Università della LiberEtà Giuseppina Trifiletti
Che cosa sono?
Le equazioni incontrate nel problema cinese della lezione precedente, sono equazioni diofantee, 6 equazioni delle quali si dovevano trovare le soluzioni comuni.
PROBLEMA 1
Al cinema ITRENI gli uomini entrano pagando 8€, le donne con 4€. Sapendo che l’incasso è stato di 130 euro, quanti uomini e quante donne sono entrate?
La seguente è l’equazione DIOFANTEA del problema. Ha soluzioni?
13084 UD
26144284
BUDBUD
PROBLEMA 2
Al cinema ITRENI gli uomini (U) entrano pagando 8 euro, le donne (D) con 4€ e i bambini (B) 2€. Sapendo che in tutto le persone sono 26 e che l’incasso è stato di 144 euro, quanti uomini, quante donne e quanti bambini sono entrati?
Ha soluzioni?
PROBLEMA 3
All'ultimo salone francese del rompicapo matematico, 100 giovani visitatori hanno speso 2000 franchi.
Ogni liceale ha speso 100 franchi, ogni studente di scuola media ha speso 20 franchi e ogni scolaro di scuola elementare 5 franchi. Trova il numero degli scolari di scuola elementare, degli studenti delle medie e dei liceali.
vedi soluzione problema 3
Da cui si ottiene l’equazione diofantea
x = num. scolari elementari Y = num. studenti medie Z = num. studenti superiori
16 81 3
32 62 6
48 43 9
64 24 12
80 5 15
2000100205100
zyxzyx
Indichiamo conx, y, z il numero di studenti rispettivamente della scuola elementare, media, superiore.
Le soluzioni devono essere numeri interi.Per ragioni di divisibilità per 3, z deve essere un multiplo di 3 al più uguale a 15 (essendo 18x19>300) otteniamo così 5 soluzioni
300193 zy
Soluzione problema 3
il caso più semplice
cbyax
eriintnumerisonoy,x
eriintnumerisonoc,b,a
l’equazione può non avere soluzioni, può averne un numero finito o un numero infinito.
Ammette almeno una soluzione se e soltanto se c è multiplo del MCD(a,b)
l’equazione di Diofantol’equazione di Diofanto
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DiofantoDiofanto
Diofanto di Alessandria è noto come il padre dell’algebra. Della sua vita si sa ben poco; non sappiamo neppure il secolo in cui è vissuto, probabilmente tra il 150 ed il 250 d.C. Alcuni ritengono che sia stato l'ultimo dei grandi matematici greco-ellenistici.Diofanto scrisse un trattato sui numeri poligonali e sulle frazioni, ma la sua opera principale è l'Arithmetica, trattato in tredici volumi dei quali soltanto sei sono giunti fino a noi. La sua fama è principalmente legata a due argomenti: le equazioni indeterminate ed il simbolismo matematico.
ammette invece soluzioni intere, infattia=4, b=8, MCD(4,8)=4, c=160 è multiplo di 4
TEOREMA: data l’equazionel’equazione ammette una soluzione se e soltanto se c è multiplo del MCD(a,b)
TEOREMA: data l’equazionel’equazione ammette una soluzione se e soltanto se c è multiplo del MCD(a,b)
clicca qui se vuoi saltare la dimostrazione e andare alla conclusione
16084 UD
L’equazione del problema 1:(D=x, U=y), non ammette soluzioni, infattia=4, b=8, MCD(4,8)=4, c=130 non è multiplo di 4
13084 UD
cbyax
cbyax 00
)b,a(MCDd
dqblqakq
Se Se c=dc=d..qq, l’equazione , l’equazione ax+by=cax+by=c ammetteammette
Per l’algoritmo di Euclide, esistono due numeri interi, k e l, tali che la coppia (k,l) verifica la seguente uguaglianza
dblak
IPOTESI: si sa che c=dc=d..qq, cioè si sa che cc è multiplo è multiplo del MCDdel MCD
TESI: allora esiste esiste almeno una almeno una soluzione interasoluzione intera
la soluzione particolare la soluzione particolare (x0=kq, y0=lq)
PRIMA PARTE: data l’equazione
ottengo
cbyax
DIMOSTRAZIONEDIMOSTRAZIONE
infatti se moltiplico per q da ambedue le parti
come volevasi dimostrarecioè
Ricorda che
IPOTESI:IPOTESI: si sa che l’equazione si sa che l’equazione ax + by = cax + by = c ammette una soluzione intera ammette una soluzione intera ((xx00,y,y00))TESI: allora c deve essere multiplo di d
cydnxdn 0201
dove q è un numero intero qynxn 0201
dna 1
cdynxn 0201
dnb 2 )b,a(MCDd
come volevasi dimostrare
SECONDA PARTE: viceversa … scambio ipotesi e tesiviceversa … scambio ipotesi e tesi
Ricorda!
Quindi c = q.d cioè c è multiplo di d
DIMOSTRAZIONEDIMOSTRAZIONE
l’equazione (1) ammette una soluzione se e soltanto se e soltanto sese c è multiplo del MCD(a,b)c è multiplo del MCD(a,b).
Se c è multiplo del MCD(a,b) c è multiplo del MCD(a,b) si può trovare inizialmente una soluzione particolare dell’equazione (1) che chiamiamo (x0,y0),
abMCDrb
xx 0 abMCDra
yy 0
r numero intero
qualunque
cbyax
Perché?Perché?
IN CONCLUSIONE (1)
tutte le altre si trovano con le seguenti formule
clicca qui se vuoi saltare il perché e fare solo gli esercizi
cd
rabby
d
rabax 00
dra
yy
drb
xx
0
0
cbyax (1)
1. rb/d ed ra/d sono numeri interi
2. x e y soddisfano l’equazione (1), infatti basta sostituire nell’equazione a x e y le (2)
cdra
ybdrb
xa
00
cbyax 00
Perché questo Perché questo sistema sistema rappresenta tutte rappresenta tutte
le soluzionile soluzioni??
(2)
Le (2) soddisfano l’equazione (1) dato che è vera l’uguaglianza
ax0+by0=c
Ma perché Ma perché solo le (2) solo le (2) soddisfano soddisfano l’equazionel’equazione(1)?(1)?
Risolvere la seguente equazione diofanteaSoluzioni intere (anche negative quindi)
2943 yx 143 ),(MCD
11413 )()(
Una soluzione particolare è (-29,-29), cioè x0=-29, y0=-29
29129 c
Una soluzione generica è (-29-4r,-29-3r)con r numero intero qualsiasi
abMCD
rbxx 0 abMCD
rayy 0
Utilizzando le seguenti formule si ottengono le infinite soluzioni :
Risolvere la seguente equazione diofanteaSoluzioni intere (anche negative quindi)
302015 yx
),(),(MCD 201552015 6530 c
ab
rbxx 0 ab
rayy 0
2015 ba
5220315 )()(
Una soluzione particolare è (18,12)
Una soluzione generica è (18-4r,12-3r)
520
18)(r
x
5
1512
ry
26144284
BUDBUD
PROBLEMA 2
Al cinema ITRENI gli uomini (U) entrano pagando 8 euro, le donne (D) con 4€ e i bambini (B) 2€. Sapendo che in tutto le persone sono 26 e che l’incasso è stato di 144 euro, quanti uomini, quante donne e quanti bambini sono entrati?
1112112
202
),(MCD
BU
262020
BUDBU
26220
20
BUDrB
rU 2622020 RRD
142020
DBU non
accettabile per il problema
rDrB
rU
314220
20
Soluzione particolare dell’equazione del probl. 2
Soluzione generale dell’equazione
03140220020
rr
r
3141020
r
rr
000
BUD
N.B.
Ma per il problema…deve essere
quindi
3
141020
r
rr
1098765 ,,,,,r
soluzioni del problema: numeri interi positivi
rDrB
rU
314220
20
11015
5DBU
r
4814
6DBU
r
7613
7DBU
r
10412
8DBU
r
13211
9DBU
r
16010
10DBU
r
14/3 10 20rr
• da vari siti internet
• dal testo
CHE COSA è LA MATEMATICA, di Courant e Robbins, Universale Scientifica Boringhieri
• da personali riflessioni
SPUNTI TRATTI
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