1

4 VARIABILI DI STATO E MODELLI ITERATIVI

4.1 Corpo in caduta con attrito viscoso

4.2 Calcolo del modello matematico iterativo e scelta di t 4.3 Il condensatore

4.4 Il circuito resistenza-condensatore in serie

4.5 L'induttore ed il circuito RL serie

4.6 Variabili di stato

4.1 Corpo in caduta con attrito viscoso

Nel capitolo 1 abbiamo studiato il comportamento di un sistema costituito da un

oggetto in caduta sotto l'effetto della forza di gravità, supponendo l'assenza di forze di

attrito. Nelle stesse ipotesi è stato effettuato lo studio del sistema "fionda + sasso" nel

paragrafo 2.8. In questo paragrafo studieremo nuovamente il moto di un oggetto in

caduta, con l'obbiettivo però di includere nella nostra trattazione anche la forza di attrito

del corpo con l'aria. Per fissare le idee, supponiamo dunque di voler studiare la velocità

di caduta di un sasso nell’aria. Il sistema in questo caso è estremamente semplice,

essendo costituito dal solo sasso in caduta. Gli ingressi1 che agiscono sul sistema sono

la forza di gravità Fg e la forza di attrito con l’aria Fa. L'uscita del sistema è la velocità

del sasso v. Il modello ingressi-uscite è mostrato in figura 4.1

Figura 4.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Modello ingressi-uscite del

sistema "sasso in caduta"

Il sistema è estremamente semplice e dunque non sembra necessario suddividerlo

ulteriormente in sottosistemi: pertanto non occorre disegnare il modello a blocchi.

1 Naturalmente sarebbe possibile considerare anche altri ingressi per il sistema (ad es. la

forza del vento), ma supponiamo che tali altri ingressi possano essere considerati

ininfluenti al fine del nostro studio.

2

Per ricavare il modello matematico, studiamo anzitutto le forze che agiscono sul

sasso. Per quanto riguarda la forza di gravità, essa vale Fg = m.g, dove m è la massa del

corpo e g è l’accelerazione di gravità (circa 9,8 m/s2). La forza di gravità è sempre

orientata verticalmente dall’alto verso il basso.

Abbiamo poi la forza di attrito che l'aria esercita sul corpo in caduta. Vi sono

molti tipi differenti di forze di attrito ( scheda di approfondimento n.1): l'attrito con

un gas (come l'aria) viene detto attrito viscoso. In prima approssimazione la forza di

attrito viscoso Fa risulta direttamente proporzionale ( scheda di approfondimento n.1

cap. 3) alla velocità del corpo ed il coefficiente di proporzionalità viene detto

coefficiente di attrito viscoso (Kv). Pertanto in generale la legge dell’attrito viscoso può

essere scritta nel seguente modo:

Fa = Kv . v

Il valore del coefficiente di attrito viscoso Kv dipende dal mezzo entro il quale si muove

il corpo (cambia cioè a seconda del tipo di gas considerato) e dalla forma del corpo (ad

es. una forma aerodinamica riduce il coefficiente di attrito viscoso). Le unità di misura

di Kv sono newton per secondi diviso metri (N.s/m).

Torniamo adesso al sasso in caduta. Come si è detto, la forza di gravità agisce

sempre dall'alto verso il basso. La forza di attrito viscoso invece, come tutte le forze di

attrito, è sempre orientata in modo tale da opporsi al movimento del corpo. Pertanto per

il sasso in caduta essa sarà orientata verticalmente dal basso verso l’alto. Se scegliamo

come verso positivo2 quello della caduta del corpo (cioè dall’alto verso il basso), la

forza totale che agisce sul corpo stesso è data dalla differenza fra la forza di gravità e la

forza di attrito ( fig. 4.2):

Ftot = Fg - Fa = m.g - Kv.v

Figura 4.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Versi delle forze agenti sul

corpo in caduta

2 La scelta di quale verso viene considerato positivo è del tutto libera e arbitraria. A

condizione che tutti i segni vengano stabiliti in modo conforme alla scelta effettuata, in

entrambi i modi si ottengono alla fine gli stessi risultati.

Forze agenti sul sasso

Forza totale

3

La forza totale agente sul corpo è importante in quanto ci consente di

determinare l’accelerazione impressa al corpo stesso. Infatti per la seconda legge di

Newton :

Ftot = m.a

da cui l’accelerazione a del sasso può essere ottenuta da :

aF

m

F F

m

m g K v

m

tot g a v

Questa formula non costituisce ancora il modello matematico del sistema, dal

momento che non consente il calcolo della velocità v di caduta del sasso (uscita del

sistema). Osserviamo che nella precedente equazione alcune3 "variabili" assumono

valori costanti: ad esempio hanno un valore costante nel tempo la massa del sasso m,

l'accelerazione di gravità g, la forza di gravità Fg ed il coefficiente di attrito viscoso Kv.

Non è invece costante la velocità v di caduta del corpo: infatti il sasso aumenta

progressivamente la propria velocità (cioè accelera). Pertanto non sono neppure costanti

la forza di attrito viscoso Fa e l’accelerazione a: infatti Fa e conseguentemente a

dipendono da v. Questa osservazione può essere resa più esplicita, scrivendo la

dipendenza dal tempo accanto alle variabili il cui valore non è costante:

a tF t

m

F F t

m

m g K v t

m

tot g a v( )( ) ( ) ( )

Poiché l’accelerazione del corpo cambia il proprio valore nel tempo, in questo

caso non possiamo utilizzare le leggi del moto uniformemente accelerato ( scheda di

approfondimento n.1 cap. 1). Tali leggi valgono infatti solo se l'accelerazione è costante

(è questo infatti il significato dell'espressione "uniformemente accelerato"). Pertanto è

necessario trovare un metodo alternativo per il calcolo della velocità di caduta del sasso,

cioè della uscita del nostro sistema.

Prima di proseguire oltre nello studio del nostro sistema, approfondiamo

brevemente il concetto di accelerazione. In generale per determinare l'accelerazione di

un corpo in movimento, occorre sapere di quanto è aumentata (o diminuita) la sua

velocità in un intervallo di tempo t. Ad esempio, volendo calcolare l'accelerazione di un'auto durante un sorpasso, dobbiamo conoscere la velocità dell'auto prima4 del

sorpasso v(t), la velocità dell'auto dopo il sorpasso v(t+t) e la durata del sorpasso t. In base ai valori precedenti, l'accelerazione5 am dell'auto è data da

3 In questo contesto (e nel seguito del paragrafo) il termine variabili viene usato in senso generico, senza distinguere fra variabili propriamente dette e parametri. A questo proposito vedi anche il paragrafo 2.9 e la scheda di approfondimento n.2 in fondo al capitolo. 4 Secondo la terminologia introdotta nel paragrafo 3.1, t rappresenta l'istante precedente e t+t rappresenta l'istante successivo. 5 In modo molto simile può essere scritta la definizione della velocità di un corpo in

funzione dello spazio percorso. Infatti se s(t) rappresenta lo spazio percorso da un corpo

in un certo istante t, la velocità istantanea del corpo v(t) può essere definita come

Seconda legge di Newton

Dipendenza dal tempo

delle variabili

Moto con accelerazione non costante

Accelerazione media ed

accelerazione istantanea

4

av t t v t

tm

( ) ( )

In realtà am rappresenta l'accelerazione media su tutta la durata del sorpasso.

Questo fatto può produrre curiose conseguenze. Ad esempio, se la velocità finale dopo il

sorpasso è uguale alla velocità iniziale prima del sorpasso v(t+t) = v(t), la formula precedente fornisce am = 0. Questo però non significa affatto che non vi sia stata

accelerazione durante il sorpasso, ma solo che l'accelerazione è uguale a zero in media.

Bisogna dunque distinguere il concetto di accelerazione media da quello di

accelerazione istantanea. L'accelerazione istantanea a(t), come dice il nome, è

l'accelerazione in corrispondenza di un determinato istante di tempo t. Per calcolarla

occorre applicare la formula precedente scegliendo un intervallo di tempo t molto

breve (nel caso ideale si dovrebbe avere 't = 0'):

a tv t t v t

t( )

( ) ( )

Il simbolo di circa uguale indica che si tratta di una approssimazione: per ottenere il

valore esatto dell'accelerazione istantanea bisognerebbe infatti porre t = 0, ma questo non è possibile, poiché si avrebbe una divisione per zero6. Dovremo pertanto

accontentarci di scegliere per t un valore molto piccolo, in modo che l'approssimazione di calcolo risulti sufficientemente accurata. La formula precedente viene talvolta scritta

in notazione compatta nel seguente modo

a tv

t( )

dove con v viene indicata la differenza v(t+t) - v(t).

Utilizzando l’equazione trovata per a(t), possiamo ora sostituire la variabile a(t)

nella formula

a tm g K v t

m

v( )( )

Abbiamo dunque:

v t t v t

t

mg K v t

m

v( ) ( ) ( )

Si noti la comparsa del simbolo di circa uguale, a causa dell'approssimazione introdotta

con il calcolo della accelerazione. Non è difficile vedere che si tratta di una formula di

tipo iterativo, sorprendentemente simile a quelle incontrate nel capitolo 3 per il calcolo

delle popolazioni. Riscriviamo infatti l'equazione isolando a sinistra dell’uguale la

velocità all’istante t+t. Abbiamo:

v ts t t s t

t( )

( ) ( )

6 Per mezzo del calcolo di un limite è possibile fare tendere a zero t. Vedi il capitolo 1 del volume 3.

Modello matematico

iterativo

5

v t t v t tmg K v t

m

v( ) ( )( )

L’uscita v compare sia a sinistra che a destra dell’uguale, ma calcolata in due istanti di

tempo diversi. La nostra equazione costituisce un modello matematico per il sistema

"sasso in caduta"? Per rispondere alla domanda è sufficiente verificare se tale equazione

consente di calcolare l'uscita del sistema v. Questo è effettivamente possibile, come si

vedrà nel prossimo paragrafo.

Un altro modo per comprendere se una certa formula è oppure no un modello

matematico di un sistema consiste nel verificare se tutti i termini della formula (ad

eccezione della variabile di uscita, che costituisce l'incognita) sono noti. Nel nostro caso

le "variabili" presenti sono:

- l'incognita7 v(t): ciò che si vuole calcolare.

- la massa m ed il coefficiente di attrito viscoso Kv: si tratta di parametri del sistema8 e

pertanto il loro valore si suppone noto.

- la costante di accelerazione gravitazione g: vale circa 9,8 m/s2.

- l'intervallo di tempo t.

Come si vede l'unico termine di cui non si conosce a priori il valore (a parte l'uscita v) è

l'intervallo di tempo t. Tuttavia si è detto che t deve essere scelto in modo che sia il più piccolo possibile, per migliorare la precisione di calcolo del modello iterativo. Nel

prossimo paragrafo vedremo quale significato bisogna attribuire all'espressione "il più

piccolo possibile".

4.2 Calcolo del modello matematico iterativo e scelta di t

Il calcolo del modello matematico iterativo del sistema "sasso in caduta" può

essere effettuato in modo analogo a quanto visto nel capitolo 3 per le popolazioni

animali. Come sempre accade per il calcolo di una equazione iterativa, è necessario

conoscere il valore iniziale dell’uscita per poter calcolare di conseguenza tutti i valori

successivi. Supponiamo ad esempio che il sasso inizi a cadere da fermo. Pertanto la

velocità iniziale è zero, cioè v(0) = 0 m/s. Supponiamo poi che si abbia m = 0,1 kg , Kv

= 0,6 N.s/m. Supponiamo infine di voler conoscere il valore della velocità del corpo nei

primi due decimi di secondo dall’inizio della caduta. Per effettuare il calcolo scegliamo

arbitrariamente per t un valore pari a un decimo di secondo (t = 0,1 s): in questo modo saranno necessarie due iterazioni del modello matematico per ottenere tutti i

valori dell’uscita. Iniziamo il calcolo sostituendo nella formula generale9 all’istante t il

valore zero (istante iniziale). Abbiamo dunque:

7 Il termine incognita è l'equivalente matematico del termine usato in teoria dei sistemi

"uscita". 8 Più precisamente m è un parametro del sistema e Kv è un parametro dell'interfaccia fra il sistema ed il mondo esterno. Vedi la scheda di approfondimento n.2. 9 Il procedimento di calcolo del modello iterativo è lo stesso usato nel paragrafo 3.3 per

il calcolo di una popolazione con risorse limitate.

6

v t v tmg K v

m

v t v s m s

v( ) ( )( )

( ) ( , ) ,, , ,

,, /

0 00

0 1 0 0 10 1 9 8 0 6 0

0 10 98

Siamo così riusciti a calcolare la velocità del corpo all’istante t = 0,1 s. A questo punto

possiamo applicare nuovamente il modello matematico iterativo sostituendo nella

formula generale al posto di t il valore 0,1 s. Abbiamo quindi:

v t v tmg K v

m

v t v s m s

v( , ) ( , )( )

( , ) ( , ) , ,, , , ,

,, /

0 1 0 11

0 1 0 2 0 98 0 10 1 9 8 0 6 0 98

0 11 37

Volendo il calcolo potrebbe essere ripetuto allo stesso modo per gli istanti di tempo

successivi.

Abbiamo detto che, per il calcolo precedente, il valore di t è stato scelto in

modo arbitrario. Naturalmente sarebbe possibile effettuare il calcolo con t = 0,2 s: in questo caso sarebbe necessaria una sola ripetizione dell’equazione iterativa. Al

contrario, scegliendo ad esempio il valore t = 0,05 s, per calcolare v(0,2 s) occorrerebbero quattro iterazioni del modello matematico. Da tali considerazioni

emerge con chiarezza il fatto che

più piccolo è il valore scelto per t, maggiore è il numero di calcoli da effettuare.

Ciò costituisce una caratteristica generale dei modelli matematici iterativi.

Tuttavia è interessante verificare che cosa cambia nei risultati, effettuando il

calcolo con diversi valori di t. La tabella 4.1 riporta i valori della velocità v del sasso

calcolati con diverse scelte di t (con m = 9,1 kg e Kv = 0,6 N.s/m).

t [secondi] v con

t = 0,005 s

v con

t = 0,01 s

v con

t = 0,05 s

v con

t = 0,1 s

v con

t = 0,2 s

0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,05 0,429 0,435 0,490

0,10 0,745 0,754 0,833 0,980

0,15 0,978 0,988 1,073

0,20 1,150 1,159 1,241 1,372 1,960

Tabella 4.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Calcolo della velocità v per

diversi valori di t

Tale tabella ci permette di constatare che, cambiando il valore di t, effettivamente cambiano anche i valori calcolati per la velocità. In particolare si può osservare come i

7

valori di v calcolati negli stessi istanti diminuiscano progressivamente10 al diminuire di

t.

Certamente i risultati più corretti sono quelli ottenuti con t = 0,005 s: infatti il modello matematico del corpo in caduta risulta tanto più esatto quanto più piccolo11 è il

valore di t: migliora infatti la precisione nel calcolo dell'accelerazione istantanea a(t).

Tuttavia si nota che via via che si riduce il valore di t, i valori di v agli stessi istanti si

avvicinano sempre di più. Ad esempio i risultati ottenuti con t = 0,01 s sono

praticamente identici a quelli ottenuti con t = 0,005 s: la differenza fra i valori corrispondenti è infatti di poco superiore all'uno per cento. Ciò significa che, nel nostro

caso, la precisione del calcolo non aumenta sensibilmente scegliendo un valore di t

minore di 0,01 s. Dal momento che al diminuire del valore di t aumenta il numero di calcoli necessari, non conviene dunque scegliere un valore inferiore12 a 0,01s.

Possiamo dunque affermare, in base alla precedente discussione, che

in generale è possibile determinare per t un valore di compromesso fra la precisione dei risultati ed il numero di calcoli necessari.

In pratica si procede nel seguente modo:

a) Si effettua la simulazione del sistema col modello matematico iterativo,

utilizzando un valore t1 abbastanza grande da consentire un numero di calcoli ragionevolmente basso13.

10 Si osservi inoltre che con t = 0,005 s sono necessarie ben 40 ripetizioni del modello

iterativo, per poter calcolare v(0,2)! Con t= 0,2 s invece è sufficiente un solo calcolo.

Si noti infine che i valori in t = 0,05' s e in t = 0,15' s con t = 0,1 s ed i valori in t =

0,05 s, t = 0,1 s, t = 0,15 s con t = 0,2 s sono indeterminati, in quanto non possono esser calcolati. 11 Scegliendo viceversa un valore troppo elevato per t, il calcolo del modello iterativo potrebbe

anche fornire valori del tutto assurdi e inconsistenti. Ad esempio eseguendo il calcolo con t = 2 s, otteniamo: v(0) = 0 m/s v(2) = 19,6 m/s v(4) = -196 m/s v(6) = 2175,6 m/s I valori precedenti sono evidentemente senza senso e ciò è dovuto al valore eccessivamente

grande di t. Vedi anche le analoghe osservazioni effettuate nel paragrafo 4.4 a proposito del modello iterativo del circuito RC serie. 12 Naturalmente il discorso è valido se un errore pari a circa l'uno per cento può essere

ritenuto accettabile. Se ci si accontenta invece di un errore di circa il 10%, allora è

possibile ridurre ulteriormente il numero di calcoli scegliendo t = 0,05 s. Se invece si

vuole avere un errore inferiore, occorre scegliere un valore di t più piccolo. 13 Il numero di calcoli N dipende dalla durata dell'intervallo di tempo che si vuole simulare T e dal

valore di t (N = T/t). Occorre inoltre tenere presente che la scelta di t dipende anche da quali e quanti istanti intermedi si vogliono calcolare: ad esempio, se si desidera conoscere il valore

assunto dall'uscita ad intervalli di un secondo, non è ovviamente possibile scegliere per t un valore maggiore di un secondo.

Scelta di t

8

b) Si ripete la simulazione con un valore t2 dieci volte14 inferiore al precedente

(t2 = 0,1 t1). c) Se i risultati della simulazione effettuata al punto b sono uguali (negli stessi

istanti di tempo15 e nei limiti del margine di errore ritenuto accettabile) a quelli

calcolati al punto a, allora il valore t1 (cioè il più grande16 fra i due t) può essere ritenuto accettabile.

d) In caso contrario, occorre ripetere la simulazione con un valore t3 dieci volte

inferiore a t2 (t3 = 0,1 t2). Si effettua nuovamente il confronto fra i valori

ottenuti con t2 e con t3: se i valori sono approssimativamente coincidenti,

allora si può scegliere t2 (cioè sempre il valore più grande). In caso

contrario occorre provare ancora con valori di t sempre più piccoli, fintantoché i dati calcolati negli stessi istanti di tempo non si stabilizzano.

Si è ripetutamente affermato che "piccoli valori" di t consentono di ottenere

risultati più precisi. Si tratta in questo caso di una precisione di tipo matematico, nel

senso che l'errore di calcolo decresce al diminuire di t. E importante sottolineare che

invece la precisione fisica del modello matematico, cioè la corrispondenza fra i risultati

del calcolo teorico ed i valori misurati sperimentalmente, non dipende affatto da t. Infatti in generale un modello matematico risulta tanto più preciso rispetto alle misure

sperimentali, quanto più accurate sono le ipotesi fisiche su cui è basato. Ad esempio, nel

caso del sasso in caduta, si è fatta l'ipotesi che la forza di attrito viscoso con l'aria Fa sia

direttamente proporzionale alla velocità del sasso v. In realtà la legge che esprime la

dipendenza di Fa da v è più complessa, in quanto la forza di attrito dipende anche dal

quadrato della velocità del corpo ( scheda di approfondimento n. 1). Ciò implica che

il modello matematico del sasso in caduta risulta approssimato dal punto di vista fisico e

tale approssimazione non può essere migliorata riducendo il valore di t.

La scelta di t è dunque un problema esclusivamente di tipo matematico che infatti, come abbiamo visto, può essere risolto per mezzo di soli calcoli, senza effettuare

misure sul sistema. Tali considerazioni implicano che t non è certamente un parametro

del sistema ( par. 2.9), dal momento che esso non è una proprietà del sistema studiato.

Infatti, se cambia il valore di t, non cambia il sistema, ma solo i risultati del calcolo del

modello matematico. Per questo motivo possiamo affermare che t è un parametro del

modello matematico iterativo, cioè esso è una caratteristica della formula, ma non del

sistema che da tale formula viene rappresentato.

14 Non è obbligatorio dividere ogni volta il valore di t per dieci. L'importante è che ad

ogni simulazione venga usato un valore di t inferiore al precedente. 15 Si presti attenzione al fatto che, cambiando il valore di t, cambia anche il numero di

calcoli necessario per arrivare ad un dato istante. Ad esempio con t = 1 s bastano due

calcoli per arrivare allo istante t = 2 s, mentre con t = 0,1 s ne occorrono venti. Questa osservazione è importante quando si effettua il confronto fra i valori dell'uscita calcolati

con diversi valori di t: bisogna confrontare i valori negli stessi istanti di tempo, non i valori ottenuti dopo un uguale numero di ripetizioni del modello iterativo. 16 Si sceglie il valore più grande in quanto, essendo la precisione comunque accettabile,

consente di effettuare un numero inferiore di calcoli rispetto a t2.

Precisione

Parametro del modello matematico

9

A conclusione del paragrafo, si osservi il grafico in figura 4.3, che riporta

l'andamento della velocità v del sasso in caduta in funzione del tempo. Tale grafico è

stato ricavato per mezzo del modello iterativo, con i valori m = 0,1 kg , Kv = 0,6 N.s/m e

t = 0,01 s.

Figura 4.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Andamento della velocità del

sasso in caduta con attrito con l'aria

Notiamo che la velocità del sasso cresce inizialmente in modo molto rapido. Col passare

del tempo però essa tende a stabilizzarsi su un valore finale, pari a circa 1,6 m/s.

Dunque il sasso inizialmente accelera, aumentando la propria velocità. La sua

accelerazione però diminuisce progressivamente, finché si annulla completamente e la

velocità diventa costante. Tale fenomeno può essere spiegato osservando che il sasso è

sottoposto a due forze di verso contrario: la forza di gravità costante, Fg = m.g, e la forza

di attrito viscoso, Fa = Kv.v, il cui valore aumenta al crescere della velocità del corpo. In

pratica ad un certo punto la forza di attrito viscoso assume un valore esattamente uguale

e contrario alla forza di gravità. Quando ciò si verifica, la forza totale agente sul sasso è

nulla ed il corpo continua a cadere senza accelerazione e con velocità costante.

Nei prossimi paragrafi affronteremo lo studio di altri due sistemi fisici (il

circuito RC, nei paragrafi 4.3 e 4.4, ed il circuito RL, nel paragrafo 4.5) descritti da un

modello matematico di tipo iterativo. Lo studio di tali sistemi non condurrà a sviluppare

nuovi concetti, rispetto allo studio del sistema "sasso in caduta": si tratta piuttosto di un

approfondimento dei temi e delle problematiche introdotte in questi due primi paragrafi.

E' tuttavia importante che il lettore cominci a familiarizzarsi con questi sistemi di tipo

elettrico, in quanto essi saranno più volte ripresi ed approfonditi nei prossimi capitoli

(vedi in particolare il capitolo 8, interamente dedicato ai sistemi circuitali). L'ultimo

paragrafo 4.6 del capitolo ha invece lo scopo di riassumere e di organizzare i concetti ed

i temi sviluppati nei paragrafi precedenti.

Per scegliere il valore di t occorre eseguire esperimenti sul sistema? Come bisogna procedere?

Spiegare.

Un modello matematico iterativo è meno preciso di uno finito? E' più preciso? Spiegare.

Grafico dei risultati della simulazione

?

10

4.3 Il condensatore

Un condensatore è un componente elettrico dotato di due terminali (si tratta

cioè di un bipolo).Errore. Il segnalibro non è definito.Errore. Il segnalibro non è

definito. Esso è internamente costituito da uno strato di isolante (dielettrico), il quale

separa due armature metalliche. Ciò appare anche dal simbolo elettrico del componente

( fig. 4.4), il quale viene rappresentato mediante due armature stilizzate, separate da

uno spazio vuoto (che sta a simboleggiare lo strato isolante fra le armature):

Figura 4.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Simbolo circuitale del

condensatore

Quando si applica una tensione continua (cioè costante) ai capi di un

condensatore, non si osserva nessun passaggio di corrente. Infatti la corrente non può

passare attraverso un isolante e dunque non può esserci passaggio di corrente fra le

armature di un condensatore17. Si ha tuttavia un accumulo di cariche elettriche sulle due

armature: le cariche positive si accumulano sull'armatura collegata al terminale + del

generatore di tensione, mentre un'uguale quantità di cariche negative si accumula

sull'armatura opposta ( fig. 4.5). Il valore della carica qc sull’armatura positiva può

essere determinato in base alla seguente legge del condensatore:

qc = C . vc

L'equazione precedente afferma che la carica risulta direttamente proporzionale alla

tensione applicata. La costante di proporzionalità C viene detta capacità del

condensatore. C è naturalmente un parametro del condensatore ed il suo valore si misura

in farad18 (F). La carica sull’armatura negativa è pari a -qc, cioè le due armature hanno una carica uguale e opposta. Il condensatore nel suo complesso risulta pertanto

elettricamente neutro19.

17 Si dice infatti che il condensatore in corrente continua equivale ad un "tasto aperto". 18 Dal modello matematico del condensatore si ottiene subito che 1 farad = 1 coulomb /

1 volt. 19 La carica positiva è dovuta alla presenza di atomi nell’armatura metallica, i quali hanno perduto elettroni; tali elettroni mancanti dall'armatura positiva li ritroviamo sull’altra armatura a formare la carica negativa.

Condensatore in continua

11

Figura 4.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Condensatore con tensione

continua

Supponiamo ora di applicare ai capi di un condensatore una tensione variabile

nel tempo (ad es. una alternata sinusoidale). In questo caso si osserva sperimentalmente

un passaggio di corrente, misurabile con un amperometro. Tale corrente tuttavia non

può attraversare il dielettrico (che è un isolante), ma è dovuta al trasferimento di carica

fra le due armature del condensatore attraverso il circuito esterno. Per capire meglio il

problema, consideriamo un generatore di tensione variabile collegato ai capi di un

condensatore. Immaginiamo di applicare inizialmente, mediante tale generatore, una

tensione vc(t) fra le armature20: sulle due armature viene a localizzarsi una carica

elettrica, positiva sull’armatura collegata con il + del generatore e negativa sull’altra

armatura. Tali cariche elettriche, in base alla legge del condensatore, sono date da

qc(t) = C . vc(t)

sull'armatura carica positivamente e da

- qc(t) = - C

. vc(t)

sull'armatura carica negativamente. Supponiamo adesso di variare la tensione prodotta

dal generatore, applicando al condensatore una tensione21 vc(t+t) maggiore della

precedente vc(t). Poiché vc(t)< vc(t+t), allora si ha anche qc(t) < qc(t+t). Dunque la carica presente sulle due armature è aumentata. Che cosa è successo? E' accaduto che un

certo numero di cariche negative (cioè di elettroni22), presenti inizialmente sulla

armatura positiva, si sono trasferite sull’armatura negativa. Dopo tale rimescolamento,

la carica netta su ciascuna armatura risulta aumentata della stessa quantità e dunque il

condensatore resta ancora globalmente neutro ( fig. 4.6).

20 t rappresenta come al solito un generico istante di tempo. 21 t+t rappresenta un generico istante di tempo successivo a t. 22 Per la corretta comprensione della trattazione, è importante aver ben chiaro che solo gli elettroni, cioè le cariche negative, possono spostarsi nei conduttori.

Condensatore con tensione

variabile

12

Figura 4.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Spostamenti di carica in un

condensatore aumentando la tensione applicata

Come si può osservare, l'aumento della tensione applicata ha causato un

passaggio di corrente nel circuito esterno al condensatore. E’ importante ribadire il fatto

che la corrente non ha attraversato le armature, ma è passata attraverso il circuito che

connette fra di loro le armature stesse. Quando la tensione vc aumenta (come

nell’esempio precedente), gli elettroni passano dalla armatura positiva a quella negativa:

ciò significa che nel circuito scorre una corrente dall’armatura negativa a quella

positiva23. Se invece la tensione vc diminuisce, la corrente scorre dall’armatura positiva

a quella negativa.

Abbiamo dunque scoperto che ad ogni variazione della tensione applicata ad un

condensatore corrisponde un passaggio di corrente nel circuito. Ma qual è il valore di

questa corrente? L’intensità di corrente che passa in un conduttore viene definita come

la quantità di carica che attraversa una sezione del conduttore in un certo intervallo di

tempo. Indicando con q = q(t+t) - q(t) tale quantità di carica e con t l'intervallo di tempo considerato, l’affermazione precedente può essere espressa matematicamente

con:

i tq

t

q t t q t

t( )

( ) ( )

La precedente equazione può essere considerata come la definizione matematica della

intensità di corrente i in un conduttore24. Si osservi con particolare attenzione la

presenza del simbolo di “circa uguale”. Infatti la definizione di corrente i è tanto più

corretta, quanto più breve è l’intervallo di tempo t considerato: con t troppo lunghi infatti, la formula fornisce solo un valore medio della intensità di corrente nel

conduttore. In teoria il valore di t dovrebbe essere scelto uguale a zero, ma ciò non è possibile, poiché in questo caso la formula non potrebbe più essere calcolata25

(avremmo infatti una divisione per zero).

23 La corrente ha per convenzione un verso opposto a quello del passaggio degli elettroni. 24 La validità della formula di definizione dell'intensità di corrente è del tutto generale e non è limitata soltanto ai circuiti contenenti condensatori. 25 Si osservino le notevoli analogie esistenti fra formula che definisce corrente e quella,

vista nel paragrafo 4.1, per la definizione dell'accelerazione in base alla velocità di un

corpo.

Intensità di corrente in un

conduttore

13

Nel caso del condensatore, la carica che passa nel circuito è uguale alla carica

che è stata trasferita fra le due armature a causa della variazione della tensione applicata.

Se all’istante t la tensione ai capi del condensatore è vc(t) e se all’istante successivo t+t

tale tensione è diventata vc(t+t), la carica presente sulle armature deve di conseguenza

passare dal valore C. vc(t), al valore C. vc(t+t). La variazione di carica (uguale alla

carica transitata nel circuito nell’intervallo di tempo t) è data da:

q = C. vc(t+t) - C. vc(t+t) = C . ( vc(t+t) - vc(t) )

A questo punto siamo in grado di calcolare l’intensità di corrente nel circuito:

i t

q

t

C v t t v t

tC

v t t v t

t

c c c c( )( ) ( ) ( ) ( )

ovvero in notazione compatta

i t Cv

t

c( )

L’equazione precedente descrive il funzionamento di un condensatore e costituisce

dunque un modello matematico del condensatore. Essa consente di calcolare la corrente

i nel condensatore a partire dalla tensione vc applicata ai capi del condensatore stesso.

Tale formula è dunque analoga alla legge di Ohm i = VR / R di un resistore, salvo che

quello del resistore è un modello matematico di tipo finito, mentre quello del

condensatore è un modello matematico iterativo, in quanto contiene il parametro t.

E' interessante osservare che, nel caso particolare in cui vc è una tensione

continua, allora vc(t+t) = vc(t) (indipendentemente dal valore di t e di t) e dunque i(t) = 0, come già sapevamo. Si osservi inoltre come l’intensità della corrente in un

condensatore non dipenda dalla intensità della tensione applicata ai suoi capi, ma dalla

rapidità con la quale tale tensione cambia nel tempo. Infatti i è tanto più elevata quanto

più grande è la differenza vc(t+t)-vc(t) a parità di intervallo di tempo t. Ad esempio, affinché in un condensatore circoli una corrente continua, la differenza vc(t+t)-vc(t) deve essere costante: ciò significa che la tensione sul condensatore deve crescere sempre

della stessa quantità in ogni intervallo di tempo t. Pertanto, la tensione vc deve avere l’andamento di una retta crescente. La pendenza di tale retta determina l'intensità della

corrente che attraversa il condensatore.

4.4 Il circuito resistenza-condensatore in serie

Consideriamo adesso un semplice circuito costituito da una resistenza e da un

condensatore collegati in serie, ai capi dei quali venga applicata dall’esterno una

tensione vin(t). Supponiamo di essere interessati a determinare l’andamento nel tempo

della tensione vc(t) sul condensatore. Trattandosi di un sistema di tipo circuitale,

possiamo abbreviare l’applicazione del metodo sistemico disegnando subito il modello

circuitale del sistema ( fig. 4.7).

Modello matematico

del condensatore

14

Figura 4.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Modello circuitale del

circuito RC serie

In tale schema circuitale abbiamo indicato i nomi ed i versi di tutte le tensioni26 e le

correnti presenti nel circuito, omettendo per semplicità la dipendenza dal tempo dai

nomi delle variabili.

Per studiare il sistema27 dobbiamo ricordare che il modello circuitale rappresenta

già la scomposizione del sistema in sottosistemi (i componenti R e C) e sostituisce

dunque a tutti gli effetti il modello a blocchi. L’analisi del sistema procede dunque

anzitutto ricavando i modelli matematici dei due sottosistemi. Per quanto riguarda la

resistenza il modello matematico è rappresentato dalla legge di Ohm:

vR(t) = R . i(t)

Si osservi come tale equazione sia stata scritta usando per la tensione e la corrente gli

stessi nomi riportati sul modello circuitale. Per quanto riguarda il condensatore, il

modello matematico è quello ricavato nel precedente paragrafo:

i t Cv t t v t

t

c c( )( ) ( )

A questo punto dobbiamo cercare di mettere insieme i due precedenti modelli

matematici, in modo da ottenere il modello matematico dell’intero circuito. Per fare

questo abbiamo bisogno di esprimere l’interazione fra il sottosistema resistenza ed il

sottosistema condensatore. Tale interazione è rappresentata dal fatto che condensatore e

resistenza sono entrambi attraversati dalla stessa corrente i(t): di ciò si è già tenuto conto

scrivendo i modelli matematici dei due componenti. Inoltre anche le tensioni vR(t) e vc(t)

sono legate fra loro dalla legge di Kirchhoff28 alla maglia nel circuito:

26 Si osservi come la tensione vin indicata nel circuito sia ovviamente prodotta da un generatore di tensione: tale generatore non è stato però disegnato nel modello circuitale, in quanto si tratta di un ingresso e dunque di un’azione esterna al sistema. 27 Il metodo generale per lo studio dei sistemi circuitali viene descritto in dettaglio nel capitolo 8. 28 Per scrivere la legge di Kirchhoff alle tensioni di una maglia bisogna per prima cosa scegliere arbitrariamente un verso di percorrenza, orario o antiorario, della maglia. Quindi bisogna considerare con il segno + tutte quelle tensioni che, percorrendo la maglia nel verso scelto, si incontrano con la freccia orientata nel verso di percorrenza; si considerano invece come negative tutte quelle tensioni che hanno la freccia contraria al verso di percorrenza. La somma algebrica delle tensioni di maglia così ottenuta deve quindi essere posta uguale a zero. Vedi anche il capitolo 8.

15

vin(t) = vR(t) + vc(t)

Per risolvere il sistema possiamo dunque partire dalla precedente equazione e

sostituire in essa al posto di vR(t) l'espressione ricavata dalla legge di Ohm della

resistenza:

vin(t) = R . i(t) + vc(t)

A questo punto è possibile eliminare i(t), usando il modello matematico del

condensatore:

v t R Cv t t v t

tv tin

c c

c( )( ) ( )

( )

L’equazione così trovata costituisce il modello matematico dell’intero circuito,

in quanto contiene solo l’uscita vc (calcolata nei due diversi istanti di tempo t e t+t),

l'ingresso vin, i parametri del sistema R e C ed il parametro t del modello matematico

( par. 4.2). Si tratta evidentemente di un modello matematico di tipo iterativo, analogo

a quello ricavato nel paragrafo 4.1 per il sasso in caduta con attrito viscoso. Per renderle

più semplice il calcolo, bisogna scrivere il modello matematico isolando a sinistra

dell’uguale il termine in t+t. I passaggi matematici sono i seguenti:

v t v tR C

tv t t v t

t

RCv t v t v t t v t

in c c c

in c c c

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

da cui abbiamo infine:

v t t v tt

RCv t v tc c in c( ) ( ) ( ) ( )

L’equazione trovata ci consente di determinare i valori assunti dalla tensione di

uscita vc per qualsiasi tipo di segnale di ingresso vin. Supponiamo ad esempio che si

abbia R = 10 k e C = 2 F e supponiamo che la tensione di ingresso sia costante e pari

a +5V. Per effettuare il calcolo dobbiamo conoscere anche il valore di vc all’istante zero:

supponendo il condensatore inizialmente scarico, abbiamo vc(0) = 0 V. A questo punto

possiamo trovare un valore ragionevole di t per tentativi29, come indicato nella tabella 4.2 (i valori di vC sono espressi in V).

t [secondi] vc con t = 0,1 s vc con t =0,01s vc con t = 1 ms vc con t =0,1ms

0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,000

0,0001 0,025

0,0002 0,050

0,0010 0,250 0,244

0,0020 0,490 0,477

0,0100 2,500 2,006 1,971

0,0200 3,750 3,208 3,165

0,1000 25,000 4,995 4,970 4,967

29 Il metodo da seguire per la scelta di t è descritto nel paragrafo 4.2

Modello matematico

del circuito RC

Scelta di t e calcolo del

modello matematico

16

0,2000 -75,000 5,000 5,000 5,000

Tabella 4.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Calcolo di vc con diversi

valori di t

Osserviamo subito che i valori ottenuti con t = 0,1 s sono del tutto irragionevoli, poiché la tensione sul condensatore calcolata supera la tensione prodotta dal generatore

di ingresso ed oscilla fra valori positivi e negativi. I valori calcolati con t = 0,001 s non

sono assurdi, ma lo scarto rispetto agli stessi valori calcolati con t più piccoli è

abbastanza elevato. Una buona soluzione di compromesso per la scelta di t potrebbe in

questo caso essere costituita dal valore t = 1 ms. Infatti i valori così calcolati sono

molto vicini a quelli ottenuti con t = 0,1 ms. Questi ultimi valori sono certamente più precisi, ma richiedono un numero di calcoli dieci volte maggiore30. Il grafico in figura

4.8 mostra l’andamento della tensione sul condensatore calcolata con t = 1 ms.

Figura 4.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Andamento della tensione vc

nel circuito RC serie

Notiamo subito la notevole somiglianza fra la curva che esprime l'andamento

della tensione ai capi del condensatore nel circuito RC e la curva ricavata nel paragrafo

4.2 per la velocità del sasso in caduta. Anche in questo caso l'uscita non cresce

indefinitamente, ma si assesta su un valore finale31 che, dal grafico, risulta pari a 5V.

30 Si osservi che il numero di calcoli necessari per ricavare l’uscita all’istante t = 0,1s, è

pari a 10 con t = 0,01s, a 100 con t = 1 ms e a ben 1000 calcoli con t = 0,1 ms! 31 Non è difficile osservare che tale valore viene raggiunto quando il condensatore si è

caricato ad una tensione uguale a quella del generatore vin. In tale caso infatti la tensione

vR sulla resistenza si annulla e dunque nel circuito non vi è più nessun passaggio di

corrente: pertanto il condensatore smette di caricarsi e la tensione ai suoi capi si

mantiene costante.

17

Il modello matematico del circuito consente di effettuare i calcoli anche nel caso

in cui l’ingresso sia un segnale variabile nel tempo. A titolo di esempio si consideri un

segnale di ingresso vin ad onda triangolare tra 0V e 5V, con periodo 0,1 secondi, come

mostrato in figura 4.9

Figura 4.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Segnale di ingresso a onda

triangolare

Vediamo dunque come può essere effettuato il calcolo del modello iterativo con questo

segnale di ingresso e con32 t = 1 ms. Abbiamo dunque:

v t vt

RCv v v ms Vc c in c c( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 1 0

10

2 100 0 0

3

2

Infatti, come si può osservare dalla figura 4.9, il valore del segnale di ingresso in t = 0 s

è pari a 0 V (l’onda triangolare non ha ancora cominciato a salire). Impostiamo quindi il

calcolo della formula all’istante successivo:

v ms t v mst

RCv ms v msc c in c( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

In questo caso, per poter effettuare il calcolo, è necessario conoscere il valore di vin

all’istante 1ms. Tale valore può essere ricavato osservando che l’onda di ingresso cresce

da 0 V fino a 5 V in un semiperiodo, cioè in 0,05 secondi, ovvero in 50 ms. Questo

implica che ogni millisecondo l’onda triangolare di ingresso deve aumentare il proprio

valore di 0,1 V. Pertanto in t = 1 ms il segnale di ingresso vale 0,1 V e quindi:

v ms Vc ( ) , ,2 010

2 100 1 0 0 005

3

2

In modo analogo possiamo calcolare la tensione di uscita in t = 3 ms, osservando che, in

base al precedente ragionamento, vin(2ms) = 0,2 V:

32 In realtà, se si cambia il segnale di ingresso, occorre anche ricalcolare il valore di t. Vedi a questo proposito la scheda di approfondimento 5.1.

Calcolo del modello

matematico con ingresso

variabile

18

v ms t v mst

RCv ms v ms

v ms

c c in c

c

( ) ( ) ( ) ( )

( ) , , , ,

2 2 2 2

3 0 00510

2 100 2 0 005 0 015

3

2

V

Si noti che, per calcolare il valore della tensione vc in t = 3 ms, si è dovuto usare il

valore di vin all’istante 2 ms, cioè all’istante precedente. La figura 4.10 mostra

l’andamento dell’uscita simulata con la precedente onda triangolare in ingresso.

Figura 4.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Andamento della tensione

sul condensatore con un ingresso a onda triangolare

In questo caso ovviamente la tensione sul condensatore non si stabilizza su un valore

finale costante, dal momento che la tensione di ingresso vin continua a cambiare il

proprio valore nel tempo.

Se in un circuito RC serie, la tensione di ingresso vale 10 V e il condensatore è inizialmente scarico,

qual è il valore iniziale della tensione sulla resistenza?

4.5 L’induttore ed il circuito RL serie

L’induttore33 Errore. Il segnalibro non è definito.è un bipolo, costituito da un

solenoide, cioè un filo conduttore avvolto in spire elicoidali su un supporto isolante

cilindrico. Tale realizzazione viene suggerita anche dal simbolo circuitale del

componente ( fig. 4.11).

33 Spesso l’induttore viene detto anche “induttanza”. In effetti i due termini vengono usati indifferentemente per designare un bipolo in cui siano predominanti gli effetti induttivi. Tuttavia il termine “induttanza” si riferisce anche al parametro L del bipolo: per evitare confusioni si è qui preferito usare il nome “induttore” per il componente ed il nome “induttanza” per il parametro. Lo stesso criterio di distinzione viene usato nel caso del componente "condensatore" e del suo parametro "capacità" (gli inglesi usano i termini "capacitor" e "capacitance"). Analogamente alcuni testi distinguono il componente "resistore" dal suo parametro "resistenza".

?

19

Figura 4.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Simbolo circuitale

dell'induttore

Il passaggio di corrente nell'induttore produce un campo magnetico34 interno al

solenoide. L’intensità di tale campo magnetico è direttamente proporzionale alla

intensità della corrente che attraversa l’induttore. Se l’induttore viene attraversato da

una corrente continua, il campo magnetico generato è costante e il componente si

comporta esattamente come un filo, cioè come un corto circuito35. Pertanto in tali

condizioni la tensione ai capi del componente è sempre identicamente nulla.

Se il componente viene attraversato da una corrente variabile nel tempo, allora

all’interno del solenoide si viene a produrre un campo magnetico variabile nel tempo.

Tale campo magnetico variabile genera una forza elettromotrice indotta, cioè una caduta

di potenziale ai capi dell’induttore. Si potrebbe dimostrare che questa tensione è

direttamente proporzionale alla rapidità con cui varia la corrente nel bipolo, cioè

v t L

i t t i t

tL

L L( )

( )

L’equazione precedente costituisce il modello matematico del componente “induttore”.

Il parametro L viene detto induttanza e si misura in henry (H), dove

1 henry = 1 volt 1 secondo / 1 ampere

La variabile vL rappresenta la tensione ai capi dell'induttore. Tale tensione risulta

direttamente proporzionale (attraverso il coefficiente di proporzionalità L) alla rapidità

di variazione della corrente iL nell'induttore, espressa da

i t t i t

t

i

t

L L L

( )

Si noti come la rapidità di variazione di iL venga definita facendo il rapporto fra la

variazione di iL ed il generico intervallo di tempo t: tale definizione è perfettamente

analoga a quella della accelerazione di un corpo in funzione della velocità ( par. 4.1) e

della corrente in funzione della carica ( par. 4.3). Anche in questo caso la formula è

34 Data la maggiore complessità dei fenomeni fisici che stanno alla base del funzionamento dell'induttore, la trattazione del componente verrà qui svolta in modo meno approfondito di quanto fatto per il condensatore nel paragrafo 4.3. 35 Si osservi il comportamento "opposto" rispetto a quello del condensatore, che, in

continua, si comporta come un "tasto aperto".

Induttore in continua

Induttore con corrente variabile

20

esatta solo per valori di t tendenti a zero: per questa ragione abbiamo la presenza del

simbolo di "circa uguale" ().

Consideriamo adesso un semplice circuito costituito da un induttore e da una

resistenza collegati in serie ( fig. 4.12).

Figura 4.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Modello circuitale del

circuito RL serie

Supponiamo di voler calcolare la corrente iL che passa nel circuito (uscita del

sistema). Come già abbiamo fatto per lo studio del circuito RC serie, dal momento che il

modello circuitale sostituisce a tutti gli effetti il modello a blocchi del sistema, possiamo

procedere subito all’analisi dei due componenti presenti nel circuito. Per quanto

riguarda la resistenza il modello matematico è rappresentato dalla legge di Ohm:

vR(t) = R . iL(t)

Si osservi come quest'ultima equazione sia stata scritta usando per la tensione e la

corrente gli stessi nomi usati nel modello circuitale: dal momento che la resistenza è

attraversata dalla stessa corrente che attraversa l’induttore, la corrente nella resistenza è

stata chiamata iL.

Per quanto riguarda l’induttore, il modello matematico è quello ricavato

precedentemente:

v t L

i t t i t

tL

L L( )

( )

L’interazione fra i due componenti può essere rappresentata per mezzo della

legge di Kirchhoff alle tensioni nella maglia ( par. 9.1):

vin(t) = vR(t) + vL(t)

Sostituendo nella precedente equazione i modelli matematici dei due componenti,

otteniamo subito:

v t R i t L

i t t i t

tin L

L L( ) ( )

( )

L’equazione così trovata rappresenta il modello matematico iterativo del

circuito, in quanto essa contiene solo la variabile di uscita iL (calcolata nei due diversi

Circuito RL serie

21

istanti di tempo t e t+t), l'ingresso vin, i parametri del sistema R e L ed il parametro t del modello matematico. Si tratta ovviamente di un'equazione di tipo iterativo, la quale,

ai fini del calcolo, può essere più convenientemente scritta nel seguente modo:

v t R i t Li t t i t

t

v t R i t Li t t i t

t

t

Lv t R i t i t t i t

i t t i tt

Lv t R i t

in L

L L

in L

L L

in L L L

L L in L

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Anche in questo caso, come già visto a proposito del sasso in caduta e del

circuito RC, il valore di t può essere scelto per mezzo di simulazioni successive. Supponiamo ad esempio di avere i seguenti dati del problema:

vin = 5 V (costante) L = 1 H R = 100

Supponiamo inoltre di essere interessati ai valori di iL in un intervallo di 500 ms dopo

l'applicazione del segnale di ingresso. Supponendo di voler effettuare 50 calcoli del

modello ad intervalli di tempo di 10 ms, possiamo provare inizialmente ( par. 4.2 e

4.4) con un valore t = 10 ms. I risultati della simulazione devono quindi essere

confrontati con quelli ottenuti con t = 1 ms (dieci volte minore) per verificarne la correttezza. La tabella 4.3 mostra il confronto fra i risultati negli stessi istanti di tempo

delle simulazioni effettuate con diversi valori di t (tutte le simulazioni sono state condotte assumendo iL(0) = 0 A; i valori di iL sono espressi in ampere).

t [ms] iL con t =0,1 ms iL con t =1 ms iL con t = 10 ms

0 0 0 0

10 0,032 0,033 0,050

20 0,043 0,044 0,050

30 0,048 0,048 0,050

40 0,049 0,049 0,050

50 0,050 0,050 0,050

Tabella 4.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Calcolo di iL con diversi

valori di t

Si osservi come i valori calcolati con t = 10 ms siano sempre costanti: ciò è dovuto al

fatto che il valore di t risulta troppo elevato. Invece i risultati ottenuti con t = 1 ms e

con t = 0,1 ms sono praticamente coincidenti. Possiamo pertanto scegliere t = 1 ms per la nostra simulazione. Il grafico in figura 4.13 mostra l'andamento della corrente

nell'induttore, calcolata con l'equazione di stato iterativa con t = 1 ms.

Scelta di t

22

Figura 4.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Andamento della corrente

nell'induttore nel circuito RL

Notiamo immediatamente la somiglianza esistente fra questa curva e quelle

ricavate per la velocità del sasso nel paragrafo 4.2 e per la tensione sul condensatore nel

paragrafo 4.4. Anche in questo caso la corrente nell'induttore cresce inizialmente

piuttosto rapidamente, per poi stabilizzarsi infine sul valore 50 mA. Tale valore viene

raggiunto quando l'induttore è completamente carico e la corrente ha pertanto raggiunto

il valore massimo.

Che tipo di tensione bisognerebbe applicare ai capi di un induttore per fare in modo che esso venga

attraversato da una corrente costante? Per rispondere conviene fare riferimento al modello matematico

iterativo dell'induttore.

4.6 Variabili di stato

Consideriamo di nuovo il circuito RC del paragrafo 4.4 e supponiamo adesso di

non essere interessati al calcolo dei valori della tensione sul condensatore vc.

Supponiamo cioè che l’uscita sia un’altra variabile del circuito, ad esempio la tensione

sulla resistenza vR. In questo caso il modello matematico del circuito non può

ovviamente essere costituito dalla equazione iterativa:

v t t v tt

RCv t v tc c in c( ) ( ) ( ) ( )

Tuttavia possiamo facilmente notare che la tensione vR può essere calcolata a partire da

vin e da vc in base alla seguente relazione (equazione di Kirchhoff alla maglia):

vR(t) = vin(t) - vc(t)

Ciò significa che per calcolare la nuova uscita, non è necessario trovare un nuovo

modello matematico per il circuito. E' infatti sufficiente usare i valori di vc calcolati col

?

Uscita non coincidente

con la variabile di

stato

23

modello iterativo ed applicare la precedente formula (non iterativa36) per il calcolo di vR.

Ad esempio consideriamo nuovamente i risultati della simulazione con ingresso ad onda

triangolare. Abbiamo già calcolato ( par. 4.4) i seguenti valori:

vc(0 ms) = 0,000 V

vc(1 ms) = 0,000 V

vc(2 ms) = 0,005 V

In base ai precedenti valori ed in base ai valori della tensione di ingresso vin (ricavabili

direttamente dal grafico dell'onda triangolare) possiamo quindi calcolare i valori della

tensione vR:

vR(0) = vin(0) - vc(0) = 0 V vR(1 ms) = vin(1 ms) - vc(1 ms) = 0,1 - 0 = 0,1 V vR(2 ms) = vin(2 ms) - vc(2 ms) = 0,2 - 0,005 = 0,195 V

Quanto detto può essere formalizzato dicendo che, se l’uscita è vR, il modello

matematico del circuito risulta costituito da una coppia di equazioni, l’equazione

iterativa per il calcolo di vc e l’equazione non iterativa per il calcolo di vR :

v t t v tt

RCv t v t

v t v t v t

c c in c

R in c

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

L’osservazione precedente può essere facilmente estesa: per qualsiasi uscita diversa da

vc, il modello matematico è sempre formato dall’equazione iterativa per vc e da una

equazione finita per l’uscita, la quale consente di ricavare l’uscita in base ai valori di vc

e dell’ingresso vin. Ad esempio scegliendo come uscita la corrente i, l'equazione non

iterativa è la seguente:

i tv t

Ri t

v t v t

R

R in c( )( )

( )( ) ( )

e pertanto il modello matematico a due equazioni del circuito è:

v t t v tt

RCv t v t

i tv t v t

R

c c in c

in c

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

Anche nel sistema “sasso in caduta” del paragrafo 4.1, se l’uscita scelta non

coincide con la velocità v del corpo, essa può essere determinata con una equazione non

iterativa. Ad esempio, se siamo interessati alla forza di attrito viscoso che l’aria esercita

sul corpo, tale uscita può essere immediatamente calcolata in base all’equazione

36 Si osservi come in questo caso, essendo l'equazione usata per il calcolo di vR non

iterativa, i valori di tutte le variabili usate nella formula risultano calcolate in

corrispondenza dello stesso istante di tempo t. E' importante prestare attenzione a questo

fatto per evitare di commettere errori nei calcoli.

24

Fa = Kv . v(t)

Il modello matematico completo del sistema è dunque in questo caso costituito dalle

seguenti due equazioni:

v t t v t tm g K v t

m

F t K v t

v

a v

( ) ( )( )

( ) ( )

Se ad esempio invece siamo interessati a conoscere l’accelerazione del corpo a(t) invece

della sua velocità v(t), possiamo usare la seguente relazione:

a tF t

ma t

m g K v t

m

tot v( )( )

( )( )

Il modello matematico a due equazioni è in questo caso il seguente:

v t t v t tm g K v t

m

a tm g K v t

m

v

v

( ) ( )( )

( )( )

Osservazioni analoghe possono essere condotte a proposito del circuito RL del

paragrafo 4.5. Ad esempio scegliendo come uscita la tensione vR ai capi della resistenza,

l’equazione finita per completare il modello matematico è la legge di Ohm del

componente resistenza:

vR(t) = R iL(t)

Il modello matematico completo è in questo caso costituito dalle seguenti due

equazioni:

i t t i tt

Lv t R i t

v t R i t

L L in L

R L

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Notiamo dunque che tutti e tre i sistemi studiati in questo capitolo hanno una

variabile "speciale", che bisogna sempre calcolare (per mezzo di una equazione

iterativa), indipendentemente dalla variabile di uscita scelta. Tale variabile "speciale"

viene detta variabile di stato del sistema. Nel sistema “sasso in caduta” la variabile di

stato è la velocità v; nel sistema “circuito RC” è la tensione sul condensatore vc; nel

circuito RL è la corrente nell'induttore iL.

In generale la variabile di stato di un sistema è quella variabile che

compare nel modello iterativo calcolata nei due istanti di tempo t e t+t.

Variabili di stato

25

Se l'uscita del sistema non coincide con la variabile di stato, il modello matematico è

costituito dalla equazione iterativa per il calcolo della variabile di stato (detta equazione

di stato) e dalla equazione finita per il calcolo dell'uscita. In tutti i casi, la

determinazione della variabile di stato è un presupposto indispensabile per la

determinazione di qualunque variabile del sistema. E’ evidente come le variabili di stato

rivestano, all’interno dei rispettivi sistemi, un ruolo molto importante e particolare: di

ciò discuteremo più approfonditamente nel capitolo 5. Per adesso ci limitiamo ad

osservare che non tutti i sistemi hanno una variabile di stato: ad esempio tutti i sistemi

descritti nel capitolo 2 hanno un modello matematico di tipo finito e dunque sono privi

di variabile di stato. Il lettore può individuare per proprio conto le variabili di stato dei

sistemi con modello matematico iterativo studiati nel capitolo 3.

Un’altra osservazione importante riguarda il ruolo che assume il valore iniziale

della variabile di stato del sistema nel calcolo dell’equazione di stato iterativa. Tale

valore iniziale è infatti un dato indispensabile per poter cominciare il calcolo del

modello iterativo. Ad esempio per calcolare l’andamento della velocità di caduta di un

corpo è necessario sapere qual è il valore della velocità del corpo all’istante iniziale; allo

stesso modo nel circuito RC bisogna sapere qual è la tensione presente ai capi del

condensatore all’istante zero; nel circuito RL è necessario conoscere il valore della

corrente che scorre inizialmente nell'induttore; un ruolo analogo ha il valore iniziale

della variabile di stato nelle popolazioni studiate nel capitolo 3. Possiamo affermare che,

in un certo senso, il valore iniziale della variabile di stato riassume in sé la storia del

sistema per gli istanti precedenti all’istante zero. Si supponga infatti ad esempio di voler

calcolare la velocità di caduta di un corpo, il quale venga inizialmente scagliato verso il

basso con una certa forza: l’istante zero è il momento in cui il corpo viene lasciato

libero di cadere. Il valore della velocità all’istante zero è dovuto alla forza che è stata

applicata per scagliare il corpo prima dell’istante zero. Si osservi che, di tutto ciò che è

accaduto al corpo prima del momento del lancio (cioè di tutta la storia precedente del

corpo) ci basta conoscere unicamente il valore della velocità iniziale. Questa sola

informazione è sufficiente e indispensabile per poter calcolare il modello iterativo. Ciò

equivale ad affermare che la variabile di stato rappresenta la memoria del sistema. I

sistemi senza variabile di stato sono ovviamente sistemi senza memoria, cioè sistemi

per i quali la storia precedente non ha alcuna importanza. Così ad esempio una

resistenza è descritta da un modello matematico finito (la legge di Ohm) e dunque è un

sistema senza memoria. Infatti il valore della tensione ai capi della resistenza ad un

certo istante dipende solo dal valore della corrente che attraversa la resistenza nello

stesso istante: tutto quello che è successo al sistema prima di quell’istante non ha

nessuna importanza. Viceversa, in un sistema con variabile di stato, ogni valore

calcolato dipende dal valore precedente attraverso il modello matematico iterativo: il

sistema conserva memoria del proprio passato.

Per il circuito RL ( par. 4.6), determinare una equazione non iterativa da aggiungere alla equazione di

stato per il calcolo della tensione vL ai capi dell'induttore.

Cosa succede in un sistema con variabile di stato, se tutti gli ingressi sono nulli? Cosa succede in un sistema senza variabile di stato, se tutti gli ingressi sono nulli?

In un sistema con variabile di stato e 3 ingressi e 4 uscite, di quante equazioni è costituito il modello

matematico completo?

Valore iniziale della

variabile di stato

?

26

ESERCIZIO SVOLTO Un corpo solido di massa m e volume V viene gettato in mare da una barca. Al corpo è collegata una fune,

la quale, srotolandosi, mette in rotazione una carrucola di raggio r ( figura seguente).

Si vuole studiare l'andamento nel tempo della velocità angolare di rotazione della carrucola. Determinare il modello matematico complessivo del sistema (attenzione: l'uscita non coincide con la

variabile di stato; si supponga trascurabile la massa della fune).

SOLUZIONE:

Il sistema può essere suddiviso nei due sottosistemi "corpo" e "carrucola". Per il sottosistema corpo vale

la seconda legge di Newton Ftot = m a, dove m è la massa del solo corpo (infatti la massa della fune è

trascurabile). La forza totale è data dalla differenza fra la forza di gravità Fg, la forza di Archimede FA (

scheda di approfondimento n. 2) e la forza di attrito viscoso con l'acqua Fa ( scheda di approfondimento

n. 1):

Ftot = Fg - FA - Fa = m g - ms g - Kv v = m g - d V g - Kv v

dove V è il volume e v è la velocità del corpo, Kv è il coefficiente di attrito viscoso; la massa dell'acqua

spostata ms è stata sostituita col prodotto della densità d per g. Eguagliando fra loro le due formule

precedenti si ottiene:

amg dVg K v

m

v

L'accelerazione a(t) è legata alla velocità dalla relazione

a tv t t v t

t( )

( ) ( )

Eguagliando fra loro le due equazioni precedenti ed esplicitando la dipendenza dal tempo otteniamo:

v t t v t

t

mg dVg K v t

m

v( ) ( ) ( )

Questa è l'equazione di stato del sistema: la velocità del corpo v(t) è la variabile di stato. L'equazione

precedente può essere riordinata, per renderla calcolabile, nel seguente modo:

v t t v t tmg dVg K v t

m

v( ) ( )( )

Dalle informazioni riportate nel testo si ricava subito il seguente modello per il sottosistema carrucola:

(t)= v(t) / r

dove r è il raggio della carrucola. L'uscita del sistema (t) non coincide con la variabile di stato v(t): il

modello matematico complessivo è pertanto costituito dalla precedente equazione di stato e dall'equazione

finita per (t) scritta sopra.

27

SCHEDA DI APPROFONDIMENTO 1:

FORZE DI ATTRITO

In natura sono presenti molte differenti forze di attrito.Errore. Il segnalibro non è definito. In

generale una forza di attrito è una forza che si oppone al movimento di un corpo. Un corpo trascinato su

una superficie (ad esempio una slitta trainata da cani sul ghiaccio) subisce una forza di attrito detto attrito

dinamico o radente.Errore. Il segnalibro non è definito.Errore. Il segnalibro non è definito. Tale

forza è dovuta alle rugosità microscopiche presenti sulle superfici dei due oggetti a contatto ed ha una

intensità direttamente proporzionale alla forza N che "preme" i due corpi uno contro l’altro (detta forza

normale).Errore. Il segnalibro non è definito. Dunque la legge matematica dell’attrito radente è

Fa_radente = d . N

dove d è il coefficiente di proporzionalità (detto coefficiente di attrito dinamico) ed è un valore privo di dimensioni37: tale coefficiente è tanto più elevato quanto maggiore è la rugosità e quanto più è ampia

l’area delle due superfici a contatto. Consideriamo ad esempio un blocco solido di massa m, trascinato da

una forza esterna F su un piano orizzontale ( fig. 4.14).

Figura 4.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Corpo trascinato su un piano con attrito

radente

In questo sistema sono presenti alcune forze che agiscono orizzontalmente (la forza esterna di trazione F e

la forza di attrito radente Fa) ed alcune forze che agiscono verticalmente (la forza di gravità che comprime

il corpo sul piano Fg e la forza di reazione del piano, non indicata in figura 4.14). Poiché il moto del

corpo avviene orizzontalmente, le uniche forze che interessano il moto sono le due forze orizzontali. La

forza totale agente sul corpo è dunque data da:

Ftot = F - Fa

La forza di attrito Fa è data da

Fa = d N

dove N, in questo caso, coincide con la forza di gravità (essendo il piano orizzontale). Pertanto:

Fa = d N = d Fg = d m.g

da cui infine

Ftot = F - Fa = F - d m.g

Un altro esempio di forza di attrito è il cosiddetto attrito volvente, il Errore. Il segnalibro non

è definito.quale si manifesta quando un corpo rotola senza strisciare sopra una superficie (come ad es. le

ruote di un automobile e la strada). Solitamente il valore dell’attrito volvente è molto minore di quello

dell’attrito radente (questa la ragione per cui sono state inventate le ruote per il trasporto di oggetti

37 E' infatti uguale al rapporto fra due forze, la forza di attrito e la forza normale.

28

pesanti) e dipende dal raggio R del corpo in rotazione, dalla forza normale e dalle caratteristiche delle

superfici in contatto. La legge dell'attrito volvente è la seguente:

F kN

Ra

dove k è detto coefficiente di attrito volvente e si misura in "metri".

Quando un corpo solido si muove all'interno di un "fluido" (liquido o gas), esso viene sottoposto

all'azione di una forza diretta in senso opposto al suo moto, detta forza di attrito viscoso. Il nome deriva

dal fatto che questo attrito è dovuto alla viscosità del mezzo nel quale si muove il corpo: ad esempio

l’olio di oliva è circa quaranta volte più viscoso dell’acqua e pertanto, a parità di tutte le altre condizioni,

esercita una forza di attrito viscoso quaranta volte superiore a quella dell’acqua. In generale i liquidi sono

molto più viscosi dei gas (ad es. l’acqua è circa cento volte più viscosa dell’aria) e dunque la forza di

attrito viscoso si manifesta con una intensità molto maggiore nei liquidi che nei gas. Questa è la ragione

per cui la velocità dei sommergibili è molto minore di quella degli aeroplani. Tuttavia, a parte la diversa

intensità, i fenomeni fisici e le leggi che regolano l’attrito viscoso nei gas sono, in prima approssimazione,

gli stessi che regolano l’attrito viscoso nei liquidi.

L’attrito viscoso dipende dalla velocità con la quale il corpo si muove all’interno del liquido

oppure del gas. Tanto più questa velocità è elevata, tanto maggiore è la forza di attrito viscoso che si

oppone al movimento. Ciò può essere facilmente verificato andando in bicicletta su una strada

pianeggiante: più elevata è la velocità alla quale si procede, maggiore è la forza che bisogna esercitare sui

pedali per mantenere tale velocità, compensando l’attrito viscoso con l’aria. In prima approssimazione38 la

forza di attrito viscoso risulta direttamente proporzionale alla velocità del corpo ed il coefficiente di

proporzionalità viene detto coefficiente di attrito viscoso (Kv). Pertanto in generale la legge dell’attrito

viscoso può essere scritta nel seguente modo:

Fa = Kv . v

Il valore del coefficiente di attrito viscoso Kv dipende dal mezzo entro il quale si muove il corpo (ad es. è

maggiore nei liquidi che nei gas) e dalla forma del corpo (ad es. una forma aerodinamica riduce il

coefficiente di attrito viscoso). Le unità di misura di Kv sono newton per secondi diviso metri. Ad

esempio per un corpo sferico di raggio R, il coefficiente Kv può essere calcolato con la seguente formula

(detta formula di Stokes):

Kv = 6 R

dove è detto coefficiente di attrito interno e dipende dalle caratteristiche della superficie della sfera e dalle caratteristiche del mezzo entro il quale avviene il moto. Si noti che il coefficiente di attrito viscoso

risulta tanto maggiore quanto più grande è il raggio della sfera.

38 La legge dell'attrito viscoso è valida solo se durante il moto del corpo non si formano vortici. Per tenere conto di questo e di altri fenomeni, occorre usare formule più complesse.

29

SCHEDA DI APPROFONDIMENTO 2:

INGRESSI DIPENDENTI DAL SISTEMA: PARAMETRI DEL

MONDO ESTERNO E PARAMETRI DELL'INTERFACCIA

Nel paragrafo 2.9 abbiamo introdotto il concetto di parametro del sistema, definendolo come

una grandezza caratteristica del sistema, il cui valore può cambiare solo se cambia anche il sistema stesso.

In questo modo è possibile distinguere i parametri dalle variabili (che, in generale, possono assumere

valori differenti in diversi istanti di tempo) e dalle costanti (che invece hanno sempre lo stesso valore,

indipendentemente dall'istante di tempo e dal sistema considerato). In questa scheda di approfondimento

vedremo come in un modello matematico possono anche essere presenti altre grandezze, che non rientrano

in nessuna delle tre precedenti categorie.

Per introdurre l'argomento occorre tornare brevemente sul concetto di ingresso di un sistema. Si

è detto che gli ingressi rappresentano le azioni del mondo esterno su un sistema ( par. 2.2). Gli ingressi

sono dunque, per così dire, “imposti dall’esterno” al sistema. Ciò significa che il sistema ha in generale un

ruolo passivo rispetto agli ingressi, cioè li subisce. Questo tuttavia non implica che gli ingressi siano

sempre ed in tutti i casi indipendenti dal sistema sul quale agiscono. In altre parole, può accadere che il

mondo esterno agisca in modo diverso su sistemi diversi. Un semplice esempio di quanto detto sopra è

costituito dalla forza di gravità. Essa rappresenta senza dubbio un ingresso, poiché è causata

dall’attrazione gravitazionale che la Terra esercita su qualsiasi oggetto posto in sua prossimità. Tuttavia la

forza di gravità che agisce su un corpo dipende dalla massa del corpo stesso, secondo la legge:

Fg = m . g

Si osservi che Fg dipende dalla massa m del corpo: infatti la forza di gravità agisce con intensità diversa su

corpi di massa differente. Ma m è un parametro del sistema: dunque Fg è un ingresso il cui valore però

dipende da un parametro del sistema.

Si noti però che Fg non può essere espressa totalmente in funzione dei parametri del sistema39:

infatti nella formula per il calcolo di Fg compare anche l’accelerazione di gravità g, la quale non è

certamente un parametro del sistema. Essa potrebbe essere considerata una costante, in quanto il suo

valore non cambia molto da un punto all’altro sulla superficie terrestre. Più precisamente, il valore di g

dipende dal luogo (al livello del mare, su una montagna, sulla Luna ecc., par. 1.8) in cui si trova

l’oggetto. Se cambia il valore di g, cambia dunque non il sistema, ma il mondo esterno al sistema stesso.

Per questa ragione g può essere più propriamente classificata come un parametro del mondo esterno al

sistema.Errore. Il segnalibro non è definito. Tale parametro interviene nello studio di un sistema, in

quanto dal suo valore dipendono gli effetti che il mondo esterno esercita sul sistema (nel nostro esempio

da g dipende la forza di gravità Fg).

Un caso simile è rappresentato dalla forza di Archimede Errore. Il segnalibro non è

definito.FA che agisce spingendo verso l’alto un corpo immerso in un liquido (o in un gas). L’intensità

della forza di Archimede è espressa dalla legge:

FA = d . V . g

dove V è il volume del corpo (supponendo che il corpo sia totalmente immerso nel liquido), g è la solita

accelerazione di gravità e d è la densità del liquido, misurata in kg/m3. Il volume V è evidentemente un

parametro del corpo, g e d sono entrambi due parametri del mondo esterno. Infatti se cambia il liquido nel

quale viene immerso il corpo, cambia il valore della densità d. Si noti come la forza di Archimede

dipende, oltre che dai parametri del mondo esterno, anche dai parametri del corpo (V).

Un altro esempio di ingresso non indipendente dal sistema è costituito dalla forza di attrito

radente ( scheda di approfondimento n. 1).Errore. Il segnalibro non è definito. Tale forza, nel caso di

un corpo trascinato su un piano orizzontale, è data da:

Fa = . m. g

Il valore , coefficiente di attrito radente, dipende dal grado di ruvidità delle due superfici a contatto, quella del corpo e quella del piano di appoggio. Non si tratta dunque propriamente né di un parametro del

39 Se così fosse, infatti, non si tratterebbe più di un ingresso, ma di un parametro del sistema.

Parametri del sistema, variabili, costanti

Ingressi dipendenti

dal sistema

Parametri del mondo esterno

Forza di Archimede

Parametri della

interfaccia

30

sistema, né di un parametro del mondo esterno. Esso viene infatti più esattamente denominato parametro

dell’interfaccia fra Errore. Il segnalibro non è definito.Errore. Il segnalibro non è definito.il sistema

ed il mondo esterno, dove col termine interfaccia40 Errore. Il segnalibro non è definito.si intende in

generale la superficie di contatto fra due corpi o sostanze. Per esempio la superficie del mare è

l’interfaccia fra l’aria dell’atmosfera e l’acqua marina; la nostra pelle è l’interfaccia fra gli organi interni

del nostro corpo e l’esterno; la pellicola di sapone di una bolla di sapone è l’interfaccia fra l’aria dentro la

bolla e l'aria fuori dalla bolla. Un parametro dell'interfaccia è dunque un parametro che dipende dalle

proprietà della superficie di contatto fra il sistema ed il mondo esterno: esso dunque non appartiene

totalmente né al sistema né al mondo esterno, ma dipende sia dalle caratteristiche del sistema che dalle

caratteristiche del mondo esterno.

Un altro caso in cui compare un parametro di interfaccia è rappresentato dalla legge dell'attrito

viscoso ( scheda di approfondimento n. 1):

Fa = Kv . v(t)

In questo caso v(t) è la velocità del corpo (e dunque una variabile del sistema), mentre Kv è un parametro

di interfaccia, poiché il suo valore dipende sia dalle proprietà del sistema che dalle proprietà del mondo

esterno (cioè sia dalla superficie del corpo che dal gas entro il quale il corpo si muove).

In conclusione, quando si ha un ingresso che non è del tutto indipendente dal sistema sul quale

agisce, allora tale ingresso può essere espresso per mezzo di una formula, nella quale possono comparire

parametri del sistema, parametri dell'interfaccia e parametri del mondo esterno. In pratica un ingresso di

questo tipo non può essere considerato come un valore noto a priori, cioè non è mai un dato del problema:

per poterlo conoscere infatti, occorre calcolarlo anche in base alle caratteristiche del sistema.

Tutto ciò ha come particolare conseguenza che l’ingresso dipendente dal sistema spesso non

compare nel modello matematico finale del sistema. Esso infatti può essere scomposto nei parametri e

nelle variabili da cui dipende. Ad esempio nel caso del sasso in caduta con attrito viscoso ( par. 4.1), gli

ingressi del sistema sono la forza di gravità Fg e la forza di attrito viscoso Fa. Di tali due ingressi tuttavia

non c’è più traccia nel modello matematico finale del sistema, in quanto sono stati scomposti

rispettivamente in m.g e in Kv.v(t):

v t t v t tmg K v t

m

v( ) ( )( )

40 Il termine “interfaccia” viene anche usato in Elettronica per indicare il canale di connessione fra due dispositivi che funzionano con modalità diverse: ad esempio l’interfaccia fra un calcolatore ed una stampante.

31

PAROLE CHIAVE Attrito: Forza dissipativa che si oppone al movimento di un corpo. Può avere cause diverse ed assumere

forme differenti.

Equazione di stato: Equazione iterativa per il calcolo della variabile di stato di un sistema.

Interfaccia: Superficie di separazione fra due corpi.

Intervallo di tempo t: Intervallo di tempo che separa due successivi istanti di calcolo di una equazione iterativa. Si tratta di un "parametro del modello matematico", in quanto esprime una caratteristica del

modello e non del sistema che dal modello è rappresentato.

Memoria: Caratteristica di ogni sistema con variabile di stato, per cui ogni valore calcolato della variabile

di stato dipende dai valori precedenti (attraverso l'equazione iterativa).

Parametro del mondo esterno: Parametro che dipende dalle caratteristiche dell'ambiente (mondo

esterno) in cui si trova il sistema.

Parametro di interfaccia: Parametro che dipende dalle caratteristiche dell'interfaccia fra il sistema ed il

mondo esterno.

Precisione "fisica": Precisione di un modello matematico determinata dal confronto fra i valori calcolati

ed i valori misurati sperimentalmente.

Precisione "matematica": Precisione di una formula, determinata dal tipo di approssimazioni

matematiche in essa presenti.

Valore iniziale della variabile di stato: Valore che riassume la storia del sistema per gli istanti

precedenti all'istante iniziale t = 0. La sua conoscenza è indispensabile per il calcolo del modello iterativo.

Variabile di stato: Variabile che compare nell'equazione iterativa calcolata nei due istanti di tempo t e

t+t. Il calcolo della variabile di stato è indispensabile per la determinazione di qualsiasi uscita del sistema.

32

MAPPA DEGLI ARGOMENTI

VARIABILE DI

STATO

Equazione

di stato

MemoriaValore

iniziale

Uscita non

coincidente con

la var. di stato

Modello

matematico

iterativo

t

Precisione

matematica

Numero di

calcoli

Compromesso

33

ESERCIZI DI RIEPILOGO

1) Trovare l'equazione di stato iterativa per il calcolo di vC nel seguente circuito :

SUGGERIMENTI: Bisogna scrivere l'equazione di Kirchhoff alle correnti nel nodo e quindi sostituire in

tale equazione i modelli matematici dei componenti. La tensione su R è uguale alla tensione su C.

2) Sempre per il circuito dell'esercizio 1, calcolare il valore di vC all'istante t = 5 ms utilizzando i seguenti

dati:

R = 10 k C = 1 F Iin = 1 mA vc(0) = 0 V t = 2,5 ms

3) Sempre per il circuito dell'esercizio 1, trovare le equazioni finite (da aggiungere all'equazione di stato

precedentemente trovata) per il calcolo delle correnti iR e ic.

4) Considerare un sistema costituito da un sommergibile di massa m e di volume V in immersione. Si

supponga che sul sistema agiscano tre forze verticali: la forza di gravità (rivolta verso il basso), la forza di

attrito (rivolta verso l'alto, supponendo che il sommergibile stia scendendo) e la forza di Archimede

rivolta verso l'alto ( scheda di approfondimento n. 2). Trovare il modello matematico iterativo per il

calcolo della velocità di immersione del sommergibile.

34

ESERCITAZIONI DI LABORATORIO

1 - Scelta di t e simulazione del circuito RC serie con ingresso costante

Si vuole simulare con EXCEL l'andamento nel tempo della tensione ai capi di un condensatore in un

circuito RC serie ( par. 4.4). I parametri del circuito sono R = 100 e C = 1 F e l'ingresso è una

tensione costante Vin = 10 V.

a) Scegliere un valore adatto di t per la simulazione. A tale scopo conviene effettuare due simulazioni

del modello iterativo, usando due valori di t che differiscono per un fattore 10 (ad esempio t1 = 1 s e

t2 = 0,1 s). Occorrono a tale scopo 4 colonne del foglio elettronico (due per gli istanti di tempo e due per i valori di vC delle due simulazioni). Quindi bisogna confrontare fra loro i valori delle due simulazioni

calcolati negli stessi istanti (cioè la riga 1 della prima simulazione corrisponde alla riga 10 della seconda

simulazione). Se i risultati sono approssimativamente uguali, è possibile scegliere per t il valore più

grande t1. Altrimenti bisogna modificare t1, prendendolo uguale ad un decimo di t2 (nel nostro caso

0,01 s). Il procedimento risulta notevolmente semplificato se i valori di t1 e di t2 sono scritti separatamente in due celle del foglio elettronico. A questo punto bisogna ripetere il confronto e procedere

nuovamente come descritto sopra.

b) Tracciare un grafico dell'andamento della tensione sul condensatore.

2 - Simulazione del circuito RC serie con ingresso a onda quadra

Usando il foglio elettronico EXCEL, simulare l’andamento nel tempo della tensione vR ai capi della

resistenza R in un circuito RC ( par. 4.4). Usare i seguenti valori:

R = 1 k C = 1 F t = 0,1 ms

Il segnale di ingresso è un'onda quadra, con livelli 0 e 5 V, duty cycle 50% e con periodo T = 2 ms.

Simulare il circuito per un tempo pari ad almeno due periodi dell’onda quadra di ingresso.

SUGGERIMENTO:

Bisogna anzitutto creare una colonna con i valori di vin. Poiché si vuole effettuare la simulazione per due

periodi (cioè per 4 ms) con t = 0,1 ms, occorreranno 40 valori. Di tali valori di vin, i primi 10 sono uguali a 5 V (livello alto dell'onda quadra), i successivi 10 sono uguali a 0 V (livello basso), quindi i

successivi dieci sono di nuovo uguali a 5 V ed infine gli ultimi dieci sono uguali a 0 V.

Prestare attenzione al fatto che l'uscita scelta non coincide con la variabile di stato del circuito ( par.

4.6).

E S E R C I

T A Z I

O N E

1

E S E R C I

T A Z I

O N E

2

35

3 - Misure sperimentali sul circuito RC serie con ingresso a onda quadra

Verificare sperimentalmente i risultati ottenuti nella precedente esercitazione, montando in laboratorio il

circuito RC, applicando in ingresso al circuito un segnale ad onda quadra con le caratteristiche opportune

e visualizzando quindi con un oscilloscopio l’andamento della tensione ai capi della resistenza.

Per effettuare il confronto bisogna leggere sull'oscilloscopio i valori della tensione vc in corrispondenza

degli stessi istanti di tempo ricavat