8/18/2019 Volume Solido Rotazione 1

1/3

volume di  solidi  di  rotazione_esercizio1  pag. 1 di  3 

Calcolo volume di solidi di rotazione_esercizio1 

Data  la  parabola 442   x x y   ,  detti  V  il  vertice  e  A  il  punto  di  intersezione  della  parabola 

con l’asse delle ordinate, determinare il volume W1 del solido generato dal triangolo mistilineo 

AOV  in  una  rotazione  completa  attorno  all’asse  delle  ordinate  e  il  volume  W2  del  solido 

generato dal triangolo mistilineo AOV  in una rotazione completa attorno all’asse delle x . 

Si tratta di calcolare tali volumi  in termini di  integrali definiti. Una volta stabilito per  intersezione 

che V(2,0)  e A(0,4) ,  il  volume W1 del  solido  che  si  genera per  rotazione  attorno  all’asse delle 

ordinate  è  π volte  l’integrale  rispetto  a  y ,con  0≤y≤4 ,  del  quadrato  della  funzione  x(y)  che  si 

ottiene invertendo  442   x x y   nel tratto 0≤x≤2 : 

  y x y x x y x y x x y   222244

(*)22

 

dove la scelta del segno “‐“ (vedi (*)) determina il ramo di parabola contenente l’arco AV : 

        3

8

3

8

342

4

0

2

334

0

2

1  

  y

 y ydy yW    . 

Infine, il volume W2  del solido che si genera per rotazione attorno all’asse delle ascisse è  π volte 

l’integrale rispetto a x  del quadrato della funzione  442   x x y   , con 0≤x≤2 : 

            5

32

5

2

5

1244

2

0

52

0

42

0

22

2  

 

  xdx xdx x xW  .

NOTA: l’altro arco della parabola corrisponde all’espressione   y x   2  

8/18/2019 Volume Solido Rotazione 1

2/3

volume di  solidi  di  rotazione_esercizio1  pag. 2 di  3 

8/18/2019 Volume Solido Rotazione 1

3/3

volume di  solidi  di  rotazione_esercizio1  pag. 3 di  3