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Una teoria di piastra geometricamente non lineare La teoria di Von Karman (1910) (GNL) Il modello di piastra che introduciamo ora differisce profondamente dai modelli precedenti perché rileva l’ipotesi di linearità geometrica introducendo tuttavia una opportuna linearizzazione delle equazioni di congruenza (teoria non lineare al primo ordine). La presente teoria può essere appropriata da un punto di vista applicativo, nel caso di lastre molto sottili con condizioni di carico generiche (normali e parallele al piano medio) in cui gli effetti membranali e flessionali non possono essere disaccoppiati, ma anche nelle analisi di stabilità di piastre caricate nel piano medio in cui occorre esprimere le equazioni di equilibrio in una configurazione variata, prossima alla configurazione indeformata.

a) Cinematica La cinematica del modello di piastra di Von Karman si basa sulle seguenti ipotesi. Durante la deformazione i segmenti lineari normali al piano medio nella configurazione indeformata, H1) rimangono rettilinei (assenza di ingobbamento dell’elemento); H2) non subiscono allungamenti o accorciamenti (assenza di deformazione nello

spessore); H3) si mantengono normali alla superficie media deformata durante la deformazione

(scorrimento medio trasversale nullo); inoltre, poiché si ipotizzano spostamenti moderatamente grandi, H4) nelle equazioni di congruenza si considerano alcuni termini non lineari; in

particolare quei termini che coinvolgono al secondo ordine solo lo spostamento trasversale (teoria geometricamente non lineare al primo ordine).

Le condizioni di carico sono nel piano medio della piastra e normali al piano medio. Questa teoria semilineare (perché tiene conto solo di alcuni termini non lineari), è valida solo se lo spostamento trasversale è moderatamente grande e le deformazioni sono piccole da consentire relazioni costitutive lineari (spostamenti moderatamente grandi e piccole deformazioni). In questo modello le ipotesi di Kirchhoff per la piastra inflessa sono mantenute ma si aggiungono termini non lineari relativi solo all’inflessione (ricordiamo che nella trattazione lineare i due effetti sono disaccoppiati). Indichiamo con u , v e w rispettivamente gli spostamenti lungo l’asse x, lungo l’asse y e lungo l’asse z dei punti che appartengono al piano medio. Gli spostamenti , e x y zu u u di un punto generico P (x, y, z) della piastra sono dati dalle posizioni

, , x x y y zu u zw u v zw u w= − = − = . Si osservi che il modello cinematico non è altro che la sovrapposizione del modello di Kirchhoff ed il modello membranale. Le deformazioni associate con i campi di spostamento introdotti richiedono in questo modello una maggior attenzione in quanto ricorriamo alle equazioni di congruenza

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non lineari. Se consideriamo solo spostamenti moderatamente grandi non tutti i contributi non lineari si rilevano ugualmente importanti per cui il modello di Von Karman propone di tenere conto solo dei termini quadratici riferiti alla componente di spostamento trasversale w. Le deformazioni assumono la seguente forma

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2, , , , ,

2 2

, , , , ,

,

, , , , , , , , , ,

1 12 21 12 20 ,

2

0,0

xx x x z x x xx x

yy y y z y y yy y

zz z z

xy xy x y y x z x z y y x xy yx x y

xz

yz

u u u zw w

u u v zw w

u

u u u u u v z w w w w

ε

ε

ε

γ ε

γγ

= + = − +

= + = − +

= =

= = + + = + − + +

==

Le deformazioni generalizzate associate ai campi di spostamento introdotti sono

( )

( )

2, ,

2

, ,

, , ,

,

,

,

1212

2

x x x

y y y

xy y x xy

x xx

y yy

xy xy

u w

v w

u v w

ww

w

ε

ε

γ

κ

κ

κ

= +

= +

= + +

= −

= −

= −

Si osservi che, nelle componenti di deformazione membranali ora compare il termine w nelle sue derivate al secondo ordine; questa dipendenza rappresenta l’accoppiamento deformativo tra i problemi membranale e flessionale riflette quindi l’influenza degli spostamenti trasversali sulla deformazione del piano medio. b) Statica L’aspetto statico richiede di considerare entrambe le quantità generalizzate riferite agli stati membranale e flessionale I vettori degli sforzi generalizzati assumono la seguente forma

{ } T

x y xyN N N=N { } T

x y xyM M M=M e

{ }T

x yT T=T . Esprimiamo ora le equazioni indefinite di equilibrio per la lastra che deduciamo considerando un elemento infinitesimo dx x dy della piastra con facce parallele ai piani coordinati. Per semplicità consideriamo solo carichi trasversali al piano medio. Imponiamo rispettivamente l’equilibrio alla traslazione rispetto all’asse x, all’asse y, all’asse z ed alla rotazione intorno agli assi coordinati considerando la configurazione deformata

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, ,

, ,

, , , , ,

, ,

, ,

+ 0

+ 0

+ 2

x x xy y

yx x y y

x x y y z x xx y yy xy xy

x x xy y x

y y yx x y

N N

N N

T T p N w N w N w

M M T

M M T

=

=

= − − − −

+ =

+ =

Si osservi che tra le relazioni trovate, a meno di infinitesimi di ordine superiore, l’equazione di equilibrio alla traslazione verticale è l’unica equazione che accoppia gli sforzi membranali con gli sforzi flessionali. In analogia alla trattazione per la piastra di Kirchhoff possiamo derivare opportunamente le ultime due equazioni e sostituirle nella terza per ottenere

( ), , , , , ,2 2x xx y yy xy xy z x xx xy xy y yyM M M p N w N w N w+ + = − − + + . Le prime due equazioni di equilibrio possono essere ulteriormente disaccoppiate dalle restanti equazioni ed essere risolte come un problema membranale ricorrendo all’introduzione di una funzione potenziale biarmonica per cui , , , x yy xy yx y xxN N N= Ψ = −Ψ = Ψ . c) Legame elastico Le equazioni costitutive per il caso di lastra omogenea ed isotropa hanno la seguente forma

,

,

,

1 01 0

0 0 (1 )

xxx

y yy

xy xy

wM vM D v w

vM w

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

e per gli sforzi di taglio (Kirchhoff) valgono le seguenti equazioni

,

,

xx

y y

wTD

T w∆⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬∆⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Per le azioni membranali ricordiamo che

( )

( )

2

, ,

2

, , 2 21 12 2

, , ,

121 0 1 0

12 12 11 0 1 02

0 0 (1 ) 0 0 (1 )

y y

x x

y y y y

xy xyy x xy

v wN v vN D v D v v w

h hv vN u v w

εε

γ

⎧ ⎫+⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ + +⎪ ⎪

⎪ ⎪⎩ ⎭

.

Le incognite del problema sono le componenti di spostamento trasversale e longitudinale ed il vettore degli spostamenti generalizzati assume la forma

{ } , , , , T

x yu v w ϕ ϕ=u (ricordiamo che le rotazioni sono legate allo spostamento trasversale H3). Esprimiamo l’equazione

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( ), , , , , ,2 2x xx y yy xy xy z x xx xy xy y yyM M M p N w N w N w+ + = − − + + in termini della componente di spostamento trasversale, ed otteniamo

, , , 2 0− ∆∆ + + + + =x xx xy yx y yy zD w N w N w N w p . Ancora, l’equazione di campo in termini della funzione di sforzo può essere espressa nella seguente forma

, , , , , , 2 0− ∆∆ +Ψ − Ψ +Ψ + =yy xx yx yx xx yy zD w w w w p in cui Ψ è una funzione nota. Il modello di Von Karman è importante per due motivi: è il più semplice modello matematico per descrivere deformazioni moderatamente grandi in lastre sottili e, l’equazione di campo, può essere risolta in molti casi in forma esplicita. Il caso di piastra circolare caricata in modo assialsimmetrico è stato affrontato da Dickey nel 1976. Se questa teoria viene utilizzata per le analisi di stabilità di lastre caricate nel proprio piano allora la condizione di carico trasversale e’nulla ed i termini

, , , , e x yy xy yx y yyN N N= Ψ = −Ψ = Ψ devono essere riguardati come termini noti derivanti dalla soluzione del problema piano di tensione della piastra caricata nel proprio piano nella configurazione indeformata. Il carico critico per la piastra si ottiene ricercando la soluzione della seguente equazione differenziale

, , , , , , 2 0yy xx yx yx xx yyD w w w w− ∆∆ +Ψ − Ψ +Ψ = , con le condizioni al contorno associate specifiche del problema in esame.