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Qualche altro esempio dai Principia Trento, 2018
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Qualche altro esempio dai Principia
Trento, 2018
La legge delle aree
“. . . ubi corpus venit ad B, agat vis centripeta impulsu unicosed magno. . . ”1
Il corpo dovrebbe raggiungere la posizione c. Invece per effettodella forza viene attirato in C. I triangoli SAB,SBc, SBChanno la stessa area. La cosa si ripete partendo da C, ecc.L’area e proporzionale al tempo.
1Si veda [12, p. 89]. Si veda anche [9, p. 242-243] ed anche [13,pp.174-177].
Oggi, se abbiamo una forza centrale, si ha per la componentetrasversale,
rθ + 2rθ = 0.
Ma questo significa
d
dt(r2θ) = r · (rθ + 2rθ) = 0
Abbiamo quindi
r2θ = cost.
La Prop. 39 del Libro I
Prop. 39. Data una forza centripeta di qualsiasi genere, esupponendo di saper effettuare le quadrature, si vuol conoscerela velocita di un corpo, che salga o scenda lungo una retta, inun luogo qualsiasi; ed anche il tempo che e necessario perraggiungere il luogo. E viceversa.2
Il corpo E e attirato verso C. Conoscendo la misura della forzaper ogni distanza si vuole la velocita ed il tempo.
2Si veda [12, pp. 211-213]. Una bella analisi si trova in [13, pp. 250-256].
La figura (necessaria) nella terza edizione
EG misura la forza. La curva BFg descrive (misura) la forza inogni punto. All’inizio del moto EG = AB. La velocita in E vale√ABGE. Q.E.I
Il tempo
EM sia inversamente proporzionale a√ABGE e V LM sia la
curva descritta (con asintoto AB). Allora il tempo eproporzionale all’area ABTVME. Q.E.I
La dimostrazione di Newton della Prop. 39
DE “linea quam minima”. Se√ABGE misura la velocita.
ABGE = ne sara il quadrato. Sia V la velocita in D, V + Iquella in E. Allora:ABFD = V 2, ABGE = (V + I)2, DFGE = 2 · V × I + I2.
DFGE
DE=
2 · V × I + I2
DE. “Si primae quantitatum nascentium
rationes sumantur. . . ” DF ∝ I × VDE
. Ma
DE = V τ, fτ = dv(= I)⇒ DF =I × VV × τ
=I
τ= f . Q.E.D.
In termini moderni. . .
Supponiamo che sia x = f(x), allora xx = f(x)x.Utilizziamo la scritura leibniziana:
d
dt=
d
dx· dxdt.
Allorad
dt
[∫ x
0f(t)dt
]= f(x)x,
e quindid
dt
(1
2x2)
=d
dt
[∫ x
0f(t)dt
],
ossia1
2x2 =
∫ x
0f(t)dt+��C.
La velocita e proporzionale a√∫ x
0 f(t)dt.
Il tempo, ancora
EM e funzione solamente di r, si ha quindi (in termini moderni)
r =dr
dt= ϕ(r),
e quindi
dt =1
ϕ(r)dr, . . .
[Si vedano anche le note di Whiteside: [11, Vol. 6, pp. 336-350].In particolare le Note 191, 192.][Le ‘semplificazioni’ delle argomentazioni di Newton ad opera diVarignon e di Johann Bernoulli sono descritte in [2].]
Nella prima edizione si trova una figura diversa.3
Inoltre, Newton ha esposto, sia nella prima sia nella terzaedizione, l’analisi (se
√ABDF ∝ V allora DF misura la forza).
La sintesi?
3Per le vicende di questa figura si veda [11, vol. 6, Nota 189, p. 337].
La Proposizione 39, un primo esempioSi immagini che la forza con centro in C sia costante uguale da1 e sia AC = a,CE = x.
Allora ABEG =√a− x = x e quindi, se supponiamo che per
t− 0 sia x = a, si ha
x(t) = a− t2
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La Proposizione 39, un secondo esempio: x + x = 0
Sia CE = x e la forza EG sia uguale ad x
Abbiamo l’equazione differenziale
x =√
1− x,
la cui soluzione, se per t = 0 si ha x(0) = 1, e cos t.
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