Tesina stato solido

5/12/2018 Tesina stato solido - slidepdf.com

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N a n o t u b i d i C a r b o n i o : D e s c r i z i o n i s t r u t t u r a l i e

A p p l i c a z i o n i n e i d i s p o s i t i v i e l e t t r o n i c i

T e s i n a d e l C o r s o d i F i s i c a d e l l o S t a t o S o l i d o 1

A d r i a n o D e L u c a ( N 9 4 / 1 3 1 )

1



I n d i c e

1 S t r u t t u r a a b a n d e d e l g r a f e n e

1 . 1 M e t o d o d e l t i g h t - b i n d i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 . 1 . 1

T e o r e m a d i B l o c k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 . 1 . 2 C o n d i z i o n i a l c o n t o r n o p e r i o d i c h e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 . 2

S t r u t t u r a a b a n d e d e l G r a f e n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 S t r u t t u r a d e i N a n o t u b i d i C a r b o n i o

2 . 1 V e t t o r i c a r a t t e r i s t i c i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 . 1 . 1

V e t t o r e C h i r a l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 . 1 . 2 V e t t o r e T r a s l a z i o n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 . 2

C e l l a u n i t a r i a e p r i m a z o n a d i b r i l l o u i o n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 . 3 S t r u t t u r a a b a n d e d e i n a n o t u b i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 . 3 . 1 N a n o t u b i A c h i r a l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 . 3 . 2

N a n o t u b i C h i r a l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 . 4 D e n s i t à d e g l i s t a t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

I m p l e m e n t a z i o n i d e i n a n o t u b i n e i d i s p o s i t i v i e l e t t r o n i c i

3 . 1 L i n e e d ' i n t e r c o n n e s s i o n e c o n n a n o t u b i m e t a l l i c i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 . 1 . 1 C o n d u t t a n z a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 . 1 . 2

C a p a c i t à e i n d u t t a n z a q u a n t i s t i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 . 1 . 3 V e l o c i t à d i p r o p a g a z i o n e d e i s e g n a l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 . 2 D i s p o s i t i v i c o n n a n o t u b i s e m i c o n d u t t o r i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 . 2 . 1

D r o g a g g i o , g i u n z i o n i e r a d d r i z z a t o r i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 . 2 . 2 T r a n s i s t o r a e e t t o c a m p o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2



I n t r o d u z i o n e

I l N a n o t u b o d i c a r b o n i o è u n a p a r t i c o l a r e f o r m a a l l o t r o p i c a d e l c a r b o n i o a l l o s t a t o c r i s t a l l i n o . V

u t i l i z z a t a p e r l a c o s t r u z i o n e d i d i s p o s i t i v i n a n o m e t r i c i d i n u o v a g e n e r a z i o n e .

I l c a r b o n i o n o n è u n m a t e r i a l e c o n d u t t o r e , m a l a p a r t i c o l a r e s t r u t t u r a e n e r g e t i c a , c a r a t t e r i z z a t

u n a G a p p r a t i c a m e n t e n u l l a t r a l a b a n d a d i v a l e n z a e q u e l l a d i c o n d u z i o n e , f a s ì c h e e s s o p o s s a a s s u m

i n d e t e r m i n a t e s t r u t t u r e c r i s t a l l i n e , u n c o m p o r t a m e n t o s e m i c o n d u t t o r e . T a l e s i t u a z i o n e s i v e r i c

p a r t i c o l a r e , n e l l a g r a t e .

I l c o m p o r t a m e n t o c o n d u t t o r e d e l c a r b o n i o e r a c o n o s c i u t o s i n d a i t e m p i d i E d i s o n , c h e u t i l i z z ò

F i b r a d i C a r b o n i o c o m e l a m e n t o n e l p r i m o p r o t o t i p o d i l a m p a d i n a . V e n n e p o i s o s t i t u i t a d a i l a m

d i t u n g s t e n o .

G l i s t u d i s u l l e b r e d i c a r b o n i o e s u l l e p r o p r i e t à c o n d u t t r i c i d e l l a g r a t e s o n o p o i p r o s e g u i t i n o

c r e a z i o n e d i d i s p o s i t i v i l e c u i d i m e n s i o n i s o n o p o c o p i ù d e l l ' o r d i n e d e l l a l u n g h e z z a d i l e g a m e a t o m i c

l a v o r o s v o l t o i l l u s t r a l e p r o p r i e t à c a r a t t e r i s t i c h e d e i n a n o t u b i d i c a r b o n i o , i n p a r t i c o l a r e l e p r o p r i e

c o n d u z i o n e e l e t t r i c a e l ' i m p l e m e n t a z i o n e d i t a l e n a n o s t r u t t u r a n e i d i s p o s i t i v i e l e t t r o n i c i , p a r t e n d

u n a d e s c r i z i o n e g e n e r a l e d e l c a r b o n i o a l l o s t a t o s o l i d o e d e l l e s u e f o r m e a l l o t r o p i c h e , i n p a r t i c o l a r

g r a f e n e e d e l l a s u a s t r u t t u r a a b a n d e e n e r g e t i c h e .

I l C a r b o n i o : I b r i d a z i o n i e F o r m e a l l o t r o p i c h e

I l C a r b o n i o è u n e l e m e n t o d e l l a s e c o n d a r i g a d e l I V g r u p p o d e l l a t a v o l a p e r i o d i c a . L a s u a c o n g u r a z

e l e t t r o n i c a è 1s22s22 p2 . L o s t a t o 1s è d e t t o d i C o r e , m e n t r e g l i a l t r i s t a t i v e n g o n o d e t t i d i v a l e n z a . D

c h e l a d i e r e n z a e n e r g e t i c a t r a g l i o r b i t a l i 2 s e 2 p è m o l t o p i c c o l a è p o s s i b i l e u n a f u s i o n e t r a i d u e t i

o r b i t a l i , c h i a m a t a i b r i d a z i o n e . I l c a r b o n i o p r e s e n t a t r e p o s s i b i l i s t a t i d ' i b r i d a z i o n e : sp, i n c u i l ' o r b

r i s u l t a n t e s a r à d a t o d a l l a c o m b i n a z i o n e l i n e a r e d e l l ' o r b i t a l e

se d i u n

p, a d e s e m p i o

px;

sp2

, i n c u i

l a c o m b i n a z i o n e d i u n s e d u e p , a d e s e m p i o px e py ; sp3 i n c u i l o s t a t o è u n a c o m b i n a z i o n e d i t u t

o r b i t a l i e s t e r n i s e p. T a l i c o m b i n a z i o n i l i n e a r i p o s s o n o e s s e r e d a t e d a :

sp

|spa >=1√2(|2s > +|2 px >)

|spb >=1√2(|2s > −|2 px >)

sp2

|sp2a >=1√3|2s > −

2

3|2 py >

|sp2

b >=

1

√3 |2s > +

1

√2 |2 px > +

1

√3 |2 py >

|sp2c >= − 1√3|2s > − 1√

2|2 px > +

1√3|2 py >

sp3

|sp3a >= 1

2|2s > +|2 px > +|2 py > +|2 pz >

|sp3b >= 1

2|2s > −|2 px > −|2 py > +|2 pz >

|sp3c >= 1

2|2s > −|2 px > +|2 py > −|2 pz >

|sp3d >= 1

2|2s > +|2 px > −|2 py > −|2 pz >

3



F o r m a d e g l i o r b i t a l i i b r i d i

I v a r i s t a t i d ' i b r i d a z i o n e n o n r i e t t o n o l a s o l a f o r m a m o l e c o l a r e , m a a n c h e l a s t r u t t u r a c r i s t a

a l l o s t a t o s o l i d o s o t t o l a q u a l e i l c a r b o n i o v i e n e t r o v a t o i n n a t u r a . A s e c o n d a d e l t i p o d ' i b r i d a z i o n e

s t r u t t u r a h a u n a b e n d e n i t a g e o m e t r i a .

• I b r i d a z i o n e sp

G l i o r b i t a l i sp p o s s o n o c o m p i e r e u n m a s s i m o d i 2 l e g a m i σ c o n a l t r i a t o m i d i c a r b o n i o c o n t i g u i

s t r u t t u r a s o l i d a r i s u l t a n t e è u n a c a t e n a u n i d i m e n s i o n a l e d i a t o m i d i c a r b o n i o c h e p r e n d e i l n o m

c a r b i n a . L a f o r m a m a c r o s c o p i c a c h e i l c a r b o n i o a s s u m e s a r à d a t a d a a m m a s s i d i c a r b i n e t e n u t e a s s

d a f o r z e i n t e r m o l e c o l a r i .

• I b r i d a z i o n e sp3

G l i o r b i t a l i sp3 p o s s o n o c o m p i e r e n o a 4 l e g a m i σ c o n a l t r i a t o m i d i c a r b o n i o , g e n e r a n d o u n a s t r u t

t e t r a e d r i c a . I n q u e s t a s t r u t t u r a i l c a r b o n i o v i e n e r e p e r i t o s o t t o f o r m a d i d i a m a n t e .

• I b r i d a z i o n e sp2

L e f o r m e a l l o t r o p i c h e p i ù i n t e r e s s a n t i r i g u a r d a n o l ' i b r i d a z i o n e sp2 . G l i o r b i t a l i sp2 p o s s o n o e e t t

u n m a s s i m o d i 3 l e g a m i σ p e r a t o m o d i c a r b o n i o . S i g e n e r a n o d e l l e s t r u t t u r e p i a n e i n c u i g l i a t

n e l l a c e l l a e l e m e n t a r e , s o n o p o s t i a i v e r t i c i d i u n e s a g o n o r e g o l a r e . Q u e s t a s t r u t t u r a p r e n d e i l n

d i g r a f e n e . A s e c o n d a d e l l a d i s p o s i z i o n e d i q u e s t i s t r a t i p i a n i d i g r a f e n e , i l c a r b o n i o p u ò a s s u m

f o r m e a l l o t r o p i c h e d i s t r u t t u r a d i e r e n t e . S t r a t i d i g r a f e n e d i s p o s t i l ' u n o s u l l ' a l t r o e l e g a t i d a f o r

V a n d e r W a a l s v a n n o a c o s t i t u i r e l a g r a t e . S e q u e s t a s t r u t t u r a p i a n a è r i p i e g a t a s u s e s t e s s a i n m

d a f o r m a r e u n a s u p e r c i e s f e r i c a , l a s t r u t t u r a r i s u l t a n t e è c h i a m a t a f u l l e r e n e . S e , i n v e c e , l o s t r a

g r a f e n e è r i p i e g a t o s u s e s t e s s o l u n g o u n a s s e , s i f o r m a u n c i l i n d r o d a l d i a m e t r o n a n o m e t r i c o c h e p r

i l n o m e d i n a n o t u b o d i c a r b o n i o .

Q u e s t e u l t i m e s t r u t t u r e s o n o l e p i ù i n t e r e s s a n t i i n q u a n t o , s e b b e n e s i a n o d e g l i i s o l a n t i , p o s s e g

d e l l e p r o p r i e t à d i c o n d u z i o n e s i n g o l a r i g r a z i e a l l e q u a l i a s s u m o n o c a r a t t e r i s t i c h e s e m i c o n d u t t r i c i

a n a l i z z e r e m o a l s e g u i t o d e l l a v o r o s t u d i a n d o n e l a s t r u t t u r a a b a n d e e n e r g e t i c h e .

4



1 S t r u t t u r a a b a n d e d e l g r a f e n e

C o m e p r i m o p a s s o v e r s o l o s t u d i o d e l l ' e l e t t r o n i c a d e l n a n o t u b o d i c a r b o n i o b i s o g n a a n a l i z z a r e l a s t r u t

a b a n d e e n e r g e t i c h e d e l g r a f e n e . A t a l p r o p o s i t o , p u n t u a l i z z e r e m o i n i z i a l m e n t e l ' a t t e n z i o n e s u i m e

e g l i s t r u m e n t i d i c a l c o l o n e c e s s a r i p e r e s e g u i r e t a l e a n a l i s i . U t i l i z z e r e m o , a t a l n e , i l m e t o d o

t i g h t - b i n d i n g e i l t e o r e m a d i B l o c k .

1 . 1 M e t o d o d e l t i g h t - b i n d i n g

C o m e p r i m o e s e m p i o , p e r i l l u s t r a r e i l p r o c e d i m e n t o d e s i d e r a t o , c o n s i d e r i a m o u n a c a t e n a d i N a t

o s s i a , c o m e s i s u o l d i r e , u n c r i s t a l l o u n i d i m e n s i o n a l e , i n c u i n o n v i è p i ù d i u n a t o m o p e r c e l l a . C i a

a t o m o s i a c e n t r a t o s u i s i t i Rn . V i e n e d a c h i e d e r s i q u a l e s i a l a s t r u t t u r a e l e t t r o n i c a o , p i ù i n g e n e

l a f o r m a d e l l e f u n z i o n i d ' o n d a d e l l ' i n t e r o c r i s t a l l o . L a s o l u z i o n e p i ù s e m p l i c e p u ò e s s e r e c o n s i d e r a r e

s o v r a p p o s i z i o n e d e l l e f u n z i o n i d ' o n d a d e i s i n g o l i a t o m i :

ψ(r) =

N n=1,α

φn,αϕα (r−Rn)

d o v e α è l ' i n s i e m e d e i v a r i n u m e r i q u a n t i c i . I c o e c i e n t i φn,α s o n o d a d e t e r m i n a r . L ' e q u a z i o n e

a u t o v a l o r i , s u p p o s t o c h e H s i a l ' h a m i l t o n i a n a c o m p l e s s i v a , r i s u l t e r à :

Hψ(r) = Eψ(r)

N

n=1,α< Rm , β|H |Rn, α >= E

N

n=1,α< Rm, β|Rn, α >

I n g e n e r a l e , s e p e r c e l l a s i c o n s i d e r a n o N o o r b i t a l i e N a a t o m i , i l p r o b l e m a c o n s i s t e n e l l a d i a g o n

z a z i o n e d i u n a m a t r i c e N N o N a × N N o N a .

P r e n d i a m o i n c o n s i d e r a z i o n e , a l m o m e n t o , u n s o l o r b i t a l e p e r c e l l a , a d e s e m p i o l ' o r b i t a l e s. S i

s e m p l i c a r e i l p r o b l e m a r i m u o v e n d o l a s o m m a s u i n u m e r i q u a n t i c i :

N n=1

< Rm |H |Rn >= E N

n=1

< Rm|Rn, >

1 . 1 . 1

T e o r e m a d i B l o c k

F a c c i a m o , o r a , u n a s e c o n d a a s s u n z i o n e . S u p p o n i a m o c h e i l c r i s t a l l o s i a i n n i t o . L e v a r i e c e l l e e l e m e

s i r i p e t e r a n n o i n s u c c e s s i o n e . U n c r i s t a l l o s i q u e s t o t i p o g o d e d i e s s e r e i n v a r i a n t e p e r t r a s l a z i o n i r e t i c

d i u n v e t t o r e Rn , d o v e i n p a r t i c o l a r e Rn è l a p e r i o d i c i t à d e l r e t i c o l o d i B r a v a i s . S i h a , d u n q u e :

H (r) = H (r + Rn )

D a c i ò s i p u ò r i c a v a r e c h e :

1 L a d e n s i t à d i c a r i c a è i n v a r i a n t e p e r t r a s l a z i o n i r e t i c o l a r i :

5



|ψ(r)|2 = |ψ(r + Rn)|2

2 S e ψ(r) è a u t o s t a t o d i H (r) e ψ(r+Rn) è a u t o s t a t o d i H (r+Rn), d a t o c h e H (r) = H (r+

ψ(r)e

ψ(r + Rn)d i e r i s c o n o s o l o d i u n f a t t o r e d i f a s e :

ψ(r + Rn) = eiϕ(Rn)ψ(r)

P o s s i a m o v a l u t a r e t a l e f a t t o r e d e n e n d o e u t i l i z z a n d o l ' o p e r a t o r e d i t r a s l a z i o n e r e t i c o l a r e :

Tnψ(r) = ψ(r +Rn)

P e r t a l e o p e r a t o r e s i p u ò r i c a v a r e c h e , ∀n:

• [Tn,Tn] = 0

• [Tn, H ] = 0

D i c o n s e g u e n z a ψ(r) è a u t o s t a t o d i Tn :

Tnψ(r) = C (Rn)ψ(r)

D a t o c h e l a d e n s i t à d i c a r i c a è p e r i o d i c a s i h a :

|ψ(r)|2 = |ψ(r + Rn)|2|ψ(r)|2 = C(Rn)ψ(r)|2|C (Rn)|2 = 1

U n a b u o n a s c e l t a p e r C (Rn) p u ò e s s e r e :

C (Rn) = eikRn

d o v e k è u n v e t t o r e d i t r a s l a z i o n e , o s s i a u n v e t t o r e d ' o n d a . P o s s i a m o r i c a v a r e d u n q u e :

ψ(r + Rn) = eik·Rnψ(r)

L ' u l t i m a e s p r e s s i o n e d e s c r i v e i l T e o r e m a d i B l o c k . S i p u ò f a c i l m e n t e v e r i c a r e c h e l ' u l

e s p r e s s i o n e è v e r i c a t a d a l l a f u n z i o n e d ' o n d a :

ψ(r) =1√N

N n=1

eikRnϕ (r−Rn)

d o v e s i è e s p r e s s a l a

ψ(r)c o m e s o v r a p p o s i z i o n e d e l l e f u n z i o n i d ' o n d a a t o m i c h e

ϕ.

T u t t o c i ò è c o r r e t t o s e i l c r i s t a l l o c o n s i d e r a t o è i n n i t o . I n g e n e r a l e , p e r ò , n o n s i h a m a i a c h e

c o n c r i s t a l l i i n n i t i . I c r i s t a l l i e s i s t e n t i i n n a t u r a s o n o s o l o n i t i .

1 . 1 . 2 C o n d i z i o n i a l c o n t o r n o p e r i o d i c h e

N e l c a s o d i c r i s t a l l i n i t i i l t e o r e m a d i B l o c k n o n v a l e . P o s s i a m o , p e r ò , i m p o r r e d e l l e c o n d i z i o n

f a r s i c h e i r i s u l t a t i p r e c e d e n t i p o s s o n o e s s e r e a p p l i c a t i . S u p p o n i a m o d i a v e r e u n c r i s t a l l o n e l l o s p

e d i r e p l i c a r e l a c e l l a e l e m e n t a r e l u n g o i t r e a s s i c o o r d i n a t i r i s p e t t i v a m e n t e d i N 1 , N 2 e N 3 v o l t e .

c o s t r u z i o n e p o n e d e l l e c o n d i z i o n i s u l l a ψ(r) . R i s u l t a :

6



ψ(r) = ψ(r + N 1ax + N 2ay + N 3az)

L ' u l t i m a r e l a z i o n e e s p r i m e l u n g o i t r e a s s i l e c o n d i z i o n i a l c o n t o r n o p e r i o d i c h e . S e s ' i m p o n

i l c r i s t a l l o , s e b b e n e n i t o , è r e p l i c a b i l e a l l ' i n n i t o . S i p u ò , d u n q u e , a p p l i c a r e i l t e o r e m a d i B l o c k :

ψ(r + N 1ax + N 2ay + N 3az) = eik·(N 1ax+N 2ay+N 3az)ψ(r) = ψ(r)

R i s u l t a d u n q u e :

N ik · ai = 2πν i c o n ν i = 0, 1,..., N i − 1

k =ν 1N 1b1 +

ν 2N 2b2 +

ν 3N 3b3

0 d o v e i bi =2π

|ai|2 ai s o n o i v e t t o r i d e l r e t i c o l o r e c i p r o c o . I l r i s u l t a t o o t t e n u t o m o s t r a c h e l e c o n d i

a l c o n t o r n o p e r i o d i c h e i m p o n g o n o u n a l i m i t a z i o n e s u i v a l o r i d i k p o s s i b i l i .

V e d i a m o , o r a , l e c o n s e g u e n z e d i q u a n t o d e t t o s u l p r o b l e m a a g l i a u t o v a l o r i :

m

H n,mφm = Eφn

S o s t i t u e n d o o t t e n i a m o :

E (k) =m

H n,meik(m−n)a

I l t e o r e m a d i B l o c k c i f o r n i s c e , d u n q u e , i p o s s i b i l i v a l o r i d i E , i n f u n z i o n e d i k , o s s i a l a r e l a z

d i d i s p e r s i o n e . P o s s i a m o n o t a r e c h e i v a l o r i d e l l ' e n e r g i a s i r i p e t o n o p e r v a l o r i d i k i n t e r v a l l a t i d i

B a s t a s t u d i a r l i , d u n q u e , p e r −π

a≤ k ≤ π

a, i n t e r v a l l o d e t t o p r i m a z o n a d i B r i l l o u i n .

I n g e n e r a l e , p e r ò , p o s s i a m o a v e r e p i ù o r b i t a l i p e r s i n g o l o a t o m o . I n q u e s t o c a s o l a i - e s i m a a u t o

z i o n e , r e l a t i v o a l l ' a u t o v a l o r e E i(k) , s a r à d a t o d a :

ψi(r) = j

C ijφ j(r)

d o v e l e φ j

s o n o l e a u t o f u n z i o n i d e i s i n g o l i o r b i t a l i . I n g e n e r a l e s i h a , d u n q u e :

E i =< ψi|H |ψi >

< ψi|ψi >=

jj < φ j|H |φ j > C ∗ijC jj jj < φ j |φ j > C ∗ijC jj

D e n e n d o l e m a t r i c i H jj =< φ j|H |φ j > d e l l e i n t e r a z i o n i e S jj =< φ j |φ j >d e g l i o v e r l a p

r e l a z i o n e p r e c e d e n t e p u ò e s s e r e s e m p l i c e m e n t e s c r i t t a c o m e :

det(H−ES) = 0

7



è l ' e q u a z i o n e s e c o l a r e d a c u i p a r t i r e p e r r i c a v a r e l a r e l a z i o n e d i d i s p e r s i o n e E (k).

E e t t u i a m o , o r a , a l c u n e p o s i z i o n i c h e u t i l i z z e r e m o i n s e g u i t o p e r c a l c o l i e s p l i c i t i a t t r a v e r s o i l m e

d e l t i g h t - b i n d i n g . P e r l ' i n t e r a z i o n e d i u n a t o m o c o n s e s t e s s o p o n i a m o :

E 0 =< φA|H |φA >

P e r l ' i n t e r a z i o n e t r a a t o m i p r i m i v i c i n i s i p o n e :

γ =< φA|H |φB >

I n n e , p e r q u e l c h e r i g u a r d a g l i o v e r l a p s , s u p p o n e n d o c h e l e a u t o f u n z i o n i s i a n o n o r m a l i z z a t e p o n i

s =< φA|φB > < φA|φA >=< φB|φB >= 1

1 . 2 S t r u t t u r a a b a n d e d e l G r a f e n e

P o s s i a m o p a s s a r e , o r a , a v a l u t a r e l a s t r u t t u r a a b a n d e e n e r g e t i c h e d e l g r a f e n e , o s s i a e s s e n z i a l m

s t r a t i b i d i m e n s i o n a l i d i g r a t e i n c u i g l i a t o m i d i c a r b o n i o s i d i s p o n g o n o l u n g o i v e r t i c i d i u n e s a

r e g o l a r e . P o t r e m o p e n s a r e d i u t i l i z z a r e u n r e t i c o l o p r i m i t i v o e s a g o n a l e c o i n c i d e n t e c o n l ' e s a g o n o

a t o m i d i c a r b o n i o . I l p r o b l e m a è , p e r ò , c h e l ' e s a g o n o c h e s t r u t t u r a l o s t r a t o d i g r a f e n e n o n è u n r e t

d i B r a v a i s . I l r e t i c o l o d i B r a v a i s d a u t i l i z z a r e è e s a g o n a l e m a a c o r p o c e n t r a t o , i c u i v e t t o r i p r i m

r i s u l t a n o :

a1 =

√3

2ax +

a

2y

a2 =

√3

2ax − a

2y

d o v e a = 1, 42 Å è i l p a s s o d e l r e t i c o l o d i B r a v a i s .

8



F i g 1 . 1 S t r u t t u r a d e l g r a f e n e . I p u n t i c e r c h i a t i c o n l o s t e s s o c o l o r e s o n o p u n t i e q u i v a l e n t i a p p a r t e n e n t i a l l o s t e s s o r e t

D a l l a g 1 . 1 p o s s i a m o n o t a r e l a s t r u t t u r a d e l g r a f e n e e i l r e t i c o l o u t i l i z z a t o p e r l a d e s c r i z i o n

v e t t o r i d e l r e t i c o l o r e c i p r o c o r i s u l t a n o :

b1 =4π√

3ax +

4π

ay

b2 =4π√

3aax − 4π

ay

F i g 1 . 2 P r i m a z o n a d i B r i l l o u i n c o n v e t t o r i d i b a s e

b1 e

b2 .

I n g u r a 1 . 2 è r a p p r e s e n t a t a l a p r i m a z o n a d i B r i l l o u i n r i s p e t t o l a q u a l e v e r r à v a l u t a t a l a s t r u t

a b a n d e e n e r g e t i c h e . I v e r t i c i Γ, K e M s o n o p u n t i d i s i m m e t r i a .

I n t a l e r i f e r i m e n t o p o s s i a m o v a l u t a r e l a s t r u t t u r a a b a n d e e n e r g e t i c h e . i n n a n z i t u t t o b i s o g n a d e c

q u a n t i o r b i t a l i p e r c e l l a t e n e r e i n c o n s i d e r a z i o n e . I l c a r b o n i o p o s s i e d e 4 o r b i t a l i d i l e g a m e , 3 d e i q

2s, 2 px e 2 py , c o m p i o n o l e g a m i σ ( b a n d e σ ) e u n o , 2 pz , o r t o g o n a l e a q u e s t i , c h e p e r m e t t e l e g a m

t i p o π ( b a n d e π ) . D a l p u n t o d i v i s t a d e l l a s t r u t t u r a e l e t t r o n i c a , q u e s t e u l t i m e s o n o l e p i ù s i g n i c a

C o n s i d e r e r e m o , d u n q u e , s o l o l ' o r b i t a l e 2 pz .

A p p l i c h i a m o , o r a , i l m e t o d o d e l T i g h t - B i n d i n g c o n s i d e r a n d o l e s o l e i n t e r a z i o n e t r a i p r i m i v i c i n i

c e l l a e l e m e n t a r e c o n t i e n e d u e a t o m i , u n o d i c l a s s e A e u n a l t r o d i c l a s s e B .

F i g 1 . 3 C e l l e e l e m e n t a r i p r i m e v i c i n e

9



Q u e l c h e b i s o g n a f a r e è r i s o l v e r e L ' E q u a z i o n e s e c o l a r e 1 . 2 . A t a l p r o p o s i t o b i s o g n a r i c a v a r e l a f o

d e l l e m a t r i c i H e d S . E s e g u i a m o l a v a l u t a z i o n e p a r t e n d o d a l l a c e l l a c e n t r a l e d i F i g 1 . 3 . P e r q u e

r i g u a r d a l a m a t r i c e H , g l i e l e m e n t i d i a g o n a l i s o n o d o v u t i a l l ' i n t e r a z i o n e d e g l i a t o m i A e B c o n s e s t

S i p u ò p o r r e , d u n q u e :

H AA = H BB = E 0

P e r g l i a l t r i e l e m e n t i d e l l a m a t r i c e , s e R1 , R2 e R3 s o n o i v e t t o r i d i s t a n z a t r a l ' a t o m o A d e l l a

c e n t r a l e e i v i c i n i B e γ è i l t e r m i n e d ' i n t e r a z i o n e t r a a t o m i d i c l a s s e d i e r e n t e , u t i l i z z a n d o l ' e q u a z

1 . 1 s i p u ò s c r i v e r e :

H AB = γ (eik·R1 + eik·R2 + eik·R3 ) = γ f (k) = H ∗BA

R i a s s u m e n d o , d u n q u e :

H =

E 0 γ f (k)

γ f ∗(k) E 0

P e r q u e l c h e r i g u a r d a g l i o v e r l a p s S , d a l l e p o s i z i o n i p r e c e d e n t e m e n t e f a t t e s i o t t i e n e :

S =

1 s f (k)

s f ∗(k) 1

C o s t r u i t e l e m a t r i c i , s i p u ò r i s o l v e r e l ' e q u a z i o n e s e c o l a r e , o t t e n e n d o l a r e l a z i o n e d i d i s p e r s i o n e :

E (k) = E 0 ± γ w(k)1 ± s w(k)

c o n w(k) = |f (k)|2 =

1 + 4 cos√ 3kxa

2

cos

kya2

+ 4 cos2

kya2

A b b i a m o o t t e n u t o d u e b a n d e e n e r g e t i c h e , u n a d i l e g a m e c o n t r a d d i s t i n t a d a l s e g n o p o s i t i v o e u n

a n t i l e g a m e c o n t r a d d i s t i n t a d a l s e g n o n e g a t i v o . L e d u e b a n d e n o n s o n o s i m m e t r i c h e , m a l o s a r e b b e

f o s s e s = 0, o s s i a t r a s c u r a n d o g l i o v e r l a p s .

1 0



F i g 1 . 4 D i a g r a m m a a B a n d e d e l g r a f e n e

P o s s i a m o d e d u r r e a l c u n e s i n g o l a r i c o n s e g u e n z e :

• L a b a n d a π o s p i t a i d u e e l e t t r o n i d e l l ' o r b i t a l e p e r i s u l t a , d u n q u e , c o m p l e t a m e n t e p i e n a . L a b a

π∗è , i n v e c e , t o t a l m e n t e v u o t a ;

• L a G a p t r a l e b a n d e è n u l l a . I l g r a f e n e p o s s i e d e , d u n q u e , u n c o m p o r t a m e n t o m e t a l l i c o ;

•S e t r a s c u r i a m o g l i o v e r l a p s e s v i l u p p i a m o i n s e r i e l a r e l a z i o n e d i d i s p e r s i o n e i n u n i n t o r n o d e l p

d i s i m m e t r i a K , s i o t t i e n e :

E (k) = E 0 + aγ

k2x + k2

y = E 0 +

√3

2aγ |k|

P o n e n d o c o n v e n z i o n a l m e n t e E 0 = 0 s i o t t i e n e u n a l e g g e d i d i s p e r s i o n e l i n e a r e , c a r a t t e r i s t i c a

p a r t i c e l l e a m a s s a n u l l a . P e r t a l i p a r t i c e l l e v a l e , i n f a t t i , c h e E = υk , d o v e υ è l a v e l o c i t à d e l l e p a r t i c

G l i e l e t t r o n i i n t a l i v e r t i c i s i s p o s t a n o c o m e p a r t i c e l l e a m a s s a n u l l a a v e n t e v e l o c i t à p a r i a :

υF =

√3

2aγ

∼8

·105 m s

−1

d e t t a a n c h e v e l o c i t à d i F e r m i .

1 1



2 S t r u t t u r a d e i N a n o t u b i d i C a r b o n i o

2 . 1 V e t t o r i c a r a t t e r i s t i c i

U n N a n o t u b o d i c a r b o n i o p u ò e s s e r e c o n s i d e r a t o c o m e u n f o g l i o d i g r a f e n e a r r o t o l a t o . Q u e s t ' u l

a p p a r i r à c o m e u n c i l i n d r o d a l d i a m e t r o m a s s i m o d e l l ' o r d i n e d i 1 0 n m a v e n t e u n a b e n d e n i t a s i m m

i n t o r n o a d u n a s s e . T a l e s i m m e t r i a c o n t r a d d i s t i n g u e l a c h i r a l i t à d e l l a s t r u t t u r a l e g a t a a l f a t t o c

c e l l e e s a g o n a l i d e l l ' H o n e y - c o m b d e l g r a f e n e s i p o s s a n o d i s p o r r e o m e n o l u n g o a d u n a s p i r a l e i n t

a l l ' a s s e c e n t r a l e . I n g e n e r a l e s i p a r l a d i s t r u t t u r e a c h i r a l i s e l ' i m m a g i n e s p e c u l a r e d e l c i l i n d r o c o i n

c o n l ' i m m a g i n e o r i g i n a l e . A l c o n t r a r i o s i p a r l a d i s t r u t t u r e c h i r a l i .

F i g 2 . 1 D i m e n s i o n i d i u n n a n o t u b o ( a ) s i n g l e - w a l l e ( b ) m u l t i - w a l l

P e r d e s c r i v e r e l a s t r u t t u r a g e o m e t r i c a d i u n n a n o t u b o d i c a r b o n i o v e n g o n o u t i l i z z a t i d u e v e

c a r a t t e r i s t i c i : i l v e t t o r e C h i r a l e e i l v e t t o r e T r a s l a z i o n e .

2 . 1 . 1 V e t t o r e C h i r a l e

C o n s i d e r i a m o u n f o g l i o d i g r a f e n e e p r e n d i a m o s u d i e s s o d u e p u n t i e q u i v a l e n t i , O e A d a l l a F i g . 2 . 2

a r r o t o l i a m o i l f o g l i o c o n g i u n g e n d o O c o n A o t t e n i a m o u n n a n o t u b o d i c a r b o n i o .

F i g 2 . 2 F o g l i o d i g r a f e n e e v e t t o r i c a r a t t e r i s t i c i .

I l v e t t o r e O A è d e t t o v e t t o r e c h i r a l e , C h . I l v e t t o r e o r t o g o n a l e a C h c o n g i u n g e n t e i l p r i m o p

e q u i v a l e n t e , B , è i l v e t t o r e t r a s l a z i o n e , c h e d e n i s c e l a c e l l a u n i t a r i a d e l n a n o t u b o .

1 2



P o s s i a m o p r o v a r e a e s p r i m e r e i l v e t t o r e C h c o m e c o m b i n a z i o n e l i n e a r e d e i v e t t o r i d i b a s e a1 e a

Ch = na1 + ma2

c o n n e m n u m e r i i n t e r i . P e r l a s i m m e t r i a e s a g o n a l e d e l n a n o t u b o v a c o n s i d e r a t o 0 ≤ |m| D a v e t t o r e c h i r a l e s i p u ò r i c a v a r e l a l u n g h e z z a d e l l a c i r c o n f e r e n z a d i b a s e e , d u n q u e , i l d i a m e t r o

n a n o t u b o . S a p e n d o c h e l ' a n g o l o c o m p r e s o t r a a1 e a2 è

π

6o t t e n i a m o :

L = |Ch| = a√

n2 + m2 + mn

d =L

π=

a√

n2 + m2 + mn

π

U n u l t e r i o r e p a r a m e t r o c a r a t t e r i s t i c o è l ' a n g o l o c h i r a l e , θ , d e n i t o d a :

cos(θ) =Ch · a1

|Ch| · |a1| =2n + m

2√

n2 + m2 + mn

2 . 1 . 2

V e t t o r e T r a s l a z i o n e

I l v e t t o r e t r a s l a z i o n e T c o r r i s p o n d e , c o m e d e t t o i n p r e c e d e n z a , a l v e t t o r e O B e d e n i s c e l a c e l l a u n i

d e l n a n o t u b o d i c a r b o n i o . L ' i n t e r o n a n o t u b o s a r à o t t e n u t o r e p l i c a n d o v a r i e c e l l e c o n s e c u t i v e . A n c

p u ò e s s e r e e s p r e s s o c o m e c o m b i n a z i o n e l i n e a r e d i a1 e a2 :

T = t1a1 + t2a2

c o n t1 e t2 i n t e r i . D a l l a c o n d i z i o n e d i o r t o g o n a l i t à t r a T e Ch, p o s s i a m o e s p r i m e r e t1 e t2 i n f u n z

d i m e n :

T ·Ch = 0

t1 =2m + n

dr

t2 = −2n + m

dr

d o v e dr è i l m a s s i m o c o m u n d i v i s o r e t r a 2m + n e 2n + m. S e , i n o l t r e , d è i l m a s s i m o c o m u n d i v

t r a m e n r i s u l t a :

dr =

d se n − m e multiplo di 3d

3d se n − m non e multiplo di 3d

P e r c o s t r u z i o n e r i s u l t a c h e c h e l a q u a n t i t à |Ch×T| è l ' a r e a d e l l a c e l l a u n i t a r i a . D a t o c h e |a1 ×è l ' a r e a d e l l ' e s a g o n o d i b a s e , i l n u m e r o d e g l i e s a g o n i n e l l a c e l l a e l e m e n t a r e r i s u l t a :

N =Ch×T

|a1 × a2| =2(n2 + m2 + mn)

dr

=2L2

a2dr

1 3



U n e s a g o n o d i g r a f e n e c o n t i e n e 2 a t o m i . I l n u m e r o t o t a l e d i a t o m i p e r c e l l a è d u n q u e 2N .

2 . 2 C e l l a u n i t a r i a e p r i m a z o n a d i b r i l l o u i o n

I v e t t o r i C h e T d e l i m i t a n o u n a c e l l a u n i t a r i a d i u n n a n o t u b o d i c a r b o n i o . I n q u e s t a c e l l a è p o s s

v a l u t a r e l a s t r u t t u r a a b a n d e d e l n a n o t u b o . S a p p i a m o , p e r ò , c h e p e r l e c o n d i z i o n i a l c o n t o r n o p e r i o d

c i s i d e v e l i m i t a r e a l l o s t u d i o n e l l a p r i m a z o n a d i B r i l l o u i n . Q u e s t ' u l t i m a s a r à d e n i t a d a i d u e v e

K1 Ch e K2 T. I n g e n e r a l e , l a r e l a z i o n e c h e l e g a i v e t t o r i d i b a s e Ri d e l r e t i c o l o d i r e t t o c o n

d e l r e t i c o l o r e c i p r o c o è Ri ·K j = 2πδij . D u n q u e , p e r i v e t t o r i K1 e K2 v a l g o n o l e c o n d i z i o n i :

K1 ·T = 0

K1 ·Ch = 2π

K2 ·T = 2π

K2 ·Ch = 0

D a t a l i c o n d i z i o n i p o s s i a m o r i c a v a r e i v e t t o r i K1 e K2 : K1 =

1

N (−t2b1 + t1b2)

K2 =1

N (mb1 − nb2)

F i g 2 . 3 C o n f r o n t o t r a l a p r i m a z o n a d i B r i l l o u i n d e l G r a f e n e ( o m b r a t a ) c o n q u e l l a d e l N a n o t u b o .

K1 e K2 d e l i m i t a n o l a p r i m a z o n a d i B r i l l o u i n . I n F i g . 2 . 3 è m o s t r a t o u n c o n f r o n t o t r a l a p r i m a

d i B r i l l o u i n d e l g r a f e n e e q u e l l a d e l n a n o t u b o r i s p e t t o l a c e l l a r e t i c o l a r e . S i p u ò v e d e r e c h e m e n t r e p

g r a f e n e l a p r i m a z o n a d i B r i l l o u i n è c o s t i t u i t a d a l t r i a n g o l o ΓKM , p e r i l n a n o t u b o q u e s t ' u l t i m a è

d a l s e g m e n t o W W p a r a l l e l o a K2 . L a l u n g h e z z a d e l l a p r i m a z o n a è d a t a d a l l e c o n d i z i o n i a l c o n t

p e r i o d i c h e e d è p a r i a

2π

|T| :

− π

|T| ≤ k ≤ π

|T|

1 4



A d i e r e n z a d e l g r a f e n e , l a c u i s t r u t t u r a a b a n d e s i s v i l u p p a s u u n d o m i n i o b i d i m e n s i o n a l e , l a s t r u t

a b a n d e d e l n a n o t u b o p o s s i e d e u n d o m i n i o u n i d i m e n s i o n a l e e c o n t i n u a l u n g o i l v e t t o r e K2 .

P o s s i a m o , i n o l t r e , n o t a r e c h e N K1 = −t2b1 + t1b2 è u n v e t t o r e d e l r e t i c o l o r e c i p r o c o d e l d o m

b i d i m e n s i o n a l e d e l l a g r a t e . C i ò v u o l e d i r e c h e d u e v e t t o r i d ' o n d a c h e d i e r i s c o n o d i u n v e t t o r e Ns o n o e q u i v a l e n t i . D a l m o m e n t o c h e t1 e t2 n o n p o s s i e d o n o d i v i s o r i c o m u n i e c c e t t o c h e l ' u n i t à , c i a

v e t t o r e µK1 c o n µ = 0, . . . , N − 1 n o n è u n v e t t o r e d e l r e t i c o l o r e c i p r o c o . D u n q u e , q u e l c h e a b b

è u n s e t d i N v e t t o r i d ' o n d a d i s c r e t i a s s o c i a t i a d N s e g m e n t i s u c c e s s i v i p a r a l l e l i a W W t r a s l a t i d

v e t t o r e K1 . O g n i s e g m e n t o h a l a l u n g h e z z a d e l l a p r i m a z o n a d i B r i l l o u i n .

2 . 3 S t r u t t u r a a b a n d e d e i n a n o t u b i

C o m e b e n s i p u ò i n t u i r e , l a r e l a z i o n e d i d i s p e r s i o n e d i u n n a n o t u b o d i c a r b o n i o d e n i t o d a u n a c o p p

n u m e r i i n t e r i (n, m) p u ò e s s e r e r i c a v a t a a p a r t i r e d a l l a r e l a z i o n e d i d i s p e r s i o n e d e l g r a f e n e , r e s t r i n g

q u e s t ' u l t i m a a l l a p r i m a z o n a d i B r i l l o u i n d e l n a n o t u b o . C o m e a b b i a m o r i c a v a t o i n p r e c e d e n z a ,

d o m i n i o è d a t o d a i v a r i s e g m e n t i p a r a l l e l i a K2 m o s t r a t i i n F i g . 2 . 3 . S e i n d i c h i a m o c o n E 1D l a r e l a z

d i d i s p e r s i o n e d e l n a n o t u b o e c o n E 2D q u e l l a d e l g r a f e n e s i p u ò s c r i v e r e :

E µ1D(k) = E 2D

kK2

|K2| + µK1

c o n µ = 0, . . . , N − 1 e − π

|T| ≤ k ≤ π

|T|

I l r i s u l t a t o s a r à u n i n s i e m e d i N b a n d e d i t i p o π e N b a n d e d i t i p o π∗.

S u p p o n i a m o c h e t r a i v a r i s e g m e n t i p a r a l l e l i a W W v e n e s i a u n o c h e p a s s a p e r i l p u n t o d i s i m m

K d e l r e t i c o l o e s a g o n a l e . P e r q u a n t o v i s t o n e l c a s o d e l g r a f e n e r e l a t i v a m e n t e a t a l e v e r t i c e , l a b a

e n e r g e t i c a d i l e g a m e r e l a t i v a a t a l e s e g m e n t o a v r à u n a g a p n u l l a c o n l a r i s p e t t i v a b a n d a d i a n t i l e g

I n q u e s t o c a s o i l n a n o t u b o p o s s i e d e u n c o m p o r t a m e n t o m e t a l l i c o n e l l a s t r u t t u r a a b a n d e . I n g e n e

d e t t o Y i l p u n t o d ' i n t e r s e z i o n e t r a l a r e t t a n o r m a l e a W W p a s s a n t e p e r K e W W , l a c o n d i z i o n e

c u i i l n a n o t u b o a b b i a u n a s t r u t t u r a m e t a l l i c a è c h e i l r a p p o r t o t r a i v e t t o r i YK e K1 s i a i n t e r o . D

c h e g e o m e t r i c a m e n t e r i s u l t a :

YK =2n + m

3K1

l a c o n d i z i o n e p e r a v e r e u n n a n o t u b o m e t a l l i c o è c h e 2n + m ( o e q u i v a l e n t e m e n t e n − m) s i a m u l

d i 3 . I n a l t r e c o n d i z i o n i i l n a n o t u b o h a u n c o m p o r t a m e n t o s e m i c o n d u t t o r e .

P o s s i a m o , o r a , e s p l i c i t a r e l a r e l a z i o n e d i d i s p e r s i o n e r i c a v a t a p e r p a r t i c o l a r e s t r u t t u r e e t i p

n a n o t u b i .

F i g 2 . 4 T i p i c a r a t t e r i s t i c i n a n o t u b i . ( a ) a b r a c c i o d i s e d i a , ( b ) a z i g - z a g , ( c ) c h i r a l e .

1 5



2 . 3 . 1

N a n o t u b i A c h i r a l i

L e s t r u t t u r e p i ù s e m p l i c i d a s t u d i a r e s o n o i n a n o t u b i a c h i r a l i . D i q u e s t i s i p o s s o n o d i s t i n g u e r e

c o m u n i n a n o t u b i a b r a c c i o d i s e d i a ( m = n) e i n a n o t u b i a z i g - z a g ( m = 0) . I p r i m i s o n o s e m

m e t a l l i c i , m e n t r e g l i a l t r i s o n o m e t a l l i c i s o l o s e

nè m u l t i p l o d i 3 .

F i g 2 . 5 C e l l e u n i t a r i e d i u n n a n o t u b o ( a ) a b r a c c i o d i s e d i a ( n = 2 ) e ( b ) a z i g - z a g ( n = 4 ) .

C o n s i d e r i a m o i n i z i a l m e n t e n a n o t u b i a b r a c c i o d i s e d i a . I n q u e s t o r i c a v i a m o :

K1 ≡

4π

na√ 3

, 0

K2 ≡ 0 , 4πa

D a t o c h e i n q u e s t o c a s o r i s u l t a |T| = a , d o v e a è i l p a s s o d e l r e t i c o l o d i B r a v a i s , s o s t i t u e n d o n e l l

o t t e n i a m o :

E aq (k) = ±γ

1 + 4 cosqπn

coska2

+ 4 cos2

ka2

c o n −π

a≤ k ≤ π

ae q = 1, . . . , 2n

d o v e g l i o v e r l a p s s o n o s t a t i t r a s c u r a t i ( s = 0) e s i è p o s t o E 0 = 0. I n F i g . 2 . 6 è p r o p o s t o l ' e s e m

p e r n = 5.

F i g 2 . 6 D i a g r a m m a a b a n d e d i u n n a n o t u b o a b r a c c i o d i s e d i a p e r n = 5 .

1 6



N e l d i a g r a m m a a b a n d e r i c a v a t o , l e s i n g o l e b a n d e e n e r g e t i c h e s o n o s t a t e o p p o r t u n a m e n t e e t i c

t a t e . L a l e t t e r a ' a ' c o n t r a d d i s t i n g u e l e b a n d e n o n d e g e n e r i m e n t r e l a ' e ' i l i v e l l i d o p p i a m e n t e d e g e n e

n u m e r i a s s o c i a n o l i v e l l i e n e r g e t i c i c o n s i m m e t r i a u g u a l e . L e l e t t e r e ' g ' e ' u ' c o n t r a d d i s t i n g u o n o r i s p

v a m e n t e l a p a r i t à p a r i e d i s p a r i ( g e r a d e e u n g e r a d e ) . I n n e i s e g n i c o r r i s p o n d o a i s e g n i n e l l ' e q u a z i o n e

C o m p l e s s i v a m e n t e , d e g e n e r a z i o n i c o m p r e s e , s i h a n n o 1 0 s t a t i d i l e g a m e e 1 0 s t a t i d i a n t i l e g a m e . C

p r e c e d e n t e m e n t e d e t t o , s i p u ò n o t a r e i l c a r a t t e r e m e t a l l i c o d e l n a n o t u b o a b r a c c i o d i s e d i a d a l l ' a s s

d i u n a g a p e n e r g e t i c a t r a b a n d e d i v a l e n z a e d i c o n d u z i o n e .

P o s s i a m o r i p e t e r e l o s t e s s o d i s c o r s o p e r i n a n o t u b i a z i g - z a g . I n q u e s t o c a s o r i s u l t a :

K1 ≡

2√ 3π

na, 2π

na

K2 ≡

− 2π√

3a, 2π

a

I n q u e s t o c a s o r i s u l t a |T| = √3a. D u n q u e , s o s t i t u e n d o a n c o r a u n a v o l t a n e l l a 2 . 1 o t t e n i a m o :

E zq (k) = ±γ

1 + 4 cos

√ 3ka2

cosqπn

+ 4 cos2

qπn

c o n − π√

3a≤ k ≤ π√

3ae q = 1, . . . , 2n

I n F i g . 2 . 7 s o n o p o s t i a c o n f r o n t o i d i a g r a m m i d e i n a n o t u b i z i g - z a g c o n n = 9 e n = 10.

F i g 2 . 7 D i a g r a m m a a b a n d e d i u n n a n o t u b o a z i g - z a g c o n ( a ) n = 9 e ( b ) n = 1 0 .

P o s s i a m o v e r i c a r e q u a n t o d e t t o i n p r e c e d e n z a , o s s i a c h e p e r i l p r i m o , d o v e n è m u l t i p l o d i 3 ,

u n a s t r u t t u r a m e t a l l i c a , m e n t r e n e l s e c o n d o s i h a u n a g a p t r a l e b a n d e d i v a l e n z a e d i c o n d u z i o n e

è , d u n q u e , l a s t r u t t u r a d i u n s e m i c o n d u t t o r e .

2 . 3 . 2 N a n o t u b i C h i r a l i

P e r i n a n o t u b i a c h i r a l i m e t a l l i c i i v a l o r i d i k p e r c u i s i h a n n o d e g e n e r a z i o n i d i b a n d a ( o s s i a i p u n

c u i s i a n n u l l a l a g a p ) s o n o k = ± 2π

3|T| p e r i n a n o t u b i a b r a c c i o d i s e d i a e K = 0 p e r q u e l l i a z i g - z a g

c a s o g e n e r a l e d i n a n o t u b i c h i r a l i , a g l i s t e s s i p u n t i c o r r i s p o n d o n o d e g e n e r a z i o n i d i b a n d a c o n g a p

o , c o m u n q u e , m i n i m i .

I n a n o t u b i c h i r a l i , i n g e n e r a l e , v e n g o n o s u d d i v i s i i n v a r i e c l a s s i a s e c o n d a d e l v a l o r e r e c i p r o c o

v a l o r i d i n − m e dr . Q u e s t ' u l t i m e s o n o :

1 7



• S e n − m n o n è m u l t i p l o d i 3 e dr = d, l a s t r u t t u r a è q u e l l a d i u n s e m i c o n d u t t o r e ;

• S e n − m è m u l t i p l o d i 3 e dr = d, l a s t r u t t u r a è m e t a l l i c a e s i h a n n o 4 b a n d e d e g e n e r i p e r k( M e t a l l o d i t i p o 1 ) ;

• S e n − m è m u l t i p l o d i 3 e dr = 3d, l a s t r u t t u r a è m e t a l l i c a e s i h a n n o 2 b a n d e d e g e n e r i

k = ± 2π

3|T| ( M e t a l l o d i t i p o 2 ) .

Q u a n t o a p p e n a d e t t o è m o s t r a t o i n F i g . 2 . 8 i n c u i s o n o s t a t e m e s s e a c o n f r o n t o i d i a g r a m m i d e

c l a s s i e n u n c i a t e .

F i g 2 . 8 D i a g r a m m a a b a n d e d i u n n a n o t u b o c h i r a l e ( a ) s e m i c o n d u t t o r e ( 9 , 5 ) , ( b ) m e t a l l o d i t i p o 1 ( 9 , 6 ) , ( c ) m e t a l l o d

2 ( 7 , 4 ) .

D a l l a g u r a s i p u ò n o t a r e u n a p a r t i c o l a r i t à p e r q u e l c h e r i g u a r d a i n a n o t u b i m e t a l l i c i c h e d e r i v a

c a r a t t e r i s t i c a s t r u t t u r a a b a n d e d e l g r a f e n e . I n p r o s s i m i t à d e l l i v e l l o d i F e r m i , o s s i a i l m a s s i m o l i

e n e r g e t i c o o c c u p a t o n e l m e t a l l o a r i p o s o c h e i n q u e s t o c a s o è 0 , l a r e l a z i o n e d i d i s p e r s i o n e s i a p p r o s

a d u n a n d a m e n t o l i n e a r e , c a r a t t e r i s t i c o d e l l e p a r t i c e l l e l i b e r e a m a s s a n u l l a . Q u e s t a p a r t i c o l a r i t à

r e s p o n s a b i l e , c o m e c h i a r i r e m o i n s e g u i t o , d i u n t r a s p o r t o d i e l e v a t e i n t e n s i t à d i c o r r e n t e a t t r a v e r s

n a n o t u b o .

2 . 4 D e n s i t à d e g l i s t a t i

I d i a g r a m m i a b a n d e v a l u t a t i i n p r e c e d e n z a c i p e r m e t t o n o d i c o n o s c e r e i v a l o r i e n e r g e t i c i o c c u p a t

s i n g o l i e l e t t r o n i . S a p p i a m o , p e r ò , c h e q u e s t i v a n n o a c o s t i t u i r e , i n g e n e r a l e , u n r a n g e c o n t i n u o d i v a

P e r l o s t u d i o d e i f e n o m e n i d i c o n d u z i o n e e p e r l ' a n a l i s i d e l l e t r a n s i z i o n i q u a n t i s t i c h e t r a s t a t i e n e r g

è o p p o r t u n o c o n s i d e r a r e i l n u m e r o d i s t a t i c o m p r e s i i n u n i n t e r v a l l o t r a E e E + dE . T a l e n u m e r o

g e n e r a l e d a t o d a :

dN = D (E ) dE

A t a l p r o p o s i t o , p o s s i a m o d e n i r e l a d e n s i t à d e g l i s t a t i e n e r g e t i c i c o m e :

D(E ) =dN

dE

1 8



L a d e n s i t à d e g l i s t a t i è u n a f u n z i o n e c a r a t t e r i s t i c a d e l l a p a r t i c o l a r e s t r u t t u r a c o n s i d e r a t a . L a s

d i p e n d e n z a d a l l ' e n e r g i a v a r i a a s e c o n d a d e l l a g e o m e t r i a d e l s i s t e m a . N e l c a s o d e l n a n o t u b o d i c a r b

l a d e n s i t à d e g l i s t a t i a s s u m e u n a f o r m a a n a l i t i c a s e a p p r o s s i m a t a i n u n i n t o r n o d e l l i v e l l o d i F e r m i ,

i l p u n t o d i c o o r d i n a t e (kF , E F ), e r i s u l t a :

D(E ) =a

π2Rγ

N m=0

|E | E 2 − ε2m

d o v e εm = |3m + 1|(aγ/2√

3R) p e r i n a n o t u b i s e m i c o n d u t t o r i e εm = |3m|(aγ/2√

3R) p e r i m e t a

F i g 2 . 9 D e n s i t à d e g l i s t a t i p e r u n n a n o t u b o ( a ) ( 1 1 , 0 ) e ( b ) ( 1 2 , 0 ) .

P e r u n n a n o t u b o m e t a l l i c o , l a c o m p o n e n t e p e r m = 0 d a u n c o n t r i b u t o n o n n u l l o a l l a d e n s i t à

s t a t i i n p r o s s i m i t à d e l l ' e n e r g i a d i F e r m i . T a l e v a l o r e è c o s t a n t e e r i s u l t a :

D(E F ) =a

π2Rγ

I n g e n e r a l e , p e r ò , r i s u l t a c o s t a n t e e i n d i p e n d e n t e d a l l e s u e d i m e n s i o n i l a d e n s i t à d e g l i s t a t i p e r u

d i l u n g h e z z a l u n g o l ' a s s e d e l n a n o t u b o r i s p e t t o a l l i v e l l o d i F e r m i e p a r i a :

D(E F ) =2

√3πaγ =1

πυF

1 9



3 I m p l e m e n t a z i o n i d e i n a n o t u b i n e i d i s p o s i t i v i e l e t t r o n i c i

L o s t u d i o d e l l a s t r u t t u r a a b a n d e d e l n a n o t u b o e d e l l a d e n s i t à d e g l i s t a t i c i h a p e r m e s s o d i s u d d i v

i n a n o t u b i i n m e t a l l i e s e m i c o n d u t t o r i . A q u e s t o p u n t o s i p u ò v e d e r e c o m e e s s i p o s s a n o e s s e r e i n s

i n a p p l i c a z i o n i s p e r i m e n t a l i p e r d i s p o s i t i v i e l e t t r o n i c i d i n u o v a g e n e r a z i o n e e i v a n t a g g i r i s p e t t

t r a d i z i o n a l i m a t e r i a l i u t i l i z z a t i ( c o m e a d e s e m p i o i l r a m e p e r l e c o n n e s s i o n i m e t a l l i c h e e i l s i l i c i o

d i s p o s i t i v i a s e m i c o n d u t t o r e ) . L ' a s p e t t o i n t e r e s s a n t e d e i n a n o t u b i d i c a r b o n i o , i n f a t t i , r i s i e d e p r o p r i

f a t t o c h e u n a s t e s s o m a t e r i a l e c o n u n a d i e r e n t e m o d i c a n e l l a s t r u t t u r a p u ò e s s e r e u t i l i z z a t o s i a c

c o n d u t t o r e s i a c o m e s e m i c o n d u t t o r e . V e d i a m o n e l d e t t a g l i o l e i m p l e m e n t a z i o n i d e l l ' u n o e d e l l ' a l t r o

3 . 1 L i n e e d ' i n t e r c o n n e s s i o n e c o n n a n o t u b i m e t a l l i c i

U n n a n o t u b o m e t a l l i c o p u ò e s s e r e u t i l i z z a t o c o m e l i n e a d i t r a s m i s s i o n e o i n t e r c o n n e s s i o n e e l e t t r i c a

d i s p o s i t i v i d i n u o v a g e n e r a z i o n e u n o d e i p r o b l e m i p r i n c i p a l i è i l t r a s p o r t o d i c o r r e n t i d ' i n t e n s i t à e l e

I n g e n e r e p e r u n i n t e r c o n n e s s i o n e c o n u n c a v o d i r a m e i l l i m i t e d i b r e a k d o w n d e l l a d e n s i t à d i c o r r

r i s u l t a e s s e r e d e l l ' o r d i n e d i

106

A c m −2

. C i ò è q u a n t o p e r m e t t e l a s t r u t t u r a a b a n d e p a r a b o l i c a d e l r

A b b i a m o v i s t o , p e r ò , c h e i l n a n o t u b o d i c a r b o n i o m e t a l l i c o p o s s i e d e u n a s t r u t t u r a a b a n d e u n i c a

s u o g e n e r e . I n p r o s s i m i t à d e l l i v e l l o d i F e r m i , i n f a t t i , l a r e l a z i o n e d i d i s p e r s i o n e s i a p p r o s s i m a a

a n d a m e n t o l i n e a r e , t i p i c o d i u n a p a r t i c e l l a a m a s s a n u l l a . C i ò p e r m e t t e c o n d u z i o n i e c a p a c i t à n e t t a m

p i ù e l e v a t e r i s p e t t o a l r a m e . L e d e n s i t à d i c o r r e n t i r a g g i u n t e i n u n n a n o t u b o s i a v v i c i n a n o d i g r a n l

a l l i m i t e t e o r i c o , p a r i c i r c a a i 109 A c m

−2, i l c h e n e p e r m e t t e l ' u t i l i z z o c o m e l i n e e d i i n t e r c o n n e s s

e l e t t r i c a d i d i m e n s i o n i n a n o m e t r i c h e ( n a n o c a v i ) e d i e l e v a t a c a p a c i t à .

P o s s i a m o a n a l i z z a r e n e l d e t t a g l i o i p a r a m e t r i c a r a t t e r i s t i c i d i u n n a n o t u b o d i c a r b o n i o u t i l i z

c o m e n a n o c a v o .

F i g 3 . 1 R a p p r e s e n t a z i o n i g r a c h e d i i n t e r c o n n e s s i o n i a t t r a v e r s o n a n o t u b i i n c i r c u i t i i n t e g r a t i .

3 . 1 . 1 C o n d u t t a n z a

Q u a n d o a b b i a m o a c h e f a r e c o n f e n o m e n i d i c o n d u z i o n e e l e t t r i c a , s a p p i a m o c h e l e r i s p e t t i v e c a r a

i s t i c h e t e n s i o n e - c o r r e n t e s o n o g o v e r n a t e , n e l m a c r o s c o p i c o , d a l l a l e g g e d i O h m ∆V = RI , d o v e

l a r e s i s t e n z a d e l c o n d u t t o r e . L ' i n v e r s o d e l l a r e s i s t e n z a , G = 1/R, è d e t t a c o n d u t t a n z a . Q u e s t

m a d i p e n d e d a l l e c a r a t t e r i s t i c h e s i c h e e g e o m e t r i c h e d e l c o n d u t t o r e , s e z i o n e A e l u n g h e z z a L,

r e l a z i o n e :

G = σA

L

d o v e σ è u n p a r a m e t r o c a r a t t e r i s t i c o d e l m a t e r i a l e d e t t o c o n d u t t i v i t à .

2 0



I n l i n e a d i p r i n c i p i o p o t r e m o v a l u t a r e u n a c o n d u t t a n z a p e r u n n a n o t u b o m e t a l l i c o d i u n a c

l u n g h e z z a e s e z i o n e . T u t t a v i a , d a t e l e d i m e n s i o n i n a n o m e t r i c h e d e l l a s t r u t t u r a p o s s i a m o s o s t i t u

c o n c e t t o d i c o n d u t t a n z a d a t o d a l l a l e g g e i d O h m c o n q u e l l o d i c o n d u t t a n z a q u a n t i s t i c a l e g a t o s

t a m e n t e a l l e s t a t i s t i c h e c h e r e g o l a n o i l m o d e l l o q u a n t i s t i c o d e l l a c o n d u z i o n e e l e t t r i c a . L a c o n v e n i

d i q u e s t a s c e l t a s t a n e l f a t t o c h e l a c o n d u t t a n z a q u a n t i s t i c a , p e r p i c c o l e t e n s i o n i a p p l i c a t e , p u ò e

c o n s i d e r a t a c o s t a n t e e p a r i a d u n c e r t o v a l o r e m a s s i m o . .

G l i e l e t t r o n i a l l ' i n t e r n o d i u n c o n d u t t o r e i n e q u i l i b r i o r i s p e t t a n o l a d i s t r i b u z i o n e s t a t i s t i c

F e r m i - D i r a c f (E ):

f (E ) =1

1 + expE −µKT

F i g 3 . 2 D i s t r i b u z i o n e d i F e r m i - D i r a c .

d o v e µ è i l p o t e n z i a l e c h i m i c o , o s s i a i l p o t e n z i a l e a c u i s o n o s o t t o p o s t i g l i e l e t t r o n i n e l r e t i c o l o

c o n d u t t o r e i n e q u i l i b r i o . I n g e n e r a l e q u e s t ' u l t i m o c o r r i s p o n d e a l l ' e n e r g i a d e l l i v e l l o d i F e r m i n e l c a

u n c o n d u t t o r e i n e q u i l i b r i o . D a t a l e d i s t r i b u z i o n e d i p e n d e l a r i s p o s t a l i n e a r e a l l a c o n d u t t a n z a , o s s i a

t e n s i o n i b a s s e , e r i s u l t a :

G = 2e2

hm

ˆ − ∂f ∂E

T m(E )dE

d o v e l a s o m m a è e e t t u a t a s u t u t t i i p o s s i b i l i m o d i s t a t i s t i c i m e T m è l a f u n z i o n e d i t r a s m i s s i

L a q u a n t i t à

∂f ∂E

, c o m e s i p u ò v e d e r e d a l l a g . 3 . 2 , è s i g n i c a t i v a s o l o p e r v a l o r i d i E p r o s s i m i a l l i

d i F e r m i . I n p r o s s i m i t à d i t a l e l i v e l l o , l a c o n d u t t a n z a q u a n t i s t i c a a s s u m e i l s u o v a l o r e m a s s i m o p a r

Gmax =4e2

h=

1

65kΩ

2 1



I d a t i s p e r i m e n t a l i m o s t r a n o c h e s u n a n o t u b i M u l i - W a l l l a c o n d u t t a n z a p e r t e n s i o n i d i b i a s p i

o s c i l l a n o t r a Gmax/2 e Gmax .

P e r b i a s b a s s i , l a c o n d u t t a n z a è m a s s i m a e v i c i n a a l v a l o r e t e o r i c o . S e i l b i a s v i e n e a u m e n t a

c o n d u t t a n z a d e l n a n o t u b o d i m i n u i s c e s e n s i b i l m e n t e . I l m o t i v o è d o v u t o a l f a t t o c h e g l i e l e t t r o n i p e r

e n e r g i a p e r c h é i n t e r a g i s c o n o c o n f o n o n i , o s s i a q u a n t i d i v i b r a z i o n e , e m e s s i d a l r e t i c o l o d e l l a s t r u t t u

b i a s e l e v a t i . L e e n e r g i e m i n i m e p e r l e q u a l i v e n g o n o e m e s s i f o n o n i s i a g g i r a n o i n t o r n o a i 1 6 0 m e V

t e n s i o n e m a s s i m a p e r c u i i l b i a s è s u c i e n t e m e n t e p i c c o l o d a m a s s i m i z z a r e l a c o n d u t t a n z a è , d u n

1 6 0 m V . D a l l a g 3 . 3 s i p u ò v e d e r e , i n f a t t i , c h e l a c o n d u t t a n z a p o s s i e d e i l s u o v a l o r e m a s s i m o

t e n s i o n i d i p o c o s u p e r i o r i a 0 V .

F i g 3 . 3 C a r a t t e r i s t i c a T e n s i o n e - C o r r e n t e e C o n d u t t a n z a i n f u n z i o n e d e l b i a s a p p l i c a t o .

3 . 1 . 2 C a p a c i t à e i n d u t t a n z a q u a n t i s t i c a

P e r u n c o n d u t t o r e p o s s i a m o , i n o l t r e , d e n i r e i p a r a m e t r i d i c a p a c i t à C e i n d u t t a n z a L, l ' u n a a s s o

a l l a q u a n t i t à d i c a r i c a c h e u n c o n d u t t o r e p u ò t r a t t e n e r e , l ' a l t r a l e g a t a a l l ' i n t e n s i t à d i c o r r e n t e p e r c

I d u e p a r a m e t r i , n e l l ' e l e t t r o s t a t i c a c l a s s i c a , s o n o d e n i t i d a l e r e l a z i o n i :

E =Q2

2C

E =1

2LI 2

C o s ì c o m e p e r l a c o n d u t t a n z a , a i d u e p a r a m e t r i v a n n o a s s o c i a t i i c o r r i s p o n d e n t i q u a n t i s t i c i , d o v u

f a t t o c h e l a q u a n t i t à d i c a r i c a e l ' i n t e n s i t à d i c o r r e n t e s o n o r e g o l a t i d a l l a d i s t r i b u z i o n e d i F e r m i e

d e n s i t à d e g l i s t a t i .

S u p p o n i a m o d i a p p l i c a r e u n a p i c c o l a t e n s i o n e δV a l c o n d u t t o r e i n e q u i l i b r i o . L a r i s p e t t i v a v a r i a z

d i c a r i c a s u l l a s u a s u p e r c i e d e l c o n d u t t o r e è d a t a d a :

δQ = e

ˆ D(E ) [f (E ) − f (E − δV )] dE

V a l u t a n d o l a v a r i a z i o n e d i c a r i c a i n t o r n o a l l i v e l l o d i F e r m i , s i p u ò s c r i v e r e :

2 2



δQ = e2D(µ)δV

I n c o n c l u s i o n e , l a c a p a c i t à q u a n t i s t i c a r i s u l t a :

C Q =δQδV

= e2D(µ)

U t i l i z z a n d o l a r e l a z i o n e 2 . 4 s i o t t i e n e :

C Q = e2D(µ) =4e2

πυF ∼ 0.4 a F n m

−1

d o v e s i è u t i l i z z a t o i l v a l o r e υF ∼ 8 · 105 m s

−1. I l f a t t o r e 4 è s t a t o i n t r o d o t t o c o n s i d e r a n d o d u e m

s t a t i s t i c i d o v u t i a l l o s p i n e d u e b a n d e p a s s a n t i p e r i l p u n t o d i F e r m i .

I l p r o s s i m o p a s s o è r i c a v a r e l ' i n d u t t a n z a . P e r f a r c i ò d o b b i a m o c o n o s c e r e l ' e c c e s s o d i e n e r g i a c i n

d o v u t o a l u s s o d i c o r r e n t e e l ' i n t e n s i t à d i c o r r e n t e s t e s s a . P e r f a r c i ò a n a l i z z i a m o i l g r a c o i n g .

F i g 3 . 4 V a r i a z i o n e d i e n e r g i a c i n e t i c a a l l ' a p p l i c a z i o n e d e l b i a s .

A l l ' e q u i l i b r i o l ' e n e r g i a d e l m a s s i m o s t a t o o c c u p a t o è µ. A l l ' a p p l i c a z i o n e d e l b i a s δV , l e p a r t i c e l l e

e n e r g i a c o m p r e s a t r a µ−eδV/2 e µ p a s s a n o n e l l a b a n d a d i c o n d u z i o n e c o n u n e n e r g i a c i n e t i c a c o m p

t r a µ e µ+ eδV . I n a l t r e p a r o l e , i l b i a s s i r i d i s t r i b u i s c e i n m o d o d a f a r p a s s a r e g l i e l e t t r o n i d a l l a b a n d

v a l e n z a a q u e l l a d i c o n d u z i o n e e f o r n i r g l i e n e r g i a c i n e t i c a . I l n u m e r o m e d i o d i p a r t i c e l l e c h e a c q u i s

e n e r g i a c i n e t i c a r i s u l t a :

N =D(µ)

2

eδV

2

L ' e c c e s s o c o m p l e s s i v o d i e n e r g i a c i n e t i c a è , d u n q u e :

E = N eδV

2=

D(µ) (eδV )2

8

2 3



P e r q u e l c h e r i g u a r d a l a c o r r e n t e , u t i l i z z a n d o i l v a l o r e m a s s i m o d e l l a c o n d u t t a n z a q u a n t i s t i c a p o s s

o t t e n e r e :

I ∼ GmaxδV =

4e2

h δV

P e r r i c a v a r e l ' i n d u t t a n z a q u a n t i s t i c a p o s s i a m o u t i l i z z a r e l ' e q u a z i o n e 3 . 1 o t t e n e n d o :

LQ =π22D(µ)

16e2=

π

4e2υF

∼4p H n m

−1

3 . 1 . 3

V e l o c i t à d i p r o p a g a z i o n e d e i s e g n a l i

O l t r e c h e c o m e i n t e r c o n n e s s i o n e e l e t t r i c a , p o t r e m o s t u d i a r e l e c a r a t t e r i s t i c h e d i u n n a n o t u b o d i c a r b

u t i l i z z a t o c o m e l i n e a d i t r a s m i s s i o n e . U n a l i n e a d i t r a s m i s s i o n e è , i n g e n e r a l e , i l m e z z o a t t r a v e r

q u a l e s i p r o p a g a u n s e g n a l e d i t e n s i o n e . L a v e l o c i t à d e l s e g n a l e a t t r a v e r s o l a l i n e a d i p e n d e d a i p a r a m

d e l c o n d u t t o r e L e C :

υs =

1

LC

N e l c a s o d i u n n a n o t u b o d i c a r b o n i o , p o s s i a m o s o s t i t u i r e i p a r a m e t r i r i c a v a t i i n p r e c e d e n z a o t t e n e

υs ∼

1

LQC Q= υF

I l s e g n a l e c h e a t t r a v e r s a i l n a n o t u b o s i p r o p a g a c o n u n a v e l o c i t à p a r i a q u e l l a d e g l i e l e t t r o

p r o s s i m i t à d e l l i v e l l o d i F e r m i .

3 . 2 D i s p o s i t i v i c o n n a n o t u b i s e m i c o n d u t t o r i

A v e n d o v i s t o i v a n t a g g i d e l l e i m p l e m e n t a z i o n i d e i n a n o t u b i m e t a l l i c i , s i p u ò p a s s a r e a s t u d i a r e i p o s

u t i l i z z i d e i n a n o t u b i s e m i c o n d u t t o r i . C o m e è b e n n o t o , g r a n p a r t e d e l l a t e c n o l o g i a e l e t t r o n i c a a t t

s i f o n d a s u l l ' u t i l i z z o d i m a t e r i a l i s e m i c o n d u t t o r i , i n p a r t i c o l a r e s i l i c i o e g e r m a n i o c h e r i s i e d o n o a l l a

d e l l a s t r u t t u r a d i c o m u n i c o m p o n e n t i e l e t t r o n i c h e t r a c u i d i o d i a g i u n z i o n e e t r a n s i s t o r a e e t t o c a m

V e d i a m o c o m e è p o s s i b i l e s t r u t t u r a r e t a l i d i s p o s i t i v i a t t r a v e r s o l ' a u s i l i o d e i n a n o t u b i s e m i c o n d u t t o

3 . 2 . 1

D r o g a g g i o , g i u n z i o n i e r a d d r i z z a t o r i

G i u n z i o n i i n t r a t u b e : I l p r i m o p a s s o d e l l ' u t i l i z z o e l e t t r o n i c o d i u n m a t e r i a l e s e m i c o n d u t t o r e è , c o

b e n n o t o , i l d r o g a g g i o , o s s i a i l r e n d e r l o c a p a c e d i a c c e t t a r e ( d r o g a g g i o d i t i p o p ) o d o n a r e ( d r o g a

d i t i p o n ) c a r i c h e e l e t t r i c h e a t t r a v e r s o l ' i n t r o d u z i o n e n e l m a t e r i a l e d i o p p o r t u n e i m p u r i t à . C o s ì c

v i e n f a t t o p e r s i l i c i o e g e r m a n i o , c h e v e n g o n o i n g e n e r e d r o g a t i c o n a r s e n i c o e b o r o , u n n a n o t u b

c a r b o n i o p u ò e s s e r e d r o g a t o n a t t r a v e r s o l ' i n t r o d u z i o n e d i a t o m i d i a z o t o e p a t t r a v e r s o a t o m i d i b

A v e n d o , o r a , i n a n o t u b i o p p o r t u n a m e n t e d r o g a t i , è p o s s i b i l e i l p i ù s e m p l i c e d i s p o s i t i v o a s e m i c o n

t o r e , o s s i a u n a g i u n z i o n e p - n . U n a g i u n z i o n e p - n a n a n o t u b o d i c a r b o n i o è , a d e s e m p i o , s e m p l i c e m

2 4



u n n a n o t u b o d i c a r b o n i o d r o g a t o p e r m e t à p e p e r m e t à n . P e r f a r c i ò s i u t i l i z z a u n n a n o t u b

i z i a l m e n t e o m o g e n e a m e n t e d r o g a t o , a d e s e m p i o t i t i p o p . P e r m e t à i l n a n o t u b o v i e n e c o p e r t o

p o l i m e t i l m e t a c r i l a t o ( P M M A ) e e s p o s t o a a t o m i d i p o t a s s i o , c h e è u n e l e m e n t o d o n a t o r e d i e l e t t

I n q u e s t o m o d o l a m e t à n o n c o p e r t a e e s p o s t a a l p o t a s s i o r i s u l t e r à d r o g a t a n m e n t r e l a m e t à c o p

r e s t a d r o g a t a p .

F i g 3 . 5 G i u n z i o n e p - n a n a n o t u b o e c a r a t t e r i s t i c h e c o r r e n t e - t e n s i o n e .

L a g . 3 . 5 m o s t r a l a c a r a t t e r i s t i c a I - V d e l l a g i u n z i o n e p - n e i l r e l a t i v o p o t e n z i a l e e l e t t r o s t a t i c o . L

d a m e n t o g r a c o è m o l t o v i c i n o a q u e l l o d i u n t r a d i z i o n a l e d i o d o a g i u n z i o n e . P o s s i a m o , p e r ò , s t u d

q u e s t i a n d a m e n t i g r a c i n e l d e t t a g l i o , s t r u t t u r a n d o u n m o d e l l o m a t e m a t i c o c h e d e s c r i v a i n t e n s i t à d i

r e n t e e p o t e n z i a l e e l e t t r o s t a t i c o i n p r o s s i m i t à d e l l a g i u n z i o n e . L a d e n s i t à d i c a r i c a c h e s c o r r e a t t r a v

u n n a n o t u b o p u ò e s s e r e e s p r e s s a d a l l a r e l a z i o n e :

σ(z) =e

ε

χ

−e

εˆ D (E, z) f (E ) dE

d o v e χ è l a f r a z i o n e d i d r o g a g g i o d e l s e m i c o n d u t t o r e e ε è l a c o s t a n t e d i e l e t t r i c a . D (E, z) è l a d e

d e g l i s t a t i n e l p u n t o d i c o o r d i n a t a a s s i a l e z e , s e V (z) è i l p o t e n z i a l e e l e t t r o s t a t i c o l u n g o i l n a n o t

p e r l a 2 . 3 s i p u ò s c r i v e r e :

D (E, z) =a

π2Rγ

|E | (E + eV (z))2 − (E g/2)2

d o v e E g è l a g a p t r a l e b a n d e d e l s e m i c o n d u t t o r e . L ' u l t i m a r e l a z i o n e n e c e s s a r i a a d e s c r i v e

m o d e l l o d i c o n d u z i o n e è u n ' e q u a z i o n e p e r i l p o t e n z i a l e e l e t t r o s t a t i c o V (z). S e K (z−

z) è i l p o t e n

e l e t t r o s t a t i c o p e r u n c i l i n d r o c a v o , s i p u ò s c r i v e r e :

V (z) =

ˆ K (z − z)σ(z)dz

2 5



F i g 3 . 6 P o t e n z i a l e e l e t t r o s t a t i c o v a l u t a t o p e r d u e v a l o r i d i χ e a n d a m e n t o d e l l a d i s t r i b u z i o n e d i c a r i c a i n f u n z i o n e d

d i s t a n z a d a l l a g i u n z i o n e .

I n g 3 . 6 s o n o m o s t r a t i g l i a n d a m e n t i d e l p o t e n z i a l e e l e t t r o s t a t i c o e d e l l a c a r i c a i n f u n z i o n e

p o s i z i o n e r i s p e t t o l a g i u n z i o n e . P e r q u e l c h e r i g u a r d a i l p o t e n z i a l e , l ' a n d a m e n t o d e l l e b a n d e è i d e n

a q u e l l o r e g i s t r a t o i n u n u n a g i u n z i o n e p i a n a . L a d i v e r s i t à l a s i h a n e l l ' a n d a m e n t o d e l l a d i s t r i b u z

d i c a r i c a . N e l l e g i u n z i o n i p i a n e s i h a , i n f a t t i , c h e l a c a r i c a è p i ù o m e n o c o s t a n t e i n p r o s s i m i t à

g i u n z i o n e e p r a t i c a m e n t e n u l l a o l t r e l a c o s i d d e t t a r e g i o n e d i s v u o t a m e n t o . N e l n a n o t u b o , i n v e c

s i t u a z i o n e è d i e r e n t e e l a c a r i c a d e c r e s c e i n m a n i e r a l o g a r i t m i c a a p a r t i r e d a l l a g i u n z i o n e . T a l e d i e r

è d o v u t a a l l a d i e r e n t e g e o m e t r i a d e l l a g i u n z i o n e . M e n t r e , i n f a t t i , n e l l e d i s t r i b u z i o n i p i a n e i l c a

e l e t t r o s t a t i c o è p i ù o m e n o c o s t a n t e l o n t a n o d a l l a s o r g e n t e , p e r l e d i s t r i b u z i o n i c i l i n d r i c h e i l c a m

a n n u l l a i n m a n i e r a l o g a r i t m i c a .

S i p u ò p a s s a r e , o r a , a v a l u t a r e l a c a r a t t e r i s t i c a t e n s i o n e c o r r e n t e . L a c o r r e n t e c h e s c o r r e a t t r a v

u n n a n o t u b o è d a t a d a l l a r e l a z i o n e :

I =4e2

hˆ

T (E ) [f L(E ) − f R(E )] dE

d o v e T (E ) è l a d e n s i t à d i t r a s m i s s i o n e e f L e f R s o n o r i s p e t t i v a m e n t e l e f u n z i o n i d i F e r m i a s i n

e d e s t r a d e l l a g i u n z i o n e . L ' a n d a m e n t o d e l l a c o r r e n t e i n f u n z i o n e d e l p o t e n z i a l e a p p l i c a t o è c o n s i s t

c o n l ' a n d a m e n t o m o s t r a t o i n g . 3 . 5 .

G i u n z i o n i t r a n a n o t u b i : N a n o t u b i d i v e r s i p o s s o n o e s s e r e c o l l e g a t i l ' u n l ' a l t r o i n s e r i e . S i m i l i c o l

m e n t i , p e r ò , c a u s a n o c u r v a t u r e e d i f e t t i l o c a l i n e l l a s t r u t t u r a . I l m o d o p e r c o l l e g a r e d u e n a n o

s t r u t t u r a l m e n t e d i v e r s i c o n i m i n i m i d i f e t t i l o c a l i e l a m i n i m a c u r v a t u r a è l ' i n t r o d u z i o n e d i u n a c o p

p e n t a g o n o - e t t a g o n o . Q u e s t a t e c n i c a c o n s i s t e n e l c o l l e g a r e v e r t i c e p e r v e r t i c e l a b a s e d i u n c e r t o

o t u b o

(n, m)c o n q u e l l a d i u n n a n o t u b o

(n − 1, m + 1). I n q u e s t o m o d o , i n p r o s s i m i t à d e l l a g i u n z

g l i a t o m i d i c a r b o n i o s u p e r u i f o r m e r a n n o u n a s t r u t t u r a p e n t a g o n a l e a c c o p p i a t a a d u n a e t t a g o n a l

2 6



F i g 3 . 7 G i u n z i o n e t r a i n a n o t u b i ( 8 , 0 ) e ( 7 , 1 ) . I n g r i g i o è m o s t r a t a l a c o p p i a p e n t a g o n o - e t t a g o n o .

F i g 3 . 8 D e n s i t à d e g l i s t a t i v i s t a d a i d u e l a t i d e l l a g i u n z i o n e . S i è i n d i c a t o c o n c e l l l e c e l l e e l e m e n t a r i d e l l a t o

s e m i c o n d u t t o r e , m e n t r e c o n r i n g q u e l l e d e l l a t o m e t a l l i c o . I l v a l o r e 1 è i n e n t r a m b i i c a s i i n p r o s s i m i t à d e l l a g i u n z i

I n g . 3 . 7 è m o s t r a t o u n e s e m p i o d i q u a n t o d e t t o , o s s i a l a g i u n z i o n e t r a u n n a n o t u b o s e m i c o n d u t

( 8 , 0 ) e u n n a n o t u b o m e t a l l i c o ( 7 , 1 ) . S i v e d e c h i a r a m e n t e c o m e l a c o p p i a p e n t a g o n o - e t t a g o n o g e n e r i

m i n i m a c u r v a t u r a d e l l a s t r u t t u r a . D a l l a g . 3 . 8 s i p u ò v e d e r e , i n v e c e , l a d e n s i t à d e g l i s t a t i v a l u t a t a

c e l l e s e m p r e p i ù p r o s s i m e a l l a g i u n z i o n e d a l l a t o d e l s e m i c o n d u t t o r e e d a l l a t o m e t a l l i c o c o n f r o n t a t e

l a D O S d e i n a n o t u b i p u r i . S i p u ò v e d e r e c o m e l a D O S d e l ' u n o i n u e n z i q u e l l a d e l l ' a l t r o a t t e n u a n

g e n e r a n d o d i s c o n t i n u i t à e d u n q u e p i c c h i n e l l ' a n d a m e n t o g r a c o .

U n a g i u n z i o n e s i m i l e , o s s i a m e t a l l o - s e m i c o n d u t t o r e , p u ò e s s e r e u t i l i z z a t a c o m e d i o d o S c h o t t k y

s i a u n p a r t i c o l a r e t i p o d i d i o d o c a r a t t e r i z z a t o d a b a s s e t e n s i o n i d i s o g l i a e r a p i d i t e m p i d i c o m m u t a z

E s s o è u n d i s p o s i t i v o c h e v i e n e p e r l o p i ù u t i l i z z a t o c o m e r a d d r i z z a t o r e , o s s i a u n s i s t e m a c h e p e r m

a l l a c o r r e n t e d i s c o r r e r e i n u n u n i c o v e r s o d i p o l a r i z z a z i o n e .

2 7



F i g 3 . 9 C a r a t t e r i s t i c a c o r r e n t e - t e n s i o n e d i u n a g i u n z i o n e m e t a l l o - s e m i c o n d u t t o r e .

I n g . 3 . 9 è m o s t r a t a l a c a r a t t e r i s t i c a I - V d i u n a g i u n z i o n e m e t a l l o - s e m i c o n d u t t o r e . S i p u ò v e

l ' a n d a m e n t o c a r a t t e r i s t i c o d i u n d i o d o r a d d r i z z a t o r e .

3 . 2 . 2 T r a n s i s t o r a e e t t o c a m p o

T r a t u t t i i p a r t i c o l a r i d i s p o s i t i v i e l e t t r o n i c i c h e s i è c e r c a t o d i c o s t r u i r e a t t r a v e r s o l ' a u s i l i o d e i n a n o

d i c a r b o n i o , l e p r i m e s p e r i m e n t a z i o n i r i g u a r d a n o i t r a n s i s t o r , d i s p o s i t i v i d i v e n u t i f o n d a m e n t a l i

l ' e l e t t r o n i c a m o d e r n a . U n e s e m p i o d i t r a n s i s t o r a e e t t o c a m p o ( F E T ) d i r e c e n t e s p e r i m e n t a z i o

s c h e m a t i z z a t o i n g . 3 . 1 0 .

F i g 3 . 1 0 S c h e m a t i z z a z i o n e d i u n F E T a n a n o t u b o .

D u e e l e t t r o d i , c h e f u n g o n o d a S o u r c e e D r a i n , s o n o c o l l e g a t i a t t r a v e r s o n a n o t u b i s i n g l e - w a l l

s i e d o n o s u u n o s t r a t o d i S i O 2 . S o t t o t a l e s t r a t o d i d i e l e t t r i c o v i è u n G a t e d i s i l i c i o i n t e n s a m

d r o g a t o . I n q u e s t a s c h e m a t i z z a z i o n e i n a n o t u b i d i c a r b o n i o f u n g o n o d a c a n a l e d i c o n d u z i o n e t

S o u r c e e i l D r a i n . L a c o n d u t t i v i t à d e l n a n o t u b o v i e n e r e g o l a t a a t t r a v e r s o l a t e n s i o n e d i G a t e .

2 8



F i g 3 . 1 1 C a r a t t e r i s t i c a c o r r e n t e - t e n s i o n e l u n g o i l n a n o t u b o a v a r i e t e n s i o n i d i G a t e .

D a l l a g . 3 . 1 1 s i p u ò v e d e r e c h e a l c r e s c e r e d e l l a t e n s i o n e d i G a t e , l a c o n d u t t i v i t à d e l c a n a l e p r e s

u n s e m p r e p i ù e v i d e n t e s t a t o d i a z z e r a m e n t o e c r e s c i t a a l l ' i n t e n s i c a r s i d e l b i a s a p p l i c a t o , c o r r i s p o n d

r i s p e t t i v a m e n t e a l l o s t a t o d i O F F e O N d e l t r a n s i s t o r u t i l i z z a t o c o m e i n t e r r u t t o r e .

A v e n d o s p i e g a t o i n g e n e r a l e i l f u n z i o n a m e n t o d i u n F E T a n a n o t u b o , a n d a n d o a s t u d i a r e

p a r a t o n e l d e t t a g l i o s i p u ò v e d e r e c h e g l i a n d a m e n t i d e l l e c u r v e c a r a t t e r i s t i c h e d e l t r a n s i s t o r d i

d o n o f o r t e m e n t e d a l l a n a t u r a d e i c o n t a t t i m e t a l l i c i u t i l i z z a t i . I l F E T a n a n o t u b o , i n f a t t i , m o s t r

c o m p o r t a m e n t o d i v e r s o a s e c o n d a c h e i c o n t a t t i s i a n o O h m i c i o S c h o t t y .

C o n t a t t i O m i c i : I c o n t a t t i o h m i c i s o n o i l e g a m i t r a m e t a l l i i n c u i p e r s i s t e l a l e g g e d i O h m . I n q u

s i t u a z i o n e , l a c o n d u t t a n z a l u n g o i l c a n a l e è d e t e r m i n a t a d a l l a t e n s i o n e a p p l i c a t a a l G a t e c h e g e n e r

r i p i e g a m e n t o d e l l e b a n d e e n e r g e t i c h e d e l n a n o t u b o s e m i c o n d u t t o r e . I n g . 3 . 1 2 è i l l u s t r a t o i l r i p

m e n t o d e l l e b a n d e i n f u n z i o n e d e l l a t e n s i o n e d i G a t e e l a r e l a t i v a v a r i a z i o n e d e l l a c o n d u t t a n z a d e l c a

a b i a s ( V DS ) n u l l o .

2 9



F i g 3 . 1 2 R i p i e g a m e n t o d e l l e b a n d e e c o n d u t t a n z a d e l c a n a l e i n f u n z i o n e d e l l a t e n s i o n e d i G a t e (

V G ) .

N e l l a z o n a c o n t r a s s e g n a t a d a I , i l r i p i e g a m e n t o d e l l e b a n d e è n u l l o , l a c o n d u t t a n z a r i s u l t a m a s

e i l t r a n s i s t o r s i t r o v a n e l l o s t a t o d i O N . A l c r e s c e r e d e l l a t e n s i o n e d i G a t e

V G, n e l l a z o n a I I , l e b

s i r i p i e g a n o s u s e s t e s s e f o r m a n d o u n a b a r r i e r a d i p o t e n z i a l e c h e b l o c c a g l i e l e t t r o n i e l a c o n d u t t

d e l c a n a l e s i a n n u l l a . I l t r a n s i s t o r s i r i t r o v a n e l l o s t a t o d i O F F . S e l a t e n s i o n e d i g a t e c r e s c e a n

( z o n a I I I ) i l r i p i e g a m e n t o d e l l e b a n d e è t a l e d a g e n e r a r e , n e l m e z z o d e l c a n a l e , u n p u n t o q u a n

o s s i a u n p o z z o d i p o t e n z i a l e i n c u i i l i v e l l i e n e r g e t i c i a p p a i o n o d i s c r e t i z z a t i . G l i e l e t t r o n i , c o n n a t

p u n t o q u a n t i c o , p o s s o n o c o m p i e r e t r a n s i z i o n i p e r e e t t o t u n n e l t r a i v a r i l i v e l l i d i s c r e t i g e n e r a t i . Q u

f e n o m e n o p u ò g e n e r a r e u n l i e v e p i c c o d i r i s o n a n z a n e l l a c o n d u t t a n z a d e l c a n a l e , d o v u t o a q u e s t e r a

t r a n s i z i o n i e l e t t r o n i c h e .

C o n t a t t i S c h o t t k y : V i s o n o a l c u n e c o n n e s s i o n i m e t a l l i c h e , c o m e a d e s e m p i o t r a u n n a n o t u b o e c o n

d i t i t a n i o , p e r c u i n o n v a l e l a l e g g e d i O h m , m a s o n o c a r a t t e r i z z a t i d a u n a b a r r i e r a S c h o t t k y , c a r a

i s t i c a d e l l e g i u n z i o n i S c h o t t k y v i s t e i n p r e c e d e n z a . A n c h e p e r i c o n t a t t i S c h o t t k y b i s o g n a v a r i a r e l a

m a i l f e n o m e n o p r o c e d e i n s e n s o o p p o s t o a l c a s o p r e c e d e n t e . V i e n e s f r u t t a t o , i n f a t t i , l ' a t t r a v e r s a m

d e l l a b a r r i e r a p e r e e t t o t u n n e l . Q u a n d o , i n f a t t i , i l r i p i e g a m e n t o d e l l e b a n d e e t a l e d a c r e a r e u n a

r i e r a s o t t i l e t r a i l c o n t a t t o e i l c a n a l e , g l i e l e t t r o n i p o s s o n o a t t r a v e r s a r l a p e r e e t t o t u n n e l , c o n i n t e

d i c o r r e n t i e l e v a t e . I n q u e s t o m o d o , l o s t a t o d i O F F d e l t r a n s i s t o r s a r à c a r a t t e r i z z a t o d a l i e v i r i p

m e n t i d i b a n d a , m e n t r e l o s t a t o d i O N a v v e r r à q u a n d o l e b a n d e e n e r g e t i c h e r i s u l t a n o s u c i e n t e m

r i p i e g a t e . Q u a n t o d e t t o è s c h e m a t i z z a t o i n g . 3 . 1 3 .

3 0



F i g 3 . 1 3 S t a t o d i O F F e s t a t o d i O N d i u n t r a n s i s t o r a N T C c o n c o n t a t t i S c h o t t k y .

3 1

Tesina stato solido

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