8/18/2019 Volume Solido Rotazione 1
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Calcolo volume di solidi di rotazione_esercizio1
Data la parabola 442 x x y , detti V il vertice e A il punto di intersezione della parabola
con l’asse delle ordinate, determinare il volume W1 del solido generato dal triangolo mistilineo
AOV in una rotazione completa attorno all’asse delle ordinate e il volume W2 del solido
generato dal triangolo mistilineo AOV in una rotazione completa attorno all’asse delle x .
Si tratta di calcolare tali volumi in termini di integrali definiti. Una volta stabilito per intersezione
che V(2,0) e A(0,4) , il volume W1 del solido che si genera per rotazione attorno all’asse delle
ordinate è π volte l’integrale rispetto a y ,con 0≤y≤4 , del quadrato della funzione x(y) che si
ottiene invertendo 442 x x y nel tratto 0≤x≤2 :
y x y x x y x y x x y 222244
(*)22
dove la scelta del segno “‐“ (vedi (*)) determina il ramo di parabola contenente l’arco AV :
3
8
3
8
342
4
0
2
334
0
2
1
y
y ydy yW .
Infine, il volume W2 del solido che si genera per rotazione attorno all’asse delle ascisse è π volte
l’integrale rispetto a x del quadrato della funzione 442 x x y , con 0≤x≤2 :
5
32
5
2
5
1244
2
0
52
0
42
0
22
2
xdx xdx x xW .
NOTA: l’altro arco della parabola corrisponde all’espressione y x 2
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