VAI con la BICI ...

VAI con la BICI ...

Le Pierangiolate n.6Le Pierangiolate n.6

Dipartimento di Ingegneria della Informazione e Scienze Matematiche

Luca Chiantini presenta

Vai con la bici ...

Giochi di Archimede ---- 22 novembre 2012

PROBLEMA : Matteo per raggiungere la scuola deve fare 2 km in salita e, pedalando sulla bici a 10 kmh, riesce ad arrivare in 12 minuti. Al ritorno, andando in discesa per la stessa strada, viaggia a 30 kmh. Quale è la velocità media di Matteo nell'intero tragitto casa-scuola-casa?

PROBLEMA : Matteo per raggiungere la scuola deve fare 2 km in salita e, pedalando sulla bici a 10 kmh, riesce ad arrivare in 12 minuti. Al ritorno, andando in discesa per la stessa strada, viaggia a 30 km. Quale è la velocità media di Matteo nell'intero tragitto casa-scuola-casa?

Metodo ‘naif’Matteo pedala per metà del tragitto casa-scuola-casa a 10 kmh

Matteo pedala per l’altra metà del tragitto a 30 kmh

Quindi la velocità media è:

Matteo pedala per metà del tragitto casa-scuola-casa a 10 kmh

Matteo pedala per l’altra metà del tragitto a 30 kmh


visto che i calcoli sono giusti ...... se il risultato non viene, vuol dire che il metodo è sbagliato.

Problema:cosa c’è di sbagliato


Questo dato è inutile!è un calcolo elementare che a 10 kmh per percorrere 2 km si impiegano 12 minuti

Sarà mai possibile che anche questo dato sia inutile?



sì, ma insomma

cosa c’è di sbagliato

cosa c’è di sbagliato:

velocità media nel tragitto di andata

spazio percorso

tempo impiegato

velocità media nel tragitto di ritorno

nel nostro caso s1 = s2 = s

velocità media totale

Per dovere di completezza ...


velocità media totale

nel nostro caso

Se un auto percorre 10 Km a 80 kmhe altri 10 Km a 100 kmhla sua velocità media NON è 90 Kmh.

Invece se un auto viaggia per 10 minuti a 80 kmh e per altri 10 minuti a 100 kmhla sua velocità media E’ 90 Kmh.

La proprietà che distingue il numeratore dal denominatore di una frazionee che impedisce per quest’ultimo il calcolo naif della media

è la LINEARITA’

Una funzione F si chiama LINEARE se si comporta bene rispetto alla somma e alla sottrazione

F( x1 + x2 ) = F( x1 ) + F( x2 )

F( - x1 ) = - F( x1 )

per OGNI scelta di x1, x2 nel dominio

sto un po’ barando, ma solo un po’ ...

Una funzione F si chiama LINEARE se si comporta bene rispetto alla somma e alla sottrazione

x1 , x2 x1 + x2sommare

applicare la F

applicare la F

sommare

F(x1), F(x2) F(x1 + x2)

F(x1) + F(x2)

=

???

Quando vale l’uguaglianza, il diagramma si chiama COMMUTATIVO

Funzione numeratore (con denominatore fissato = t)


applicare la F

applicare la F

sommare =

diagramma COMMUTATIVO

Funzione denominatore (con numeratore fissato = s)


applicare la F

applicare la F

sommare

=

diagramma NON COMMUTATIVO

i diagrammi non commutativi sono tutti intorno a noi

perché in generale fare una cosa dopo l’altra NON SEMPRE è una procedura commutativa.

prima guardare se viene nessuno e poi attraversare la strada

non e la stessa cosa che prima attraversare la stradae poi guardare se viene nessuno

Grafico delle funzioni

Funzione lineare = linea retta

Funzione non lineare

Le funzioni lineari sono le più semplici da trattare

le potenze >1 non sono lineari (x1 + x2)2x12 + x2

2

le funzioni trigonometriche non sono lineari

sen(x1 + x2)sen(x1) + sen(x2)

Le funzioni lineari sono quelle associate a polinomi di primo grado

y = m1 x1 + m2 x2 + ... + mn xn + q

anche in più variabili:

y = mx + q

a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn + q1 = 0b1 x1 + b2 x2 + ... + bn xn + q2 = 0.....{i sistemi lineari (cioè quelli formati da

equazioni di primo grado) sono gli unici che sappiamo risolvere efficientemente.

i sistemi di equazioni di grado superiore possono essere risolti in modo approssimato, ricorrendo ad una riduzione a (molti) sistemi lineari.

a1 x12 + ... + an xn

2 + q1 = 0b1 x1

2 + ... + bn xn2 + q2 = 0

.....{In generale gran parte della Matematica consiste in una ricercadi metodi per ricondurre il problema originale ad un problema di primo grado

spasmodica

magari più complesso ...

Un esempio: le derivate.

F( x ) = funzione non lineare

la derivata in un punto rappresenta la pendenza

o anche il coefficiente angolare della retta tangente

la retta tangente è l’approssimazione lineare del grafico di F

la forma di un oggetto è descritta dalle variazioni del suo spazio tangente (cioè della approssimazione lineare).

Studiando le derivate di una funzione noi studiamo di fatto la sua approssimazione lineare in ogni punto. La variazione della approssimazione lineare ci dà valide informazioni qualitative sulla forma del grafico(massimi, minimi, funzioni crescenti o decrescenti ...)

la forma di un oggetto è descritta dalle variazioni del suo spazio tangente (cioè della approssimazione lineare).

e noi (di fatto) lo sappiamo molto bene...

quando tocchiamo un oggetto per scoprirne la forma, di fatto stiamo esaminando le variazioni del suo piano tangente ..

anche i chiaroscuri, che permettono di riconoscere la forma di un oggetto con la vista, seguono la riflessione della luce, determinata dalle variazioni del piano tangente.

anche il nostro modo di ragionare è spesso lineare ....

Barzelletta sui matematici

Ragazzi, oggi è il mio giorno fortunato perchè?

Mi ha attraversato la strada un gatto bianco...

1) Il colore del gatto influenza la giornata

cioè esiste una funzione gatto() che associa al colore l'esito della giornata

2) gatto() è lineare

Visto che gatto(nero) = sfortuna, allora

gatto(bianco) = gatto(- nero) = - gatto(nero) = - sfortuna = fortuna.

Sigmund Freud:

I motti di spirito

ma torniamo alla nostra biciclettaPROBLEMA : Matteo per raggiungere la scuola deve fare 2 km in salita e, pedalando sulla bici a 10 kmh, riesce ad arrivare in 12 minuti. Al ritorno, andando in discesa per la stessa strada, viaggia a 30 kmh. Quale è la velocità media di Matteo nell'intero tragitto casa-scuola-casa?

Matteo viaggia per 2 Km in salita e per 2 Km in discesa, ma passa 12 minuti in salita, e 4 minuti in discesa!

anche quando la strada percorsa in salita e discesa è la stessa, la vita del ciclista è principalmente in salita!(non linearità)

PROBLEMA : se un amico di Matteo pedala 2 Km in avanti e 2 Km indietro, ma su una strada piana, chi impiega meno tempo: Matteo ad andare e tornare da scuola, o il suo amico a percorrere il circuito piano?

se siete mai stati in bici, non avrete problemi a dare una risposta ...

ma dal punto di vista matematico manca un dato: la velocità dell’amico di Matteo.

La salita non è l’unico «nemico» del ciclista

c’è anche il vento ...

Proviamo a riformulare il problema, mettendo il vento al posto della salita.

Matteo e il suo amico Mattia decidono di fare una gara in bici. Matteo percorre 2 Km verso ovest e torna al punto di partenza. Mattia invece percorre 2 Km verso nord e poi torna alla partenza. Entrambi pedalano ad una velocità di 20 kmh, ma oggi c’è un forte vento, che spira da est a ovest, a 10 Kmh. Quindi Matteo percorre l’andata a favore di vento e il ritorno contro vento, mentre Mattia ha sempre vento trasversale.

Chi vince la gara?

Chiameremo la gara fra Matteo e Mattia

gara MM

gara MM

Esaminiamo la gara di Matteo.

Matteo percorre i 2 Km di andata alla velocità di 30 Kmh (20 suoi + 10 del vento). A questa velocità si percorre 1 Km in 2 minuti. Matteo pertanto impiega 4 minuti a percorrere i 2 Km dell’andata.

tempo totale di Matteo = 4 + 12 = 16 minuti

30 Kmh

10 Kmh Al ritorno invece Matteo viaggia a 10 Kmh (20 suoi – 10 del vento) quindi impiega 6 minuti a fare 1 Km. Pertanto al ritorno Matteo impiega 12 minuti.

Esaminiamo la gara di Mattia.

Mattia invece ha vento trasversale. Quindi è come se percorresse un tratto che lo porta più a est del punto da raggiungere, mentre il vento nel frattempo lo sospinge a ovest.

tempo totale di Matteo = 16 minuti

20 Kmh

gara MM

O

B A

Poiché la velocità del vento è la metà di quella di Mattia, BA è la metà di OB. Quindi il triangolo OBA è la metà di un triangolo equilatero.

10 Kmh

tempo totale di Matteo = 16 minuti

gara MM

vince Mattia

O

B A

C

Andare in direzione trasversale al vento è conveniente rispetto ad andare prima a favore di vento e poi contro vento.

O

C

A

Matteo

Mattia

Naturalmente, se ruotiamo i due percorsi di 90º la situazione si invertirebbe e allora vincerebbe Matteo

equivale a ruotare di 90º la direzione del vento

O

C

A

Matteo

Mattia

Se invece ruotiamo di 45º l’arrivo è alla pari.

la gara MM non è invariante per rotazioni.

O

Matteo

Mattia

Nel movimento di rotazione (continua) ogni 90º le posizioni di Matteo e Mattia si scambiano.

Ciò comporta che quello che prima era un vantaggio di Mattia, diventa un vantaggio di Matteo. Cioè un vantaggio negativo per Mattia.

TEOREMA Se una funzione continua in un intervallo prende valori positivi e negativi, allora si annulla in almeno un punto. O

La gara MM è la riedizione di un famoso esperimento, detto esperimento MM, dai due fisici Michelson e Morley che lo effettuarono nel 1887.

La luce si propaga attraverso lo spazio mediante onde

Come le onde sonore si propagano nell’aria, quelle luminose si propagano attraverso un mezzo, chiamato etere.

La Terra si muove nello spazio, quindi si muove attraverso l’etere.

In che direzione? Con che velocità?

L’esperimento di Michelson e Morley serviva per trovare velocità e direzione del movimento della Terra rispetto all’etere.

L’ esperimento MM mandava due raggi avanti e indietro, in due direzioni ad angolo retto. Un interferometro determinava la differenza fra il ritorno dei due raggi.

esperimento MM

Come nella gara MM, il raggio che va avanti e indietro nella direzione dell’etere dovrebbe impiegare un tempo maggiore, rispetto al raggio che va in direzione trasversale.

etere

L’interferometro, estremamente preciso, avrebbe misurato anche una minima differenza nel ritorno dei due raggi.

L’esperimento fu ripetuto varie volte, ruotando l’apparecchio in varie posizioni.

Non fu registrata alcuna differenza nel ritorno dei due raggi.

Non fu registrata alcuna differenza nel ritorno dei due raggi.

esperimento MM

tentativi di spiegazione

La Terra era forse ferma rispetto all’etere?

Se anche la Terra è ferma rispetto all’etere in un giorno dell’anno, dopo sei mesi si muove velocemente.

- 30 Km/sec

30 Km/sec

L’esperimento ripetuto dopo sei mesi, dette lo stesso risultato.

La Terra è il centro dell’Universo? Tutto sarebbe contro questa ipotesi.

La situazione fu spiegata dalla Teoria della Relatività di Einstein.

Molto ben esposta nel libro di Durell.

Nella teoria di Einstein, il tempo e lo spazio si deformano se l’osservatore è in moto (con velocità simili alla velocità della luce).

Le formule della velocità ne risentono e cambiano in modo non lineare per gli osservatori in moto.

La situazione fu spiegata dalla Teoria della Relatività di Einstein.

Dove u è il rapporto fra la velocità del secondo osservatore e la velocità della luce.

Osservatore in moto.

Le formule della velocità ne risentono e cambiano in modo non lineare per gli osservatori in moto.

non linearein x, t

horror non-linearitatis

ma torniamo alla gara MM

Cosa succede se Matteo e Mattia, invece di andare avanti e indietro, seguono un percorso circolare?

O

Cosa succede se Matteo e Mattia, invece di andare avanti e indietro, seguono un percorso circolare?

O

In ogni istante Matteo va con velocità 20 Kmh in direzione tangente alla circonferenza

Ma il vento lo sospinge verso ovest a 10 Kmh

Per calcolare il tempo impiegato da Matteo, bisogna risolvere un integrale curvilineo

quindi dipende dal punto P = (x,y)

PLa velocità di Matteo è pertanto la proiezione, sulla retta tangente della risultante

Esaminiamo la gara di Matteo.

O

Per calcolare il tempo impiegato da Matteo, bisogna risolvere un integrale curvilineo.Ma se ci interessa solo sapere chi vince la gara MM, possiamo ragionare così:

Il tempo impiegato per percorrere un circuito è indipendente dal punto di partenza o dal verso di percorrenza.

Se cambiamo punto di partenza e verso di percorrenza, Mattia e Matteo viaggiano in modo sincrono,

quindi compiono un giro nello stesso tempo.

O’

La Matematica serve a fare i conti

NONNON

Cosa succede se Matteo e Mattia, invece di andare avanti e indietro, seguono un percorso ellittico?

O

Questo caso può essere risolto per deformazione continua ...

O O O

ellissicerchi rette

Quali sono i percorsi in cui Matteo e Mattia impiegano lo stesso tempo?

concetto di uguaglianza in Geometria

= congruenza

sono uguali? sono uguali?

Nella Geometria Euclidea, due figure sono congruenti se esiste un movimento rigido del piano che la porta a coincidere

Ma se c’è vento, le direzioni non sono più tutte uguali, quindi le rotazioni non sono ammesse.

traslazioni, rotazioni, simmetrie

GEOMETRIA MM

Nella Geometria MM, due figure sono «uguali» se coincidono dopo un movimento rigido del piano, che non altera la direzione del vento.

La gara MM non è invariante per rotazioni.

quindi le rotazioni non sono ammesse.

sono uguali nella Geometria Euclidea

traslazioni

Nella geometria MM sono ammesse

non sono uguali nella Geometria MM

simmetrie rispetto all’asse del vento

simmetrie rispetto ad un asse ortogonale alla direzione del vento.

Geometria non Euclidea

qui il vento cambia verso, non direzione

O

I due triangoli sono sovrapponibili mediante simmetria rispetto all’asse x, all’asse y e traslazione.

Quindi sono uguali nella Geometria MM.

Matteo e Mattia li percorrerebbero nello stesso tempo.

Felix Christian Klein

Nel Programma di Erlangen (1872) fu il primo a definire la Geometria come «la parte della Matematica che si occupa delle proprietà degli oggetti, invarianti rispetto ad un prefissato gruppo di trasformazioni».

traslazioni

Nella geometria MM sono ammesse simmetrie rispetto all’asse del vento

simmetrie rispetto ad un asse ortogonale alla direzione del vento.

traslazioni

simmetrie rispetto all’asse del vento

simmetrie rispetto ad un asse ortogonale alla direzione del vento

f(x, y) = (x+a, y+b)

g(x, y) = (x, - y)

h(x, y) = (- x, y)e sequenze ...

se partiamo da un punto P = (x, y)eseguiamo una traslazione f(P) = (x+a, y+b)

poi eseguiamo una simmetria g(f(P)) = g(x+a, y+b) = (x+a, -y-b)oppure

eseguiamo una simmetria g(P) = (x, - y)

poi eseguiamo una traslazione f(g(P)) = f(x, - y) = (x+a, -y+b)

non otteniamo lo stesso risultato

fare prima una traslazione e poi una simmetria

non è la stessa cosa che fare prima una simmetria e poi una traslazione.

Il mondo è pieno di operazioni non commutative.

Le potrete studiare solo negli insegnamenti di Algebra di un Corso di Laurea in Matematica

per esempio, all’Università degli Studi di Siena.

Grazie per l’attenzione

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