito di soluzioni, o nessuna soluzione.

Disequazioni non in forma canonica come

f(x) ≥ g(x)

si possono ridurre in forma canonica attraverso dei principi di equivalenza.Data una disequazione

f(x) ≥ g(x),

si haf(x)± h(x) ≥ g(x)± h(x)

52

dove h(x) è una funzione di x. Analogo discorso vale per f(x) ≤ g(x)Questa proprietà è la stessa di quella che vale per le equazioni. Ciò

significa che in una disequazione possiamo spostare termini da un membroall’altro, previo cambio di segno.

Data una disequazionef(x) ≥ g(x),

sia h(x) > 0 una funzione positiva di x; si ha

f(x) · h(x) ≥ g(x) · h(x) ef(x)

h(x)≥ g(x)

h(x).

Se invece h(x) < 0, si ha

f(x) · h(x) ≤ g(x) · h(x) ef(x)

h(x)≤ g(x)

h(x).

Questa proprietà ci dice che se moltiplichiamo ambo i membri di una di-sequazione per una quantità positiva il segno della disuguaglianza non cam-bia, mentre se moltiplichiamo ambo i membri di una disequazione per unaquantità negativa il segno della disuguaglianza si inverte.

Esempio 25 Disequazione di primo gradoRisolvere la disequazione

3x+1− x

2− 5 >

3x

5+ 4.

1. Moltiplichiamo entrambi i membri per 10 (mcm dei denominatori):

30x+ 5(1− x)− 50 > 6x+ 40, ⇒ 25x− 45 > 6x+ 40.

2. Portiamo i termini in x al primo membro e i termini noti al secondo:

25x− 6x > 45 + 40 ⇒ 19x > 85.

3. Dividiamo ambo i membri per 19: x >85

19.

Esempio 26 Disequazione di primo gradoRisolvere la disequazione

3|x|+ 1− x2− 5 >

3x

5+ 4, ⇒ 30|x|+ 5(1− x)− 50 > 6x+ 40.

53

x ≥ 0

30x+ 5(1− x)− 50 > 6x+ 40;

19x > 85 ⇒ x >85

19.

x < 0

− 30x+ 5(1− x)− 50 > 6x+ 40;

− 41x > 85 ⇒ x < −85

41.

Dunque la soluzione è:

x < −85

41oppure x >

85

19⇒ x ∈

]−∞,−85

41

[∪]

85

19,∞[.

2.4.1 Disequazioni quadratiche

Per determinare il segno di un’espressione quadratica

ax2 + bx+ c

al variare di x è sufficiente discriminare i tre casi secondo il segno di

∆ = b2 − 4ac.

Caso ∆ < 0

Se ∆ < 0 non ci sono soluzioni reali dell’equazione

ax2 + bx+ c = 0.

Dunque, l’espressione non si annulla mai. Per valori elevati di x il termineax2 ha il segno di a e in valore assoluto predomina sugli altri due termini.Dunque l’espressione ha sempre il segno di a.

Esempio 27

3x2 − 5x+ 15, ∆ = (−5)2 − 4 · 3 · 15 = −155 < 0.

3x2 − 5x+ 15 > 0, sempre, cioè ∀x ∈ R,3x2 − 5x+ 15 ≤ 0, mai.

54

Caso ∆ = 0

Se ∆ = 0 possiamo scrivere

ax2 + bx+ c = a(x− x1)2, x1 soluzione dell’equazione di secondo grado.

Dunque il segno dell’espressione è sempre quello di a tranne in x = x1 dovesi annulla.

Esempio 28

−x2 + 4x− 4 = 0, ∆ = 42 − 4 · (−1) · (−4) = 0, x1 = 2.

− x2 + 4x− 4 > 0, mai,− x2 + 4x− 4 < 0, ∀x ∈ R : x 6= 2.

Caso ∆ > 0

Se ∆ > 0 possiamo scrivere

ax2+bx+c = a(x−x1)(x−x2), x1 < x2 soluzioni dell’eq. di secondo grado.

Dunque il il segno dell’espressione è sempre quello opposto a quello di a perx1 < x < x2 e quello di a per x < x1 oppure x > x2; l’espressione si annullaper x = x1 e per x = x2.

Esempio 29

x2 − 5x+ 6 = 0, ∆ = (−5)2 − 4 · 1 · 6 = 1, x1 = 2, x3 = 3.

x2 − 5x+ 6 > 0, per x < 2 o x > 3, x ∈]−∞, 2]∪]3,∞[,

x2 − 5x+ 6 < 0, per 2 < x < 3, x ∈]2, 3[.

Esempio 30 Risolvere la disequazione

3x2 + 2x− 16

x2 + 6x+ 5< 0.

Innanzitutto deve essere x2 + 6x+ 5 6= 0, ⇒ x 6= −5, x 6= −1.

• L’equazione 3x2 + 2x− 16 = 0 ha soluzioni x1 = −83, x2 = 2.

55

• Il numeratore è positivo per valori non appartenenti all’intervallo [−83, 2]

e negativo all’interno dell’intervallo.

• Il denominatore è positivo per valori non appartenenti all’intervallo[−5,−1] e negativo all’interno dell’intervallo.

• La frazione è negativa se numeratore e denominatore hanno segni op-posti.

Dunque la soluzione è: −5 < x < −83, −1 < x < 2.

Esempio 31

• √x2 − 4

x+ 1< −3, Impossibile perché la radice è positiva.

•2

x+ 9≤ 1

x2 + 4, x < −9 oppure −1

2≤ x ≤ 1.

•−2x+ 7

9+

2x− 5

6− x ≤ 3x+ 1

2− 2, x ≥ − 2

43.

•x3 − 5x

x− 7≤ 0, −

√5 ≤ x ≤ 0 oppure

√5 ≤ x < 7.

2.5 Sistemi lineariUn sistema lineare di due equazioni in due incognite ha la forma:{

ax+ by = ca′x+ b′y = c′

dove a, b, c, a′, b′, c′ sono dei coefficienti noti, e x, y sono le incognite.Risolvere un sistema lineare significa trovare le soluzioni comuni alle due

equazioni.Un sistema lineare si dice:

• determinato se ha un numero finito di soluzioni;

• indeterminato se ha un numero infinito di soluzioni;

• impossibile se non esistono soluzioni.

56


2.5.1 Soluzione {ax+ by = ca′x+ b′y = c′

• se ab′ − a′b 6= 0, il sistema è determinato, e la soluzione (unica! ) è:

x =b′c− bc′

ab′ − a′b, y =

ac′ − a′cab′ − a′b

;

• se ab′ − a′b = 0, allora

– se esiste una costante k tale che a′x+ b′y − c′ = k(ax+ by − c) ilsistema è indeterminato (infinite soluzioni!);

– altrimenti il sistema è impossibile (nessuna soluzione!).

Nota 6 Inutile provare a ricordare la formula! Meglio usare un metodo erisolvere di volta in volta il sistema che si ha davanti.

Esistono vari metodi differenti ma equivalenti (il quarto si giustifica nel-l’ambito dell’algebra lineare):

1. metodo di sostituzione;

2. metodo del confronto;

3. metodo di riduzione;

4. metodo di Cramer.

2.5.2 Metodo di sostituzione

Si risolve un’equazione rispetto ad un’incognita e si sostituisce l’espressionetrovata nell’altra equazione.

Esempio 32 Sistema Determinato

3x+ 2y = 7, 2x− 4y = 1.

Dalla prima eq. si ricava x = 7−2y3

e si sostituisce nella seconda:

27− 2y

3− 4y = 1 ⇒ 16y = 11, ⇒ y =

11

16

57


Si usa questo valore nella prima (o nella seconda) equazione:

3x+ 211

16= 7 ⇒ 24x+ 11 = 56 ⇒ x =

45

24=

15

8.

Esempio 33 Sistema Indeterminato

2x+ y = 7, 6x+ 3y = 21.

Dalla prima eq. si ricava x = 7−y2


67− y

2+ 3y = 21 ⇒ 21− 3y + 3y = 21, ⇒ 21 = 21

La seconda equazione non dà informazioni perché è una conseguenza dellaprima. Ci sono infinite soluzioni,

x =7− y

2, y arbitrario.

Ad es.,

(x =7

2, y = 0), (x = 3, y = 1), (x = 4, y = −1) . . .

sono tutte soluzioni.

Esempio 34 Sistema Impossibile

2x+ y = 7, 6x+ 3y = 20.

Dalla prima equazione si ricava

x =7− y

2


67− y

2+ 3y = 20 ⇒ 21− 3y + 3y = 20, ⇒ 21 = 20 (?).

Siamo pervenuti ad una contraddizione: quindi non ci sono soluzioni.

58


2.5.3 Metodo del confronto

Si risolvono le due equazioni rispetto alla stessa incognita e si confrontano irisultati.

Esempio 35 {2x− 5y = 4x+ y = 1

⇒{x = 5y+4

2

x = 1− y{5y+42

= 1− yx = 1− y ⇒

{7y = −2x = 1− y ⇒

{y = −2

7

x = 1 + 27

= 97.

2.5.4 Metodo di riduzione

Si moltiplica ogni equazione per un numero in modo tale che i coefficientidi un’incognita siano uguali (a meno eventualmente del segno) nelle dueequazioni. Ognuna delle due equazioni può essere sostituita dalla somma odalla differenza delle due equazioni.

Esempio 36 {2x− 5y = 4x+ y = 1

⇒{

2x− 5y = 45x+ 5y = 5

Si “sommano” le due equazioni: 2x+ 5x = 4 + 5 ⇒ x = 97.{

2x− 5y = 4x+ y = 1

⇒{

2x− 5y = 42x+ 2y = 2

Si “sottraggono” le due equazioni: −5y − 2y = 4− 2 ⇒ y = −27.

2.5.5 Metodo di Cramer

Si usa il formalismo matriciale. Si calcolano i determinanti di 3 matrici e sieseguono due divisioni.

Esempio 37 {x− 7y = 52x+ 3y = 8

∆ =

∣∣∣∣ 1 −72 3

∣∣∣∣ = 17, ∆x =

∣∣∣∣ 5 −78 3

∣∣∣∣ = 71, ∆y =

∣∣∣∣ 1 52 8

∣∣∣∣ = −2.

59


x =∆x

∆=

71

17, y =

∆y

∆= − 2

17.

Ovviamente, deve essere ∆ 6= 0, altrimenti il sistema è indeterminato oimpossibile.

I metodi di risoluzione per i sistemi lineari di due equazioni in due inco-gnite si estendono ai sistemi lineari con più di due equazioni.

2.6 Esercizi svolti

2.6.1 Espressioni algebriche

1. L’espressione 3

√27a9b−6

x3y−3è uguale a

a) −3a3b2

3√xy

b) 3a3yx−1b−2 (∗)

c)3a3y

x−1b−2


Svolgimento. Il numero assegnato si può scrivere come segue:

3

√27a9b−6

x3y−3=

(27a9b−6

x3y−3

) 13

=(33a9b−6x−3y3

) 13 =

=(33) 1

3(a9) 1

3(b−6) 1

3(x−3) 1

3(y3) 1

3 =

= 3(3· 13)a(9· 13)b(−6·13)x(−3· 13)y(3· 13) =

= 3a3b−2x−1y ,

da cui si deduce immediatamente che la risposta esatta è la b).

2. L’espressionex+ 1

2(1− 1

3

) (x− 1

2

) +x− 1

2(13− 1) (x+ 1

2

) è uguale a

a) 0

60


b)16x

3(4x2 − 1)

c)12x

4x2 − 1(∗)


Svolgimento. Se osserviamo subito che

x+ 12(

1− 13

) (x− 1

2

) +x− 1

2(13− 1) (x+ 1

2

) =x+ 1

223

(x− 1

2

) +x− 1

2

−23

(x+ 1

2

)=

x+ 12

23

(x− 1

2

) − x− 12

23

(x+ 1

2

)si evince che il mcm dei 2 denominatori è

mcm{

2

3

(x− 1

2

),2

3

(x+

1

2

)}=

2

3

(x− 1

2

)(x+

1

2

);

e quindi si ha:

=

(x+ 1

2

)2 − (x− 12

)223

(x− 1

2

) (x+ 1

2

) =x2 + x+ 1

4−(x2 − x+ 1

4

)23

(x2 − 1

4

) =

=x2 + x+ 1

4− x2 + x− 1

423

(x2 − 1

4

) =2x

234x2−1

4

=2x

4x2−16

= 2x· 6

4x2 − 1=

12x

4x2 − 1,

da cui si evince che la riposta giusta è la c).

3. L’espressionex− a

b (x+ a)− x+ a

b (x− a)è uguale a

a) 0

b) − 4ax

b(x2 − a2)(∗)

c)2(x2 + a2)

b(x2 − a2)d) nessuna delle precedenti

61


Svolgimento. Se osserviamo subito che

mcm {b (x+ a) , b (x− a)} = b (x+ a) (x− a) ;

riducendo l’espressione assegnata si ha:

x− ab (x+ a)

− x+ a

b (x− a)=

(x− a)2 − (x+ a)2

b (x+ a) (x− a)=

=x2 − 2ax+ a2 − (x2 + 2ax+ a2)

b (x2 − a2)=

=x2 − 2ax+ a2 − x2 − 2ax− a2

b (x2 − a2)=

=−4ax

b (x2 − a2),

da cui si evince che la riposta giusta è la b).

4. L’equazione letterale x(m−1)(m−3) = −2(m−1) risulta determinataper:

a) m = 1 , m = 3

b) ogni valore di m

c) m 6= 3

d) m 6= 1 , m 6= 3 (∗)

Svolgimento. Osserviamo subito che si tratta di un’equazione di pri-mo grado nell’incognita x ∈ R, in cui è presente il parametro m ∈ R;com’è noto, affinché un’equazione di primo grado sia determinata (ov-vero, sia possibile dedurne l’unica soluzione), è necessario che si possanodividere ambo i membri dell’equazione per il coefficiente dell’incognita,e cioè (m− 1)(m− 3). Quindi, se

(m− 1)(m− 3) 6= 0 ⇔ m 6= 1 e m 6= 3

l’equazione è determinata ed ammette l’unica soluzione

x = − 2

m− 3.

62


Resta da verificare se per m = 1 e m = 3 (valori che sono stati esclusinelle precedenti considerazioni) l’equazione ammette una soluzione. Sesostituiamo m = 1 nell’equazione assegnata si ottiene l’identità

0 = 0

che è ovviamente soddisfatta per ogni valore di x ∈ R, ma che ovvia-mente non è un’equazione determinata. Se, infine, sostituiamo m = 3nell’equazione assegnata si ottiene invece

0 = −4 ,

che è evidentemente falso. Pertanto, la risposta esatta è la d).

5. L’equazione 2 +√

5− x = 0 è soddisfatta:

a) per ogni valore reale di xb) x = 9

c) x = 5

d) mai (∗)

Svolgimento. Osserviamo subito che si tratta di un’equazione irrazio-nale nell’incognita x ∈ R, che pertanto deve soddisfare la condizionedi esistenza della radice quadrata, e cioè:

5− x ≥ 0 ⇔ x ≤ 5 .

Precisiamo quindi che l’equazione non avrà mai soluzioni reali per tuttii numeri x > 5.

Per quanto riguarda i valori x ≤ 5, basta osservare che per la definizionedi radice quadrata, si può affermare che

√5− x ≥ 0 ∀x ≤ 5

e conseguentemente, sommando 2 da ambo i membri della precedentedisequazione, si ha:

2 +√

5− x ≥ 2 ∀x ≤ 5

il che esclude che l’equazione assegnata possa essere mai soddisfatta daun x ≤ 5, in quanto il numero 2 +

√5− x è un numero reale maggiore

63

o uguale a 2 e non potrà mai essere uguale a zero. Come ulterioreprecisazione, osserviamo che, se l’equazione data viene scritta isolandola radice al primo membro, e cioè

√5− x = −2

risulta evidente che il primo membro, che per le considerazioni fattesulla positività della radice è positivo per ogni x ≤ 5, non potrà maiessere uguale a −2.

2.6.2 Disequazioni

Nota 7 Per le disequazioni che coinvolgono esponenziali, logaritmi e funzio-ni trigonometriche può essere utile leggere il capitolo 4.

1. La disequazione∣∣∣∣3x+ 1

2

∣∣∣∣ < 2 è soddisfatta:

a) −5

3< x < 1 (∗)

b) per ogni valore reale di x

c) x > −5

3d) x < 1

Svolgimento. Utilizziamo innanzitutto la proprietà∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

,

ottenendo così: ∣∣∣∣3x+ 1

2

∣∣∣∣ =|3x+ 1||2|

=|3x+ 1|

2.

La disequazione diventa|3x+ 1|

2< 2

e moltiplicando ambo i membri della disequazione data per 2, si ottiene:

2 · |3x+ 1|2

< 2 · 2 , ⇔ |3x+ 1| < 4 .

64

Una volta che la disequazione è stata scritta nella precedente forma,possiamo applicare la seguente proprietà:

|a| 0

e la disequazione si può riscrivere come segue:

−4 < 3x+ 1 < 4 ,

che, sommando −1 (o, equivalentemente, sottraendo 1) a ciascun mem-bro della precedente disuguaglianza, diventa:

−4− 1 < 3x+ 1− 1 < 4− 1 , ⇔ −5 < 3x < 3 ,

e quindi, dividendo per 3 (o, equivalentemente, moltiplicando per 1/3)ciascun membro della della precedente disuguaglianza, si ottiene

−5

3<

3x

3<

3

3, ⇔ −5

3< x < 1 ,

che rappresenta l’insieme delle soluzioni della disequazione assegnata.La risposta esatta è dunque la a).

2. La disequazione2

x− 1− 1

x≤ 1

x2 − 1è soddisfatta:

a) 1 < x < 2

b) x < −1 , 0 < x < 1 (∗)c) per ogni valore reale di x

d) x < 0 , x > 1

Svolgimento. Trattandosi di una disequazione razionale fratta, laprima condizione da imporre è che tutti i denominatori siano diversi da0, ottenendo così:

x− 1 6= 0x 6= 0x2 − 1 6= 0

⇔

x 6= 1x 6= 0x2 6= 1 ⇔ x 6= ±1

⇔

x 6= 1x 6= 0x 6= −1

Ciò comporta che i valori x = 0, x = 1 e x = −1 non potranno esseresoluzioni della disequazione.

65

Sia quindi x 6= 0 e x 6= ±1. Com’è noto, per risolvere la disequazionebisogna ricondurla alla forma

p(x)

q(x)≤ 0 ,

e a tale scopo, bisogna innanzitutto determinare il mcm dei denomina-tori, x− 1, x e x2− 1. L’unica considerazione necessaria per procederealla determinazione del mcm, è relativa al termine di secondo gradox2− 1 che può essere scomposto nel prodotto di 2 fattori di primo gra-do nell’incognita x. Se osserviamo, infatti, che l’equazione x2 − 1 = 0ammette le 2 soluzioni, reali e distinte, x = 1 e x = −1, possiamoscrivere che:

x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1) ,

possiamo concludere che

mcm{x− 1, x, x2 − 1

}= x(x2 − 1) = x(x− 1)(x+ 1) .

Raccogliendo tutti i termini al primo membro

2

x− 1− 1

x− 1

x2 − 1≤ 0

e riducendo, si ha:

2x(x+ 1)− (x2 − 1)− xx(x2 − 1)

≤ 0

2x2 + 2x− x2 + 1− xx(x2 − 1)

≤ 0

x2 + x+ 1

x(x2 − 1)≤ 0 .

Studiamo, a questo punto, il segno di ciascun fattore che intervienenella frazione al primo membro:

i) x2 +x+ 1 ≥ 0 è un’equazione di secondo grado; il suo discriminanteè

∆ = b2 − 4ac = 1− 4 = −3 < 0

66

e quindi possiamo affermare che

x2 + x+ 1 > 0 ∀x ∈ R ,

il che vuol dire che il numeratore è strettamente positivo ∀x ∈ R(e non si annulla per nessun valore di x, dunque l’uguaglianzadella frazione a zero non è mai verificata).

ii) relativamente al segno del primo fattore al denominatore (che, comeabbiamo già commentato, non si può annullare) non c’è nulla daprecisare

x > 0 .

iii) relativamente al segno del secondo fattore al denominatore, osser-viamo che x2 − 1 > 0 è un’equazione di secondo grado; il suodiscriminante, come abbiamo già avuto modo di commentare èpositivo

∆ = b2 − 4ac = 4 > 0

e le soluzioni dell’equazione x2 − 1 = 0 sono x = ±1; quindipossiamo affermare che

x2 − 1 > 0 ∀x ∈ R : x < −1 , x > 1 .

Riportando lo studio del segno dei singoli fattori su un unico diagram-ma, otteniamo:

0----------|+++++++++++

-1 +1+++++|----------|+++++

e possiamo concludere che la disequazione è soddisfatta per tutti i valoriche rendono negativo il rapporto e cioè i valori della risposta b).

3. La disequazione∣∣∣∣2x+ 1

x− 3

∣∣∣∣ < 2 è soddisfatta:

a) x <5

4(∗)


67

c) x > 3

d) x < 1

Svolgimento. Trattandosi di una disequazione razionale fratta, laprima condizione da imporre è che il denominatore sia diverso da 0,ottenendo così:

x− 3 6= 0 ⇔ x 6= 3

il che implica che x = 3 non potrà essere soluzione della disequazione.

Procediamo con la risoluzione per x 6= 3. Utilizzando la proprietà giàenunciata nell’esercizio 1., e cioè

|a| 0

e la disequazione si può riscrivere come segue:

−2 <2x+ 1

x− 3< 2

che equivale al seguente sistema di 2 disequazioni razionali fratte:2x+ 1

x− 3< 2

2x+ 1

x− 3> −2

2x+ 1

x− 3− 2 < 0

2x+ 1

x− 3+ 2 > 0

2x+ 1− 2x+ 6

x− 3< 0

2x+ 1 + 2x− 6

x− 3> 0

7

x− 3< 0

4x− 5

x− 3> 0

Relativamente alla prima delle 2 disequazioni, e cioè

7

x− 3< 0 ,

il segno della frazione è dato dal segno del denominatore, che è positivoper x > 3 e negativo per x < 3. Possiamo dunque concludere chela disequazione è soddisfatta per tutti i valori che rendono negativo ilrapporto e cioè

x < 3 .

68

Procediamo quindi con la seconda delle 2 disequazioni, e cioè

4x− 5

x− 3> 0 ,

esaminando il segno del numeratore e del denominatore; il segno delnumeratore è

4x− 5 > 0 ⇔ x >5

4;

come sopra, il segno del denominatore è

x− 3 > 0 ⇔ x > 3 ;

riportando lo studio del segno su un unico diagramma, otteniamo:

5/4------|+++++++++++++++

3------------|+++++++++

e possiamo concludere che la disequazione è soddisfatta per tutti i valoriche rendono strettamente positivo il rapporto e cioè

x <5

4, x > 3 .

Dunque le due disequazioni sono soddisfatte per

x < 3

x <5

4oppure x > 3

La disequazione assegnata è soddisfatta per tutti i valori di x cheverificano entrambe le disequazioni, e cioè

x <5

4,

e la risposta esatta è dunque la a).

4. La disequazione x−√

1− x2 > 0 è soddisfatta:

a) per ogni valore reale di x

69

b)√

2

2< x ≤ 1 (∗)

c) −√

2

2< x < −

√2

2

d) mai

Svolgimento. Trattandosi di una disequazione irrazionale, bisognainnanzitutto scriverla nella forma:√

p(x) < q(x)

e quindi sfruttare la sua equivalenza con il sistema:p(x) ≥ 0q(x) > 0p(x) < [q(x)]2

Procedendo come detto, la disequazione data√

1− x2 < x

equivale al sistema:1− x2 ≥ 0x > 01− x2 < x2

x2 − 1 ≤ 0x > 02x2 − 1 > 0

−1 ≤ x ≤ 1x > 0

x < −√22, x >

√22

Le prime due disequazioni sono soddisfatte per 0 < x ≤ 1. Poiché dallaterza disequazione i valori positivi ammissibili della x devono esseremaggiori di

√22, che è minore di 1, segue che la disequazione assegnata

è soddisfatta per √2

2< x ≤ 1 ,

e la risposta esatta è dunque la b).

5. La disequazione√x+ 6 > x è soddisfatta:


b) −6 ≤ x < 3 (∗)

70

c) −2 < x < 3

d) mai

Svolgimento. Trattandosi di una disequazione irrazionale, bisognainnanzitutto scriverla nella forma:√

p(x) > q(x)

e quindi sfruttare la sua equivalenza con l’unione dei 2 sistemi:{p(x) ≥ 0q(x) < 0

∨{q(x) ≥ 0p(x) > [q(x)]2

Procedendo come detto, la disequazione data√x+ 6 > x

equivale a: {x+ 6 ≥ 0x < 0

∨{x ≥ 0x+ 6 > x2{

x ≥ −6x < 0

∨{x ≥ 0x2 − x− 6 < 0{

x ≥ −6x < 0

∨{x ≥ 0x2 − x− 6 < 0{

x ≥ −6x < 0

∨{x ≥ 0−2 < x < 3

−6 ≤ x < 0 ∨ 0 ≤ x < 3

−6 ≤ x < 3


6. La disequazione − 3√

2x− 1 < 1 è soddisfatta:


b) per x > 0 (∗)c) per x < 0

d) per x < 1

71

Svolgimento. Trattandosi di una disequazione irrazionale con indicedi radice dispari, è possibile utilizzare la proprietà:

a 0


7. La disequazione 53x−1 > 5 · 5x−1 è soddisfatta:


b) x >1

2(∗)

c) x > 2


Svolgimento. Trattandosi di una disequazione esponenziale in cui èpossibile far intervenire solo esponenziali in base 5, e cioè:

53x−1 > 5 · 5x−1 ⇔ 53x−1 > 51+x−1 ⇔ 53x−1 > 5x

possiamo sfruttare la seguente proprietà:

a 1

pertanto, otteniamo:

53x−1 > 5x ⇔ 3x− 1 > x ⇔ 2x > 1 ⇔ x >1

2


8. La disequazione 32x − 4 · 3x + 3 > 0 è soddisfatta:


b) x < 0 , x > 1 (∗)

72

c) 0 < x < 5

d) x < 1 , x > 3

Svolgimento. Trattandosi di una disequazione esponenziale in cui nonè possibile far intervenire solo esponenziali nella stessa base, procedia-mo, mediante la sostituzione 3x = t, e la considerazione che

32x = (3x)2 = t2

a scriverla sotto forma di una disequazione di secondo grado nell’inco-gnita t, e cioè:

32x − 4 · 3x + 3 > 0 ⇔ t2 − 4t+ 3 > 0 ,

che, essendo ∆ = 16− 12 = 4 > 0 , ammette le seguenti soluzioni:

t < 1 , t > 3

che nell’incognita originale x diventano:

3x < 1 , 3x > 3 , ⇔ 3x < 30 , 3x > 31

possiamo sfruttare la proprietà dell’esercizio precedente:

a 1

otteniamo così le soluzioni:

x < 0 , x > 1


9. La disequazioneex

2x + 3−x≤ 0 è soddisfatta:

a) per ogni valore reale di

b) mai (∗)c) per x ≥ 0

d) per x ≤ 0

73


Svolgimento. Trattandosi di una disequazione fratta, la prima condi-zione da imporre è che il denominatore sia diverso da 0, ottenendo cosìla condizione:

2x + 3−x 6= 0 ⇔ 2x 6= −3−x ,

che è verificata per ogni x ∈ R per la proprietà

ax > 0 ∀ a, x ∈ R , a > 0 .

A questo punto, possiamo occuparci dello studio del segno del nume-ratore e del denominatore della frazione; relativamente al numeratore,per la suddetta proprietà, possiamo affermare che:

ex > 0 ∀x ∈ R ,

cioè che il numeratore è strettamente positivo per ogni x ∈ R; perquanto riguarda il segno del denominatore, e cioè

2x + 3−x > 0 ,

possiamo affermare che tale disuguaglianza risulta essere verificata,sempre per la suddetta proprietà, in quanto, essendo

2x > 0 ∀x ∈ R ,

e3−x > 0 ∀x ∈ R ,

la somma di 2 numeri strettamente positivi è anch’essa strettamentepositiva. Possiamo concludere che la frazione al primo membro del-la disequazione data è senz’altro un numero strettamente positivo, inquanto rapporto di 2 numeri positivi, cioè

ex

2x + 3−x> 0

e dunque la disequazione assegnata non è mai verificata e la rispostaesatta è la b).

10. La disequazione 4− cos2 x > 0 è soddisfatta:

a) per ogni valore reale di x (∗)

74

b)π

4< x <

3

4π ,

5

4π < x <

7

4π

c) 0 < x <π

4,

3

4π < x <

5

4π ,

7

4π < x < 2π

d) 0 < x < 2π

Svolgimento. Tale disequazione trigonometrica, si risolve immediata-mente se si sfrutta la seguente proprietà:

−1 ≤ cosx ≤ 1 ⇔ 0 ≤ cos2 x ≤ 1 ∀x ∈ R .

Se osserviamo che

0 ≤ cos2 x ≤ 1 ∀x ∈ R ⇔ −1 ≤ cos2 x ≤ 0 ∀x ∈ R

e che sommando 4 ad ambo i membri dell’ultima disuguaglianza

4−1 ≤ 4−cos2 x ≤ 4+0 ∀x ∈ R ⇔ 3 ≤ 4−cos2 x ≤ 4 ∀x ∈ R ,

risulta evidente che il numero 4− cos2 x, in quanto compreso tra 3 e 4,è positivo per ogni x ∈ R e la risposta esatta è la a).

11. La disequazione sinx− cos2 x+ 1 > 0 è soddisfatta:


b) 0 < x <π

2

c) π < x < 2π

d) 0 < x < π (∗)

Svolgimento. Si tratta di una disequazione trigonometrica che è pos-sibile trasformare in una disequazione di secondo grado mediante uncambiamento di variabile; se si tiene conto della relazione fondamentaledella trigonometria:

cos2 x+ sin2 x = 1 , ∀x ∈ R ,

da cui si ricava che:

cos2 x = 1− sin2 x , ∀x ∈ R ,

75

la disequazione data

sinx− cos2 x+ 1 > 0

si riscrive come segue:

sinx−(1− sin2 x

)+ 1 > 0 ,

sinx− 1 + sin2 x+ 1 > 0 ,

sin2 x+ sinx > 0 .

La disequazione ottenuta si può scrivere sotto forma di una disequazio-ne di secondo grado mediante la posizione

sinx = t ,

da cuisin2 x = t2 ,

e quindi, si ottiene la seguente disequazione di secondo grado nell’inco-gnita t:

t2 + t > 0 ,

le cui soluzioni sono:

t < −1 , ∨ t > 0 ,

che riscritte nell’incognita originaria x diventano:

sinx < −1 , ∨ sinx > 0 .

La prima delle 2 disequazioni, sinx < −1, è sempre falsa perché incontrasto con la ben nota proprietà:

−1 ≤ sinx ≤ 1 , x ∈ R ,

quindi non ammette soluzioni. Relativamente all’intervallo [0, 2π], laseconda delle 2 disequazioni, sinx > 0, è verificata

0 < x < π .

Le soluzioni della disequazione data si ottengono dall’unione delle so-luzioni delle 2 disequazioni appena esaminate, e cioè

0 < x < π ;

pertanto, la risposta esatta è la d).

76

12. La disequazione sinx > cosx è soddisfatta:

a) per ogni valore reale di xb) maic) 0 < x < π , π < x < 2π

d)π

4< x <

5π

4(∗)

Svolgimento. Si tratta di una disequazione trigonometrica per la cuirisoluzione è conveniente raccogliere i termini ad uno dei due membrie scriverli sotto forma di prodotto. Se infatti passiamo tutto al primomembro, la disequazione può essere scritta nella seguente forma equi-valente supponendo cosx 6= 0, e quindi x 6= π/2 + kπ, k ∈ Z (cioè,relativamente all’intervallo [0, 2π], x 6= π/2 e x 6= 3π/2)

sinx− cosx > 0 ⇔ cosx

(sinx

cosx− 1

)> 0 ⇔ cosx (tanx− 1) > 0

e le soluzioni della disequazione data saranno i valori di x ∈ R cherendono strettamente positivo il prodotto dei 2 fattori, cosx e tanx−1;studiando il segno del primo fattore, e cioè:

cosx > 0 ,

relativamente all’intervallo [0, 2π], deve essere:

0 ≤ x <π

2∨ 3

2π < x ≤ 2π ;

studiando il segno del secondo fattore, e cioè:

tanx− 1 > 0 ⇔ tanx > 1 ,

relativamente all’intervallo [0, 2π], deve essere:

π

4< x <

π

2∨ 5

4π < x <

3

2π .

Riportando, infine, le soluzioni delle 2 disequazioni su un unico dia-gramma, otteniamo il seguente schema dei segni dei 2 fattori:

0 π2

32π 2π

+ + + + + + −−−−−− −−− + + + + ++−−− + + + −−−−−− + + + −−−−−−0 π

4π2

54π 3

2π 2π

77

e possiamo concludere che la disequazione assegnata è soddisfatta pertutti i valori di x, x 6= π/2 e x 6= 3π/2, che rendono positivo il prodottodei 2 fattori, e cioè

π

4< x <

π

2∨ π

2< x <

5

4π .

Per concludere la risoluzione, è necessario studiare i 2 valori esclusi dalmetodo risolutivo utilizzato, e cioè x = π/2 e x = 3π/2. Sostituendox = π/2 nella disequazione originale, si ha:

sinπ

2> cos

π

2⇔ 1 > 0 ,

che è vera, e quindi anche x = π/2 è una soluzione della disequazione;sostituendo, invece, x = 3π/2 nella disequazione originale, si ha:

sin3

2π > cos

3

2π ⇔ −1 > 0 ,

che è falsa, e quindi x = 3π/2 non è una soluzione della disequazio-ne. Dall’unione delle soluzioni trovate, si ottiene che la disequazione èsoddisfatta per

π

4< x <

5

4π ,

e la risposta esatta è dunque la d).

2.6.3 Sistemi lineari

1. Le soluzioni del sistema

x+ 2y = 0y + z = 0x+ 2y + z = 1

sono:

a) nessuna soluzione

b) x = −2 , y = 1 , z = 5

c) x = 0 , y = 1 , z = 0

d) x = 2 , y = −1 z = 1 (∗)

Svolgimento. Procediamo con il metodo di sostituzione, utilizzandola prima equazione per esplicitare l’incognita x in funzione di y e la

78


seconda equazione per esplicitare l’incognita z sempre in funzione di y;si ottiene così il sistema

x = −2yz = −yx+ 2y + z = 1

sostituendo le prime 2 equazioni nella terza, si ha:x = −2yz = −y(−2y) + 2y + (−y) = 1

⇔

x = −2yz = −y−2y + 2y − y = 1

⇔

x = −2yz = −y−y = 1

⇔

x = −2yz = −yy = −1

⇔

x = −2(−1)z = −(−1)y = −1

⇔

x = 2z = 1y = −1



2.7.1 Espressioni algebriche

• L’espressionex+ 1

2 (x− 1)− x− 1

3 (x+ 1)è uguale a

a) 1/6

b)2x

3(x2 − 1)

c)x2 + 10x+ 1

6(x2 − 1)(∗)


• L’espressionex− 1(

1− 12

)(x+ 1)

− x+ 1(12− 1)

(x− 1)è uguale a

a) 0

b) − 8x

4x2 − 1

79

c) 4x2 + 1

x2 − 1(∗)


• L’espressionex− a

b (x+ a)+

x+ a

b (x− a)è uguale a

a) 0

b) − 4ax

b(x2 − a2)

c)2(x2 + a2)

b(x2 − a2)(∗)


2.7.2 Disequazioni

• La disequazione |2x− 5| < 7 è soddisfatta:


b) x < 1 , x > 3

c) x > 0

d) −1 < x < 6 (∗)

• La disequazione1

x≤ x è soddisfatta:

a) per ogni valore reale di x 6= 0

b) mai

c) per −1 ≤ x < 0, x ≥ 1 (∗)d) per −1 ≤ x ≤ 1, con x 6= 0


x− 3≥ x

3− xè soddisfatta:


b) x ≤ −2 , x > 3 (∗)c) x ≥ −2

80

d) mai


x− 1≤ 1

x2 − 1è soddisfatta:

a) x < −1 , −1

2≤ x < 1 (∗)

b) −1 < x ≤ −1

2, x > 1

c) per ogni valore reale di x

d) x ≤ −1

2

• La disequazione 1− 1

2x+ 3>

2x− 7

4x2 − 9è soddisfatta:

a) per ogni valore reale di x 6= 1

2

b) x < −3

2, x >

3

2(∗)

c) 1 < x < 4

d) x < 1 , x > 3

• La disequazionex− 2

x− 1<

x

x+ 1è soddisfatta:


b) mai

c) x < −1 , x > 1 (∗)

d) x >1

2

• La disequazione√−x2 − 5x+ 2 ≥ 1 è soddisfatta:


b) per −5 ≤ x ≤ 0 (∗)

c) per −5 ≤ x ≤ −5−√

21

2d) mai

81

• La disequazione√x2 − 1 > −

√8 è soddisfatta:


b) x ≤ −1 , x ≥ 1 (∗)c) −3 < x < 3

d) mai

• La disequazione 2−x2+x <

1

64è soddisfatta:

a) x ≤ 0

b) x < −2 , x > 3 (∗)c) x ≥ 0

d) −2 < x < 3

• La disequazione 32x−1 > 3 · 31−x è soddisfatta:


b) x >1

2c) x > 1 (∗)d) nessuna delle precedenti

2.7.3 Sistemi lineari

• Le soluzioni del sistema{x− 2y = 33x− y = 4

sono:

a) nessuna soluzione

b) x = −1 , y = 1

c) x = 1 , y = −1 (∗)d) x = 2 , y = −2

• Le soluzioni del sistema

3x+ y = 02x− z = 0x+ 2y + z = 3

sono:

a) x = 0 , y = 1 , z = 0

82


b) x = 1 , y = −3 , z = 2

c) x = −1 , y = 3 z = −2 (∗)d) nessuna soluzione

• Le soluzioni del sistema {2x+ 3y = 123x− y = 7

sono:

a) x = 3 , y = 2 (∗)b) x = 0 , y = 1

c) x = 3 , y = 1

d) nessuna soluzione

• Le soluzioni del sistema

2x− z = 0x− y + 3z = 1x+ 2y = 3

sono:

a) x = 1 , y = 6 , z = 2

b) x = 0 , y = 1 , z = 0

c) x =1

3, y =

4

3z =

2

3(∗)

d) nessuna soluzione

83


84

Capitolo 3


Geometria del Piano — Perimetri e Aree di Figure Piane —Superfici e Volumi di Solidi — Geometria Analitica

3.1 Matematica: concetti primitivi

Anche in Matematica da qualche parte bisogna pur partire! I punti di parten-za sono i cosiddetti concetti primitivi, cioè i concetti che non sono suscettibilidi una definizione che non sia circolare (cioè una definizione che di fatto de-finisce un oggetto usando dei sinonimi). Se ne fissano soltanto le proprietàelencando i cosiddetti assiomi o postulati. Per la Geometria è tradizioneriferirsi agli Elementi di Euclide.

3.2 Gli Elementi di Euclide (Στoιχεια)

3.2.1 Nozioni comuni

1. Cose uguali a un’altra medesima sono tra loro uguali.

2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono coseuguali.

3. Se da cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.

85


4. Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sonouguali tra loro.

5. Il tutto è maggiore della parte.

3.2.2 Definizioni

1. Un punto è ciò che non ha parti.

2. Una linea è una lunghezza senza larghezza.

3. Gli estremi di una linea sono punti.

4. Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.

5. Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.

6. Gli estremi di una superficie sono linee.

7. Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rettesu di essa.

8. Un angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano lequali si incontrino e non giacciano in linea retta.

9. Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo è dettorettilineo.

10. Quando una retta innalzata a partire da un’altra retta forma con essaangoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto, e laretta si dice perpendicolare a quella su cui è innalzata.

11. Dicesi angolo ottuso l’angolo maggiore di un angolo retto.

12. Dicesi acuto l’angolo minore di un angolo retto.

13. Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa.

14. Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini.

15. Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un’unica linea tale chetutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo puntofra quelli interni alla figura, siano uguali fra loro.

86


16. Quel punto si chiama centro del cerchio.

17. Dicesi diametro del cerchio una retta condotta per il centro e terminatada ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, la quale retta tagliaanche il cerchio per metà.

18. Dicesi semicerchio la figura compresa dal diametro e dalla circonferenzada esso tagliata. E centro del semicerchio è quello stesso che è anchecentro del cerchio.

19. Si dicono rettilinee le figure delimitate da rette, vale a dire: figuretrilatere quelle comprese da tre rette, quadrilatere quelle comprese daquattro rette e multilatere quelle comprese da più di quattro rette.

20. Dicesi triangolo equilatero la figura trilatera che ha i tre lati uguali,triangolo isoscele quella che ha soltanto due lati uguali, e scaleno quellache ha i tre lati disuguali.

21. Dicesi inoltre triangolo rettangolo la figura trilatera che ha un angoloretto, triangolo ottusangolo quella che ha un angolo ottuso, e triangoloacutangolo quella che ha i tre angoli acuti.

22. Dicesi quadrato la figura quadrilatera che ha i lati uguali e gli angoliretti.

23. Diconsi parallele rette giacenti nello stesso piano che, prolungate il-limitatamente in entrambe le direzioni, non si incontrino fra loro danessuna delle due parti.

3.2.3 Postulati

1. È possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altropunto.

2. È possibile prolungare illimitatamente una retta finita in linea retta.

3. È possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza (raggio)qualsiasi.

4. Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro.

87


5. Se (in un piano) una retta, intersecando due altre rette, forma conesse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma minore di dueangoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finisconocon l’incontrarsi dalla parte detta.

3.3 Figure pianeUna figura i cui punti appartengono tutti ad un piano si dice figura piana.Nel caso contrario si parla di figura solida.

3.3.1 Poligonali

Consideriamo dei punti nel piano e congiungiamoli con dei segmenti a due adue consecutivi: otteniamo una poligonale o spezzata.

Spezzata Spezzata Spezzata Spezzatachiusa aperta non intrecciata intrecciata

3.3.2 Poligono

Si chiama poligono la figura formata da una spezzata chiusa non intrecciatae dalla parte finita di piano da essa limitata.

I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono.Un poligono ha sempre un ugual numero di lati, di vertici e di angoli. Talenumero dà il nome al poligono:

• 3 angoli → triangolo;

• 4 angoli → quadrangolo;

• 5 angoli → pentagono;

• 6 angoli → esagono;

• 10 angoli → decagono;

88


• 15 angoli → pentadecagono;

• n angoli → n–agono;

Il triangolo è una figura piana che ha tre angoli e tre lati.

Proprietà 1 La somma degli angoli interni di un triangolo è pari ad unangolo piatto (1800 o π radianti).

Si distinguono i triangoli in:

• ISOSCELI, se due dei tre lati sono uguali (più esattamente: congruen-ti);

• EQUILATERI, se tutti e tre i lati sono uguali;

• SCALENI, se i tre lati sono tutti di lunghezza diversa.

• RETTANGOLI, se un angolo è retto (900, o, più propriamente, π2

radianti).

• ACUTANGOLI, se tutti gli angoli sono acuti (minori di 900);

• OTTUSANGOLI, se un angolo è ottuso (maggiore di 900);

89


3.3.3 Punti notevoli di un triangolo

• Circoncentro: punto d’intersezione degli assi;

• Ortocentro: punto d’intersezione delle altezze;

• Incentro: punto d’intersezione delle bisettrici;

• Baricentro: punto d’intersezione delle mediane;

• Excentri : centri delle circonferenze tangenti esternamente ad un latoed ai prolungamenti degli altri due lati.

Nota 8 Nel triangolo equilatero tutti questi punti coincidono.

• Le altezze partono da un angolo e cadono perpendicolarmente (forman-do 2 angoli retti) sul lato opposto.

• Le mediane partono da un angolo e cadono nel punto medio (ossia ametà) del lato opposto.

• Le bisettrici dividono in 2 parti congruenti l’angolo da cui partono.

• Gli assi partono dal punto medio di un segmento perpendicolarmenteal segmento stesso.

3.3.4 Triangoli simili

Se due triangoli hanno lati corrispondenti proporzionali ed angoli ordinata-mente uguali, essi sono simili.

Criteri di Similitudine

• Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente uguali;

• Due triangoli sono simili se hanno un angolo uguale compreso fra latiproporzionali;

• Due triangoli sono simili se hanno i tre lati ordinatamente proporzio-nali.

90


Corollari

• Tutti i triangoli equilateri sono simili fra loro;

• Due triangoli isosceli sono simili se hanno l’angolo al vertice uguale

• Due triangoli rettangoli sono simili se hanno un angolo acuto rispetti-vamente uguale, o quando i cateti dell’uno sono proporzionali a quellidell’altro.

Nota 9 In un triangolo qualsiasi c’è al massimo un angolo retto. In untriangolo qualsiasi c’è al massimo un angolo ottuso.

Questi fatti sono conseguenza del fatto che la somma degli angoli internidi un triangolo è un angolo piatto.

3.3.5 Quadrilateri

I quadrilateri sono figure con quattro lati e quattro angoli.

Proprietà

• La somma degli angoli interni è di 360◦ (2π radianti); in generale lasomma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piattiquanti sono i lati diminuiti di 2;

• Le diagonali di un quadrilatero, ovvero i segmenti che uniscono duevertici non consecutivi, sono sempre due.

Classi particolari di quadrilateri sono:

• i trapezi: quadrilateri con due lati paralleli;

91


• i parallelogrammi: quadrilateri dove i lati opposti sono paralleli;

• i rettangoli: quadrilateri che hanno tutti gli angoli retti;

• i rombi: quadrilateri che hanno tutti i lati uguali e quelli opposti sonoparalleli, in effetti esso risulta essere un particolare parallelogrammacon i lati uguali;

• i quadrati: quadrilateri che sono ROMBI e RETTANGOLI contempo-raneamente.

3.3.6 Poligoni regolari

Un poligono regolare è un poligono in cui tutti i lati e tutti gli angoli sonouguali.

In pratica i poligoni regolari sono: equilateri ed equiangoli.Un poligono può essere equilatero senza essere equiangolo e viceversa.

• il rombo è equilatero ma non è equiangolo;

• il rettangolo è equiangolo ma non è equilatero.

Poligoni regolari: esempi

• triangolo equilatero;

• quadrato;

• pentagono regolare;

• esagono regolare;

• . . .

Esistono infiniti poligoni regolari.

92


Ad ogni poligono regolare si può inscrivere e circoscrivere una circonfe-renza. Le due circonferenze hanno lo stesso centro.

3.3.7 Circonferenza

Si chiama circonferenza il luogo geometrico dei punti P di un piano che sonoequidistanti da un punto prefissato, C, detto centro.

1. La distanza tra ogni punto della circonferenza e il suo centro si chiamaraggio;

2. Ogni segmento che congiunge due punti distinti della circonferenza sichiama corda;

3. Una qualsiasi corda passante per il centro si chiama diametro.

93


4. In una circonferenza una qualunque corda non passante per il centro èminore del diametro;

5. Se indichiamo conH il piede della perpendicolare condotta dal centro Cdi una circonferenza ad una corda AB della stessa circonferenza alloratale perpendicolare dimezza la corda;

6. Se due corde appartenenti alla stessa circonferenza sono isometriche(cioè, hanno la stessa lunghezza) allora esse sono equidistanti dal centrodella circonferenza;

7. Se due corde sono equidistanti dal centro della circonferenza allora talicorde sono isometriche.

Teorema 2 Ogni angolo alla circonferenza è uguale alla metà del corrispon-dente angolo al centro.

Corollari

• Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettan-golo, la cui ipotenusa coincide con il diametro della semicirconferenza;

• Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco, o suarchi isometrici, sono uguali fra loro.

94


3.3.8 Perimetro e area di figure piane

Ad ogni figura piana si possono associare due valori numerici:

• perimetro, che è pari alla somma delle misure dei lati della figura piana;

• area, che è la misura della superficie occupata dalla figura piana.

95


3.3.9 Teoremi notevoli sui triangoli rettangoli

Primo Teorema di Euclide

In ogni triangolo rettangolo il quadrato avente come lato uno dei cateti èequivalente (ha la stessa area) al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusae la proiezione del predetto cateto sull’ipotenusa.

Teorema di Pitagora

In ogni triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa èequivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

96


Nell’enunciato del teorema di Pitagora, i quadrati possono essere sostituitida altre figure, come ad esempio triangoli, esagoni, o anche figure irregolari,purché simili tra loro.

Le figure simili sono quelle che differiscono solo per grandezza, ma non performa. In altre parole, due figure simili sono l’una l’ingrandimento dell’altra.

Secondo Teorema di Euclide

In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’i-potenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni deicateti sull’ipotenusa.

97


3.4 Solidi

Esempi di solidi sono: Prisma, Parallelepipedo, Piramide, Cilindro, Cono,Sfera, Poliedri Regolari.

Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolaritutti uguali e i suoi angoloidi sono tutti uguali fra di loro.

A differenza dei poligoni regolari, che sono infiniti, esistono solo 5 poliedriregolari, che sono i cosiddetti solidi platonici.

• Tetraedro regolare: 4 facce triangolari;

• Ottaedro regolare: 8 facce triangolari;

• Icosaedro regolare: 20 facce triangolari;

• Esaedro regolare o cubo: 6 facce quadrate;

• Dodecaedro regolare: 12 facce pentagonali.

98


Volume di solidi elementari

Il volume o capacità è la misura dello spazio occupato da un corpo.

Formule

• Volume del Cubo: V = s3, dove s è la lunghezza dei lati;

• Volume del Prisma retto a base rettangolare: V = a · b · c dove a, b,c sono rispettivamente lunghezza, larghezza e altezza del Prisma; peri prismi generici il volume V = Abh, dove Ab indica l’area di base e hl’altezza;

• Volume del Cono di raggio r e altezza h: V = 13πr2h;

• Volume della Sfera di raggio r: V = 43π · r3;

• Volume della Piramide V = 13A·h, dove A è l’area di base ed h l’altezza.

3.5 Piano cartesiano

• Prendiamo nel piano due rette orientate (asse x e asse y) tra di loroperpendicolari e indichiamo con O il loro punto di intersezione;

• Fissiamo una unità di misura u.

99


Tale piano viene detto Piano Cartesiano Ortogonale.

• Un punto qualsiasi P del piano sarà individuato da due numeri (x1, y1):

– x1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dalpunto di intersezione tra la perpendicolare passante per P all’assex e l’asse x stesso;

– y1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dalpunto di intersezione tra la perpendicolare passante per P all’assey e l’asse y stesso;

• I numeri reali x1, y1 sono le coordinate cartesiane del punto P (rispet-tivamente: ascissa e ordinata del punto P );

• I due assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti (Il primoquadrante è quello dei punti con entrambe le coordinate positive; glialtri nell’ordine si susseguono ruotando in senso antiorario).

3.5.1 Distanza tra due punti

Considerati due punti P≡ (x1, y1) e Q≡ (x2, y2), per determinare la distanzafra due punti si ha la seguente formula che deriva dal Teorema di Pitagora:

d =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

vale a dire:In coordinate ortogonali la distanza di due punti è data dalla radice quadratadella somma dei quadrati delle differenze tra le coordinate omologhe.

100


La distanza di un punto P≡ (x1, y1) dall’origine è data da

OP =√x21 + y21

cioè è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle coordinate.

3.5.2 Retta

• La retta o linea retta è uno degli enti geometrici fondamentali dellageometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi comeun concetto primitivo.

• La retta è illimitata in entrambe le direzioni, cioè infinita.

• Due rette nel piano possono essere:

– incidenti se si intersecano (in uno e un solo punto);

– parallele se non si intersecano (nella geometria proiettiva si diconoche si incontrano all’infinito, cioè, scherzando, quando non glienefrega più niente).

• Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette;

• Per due punti passa una e una sola retta.

Equazione della retta

Ogni retta è rappresentata da una equazione di primo grado in due variabili:x e y.

101


• Equazione della retta in forma implicita

ax+ by + c = 0

dove i coefficienti a, b e c sono dei numeri reali fissati, con a e b noncontemporaneamente nulli.

• Se b 6= 0 oppure a 6= 0 , è possibile descrivere la stessa retta in formaesplicita rispettivamente in una delle due forme seguenti:

y = mx+ q, oppure x = m′y + q′,

dovem = −a

b, m′ = − b

a

è il coefficiente angolare (rispetto all’asse x o all’asse y) e quantifica lapendenza della retta.

Nell’eq. y = mx+ q il coefficiente angolare mè la tangente trigonometrica dell’angolo chela retta forma con il semiasse positivo dellex. Il coefficiente q (l’intercetta) l’ordinata delpunto di intersezione con l’asse y.

Retta: Esempi

Consideriamo la rettay = x− 1.

Tutti i punti di questa retta godono di avere per coordinate le coppie dinumeri

(x, x− 1), per ogni scelta di x.

Cioè, coppie di numeri che, sostituiti ordinatamente al posto delle variabilix e y nell’equazione, soddisfano l’equazione stessa.

102

Retta: Proprietà

Assegnata quindi una retta

ax+ by + c = 0

i punti del piano cartesiano rimangono suddivisi in 3 insiemi, per semplicitàchiamiamoli A, B, C, che sono rispettivamente

•A = {P ≡ (x, y) : ax+ by + c = 0}

•B = {P ≡ (x, y) : ax+ by + c > 0}

•C = {P ≡ (x, y) : ax+ by + c < 0}

Retta per due punti

Dati due punti di coordinate (x1, y1) (x2, y2), per essi passa una ed una solaretta!L’equazione della retta passante per essi è:

x− x1x2 − x1

=y − y1y2 − y1

.

Questa formula rappresenta il modo più pratico per scrivere l’equazione dellaretta, non parallela ad alcun asse coordinato, passante per i punti suddetti.

Parallelismo e ortogonalità tra rette

Date due rette, r, di equazione y = mx+ p, ed r′, di equazione y = m′x+ p′,allora

• condizione di parallelismo: m = m′;

• condizione di perpendicolarità m ·m′ = −1.

103


Esempio 38 Data la retta r di equazione

ax+ by + c = 0,

e un punto P ≡ (x0, y0), la retta r′ di equazione

b(x− x0)− a(y − y0) = 0,

è perpendicolare alla retta r e passa per P .Infatti:

• l’equazione della retta r′ è identicamente soddisfatta per x = x0 e y =y0;

• è perpendicolare alla retta r in quanto il prodotto dei rispettivi coeffi-cienti angolari è −1.

Fascio di rette

Tutte le rette passanti per un punto P ≡ (x0, y0) (fascio di rette) hannoequazione

y − y0 = m(x− x0).

Intersezione tra due rette

Date due rette, di equazione

ax+ by + c = 0, a′x+ b′y + c′ = 0

che non sono parallele (il che analiticamente corrisponde alla condizione a ·b′ − a′ · b 6= 0), il loro punto di intersezione si trova risolvendo il sistemalineare

ax+ by + c = 0, a′x+ b′y + c′ = 0,

che è determinato e ha un’unica soluzione.Nel caso di rette parallele si ha un sistema indeterminato (le due equazioni

identificano la stessa retta) o impossibile (le due equazioni identificano duerette parallele ma distinte).

104


Rette: casi particolari

• Retta parallela all’asse delle ordinate

x = k, (per k = 0 si ha l’asse y)

• Retta parallela all’asse delle ascisse

y = k, (per k = 0 si ha l’asse x)

Retta passante per l’origine

y = mx;

• se m = 1, si ha la bisettrice del primo e terzo quadrante;

• se m = −1, si ha la bisettrice del secondo e quarto quadrante.

Distanza di un punto dalla retta

Preso un punto P ≡ (x0, y0), e una retta r di equazione ax + by + c = 0, ladistanza di P da r è la distanza tra il punto P e l’intersezione tra la retta re la perpendicolare alla retta r passante per il punto P . In formule:

d(P, r) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2.

La formula si ricava con i seguenti passi:

105


• si scrive l’equazione della retta passante per P e perpendicolare allaretta r:

b(x− x0)− a(y − y0) = 0;

• si determina il punto Q di intersezione tra questa retta e la retta r;

• si calcola la distanza tra P e Q.

Esempio 39 Calcolare perimetro e area dei triangoli di vertici:

• A ≡ (3,−5), B ≡ (3, 4), C ≡ (−1, 7);

• A ≡ (2, 3), B ≡ (1, 0), C ≡ (0, 1);

• A ≡ (−1, 4), B ≡ (−1, 0), C ≡ (3, 0).

È sufficiente calcolare la distanza tra A e B (base) e la distanza tra C e laretta passante per A e B (altezza). Il semiprodotto di base e altezza forniscel’area. Trovando la distanza tra B e C, e la distanza tra A e C possiamocalcolare il perimetro.Noto il perimetro, potremmo calcolare l’area con la formula di Erone:

A =√p(p− a)(p− b)(p− c),

dove p è il semiperimetro, e a, b, c i tre lati.

Esempio 40 Determinare il valore di k per cui, dati i punti A ≡ (2k −1, 3k − 5) e B ≡ (k − 2, 2k − 6), sia AB = 2

√2

Si ha:AB =

√(xB − xA)2 + (yB − yA)2

=√

(k − 2− 2k + 1)2 + (2k − 6− 3k + 5)2

=√

(k + 1)2 + (k + 1)2 = |k + 1|√

2.

Dovendo essere:

|k + 1|√

2 = 2√

2⇒ |k + 1| = 2⇒ k + 1 = ±2⇒ k = 1 o k = −3.

106


Baricentro di un triangolo

Le cordinate del baricentro di un triangolo sono date dalle medie aritmetichedelle rispettive coordinate dei suoi tre vertici.

Esempio 41 Determinare le coordinate del baricentro G del triangolo OABdi vertici O ≡ (0, 0), A ≡ (3, 2), B ≡ (6,−4)

Le coordinate del baricentro sono date da:

xG =0 + 3 + 6

3, yG =

0 + 2− 4

3⇓

G ≡ (3,−2

3)

Esempio 42 Determinare il coefficiente angolare delle rette passanti per ipunti:

• A = (2,−34), B = (1

2, 58);

• A = (−5, 4), B = (1, 4);

• A = (1,−3), B = (1, 1);

Il coefficiente angolare di una retta passante per i punti A = (x1, y1) eA = (x2, y2) è dato da:

m =y2 − y1x2 − x1

purché x1 6= x2. Si ha quindi, per la prima coppia di punti:

m =58

+ 34

12− 2

=118

−32

= −11

12.

. . . al resto pensateci voi!

3.5.3 Circonferenza

L’equazione di una circonferenza di centro C ≡ (x0, y0) e raggio r è

(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2,

che traduce analiticamente che i punti di coordinate (x, y) della circonferenzahanno distanza pari a r dal centro C ≡ (x0, y0).

107

Intersezione di una circonferenza e una retta

L’intersezione tra una circonferenza e una retta si studia determinando lesoluzioni del sistema

(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2,

ax+ by + c = 0.

Le soluzioni di questo sistema si trovano risolvendo l’equazione dellaretta rispetto ad x oppure rispetto ad y e sostituendo nell’equazione dellacirconferenza. Ad es., sostituendo

y = −abx− c

b

nell’equazione della circonferenza, si trova un’equazione di secondo grado inx. Se per questa equazione risulta:

• ∆ > 0: ci sono due soluzioni distinte di x che sono le ascisse dei puntidi intersezione; si calcolano poi i corrispondenti valori di y; la rettainterseca la circonferenza in due punti (retta secante);

• ∆ = 0: ci sono due soluzioni coincidenti di x cui corrispondono duevalori uguali di y; la retta è tangente alla circonferenza;

• ∆ < 0: non ci sono soluzioni reali per x; la retta è esterna.

Determinare le intersezioni (se esistono) tra:

1. Retta 3x+ 2y − 1 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (0, 0) e raggio 1.

2. Retta y = 1 e circonferenza di centro C ≡ (1, 0) e raggio 1.

3. Retta 5x+ 4y − 20 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (1, 1) e raggio 12.

1.

(3− 4

√3

13,2 + 6

√3

13

),

(3 + 4

√3

13,2− 6

√3

13

)(retta secante).

2. Una sola intersezione, (1, 1) (retta tangente).

3. Non ci sono intersezioni (retta esterna).

108


3.5.4 Parabola

La parabola è il luogo dei punti del piano equidistante da una retta fissa dettadirettrice e da un punto fisso detto fuoco non appartenente alla direttrice.

La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice è l’asse disimmetria della parabola. Il punto di intersezione tra la parabola e l’asse disimmetria è il vertice della parabola, ed è il punto medio tra il fuoco e la suaproiezione ortogonale sulla direttrice.

In un piano cartesiano, scegliendo gli assi in maniera che la direttricecoincida con l’asse x, e quindi la direttrice è caratterizzata dall’equazione

y = 0,

e l’asse y passi per il fuoco, e quindi ha coordinate (0, f) (f 6= 0), l’equazionedella parabola diventa:

y =x2

2f+f

2.

In generale, una parabola ad asse verticale (non necessariamente coincidentecon l’asse y) ha equazione

y = ax2 + bx+ c, a, b, c ∈ R, a 6= 0.

Le coordinate del vertice sono(− b

2a,4ac− b2

4a

),

109


mentre le coordinate del fuoco sono:(− b

2a,1 + 4ac− b2

4a

),

e l’equazione della direttrice è:

y = −1 + b2 − 4ac

4a.

In maniera analoga, una parabola ad asse orizzontale (non necessaria-mente coincidente con l’asse x) ha equazione

x = ay2 + by + c, a, b, c ∈ R.

Le coordinate del vertice sono(4ac− b2

4a,−b2a

),

mentre le coordinate del fuoco sono:(1 + 4ac− b2

4a,− b

2a,

),

e l’equazione della direttrice è:

x = −1 + b2 − 4ac

4a.

3.6 Esercizi svolti

3.6.1 Geometria piana

1. Sia data una circonferenza di centro O ed una sua tangente nel puntoA. Preso un punto P sulla tangente, si consideri il triangolo OAP .Sapendo che l’angolo APO è di 28o, quanto misura l’angolo AOP?

110


a) 62o (∗)

b) 78o

c) 90o

d) 152o

Svolgimento. Il triangolo OAP è rettangolo in A in quanto, com’ènoto, la tangente ed il raggio formano un angolo retto. Ricordando,inoltre, che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180o, si puòconcludere che:

AOP = 180o −OAP − APO = 180o − 90o − 28o = 62o ,

e la risposta esatta è la a).

2. Un triangolo ABC è simile ad un triangolo A′B′C ′. Sapendo che il latoBC misura 12 cm, l’area di A′B′C ′ misura 9 cm2 ed il lato B′C ′ corri-spondente al lato BC misura 3 cm, quanto misura l’area del triangoloABC?

a) 144cm2 (∗)b) 64cm2

c) 400cm2

d) 32cm2

Svolgimento. Per la similitudine dei due triangoli, il rapporto tra lemisure dei lati corrispondenti BC e B′C ′, che vale

BC

B′C ′=

12 cm

3 cm= 4 ⇔ BC = 4B′C ′

sarà uguale al rapporto della corrispondenti altezze h e h′ relative ailati BC e B′C ′, cioè

h

h′= 4 ⇔ h = 4h′ .

111


È chiaro quindi che, dette S ed S ′ le aree dei due triangoli, si ha:

S =BC · h

2=

4B′C ′ · 4h′

2= 16

B′C ′ · h′

2= 16S ′ = 16·9 cm2 = 144 cm2

e la risposta esatta è pertanto la a).

3. In un triangolo rettangolo il cateto minore è 9 cm e la sua proiezione

sull’ipotenusa è9

25della stessa ipotenusa. Quanto misura il perimetro?

a) 36 cm (∗)

b) 32 cm

c) 24 cm

d) 48 cm

Svolgimento. Osservando la figura, i dati del problema sono: AB =9 cm e BH = (9/25)BC. Per il primo teorema di Euclide, si ha:

AB2

= BC ·BH ,

che sostituendo, fornisce:

(9 cm)2 = BC · 9

25BC ⇔ (9 cm)2 =

9

25BC

2.

Estraendo la radice quadrata di ambo i membri dell’ultima equazione,si ha:

9 cm =3

5BC

e moltiplicando ambo i membri per 5/3, si ottiene la lunghezza dell’i-potenusa BC

5

3· 9 cm =

5

3· 3

5BC ⇔ BC = 15 cm .

112


Per poter calcolare il perimetro, resta da determinare la lunghezza del-l’altro cateto. Noti un cateto e l’ipotenusa, si applica il teorema diPitagora:

AC =

√BC

2 − AB 2=√

225 cm2 − 81 cm2 =√

144 cm2 = 12 cm .

Il perimetro è quindi dato da:

p = AB +BC + AC = 9 cm+ 15 cm+ 12 cm = 36 cm


4. Il rapporto tra la superficie di un quadrato e quella di un triangoloequilatero di eguale lato è

a)√

3

4

b) 2

c)2√

3

3

d)4√

3

3(∗)

Svolgimento. Detta ` la misura comune dei lati del quadrato e deltriangolo equilatero, la superficie del quadrato misura:

SQ = `2 .

Per determinare la superficie del triangolo bisogna determinarne l’al-tezza h che si ottine applicando il teorema di Pitagora ad uno dei duetriangoli rettangoli uguali che si ottengono tracciandone una qualsiasialtezza. Relativamente al triangolo rettangolo così ottenuto, uno deiun cateti è l’altezza del triangolo equilatero, l’altro cateto è metà diun lato del triangolo equilatero e l’ipotenusa è un lato del triangoloequilatero; l’altezza del triangolo equilatero è quindi data da:

h =

√`2 −

(`

2

)2

=

√`2 − `2

4=

√4`2 − `2

4=

√3`2

4=`

2

√3 ;

113


la superficie del triangolo equilatero è:

ST =` · `

2

√3

2=`2

2

√3 · 1

2=`2

4

√3 .

Il rapporto richiesto è quindi

SQST

=`2

`2

4

√3

= `24

`2√

3=

4√3

=4√

3√3√

3=

4√

3

3,

e la risposta esatta è la d).

5. Se i lati di un rettangolo misurano 2a e 3a, quanto vale il perimetro diun rettangolo simile la cui superficie misura 150a2?

a) 50a (∗)b) 250a

c) 50d) 250

Svolgimento. Se denotiamo ABCD il rettangolo di dimensioni AB =2a e BC = 3a, il rettangolo simile A′B′C ′D′ deve avere dimensionicorrispondenti proporzionali, e cioè:

A′B′ = kAB = 2ak , B′C ′ = kBC = 3ak , k > 0 .

Del rettangolo A′B′C ′D′ è nota la misura della superficie:

SA′B′C′D′ = A′B′ ·B′C ′ = 150a2

e quindi, sostituendo a A′B′ e B′C ′ le loro espressioni in termini delfattore di proporzionalità k, si ottiene la seguente equazione:

2ak · 3ak = 150a2 ⇔ 6a2k2 = 150a2

da cui, dividendo per 6a2 6= 0 ambo i membri, si ottiene:

k2 = 25 ⇔ k = 5 ;

ciò consente di affermare che

A′B′ = 2a · 5 = 10a , B′C ′ = 3a · 5 = 15a ,

ed il perimetro richiesto è:

p′ = 2 · A′B′ + 2 ·B′C ′ = 2 · 10a+ 2 · 15a = 20a+ 30a = 50a


114


3.6.2 Geometria solida

1. La somma di tutti gli spigoli di un prisma retto avente per base untriangolo equilatero è 36 cm e il suo lato di base misura 3 cm. Quantomisura lo spigolo laterale?

a) 3 cm

b) 12 cm

c) 4 cm

d) 6 cm (∗)

Svolgimento. La prima cosa da capire è quanti sono gli spigoli delsolido e quanti sono uguali tra loro. Trattandosi di un prima retto, ilsolido ha due basi parallele ed uguali tra loro, che sono due triangoliequilateri, e quindi gli spigoli del solido relativi alle due basi sono intutto 6, 3 per ciascuna delle basi, e tutti uguali tra loro; gli spigolirimanenti sono quelli relativi alla superficie laterale del prisma ed es-sendo le basi dei triangoli, gli spigoli della superficie laterale sono intutto 3, ovviamente uguali tra loro. Sapendo che ciascun lato di basemisura 3 cm, la somma delle misure degli spigoli relativi alle due basi è

6 · 3 cm = 18 cm ;

sottraendo dalla somma di tutti gli spigoli, la somma di quelli delle duebasi, si ottiene la somma delle misure degli spigoli laterali, e cioè

36 cm− 18 cm = 18 cm ;

sapendo che gli spigoli laterali sono in tutto 3, la misura di ciascuno diessi è dunque

18 cm : 3 = 6 cm


2. Un solido è formato da un cilindro circolare retto e da due mezze sferesovrapposte alle sue basi e aventi lo stesso raggio di 2 dm. Sapendo chel’altezza del cilindro è 15 dm, quanto misura il volume del solido?

a)200

3π dm3

115


b)212

3π dm3 (∗)

c)424

3π dm3

d)400

9π dm3

Svolgimento. Il volume del solido è dato dalla somma del volume delcilindro di raggio di base r = 2 dm ed altezza h = 15 dm che è

Vc = πr2 · h = π(2 dm)2 · 15 dm = 4 · 15π dm3 = 60π dm3 ,

e di quelli delle 2 semisfere, che sono equivalenti ad una sfera, di raggior = 2 dm e cioè

Vs =4

3πr3 =

4

3π · (2 dm)3 =

4

3· 8 π dm3 =

32

3π dm3 ,

ed è quindi pari a

VTOT = Vc + Vs = 60π dm3 +32

3π dm3 =

180 + 32

3π dm3 =

212

3π dm3

e la risposta esatta è la b).

3. Un solido è formato da un cubo sormontato da una piramide rettaavente per base una faccia del cubo e lo spigolo laterale della piramideè 7

5di quello del cubo. Sapendo che la somma di tutti gli spigoli del

solido è 176 cm, quanto misura la superficie del solido?

a) (400 + 20√

171)cm2

b) (600 +√

171)cm2

c) (100 +√

171)cm2

d) (500 + 20√

171)cm2 (∗)

Svolgimento. Detta ` la misura dello spigolo del cubo, lo spigololaterale della piramide misura

`′ =7

5` .

Il solido ha in tutto 16 spigoli, 12 del cubo (4 dei quali in comune conla base della piramide) che misurano `, e 4 della superficie laterale della

116


piramide che misurano `′. L’ulteriore dato del problema afferma che lasomma di tutti gli spigoli del solido è 176 cm e cioè

12 `+ 4 `′ = 176 cm ⇔ 12 `+ 47

5` = 176 cm ⇔ 12 `+

28

5` = 176 cm

60 + 28

5` = 176 cm ⇔ 88

5` = 176 cm ⇔ ` =

5

88176 cm ⇔ ` = 10 cm .

Abbiamo anche che

`′ =7

5` =

7

510 cm = 14 cm .

La superficie del solido è data dalla somma delle superficie Sq = `2 di 5facce del cubo, una base e la superficie laterale (4 facce) (si ricorda cheuna faccia del cubo è interna al solido e coincide con la base della pira-mide), e della superficie laterale della piramide costituita da 4 triangoliisosceli, di base ` = 10 cm e lati uguali `′ = 14 cm. Per determinarel’area dei triangoli isosceli bisogna determinarne l’altezza, che si puòcalcolare applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo chesi ottiene tracciando l’altezza relativa alla base ` e che divide la basein due parti uguali. Il triangolo rettangolo così ottenuto ha come cate-ti l’altezza h del triangolo isoscele e metà della base `/2 del triangoloisoscele e come ipotenusa lo spigolo laterale della piramide `′; si hadunque

h =

√`′2 −

(`

2

)2

=√

196 cm2 − 25 cm2 =√

171 cm ,

e quindi l’area di ciascuna faccia della superficie laterale della piramideè data da:

St =` · h

2=

10 cm ·√

171 cm

2= 5√

171 cm2 .

In definitiva, la superficie totale è data da:

STOT = 5·Sq+4·St = 5·(10 cm)2+4·5√

171 cm2 = (500+20√

171) cm2


117


3.6.3 Geometria analitica

1. A quanto è uguale la distanza del punto P = (3, 4) dall’origine?

a) 7

b) 5 (∗)c) 1

d) 12

Svolgimento. Ricordando la formula della distanza d(A,B) di 2 puntiA = (xA, yA) e B = (xB, yB) che è:

d(A,B) =√

(xA − xB)2 + (yA − yB)2 ,

la distanza del punto P dall’origine O = (0, 0) è data da:

d(O,P ) =√

(3− 0)2 + (4− 0)2 =√

32 + 42 =√

9 + 16 =√

25 = 5 ,

e la risposta esatta è la b).

2. Dati i punti A = (7, 8) e M = (2, 3), quali sono le coordinate del puntoB tale che M sia il punto medio del segmento di estremi A e B?

a) (−3,−2) (∗)

b)(

9

2,11

2

)c)

(5

2,5

2

)d) (3, 2)

Svolgimento. Ricordando che dati 2 punti A = (xA, yA) e B =(xB, yB), le coordinate del loro punto medio M = (xM , yM) sono dateda:

xM =xA + xB

2, yM =

yA + yB2

,

se sostituiamo nella formula le coordinate dei punti A e M , otteniamole relazioni:

2 =7 + xB

2, 3 =

8 + yB2

;

118


moltiplichiamo ambo i membri di entrambe per 2

2 · 2 =7 + xB

2· 2 , 3 · 2 =

8 + yB2· 2 ,

si ha4 = 7 + xB , 6 = 8 + yB ,

da cui, ricavando xB dalla prima e yB dalla seconda, si ottiene:

xB = 4− 7 = −3 , yB = 6− 8 = −2 ,


3. Dato il punto P = (2, 3) e la retta r di equazione x − y + 1 = 0,quanto misura la distanza dell’origine dalla retta condotta per P eperpendicolare ad r?

a)√

2

b)2√2

c) 5√

2

d)5√2

(∗)

Svolgimento. Prima di poter calcolare la distanza della retta dall’o-rigine, è necessario dedurre l’equazione della retta. Tale retta passaper il punto P ed è perpendicolare ad r, cioè ne conosciamo il coeffi-ciente angolare. Ricordando che il coefficiente angolare della retta diequazione ax+ by + c = 0, con b 6= 0, è

m = −ab,

il coefficiente angolare della retta r è:

mr = − 1

−1= 1 ,

e quindi, il coefficiente angolare dell’altra retta, che chiameremo r′,dovrà verificare la condizione di ortogonalità e cioè:

mr′ = − 1

mr

= −1

1= −1 .

119


A questo punto, se richiamiamo l’equazione di una retta passante perun punto P = (xP , yP ) e di noto coefficiente angolare, mr′ , e cioè:

y − yP = mr′ (x− xP ) ,

l’equazione della retta r′ si ottiene dalla equazione precedente sosti-tuendo il valore di mr′ e le coordinate di P :

y − 3 = −1 · (x− 2) ,

y − 3 = −x+ 2 ,

y − 3 + x− 2 = 0 ,

x+ y − 5 = 0 .

Ricordiamo infine che la distanza di un punto P = (xP , yP ) da unaretta r di equazione ax+ by + c = 0 è data da:

d(P, r) =|axP + byP + c|√

a2 + b2,

e quindi la distanza dall’origine O = (0, 0) della retta r′ di equazionex+ y − 5 = 0 è data da:

d(P, r) =|1 · 0 + 1 · 0− 5|√

12 + 12=|0 + 0− 5|√

1 + 1=|−5|√

2=

5√2


4. Qual è la parallela alla retta 3x + 2y = 5 condotta per il centro dellacirconferenza: x2 + y2 − 6x+ 2y − 3 = 0?

a) 2x+ 3y = 10

b) 3x+ 2y = 10

c) 3x+ 2y = 7 (∗)d) 2x− 3y = 7

Svolgimento. Per poter dedurre l’equazione della retta, che chiamia-mo r′, dobbiamo usare il suo passaggio per il punto C = (xC , yC),centro della circonferenza data, ed il suo parallelismo alla retta, che

120


chiamiamo r di equazione 3x + 2y = 5. Ricordando che il coefficienteangolare della retta di equazione ax+ by + c = 0, con b 6= 0, è

m = −ab,

il coefficiente angolare della retta r è:

mr = −3

2,

e quindi, il coefficiente angolare della retta r′, dovrà verificare la con-dizione di parallelismo tra 2 rette e cioè:

mr′ = mr = −3

2.

Ricordando inoltre che data la circonferenza di equazione x2+y2+ax+by + c = 0, le coordinate del suo centro sono date da:

xC = −a2, yC = − b

2,

le coordinate di C sono:

xC = −−6

2= 3 , yC = −2

2= −1 .

A questo punto, se richiamiamo l’equazione di una retta passante perun punto C = (xC , yC) e di noto coefficiente angolare, mr′ , e cioè:

y − yC = mr′ (x− xC) ,

l’equazione della retta r′ si ottiene dalla equazione precedente sosti-tuendo il valore di mr′ e le coordinate di C:

y − (−1) = −3

2(x− 3) ,

moltiplicando ambo i membri per 2, si ha:

2(y + 1) = −2 · 3

2(x− 3) ,

2y + 2 = −3 (x− 3) ,

2y + 2 = −3x+ 9 ,

2y + 2 + 3x− 9 = 0 ,

3x+ 2y − 7 = 0

e la risposta esatta è la c).

121


5. Qual è l’equazione della circonferenza che passa per il punto (2, 5) etaglia l’asse x nei punti di ascissa 4 e −2?

a) 5x2 + 5y2 − 10x− 17y = 0

b) 5x2 + 5y2 − 10x− 17y − 40 = 0 (∗)c) 5x2 + 5y2 − x− y − 40 = 0

d) 5x2 + 5y2 − 40 = 0

Svolgimento. Per poter dedurre l’equazione della circonferenza biso-gna utilizzare il suo passaggio per 3 punti noti, uno dato esplicitamente,(2, 5), e gli altri 2 che sono i punti in cui la circonferenza interseca l’assex e cioè (4, 0) e (−2, 0). Se la generica circonferenza di equazione

x2 + y2 + ax+ by + c = 0 (3.1)

deve passare per i 3 punti suddetti, le loro coordinate devono soddi-sfare identicamente l’equazione, e quindi sostituendo opportunamentele coordinate dei 3 punti nell’equazione della circonferenza si ottieneil seguente sistema di 3 condizioni nelle incognite a, b e c, che sono icoefficienti che caratterizzano l’equazione richiesta:

22 + 52 + a · 2 + b · 5 + c = 0,42 + 02 + a · 4 + b · 0 + c = 0,(−2)2 + 02 + a · (−2) + b · 0 + c = 0,

cioè: 4 + 25 + 2a+ 5b+ c = 0,16 + 4a+ c = 0,4− 2a+ c = 0;

utilizziamo la terza equazione per esplicitare c in funzione di a e sosti-tuiamo l’espressione di c ottenuta nelle altre 2 equazioni:

29 + 2a+ 5b+ 2a− 4 = 0,16 + 4a+ 2a− 4 = 0,c = 2a− 4,

da cui 4a+ 5b+ 25 = 0,6a+ 12 = 0,c = 2a− 4,

122


e quindi 4a+ 5b = −25,6a = −12.c = 2a− 4;

ricavando a dalla seconda equazione e sostituendo la sua espressionenella prima e nella terza, si ha:

4 · (−2) + 5b = −25a = −12

6= −2

c = 2 · (−2)− 4⇔

−8 + 5b = −25a = −2c = −4− 4 = −8

⇔

⇔

5b = −17a = −2c = −8

⇔

b = −17

5

a = −2c = −8

Sostituendo i valori a = −2, b = −17/5 e c = −8 nell’equazione dellacirconferenza (3.1) otteniamo la seguente equazione:

x2 + y2 − 2x− 17

5y − 8 = 0 .

La risposta esatta è la b) e si vede moltiplicando per 5 ambo i membridell’equazione.

6. Data la parabola di equazione y = x2 − 3x + 2, quali sono i punti diintersezione con gli assi?

a) A = (1, 0), B = (2, 0)

b) A = (1, 0), B = (0, 2)

c) A = (1, 1), B = (2, 2)

d) A = (1, 0), B = (2, 0), C = (0, 2) (∗)

Svolgimento. Per poter determinare i punti di intersezione tra 2 cur-ve, bisogno risolvere il sistema costituito dalle loro 2 equazioni nelleincognite x e y che rappresentano le coordinate (x, y) dei loro punti diintersezione (se esistono). I punti di intersezione con l’asse x, la cuiequazione è y = 0, sono dati dalle soluzioni del sistema{

y = x2 − 3x+ 2y = 0

⇔{

0 = x2 − 3x+ 2y = 0

⇔{x = 1 ∨ x = 2y = 0

123


che fornisce i punti A = (1, 0) e B = (2, 0). La parabola data, avendoasse di simmetria parallelo all’asse y, ha sempre un punto di intersezionecon l’asse y, la cui equazione è x = 0, che sarà dato dal seguente sistema:{

y = x2 − 3x+ 2x = 0

⇔{y = 02 − 3 · 0 + 2x = 0

⇔{y = 2x = 0

L’esistenza di un ulteriore punto di intersezione C = (0, 2) stabilisceche la risposta esatta è la d).

7. Qual è l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y, passanteper l’origine e avente il vertice nel punto (2,−4)?

a) x = y2 − 4y + 2

b) x = y2 − 4y

c) y = x2 − 4x (∗)d) y = x2 − 4x+ 1

Svolgimento. L’equazione della generica parabola avente asse di sim-metria parallelo all’asse y è:

y = ax2 + bx+ c , (3.2)

con a, b, c,∈ R, a 6= 0. Se sappiamo, inoltre, che tale parabola passaper l’origine, deve necessariamente essere c = 0, per cui l’equazionedella parabola richiesta deve avere la forma:

y = ax2 + bx , (3.3)

Se ricordiamo che le coordinate del vertice V di una parabola con asseparallelo all’asse y sono date da:

xV = − b

2a, yV = −∆

4a, ∆ = b2 − 4ac (3.4)

otteniamo le seguenti 2 equazioni nelle incognite a e b che sono i coeffi-cienti che caratterizzano l’equazione richiesta; sostituendo le coordinatedel vertice nelle 2 relazioni (3.4) si ottiene:

2 = − b

2a

−4 = −∆

4a

124


Moltiplichiamo ambo i membri della prima equazione per −2a, ottendob in funzione di a; contemporaneamente, moltiplichiamo ambo i membridella seconda equazione per 4a (osserviamo che tali fattori sono nonnulli perché a 6= 0):

2 · (−2a) = − b

2a· (−2a)

−4 · 4a = −b2 − 4a · 0

4a· 4a

⇔{−4a = b−16a = −b2 ⇔

{b = −4a16a = b2

{b = −4a16a = (−4a)2

⇔{b = −4a16a = 16a2

⇔{b = −4a1 = a

⇔{b = −4a = 1

Sostituendo i valori a = 1 e b = −4 nell’equazione della parabola (3.3),in cui si è già tenuto conto del fatto che c = 0, si ottiene l’equazionerichiesta, e cioè:

y = x2 − 4x

e la risposta esatta è la c).

8. Qual è l’equazione della parabola avente il vertice nel punto V = (5,−2)e come direttrice la retta di equazione y = −4?

a) x =1

8y2 − 5

4y +

9

8

b) x =1

8y2 − 5

4y

c) y =1

8x2 − 5

4x+

9

8(∗)

d) y =1

8x2 − 5

4x

Svolgimento. Se osserviamo che la direttrice è una retta parallelaall’asse x, la parabola richiesta ha asse parallelo all’asse y e quindi, lasua equazione sarà della forma:

y = ax2 + bx+ c .

Come nell’esercizio precedente, se ricordiamo che le coordinate delvertice V di una parabola con asse parallelo all’asse y sono date da:

xV = − b

2a, yV = −∆

4a, ∆ = b2 − 4ac

125


otteniamo le seguenti 2 equazioni nelle incognite a, b e c che sono i coeffi-cienti che caratterizzano l’equazione richiesta; sostituendo le coordinatedel vertice nelle 2 relazioni (3.4) si ottiene:

5 = − b

2a

−2 = −∆

4a

Se ricordiamo inoltre che l’equazione della direttrice è data da:

y = −1 + ∆

4a

alle 2 condizioni precedenti si aggiunge quella che il secondo membrodell’equazione precedente deve essere uguale a −4, e quindi:

5 = − b

2a

−2 = −∆

4a

−4 = −1 + ∆

4a

⇔

5 = − b

2a

−2 = −b2 − 4ac

4a

−4 = −1 + b2 − 4ac

4a

che è un sistema di 3 equazioni nelle 3 incognite a, b e c. Moltiplicandola prima equazione per −2a, la seconda e la terza per −4a, si ha:

5 · (−2a) = − b

2a· (−2a)

−2 · (−4a) = −b2 − 4ac

4a· (−4a)

−4 · (−4a) = −1 + b2 − 4ac

4a· (−4a)

⇔

−10a = b8a = b2 − 4ac16a = 1 + b2 − 4ac

b = −10a8a = (−10a)2 − 4ac16a = 1 + (−10a)2 − 4ac

⇔

b = −10a8a = 100a2 − 4ac16a = 1 + 100a2 − 4ac

⇔

126


⇔

b = −10a2 = 25a− c16a = 1 + 100a2 − 4ac

⇔

⇔

b = −10ac = 25a− 216a = 1 + 100a2 − 4a(25a− 2)

⇔

b = −10ac = 25a− 216a = 1 + 100a2 − 100a2 + 8a

b = −10ac = 25a− 28a = 1

⇔

b = −10 · 1

8= −10

8= −5

4

c = 25 · 1

8− 2 =

25

8− 2 =

25− 16

8=

9

8

a =1

8

Sostituendo i valori a = 1/8, b = −5/4 e c = 9/8 nella genericaequazione della parabola

y =1

8x2 − 5

4x+

9

8,

si vede facilmente che la risposta esatta è la c).


3.7.1 Geometria piana

• In un triangolo isoscele la base misura 8 dm e l’altezza ad essa relativamisura 3 dm. Quanto misura il perimetro?

a) 38 dm

b) 18 dm (∗)c) 13 dm

d) 28 dm

• In un triangolo rettangolo un cateto è4

5dell’ipotenusa ed il perimetro

è 96 cm. Quanto misura l’ipotenusa?

a) 40 cm (∗)

127


b) 32 cm

c) 24 cm

d) 48 cm

• Un rettangolo ha il perimetro di 14 cm e un lato di 4 cm. Quanto misurala sua diagonale?

a) 5 cm (∗)

b) 6 cm

c) 7 cm

d) 9 cm

3.7.2 Geometria solida

• Siano C1 e C2 due cubi i cui spigoli sono, rispettivamente, l1 ed l2. SeC1 ha volume V = 64m3 e C2 ha superficie totale St = 24m2, quanto

vale il rapportol1l2?

a)4

3

b) 1

c)8

3

d) 2 (∗)

• Le tre dimensioni di un parallelepipedo rettangolo sono misurate, incentimetri, da tre numeri interi consecutivi. Sapendo che l’area dellasuperficie totale è 94 cm2, quanto misura il volume del solido?

a) 70 cm3

b) 60 cm3 (∗)

c) 30 cm3

d) 120 cm3

128


• Sia dato un parallelepipedo avente per base un rettangolo. Sapendoche l’area di base è 48 cm2, che un lato del rettangolo misura 6 cm eche l’altezza del prisma è 15 cm, quanto misura la superficie totale delprisma?

a) 516 cm2 (∗)b) 96 cm2

c) 180 cm2

d) 240 cm2

• Un rettangolo ha il perimetro di 14 cm e un lato di 4 cm. Quanto misurala sua diagonale?

a) 5 cm (∗)b) 6 cm

c) 7 cm

d) 9 cm

• In un triangolo rettangolo un cateto è4

5dell’ipotenusa ed il perimetro

è 96 cm. Quanto misura l’ipotenusa?

a) 40 cm (∗)b) 32 cm

c) 24 cm

d) 48 cm

• In un triangolo isoscele la base misura 8 dm e l’altezza ad essa relativamisura 3 dm. Quanto misura il perimetro?

a) 38 dm

b) 18 dm (∗)c) 13 dm

d) 28 dm

129


• In un triangolo isoscele la misura di ciascuno dei due lati uguali misura35 cm, mentre l’altro lato (base) misura 15 cm. Quanto misura ciascunodei due lati uguali di un triangolo isoscele simile a quello dato e la cuibase misura 9 cm?

a) 28 cm

b) 21 cm (∗)c) 42 cm

d) 20 cm

3.7.3 Geometria analitica

• Quali sono le coordinate del punto medio del segmento AB con A =(5, 4) e B = (3, 2)?

a) (5, 3)

b) (3, 3)

c) (4, 4)

d) (4, 3) (∗)

• Qual è il punto medio M del segmento di estremi A = (−1, 2) e

B =

(2,

1

2

)?

a) M =

(−3

2,3

2

)b) M =

(1,

5

2

)c) M =

(1

2,5

2

)d) M =

(1

2,5

4

)(∗)

• Quanto misura la distanza del punto P = (−5,−1) dalla retta diequazione 2x− 3y + 1 = 0?

130


a)3

13

b)5√3

c)1√2

d)6√13

(∗)

• Sia P il punto di intersezione delle rette di equazioni x+y = 1 e x−2y =1. Qual è l’equazione della retta passante per P e perpendicolare allabisettrice del primo e terzo quadrante?

a) 2x− y − 2 = 0

b) x− y − 1 = 0

c) x = 1

d) x+ y − 1 = 0 (∗)

• Quali sono le coordinate dei punti di intersezione della retta 2x+y = 1con la circonferenza di equazione: x2 + y2 − 6x+ 3y − 4 = 0?

a) A = (0, 1) , B =

(4

5,−9

5

)b) A = (1, 1) , B =

(4

5,−9

5

)c) A = (0, 1) , B =

(16

5,−27

5

)(∗)

d) A = (0, 0) , B =

(16

5,−27

5

)• Quali sono le coordinate del vertice della parabola di equazione y =−x2 + 5?

a) (−√

5, 0)

b) (√

5, 0)

c) (0, 0)

d) (0, 5) (∗)

131


• Data la parabola P di equazione y = x2 − 3 e la retta r di equazionex− y = 1, quali sono i punti di intersezione tra P e r?

a) A = (−2,−1) e B = (1, 2)

b) A = (−2, 1) e B = (1,−2)

c) A = (2, 1) e B = (−1,−2) (∗)d) A = (2,−1) e B = (−1, 2)

132

Capitolo 4


Relazioni tra Insiemi — Funzioni — Grafici di Funzioni

4.1 Relazioni

Dati due insiemi non vuoti A e B, una relazione R tra essi è una leggequalsiasi che associa ad elementi dell’uno elementi dell’altro.

Da un punto di vista matematico, una relazione R tra due insiemi nonvuoti A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A×B. I due insiemipossono anche coincidere.

Esempio 43A = {uva, casa, tavolo, gatto}B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

La relazione associa ad ogni parola il numero dilettere. Le coppie di elementi in relazione,{(uva, 3), (casa, 4), (tavolo, 6), (gatto, 5)},costituiscono un sottoinsieme (proprio) del prodot-to cartesiano A×B.

Esempio 44A = {3, 4, 5, 6, 7}, B = {2, 3, 4}.

133


Definiamo la relazione R dicendo che x ∈ A è in relazione con y ∈ B se x èun multiplo di y.

R = {(3, 3), (4, 2), (4, 4), (6, 2), (6, 3)},

che è un sottoinsieme del prodotto cartesiano

A×B = {(3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4),

(6, 2), (6, 3), (6, 4), (7, 2), (7, 3), (7, 4)}.

Da notare che gli elementi 5 e 7 sono single (non hanno alcun elementodi B con cui essere in relazione).

Esempio 45 Poiché una relazione è un insieme, si può definire enunciandouna proprietà caratteristica. Dati gli insiemi

A = {1, 2, 3, 4}, B = {−1, 0, 1}

definiamo la relazione tra x ∈ A e y ∈ B se risulta x+ y = 3

R = {(x, y) ∈ A×B : x+ y = 3}.

R = {((2, 1), ((3, 0), (4,−1)}

4.1.1 Proprietà delle relazioni su un insieme A

Una relazione R ⊆ A× A si dice:

• Riflessiva: se ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R;

• Simmetrica: se ∀ (x, y) ∈ R anche (y, x) ∈ R;

• Antisimmetrica: se (x, y) ∈ R e (y, x) ∈ R allora x = y;

• Transitiva: se (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R allora (x, z) ∈ R.

134


Relazione di Equivalenza

Una Relazione si dice di Equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva(ad es., la relazione di parallelismo tra rette del piano, o la relazione diuguaglianza).

Relazione di Ordine

Una Relazione si dice di Ordine se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva(ad es., la relazione ≤ tra i numeri reali).

Esercizio 1 Nell’insieme N dei numeri naturali sia definita la relazione

R = {(x, y) | x+ y è pari}.

Quale delle seguenti affermazioni corretta?

1. La relazione è riflessiva.

2. La relazione è simmetrica.

3. La relazione è transitiva.

4. Le precedenti affermazioni sono tutte corrette.

Risposta corretta: Le precedenti affermazioni sono tutte corrette.

Esercizio 2 Nell’insieme N dei numeri naturali sia definita la relazione

R = {(x, y) | x · y è pari}.

Quale delle seguenti affermazioni è corretta?

1. La relazione R non è riflessiva, ma è simmetrica.

2. La relazione R è riflessiva e simmetrica.

3. La relazione R non è né riflessiva né simmetrica.

4. La relazione R è riflessiva ma non simmetrica.

Risposta corretta: La relazione R non è riflessiva, ma è simmetrica.

135


Esercizio 3 Nell’insieme N dei numeri naturali definita la relazione

R = {(x, y) | x, y divisi per 3 danno lo stesso resto}.

Quale delle seguenti affermazioni corretta?

1. È una relazione d’equivalenza perché è riflessiva, simmetrica, transiti-va.

2. È una relazione d’ordine perché è riflessiva, antisimmetrica, transitiva.

3. Non è né d’ordine né di equivalenza perché non è né simmetrica néantisimmetrica.

4. Nessuna delle precedenti affermazioni è corretta.

Risposta corretta: È una relazione d’equivalenza.

4.2 FunzioniLe funzioni da un insieme A ad un insieme B sono particolari relazioni. Inuna relazione ci possono essere elementi di A che non sono in relazione connessun elemento di B, o che sono in relazione con più elementi di B.

Una funzionef : A→ B, x 7→ y = f(x)

è una relazione che associa ad ogni elemento x ∈ A un unico elemento y ∈ B.

• l’insieme A si dice dominio della funzione;

• l’insieme B si dice codominio della funzione;

• x è la variabile indipendente, e y = f(x) è la variabile dipendente; y sidice anche immagine di x tramite la funzione f .

Esempio 46 Siano

A = {Leonardo,Michelangelo,De Chirico,Van Gogh},B = {La Gioconda,Le muse inquietanti, I girasoli,L’uomo di Vitruvio,Urlo};

la Relazione che associa ad un artista una sua opera non è una Funzione.Infatti:

136


• a Leonardo corrispondono due immagini: “La Gioconda” e “L’uomo diVitruvio”; (Problema)

• a Michelangelo non corrisponde alcuna immagine (!); (Problema)

• a De Chirico corrisponde ‘Le muse inquietanti”; (OK)

• a Van Gogh corrisponde “I girasoli”; (OK)

• “Urlo” non è l’immagine di alcun artista. (OK)

4.2.1 Funzioni reali di variabile reale

Si ha una funzione reale di variabile reale se A e B sono sottoinsiemi di R.

Esempio 47 Funzioni Una funzione si definisce indicando il dominio, il co-dominio e la legge che fa passare da un generico elemento del dominio alcorrispondente elemento del codominio:

f : R→ R, x 7→ x2 − 7x+ 9;

f : R→ R+, x 7→ e−x2/2;

f : R+ − {0} → R, x 7→ log x− 5x;

f : R→ R, x 7→ sin(x2)− 3 cos(x).

Ad esempio, le funzioni

f : R→ R, x 7→ sin(x),

f : R→ [−1, 1], x 7→ sin(x)

sono diverse in quanto differiscono per il codominio.

4.2.2 Rappresentazione grafica

Le funzioni reali di variabili reali si rappresentano graficamente in un sistemadi assi cartesiani.

137


4.2.3 Grafici

Si definisce Grafico di una funzione f : A→ B l’insieme G di tutte le coppieordinate (x, y) che si ottengono prendendo un valore di x ∈ A e trovando ilcorrispondente valore di y = f(x) ∈ B. Un punto P ≡ (x0, y0) è un puntodel grafico della funzione f se y0 = f(x0).

Grafico di una Funzione Grafico di una Relazione

4.2.4 Funzioni iniettive

Una funzione f : A → B si dice iniettiva se ad elementi distinti di Acorrispondono elementi distinti di B.

Esempio 48 La funzione

138


f : R+ − {0} → R, x 7→ log(x)

è iniettiva perché non esistono valori reali positivi distinti che hanno lo stessologaritmo. Invece, la funzione

f : R→ R+, x 7→ x4 + x2

non è iniettiva perché numeri opposti hanno la stessa immagine (ad es., x = 1e x = −1 hanno come immagine y = 2).

4.2.5 Grafici e iniettività

Grafico di una Grafico di unaFunzione Iniettiva Funzione Non Iniettiva

4.2.6 Funzioni suriettive

Una funzione f : A→ B si dice suriettiva se ogni elemento di B è immaginedi almeno un elemento di A.

Esempio 49 La funzione

f : R→ R, x 7→ x3 + 1

è suriettiva perché per ogni y ∈ R esiste un x ∈ R, x = 3√y − 1, tale che

y = x3 + 1.Viceversa, la funzione

f : R→ R, x 7→ sin(x)

non è suriettiva perché solo i numeri reali dell’intervallo [−1, 1] sono il senodi un angolo.

139


Nota 10 Ogni funzione può essere resa suriettiva restringendo il suo codo-minio all’insieme delle sue immagini. Ad es.,f : R→ [−1, 1], x 7→ sin(x) è suriettiva.

4.2.7 Grafici e suriettività

Grafico di una Grafico di unaFunzione f : R→ R Funzione f : [−1, 1]→ [−1, 1]

Suriettiva Non Suriettiva

4.2.8 Funzioni biettive o biunivoche

Una funzione f : A → B si dice biettiva se ogni elemento di B è immaginedi uno e uno solo elemento di A.

Una funzione f : A → B è biettiva se e solo se è contemporaneamenteiniettiva e suriettiva.

Esempio 50 Le funzioni

f : R→ R, x 7→ x3

è biettiva perché numeri diversi hanno terze potenze diverse (iniettività) eogni numero reale ha una radice cubica (suriettività).

Anche la funzione

f : R→ R, x 7→ ex − e−x

è biettiva.

140


4.2.9 Grafici e biettività

Grafico di unaFunzione da R in R Biettiva

Nota 11 È possibile restringere dominio e codominio di una funzione perrenderla biunivoca.

f : R→ R f : R+ → R+

non è né Iniettiva né Suriettiva Suriettiva è Biettiva

4.2.10 Funzione composta

Siano date due funzioni

f : A→ B, x 7→ y = f(x); g : B → C, y 7→ z = g(y).

La funzione definita da A in C che associa all’elemento x ∈ A l’elementoz = g(f(x)) è la funzione composta mediante f e g:

g ◦ f : A→ C, x 7→ z = g(f(x)).

141


Esempio 51 Siano date le funzioni

f : R→ R, x 7→ y = 2x

g : R→ R, y 7→ z = y2

Possiamo costruire le funzioni composte

g ◦ f : R→ R, x 7→ (2x)2 = 4x2,

f ◦ g : R→ R, x 7→ 2(x)2 = 2x2.

La composizione di funzioni non è in generale commutativa:

g ◦ f 6= f ◦ g.

4.2.11 Funzione inversa

Siaf : A→ B, x 7→ y = f(x)

una funzione biunivoca da A in B. Ad ogni elemento di A corrisponde ununico elemento di B, e viceversa.

Se con f si passa dall’elemento x ∈ A all’elemento y = f(x) ∈ B,possiamo definire una funzione,

f−1 : B → A, y 7→ f−1(y) = x,

che dall’elemento y ∈ B fa ritornare all’elemento x ∈ A. La funzione f−1 èdetta funzione inversa della f .

Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca. Se la funzione f nonè biunivoca si può tentare di restringere il dominio e/o il codominio perrenderla biunivoca e calcolare l’inversa.

142


Componendo una funzione f con la sua inversa f−1 si ottiene la funzioneidentità:

f : A→ B, x 7→ f(x),

f−1 : B → A, y 7→ f−1(y),

f ◦ f−1 : A→ A, x 7→ f ◦ f−1(x) ≡ x,

f−1 ◦ f : B → B, y 7→ f−1 ◦ f(y) ≡ y.

Esempio 52 La funzione esponenziale

f : R→ R+ − {0}, x 7→ y = exp(x) = ex

(dove e ≈ 2.71828 . . . è il numero di Nepero) è biunivoca. È tale che

exp(0) = 1, exp(−x) =1

exp(x),

exp(x1 + x2) = exp(x1) · exp(x2).

Ammette quindi funzione inversa, la funzione logaritmo naturale:

f−1 : R+ − {0} → R, x 7→ ln(x).

ln(1) = 0, ln e = 1,

ln(x1 · x2) = ln(x1) + ln(x2), ln

(x1x2

)= ln(x1)− ln(x2).

Esempio 53 La funzione seno

f : R→ R, x 7→ y = sin(x)

non è biunivoca. Infatti non è né iniettiva (la funzione è periodica di periodo2π) né suriettiva (i valori della funzione seno sono compresi nell’intervallo[−1, 1]).

Restringendo dominio e codominio troviamo una funzione

g :[−π

2,π

2

]→ [−1, 1], x 7→ sin(x)

che è biunivoca. Essa ammette quindi un’inversa, la funzione arcoseno:

g−1 : [−1, 1]→[−π

2,π

2

], y 7→ arcsin(y).

143


Esempio 54 La funzione coseno

f : R→ R, x 7→ y = cos(x)

non è biunivoca. Infatti non è né iniettiva (la funzione è periodica di periodo2π) né suriettiva (i valori della funzione coseno sono compresi nell’intervallo[−1, 1]).

Restringendo dominio e codominio troviamo una funzione

g : [0, π]→ [−1, 1], x 7→ cos(x)

che è biunivoca. Essa ammette quindi un’inversa, la funzione arcocoseno:

g−1 : [−1, 1]→ [0, π], y 7→ arccos(y).

4.2.12 Funzioni notevoli

Funzione costante

f : R→ R, x 7→ k (k costante)

Funzione Lineare

f : R→ R, x 7→ ax+ b

(a, b costanti)

144


Funzione quadratica

f : R→ R, x 7→ ax2 + bx+ c

(a, b, c costanti, a 6= 0)

Funzione potenza

f : R→ R, x 7→ xn

(n ∈ N)

n pari n dispari

Funzione potenza con esponente negativo

f : R \ {0} → R, x 7→ x−n

(n ∈ N)

n pari n dispari

145


Funzione radice quadrata

f : R+ → R+, x 7→√x

Funzione radice cubica

f : R→ R, x 7→ 3√x

146

Funzione Valore Assoluto (Modulo)

f : R→ R+, x 7→ |x|

Funzione esponenziale

f : R→ R+, x 7→ ax, a > 0

a > 1 0 < a < 1

Funzione logaritmo

f : R+ \ {0} → R, x 7→ loga(x), a > 0

147

a > 1 0 < a < 1

Funzioni trigonometriche

Le funzioni trigonometriche, utili nella risoluzione dei triangoli, si possonodefinire a partire dalla circonferenza unitaria, cioè una circonferenza il cuiraggio è 1. La circonferenza unitaria è usualmente centrata nell’origine (0, 0)in un sistema di coordinate cartesiane nel piano euclideo.

Se (x, y) è un punto della circonferenza unitaria del primo quadrante,allora x e y sono le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo la cui ipo-tenusa ha lunghezza 1. Quindi, per il teorema di Pitagora, x e y soddisfanol’equazione

x2 + y2 = 1

Poiché x2 = (−x)2 per ogni x, e poiché la riflessione di ogni punto dellacirconferenza unitaria sull’asse x (o y) appartiene ancora alla circonferenzaunitaria, l’equazione precedente vale per ogni punto (x, y) della circonferenzaunitaria, non solo nel primo quadrante.

Le funzioni trigonometriche coseno e seno possono essere definite sullacirconferenza unitaria come segue. Se (x, y) è un punto della circonferenzaunitaria, e se il raggio dall’origine (0, 0) a (x, y) forma un angolo θ con l’assex positivo, (l’angolo misurato nel versio antiorario), allora

cos(θ) = x sin(θ) = y,

cioè, l’ascissa x è il coseno dell’angolo θ, cos(θ), e l’ordinata y è il senodell’angolo θ (sin(θ)) Per definizione delle funzioni seno e coseno, l’equazionex2 + y2 = 1 fornisce la relazione fondamentale

cos2(θ) + sin2(θ) = 1

148


che è vera per ogni θ.t è definito come un angolo orientato, che cioè assume un segno positivo in

un verso e negativo nell’altro, a seconda della convenzione oraria o antiorariaadottata. Solitamente si adotta la convenzione antioraria, e si suppone chel’angolo sia positivo spostandosi dall’asse delle ascisse in senso antiorario.Una circonferenza con tale angolo orientato è detta circoferenza goniometrica.

Nota 12 Gli angoli, oltre che in gradi sessagesimali (angolo giro: 3600; an-golo piatto: 1800; angolo retto: 900) si misurano in radianti. Un radiante èla misura di un angolo che spazza un arco di circonferenza di lunghezza parial raggio della circonferenza stessa (angolo giro: 2π radianti; angolo piatto:π radianti; angolo retto:

π

2radianti).

Per angoli maggiori di 2π radianti o minori di −2π radianti, si può semplice-mente immaginare di compiere più giri intorno al cerchio. In questo modo,il seno ed il coseno diventano funzioni periodiche di periodo 2π.

sin(θ) = sin (θ + 2πk) ,

cos(θ) = cos (θ + 2πk)

per ogni angolo θ e per ogni k intero.A partire dal seno e dal coseno si introducono le altre funzioni trigono-

metrice:

• tangente: tan(θ) =sin(θ)

cos(θ),

149


• cotangente: cot(θ) =cos(θ)

sin(θ),

• secante: sec(θ) =1

cos(θ),

• cosecante: csc(θ) =1

sin(θ),

la cui interpretazione geometrica (insieme ad altre funzioni derivate) è visibilenella figura precedente.

La tangente e la secante di un angolo non sono definite per θ = π2

+ kπ(k ∈ Z), mentre la cotangente e la cosecante non sono definite per θ = kπ,(k ∈ Z).

Proprietà delle funzioni trigonometriche

Le seguenti relazioni sono valide qualunque sia il valore di θ per cui le funzionisi possono calcolare:

sin(θ) = cos(π

2− θ), cos(θ) = sin

(π2− θ),

tan(θ) = cot(π

2− θ), cot(θ) = tan

(π2− θ),

sin(−θ) = − sin(θ), cos(−θ) = cos(θ),

tan(−θ) = − tan(θ), cot(−θ) = − cot(θ),

sin(θ) = sin(π − θ), cos(θ) = − cos(π − θ),tan(θ) = − tan(π − θ), cot(θ) = − cot(π − θ),sin(θ) = − sin(π + θ), cos(θ) = − cos(π + θ),

tan(θ) = tan(π + θ), cot(θ) = cot(π + θ).

150


Formule di addizione, sottrazione e di Werner

Valgono le seguenti formule per la somma o differenza di angoli:

sin(θ + φ) = sin(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ),

sin(θ − φ) = sin(θ) cos(φ)− cos(θ) sin(φ),

cos(θ + φ) = cos(θ) cos(φ)− sin(θ) sin(φ),

cos(θ − φ) = cos(θ) cos(φ) + sin(θ) sin(φ),

tan(θ + φ) =tan(θ) + tan(φ)

1− tan(θ) tan(φ),

tan(θ − φ) =tan(θ)− tan(φ)

1 + tan(θ) tan(φ),

cot(θ + φ) =cot(θ) cot(φ)− 1

cot(θ) + cot(φ),

cot(θ − φ) =cot(θ) cot(φ) + 1

cot(θ)− cot(φ),

sin(θ) sin(φ) =cos(θ − φ)− cos(θ + φ)

2,

cos(θ) cos(φ) =cos(θ − φ) + cos(θ + φ)

2,

sin(θ) cos(φ) =sin(θ − φ) + sin(θ + φ)

2,

In particolare, dalle formule di addizione, se φ = θ si ottengono le formuleper la duplicazione dell’angolo:

sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ),

cos(2θ) = cos2(θ)− sin2(θ) = 2 cos2(θ)− 1 = 1− 2 sin2(θ),

tan(2θ) =2 tan(θ)

1− tan2(θ),

cot(2θ) =cot2(θ)− 1

2 cot(θ),

sin2(θ) =1− cos(2θ)

2,

cos2(θ) =1 + cos(2θ)

2,

sin(θ) cos(θ) =sin(2θ)

2.

151


Dalle formule di duplicazione dell’angolo, ponendo θ = x2, si ricava:

sin(x) = 2 sin(x

2

)cos(x

2

)=

2 sin(x2

)cos(x2

)sin2

(x2

)+ cos2

(x2

)=

2 tan(x2

)1 + tan2

(x2

) ,cos(x) = cos2

(x2

)− sin2

(x2

)=

cos2(x2

)− sin2

(x2

)sin2

(x2

)+ cos2

(x2

)=

1− tan2(x2

)1 + tan2

(x2

) ,Ponendo

t = tan(x

2

),

si hanno le formule parametriche in funzione della tan(x2

):

sin(x) =2t

1 + t2,

cos(x) =1− t2

1 + t2,

tan(x) =2t

1− t2,

l’ultima delle quali si ricava dalle due precedenti. Queste ultime sono impor-tanti nella risoluzione di alcune equazioni e disequazioni trigonometriche.

Funzione seno

f : R→ [−1, 1], x 7→ sin(x)

152


Funzione coseno

f : R→ [−1, 1], x 7→ cos(x)

Funzione tangente

f : R \{π

2+ kπ : k ∈ Z

}→ R,

x 7→ tan(x)

Funzione cotangente

f : R \ {kπ : k ∈ Z} → R,x 7→ cot(x)

Esercizio 4 Considerando i seguenti grafici di due funzioni f e g,

153


quanto vale la differenza f(−2)− g(−2)?

Esercizio 5 Se il punto P ≡ (c, 3) appartiene al grafico della funzione

y = 2x,

quanto vale c? Deve essere

3 = 2c ⇒ c = log2(3).

Esercizio 6 Siaf(x) = mx+ q;

verificare che vale la relazione:

f(x+ 2)− 2f(x+ 1) + f(x) = 0.

f(x+ 2)− 2f(x+ 1) + f(x) =

= [m(x+ 2) + q]− 2[m(x+ 1) + q] + [mx+ q] =

= mx+ 2m+ q − 2mx− 2m− 2q +mx+ q = 0.

Esercizio 7 Sapendo che un cilindro ha volume V = 3, scrivere il raggio dibase r in funzione dell’altezza h.

Il volume di un cilindro di raggio r e altezza h è

V = πr2h.

Nel nostro problema è

3 = πr2h ⇒ r2 =3

πh⇒ r =

√3

πh.

154


Esercizio 8 Date le seguenti funzioni dire per quali valori del parametro ilrelativo grafico passa per il punto scritto a lato:

1. y = 2x+ a, P ≡ (3, 1);

2. y = (k − 1)x+ 3, P ≡ (0, 1);

3. y = (m− 1)x+ 3−m, P ≡ (1, 2).

Risposta:

1. 1 = 2 · 3 + a ⇒ a = −5;

2. 1 = 3: Contraddizione! Quindi MAI.

3. 2 = (m− 1) + 3−m ⇒ 2 = 2 ⇒ per qualsiasi valore di m.

Esercizio 9 Date le seguenti funzioni, determinare il dominio in cui sonodefinite.

1. y = x5 − 7x2 +1

5;

2. y =x2 − 1

x2 − 4;

3. y =√x+ 5;

4. y =√|x2 − 1|;

5. y =3√−x5 + 1;

6. y = 3x2+5x−1;

7. y =

(1

2

)1/(1−x2)

.

Risposta:

1. ∀x ∈ R;

2. ∀x ∈ R, x 6= ±2, perché deve essere x2 − 4 6= 0; il dominio è quindi:[−∞,−2[ ∪ ]− 2, 2[ ∪ ]2,+∞[;

155

3. x ≥ −5, perché deve essere x+ 5 ≥ 0; il dominio è quindi: [−5,+∞[;

4. ∀x ∈ R;

5. ∀x ∈ R;

6. ∀x ∈ R;

7. ∀x ∈ R, x 6= ±1 perché deve essere 1 − x2 6= 0; il dominio è quindi:[−∞,−1] ∪ ]− 1, 1[∪ [1,+∞[.

4.3 Esercizi svolti

4.3.1 Funzioni

1. Quali sono le ascisse dei punti della curva di equazione x2 + y2 + 5x+y − 12 = 0 aventi per ordinata −3?

a) 6 , −1

b) −6 , 1 (∗)c) −4 , 3

d) la curva non ha alcun punto di ordinata −3

Svolgimento. Il punto è determinare i valori di x, se esistono, tali chei punti di coordinate (x, y = −3) soddisfino identicamente l’equazionedella curva; se si sostituisce il valore y = −3 nell’equazione della curva,si ottiene un’equazione di secondo grado nell’incognita x del problemae cioè:

x2+(−3)2+5x+(−3)−12 = 0 ⇔ x2+9+5x−15 = 0 ⇔ x2+5x−6 = 0

che fornisce le soluzioni x = −6 e x = 1, e quindi la risposta esatta èla b).

2. Per quali valori di x ∈ R il numero y =

√−x

x− 1è reale?

a) x < 1 ∧ x 6= 0

b) x ≥ 0 ∧ x 6= 1

156

c) x < 0

d) x ≤ 0 (∗)

Svolgimento. Le uniche 2 condizioni di esistenza da imporre sonoquelle del rapporto e della radice quadrata, che forniscono il seguentesistema: {

−x ≥ 0x− 1 6= 0

⇔{x ≤ 0x 6= 1

⇔ x ≤ 0


3. Per quali valori di x ∈ R il numero y = 2−1/√x2−6x+9 è reale?


b) per ogni x 6= 3 (∗)

c) mai


Svolgimento. Le uniche 2 condizioni di esistenza da imporre sonoquelle del rapporto e della radice quadrata, che forniscono il seguentesistema: {

x2 − 6x+ 9 ≥ 0√x2 − 6x+ 9 6= 0

che equivalgono all’unica condizione

x2 − 6x+ 9 > 0

che è una disequazione di secondo grado con ∆ = 0, che ammette comesoluzioni tutti i numeri reali x 6= 3 e la risposta esatta è dunque la b).

4. Per quali valori di x ∈ R, y =√

log7 (x2 − 8x+ 8) è reale?

a) x ≤ 1 , x ≥ 7 (∗)


c) 0 ≤ x ≤ 7

d) x > 0

157

Svolgimento. Le uniche 2 condizioni di esistenza da imporre sonoquelle del logaritmo e della radice quadrata, che forniscono il seguentesistema: {

x2 − 8x+ 8 > 0log7 (x2 − 8x+ 8) ≥ 0

la prima è una disequazione di secondo grado con ∆ = 32 > 0, che èsoddisfatta per

x < 4− 2√

2 ∨ x > 4 + 2√

2 .

La seconda è una disequazione logaritmica che, tenuto conto dellaproprietà:

0 = loga 1 , ∀ a > 0 , a 6= 1 ,

e quindi0 = log7 1 ,

si può scrivere nella forma equivalente:

log7

(x2 − 8x+ 8

)≥ log7 1 ;

tale disequazione, se si utilizza la proprietà:

loga b ≥ loga c ⇔ b ≥ c ∀ a, b, c > 0 , a 6= 1 ,

fornisce la seguente disequazione di secondo grado:

x2 − 8x+ 8 ≥ 1 ⇔ x2 − 8x+ 7 ≥ 0

che è soddisfatta perx ≤ 1 ∨ x ≥ 7 .

Abbiamo ottenuto che la disequazione data è soddisfatta se{x < 4− 2

√2 ∨ x > 4 + 2

√2

x ≤ 1 ∨ x ≥ 7

Per poter riportare le soluzioni delle due disequazioni del sistema suun unico diagramma, è necessario stabilire la relazione d’ordine cheintercorre tra i numeri 4 − 2

√2, 4 + 2

√2, 1 e 7. Dal momento che√

2 ≈ 1.41, dalla relazione

1.4 <√

2 < 1.5 ,

158

moltiplicando ciascun membro per 2, si ottiene:

2.8 < 2√

2 < 3 ,

che, cambiando di segno

−3 < −2√

2 < −2.8 ,

e sommando 4 a ciascun membro, fornisce

1 < 4− 2√

2 < 1.2 ,

da cui è chiaro che:

1 < 4− 2√

2 < 4 + 2√

2 .

Mediante analoghe considerazioni, ci occupiamo di stimare il numero4 + 2

√2: dalla relazione

1.4 <√

2 < 1.5 ,

moltiplicando ciascun membro per 2,

2.8 < 2√

2 < 3 ,

e sommando 4 a ciascun membro, si ha:

6.8 < 4 + 2√

2 < 7 ,

da cui è chiaro infine che:

1 < 4− 2√

2 < 4 + 2√

2 < 7 .

Riportando su un unico diagramma le soluzioni ottenute (S indica chela disequazione è soddisfatta, N che non lo è)

1 7SSS NNN NNN NNN NNN NNN SSSSSS SSS NNN NNN NNN NNN SSS

4−√

2 4 + 2√

2

possiamo concludere che le soluzioni della disequazione data sono:

x ≤ 1 ∨ x ≥ 7 ,

e che quindi la risposta esatta è la a).

159

5. Per quali valori di x ∈ R, y =

√log10

(3

2− sinx

)è reale?

a) 0 ≤ x ≤ π

6,

5

6π ≤ x ≤ 2π (∗)

b) x ≥ π

2c) 0 ≤ x ≤ π

d) mai

Svolgimento. Le uniche 2 condizioni di esistenza da imporre sonoquelle del logaritmo e della radice quadrata, che forniscono il seguentesistema: {

32− sinx > 0

log10

(32− sinx

)≥ 0

La prima è una disequazione trigonometrica la cui risoluzione è banale,se si isola la funzione sin al primo membro, e cioè

sinx <3

2;

tenendo conto della proprietà:

−1 ≤ sinx ≤ 1 ∀x ∈ R ,

possiamo concludere che:

sinx ≤ 1 <3

2∀x ∈ R .

La seconda è una disequazione logaritmica che, come nell’esercizioprecedente, tenuto conto della proprietà:

0 = loga 1 , ∀ a > 0 , a 6= 1 ,

e quindi0 = log10 1 ,

si può scrivere nella forma equivalente:

log10

(3

2− sinx

)≥ log10 1 ;

160


tale disequazione, se si utilizza la proprietà:

loga b ≥ loga c ⇔ b ≥ c ∀ a, b, c > 0 , a 6= 1 ,

fornisce la seguente disequazione trigonometrica:

3

2− sinx ≥ 1 ⇔ sinx ≤ 1

2

che è soddisfatta per

0 ≤ x ≤ π

6∨ 5

6π ≤ x ≤ 2π .

Abbiamo ottenuto che la disequazione data è soddisfatta se{∀x ∈ R0 ≤ x ≤ π

6∨ 5

6π ≤ x ≤ 2π

da cui segue immediatamente che le soluzioni della disequazione datasono:

0 ≤ x ≤ π

6∨ 5

6π ≤ x ≤ 2π ,

e che quindi la risposta esatta è la a).

6. Data la funzione y =3

2x− 1, con x 6= 1

2, qual è la sua funzione inversa?

a) x =3

2y

b) x = 2 + 3y

c) x =3

2y − 1

d) x =1

2+

3

2y(∗)

Svolgimento. Per determinare l’espressione della funzione inversa,dobbiamo trattare l’espressione

y =3

2x− 1

161


come un’equazione nell’incognita x e dedurre x in funzione della varia-bile y; a tale scopo, moltiplichiamo per 2x − 1 ambo i membri dellaprecedente espressione (osservando che certamente 2x− 1 6= 0)

y(2x− 1) =3

2x− 1(2x− 1) ⇔ y(2x− 1) = 3 ⇔ 2xy − y = 3

isolando x al primo membro e trattando l’espressione come un’equazio-ne di primo grado nell’incognita x, si ottiene:

2xy = 3 + y ⇔ x =3 + y

2y=

3

2y+

y

2y=

3

2y+

1

2

in cui abbiamo dovuto porre y 6= 0. La la risposta esatta è pertanto lad).

7. Data la funzione y = (x+ 1)−1, qual è la sua funzione inversa?

a) x = (y + 1)−1

b) x = (y − 1)−1

c) x = y−1 − 1 (∗)d) nessuna delle precedenti

Svolgimento. Per determinare l’espressione della funzione inversa,dobbiamo trattare l’espressione

y = (x+ 1)−1

come un’equazione nell’incognita x, che va determinata in funzione del-la variabile y; a tale scopo, se osserviamo che x appare nell’argomentodi una funzione potenza con esponente −1, è chiaro che per esplicitarex bisogna applicare ad ambo i membri dell’espressione predente ancorala funzione potenza con esponente −1, in quanto inversa della funzioneche opera su x (più precisamente su x+1); eleviamo quindi a −1 amboi membri (osservando che deve essere x+ 1 6= 0 ⇔ x 6= −1 e bisognaporre y 6= 0), ed otteniamo:

y−1 =[(x+ 1)−1

]−1 ⇔ y−1 = (x+ 1)(−1)·(−1) ⇔ y−1 = x+ 1

trattando l’espressione come un’equazione di primo grado nell’incognitax ed isolando quindi x al primo membro e si ottiene:

x = y−1 − 1 .

La risposta esatta è pertanto la c).

162


8. Data la funzione y = e√x, qual è la sua funzione inversa?

a) x = ln√y

b) x = ln (y2)

c) x = (ln y)2 (∗)d) nessuna delle precedenti

Svolgimento. Cominciamo con l’osservazione squisitamente teoricache l’espressione data ha senso in R solo se x ≥ 0. Per determinarel’espressione della funzione inversa, dobbiamo trattare l’espressione

y = e√x

come un’equazione nell’incognita x, che va determinata in funzione del-la variabile y; a tale scopo, se osserviamo che x appare nell’argomentodi una funzione esponenziale in base e, è chiaro che per esplicitare xbisogna applicare ad ambo i membri dell’espressione predente la fun-zione logaritmo in base e, in quanto inversa della funzione che opera sux (più precisamente su

√x); applicando quindi la funzione ln = loge ad

ambo i membri (osservando che deve essere y > 0, mentre il secondomembro è senz’altro positivo), otteniamo:

ln y = ln e√x ⇔ ln y =

√x .

Anche quast’ultima espressione va interpretata come un’equazione nel-l’incognita x, che deve ancora essere determinata in funzione della varia-bile y; se osserviamo che x appare nel radicando di una radice quadrata,è chiaro che per esplicitare x bisogna elevare al quadrato ambo i membridell’espressione predente (applicare la funzione potenza con esponente2, in quanto inversa della funzione che opera su x), per ottenere così:

(ln y)2 =(√

x)2 ⇔ (ln y)2 = x

e la risposta esatta è pertanto la c).

9. Se 2x−2 = 9, allora x è uguale a

a) 2 + log2 9 (∗)b) 2 + log9 2

163


c) log2 9

d) 0

Svolgimento. Per determinare x, l’espressione data

2x−2 = 9

va trattata come un’equazione esponenziale nell’incognita x; se osser-viamo che x appare nell’argomento di una funzione esponenziale in base2, è chiaro che per esplicitare x bisogna applicare ad ambo i membri del-l’espressione predente la funzione logaritmo in base 2, in quanto inversadella funzione che opera su x (più precisamente su x − 2); applican-do quindi la funzione log2 ad ambo i membri (osservando che ambo imembri sono senz’altro positivi), otteniamo:

log2 2x−2 = log2 9 ⇔ x− 2 = log2 9 ⇔ x = log2 9 + 2

e la risposta esatta è pertanto la a).

10. Data la funzione y = log2(x− 1), qual è l’ascissa del punto del graficodi ordinata y = −2?

a) x = −1

b) x = 2

c) x =5

4(∗)

d) non esiste alcun punto di ordinata −2

Svolgimento. Per determinare x, dobbiamo risolvere l’equazione

−2 = log2(x− 1),

da cui

2−2 = x− 1 ⇔ 1

4= x− 1 ⇔ x =

5

4.

164

4.4.1 Funzioni

• Per quali valori di x ∈ R, y =

√x2 − 4√1− x2

è reale?

a) −2 ≤ x < −1 , 1 < x ≤ 2

b) per nessun valore di x (∗)c) −2 ≤ x ≤ 2

d) −1 < x < 1


√x2 − 9√25− x2

è reale?

a) −3 < x < 3


c) −5 < x < 5

d) −5 < x ≤ −3 , 3 ≤ x ≤ 5 (∗)


4

√(x2 − 16)2

x2 − 16è reale?

a) x < −4 , x > 4

b) x 6= ±4 (∗)c) −4 < x < 4

d) per ogni x ∈ R

• Per quali valori di x ∈ R il numero y = 3x−1x+1 è reale?

a) x 6= −1 (∗)b) x > −1

c) x < −1

d) −1 < x < 1

• Per quale dei seguenti valori di x il numero y = log2 x non è reale?

165

a) x = −2 (∗)b) x = 4

c) x =1

2

d) x = 2

• Per quale dei seguenti valori di x ∈ R il numero y = ln3x+ 1√

xè reale?

a) x > 0 (∗)

b) x < −1

3, x > 0

c) −1

3< x < 0


• Per quali valori di x ∈ R, y =√

3 + 2 cosx− cos2 x è reale?

a)π

3≤ x ≤ 5

3π

b) 0 < x < π

c) −1 ≤ x ≤ 3

d) per ogni x ∈ R (∗)

• Data la funzione y =2

2− x, con x 6= 2, qual è la sua funzione inversa?

a) x =2− y

2

b) x = 1− 2

y

c) x =2

2− y

d) x = 2− 2

y(∗)

• Data la funzione y =1

2x+ 3, x 6= −3

2, qual è la sua funzione inversa?

166


a) x =1

2y− 3

2(∗)

b) x =1

2y + 3

c) x =1

y

d) x =y − 1

2y + 3

• Se 3x+1 = 7, allora x è uguale a

a) 0

b) log7 3− 1

c) log3 7

d) log3 7− 1 (∗)

• Se 5x−1 = 10, allora x èuguale a

a)3

2b) 1 + log5 10 (∗)c) 3

d) 1 + log10 5

167


168

Capitolo 5


Calcolo Combinatorio — Calcolo delle Probabilità

5.1 Calcolo CombinatorioIl Calcolo Combinatorio ha per oggetto lo studio delle proprietà dei diversigruppi che si possono formare, in base a leggi assegnate, con un numero finitodi dati elementi di natura qualunque.

In particolare, si propone la ricerca di metodi che permettano di formaretutti questi gruppi e di calcolarne il loro numero.

5.1.1 Cenni storici

Le origini di questo ramo dell’Analisi risalgono a

• B. Pascal (Traité du triangle arithmetique) scritto nel 1654;

• G. W. Leibniz, al quale si deve la denominazione di Ars Combinatoria;

• J. Wallis;

• B. Frénicle de Bessy;

• J. Bernoulli;

• A. De Moivre.

169


5.1.2 Definizioni

Consideriamo un insieme finito di n (n numero intero positivo!) elementidi natura qualunque che si denotano con una sola lettera munita di indice(a1, a2, a3, . . . , an), oppure con gli indici stessi (1, 2, 3, . . . , n).

I gruppi più importanti che si possono formare sono: le disposizioni, lepermutazioni e le combinazioni.

Le disposizioni e le combinazioni potranno essere semplici o con ripeti-zione.

5.1.3 Disposizioni semplici di n elementi a k a k

Tutti i gruppi di k elementi distinti, tratti da un insieme di n elementi distinti,che si distinguono o per almeno un elemento o per l’ordine in cui gli elementisono considerati formano le disposizioni di n elementi a k a k e si indicanocon Dn,k:

Dn,k = n(n− 1)(n− 2) · · · (n− k + 1)

Esempio 55 Le disposizioni degli elementi dell’insieme {1, 2, 3} a 2 a 2 sono

D3,2 = 3 · 2 = 6,

e precisamente:

(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2).

5.1.4 Permutazioni di n elementi

Tutti i gruppi di n elementi distinti, tratti da un insieme di n elementi di-stinti che si distinguono esclusivamente per l’ordine in cui gli elementi sonoconsiderati, formano le permutazioni di n elementi e si indicano con Pn;

Pn = Dn,n = n(n− 1)(n− 2) · · · (n− n+ 1) = n(n− 1) · · · 1 = n!

Esempio 56 Le permutazioni degli elementi dell’insieme {1, 2, 3} sono

P3 = 3! = 6,

e precisamente:

(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).

170


5.1.5 Inversioni sulle permutazioni

Dati n elementi distinti, si fissi ad arbitrio una delle loro n! permutazioni,chiamandola permutazione principale.

Si dice allora che in una permutazione qualsiasi due elementi, consecutivio no, presentano una inversione quando in essa si seguono in ordine oppostoa quello in cui si trovano nella permutazione principale.

Una permutazione si dice di classe pari o di classe dispari secondo checontiene un numero pari o dispari di inversioni. Due permutazioni che ap-partengono ad una medesima classe, oppure a classi diverse, mantengonoquesta proprietà se si cambia la permutazione principale.

Esempio 57 Fissata la permutazione principale (1, 2, 3),

• la permutazione (1, 3, 2) è di classe dispari;

• la permutazione (2, 3, 1) è di classe pari.

5.1.6 Combinazioni di n elementi a k a k

Tutti i gruppi di k elementi distinti, tratti da un insieme di n elementi distin-ti che si distinguono per almeno uno degli elementi (ma non per l’ordine!)formano le Combinazioni di n elementi a k a k e si indicano con Cn,k;

Cn,k =Dn,k

Pk=n(n− 1) · · · (n− k + 1)

k!=

n!

k!(n− k)!=

(n

k

),

dove(nk

)è detto coefficiente binomiale (interviene nello sviluppo della potenza

n–esima di un binomio).

Esempio 58 Le combinazioni degli elementi dell’insieme {1, 2, 3} a 2 a 2sono

C3,2 =

(3

2

)=

3 · 22!

= 6,

e precisamente;(1, 2), (1, 3), (2, 3).

171


5.1.7 Proprietà del coefficiente binomiale(n

k

)=

(n

n− k

)(n

k

)=

(n− 1

k

)+

(n− 1

k − 1

)(n

k

)=n− k + 1

k

(n

k − 1

)5.1.8 Binomio di Newton

(a+ b)n =n∑k=0

(n

k

)an−kbk

Ad es.,

(a+ b)4 =

(4

0

)a4 +

(4

1

)a3b+

(4

2

)a2b2 +

(4

3

)ab3 +

(4

4

)b4 =

= a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4.

5.2 Calcolo delle probabilità, cenni storiciGerolamo Cardano (Pavia 24/9/1501, Roma 20/9/1576) è il primo intellet-tuale nel mondo occidentale a considerare il Calcolo delle Probabilità degnodi attenzione (prima di lui esistono solo sporadici accenni ad alcuni problemisul gioco dei dadi, come nella Summa di Luca Pacioli).

Cardano raccoglie le sue riflessioni sull’argomento in quello che può riguar-darsi come il primo trattato della storia sul calcolo delle probabilità (Liberde ludo aleae, 1524 ). Non si tratta solo di riflessioni teoriche; Cardano, diumili origini, usò nel gioco d’azzardo le sue scoperte riuscendo a finanziare ipropri studi alla scuola medica di Pavia. Egli ebbe chiare le quattro nozionibasilari di quella che stata poi chiamata la “teoria classica” della probabilità:

1. la frequenza con cui si verifica ognuno dei possibili esiti di un espe-rimento, non esattamente prevedibile ma ripetuto in condizioni con-trollate (com’è il lancio di un dado), può essere prevista a priori conbuona approssimazione ricorrendo ad un calcolo matematico che sfruttiaccortamente le simmetrie implicite nelle modalità dell’esperimento;

172


2. il risultato di questo calcolo è un numero fra 0 e 1, definito probabilitàdel dato evento, che allo stesso tempo esprime il grado di fiducia cheriponiamo nel verificarsi del dato evento e fornisce una buona stimadella frequenza per un numero elevato di prove;

3. il passo essenziale per eseguire con successo il calcolo di una probabilitàè individuare correttamente il novero degli esiti possibili equiprobabilidi un dato esperimento; per esempio, nel lancio di due dadi gli esitipossibili della somma sulle due facce sono undici (2, 3, 4, . . . , 12), maCardano sapeva che non si tratta di eventi equiprobabili, mentre talisono i 36 eventi definiti dalle coppie ordinate dei risultati che compaionosulle facce dei due dadi

(1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), . . . , (2, 6), (3, 1), . . . , (6, 6);

4. la probabilità di un evento è il rapporto fra il numero dei casi ad essofavorevoli e il numero totale dei casi possibili (purché tutti equiprobabili,o, meglio, egualmente possibili).

5.2.1 Giochi di dadi e calcolo delle probabilità

Intorno al 1654, uno sfaccendato francese dedito al gioco, si accorge che certieventi, da lui ritenuti più probabili di altri, si verificano in realtà meno spessodi quanto egli si aspetta. Egli conosce un giovane di talento, Blaise Pascal(un genio precoce che a 16 anni pubblica un Trattato sulle sezioni coniche, a18 inventa una macchina calcolatrice, intorno ai 20 pone le basi della staticadei fluidi), un genio destinato tuttavia ad un’altrettanto precoce decadenzapsicofisica (poco dopo i 32 anni sprofonderà nella melassa delle disquisizioniteologiche.

A Pascal il nostro cavaliere invia il seguente quesito: Se si lanciano 3dadi, è un fatto che la somma 11 tende a uscire più spesso del 12.

Invece, secondo il cavaliere, i due eventi hanno le stesse chances, dalmomento che entrambi si possono formare in sei soli diversi modi:

11 = 6 + 4 + 1 = 6 + 3 + 2 = 5 + 5 + 1 = 5 + 4 + 2 = 5 + 3 + 3 = 4 + 4 + 3

12 = 6 + 5 + 1 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3 = 5 + 5 + 2 = 5 + 4 + 3 = 4 + 4 + 4

Allora perché l’esperienza al tavolo da gioco mostra che conviene scommette-re sull’uscita del numero 11 piuttosto che sul 12? La risposta è semplice se si

173


tiene conto che la somma è commutativa e quindi, ad esempio, la combinazio-ne 6 + 4 + 1 può verificarsi in 6 modi diversi (tutte le possibili permutazioni),

mentre la combinazione 5 + 5 + 1 si può totalizzare in 3 modi diversi (6!

2!), e

la combinazione 4 + 4 + 4 si può realizzare in un solo modo.Quindi, 11 si può totalizzare in

6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27

modi diversi, mentre 12 si può totalizzare in

6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25

modi diversi.Circa 40 anni dopo, la storia sembra ripetersi. Un altro nobile sfaccen-

dato, dedito al gioco d’azzardo, con idee ancor più erronee sul calcolo delleprobabilità, ma altrettanto coscienzioso nell’annotare i fatti al tavolo da gio-co, un certo Samuel Pepys, noto nei circoli londinesi dell’epoca, ha la fortunadi conoscere Newton, sicché nell’anno 1693 gli sottopone un altro “paradosso”:È più facile ottenere un 6 (almeno uno) lanciando 6 dadi o due 6 (almenodue) lanciandone 12?

Newton, con un calcolo semplice, diede la risposta giusta. Ma Mr. Pe-pys non accettò la conclusione e sfidò Newton a fornire argomenti. AlloraNewton gli mostrò i calcoli, ma neanche questo servì a convincerlo; questoci consente ancora oggi di additarlo ad esempio di testarda ottusità. A suaparziale discolpa, si deve riconoscere che questa ostinazione nel perseverarenei propri errori è tipica nell’ambito del calcolo delle probabilità, la cui storiaè costellata di abbagli clamorosi presi anche da personalità insigni (è recenteil caso del Paradosso di Monty Hall). La maggior parte di questi errori so-no dovuti o all’ambiguità delle formulazioni o all’incapacità di riconoscere lanon equiprobabilità degli eventi elementari posti alla base del calcolo; la par-te restante a fraintendimenti del significato della cosiddetta legge dei grandinumeri o alla confusione fra probabilità a priori e probabilità a posteriori.

Per calcolare la probabilità di ottenere almeno un 6 lanciando 6 dadi èmeglio calcolare la probabilità che non esca neanche un 6. Con un dado cisono cinque casi su sei che non esca fuori il 6 e quindi la probabilità che non

esca alcun 6 è5

6. Lanciando sei dadi, trattandosi di eventi indipendenti, la

probabilità che non esca neanche un 6 è:(5

6

)6

= 0.334898,

174


e quindi la probabilità che esca almeno un 6 è:

1− 0.334898 = 0.665102

La formula che fornisce questa probabilità si può scrivere anche come6∑

k=1

(6

k

)(1

6

)k (5

6

)6−k

che fornisce la probabilità che esca un 6, oppure due 6, . . . , oppure sei 6.Analogamente, lanciando 12 dadi, la probabilità che escano almeno due

6 sarà data da:12∑k=2

(12

k

)(1

6

)k (5

6

)12−k

= 0.618667.

Quindi, è più facile fare almeno un 6 con sei dadi che almeno due 6 condodici dadi!

5.3 Teoria della probabilitàEsistono vari approcci alla teoria della probabilità.

Classica Definizione di probabilità di carattere aprioristico, come rapportofra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi totali equiprobabili [P.S. Laplace, Théorie analytique des probabilités, Paris, 1812].

Frequentista Definizione di probabilità basata sul concetto di frequenzarelativa, cioè la probabilità di un evento ripetibile non è altro che ilrapporto tra il numero di volte che l’evento si è verificato diviso per ilnumero di esperimenti [R. von Mises, Wahrscheinlichkeit, Statistik undWahrheit, Springer-Verlag, Vienna, 1936].

Soggettivista Definizione di probabilità come misura di una opinione (simi-le ai ragionamenti di carattere induttivo del mondo delle scommesse)[B. De Finetti, Logos, organo della Biblioteca filosofica di Palermo,anno XIV (1931) p.163-219].

Assiomatico Definizione assiomatica di probabilità [A. Kolmogorov, Grund-begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Ergebn. Math., vol 2, N.3,1933].

175


5.3.1 Teoria assiomatica

Nella teoria assiomatica della probabilità si rinuncia all’inizio a dire comecalcolare la probabilità e si elencano solo le proprietà che deve avere unaqualche misura di probabilità.

La probabilità attinente ad un eventoA è quindi un numero P (A) assegna-to a questo evento. Tale numero, peraltro non meglio specificato, obbedisceai tre seguenti postulati (assiomi):

1. P (A) ≥ 0.

2. La probabilità dell’evento certo S : P (S) = 1.

3. Se A e B si escludono a vicenda P (A+B) = P (A) + P (B).

5.3.2 Notazioni abbreviate

• AB corrisponde al verificarsi simultaneo di A e B (A ∩B);

• A+B corrisponde al verificarsi di A o di B o di entrambi (A ∪B);

• A−B corrisponde al verificarsi di A ma non di B;

• A|B corrisponde al verificarsi di A, ammesso che si sia già verificato B;

• A evento contrario di A (A = S − A).

• ∅ corrisponde all’evento impossibile.

Corollari

Dagli assiomi del calcolo delle probabilità discendono subito delle sempliciconseguenze.

Corollario 1P (∅) = 0.

Infatti, poichéP (A) = P (A+ ∅) = P (A) + P (∅),

deve essereP (∅) = 0.

176


Corollario 2P (A) = 1− P (A).

Infatti, poichéA+ A = S e AA = ∅

si ha:

P (A+ A) = P (A) + P (A) = 1 ⇒ P (A) = 1− P (A).

Corollario 3 Per ogni evento A si ha:

P (A) ≤ 1

Infatti, poiché deve essere

P (A) = 1− P (A) ≥ 0

segue cheP (A) ≤ 1.

Corollario 4 Per ogni coppia di eventi A e B risulta:

P (A+B) = P (A) + P (B)− P (AB) ≤ P (A) + P (B).

Infatti:A+B = A+ AB e B = AB + AB,

da cui segue

P (A+B) = P (A) + P (AB) e P (B) = P (AB) + P (AB);

eliminandoP (AB),

si ottiene:P (A+B) = P (A) + P (B)− P (AB),

da cui, essendoP (AB) ≥ 0,

si ha:P (A+B) = P (A) + P (B)− P (AB) ≤ P (A) + P (B).

177


5.3.3 Probabilità condizionata

Assegnato un eventoM con probabilità non nulla P (M) > 0 si definisce pro-babilità dell’evento A, condizionata dall’evento M , e si indica con P (A|M),il rapporto fra la probabilità dell’evento AM e quella dell’evento M . Informule:

P (A|M) =P (AM)

P (M)

La quantità P (A|M) soddisfa gli assiomi della teoria della probabilità ecioè:

1. P (A|M) ∈ [0, 1];

2. P (S|M) = 1;

3. Se AB = ∅ allora P ((A+B)|M) = P (A|M) + P (B|M).

Dimostrazione

1. Dalla definizione di probabilità condizionata come rapporto di quantitàpositive si deduce che P (A|M) ≥ 0;

2. Essendo SM = M si ha: P (S|M) = P (SM)P (M)

= 1;

3.

P ((A+B)|M) =P ((A+B)M)

P (M)=P (AM +BM)

P (M)=P (AM) + P (BM)

P (M)

=P (AM)

P (M)+P (BM)

P (M)= P (A|M) + P (B|M).

5.3.4 Probabilità totale

Dati n eventi A1, A2, . . . , An tali che AiAj = ∅ ∀i 6= j = 1, 2, . . . , n eA1 + A2 + . . .+ An = S e sia B un evento arbitrario, allora:

P (B) = P (B|A1)P (A1) + P (B|A2)P (A2) + . . .+ P (B|An)P (An).

Infatti, essendo

B = BS = B(A1 + . . .+ An) = BA1 + . . .+BAn,

(BAi)(BAj) = ∅ ∀i 6= j

178


si può scrivere

P (B) = P (BA1) + P (BA2) + . . .+ P (BAn),

da cui, essendoP (BAi) = P (B|Ai)P (Ai),

si ottiene la probabilità totale.

Teorema 3 Teorema di Bayes

P (Ai|B) =P (B|Ai)P (Ai)

P (B|A1)P (A1) + P (B|A2)P (A2) + . . .+ P (B|An)P (An)

Essendo gli Ai disgiunti a coppie e formanti un insieme completo di even-ti. Infatti, dalla definizione di probabilità condizionata si ha: P (AiB) =

P (Ai|B)P (B) = P (B|Ai)P (Ai) da cui si ricava che P (Ai|B) = P (B|Ai)P (Ai)P (B)

e ricordando la probabilità totale si ottiene il teorema di Bayes.

5.3.5 Eventi indipendenti

Due eventi A e B si dicono indipendenti se e solo se:

P (AB) = P (A)P (B)

da cui segue che

P (A|B) = P (A); P (B|A) = P (B).

5.4 Paradossi nel calcolo delle probabilitàIl calcolo delle probabilità fornisce semplici esempi di risultati paradossali econtrointuitivi. Due classici esempi sono forniti dal problema del compleannoe dal problema di Monthy Hall.

5.4.1 Paradosso del compleanno

Ad una festa (in cui non ci sono 4 gatti, ma neanche tantissime persone)conviene scommettere sul fatto che ci sono almeno due persone che fanno ilcompleanno lo stesso giorno?

179


Il problema collegato a questa scommessa prende il nome di paradossodel compleanno, posto nel 1939 da Richard von Mises. Il paradosso affermache la probabilità che almeno due persone in un gruppo compiano gli anni lostesso giorno è largamente superiore a quanto potrebbe dire l’intuito: infattigià in un gruppo di 23 persone la probabilità è circa 0.51; con 30 personeessa supera 0.70, con 50 persone tocca addirittura 0.97, anche se per arrivareall’evento certo occorre considerare un gruppo di almeno 367 persone (per ilprincipio dei cassetti e la possibilità di anni bisestili: se abbiamo n cassettied n+ 1 oggetti, almeno due oggetti devono stare nello stesso cassetto!).

Per effettuare il calcolo, usiamo la formula per la probabilità degli eventiindipendenti: per rendere più semplice il calcolo assumiamo che gli anni sianotutti di 365 giorni e che i compleanni siano equiprobabili, anche se ciò nonè esatto. Aggiungere il giorno bisestile peggiora leggermente la probabilità,ma in compenso il fatto che i compleanni non siano equiprobabili la alza.

Il modo più semplice per calcolare la probabilità P (n) che ci siano almenodue persone appartenenti ad un gruppo di n persone che compiano gli annilo stesso giorno è calcolare dapprima la probabilità P1(n) che ciò non accada.

Data una qualunque persona del gruppo (indipendentemente dalla datadel suo compleanno), vi sono 364 casi su 365 in cui il compleanno di unaseconda persona avvenga in un giorno diverso; se si considera una terzapersona, ci sono 363 casi su 365 in cui compie gli anni in un giorno diversodalle prime due persone e così via. Esprimendo in formule quanto sopra, laprobabilità che tutti i compleanni cadano in date diverse è:

P1(n) =364

365· 363

365· 362

365· · · 365− (n− 1)

365=

365!

365n(365− n)!.

L’evento che ci interessa ha quindi probabilità

P (n) = 1− 365!

365n · (365− n)!.

Nella seguente tabella calcoliamo il valore di P (n) per vari valori di n:

180


n P (n) (%)20 41.143821 44.368822 47.569523 50.729724 53.834425 56.8726 59.824127 62.685928 65.446129 68.096930 70.631635 81.438340 89.123245 94.097650 97.037455 98.626260 99.412365 99.768370 99.91675 99.97280 99.991485 99.997690 99.9994

5.4.2 Problema di Monty Hall

Il problema di Monty Hall è un famoso problema di teoria della probabilitè,legato al gioco a premi americano Let’s Make a Deal. Prende il nome daquello del conduttore dello show, Maurice Halprin, noto con lo pseudonimodi Monty Hall.

Nel gioco vengono mostrate al concorrente tre porte chiuse; dietro aduna si trova un’automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde unacapra. Il giocatore può scegliere una delle tre porte, vincendo il premiocorrispondente. Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l’haancora aperta, il conduttore dello show, che conosce ciò che si trova dietroogni porta, apre una delle altre due, rivelando una delle due capre, e offre

181


al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale, passandoall’unica porta restante. Che fare?

Cambiare porta migliora le possibilità del giocatore di vincere l’automobi-le? La risposta è contrariamente all’intuizione, sì: infatti, cambiando porta,

le probabilità di successo raddoppiano passando da1

3a

2

3.

Il problema è anche noto come paradosso di Monty Hall, poiché la soluzio-ne può apparire controintuitiva, sebbene non si tratti di una vera antinomia,non generando nessuna contraddizione logica. La seguente figura mostra inmaniera semplice perché conviene cambiare porta.

5.5 Esercizi svolti

5.5.1 Calcolo combinatorio

1. In quanti modi si possono sedere 6 persone nei 6 posti di uno scompar-timento ferroviario?

Svolgimento. La prima persona può scegliere uno qualunque dei 6posti, la seconda uno qualunque dei 5 posti rimanenti, la terza unoqualunque dei 4 posti rimanenti, e così via. Dunque il numero deimodi in cui si possono sedere le 6 persone nei 6 posti è dato dallepermutazioni di 6 elementi: 6! = 720.

182


2. Calcolare quanti anagrammi (anche senza significato) si possono for-mare con la parola CASSA.

a) 120

b) 30 (*)

c) 480

d) nessuna delle risposte precedenti

Svolgimento. Se tutte le lettere fossero distinte i possibili anagrammisarebbero le permutazioni di 5 elementi, P5 = 5! = 120. Poiché cisono lettere ripetute, una permutazione di lettere ripetute non cambial’anagramma; bisogna quindi dividere le permutazioni di 5 elementi perle permutazioni di 2 elementi (per la lettera “A” ripetuta due volte) eper le permutazioni di 2 elementi (per la lettera “S” ripetuta due volte).Il risultato è quindi

P5

P2 · P2

=5!

2! · 2!=

120

2 · 2= 30.

3. Tra tutti i numeri di 10 cifre diverse tra loro, quanti sono quelli le cuiprime 5 cifre sono dispari?

Svolgimento. Poiché le cifre sono tutte diverse e le prime 5 sonodispari, le ultime 5 cifre devono essere pari. Tutti i possibili gruppidi 5 cifre dispari sono 5! e così tutti i possibili gruppi di 5 cifre pari.Dunque, la risposta è 5! · 5! = 14400.

4. Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA?

Svolgimento. Le permutazioni di 10 elementi sono 10!. Poiché ci sonodelle lettere ripetute (3 “A”, 2 “M” e 2 “T”) il numero di anagrammi è

10!

3! · 2! · 2!=

3628800

24= 151200.

5. In un autobus vi sono 12 posti numerati. In quanti modi diversi 5persone possono occuparli?

Svolgimento. La prima persona può scegliere uno qualunque dei 12posti, la seconda uno qualunque degli 11 posti rimanenti, . . . , la quinta

183


persona uno qualunque degli 8 posti rimanenti. La risposta è quindidata dalle disposizioni di 12 elementi a 5 a 5:

D12,5 = 12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 95040.

6. Tra tutti i numeri di 3 cifre, tutte dispari e diverse tra loro, quanti sonoi multipli di 5?

Svolgimento. I numeri di 3 cifre con le cifre dispari e diverse tra lorosono 5 · 4 · 3 = 60. Infatti, la prima cifra può essere scelta in 5 modidiversi, la seconda cifra in 4 modi diversi e l’ultima cifra in 3 modidiversi. I multipli di 5 sono quelli che hanno l’ultima cifra uguale a 5.Dunque, la prima cifra può essere scelta in 4 modi diversi e la secondain 3 modi diversi (la cifra “5” è vincolata ad essere l’ultima cifra). Larisposta è quindi 4 · 3 = 12.

7. Quanti ambi, terni, quaterne si possono formare con i novanta numeridel lotto?

Svolgimento. Il numero di ambi diversi sono le combinazioni di 90elementi a 2 a 2, il numero di terni le combinazioni di 90 elementi a 3a 3, il numero di quaterne le combinazioni di 90 elementi a 4 a 4:

C90,2 =

(90

2

)= 4005, Numero di ambi;

C90,3 =

(90

3

)= 117480, Numero di terni;

C90,4 =

(90

4

)= 2555190, Numero di quaterne.

8. Dodici amici, dopo una cena, si salutano ed ognuno di essi stringe lamano a tutti gli altri. Quante sono le strette di mano?

Svolgimento. La risposta è data dalle combinazioni di 12 elementi a2 a 2:

C12,2 =

(12

2

)= 66.

9. Si mescolano 10 carte e se ne distribuiscono 5 al giocatore A e 5 algiocatore B. In quanti modi diversi può avvenire la distribuzione?

184


Svolgimento. Le combinazioni di 10 elementi a 5 a 5 caratterizzano lecarte che riceve il giocatore A; le carte che rimangono sono del giocatoreB. La distribuzione può quindi avvenire in

C10,5 =

(10

5

)= 252

modi diversi.

10. Si mescolano 12 carte e se ne distribuiscono 3 al giocatore A, 3 a B, 3a C e 3 a D. In quanti modi diversi può avvenire la distribuzione?

Svolgimento. Le combinazioni di 12 elementi a 3 a 3 caratterizzanole carte che riceve il giocatore A, le combinazioni di 9 elementi 3 a 3 lecarte che riceve il giocatore B, le combinazioni di 6 elementi a 3 a 3 lecarte che riceve il giocatore C. Al giocatore D vanno le carte rimanenti.La distribuzione può quindi avvenire in

C12,3 · C9,3 · C6,3 =

(12

3

)·(

9

3

)·(

6

3

)= 369600

modi diversi.

11. In quanti modi diversi si possono sistemare in una fila di sedie 5 ragazzie 6 ragazze, con la condizione che i ragazzi stiano tutti vicini tra lorocosì come anche le ragazze?

a) 2 · 5! · 6! (*)

b) C11,2

c) D11,2

d) 11!

Svolgimento. Il numero di modi di sistemazione dei 5 ragazzi è datodalle permutazioni di 5 elementi, mentre il numero di modi di siste-mazione dei 6 ragazzi è dato dalle permutazioni di 6 elementi. INfine,poiché si possono sistemare prima i ragazzi e poi le ragazze, o vicever-sa, il numero dei modi di sistemazione dei 5 ragazzi e delle 6 ragazze èquindi

2 · P5 · P6 = 5! · 6! = 2 · 120 · 720 = 172800.

185


12. Quante stringhe diverse di 10 lettere si possono costruire anagramman-do la parola PIANOFORTE (si è interessati a tutti gli anagrammi aprescindere dal fatto che si abbia un significato)

a) 10!

b) 10! 3!

c)10!

2!(∗)


Svolgimento. Se tutte le lettere fossero distinte i possibili anagrammisarebbero le permutazioni di 10 elementi, P10 = 10! = 3628800. Poichéci sono due “O” ripetute, bisogna dividere per le permutazioni di 2elementi. Il risultato è quindi

P10

P2

=10!

2!=

3628800

2= 1814400.

13. Quanti oggetti possiamo differenziare con delle targhe di due simboli dicui il primo è una lettera dell’alfabeto italiano e il secondo è una cifrada 0 a 7?

a) 21 · 7b) 29

c) 168 (∗)d) 15

Svolgimento. Il primo simbolo si può scegliere in 21 modi diversi e ilsecondo in 8 modi diversi. Le possibili targhe sono quindi

21 · 8 = 168.

14. 5 palline rosse, 2 bianche, 3 azzurre devono essere sistemate in fi-la, se tutte le palline dello stesso colore sono indistinguibili, quantesistemazioni sono possibili?

a) 5! · 2! · 3!

b) D10,5

186


c) 10!

d)10!

5! · 2! · 3!(∗)

Svolgimento. In tutto si hanno 10 palline che possono essere siste-mate in 10! modi diversi. Poiché le palline dello stesso colore sonoindistinguibili, bisogna dividere tale numero per 5! · 2! · 3!. La rispostaè quindi

10!

5! · 2! · 3!= 2520.

5.5.2 Calcolo delle probabilità

1. Qual è la probabilità di fare ambo, terno, quaterna e cinquina in unaestrazione del lotto?

Svolgimento. Il numero di possibili giocate è

C90,5 =

(90

5

)= 43949268.

Poiché si giocano 5 numeri, il numero possibile di giocate con un ambosono

C88,3 = 109736.

La probabilità di fare un ambo è quindi

C88,3

C90,5

=109736

43949268=

2

801= 2.49688 · 10−3

Analogamente, la probabilità di fare terno è

C87,2

C90,5

=3741

43949268=

1

11748= 8.51209 · 10−5,

la probabilità di fare quaterna è

86

C90,5

=86

43949268=

1

511038= 1.9568 · 10−6,

e la probabilità di fare cinquina è

1

C90,5

=1

43949268= 2.27535 · 10−8,

187


2. Giocando a poker con 32 carte, qual è la probabilità di vedersi servireun poker d’assi?

Svolgimento. Tutte le combinazioni di 5 carte estratte da 32 sono

C32,5 =

(32

5

)= 201376.

Tutte le combinazioni di poker d’assi sono 28: 4 assi e una carta qua-lunque tra le rimanenti 28. Dunque, la probabilità di vedersi servireun poker d’assi è

28

201376=

1

7192.

3. Si lanciano 10 monete. Qual è la probabilità che escano 5 teste?

Svolgimento. Gli esiti possibili sono le 210 = 1024 stringhe di 10simboli scelti nell’insieme {T,C}. Di queste, le stringhe che contengono5 teste sono (

10

5

)= 252.

Infatti, c’è una sola stringa con 10 “T”, 10 =(101

)stringhe con 9 “T”,

45 =(102

)stringhe con 2 “T”, . . . ,

(10k

)stringhe con k “T”. La probabilità

è quindi (105

)210

=252

1024=

63

256= 0.246094.

4. Si lancia due volte un dado. Calcolare la probabilità che nei due lancisi presenti la stessa faccia.

Svolgimento. Nel primo lancio la faccia che esce non è importante.Nel secondo lancio una sola faccia garantisce il successo. Dunque, laprobabilità è 1

6.

5. Calcolare la probabilità che lanciando 4 volte una coppia di dadi sirealizzi, almeno una volta, il doppio sei.

Svolgimento. La probabilità che in un lancio si presenti il doppio seiè p = 1

36mentre la probabilità che non esca il doppio sei è q = 35

36.

Per semplicità di calcolo conviene calcolare la probabilità dell’eventocomplementare, cioè che nei quattro lanci non esca mai il doppio sei.

188


Poiché i quattro lanci sono eventi indipendenti, la probabilità che neiquattro lanci non esca mai il doppio sei è:(

35

36

)4

= 0.945216.

Dunque, la probabilità che esca nei quattro lanci almeno un doppio seiè

1−(

35

36

)4

= 0.054784.

6. 4 studenti su 10 vengono esaminati dal docente gli altri dall’assisten-te. La probabilità di superare l’esame sono 0.6 e 0.8 rispettivamente.Uno studente ha superato l’esame. Qual è la probabilità che sia statoesaminato dal docente?Svolgimento. Se A è l’evento esame, B è l’evento esame sostenutocon il docente, e C l’evento esame sostenuto con l’assistente, si ha:

P (A|B) = 0.6, P (B) = 0.4, P (A|C) = 0.8, P (C) = 0.6.

Applicando il teorema delle probabilità totali, si ha:

P (A) = P (A|B) · P (B) + P (A|C) · P (C)

= 0.6 · 0.4 + 0.8 · 0.6 = 0.24 + 0.48 = 0.72.

7. Un’urna contiene venti palline numerate da 1 a 20. Si estrae una pallina.Calcolare la probabilità che il numero sorteggiato sia multiplo di 5 o di7:

a) 0.3 (*)b) 0.4

c) 0.1

d) nessuna delle precedenti risposte

Svolgimento. I multipli di 5 sono 4 (5, 10, 15 e 20), mentre i multiplidi 7 sono 2 (7 e 14). La probabilità è quindi 6

20= 3

10= 0.3.

8. Su 625 alunni di un istituto 225 sono iscritti al centro sportivo e 150seguono un corso di informatica. Calcolare la probabilità che un alunnosia iscritto al centro sportivo o al corso di informatica nell’ipotesi chenessun alunno svolge entrambe le attività:

189


a) 0.36

b) 0.24

c) 0.6 (*)

d) 0.12

Svolgimento. Poiché nessun alunno svolge entrambe le attività, ilnumero di alunni che svolge almeno un’attività è 225 + 150 = 375. Laprobabilità che un alunno svolga almeno un’attività è quindi

375

625=

3

5= 0.6.

9. Qual è la probabilità di estrarre un asso oppure un 10 di cuori oppureun 2 di picche da un mazzo di 52 carte?

a)3

52

b)3

26(∗)

c)3

13


Svolgimento. I casi favorevoli sono 6 (4 assi, il 10 di cuori e il 2 dipicche) su un totale di 52 casi. La probabilità è quindi 6

52, cioè quella

della risposta b).

10. In un’urna vi sono 8 palline bianche e 7 nere. Quante palline nere devoaggiungere affinché la probabilità di estrarre una pallina bianca scendaa 0, 4?

a)8

15

b) 7

c) 5 (∗)

d)7

15

190


Svolgimento. Il numero x di palline nere da aggiungere perché la pro-babilità di estrarre una pallina bianca sia pari a 0.40 è tale da soddisfarela seguente condizione:

8

x+ 15=

4

10,

da cui si ricava che deve essere x = 5, cioè la risposta c).

11. Si effettuano due lanci di una moneta. Qual è la probabilità che sipresenti “testa” almeno una volta?

a)1

2

b)1

8

c)3

4(∗)

d)3

8

Svolgimento. I risultati possibili dei due lanci sono “TT”, “TC”, “CT”e “CC”; in tre casi su quattro si presenta almeno una volta “T” e quindila risposta esatta è la c).


5.6.1 Calcolo combinatorio

• Ad una gara partecipano 20 concorrenti. In quanti modi potrebbeessere formata la classifica finale dei 20 concorrenti?

a) C20,2

b) D20,2

c) 20! · 19!

d) 20! (*)

• Quante partite di scacchi diverse possono essere giocate da sei giocato-ri?

a) 6!

191


b) D6,2

c) 62

d) C6,2 (∗)

• In quanti modi si possono trovare disposte le carte di un mazzo da 40?

a) 5!

b) 40! (∗)c) 40 · 39


• Quante stringhe diverse di 12 lettere si possono costruire anagramman-do la parola CALTANISETTA (si è interessati a tutti gli anagrammi aprescindere dal fatto che si abbia un significato)

a) 12!

b) 12! 3! 3!

c) 12! 2! 3!

d) nessuna delle risposte precedenti (∗)

• 7 palline rosse, 5 bianche, 4 azzurre devono essere sistemate in fi-la, se tutte le palline dello stesso colore sono indistinguibili, quantesistemazioni sono possibili?

a) 7! 5! 4!

b)16!

7! 5! 4!(∗)

c) 16!

d) D16,5

• Si consideri una data estrazione in una determinata ruota del lotto.Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri 1e 90.

a) C88,3 (∗)b) D90,5

192


c) C90,5

d) D88,3

• L’alfabeto italiano contiene 16 consonanti e 5 vocali. Quante stringhedi 6 lettere si possono formare con lettere tutte diverse in modo taleche contengano a e b?

a) C6,2 ·D19,4

b) D19,4

c) C19,4 · 20 · 20

d) C6,2 · 2 · 19 · 18 · 17 · 16 (∗)

• Quattro giocatori di tennis vogliono giocare un doppio. Quante coppiedistinte si possono formare?

a) C4,2 (∗)b) D4,2

c) Cr4,2

d) 4! 2!

• In quanti modi diversi possono essere collocati in una libreria 7 libriscelti tra 20?

a) 20! 7!

b) D20,7 (∗)c) 720

d) C20,7

• Quante stringhe diverse di 7 lettere si possono costruire anagrammandola parola MESSINA (si è interessati a tutti gli anagrammi a prescinderedal fatto che si abbia un significato)

a) 2520 (∗)b) 7!

c) 7! 2!

d) 252

193


• Supponiamo che il menu di un ristorante consista di 5 antipasti, 6 primi,6 secondi e 4 dolci: quanti pasti completi (di quattro piatti) possiamoordinare?

a) C21,4

b) D21,4

c) 720 (∗)d) 5! 6! 6! 4!

• Quanti oggetti possiamo differenziare con delle targhe di due simboli dicui il primo è una lettera dell’alfabeto italiano e il secondo è una cifrada 0 a 9?

a) 31

b) 189

c) 200

d) 210 (∗)

5.6.2 Calcolo delle probabilità

• Qual è la probabilità di estrarre un asso oppure un 10 da un mazzo di52 carte?

a) 2/13 (∗)b) 2/52

c) 5/52


• Un’urna contiene 10 palline bianche, 15 nere, 20 blu e 25 rosse. Qual èla probabilità che una pallina estratta sia bianca, nera o blu:

a) 5/14

b) 9/14 (∗)c) 1/2


194


• Un’urna contiene 12 palline numerate da 1 a 12. Si estrae una pallina.Calcolare la probabilità che il numero sorteggiato sia multiplo di 3 o di7.

a) 0, 4

b) 1/10

c) 1/4

d) 5/12 (∗)

• Un’urna contiene 15 palline numerate da 1 a 15. Si estrae una pallina.Calcolare la probabilità che il numero sorteggiato sia multiplo di 4 o 5.

a) 0, 4

b) 2/3 (∗)c) 6/5


• Un’urna contiene 20 palline numerate da 1 a 20. Si estrae una pallina.Calcolare la probabilità che il numero sorteggiato sia multiplo di 4 o 5.

a) 0, 4 (∗)

b)1

10

c)1

4

d)1

5

• Si estragga un numero della tombola (da 1 a 90). Qual è la probabilitàche sia un multiplo di 7?

a)1

5

b)2

15(∗)

c)7

90

d)11

90

195


• Un’urna contiene 10 palline bianche, 15 nere, 20 blu e 25 rosse. Qual èla probabilità che una pallina estratta sia bianca o nera?

a)3

14

b)2

5

c)1

7

d)5

14(∗)

196

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