Università della LiberEtà Giuseppina Trifiletti

Che cosa sono?

Le equazioni incontrate nel problema cinese della lezione precedente, sono equazioni diofantee, 6 equazioni delle quali si dovevano trovare le soluzioni comuni.

PROBLEMA 1

Al cinema ITRENI gli uomini entrano pagando 8€, le donne con 4€. Sapendo che l’incasso è stato di 130 euro, quanti uomini e quante donne sono entrate?

La seguente è l’equazione DIOFANTEA del problema. Ha soluzioni?

13084 UD

26144284

BUDBUD

PROBLEMA 2

Al cinema ITRENI gli uomini (U) entrano pagando 8 euro, le donne (D) con 4€ e i bambini (B) 2€. Sapendo che in tutto le persone sono 26 e che l’incasso è stato di 144 euro, quanti uomini, quante donne e quanti bambini sono entrati?

Ha soluzioni?

PROBLEMA 3

All'ultimo salone francese del rompicapo matematico, 100 giovani visitatori hanno speso 2000 franchi.

Ogni liceale ha speso 100 franchi, ogni studente di scuola media ha speso 20 franchi e ogni scolaro di scuola elementare 5 franchi. Trova il numero degli scolari di scuola elementare, degli studenti delle medie e dei liceali.

vedi soluzione problema 3

Da cui si ottiene l’equazione diofantea

x = num. scolari elementari Y = num. studenti medie Z = num. studenti superiori

16 81 3

32 62 6

48 43 9

64 24 12

80 5 15

2000100205100

zyxzyx

Indichiamo conx, y, z il numero di studenti rispettivamente della scuola elementare, media, superiore.

Le soluzioni devono essere numeri interi.Per ragioni di divisibilità per 3, z deve essere un multiplo di 3 al più uguale a 15 (essendo 18x19>300) otteniamo così 5 soluzioni

300193 zy

Soluzione problema 3

il caso più semplice

cbyax

eriintnumerisonoy,x

eriintnumerisonoc,b,a

l’equazione può non avere soluzioni, può averne un numero finito o un numero infinito.

Ammette almeno una soluzione se e soltanto se c è multiplo del MCD(a,b)

l’equazione di Diofantol’equazione di Diofanto

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DiofantoDiofanto

Diofanto di Alessandria è noto come il padre dell’algebra. Della sua vita si sa ben poco; non sappiamo neppure il secolo in cui è vissuto, probabilmente tra il 150 ed il 250 d.C. Alcuni ritengono che sia stato l'ultimo dei grandi matematici greco-ellenistici.Diofanto scrisse un trattato sui numeri poligonali e sulle frazioni, ma la sua opera principale è l'Arithmetica, trattato in tredici volumi dei quali soltanto sei sono giunti fino a noi. La sua fama è principalmente legata a due argomenti: le equazioni indeterminate ed il simbolismo matematico.

ammette invece soluzioni intere, infattia=4, b=8, MCD(4,8)=4, c=160 è multiplo di 4

TEOREMA: data l’equazionel’equazione ammette una soluzione se e soltanto se c è multiplo del MCD(a,b)

TEOREMA: data l’equazionel’equazione ammette una soluzione se e soltanto se c è multiplo del MCD(a,b)

clicca qui se vuoi saltare la dimostrazione e andare alla conclusione

16084 UD

L’equazione del problema 1:(D=x, U=y), non ammette soluzioni, infattia=4, b=8, MCD(4,8)=4, c=130 non è multiplo di 4

13084 UD

cbyax

cbyax 00

)b,a(MCDd

dqblqakq

Se Se c=dc=d..qq, l’equazione , l’equazione ax+by=cax+by=c ammetteammette

Per l’algoritmo di Euclide, esistono due numeri interi, k e l, tali che la coppia (k,l) verifica la seguente uguaglianza

dblak

IPOTESI: si sa che c=dc=d..qq, cioè si sa che cc è multiplo è multiplo del MCDdel MCD

TESI: allora esiste esiste almeno una almeno una soluzione interasoluzione intera

la soluzione particolare la soluzione particolare (x0=kq, y0=lq)

PRIMA PARTE: data l’equazione

ottengo

cbyax

DIMOSTRAZIONEDIMOSTRAZIONE

infatti se moltiplico per q da ambedue le parti

come volevasi dimostrarecioè

Ricorda che

IPOTESI:IPOTESI: si sa che l’equazione si sa che l’equazione ax + by = cax + by = c ammette una soluzione intera ammette una soluzione intera ((xx00,y,y00))TESI: allora c deve essere multiplo di d

cydnxdn 0201

dove q è un numero intero qynxn 0201

dna 1

cdynxn 0201

dnb 2 )b,a(MCDd

come volevasi dimostrare

SECONDA PARTE: viceversa … scambio ipotesi e tesiviceversa … scambio ipotesi e tesi

Ricorda!

Quindi c = q.d cioè c è multiplo di d

DIMOSTRAZIONEDIMOSTRAZIONE

l’equazione (1) ammette una soluzione se e soltanto se e soltanto sese c è multiplo del MCD(a,b)c è multiplo del MCD(a,b).

Se c è multiplo del MCD(a,b) c è multiplo del MCD(a,b) si può trovare inizialmente una soluzione particolare dell’equazione (1) che chiamiamo (x0,y0),

abMCDrb

xx 0 abMCDra

yy 0

r numero intero

qualunque

cbyax

Perché?Perché?

IN CONCLUSIONE (1)

tutte le altre si trovano con le seguenti formule

clicca qui se vuoi saltare il perché e fare solo gli esercizi

cd

rabby

d

rabax 00

dra

yy

drb

xx

0

0

cbyax (1)

1. rb/d ed ra/d sono numeri interi

2. x e y soddisfano l’equazione (1), infatti basta sostituire nell’equazione a x e y le (2)

cdra

ybdrb

xa

00

cbyax 00

Perché questo Perché questo sistema sistema rappresenta tutte rappresenta tutte

le soluzionile soluzioni??

(2)

Le (2) soddisfano l’equazione (1) dato che è vera l’uguaglianza

ax0+by0=c

Ma perché Ma perché solo le (2) solo le (2) soddisfano soddisfano l’equazionel’equazione(1)?(1)?

Risolvere la seguente equazione diofanteaSoluzioni intere (anche negative quindi)

2943 yx 143 ),(MCD

11413 )()(

Una soluzione particolare è (-29,-29), cioè x0=-29, y0=-29

29129 c

Una soluzione generica è (-29-4r,-29-3r)con r numero intero qualsiasi

abMCD

rbxx 0 abMCD

rayy 0

Utilizzando le seguenti formule si ottengono le infinite soluzioni :

Risolvere la seguente equazione diofanteaSoluzioni intere (anche negative quindi)

302015 yx

),(),(MCD 201552015 6530 c

ab

rbxx 0 ab

rayy 0

2015 ba

5220315 )()(

Una soluzione particolare è (18,12)

Una soluzione generica è (18-4r,12-3r)

520

18)(r

x

5

1512

ry

26144284

BUDBUD

PROBLEMA 2

Al cinema ITRENI gli uomini (U) entrano pagando 8 euro, le donne (D) con 4€ e i bambini (B) 2€. Sapendo che in tutto le persone sono 26 e che l’incasso è stato di 144 euro, quanti uomini, quante donne e quanti bambini sono entrati?

1112112

202

),(MCD

BU

262020

BUDBU

26220

20

BUDrB

rU 2622020 RRD

142020

DBU non

accettabile per il problema

rDrB

rU

314220

20

Soluzione particolare dell’equazione del probl. 2

Soluzione generale dell’equazione

03140220020

rr

r

3141020

r

rr

000

BUD

N.B.

Ma per il problema…deve essere

quindi

3

141020

r

rr

1098765 ,,,,,r

soluzioni del problema: numeri interi positivi

rDrB

rU

314220

20

11015

5DBU

r

4814

6DBU

r

7613

7DBU

r

10412

8DBU

r

13211

9DBU

r

16010

10DBU

r

14/3 10 20rr

• da vari siti internet

• dal testo

CHE COSA è LA MATEMATICA, di Courant e Robbins, Universale Scientifica Boringhieri

• da personali riflessioni

SPUNTI TRATTI