UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CASSINO XVIII... · numerica per analizzare tre configurazioni...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CASSINO

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

TESI DI DOTTORATO IN INGEGNERIA CIVILE E MECCANICA

DINAMICA DELL’IMPATTO: INTERPRETAZIONE,

MODELLAZIONE E SIMULAZIONE NUMERICA DEL

COMPORTAMENTO MECCANICO DEI METALLI

Andrew Ruggiero

Università Degli Studi di Cassino

Facoltà di Ingegneria

Andrew Ruggiero

Dinamica dell’impatto: interpretazione,

modellazione e simulazione numerica

del comportamento meccanico dei metalli

Tesi di Dottorato in

Ingegneria Civile e Meccanica

XVIII ciclo

Coordinatore del corso: Relatore:

Prof. Elio Sacco Prof. Nicola Bonora

2

Indice Generale

SOMMARIO.............................................................................................................................................. 4

BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................................................... 9

INDICE DELLE FIGURE...................................................................................................................... 10

INDICE DELLE TABELLE................................................................................................................... 14

1 INTRODUZIONE .......................................................................................................................... 15

2 ONDE DI SOLLECITAZIONE NEI SOLIDI............................................................................. 16

2.1 INTRODUZIONE ........................................................................................................................ 16 2.2 EQUAZIONE DELLE ONDE......................................................................................................... 17

2.2.1 Tensione generata dall’impatto ......................................................................................... 18 2.2.2 Riflessione di onde elastiche alle interfacce ...................................................................... 19 2.2.3 Riflessione e trasmissione di onde elastiche in una discontinuità meccanica.................... 23 2.2.4 Tensione uniassiale............................................................................................................ 24 2.2.5 Deformazione uniassiale.................................................................................................... 27

BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 33

3 MODELLAZIONE COSTITUTIVA............................................................................................ 34

3.1 INTRODUZIONE ........................................................................................................................ 34 3.2 MODELLI STRAIN RATE SENSITIVE........................................................................................... 34

3.2.1 Modelli di resistenza formulati su basi fisiche................................................................... 36 3.2.2 Modelli di resistenza fenomenologici................................................................................. 38 3.2.3 Modello di resistenza di Johnson e Cook........................................................................... 38

3.3 MODELLI DI DANNEGGIAMENTO DUTTILE NEI METALLI .......................................................... 39 3.3.1 Modello di danno duttile non lineare................................................................................. 43

BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 46

4 STRUMENTI DI SIMULAZIONE NUMERICA PER L’ANALISI DEI FENOMENI

DINAMICI ............................................................................................................................................... 48

4.1 INTRODUZIONE ........................................................................................................................ 48 4.2 ANALISI DINAMICA IN MSC.MARC ......................................................................................... 49

4.2.2 Houbolt Operator............................................................................................................... 52 4.2.3 Central Difference Operator.............................................................................................. 52 4.2.4 Damping............................................................................................................................. 53

4.3 ANALISI DINAMICA IN AUTODYN............................................................................................. 54 4.3.1 Metodo d’integrazione esplicito......................................................................................... 55 4.3.2 Viscosità artificiale ............................................................................................................ 56

3

4.4 IMPLEMENTAZIONE NUMERICA DEL MODELLO DI DANNO NON LINEARE .................................. 57 BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 59

5 TAYLOR TEST ............................................................................................................................. 60

5.1 ANALISI TEORICA DEL TEST DI TAYLOR................................................................................... 60 5.2 SIMULAZIONE NUMERICA DEL TAYLOR TEST........................................................................... 62 5.3 ANALISI CRITICA DEI MECCANISMI DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE DURANTE IL TEST DI

TAYLOR. ................................................................................................................................................ 69 5.4 ANALISI NUMERICA DEI MECCANISMI DI DANNEGGIAMENTO................................................... 72

5.4.1 Effetto della dimensione del grano .................................................................................... 75 BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 78

6 HOPKINSON BAR........................................................................................................................ 80

6.1 PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO................................................................................................ 80 6.2 SIMULAZIONE NUMERICA DELLA HOPKINSON BAR .................................................................. 83

6.2.1 Prova di compressione....................................................................................................... 83 6.2.2 Prova di trazione................................................................................................................ 90

6.3 CONCLUSIONI ........................................................................................................................ 104 BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................................................... 105

7 FLYER PLATE IMPACT TEST................................................................................................ 106

7.1 SIMULAZIONE NUMERICA DEL FLYER PLATE IMPACT TEST ................................................... 109 7.2 ANALISI DELLO “SPALL SIGNAL” .......................................................................................... 113

7.2.1 Modello numerico ............................................................................................................ 115 7.3 EFFETTI GEOMETRICI SUL PROCESSO DI FRATTURA PER SPALLING......................................... 117 7.4 RE-SHOCK EXPERIMENT......................................................................................................... 123

7.4.1 Fenomenologia del re-shock............................................................................................ 125 BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................................................... 132

8 CONCLUSIONI ........................................................................................................................... 133

4

Sommario

Nel presente lavoro di tesi si è analizzata la risposta meccanica dei metalli in condizioni

d’impatto veloce. A tale scopo, si sono utilizzati gli strumenti della simulazione

numerica per analizzare tre configurazioni sperimentali largamente diffuse per la

caratterizzazione della risposta meccanica dei materiali in regime dinamico: il Taylor

Test, la Hopkinson Bar e il Flyer Plate Impact Test.

Ad oggi, il limite maggiore nell’utilizzo dei codici numerici come strumenti di

previsione del comportamento dei componenti meccanici in condizione d’impatto

veloce è dato dalla scarsa disponibilità di modelli costitutivi in grado di descrivere il

comportamento dei materiali in regime dinamico. Tali modelli devono essere in grado

di tenere in conto gli effetti, sulla resistenza del materiale, della deformazione, della

velocità di deformazione, della temperatura, del danneggiamento e, per impatti

iperveloci, della pressione idrostatica. Nel presente lavoro si sono utilizzati due modelli

indipendenti per trattare in modo disaccoppiato gli effetti dovuti ai parametri citati. Gli

effetti della deformazione, della velocità di deformazione e della temperatura sulla

resistenza del materiale sono stati descritti con il modello fenomenologico di Johnson e

Cook, [1], mentre gli effetti del danneggiamento sono stati descritti con un modello di

danno non lineare per rottura duttile nei metalli, [2]. Il modello costitutivo così

composto è stato implementato nei codici commerciali, MSC.Marc e Autodyn, utilizzati

per le simulazioni numeriche.

Il Taylor Test, [3], consiste nel far impattare, a velocità nota, un provino di forma

cilindrica contro una parete rigida. Il valore della tensione di snervamento in regime

dinamico è correlato, attraverso una semplice analisi monodimensionale, alla velocità

d’impatto e alla deformata del provino. Nel corso degli anni molti lavori hanno avuto

come obiettivo quello di superare alcune delle limitazioni date dalle ipotesi, di seguito

elencate, alla base della teoria di Taylor:

la propagazione delle onde all’interno del cilindro sia monodimensionale;

il materiale abbia un comportamento rigido perfettamente plastico ed

indipendente dalla velocità di deformazione, σ=σ(ε);

il flusso plastico sia incompressibile;

5

la deformazione elastica sia trascurabile.

Nel 1954, Lee e Tupper, [4], presentarono una modifica alla formulazione di Taylor per

tenere includere nell’analisi la deformazione elastica. Raftopoulos e Davis, [5],

inclusero la deformazione elastica e l’incrudimento. Jones et al. [6], proposero una

nuova equazione del moto per la parte indeformata del provino. Nel 1981, Erlich et al.

[7], proposero una tecnica alternativa, denominata “Rod on Rod” (ROR), in cui

l’impatto avviene tra due cilindri di medesimo materiale e uguale diametro, in modo da

eliminare le incertezze derivanti dalla mancata conoscenza delle condizioni di attrito

delle superfici a contatto.

Il punto più critico di tale approccio, comunque, sta nel fatto che la condizione di

unidimensionalità dello stato di sforzo non è verificata. È infatti notorio che le onde di

rilascio, che dal bordo della superficie d’impatto propagano radialmente, si

sovrappongono in prossimità dell’asse di simmetria, dando luogo ad un’onda di

tensione.

L’analisi del test, per mezzo degli strumenti della simulazione numerica e del modello

costitutivo implementato, ha portato all’individuazione di due diversi modi in cui i

meccanismi di danneggiamento duttile possono aver luogo. Per valori elevati della

deformazione di soglia il danno è causato da grandi deformazioni plastiche, in stato di

bassa triassialità dello stato di sforzo, che avvengono in prossimità della zona di

contatto, tardi nel processo di deformazione. Per valori della soglia di deformazione

relativamente basse il danno, al contrario, si sviluppa con un basso livello di

deformazione plastica, ad elevata triassialità dello stato di sforzo, nelle prime fasi del

processo di deformazione

Si è inoltre individuata una relazione tra il valore della deformazione di soglia, che è

uno dei parametri del modello di danno, e la dimensione media del grano.

La Hopkinson Bar è, ad oggi, la tecnica sperimentale più utilizzata per la

caratterizzazione della risposta meccanica del materiale in regimi di velocità di

deformazione che vanno da 102 a 104 s-1. Anche per questa tecnica l’ipotesi

fondamentale è che lo stato di sforzo possa essere assunto uniassiale.

Nel presente lavoro si è verificato che tale ipotesi può essere considerata vera sia per la

classica configurazione a compressione della Split Hopkinson Pressure bar, sia per una

6

configurazione alternativa, proposta da Staab e Gilat, che permette di effettuare la prova

direttamente in trazione. Si è verificato, inoltre, che con un’attenta progettazione della

prova, ovvero della determinazione della geometria del provino in relazione alla

geometria delle barre e alle impedenze meccaniche dei materiali utilizzati, la

deformazione e la velocità di deformazione possono essere ritenute, con buona

approssimazione, uniformi all’interno del provino. Questo è di importanza rilevante, in

quanto, permette di accettare i risultati ottenuti con questa tecnica sperimentale come

identificativi del comportamento meccanico del materiale in regime dinamico.

Si è verificato inoltre che i limiti maggiori in tale tecnica sperimentale sono dati dalla

difficoltà di mantenere costante, durante l’intera durata della prova, la velocità di

deformazione. In particolare si è osservato come nella prova di compressione la velocità

di deformazione decresce a causa dell’aumento di sezione per effetto Poisson. Nella

prova a trazione, al contrario, è proprio l’effetto di strizione a consentire il

mantenimento di un’elevata velocità di deformazione ad un valore pressoché costante.

A valle di tali verifiche si è provveduto alla progettazione e realizzazione di una barra di

Hopkinson a trazione in grado di caratterizzare il comportamento meccanico in regime

dinamico di materiali metallici quali il rame, gli acciai, alcune leghe di nichel, quali il

waspaloy etc.

La terza configurazione analizzata è quella del Flyer Plate Impact Test, che è l’unica

tecnica sperimentale che permette la caratterizzazione meccanica dei materiali per

velocità di deformazione superiori a 104 s-1.

La tecnica consiste nel realizzare un impatto planare, a velocità nota, tra due dischi

sottili. Un rapporto elevato tra il diametro dei dischi e il loro spessore (D/h>10)

garantisce uno stato di deformazione uniassiale in prossimità dell’asse di simmetria dei

dischi. È importante sottolineare che, diversamente dalle configurazioni

precedentemente illustrate nelle quali si cercava, con maggiore o minore successo, di

realizzare uno stato sforzo che potesse essere assunto con buona approssimazione

unidimensionale, nel Flyer Plate Impact Test si verifica, a tutti gli effetti, uno stato di

deformazione unidimensionale.

Per tale tecnica, quindi, è disponibile, in forma esatta, una trattazione teorica che può

essere utilizzata per la verifica ed il confronto con i risultati numerici.

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Tale test è largamente utilizzato anche per il particolare tipo di rottura che è in grado di

produrre nel disco bersaglio. La rottura, denominata spalling, avviene per una trazione

localizzata provocata dalla sovrapposizione dell’onda riflessa dalla superficie libera del

target e della sopraggiungente onda di rilascio.

Nell’esperimento, la misura avviene mediante la rilevazione, ad esempio attraverso

tecniche d’interferometria laser, del profilo di velocità di un punto situato sulla

superficie posteriore del disco bersaglio. La lettura del profilo permette di ricavare tutte

le informazioni necessarie ad identificare il comportamento meccanico del materiale.

Nel presente lavoro si è, dapprima, verificato che il modello numerico realizzato

riuscisse a riprodurre tutte le caratteristiche chiave dell’esperimento quali: i tempi di

arrivo del precursore elastico e dell’onda plastica sulla superficie libera del bersaglio;

l’intensità e la durata del plateau di massima velocità; i tempi di arrivo delle onde di

rilascio, elastica e plastica; l’arrivo dell’onda generata dalla creazione della superficie

libera dovuta alla rottura per spall. Si è poi passati all’analisi e all’interpretazione dei

fenomeni di deformazione e rottura del processo d’impatto che ha permesso di

raggiungere i seguenti risultati.

Si è identificato un processo di dissipazione nel meccanismo di separazione delle

superfici di rottura che porta ad una discordanza tra lo “spall signal” calcolato e quello

misurato sperimentalmente.

Si è effettuato uno studio parametrico degli effetti geometrici associati al processo di

rottura per spall, in impatti planari. Tale studio ha permesso di individuare un criterio

geometrico per la valutazione delle condizioni di spalling e per la determinazione della

posizione di primo innesco.

Si è infine analizzata una configurazione sperimentale che consiste nel posizionare sulla

parte posteriore del disco proiettile, un disco di maggiore impedenza meccanica. In tale

modo, al posto dell’onda di rilascio, si genera un’onda di compressione che

sovrapponendosi all’onda di compressione generata dall’impatto, porta al fenomeno del

re-shock.

Secondo la teoria delle onde di sforzo, la risposta di un materiale elasto-plastico, al re-

shock dovrebbe essere interamente plastica, poiché lo stato del materiale si dovrebbe

trovare sulla superficie di snervamento. Dagli esperimenti si osserva invece la presenza

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di un gradino che precede l’arrivo del ricaricamento plastico, comunemente

riconosciuto come un inaspettato precursore plastico. Le interpretazioni del fenomeno

presentate in letteratura sono tutte basate sull’ipotesi che meccanismi fisici, che hanno

luogo alla micro o meso scala, portano lo stato del materiale all’interno della superficie

di snervamento.

In questo lavoro si è data un’interpretazione alternativa del fenomeno, basata su

considerazioni alla macroscala, capace di giustificare la presenza del gradino e di

dimostrare che non è un precursore elastico. Tale interpretazione, inoltre, chiarisce

anche la ragione per cui la ricompressione ed il corrispondente rilascio non debbano

essere, come dimostrato dagli esperimenti, sincroni.

9

Bibliografia [1] Johnson, G. R. and Cook, W. H., A constitutive model and data for metals

subjected to large strains, high strain rates and high temperatures, Proc. 7° Int. Symp. On Ballistics, pp. 541-547, Netherlands, 1983.

[2] Bonora, N., (1997), Int. J. of Fracture, 88, 359-371.

[3] Taylor, G. I., “The use of flat ended projectiles for determining dynamic yield stress: 1. Theoretical considerations” in Proc. R. Soc. Lond. Ser. A., vol 194, pp. 289-300, 1948.

[4] Lee, E., and Tupper, J. Appl. Mech., 63-70 (1954).

[5] Raftopoulos, D., and Davids, N., AIAA J. 5, 2254 (1967).

[6] Jones, S. E., Gillis, P. P., and Foster, J. C., Jr., J. of Appl. Phys. 61, 499-502 (1987).

[7] Erlich, D. C., Shockey, D. A., and Seaman, L., “Symmetric Rod Impact Technique for Dynamic Yield Determination”, in Shock Waves in Condensed Matter-1981, AIP Conference Proceedings 78, Menlo Park, CA, 1981, pp. 402-406.

10

Indice delle Figure FIGURA 2.1 - FORZE AGENTI SULL’ELEMENTO DI MASSA, [5]...................................................................... 17

FIGURA 2.2 – SCHEMA DI UN CORPO RIGIDO CHE IMPATTA UN CILINDRO A VELOCITÀ 0v , [5]. ................... 19

FIGURA 2.3 – RIFLESSIONE DI UN’ONDA LONGITUDINALE SU UNA SUPERFICIE LIBERA. .............................. 20 FIGURA 2.4 – RIFLESSIONE DI UN’ONDA LONGITUDINALE SU UNA SUPERFICIE LIBERA ORTOGONALE ALLA

DIREZIONE DI PROPAGAZIONE DELL’ONDA, [1].................................................................................. 20 FIGURA 2.5 – RIFLESSIONE DI UN’ONDA LONGITUDINALE SU UNA SUPERFICIE FISSA ORTOGONALE ALLA

DIREZIONE DI PROPAGAZIONE DELL’ONDA, [1].................................................................................. 22 FIGURA 2.6 – RIFLESSIONE E TRASMISSIONE DI UN’ONDA AD UNA DISCONTINUITÀ MECCANICA. ............... 23 FIGURA 2.7 – CURVA TENSIONE DEFORMAZIONE E PROFILI D’ONDA PER UN MATERIALE BILINEARE. ......... 25 FIGURA 2.8 – CURVA TENSIONE DEFORMAZIONE E PROFILO D’ONDA PER UN MATERIALE ELASTO-PLASTICO,

SECONDO LA “RATE INDEPENDENT THEORY”. ................................................................................... 26 FIGURA 2.9 – CURVA SFORZO-DEFORMAZIONE PER I MATERIALI ELASTICO PERFETTAMENTE PLASTICO ED

ELASTICO CON INCRUDIMENTO LINEARE, IN CASO DI STATO DI SFORZO UNIASSIALE OVVERO DI

DEFORMAZIONE UNIASSIALE, [1]....................................................................................................... 29 FIGURA 2.10 – CURVA SFORZO-DEFORMAZIONE IN STATO DI DEFORMAZIONE UNIASSIALE, PER VALORI

DELLA PRESSIONE ESTREMAMENTE ELEVATI, [5]. ............................................................................. 31 FIGURA 3.1 – EFFETTO DELLA VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE SULL’ALLUMINIO COMMERCIALE CARICATO A

TAGLIO.............................................................................................................................................. 35 FIGURA 3.2 - EFFETTO DELLA TEMPERATURA SUL TITANIO α. .................................................................... 35 FIGURA 3.3 - VARIAZIONE DEL VALORE DELLO SNERVAMENTO DI UN ACCIAIO BASSO LEGATO CON LA

VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE E LA TEMPERATURA............................................................................ 37 FIGURA 3.4 - RIDUZIONE DELLA DUTTILITÀ AL CRESCERE DELLA TRIASSIALITÀ DELLO STATO DI SFORZO

PER L'ACIAIO SA537, [14]. ................................................................................................................ 41 FIGURA 3.5 - EVOLUZIONE DEL DANNO, NORMALIZZATO RISPETTO AL DANNO CRITICO, IN FUNZIONE DELLA

DEFORMAZIONE PLASTICA, PER DIVERSI TIPI DI METALLI. ................................................................. 44 FIGURA 4.1 – DISTORSIONE DI UNA MESH LAGRANGIANA, [3]. ................................................................... 55 FIGURA 4.2 – TIPICA PROCEDURA DI “REZONING”, [3]................................................................................ 55 FIGURA 4.3 - SCHEMA LOGICO PER IL CALCOLO NUMERICO DELLA VARIABILE DI DANNO. LA PROCEDURA

INIZIA ALLA FINE DI OGNI INCREMENTO, QUANDO SONO GIÀ STATE CALCOLATE TUTTE LE VARIABILI

GLOBALI E ED È RIPETUTA PER OGNI PUNTO DI GAUSS DI OGNI ELEMENTO ATTIVO............................ 58 FIGURA 5.1 - SCHEMATIZZAZIONE DEL CILINDRO DI TAYLOR: (A) DURANTE LA DEFORMAZIONE; (B) AL

TERMINE DELLA DEFORMAZIONE. ..................................................................................................... 60 FIGURA 5.2 - DETTAGLIO DELLA MESH NELLA ZONA D'IMPATTO, PER IL RAME OFHC. .............................. 63 FIGURA 5.3 - ELEMENTO SEMINFINITO USATO NELLA MODELLAZIONE DELL'INCUDINE. ............................. 64 FIGURA 5.4 - PROFILO DELA DEFORMATA PER IL RAME OFHC (L0=25,4MM; V0=190M/S) OTTENUTA

ASSUMENDO ( )( )*1 *lnnA B Cσ ε ε= + + . .............................................................................. 66

11

FIGURA 5.5- PROFILO DELLA DEFORMATA PER IL FERRO ARMCO (L0=12,6MM; V0=279M/S) OTTENUTA

ASSUMENDO ( )( )*1 *lnnA B Cσ ε ε= + + . .............................................................................. 66

FIGURA 5.6 - PROFILO DELLA DEFORMATA PER L’ACCIAIO (L0=8,1MM; V0=343M/S) OTTENUTA ASSUMENDO

( )( )*1 *lnnA B Cσ ε ε= + + . ................................................................................................... 67

FIGURA 5.7 - PROFILO DELLA DEFORMATA PER IL RAME OFHC (L0=25,4MM; V0=190M/S) OTTENUTA

ASSUMENDO ( )( )( )* *1 *ln 1n mA B C Tσ ε ε= + + − . ............................................................. 67

FIGURA 5.8 - PROFILO DELLA DEFORMATA PER IL FERRO ARMCO (L0=12,6MM; V0=279M/S) OTTENUTA

ASSUMENDO ( )( )( )* *1 *ln 1n mA B C Tσ ε ε= + + − . ............................................................. 68

FIGURA 5.9 - PROFILO DELLA DEFORMATA PER L’ACCIAIO (L0=8,1MM; V0=343M/S) OTTENUTA ASSUMENDO

( )( )( )* *1 *ln 1n mA B C Tσ ε ε= + + − . .................................................................................. 68

FIGURE 5.10 A, B, C E D - GENERAZIONE, PROPAGAZIONE E SOVRAPPOSIZIONE DELLE ONDE DI PRESSIONE IN

UN ROR TEST A DIVERSI ISTANTI DI TEMPO DURANTE IL PROCESSO DI DEFORMAZIONE. ................... 71 FIGURA 5.11 - MAPPA DI DANNO PER IL RAME OFHC (L0=25,4MM; V0=190M/S) OTTENUTA ASSUMENDO

( )( )*1 *lnnA B Cσ ε ε= + + . ................................................................................................... 73

FIGURA 5.12 - DIAGRAMMI TENSIONE DEFORMAZIONE, AL VARIARE DELLA LEGGE COSTITUTIVA, PER UN

PUNTO APPARTENENTE ALLA SUPERFICIE DI CONTATTO PER L’IMPATTO DI UN CILINDRO DI FERRO

ARMCO. .......................................................................................................................................... 73 FIGURA 5.13 - MAPPA DI DANNO PER IL RAME OFHC (L0=25,4MM; V0=190M/S) OTTENUTA ASSUMENDO

( )( )( )* *1 *ln 1n mA B C Tσ ε ε= + + − . .................................................................................. 74

FIGURA 5.14 - DEFORMAZIONE DI SOGLIA IN FUNZIONE DELLA DIMENSIONE MEDIA DEL GRANO. .............. 76 FIGURA 5.15 - DEFORMATE E MAPPE DI DANNO CALCOLATE A CONFRONTO CON I RISULTATI SPERIMENTALI.

.......................................................................................................................................................... 77 FIGURA 6.1 - SCHEMATIZZAZIONE DELL'APPARATO E DELLA STRUMENTAZIONE DI UNA CONFIGURAZIONE

CLASSICA DELLA HOPKINSON IN COMPRESSIONE, [1]........................................................................ 80 FIGURA 6.2 - SCHEMATIZZAZIONE DEGLI IMPULSI DI DEFORMAZIONE ALLE INTERFACCE BARRE PROVINO

[1]. .................................................................................................................................................... 81 FIGURA 6.3 - SCHEMA DEL SISTEMA DI PROVA DELLA BARRA DI HOPKINSON A COMPRESSIONE SIMULATO

AGLI ELEMENTI FINITI. ...................................................................................................................... 83 FIGURA 6.4 - PARTICOLARE DELL'INTERFACCIA TRA BARRE E PROVINO NELLA CONFIGURAZIONE NON

DEFORMATA INIZIALE. ...................................................................................................................... 84 FIGURA 6.5 - ANDAMENTI DELLE TENSIONI DURANTE LA PROVA DI COMPRESSIONE................................... 85 FIGURA 6.6 - ANDAMENTI TEMPORALI DEGLI STRAIN RATES PER DIVERSE VELOCITÀ D’IMPATTO. ............. 87 FIGURA 6.7 - DIAGRAMMI TENSIONE-DEFORMAZIONE PER LE DIVERSE VELOCITÀ DI CARICO..................... 87 FIGURA 6.8 - DISTRIBUZIONE DELLE TENSIONI SULL’ASSE DI SIMMETRIA DELLE BARRE DI PRESSIONE A

10 sµ DALL’ISTANTE IN CUI È AVVENUTO L’IMPATTO...................................................................... 88

12

FIGURA 6.9 –ONDE DI DEFORMAZIONE INCIDENTE E RIFLESSA REGISTRATE SUGLI ESTENSIMETRI DOPO

CIRCA 320 ΜS DALL’IMPATTO. .......................................................................................................... 89 FIGURA 6.10 – CONFRONTO TRA UN PROVINO CILINDRICO NON DEFORMATO (A) ED I PROFILI FINALI

DEFORMATI CON BARRELING (B) E SENZA (C).................................................................................... 90 FIGURA 6.11 - SCHEMA FUNZIONALE DL DISPOSITIVO DI STAAB E GILAT. .................................................. 90 FIGURA 6.12 – PARTICOLARE DELLA MESH ADOTTATA PER LA DISCRETIZZAZIONE DEL PROVINO DI RAME

PURO. ................................................................................................................................................ 92 FIGURA 6.13 - ANDAMENTI DELLE ONDE DI TENSIONE REGISTRATE DURANTE LE PROVE............................ 93 FIGURA 6.14 - ANDAMENTI TEMPORALI DELLE VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE RAGGIUNTE......................... 94 FIGURA 6.15 - CURVE TENSIONE-DEFORMAZIONE OTTENUTE PER DIVERSE VELOCITÀ DI CARICO............... 95 FIGURA 6.16 - MISURE DEGLI STRAIN RATES EFFETTUATE CON ESTENSIMETRI DI LUNGHEZZA VARIABILE. 96 FIGURA 6.17 – DISTRIBUZIONE DEL DANNO SULLA DEFORMATA FINALE DEL PROVINO DOPO LA ROTTURA.96 FIGURA 6.18 - SEQUENZA FOTOGRAFICA PER UNA PROVA DI TRAZIONE. .................................................... 98 FIGURA 6.19 - MESH ADOTTATA NELLE PROVE CON ARMCO-IRON........................................................... 99 FIGURA 6.20 – CONFRONTO TRA IL PROFILO TEORICO E QUELLI NUMERICI DELL’ONDA DI TRAZIONE. ....... 99 FIGURA 6.21 - CONFRONTO TRA DATI NUMERICI E SPERIMENTALI DELLA STRIZIONE. .............................. 100 FIGURA 6.22 - DEFORMATA FINALE DEL PROVINO DI ARMCO IRON UN ISTANTE DOPO LA ROTTURA......... 101 FIGURA 6.23 - CONFRONTO TRA VALORI NUMERICI E SPERIMENTALI DEGLI STRAIN RATES. ..................... 101 FIGURA 6.24 - VARIAZIONE DELLA TEMPERATURA NEL PUNTO PIÙ SOLLECITATO DEL PROVINO. ............. 103 FIGURA 6.25 - DISTRIBUZIONI DELLA TEMPERATURA DOPO LA ROTTURA DEL PROVINO........................... 103 FIGURA 7.1 – A) DIAGRAMMA LAGRANGIANO CARATTERISTICO DI UN IMPATTO PLANARE SIMMETRICO; B)

TIPICO PROFILO DI VELOCITÀ RILEVATO IN UN FLYER PLATE IMPACT TEST.................................... 107 FIGURA 7.2 - ONDA DI STRESS GENERATA IN UN FLYER PLATE IMPACT TEST A VELOCITÀ MODERATA. ... 107 FIGURA 7.3 - PROFILO DI UN'ONDA D'URTO............................................................................................... 108 FIGURA 7.4 – EFFETTO DELLO SMORZAMENTO NUMERICO SUI RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE.

........................................................................................................................................................ 110 FIGURA 7.5 - CONFRONTO TRA IL PROFILO DI VELOCITÀ OTTENUTO NUMERICAMENTE ED I DATI

SPERIMENTALI................................................................................................................................. 110 FIGURA 7.6 – EVOLUZIONE NEL TEMPO DELLA DISTRIBUZIONE DELLA TRIASSIALITÀ DELLO STATO DI

SFORZO, LUNGO LO SPESSORE DEL PROVINO. .................................................................................. 111 FIGURA 7.7 - EVOLUZIONE NEL TEMPO DEL DANNO LUNGO O SPESSORE DEL DISCO BERSAGLIO............... 111 FIGURA 7.8 – DISTRIBUZIONE DELLA POROSITÀ NEL RAME PER IMPATTI A DIVERSE PRESSIONI, [2].......... 112 FIGURA 7.9 - CONFRONTO TRA GLI SPALL SIGNALS CALCOLATO E MISURATO PER IL RAME OFHC. ......... 113 FIGURA 7.10 – DIFFERENTI MECCANISMI DI COALESCENZA DEI MICROVUOTI NELLA ROTTURA DUTTILE.. 114 FIGURA 7.11 - EFFETTO DEL COEFFICIENTE DI FORMA α SULLA RISPOSTA DEL SISTEMA DI MOLLE NON

LINEARE. ......................................................................................................................................... 116 FIGURA 7.12 - PROFILO DI VELOCITÀ CALCOLATO CON L’IMPIEGO DEL SISTEMA DI MOLLE NON LINEARE A

CONFRONTO CON I RISULTATI SPERIMENTALI. ................................................................................. 116 FIGURA 7.13 - SCHEMA RIASSUNTIVO DELLE CONFIGURAZIONI GEOMETRICHE ESAMINATE. .................... 118

13

FIGURA 7.14 - PROFILI DI VELOCITÀ CALCOLATI NUMERICAMENTE PER LE DIVERSE CONFIGURAZIONI

GEOMETRICHE E CON VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S: A) D/H=16; B) D/H=8; C) D/H=4; D) D/H=2.

........................................................................................................................................................ 118 FIGURA 7.15 - A) DEFORMATA E STATO DEL MATERIALE OTTENUTI CON AUTODYN PER VELOCITÀ

D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=16; B) DEFORMATA E MAPPA DEL DANNO OTTENUTI CON MSC/MARC

PER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=16. ............................................................................. 119 FIGURA 7.16 - IMPULSO DI COMPRESSIONE IN DUE DIFFERENTI POSIZIONI LUNGO IL RAGGIO DEL DISCO

BERSAGLIO: SULL’ASSE DI SIMMETRIA IN BLU E IN CORRISPONDENZA DEL BORDO LIBERO DEL

PROIETTILE IN NERO. ....................................................................................................................... 120 FIGURA 7.17 - SCHEMA GEOMETRICO DELLA LOCALIZZAZIONE DELL’INNESCO DEL PROCESSO DI SPALL. 121 FIGURA 7.18 - A) DEFORMATA E STATO DEL MATERIALE OTTENUTI CON AUTODYN PER VELOCITÀ


PER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=8. ............................................................................... 122 FIGURA 7.19 - A) DEFORMATA E STATO DEL MATERIALE OTTENUTI CON AUTODYN PER VELOCITÀ






PER VELOCITÀ D’IMPATTO DI 185M/S E D/H=1. ............................................................................... 123 FIGURA 7.22 – SCHEMA DELLA CONFIGURAZIONE DEL RE-SHOCK EXPERIMENT. ...................................... 124 FIGURA 7.23 - PROFILO DI VELOCITÀ MISURATO IN UN RE-SHOCK EXPERIMENT, [3]................................. 124 FIGURA 7.24 - DISTRIBUZIONE DELLA DEFORMAZIONE PLASTICA LUNGO LO SPESSORE DEL DISCO

BERSAGLIO, A SEGUITO DELL’ONDA DI COMPRESSIONE, IN UN FLYER PLATE IMPACT TEST. ........... 126 FIGURA 7.25 - PROFILI DI SFORZO, CALCOLATI NUMERICAMENTE, A DIVERSE POSIZIONI LUNGO LO SPESSORE

DEL DISCO BERSAGLIO, IN UN FLYER PLATE IMPACT TEST STANDARD............................................ 126 FIGURA 7.26 - PROFILI DI SFORZO, CALCOLATI NUMERICAMENTE, A DIVERSE POSIZIONI LUNGO LO SPESSORE

DEL DISCO BERSAGLIO, IN UN RE-SHOCK EXPERIMENT. ................................................................... 127 FIGURA 7.27 - RAPPRESENTAZIONE DELLO STATO DI SFORZO DEL PUNTO MATERIALE CHE A SUBITO UNO

SHOCK, A DIFFERENTI POSIZIONI LUNGO LO SPESSORE DEL DISCO BERSAGLIO, NEL PIANO DEI

DEVIATORI π . ................................................................................................................................ 128 FIGURA 7.28 - CONFRONTO TRA IL PROFILO DI VELOCITÀ SPERIMENTALE, [3], E QUELLO CALCOLATO

NUMERICAMENTE CON MSC.MARC. ............................................................................................... 129 FIGURA 7.29 - CONFRONTO TRA IL PROFILO DI VELOCITÀ SPERIMENTALE, [3], E QUELLO CALCOLATO

NUMERICAMENTE CON AUTODYN. .................................................................................................. 130 FIGURA 7.30 - RITARDO DEL GRADINO ANOMALO RISPETTO ALLA CORRISPONDENTE ONDA DI RILASCIO IN

UN FLYER PLATE IMPACT TEST STANDARD, [4]. ............................................................................. 131

14

Indice delle Tabelle TABELLA 5.1 - PROPIETÀ MECCANICHE DEI MATERIALI INVESTIGATI E RELATIVI PARAMETRI PER IL

MODELLO DI JOHNSON E COOK, [1]. .................................................................................................. 63 TABELLA 5.2 - CONFRONTO TRA GLI ACCORCIAMENTI CALCOLATI, CON DIVERSI MODELLI DI RESISTENZA, E

I DATI SPERIMENTALI. ....................................................................................................................... 65 TABELLA 5.3 - CONFRONTO TRA I DIAMETRI CALCOLATI DELLE SUPERFICI D'IMPATTO E QUELLI MISURATI.

.......................................................................................................................................................... 69 TABELLA 5.4 - PARAMETRI DI DANNO PER IL RAME OFHC......................................................................... 73

15

1 Introduzione

La complessità dei meccanismi correlati alla dinamica dell’impatto limita l’impiego dei

modelli analitici al solo scopo di sviluppare una percezione immediata dei fenomeni

investigati. Nei casi reali, infatti, anche per le configurazioni più semplici, è molto facile

violare le ipotesi su cui è basata l’analisi teorica, la quale molto difficilmente può essere

utilizzata per effettuare previsioni.

Per la soluzione di problemi d’impatto è indispensabile ricorre agli strumenti della

simulazione numerica. Il suo impiego, ad oggi, per quanto riguarda la gestione dei

transitori e la risoluzione del moto di propagazione delle onde, è largamente diffuso e

saldamente consolidato. Ciò, comunque, non deve far pensare ad una sorta d’infallibilità

dei codici numerici, con il pericolo di compiere gravi errori di valutazione. La bontà dei

risultati delle simulazioni è direttamente legata alla qualità del modello numerico

realizzato. Qualità che, a sua volta, non può prescindere da una completa e corretta

conoscenza dei meccanismi che si desidera modellare.

In questo lavoro, gli strumenti della simulazione numerica sono stati adoperati per

analizzare tre configurazioni sperimentali classiche per la caratterizzazione della

risposta meccanica dei materiali in regime dinamico: il Taylor Test, la Hopkinson Bar e

il Flyer Plate Impact Test. L’obiettivo è stato quello di andare a studiare, nelle tre

configurazioni, già largamente investigate nel corso degli anni, i punti di maggiore

criticità: si sono indagati i limiti di modelli proposti in letteratura e le condizioni in cui

gli stessi falliscono, cercando di comprenderne il motivo e, ove possibile, di superarli.

In quest’ottica, i codici numerici, oltre che come strumenti di previsione, sono stati

impiegati come veri e propri strumenti d’investigazione. Questo modo di operare ha

permesso di risolvere alcune apparenti incongruenze derivanti dai risultati sperimentali

e di fornire nuove interpretazioni di fenomeni dinamici che non erano stati pienamente

compresi.

Inoltre, si è fornita una dimostrazione dell’enorme potenzialità degli strumenti numerici

in un campo, quale quello della dinamica dell’impatto, in cui anche le misure

sperimentali sono assai difficoltose e richiedono sempre una notevole capacità

interpretativa.

16

2 Onde di sollecitazione nei solidi

2.1 Introduzione

Una perturbazione, esercitata su una qualche grandezza fisica in una regione limitata

dello spazio, si propaga nello spazio circostante con modalità che dipendono di norma

dal tipo di perturbazione e dalle caratteristiche del mezzo che riempie lo spazio. E’ bene

puntualizzare che la propagazione, la quale avviene tramite un’onda, è del disturbo e

non della grandezza in esame e che tale propagazione ondosa comporta uno scambio di

energia. A causa di questi scambi, parte dell’energia meccanica viene convertita in

calore attraverso diversi meccanismi indicati, in genere, come attriti interni. Questi

introducono una tale complessità nei modelli matematici che descrivono il moto

ondoso, da renderli intrattabili. E’ questo il motivo per cui tali effetti vengono trascurati

nella maggior parte delle trattazioni senza tuttavia inficiare la loro validità, [1].

Nella teoria elasto-plastica dei corpi solidi, è stata diffusamente trattata, Kolsky [2],

Johnson [3], Achenbach [4], la propagazione di due tipi di onde:

1 le onde longitudinali in cui il moto delle particelle del mezzo si sviluppa

parallelamente alla direzione di propagazione;

2 le onde trasversali in cui il moto delle particelle del mezzo si sviluppa in

direzione perpendicolare alla direzione di propagazione.

Bisogna però ricordare che, in generale, quando un corpo è soggetto a carichi impulsivi,

si sviluppano in esso diverse tipologie di onde, quali quelle di torsione o quelle di

flessione; se il disturbo si propaga lungo una superficie del corpo, questa avviene per

mezzo di onde superficiali quali:

1 le onde di Rayleigh la cui intensità decade in modo esponenziale con la distanza

dalla superficie;

2 le onde di Love, onde di taglio che si formano in materiali composti da strati con

diverse caratteristiche fisiche.

Nel presente capitolo sono esposti alcuni cenni di teoria della propagazione delle onde

nei solidi, in riferimento al caso di onde longitudinali. Sono trattati la derivazione

17

dell’equazione delle onde elasto-plastiche e l’applicazione ai due casi di riferimento di

tensione ovvero deformazione uniassiale. La teoria delle onde nei solidi è trattata con

gli strumenti della “Rate Independent Theory”, per cui la risposta costitutiva del

materiale è descritta da una curva sforzo deformazione. Questo semplifica enormemente

l’analisi senza, per altro, compromettere la trattazione, in quanto il problema di

propagazione delle onde è piuttosto insensibile alla forma dell’equazione costitutiva.

2.2 Equazione delle onde

Per rendere la formulazione dell’equazione delle onde concettualmente chiara e

maggiormente intuitiva è necessario, almeno inizialmente, limitare la discussione al

caso di propagazione ondosa monodimensionale.

Si consideri il problema di un disturbo che viaggia nella direzione x rispetto ad un

sistema di riferimento fisso e si esaminino, come mostrato in figura 2.1, le forze che

agiscono su un elemento di massa * *dm dx Aρ= . Si ipotizzi di limitare l’analisi al

caso di piccole deformazioni e piccoli spostamenti.

Figura 2.1 - Forze agenti sull’elemento di massa, [5].

Sia FA

σ = la tensione, definita positiva se in trazione, per il teorema della quantità di

moto si può scrivere:

vx t

∂σ ∂ρ∂ ∂

= (2.1)

avendo indicato con v la velocità della particella, ovvero la derivata rispetto al tempo

18

dello spostamento nella direzione x: uvt

∂∂

= .

Considerando che la deformazione è definita come: ux

∂ε∂

= ne deriva che:

vt x

∂ε ∂∂ ∂

= (2.2)

Assumendo la tensione come funzione biunivoca della deformazione: ( )σ σ ε= si

ricava l’equazione dell’onda per moto monodimensionale:

2 2

2 2 2

1u ux c t

∂ ∂∂ ∂

= (2.3)

in cui c è la velocità di propagazione del fronte d’onda:

1( ) dcdσε

ρ ε= (2.4)

E’ immediato riconoscere questa equazione come il caso particolare, di propagazione

monodimensionale, della più generale equazione delle onde in forma indiciale:

2

2 2

1

i i

Ux x c t∂ ∂ ψ

∂ ∂ ∂= (2.5)

2.2.1 Tensione generata dall’impatto

Per derivare l’intensità dello sforzo generato in un impatto, si può far riferimento

all’evento, rappresentato in Figura 2.2, di un muro rigido che, al tempo 0t = , impatta, a

velocità 0v v= , una barra o un disco in stato di quiete. Nell’intervallo di tempo dt la

barra si deformerà fino al piano B che dista 0v dt⋅ dalla propria estremità originaria. Il

disturbo, che porta la velocità delle particelle a 0v , viaggerà, nello stesso intervallo di

tempo, fino al piano A, per una distanza pari a c dt⋅ , in cui c indica la velocità

dell’onda. Se si indica con σ lo sforzo di compressione che si genera tra l’impattatore e

la barra di sezione 0A , l’impulso generato dell’intervallo di tempo dt è pari a 0A dtσ .

La quantità di moto della barra, inizialmente ferma, è pari a 0 0A cdt vρ ⋅ , al prodotto,

cioè, della velocità per la massa delle particelle comprese dall’estremità iniziale della

19

barra ed il fronte d’onda A. Uguagliando l’impulso alla variazione della quantità di

moto, si ottiene:

0cvσ ρ= (2.6)

Se lo stato iniziale di sforzo e velocità è non nullo, le quantità σ e 0v devono essere

sostituite dalle loro corrispettive variazioni σ∆ e v∆ , che portano all’espressione più

generale:

c vσ ρ∆ = ∆ (2.7)

Figura 2.2 – Schema di un corpo rigido che impatta un cilindro a velocità 0v , [5].

2.2.2 Riflessione di onde elastiche alle interfacce

Se, come schematicamente illustrato in Figura 2.3, un’onda longitudinale raggiunge una

superficie libera con un generico angolo d’incidenza α, dalla sua riflessione saranno

generate due onde distinte.

La prima, anch’essa longitudinale, sarà riflessa con un angolo pari a quello d’incidenza,

la seconda, di tipo distorsionale, sarà riflessa con un angolo più piccolo tale che:

2

1

sinsin

D

L

cc

βα

= (2.8)

In cui Lc e Dc indicano rispettivamente le velocità di propagazione dell’onda

longitudinale e distorsionale.

cdt

A

0v dt

v = 00v = v

B0v

20

oonnddaa iinncciiddeennttee

1α2β

2α

oonnddee rriifflleessssee

ddiissttoorrssiioonnaallee

lloonnggiittuuddiinnaallee

Figura 2.3 – Riflessione di un’onda longitudinale su una superficie libera.

Figura 2.4 – Riflessione di un’onda longitudinale su una superficie libera ortogonale alla direzione di propagazione dell’onda, [1].

Allo stesso modo, se un’onda distorsionale raggiungesse una superficie libera si

genererebbero due onde, quella trasversale avrebbe un angolo di riflessione pari a quello

d’incidenza, quella longitudinale sarebbe riflessa con un angolo che rispetterebbe la

relazione precedente (2.8).

In Figura 2.4, è schematicamente illustrato il caso particolare di un’onda longitudinale

che impatta normalmente una superficie libera. Poiché lo sforzo di tensione

perpendicolare alla superficie deve essere nullo, l’impulso riflesso dovrà essere di segno

inverso a quello incidente. In altre parole un impulso di compressione sarà riflesso

u, v

u, v

+σ-σ

LcLc ghost

netσ

21

come un impulso di trazione e viceversa. Sia ( )Iu f x ct= − lo spostamento, lungo

l’asse positivo delle ascisse, dovuto all’impulso incidente. La riflessione sulla superficie

libera genera un’onda, che si muove lungo l’asse negativo delle ascisse, che porta ad

uno spostamento ( )Iu g x ct= + . Alla superficie libera, per x l= , poiché lo sforzo netto

deve essere nullo, si ha che:

0NET I Rσ σ σ= + = (2.9)

Se si esprime lo sforzo in campo elastico come ( )E E u xσ ε= = ∂ ∂ , si ottiene:

( ) ( ) 0NET E f l ct g l ctσ ′ ′= − + + =⎡ ⎤⎣ ⎦

o, (2.10)

( ) ( )f l ct g l ct′ ′− = − +

in cui l’apice indica la derivazione rispetto a x . Dall’equazione (2.10) si evince che gli

impulsi incidente e riflesso hanno la stessa forma, ma segno opposto. Anche la velocità

della particella sulla superficie libera può essere ottenuta per sovrapposizione:

I RNET I R

u uv v vt t

∂ ∂= + = +

∂ ∂ (2.11)

che, sulla superficie libera, x l= , porta a:

( ) 2NETv c f g cg′ ′ ′= − + = (2.12)

in cui, in questo caso, gli apici esprimono la derivazione rispetto al tempo. L’equazione.

(2.12) attesta che nella regione in cui gli impulsi incidente e riflesso si sovrappongono,

la velocità delle particelle e, quindi, anche lo spostamento, sono il doppio di quelli

sviluppati dagli impulsi singoli.

La tecnica, utilizzata in Figura 2.4 per visualizzare il comportamento degli impulsi di

sforzo all’interfaccia, sfrutta la linearità dell’equazione dell’onda elastica per ottenere la

soluzione come sovrapposizione di due impulsi: il primo impulso, in rosso, è costituito

dall’onda incidente “reale”, il secondo è un immaginario impulso fantasma (ghost), di

medesima forma, ma di segno opposto, che si trova inizialmente all’esterno del

materiale e viaggia nel verso contrario. Quando raggiungono l’interfaccia, il primo

22

impulso esce dal materiale, mentre il secondo, entrando, diviene progressivamente

reale. All’interno del materiale, laddove i due impulsi si sovrappongono, l’impulso netto

è nullo. Quando l’impulso incidente esce completamente dal materiale, quello che

originariamente era stato indicato come impulso fantasma dà luogo all’impulso, di

forma quadra, disegno contrario a quello d cui è stato generato.

Su una superficie fissa, invece, come illustrato in Figura 2.5, la velocità e lo

spostamento devono essere nulli. Per cui, seguendo lo stesso procedimento, si può

scrivere:

( ) ( ) 0NETv cf l ct cg l ct′ ′= − − + + =

o, (2.13)

( ) ( )f l ct g l ct′ ′− = +

e per lo sforzo:

( ) ( ) ( )2I RNET

u uE E f l ct g l ct Ef l ctx x

σ ∂ ∂⎛ ⎞ ′ ′ ′= + = − + + = −⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂ ∂⎝ ⎠ (2.14)

Per cui, lo sforzo, sulla superficie vincolata è il doppio, mentre la velocità e lo

spostamento sono nulli.

Figura 2.5 – Riflessione di un’onda longitudinale su una superficie fissa ortogonale alla direzione di propagazione dell’onda, [1].

+σ +σLc Lcu, v u, v

ghost

u,v 0=

23

2.2.3 Riflessione e trasmissione di onde elastiche in una discontinuità

meccanica

Si consideri una bara con una discontinuità meccanica dovuta ad una differenza di

materiale o ad una variazione di sezione, Figura 2.6. Sia Iσ un impulso elastico di

compressione che viaggia nella barra verso destra. Alla discontinuità questo sarà in

parte riflesso, Rσ , e in parte trasmesso Tσ , in modo che siano verificate le seguenti

condizioni:

all’interfaccia, la forza nelle due barre deve essere la medesima,

( ) ( )1 2I R TA Aσ σ σ+ = (2.15)

in cui 1A e 2A sono le rispettive sezioni delle barre all’interfaccia;

le velocità delle particelle all’interfaccia devono essere continue,

I R Tv v v+ = (2.16)

Ricordando che 0cvσ ρ= , si ottiene:

1 1 1 1 2 2

I R T

c c cσ σ σρ ρ ρ

− = (2.17)

e risolvendo in funzione di Iσ :

1 2 2

1 1 1 2 2 2

2T I

A cA c A c

ρσ σρ ρ

=+

(2.18)

2 2 2 1 1 1

1 1 1 2 2 2R I

A c A cA c A c

ρ ρσ σρ ρ

−=

+ (2.19)

Figura 2.6 – Riflessione e trasmissione di un’onda ad una discontinuità meccanica.

Le equazioni (2.18) e (2.19) permettono di fare alcune considerazioni che possono

Iσ Rσ Tσ1 1 1A , , cρ 2 2 2A , , cρ

24

rivelarsi utili nell’analisi delle configurazioni sperimentali che saranno esaminate nel

prosieguo della presente trattazione. Se i materiali che costituiscono le due barre sono

identici si ha che 1 2ρ ρ= e 1 2c c= , per cui:

1

1 2

2T I

AA A

σ σ=+

(2.20)

2 1

1 2R I

A AA A

σ σ−=

+ (2.21)

Tσ e Rσ avranno lo stesso segno se 2 1A A> . Se, invece 2 1A A< , Tσ e Rσ avranno

segno opposto. Se 2 1 0A A → , si tende alla condizione di superficie libera e quindi

R Iσ σ→ − . Se, al contrario, 2 1A A → ∞ , si tende alla condizione di superficie fissa, per

cui R Iσ σ→ . e 0Tσ → .

Non si verificano riflessioni dell’onda incidente, 0Rσ = , quando le impedenze

meccaniche delle due barre sono tra di loro uguali, 1 1 1 2 2 2A c A cρ ρ= , da cui di ricava:

2 2

1 1T I

EE

ρσ σρ

= (2.22)

Nell’equazione (2.18), il coefficiente di Iσ , non può mai essere negativo; questo

significa che un impulso incidente di tensione sarà sempre trasmesso come un impulso

di tensione e che un impulso incidente di compressione sarà sempre trasmesso come un

impulso di compressione.

Nell’equazione (2.19), il coefficiente di Iσ , può essere positivo o negativo a seconda

che si abbia 1 1 1 2 2 2A c A cρ ρ< o 1 1 1 2 2 2A c A cρ ρ> rispettivamente. Se il coefficiente è

negativo, 1 1 1 2 2 2A c A cρ ρ> , un impulso incidente di compressione sarà riflesso come un

impulso di trazione e vice versa. Se il coefficiente è positivo, 1 1 1 2 2 2A c A cρ ρ< , gli

impulsi incidente e riflesso avranno lo stesso segno.

2.2.4 Tensione uniassiale

Adottare configurazioni che garantiscano la possibilità di effettuare alcune

semplificazioni permette di rendere matematicamente trattabili i modelli che descrivono

25

il moto delle onde. Se si studia la propagazione di un impulso di tensione in una barra

sottile, che abbia cioè una lunghezza pari o maggiore di dieci volte il suo diametro, è

possibile trascurare gli effetti dell’inerzia trasversale. Si può dunque assumere lo stato

di tensione monoassiale.

Nel caso in cui lo sforzo sia inferiore alla tensione di snervamento del materiale, lo

stesso si comporterà elasticamente e, per quanto ricavato precedentemente, nel corpo si

propagherà una perturbazione longitudinale il cui moto è descritto dall’equazione:

2 2

2 2 2

1u ux c t

∂ ∂∂ ∂

= (2.23)

e la cui velocità è pari a:

Ecρ

= (2.24)

dove si è indicato con E il modulo di Young.

Si consideri ora il caso di un materiale, il cui modello costitutivo sia descritto, secondo

le ipotesi della “Rate Independent Theory”, da una legge tensione-deformazione

bilineare, come in Figura 2.7 a, sottoposto ad un impulso di valore superiore alla sua

tensione di snervamento. Nella barra considerata si propagheranno due distinti fronti

d’onda, come illustrato nella Figura 2.7 b. Ogni fronte d’onda avrà una propria velocità

di propagazione che dipenderà dai rispettivi moduli di elasticità E ed E1.

Figura 2.7 – Curva tensione deformazione e profili d’onda per un materiale bilineare.

Se l’impulso è di breve durata, nel solido si genereranno le onde di rilascio elastica e

plastica che, viaggiando alle velocità che le competono, porteranno alla formazione del

profilo d’onda illustrato in Figura 2.7 c.

(c) (b) (a)

σ

yσ

εE

1E

σ

x

1E tρ

⋅

yσ

σ

yσE tρ

⋅pc ec

pc

ec

x

26

Poiché la velocità di propagazione delle onde elastiche può essere anche dieci volte

maggiore della velocità delle onde plastiche, l’onda di rilascio elastica potrebbe

raggiungere l’onda plastica e scaricarla. A questo punto un’altra onda, generata dalla

riflessione sulla discontinuità rappresentata dall’onda plastica, si dirigerebbe verso la

superficie libera della barra. Si innescherebbe così un meccanismo di continue

riflessioni delle onde, tra la superficie libera e la posizione del fronte dell’onda plastica,

che porterebbe, se fossero disponibili tempi sufficientemente lunghi, al progressivo

scarico dell’onda incidente iniziale.

Figura 2.8 – Curva tensione deformazione e profilo d’onda per un materiale elasto-plastico, secondo la “rate independent theory”.

Nel caso in cui la curva sforzo-deformazioni possa essere rappresentata, ancora sotto le

ipotesi di “Rate Independent Theory”, dalla curva, riportata in Figura 2.8 a, con

variazione continua della pendenza della parte plastica, ne risulterà il profilo di velocità

di Figura 2.8 b, in cui si è definito xtξ = . Questo è il tipico profilo d’onda che si

sviluppa in un materiale elasto-plastico, quale ad esempio un metallo, in condizione di

sforzo uniassiale. Dall’equazione (2.4), infatti, si deduce che ogni livello di tensione o

deformazione propaga con una propria velocità caratteristica, che è funzione della

tangente locale alla curva sforzo-deformazione. Poiché la curva in Figura 2.8 a, assunta

come rappresentativa del comportamento del materiale in condizione di sollecitazione

uniassiale, presenta la concavità verso l’asse delle ascisse, disturbi di tensione o

deformazione più elevati sono caratterizzati da una più bassa velocità di propagazione.

L’onda, quindi, è costituita da un precursore elastico seguito da un più lento fronte

d’onda plastico disperso, a sua volta seguito da una regione a deformazione plastica

( )1ε costante.

(a) (b)

yσ

ε

σ

1ε

ε

eε1ε

ξ1c 0c

27

2.2.5 Deformazione uniassiale

Un’altra importante configurazione è quella che prevede che la deformazione possa

avvenire in una sola direzione. Uno stato di deformazione monoassiale è definito come:

1 0ε ≠ 2 3 12 13 23 0ε ε γ γ γ= = = = = (2.25)

Nel derivare le equazioni per stato di deformazione monoassiale, si assume che la

deformazione totale si possa scomporre in una parte elastica ed una plastica:

1 1 1e pε ε ε= +

2 2 2e pε ε ε= + (2.26)

3 3 3e pε ε ε= +

Per la seconda delle (2.25), si ha che:

2 2

3 3

p e

p e

ε ε

ε ε

= −

= −

(2.27)

Per l’incompressibilità del flusso plastico si può scrivere che:

1 2 3 0p p pε ε ε+ + = (2.28)

che, sfruttando la simmetria, 2 3p pε ε= ,porta a:

1 2 3 22p p p pε ε ε ε= − − = − (2.29)

Utilizzando l’equazione (2.27) si ottiene:

1 22p eε ε= (2.30)

in modo da poter scrivere la deformazione totale in termini di sola deformazione

elastica:

1 1 1 1 22p e p e eε ε ε ε ε= + = + (2.31)

Le deformazioni elastiche possono essere espresse, in termini di sforzi, dalle seguenti

relazioni:

28

( )

( ) ( )

( ) ( )

1 11 2 3 2

22 1 3 2 1

33 1 2 3 1

2

1

1

e

e

e

E E E E

E E E E

E E E E

σ σν νε σ σ σ

νσ ν νε σ σ σ σ

νσ ν νε σ σ σ σ

= − + = −

−= − + = −

−= − + = −

(2.32)

avendo posto 2 3σ σ= . La combinazione delle equazioni (2.32) e (2.31) permette di

ottenere:

( ) ( )1 21

1 2 2 1 2e

E Eσ ν σ ν

ε− −

= + (2.33)

Imponendo come criterio di snervamento quello di von Mises o quello di Tresca, cioè:

1 2 0Yσ σ− = (2.34)

in cui Yo indica la tensione di snervamento, si ottiene:

( )1 1 0 1 0

2 23 1 2 3 3

E Y K Yσ ε εν

= + = +−

(2.35)

in cui il “bulk modulus”, K , è definito come:

( )3 1 2

EKν

=−

(2.36)

Nel caso particolare di deformazione elastica unidimensionale:

1 1

2 2 3 3

1 2 3

0

0

e

e e

p p p

ε ε

ε ε ε ε

ε ε ε

=

= = = =

= = =

(2.37)

per cui,

2 2 110e

E Eν νε σ σ−

= = − (2.38)

29

ovvero,

( )2 11

νσ σν

=−

che porta alla scrittura;

( )

21 1

12

1E Eσ ν σε

ν= −

−

o,

( )( )1 1

11 2 1

Eνσ εν ν−

=− +

(2.39)

L’ equazione (2.39) dimostra che, in caso di stato di deformazione unidimensionale, la

pendenza del tratto elastico della curva sforzo-deformazione del materiale, è, rispetto al

caso di stato di sforzo unidimensionale, più elevato di un coefficiente pari a

( )( )1

1 2 1ν

ν ν−

− +.

Questo è chiaramente illustrato nella Figura 2.10, in cui nella parte di sinistra sono

schematicamente illustrate le curve sforzo-deformazione, per uno stato di sforzo

unidimensionale, dei due materiali elastico perfettamente plastico e elastico con

incrudimento lineare, mentre nella parte destra, sono riportate le corrispettive curve che

si ottengono, per i medesimi materiali, in caso di deformazione unidimensionale.

Figura 2.9 – Curva sforzo-deformazione per i materiali elastico perfettamente plastico ed elastico con incrudimento lineare, in caso di stato di sforzo uniassiale ovvero di deformazione uniassiale,

[1].

30

Un altro risultato interessante è l’innalzamento del valore della 1σ per il quale si ha il

superamento del limite elastico, dal valore dello snervamento del materiale, 0Y , per il

caso di sforzo uniassiale, allo “Hugoniot Elastic Limit”, HELσ , per il caso di

deformazione uniassiale. Per quanto riguarda la parte plastica, l’equazione (2.35)

dimostra che lo stress, indipendentemente dall’incrudimento, continua a crescere con la

deformazione, in modo proporzionale al “bulk modulus”, e che lo scostamento dalla

parte idrostatica della curva è pari a un valore costante 02

3Y . La curva indicata in

Figura 2.9 come “Hydrostat” rappresenta, quindi, il comportamento del medesimo

materiale, ma privo di capacità di resistenza a taglio, soggetto ad uno stato di

deformazione uniassiale. Per valori estremamente elevati della pressione, lo

scostamento tra le due curve diviene trascurabile e il materiale, senza compiere errori

significativi, può essere trattato come un fluido e rappresentato dalla sola parte

idrostatica.

Se al materiale elastico perfettamente plastico rappresentato in Figura 2.9 si applica uno

sforzo che supera il limite elastico di Hugoniot, si sviluppano le due onde, elastica e

plastica, che secondo le equazioni (2.4), (2.35) e (2.39) propagano, rispettivamente, con

velocità:

( )( )( )0

11 2 1e

Ec

νρ ν ν

−=

− + (2.40)

e

0

pKcρ

= (2.41)

Contrariamente a quanto avviene in stato di sforzo uniassiale, le velocità di

propagazione delle due onde non sono significativamente differenti. Per un tipico

acciaio legato, ad esempio, l’onda elastica è più veloce di quella plastica di circa il 25%,

mentre, nel caso di sforzo uniassiale, si arriva ad un fattore pari a 10.

Per valori della pressione estremamente elevati, lo sforzo idrostatico perde il rapporto di

proporzionalità lineare con la compressione volumetrica, per salire più rapidamente,

come schematicamente illustrato in Figura 2.10. La curva, contrariamente a quanto si

31

verifica in uno stato di sforzo uniassiale, presenta la concavità rivolta verso l’asse delle

ordinate, con fortissime implicazioni sullo sviluppo e la propagazione delle onde di

sollecitazione nel materiale.

Figura 2.10 – Curva sforzo-deformazione in stato di deformazione uniassiale, per valori della

pressione estremamente elevati, [5].

Il punto A corrisponde al limite elastico di Hugoniot e, quindi, il precursore elastico

viaggerà ancora alla velocità governata dalla pendenza OA. Se il disturbo è tale da

portare lo stato del materiale oltre il valore dell’HEL, si ricade nel tratto di curva con

concavità verso l’alto, per cui, secondo la relazione (2.4), agli sforzi plastici più severi

compete una velocità di propagazione più elevata rispetto a quella degli sforzi plastici

più deboli. Questo comporta che se, per esempio, la sollecitazione porta lo stato del

materiale fino al punto B di Figura 2.10, nello stesso si genereranno un precursore

elastico, che viaggerà alla velocità definita dall’equazione (2.40), e un’onda d’urto

plastica, che viaggerà alla velocità dettata dalla pendenza del tratto AB. Se il livello di

sforzo raggiunge il punto C, che si trova sul prolungamento del tratto OA, il precursore

elastico e l’onda d’urto plastica viaggeranno alla stessa velocità. Infine, per pressioni

ancora più elevate, fino al punto D, si svilupperà una singola onda d’urto, la cui

velocità, maggiore di quella che competerebbe al precursore elastico, è determinata

dalla pendenza del tratto OD.

Un’implicazione fondamentale che deriva da quanto detto è che la curva di Figura 2.10,

generalmente indicata col termine Hugoniot, rappresenta il luogo dei punti degli stati di

32

equilibrio, ma, diversamente da quanto accade per la curva sforzo deformazione in stadi

sollecitazione uniassiale, non viene percorsa durante il processo di carico.

33

Bibliografia

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[5] Zukas, J. A., High Velocity Impact Dynamics, John Wiley & Sons, New York,

1990.

34

3 Modellazione costitutiva

3.1 Introduzione

Lo studio dei processi associati ai fenomeni impulsivi, quali quelli conseguenti

l’impatto tra corpi, richiede necessariamente la conoscenza e la descrizione accurata del

comportamento meccanico del materiale in regime dinamico. Tali modelli devono

essere in grado di tenere in conto gli effetti, sulla resistenza del materiale, della

deformazione, della velocità di deformazione, della temperatura, del danneggiamento e,

per impatti iperveloci, della pressione idrostatica. Un approccio consolidato, e

largamente utilizzato, è quello di utilizzare un modello costitutivo composto da più

sottomodelli disaccoppiati, in grado di tenere in conto gli effetti combinati di tutte le

variabili in gioco. Tradizionalmente si descrivono gli effetti della deformazione, della

velocità di deformazione e della temperatura con un modello di resistenza, gli effetti del

danneggiamento con un modello di rottura e l’effetto della compressione volumetrica

con un’equazione di stato. Tale modo di operare semplifica enormemente la descrizione

del comportamento del materiale e, soprattutto, permette la caratterizzazione dello

stesso con un numero limitato di prove meccaniche, relativamente semplici. Anche se a

rigore si dovrebbe ricorrere ad una formulazione costitutiva che incorpori questi effetti

in maniera accoppiata, esistono numerose osservazioni sperimentali che giustificano

tale modo di operare, 0.

Nei paragrafi seguenti sono presentati i modelli di resistenza ed i modelli di

danneggiamento più importanti, con riferimento particolare ai modelli utilizzati per

l’analisi delle configurazioni sperimentali investigate.

3.2 Modelli strain rate sensitive

I metalli, generalmente, mostrano una notevole sensibilità alla velocità di deformazione

e alla temperatura. Nella maggior parte dei casi, la velocità di deformazione ha l’effetto

più rilevante sull’incremento della resistenza del materiale. In Figura 3.1 sono riportati

gli andamenti sforzo-deformazione di taglio, per un alluminio commerciale, in un

intervallo di velocità di deformazione che va da 600 a 2800 s-1, a confronto con la curva

di riferimento quasistatica ottenuta a 2,0 103 s-1.

35

Figura 3.1 – Effetto della velocità di deformazione sull’alluminio commerciale caricato a taglio.

Figura 3.2 - Effetto della temperatura sul titanio α.

La temperature, al contrario, addolcisce il materiale, come mostrato per il titanio-α in

Figura 3.2, in cui sono riportate le curve sforzo deformazione ottenute, a parità di

velocità di deformazione, in un intervallo di temperature che va dai 77 ai 288K. È noto

che la sensibilità del materiale alla velocità di deformazione e alla temperature è legata

alla struttura atomica. In particolare, i metalli con una struttura cubica a corpo centrale

36

(CCC), quali il ferro α, gli acciai ferritici, il niobio, il tantalio, etc., mostrano una forte

variazione del valore della tensione di snervamento con la temperatura, T, e la velocità

di deformazione, ε . Al contrario, i metalli con struttura cubica a facce centrate (CFC),

quali gli acciai austenitici, il nichel, l’alluminio, il rame e l’argento, non mostrano la

stessa sensibilità in modo particolare rispetto alla temperatura. I metalli a struttura

esagonale compatta (EC), infine, quali il titanio e lo zinco, esibiscono un

comportamento intermedio tra quello dei CCC e quello dei CFC.

Da tali osservazioni risulta essere evidente la necessità di superare le ipotesi

semplificative, utilizzate nel capitolo precedente, della “Rate Independent Theory”e di

utilizzare modelli basati sulla “Rate Dependent Theory”. Esiste un elevato numero di

modelli proposti in letteratura sviluppati facendo riferimento a due approcci differenti:

quelli sviluppati su base fisica, come ad esempio l’energia di attivazione o la meccanica

delle dislocazioni, o, alternativamente, gli approcci empirici. Mentre i primi descrivono

in modo più attento l’insieme dei meccanismi intimamente legati all’evoluzione della

microstruttura del materiale, i secondi sono più semplici da utilizzare in virtù d’una

maggiore maneggevolezza.

3.2.1 Modelli di resistenza formulati su basi fisiche

Descrivere la risposta inelastica di tutti i metalli con una legge generalizzata che derivi

da una teoria unificata è estremamente difficile. Nel passato sono stati compiuti diversi

tentativi con l’obiettivo di ricavare una relazione che leghi la tensione di snervamento,

σy, alla velocità di deformazione a alla temperatura:

( , , )y f Tσ ε ε= (3.1)

Un gran numero di equazioni sono state proposte da autori diversi, ampie descrizioni

sono riportate nei testi di Zukas, [2], e Zukas et al., [3]. Anche se molto differenti e, a

volte, tra di loro inconsistenti, una caratteristica fondamentale, riconoscibile in tutti i

modelli, è quella che vede una dipendenza esponenziale della tensione di snervamento

dalla temperatura e un’equivalenza di effetti tra temperatura e velocità di deformazione.

Tali caratteristiche trovano conferma nei risultati sperimentali quali quelli riportati in

Figura 3.3, in cui, per un acciaio basso legato, è riportata la variazione del valore dello

snervamento con la temperatura e la velocità di deformazione. Qui è illustrato

37

chiaramente come, in un diagramma logaritmico, lo snervamento cresce linearmente

con la velocità di deformazione fino a ε pari a 104 s-1.

Figura 3.3 - Variazione del valore dello snervamento di un acciaio basso legato con la velocità di

deformazione e la temperatura.

Tale aspetto è evidente nella relazione di Zener e Hollomon, [4]:

/( )Q RTy f eσ ε= ⋅ (3.2)

in cui Q è l’energia di attivazione e R la costante universale dei gas.

Il modello di Zerilli-Armstrong, [5], è, invece, basato sul moto delle dislocazioni

termicamente attivato, con particolare attenzione alla differente risposta dei metalli

CCC da quelli CFC. Il modello ha un’ottima capacità di descrivere i risultati

sperimentali ed è espresso dalle seguenti relazioni:

( )

( )

1 3 4

1/22 3 4

: exp ln

: exp ln

y

flow

BCC C C T C T

FCC C C T C T

σ ε

σ ε ε

= − +

= − +

(3.3)

Nel 1984 Hartley e Duffy, [6], proposero un modello, basato sulla dinamica delle

dislocazioni, che spiegasse il comportamento d’un materiale che manifesti una

sensibilità sia alla temperatura che alla velocità di deformazione. La legge, ricavata

38

facendo riferimento alla teoria dei meccanismi di attivazione termica, ha la forma:

( )

11

0

00

* *ln1

pq

k T

Fµ µ

γγ

τ τ τ τ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎪⎝ ⎠⎢ ⎥= + − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

(3.4)

dove T indica la temperatura assoluta, F0 l’energia libera totale da superare, τ0 la

tensione di snervamento allo zero assoluto, τµ la componente atermica della tensione di

snervamento e p e q descrivono la forma degli ostacoli da superare.

3.2.2 Modelli di resistenza fenomenologici

Si hanno relazioni ancora più complesse se si tenta di descrivere la sensibilità del

materiale alla storia delle velocità di deformazione. Nel 1977, Campbell et al., [7],

propose un modello fenomenologico nella forma:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 2 1 2 2, , ,f f f fτ γ γ γ γ α γ γ α γ= + + − − − (3.5)

dove f1 ed f2 sono le due funzioni:

( )1 * nf Aγ γ= (3.6)

( )2 , * * *ln 1nf m ABγγ γ γ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.7)

3.2.3 Modello di resistenza di Johnson e Cook

Il modello fenomenologico utilizzato nel presente lavoro è stato presentato da Johnson e

Cook nel 1983, [8], nella forma:

( )( )( )* *1 *ln 1n mA B C Tσ ε ε= + + − (3.8)

in cui ε è la deformazione plastica equivalente, *

0

εεε

= è la velocità di deformazione

plastica adimensionalizzata per 10 1.0sε −= e T* è la temperatura omologa:

* om

om

ro

melt ro

T TTT T

−=

− (3.9)

39

dove T indica la temperatura assoluta, Troom la temperatura ambiente e Tmelt la

temperatura di fusione. Le costanti A, B, n, C ed m sono costanti dipendenti dal

materiale. L’espressione nel primo gruppo di parentesi esprime il valore della tensione

in funzione della deformazione, quindi la legge d’incrudimento, che si ha per una

velocità di deformazione pari a quella di riferimento ed un valore della temperatura

omologa nulla. Le espressioni nel secondo e nel terzo gruppo di parentesi esprimono,

rispettivamente, l’effetto della velocità di deformazione e quello della temperatura sulla

risposta meccanica dei materiali. Il punto di forza di tale modello è dato dalla possibilità

di trattare in modo disaccoppiato gli effetti dovuti alle tre variabili di deformazione,

velocità di deformazione e temperatura. Ciò, oltre a rendere molto semplice

l’implementazione del modello in qualunque codice numerico in commercio, permette

la caratterizzazione del materiale con un numero limitato di prove meccaniche. Bisogna

comunque sottolineare che la proporzionalità, espressa dall’equazione (3.8), della

tensione di snervamento con il logaritmo della velocità di deformazione non permette,

come illustrato in Figura 3.3, una corretta descrizione della risposta meccanica del

materiale in regimi di velocità di deformazione superiori a 104 s-1.

3.3 Modelli di Danneggiamento duttile nei metalli

La rottura duttile, se pur limitata all’ambito dei metalli, è un fenomeno estremamente

ampio e complesso. Per decenni, si è pensato alla rottura come ad un fenomeno

indipendente dalla storia dei processi di sforzo e deformazione che hanno luogo nel

materiale. Il comportamento di questo, cioè, non subiva modificazioni di sorta fino

all’improvvisa incapacità di sostenere i carichi. Le teorie di rottura, ad esempio, sono il

tentativo d’identificare il valore del carico massimo ammissibile senza interessarsi ai

meccanismi specifici di rottura. Anche se la rottura fragile ha ricevuto grande attenzione

dall’inizio del ventesimo secolo, la rottura duttile è stata studiata in dettaglio solo a

partire dagli anni sessanta.

McClintock, [9], e Rice e Tracy, [10], sono stati i primi ad identificare nel processo di

nucleazione e crescita dei microvuoti, correlate all’aumento del livello di deformazione,

il micromeccanismo responsabile della rottura duttile. Da allora, sono stati proposti un

gran numero di modelli di rottura, che, classicamente, sono suddivisi in “abrupt criteria”

e modelli “nucleation and growth (NAG)”.

40

Per i primi, a rottura improvvisa, questa avviene istantaneamente quando una variabile

interna ovvero una variabile di stato, raggiunge, in un punto, il valore critico. In tali

modelli il danno, anche se è accumulato durante la storia delle deformazioni, non è

accoppiato alle altre variabili costitutive. Questo è un modello tipico per la rottura dei

materiali fragili, per cui si ha rottura quando si raggiunge il valore critico dello sforzo

ovvero dell’intensità del campo di sforzo.

Per i modelli NAG, invece, l’attivazione dei danneggiamento è causa di una

modificazione delle proprietà meccaniche del materiale. La rottura è vista come il

risultato di un progressivo deterioramento del materiale e della sua capacità di sostenere

i carichi. La variabile, accoppiata alle altre variabili interne, che tiene in conto tale

deterioramento è comunemente indicata come danno e richiede la definizione di una

legge di evoluzione cinetica.

Gli “abrupt criteria” sono, di solito, facilmente implementabili nei codici numerici, ma,

di contro, risentono di una scarsa trasferibilità dimensionale e geometrica. Nella

dinamica dell’impatto, tali criteri sono stati largamente utilizzati con la giustificazione

del fatto che i fenomeni dinamici avvengono tanto rapidamente da confinare gli effetti

associati in volumi limitati e che, quindi, gli eventuali accoppiamenti del danno alle

altre variabili interne potessero essere trascurati. Tali modelli, però, poiché sono spesso

di natura fenomenologica, richiedono una caratterizzazione dei parametri a posteriori

che riduce fortemente l’effettiva capacità di previsione della rottura.

In questo contesto, ad esempio, il valore critico della pressione in tensione è

comunemente utilizzato per prevedere la rottura per spall in un Flyer Plate Impact Test.

La determinazione del valore critico, caratteristico del materiale che si sta investigando,

richiede l’effettuazione di un certo numero di prove a differenti velocità.

L’identificazione avviene comparando lo spall signal del profilo di velocità risultante,

con quello calcolato. Tale modo di operare non tiene in nessuna considerazione l’effetto

della triassialità dello stato di sforzo sul processo di rottura duttile.

Hancock e Mackenzie, [11], e Hancock e Brown, [12], evidenziarono che la triassialità

dello stato di sforzo (Triaxiality Factor, TF) ha un ruolo considerevole nel ridurre la

capacità di deformarsi del materiale. Proposero, allora, un modello per cui si ha rottura

quando in un punto del materiale si raggiunge un valore critico di deformazione, che

41

dipende dalla multiassialità dello stato di sforzo secondo la relazione:

3exp2

mf

eq

σε ασ

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ (3.10)

in cui σm indica la pressione idrostatica, σeq la tensione equivalente di Mises, e α è una

costante dipendente dal materiale il cui valore può essere identificato in una prova a

sforzo uniassiale (TF= σm/ σeq=1/3).

Ad un’espressione simile è giunto, in modo indipendente, Manjoine, [13], interpolando

dati sperimentali per un certo numero di acciai:

( )1 32 m equniaxialf f

σ σε ε −= (3.11)

In Figura 3.4 sono messe a confronto le due relazioni, che prevedono una riduzione

della duttilità al crescere della triassialità dello stato di sforzo, insieme ai dati

sperimentali relativi all’acciaio SA537 testato a differenti velocità di carico, [14].

Figura 3.4 - Riduzione della duttilità al crescere della triassialità dello stato di sforzo per l'aciaio

SA537, [14].

Johnson e Cook, [15],proposero un modello basato sul valore critico della

deformazione, in grado di considerare gli effetti della triassialità dello stato di sforzo,

42

della velocità di deformazione e della temperatura, secondo la seguente relazione:

01 2 3 4 5

0 0exp 1 ln 1m

feq melt

T TD D D D DT T

σ εεσ ε

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞−⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜= + + +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠−⎝ ⎠ (3.12)

Al fine di tenere in conto la storia delle deformazioni, proposero un criterio cumulativo

per cui si ha rottura quando la deformazione normalizzata, definita nell’equazione

(3.13), raggiunge il valore unitario:

iif

D εε∆=∑ (3.13)

Tali criteri, in genere, non sono, almeno in forma diretta, dipendenti dal tempo. Tuler e

Butcher, [16], osservando che lo sforzo in grado di causare una rottura con un impulso

di lunga durata è più basso di quello necessario con uno di breve durata, proposero la

seguente espressione:

( )00

ftcdt Kλσ σ− ≥∫ (3.14)

in cui σ0 è il valore di soglia oltre il quale è attivato il criterio e tf è il tempo totale a

rottura. Si ha rottura quando, in un punto, l’integrale dato nell’equazione (3.14) supera il

valore di riferimento Kc. Tale modello è in grado di prevedere con buona

approssimazione la rottura per spall causata da un impulso triangolare, ma ha dei limiti

evidenti nell’incapacità di considerare gli effetti volumetrici e quelli legati alla

triassialità dello stato di sforzo.

I modelli NAG sono basati sull’assunzione che fenomeni irreversibili, che hanno luogo

durante il processo di deformazione, modificano la risposta del materiale e la sua

capacità di sostenere i carichi. Per un modello basato su questo approccio, è necessario

ridefinire le equazioni costitutive del materiale. Nel passato sono stati seguite,

prevalentemente, due strade differenti: quella dei “Porosity-based Models” e quella dei

“Contnuum Damage Models” (CDM).

Nei modelli basati sul concetto di porosità, questa è espressa con l’introduzione di una

variabile di porosità fittizia, correlata alla formazione di microvuoti nel materiale con la

deformazione plastica, che abbassa lo snervamento del materiale. Le equazioni

costitutive del materiale alla macro scala sono le equazioni elasto-plastiche standard del

materiale, ma il criterio di snervamento è modificato dalla porosità del materiale in

43

modo tale che quando questa raggiunge il valore critico, la funzione di snervamento

implode in un punto a sforzo nullo. Tale approccio è stato inizialmente formulato da

Gurson, [17],e, successivamente, è stato modificato da Tvergaard e Needleman, [18],

per tenere in conto l’effetto d’interazione tra i diversi vuoti. Needleman e Rice, [19],

modificarono il modello per la nucleazione di nuove famiglie di vuoti in fasi successive

del processo di deformazione. Anche se tale modello è largamente utilizzato in un gran

numero di applicazioni ed è disponibile nella maggior parte dei codici numerici

commerciali, è fortemente limitato da due fattori: richiede la conoscenza di un numero

eccessivo di parametri dipendenti dal materiale (fino a 9); non è trasferibile a differenti

condizioni geometriche e di vincolo, [20] e [21].

Curran et al. [22], facendo riferimento allo stesso approccio, proposero una legge di

evoluzione della porosità differente, assumendo una distribuzione esponenziale dei

vuoti rispetto alla loro dimensione. Seaman et al. [23], proposero una funzione di

distribuzione della nucleazione legata alla pressione tensile.

Nella CDM si definisce, in modo alternativo ai modelli basati sul concetto di porosità,

un set di equazioni costitutive per il materiale danneggiato. In questo approccio, il

danno è una delle variabili di stato. Assumendo l’esistenza di un potenziale di

dissipazione di danno, si può ricavare la legge cinetica di evoluzione del danno.

Lemaitre, [24], ha per primo definito il contesto costitutivo per il danno duttile nei

materiali. Successivamente, [25], sono state presentate altre forme del potenziale di

dissipazione del danno che portano a diverse leggi di evoluzione del danno con la

deformazione plastica. Nel prossimo paragrafo è presentato il modello proposto da

Bonora nel 1997, [2], che sarà utilizzato nel prosieguo della presente trattazione.

3.3.1 Modello di danno duttile non lineare

Il modello di danno utilizzato nel presente lavoro è stato sviluppato da Bonora, [2], nel

contesto della CDM, inizialmente proposta da Lemaitre, [24]. Le caratteristiche

principali del modello possono essere brevemente riassunte nei seguenti punti:

Il modello è derivato sotto le ipotesi dell’esistenza di un potenziale di

dissipazione del danno e dell’equivalenza delle deformazioni, che portano alla

definizione di tensione effettiva e all’accoppiamento tra danno e deformazione

plastica;

44

Il modello richiede un numero limitato di parametri dipendenti dal materiale,

soltanto quattro, tutti con un preciso significato fisico;

L’identificazione degli stessi può essere facilmente ottenuta con semplici prove

di tensione uniassiale su provini di geometria appropriata (clessidra, round

notched e prova di pura torsione);

I parametri sono caratterizzati da trasferibilità geometrica;

La formulazione del modello di danno è indipendente dal materiale, differenti

evoluzioni del danno con la deformazione plastica possono essere accuratamente

descritte con il medesimo potenziale di danno, utilizzando in modo appropriato

il set di parametri, Figura 3.5;

La formulazione proposta non presenta i problemi di localizzazioni tipici delle

formulazioni con softening.

-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0 Al2024-T3 Cu99.9% AISI1045 Bonora's model

D/D cr

(ε-εth)/(εcr-εth)

Figura 3.5 - Evoluzione del danno, normalizzato rispetto al danno critico, in funzione della deformazione plastica, per diversi tipi di metalli.

Di seguito è riportato il set base di equazioni costitutive:

Decomposizione delle deformazioni totali,

pT eij ij ijε ε ε= + (3.15)

45

Velocità delle deformazioni elastiche,

11 1

ij kkeij ijE D E D

σν ν σε δ+= −− −

(3.16)

Legge evolutiva delle deformazioni plastiche,

32

p ijpij

ij eq

f s∂ε λ λ

∂σ σ= = (3.17)

Definizione del moltiplicatore plastico

pfr pR

∂λ λ∂

= − = = (3.18)

in cui le equazioni (3.17) e (3.18) sono quelle della plasticità standard, mentre la legge

cinetica di evoluzione del danno è data da:

DfDY

∂λ∂

= − = ( )( )

110

ln( / )cr H

crf th eq

D D pD Dp

ααα

σαε ε σ

−⎛ ⎞− ⎟⎜⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠f (3.19)

dove

( ) ( )22 1 3 1 2

3eq eqν νσ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ρ Ρ⎟ ⎟⎜ ⎜= + + ⋅ − ⋅⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠f (3.20)

esprime l’effetto della triassialità degli sforzi. I parametri di danno richiesti sono: thε , la

soglia di deformazione alla quale i processi di danneggiamento hanno inizio; fε , la

deformazione teorica a rottura uniassiale; crD , il danno critico al quale si ha la rottura e

α , l’esponente di danno che determina la forma della curva dell’evoluzione del danno

con la deformazione plastica.

46

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48

4 Strumenti di simulazione numerica per l’analisi dei

fenomeni dinamici

4.1 Introduzione

Gli strumenti analitici sono molto utili per sviluppare una comprensione, che potrebbe

essere definita intuitiva, dei fenomeni fisici che si manifestano durante i processi

d’impatto e permettono di valutare, con senso critico, i risultati sperimentali.

Consentono, anche, di fare delle previsioni, di sistemi molto semplici, purché non

vengano violate le ipotesi semplificative utilizzate per la derivazione dei modelli stessi.

Se si vogliono superare tali limitazioni, però, è indispensabile ricorrere agli strumenti

della simulazione numerica. Il loro utilizzo, ad oggi, ha il limite maggiore nella carenza

di modelli costitutivi in grado di descrivere correttamente il comportamento meccanico

dei materiali in regime dinamico, nondimeno tali strumenti sono fortemente consolidati,

permettono di calcolare correttamente i fenomeni di propagazione ondosa tipici dei

fenomeni transitori di geometrie comunque complesse, di risolvere problemi accoppiati

meccanici, termici, elettromagnetici etc., [3]. Il loro utilizzo non può, però, prescindere

dall’esperienza dell’operatore e da una profonda conoscenza sia delle problematiche che

si stanno analizzando, sia degli strumenti che si stanno adoperando.

In commercio esiste un gran numero di codi numerici per trattare i processi d’impatto,

con caratteristiche diverse: codici lagrangiani, euleriani, SPH, etc. A volte lo stesso

codice integra, per garantire una maggiore flessibilità, diversi approcci, come nel caso

dei codi che permettono l’interazione, nella medesima analisi, di griglie lagrangiane ed

euleriane. Solo con un’adeguata conoscenza di tutte queste caratteristiche si può

scegliere correttamente e in modo consapevole lo strumento più adeguato alle proprie

esigenze.

Una distinzione netta, in merito al metodo di risoluzione delle equazioni differenziali,

esiste tra i codici impliciti e quelli espliciti. I primi, più tradizionali, nati per la

risoluzione di analisi quasistatiche, richiedono l’inversione della matrice di rigidezza,

questo garantisce una maggiore affidabilità dei risultati ottenuti a discapito di una

maggiore difficoltà nel raggiungere la convergenza e di una più bassa velocità di

49

calcolo. I codici espliciti sono i codici più diffusi per le analisi dinamiche, sono dedicati

alla risoluzione delle problematiche d’impatto. Sono molto “robusti” in relazione alla

loro capacità di raggiungere la convergenza e permettono di effettuare analisi, anche

molto complesse, tridimensionali, con numerosi corpi a contatto, in un tempo

relativamente contenuto. Tale facilità di convergenza, però, impone, all’operatore, una

maggiore attenzione nel controllo dei risultati ottenuti, perché l’accumulo di errori nel

processo di integrazione può portare a stime, quantitative e qualitative, del tutto

sbagliate.

Di seguito sono presentati i due codici commerciali utilizzati per le analisi delle

configurazioni sperimentali investigate: il codice implicito, agli elementi finiti

MSC.Marc e il codice esplicito Autodyn.

4.2 Analisi dinamica in MSC.Marc

Il codice agli elementi finite MSC.Marc permette di effettuare analisi dinamiche di

diverso tipo, [2]:

Analisi agli autovalori;

Analisi transiente;

Risposta armonica;

Risposta spettrale.

Il programma utilizza due metodi per l’estrazione degli autovalori e tre operatori per

integrazione temporale. Possono essere trattate non linearità, dovute al materiale, alla

geometria e alle condizioni al contorno. I problemi lineari possono essere risolti con una

sovrapposizione modale ovvero con un’integrazione diretta. I problemi non lineari,

invece, possono essere risolti esclusivamente con i metodi d’integrazione diretta. Oltre

alle masse distribuite è possibile utilizzare masse concentrate associate ad ognuno dei

gradi di libertà del sistema. Lo smorzamento numerico può essere utilizzato sia per le

analisi modali sia per quelle transienti. Si possono applicare condizioni iniziali non

uniformi di spostamento o velocità, così come forze o spostamenti dipendenti dal

tempo.

50

4.2.1.1 Integrazione Diretta

L’integrazione diretta è un metodo numerico per risolvere le equazioni del moto di un

sistema dinamico, che può essere utilizzato sia per problemi lineari sia per quelli non

lineari. Per le analisi transienti, MSC:MARC offre i tre operatori d’integrazione diretta

di seguito riportati:

Newmark-β Operator;

Houbolt Operator;

Central Difference Operators.

Tutte le tecniche d’integrazione diretta sono imprecise e presentano almeno uno dei

seguenti inconvenienti:

conditional stability;

artificial damping;

phase errors.

Newmark-β Operator

Tale operatore è, probabilmente, il metodo d’integrazione diretta più popolare e

utilizzato per le analisi agli elementi finiti. Per i problemi lineari è incondizionatamente

stabile e non presenta smorzamenti numerici. In problemi non lineari possono nascere

delle instabilità che possono essere superate con uno smorzamento adeguato o

riducendo l’intervallo del tempo d’integrazione. La procedura supporta, infatti, la

possibilità di variazione di tale intervallo e l’utilizzo di un controllo adattativi dello

stesso.

Si considerino le equazioni del moto di un sistema strutturale scritte in forma matriciale:

M C K F 0a v u+ + + = (4.1)

in cui M, C, e K indicano, rispettivamente, le matrici di massa, di smorzamento e di

rigidezza, e a, v, u, e F sono i vettori di accelerazione, velocità, spostamento e forza.

La forma generalizzata del Newmark-β operator è data da:

( )( )

1 2 2 1

1 1

12

1

n n n n n

n n n n

u u t v t a t a

v v t a t a

β β

γ γ

+ +

+ +

= +∆ ⋅ + − ∆ ⋅ + ⋅ ∆ ⋅

= + − ∆ ⋅ + ⋅ ∆ ⋅ (4.2)

51

in cui l’apice n indica l’intervallo temporale ennesimo. Le equazioni della dinamica che

corrispondono alla particolare forma della legge trapezoidale,

1 12 4

γ β= = (4.3)

risultano in:

( ) ( )12

4 2 4n n n n nM C K u F R M a v Cvt tt

++ + ∆ = − + + +∆ ∆∆

(4.4)

in cui R è la forza interna data da:

TV

R dVβ σ= ∫ (4.5)

L’equazione (4.4) permette di ottenere la soluzione implicita del problema nella forma:

1n nu u u+ = +∆ (4.6)

È bene sottolineare che la matrice dell’operatore include il termine la matrice di

rigidezza tangente, K, per cui, ogni non linearità comporta una riformulazione della

matrice dell’operatore. Questa, inoltre, dipende dall’intervallo d’integrazione e deve

essere, di conseguenza, ricalcolata per ogni variazione dello stesso. Nell’equazione (4.2)

, γ è un parametro che, se settato ad un valore diverso da 1 2 , introduce uno

smorzamento nella risposta. Questo può permettere, ad un operatore molto esperto, di

introdurre una viscosità artificiale che può essere necessaria, ad esempio, nella

simulazione di un fenomeno caratterizzato dalla propagazione di onde d’urto. Invece β è

il parametro caratteristico della formulazione di Newmark. Al variare del suo valore

infatti, tale metodo diviene equivalente a formulazioni di volta in volta differenti, ad

esempio:

14

β = - accelerazione costante nell’incremento temporale

16

β = - accelerazione lineare

18

β = - variazione a gradino dell’accelerazione

0β = - formulazione esplicita del secondo ordine.

52

4.2.2 Houbolt Operator

Tale operatore possiede la medesima stabilità incondizionata per I problemi lineari del

Newmark-β operator. Inoltre è caratterizzato da un elevato smorzamento numerico che

lo rende molto stabile anche per i problemi non lineari. La stabilità, infatti, cresce

all’aumentare del dell’intervallo d’integrazione. Di contro, però, l’elevato smorzamento

può portare, per intervalli d’integrazione molto lunghi, a soluzioni non accurate.

L’Houbolt operator è basato sull’utilizzo di un’interpolazione cubica per i valori a

quattro tempi differenti, tre determinati in precedenza e il corrente incognito. Ciò risulta

nelle equazioni:

( )1 1 1 211 3 1 136 2 3

n n n n nv u u u ut

+ + − −= − + − ⋅∆

(4.7)

e

( )1 1 1 22

12 5 4n n n n na u u u ut

+ + − −= − + −∆

(4.8)

Sostituendo le equazioni (4.7) e (4.8) nell’equazione del moto, si ottiene:

( )

( ) ( )2

1 21 1 2

2

2 116

3 4 7 3 16 2 3

n n nn n n n n

M C K utt

u u u M CF R u u utt

− −+ − −

+ + ∆ =∆∆

− += − + + − +

∆∆

(4.9)

che fornisce uno schema di soluzione “implicito” per l’equazione (4.1), dalla quale si

ottengono vn+1 e an+1.

4.2.3 Central Difference Operator

Tale operatore esplicito è stabile solo in modo condizionale e il programma calcola,

automaticamente, il massimo intervallo ammissibile del tempo d’integrazione. Tale

metodo non è applicabile a strutture di tipo guscio o trave, perché le elevate frequenze

risultano in un limite di stabilità estremamente piccolo, è invece molto utile per l’analisi

dei fenomeni di shock.

Il Central Difference Operator assume una legge di variazione dello spostamento

rispetto al tempo, di tipo quadratico:

( ) ( )1 12 2n nna v v t+ −= − ∆ (4.10)

53

( ) ( )1 12 2n nnv u u t+ −= − ∆ (4.11)

in modo che:

( ) ( )1 2n n na u u t+= ∆ −∆ ∆ (4.12)

in cui:

1n n nu u u −∆ = − (4.13)

Nella forma più generale la soluzione è data da:

11 2

2 2nn n n nM Mu F R u Cv

t t−+∆ = − + ∆ −

∆ ∆ (4.14)

4.2.4 Damping

Il damping, o smorzamento numerico, riproduce, in un’analisi dinamica transiente, la

dissipazione di energia all’interno del sistema. In Marc sono previste, per tale analisi,

due tipologie di smorzamento: il modal damping, per il metodo delle sovrapposizioni

modali, e il Rayleigh damping, per l’integrazione diretta Ad ogni incremento di tempo,

il programma associa, ad ogni modo, la frazione di damping corrispondente.

L’integrazione è basata sull’assunzione che la matrice di smorzamento numerico del

sistema è costituita da una combinazione lineare delle matrici di massa e di rigidezza, e

che quindi non modifica i modi del sistema.

Il damping è utilizzato per smorzare le eccessive oscillazioni del sistema alle alte

frequenze. Poiché, al diminuire dell’intervallo d’integrazione, la matrice di damping

può causare uno smorzamento eccessivo, è opportuno utilizzare l’opzione che vede la

matrice di damping essere dipendente dall’intervallo d’integrazione, in modo che, anche

per intervalli molto piccoli, le frequenze più elevate possano essere correttamente

rappresentate. La matrice di damping è data dalla seguente relazione:

( ){ }1

n

i i i i ii

tC M Kα β γ π=

∆= + +∑ (4.15)

In cui:

C è la matrice di damping;

Mi è la matrice di massa dell’i-esimo elemento;

Ki è la matrice di rigidezza dell’i-esimo elemento;

54

αi è il coefficiente smorzamento di massa sull’i-esimo elemento;

βi è il coefficiente smorzamento di rigidezza sull’i-esimo elemento;

γi è il coefficiente che rende lo smorzamento numerico proporzionale a ∆t;

∆t è l’intervallo del tempo d’integrazione;

Se, per l’intera struttura, sono usati gli stessi valori per I coefficienti di smorzamento,

l’equazione (4.15) risulta in una formulazione del damping equivalente a quella di

Rayleigh.

4.3 Analisi dinamica in Autodyn

Il codice numerico Autodyn, della Century Dynamics, utilizza tecniche alle differenze

finite, ai volumi finiti e agli elementi finiti per risolvere una grande varietà di problemi

non lineari nella dinamica sia dei solidi sia dei fluidi; i codici di tale categoria vengono

spesso indicati col termine “Hydrocode”. Essi possono essere utilizzati per studiare

fenomeni fortemente dipendenti dal tempo e con non linearità dovute alla geometria

(grandi spostamenti e grandi deformazioni) e al materiale (plasticità, incrudimento,

softening, danneggiamento, equazioni di stato, etc.). Autodyn incorpora diversi

processori numerici ognuno dei quali è ottimizzato per risolvere il problema in

determinati domini: strutture, fluidi, gas, etc. L’accoppiamento, nello spazio e nel

tempo, dei diversi domini permette di raggiungere la soluzione ottimale al problema. I

processori numerici inclusi in Autodyn sono i seguenti, [3]:

processore lagrangiano, per la modellazione dei solidi continui e delle strutture;

processore euleriano, per la modellazione dei fluidi e delle grandissime

distorsioni;

Arbitrary Lagrange Euler (ALE), specifico per la modellazione dei flussi;

processore shell, per la modellazione di elementi strutturali sottili;

Smooth Particle Hydrodynamics (SPH).

Tutti i processori elencati utilizzano un metodo di integrazione nel tempo di tipo

esplicito. In tutte le simulazioni relative al presente lavoro di tesi si è utilizzato un

processore di tipo lagrangiano, il cui schema è stato derivato dal metodo utilizzato da

55

Wilkins, , nel codice HEMP. Rispetto ad un approccio euleriano, una formulazione

lagrangiana è, dal punto di vista computazionale, più veloce, non dovendo risolvere il

calcolo del trasporto di materiale attraverso la mesh. Permette, inoltre, di trattare più

facilmente le interfacce tra i materiali, le superfici libere e l’effetto della storia sul

comportamento del materiale. Un esempio del modo di operare di una formulazione

lagrangiana è riportato in Figura 4.1.

Figura 4.1 – Distorsione di una mesh lagrangiana, [3].

Lo svantaggio maggiore è dovuto alla perdita di accuratezza che, inevitabilmente si

accompagna ad un’eccessiva distorsione della mesh. Per superare tale problema,

Autodyn permette di effettuare il “Rezoning” della mesh in modo da attenuare le

distorsioni, Figura 4.2. Laddove ciò non sia sufficiente, come ad esempio in alcuni

fenomeni di penetrazione, la tecnica dell’erosione permette ad un operatore esperto di

ottenere una soluzione sufficientemente accurata.

Figura 4.2 – Tipica procedura di “rezoning”, [3].

4.3.1 Metodo d’integrazione esplicito

Il metodo per l’integrazione delle equazioni discretizzate è detto esplicito se gli

56

spostamenti al tempo t t+∆ , nel ciclo di calcolo, sono indipendenti dalle accelerazioni

allo stesso tempo. L’algoritmo alle differenze centrali del secondo ordine è uno degli

schemi d’integrazione più utilizzati. Sia data l’equazione del moto nella forma:

( ),Mu Ku F t u+ = (4.16)

in cui M è la matrice delle masse, K è la matrice di rigidezza, u il vettore

spostamento, u l’accelerazione e F il vettore delle forze che include i carichi

meccanici, termici e le pseudoforze dovute alle non linearità geometriche e del

materiale. Le velocità e gli spostamenti possono essere espressi, in funzione del tempo,

nella forma:

( ) ( ) ( )[ ]12tu t u t t u t

t∆+ = +∆ −

∆ (4.17)

( ) ( ) ( )12 2t tu t u t u t

t∆ ∆⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥∆ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.18)

Combinando le equazioni (4.16), (4.17) e (4.18) si ricava la relazione:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22Mu t t t F t M t K u t Mu t t⎡ ⎤+∆ = ∆ + − ∆ − −∆⎣ ⎦ (4.19)

Ad ogni intervallo di tempo sono noti le velocità e gli spostamenti, da cui possono

essere derivate le velocità di deformazione e le deformazioni stesse. Si ripete quindi la

procedura per determinare le accelerazioni e le velocità all’intervallo di tempo

successivo.

La risposta può diventare instabile se l’intervallo di tempo scelto non è sufficientemente

piccolo. Per i problemi non lineari non esiste un criterio di stabilità rigoroso, ma

l’esperienza ha dimostratati che si ottiene un buon risultato se:

kltc

∆ = (4.20)

in cui l è la dimensione minima degli elementi della mesh, c è la velocità del suono nel

mezzo, k è un coefficiente, minore di uno, generalmente compreso tra 6,0 e 9,0.

4.3.2 Viscosità artificiale

Al fine di limitare le discontinuità correlate alla comparsa di onde d’urto, si introduce

nella soluzione un termine viscoso artificiale. Von Neumann e Richtmeyer, [4],

introdussero un termine, quadratico nella velocità di deformazione, da sommare al

57

valore della pressione idrostatica, nei bilanci di energia e quantità di moto. Nel 1980,

Wilkins, [5], propose un ulteriore termine, lineare nella velocità di deformazione, per

smorzare le piccole oscillazioni ad alta frequenza che si hanno a valle dello shock. Tale

formulazione è utilizzata in gran parte dei codici espliciti in commercio, compreso

Autodyn, nella forma:

0

0 0

Q LV V Vq C d C c perV V V

Vq perV

ρ⎡⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞⎤⎟ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥= − <⎟ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎢ ⎥⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠⎣ ⎦

= <

(4.21)

in cui QC e LC sono costanti, ρ è la densità, d è una lunghezza caratteristica, c è la

velocità del suono nel mezzo e VV

è la variazione volumetrica.

4.4 Implementazione numerica del modello di danno non lineare

L’implementazione numerica del modello di danno è stata effettuata su entrambi i codi

di calcolo utilizzati in questo studio: MSC.Marc e Autodyn. La stessa è avvenuta

attraverso l’utilizzo di “user subroutines” direttamente collegate al programma

principale. La formulazione del modello permette una facile implementazione per via

del fatto che i potenziali di plasticità e di dissipazione del danno sono disaccoppiati. Le

equazioni della plasticità, di conseguenza, sono le equazioni standard già implementate

nel programma principale. Poiché la legge di evoluzione del danno, in accordo con

l’equazione (3.19), è funzione dell’ammontare di danno accumulato, della deformazione

plastica accumulata e della triassialità dello stato di sforzo, essa deve essere integrata

per l’incremento di deformazione plastica corrente. A tale scopo si utilizza lo schema

d’integrazione numerico Runge-Kutta. Il danno è calcolato ad ogni intervallo temporale,

per ogni punto di gauss. Quando, per tutti i punti di gauss di un elemento, si raggiunge il

valore del danno critico, questo viene rimosso e sforzi e deformazioni vengono

rilasciati. Tale procedura può essere causa di instabilità numeriche, che possono però

essere facilmente superate ricorrendo ad un intervallo del tempo d’integrazione

relativamente piccolo, in modo che per ogni intervallo non venga rimosso più di un

elemento. Questo permette al sistema di ristabilire gli equilibri e di evitare una

58

propagazione degli errori. Lo schema logico seguito è riportato nel diagramma di flusso

di Figura 4.3.

INPUT)t(p

ij)t(

ij εσ

)t(pij

)t(pij

)t(pij

)t(eq

)t(H

)t(pij

)t(ij ,,,

εεε

σσεσ

∆+=

∆∆−++ 1

IF

TF≤ 0

Integrate ∆D+

Runge-Kutta

D+(t)= D+(t-1)+ ∆D+

( ) ( )2

213132

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅++=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

eq

H

eq

Hfσσνν

σσ

IF

D+(t)≥ Dcr

YES Dflag(m)=1

IF

0=≥+ )m(Dflagandεε thpeq

)t(pij

)t(pij

)t(peq

)t(peq

)t(pij

)t(pij

)t(pij

εεεε

εεε

∆∆=

∆+=

−++

−++

321

1

Update variables

Update stiffness matrix

)D(EE~ −⋅= 1

EXIT

EXITRemove element.

SET

0ε,0 σ T (t)ij

(t)ij ==

YES

YES

NO

NO

NO

Figura 4.3 - Schema logico per il calcolo numerico della variabile di danno. La procedura inizia alla fine di ogni incremento, quando sono già state calcolate tutte le variabili globali e ed è ripetuta per

ogni punto di gauss di ogni elemento attivo.

59

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[4] Von Neumann, J. e Richtmeyer, R.D., “A Method fort he Numerical Calculation

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[5] Wilkins, M. L., “Use of Artificial Viscosity in Multidimenional Fluid Dynamic

Calculation”, J. Comp. Phys., 36, pp. 281-303, 1980.

60

5 Taylor Test

5.1 Analisi teorica del test di Taylor

Il test di Taylor è una tecnica sviluppata per determinare il valore della tensione di

snervamento di un materiale soggetto a carichi dinamici. Esso prevede che un provino

di forma cilindrica venga fatto impattare normalmente, a velocità nota, contro una

parete rigida e che si deduca la tensione di snervamento ricercata dalla velocità

d’impatto e dalla geometria iniziale e finale del provino. Taylor ha proposto [1], nel

1948, un’analisi semplificata del fenomeno, assumendo che:

il materiale abbia un comportamento rigido perfettamente plastico ed

indipendente dalla velocità di deformazione, σ=σ(ε);

la propagazione delle onde all’interno del cilindro sia monodimensionale;

il flusso plastico sia incompressibile e la deformazione elastica sia trascurabile.

Figura 5.1 - Schematizzazione del cilindro di Taylor: (a) durante la deformazione; (b) al termine

della deformazione.

La Figura 5.1a mostra una schematizzazione del cilindro ad un certo punto durante la

prova. La regione deformata cresce con velocità pari alla velocità di propagazione

dell’onda plastica cp, mentre la porzione indeformata del cilindro, la cui lunghezza

istantanea è h, viaggia alla velocità decrescente v. Indicando con A0 l’area della sezione

iniziale del cilindro e con σy la tensione di snervamento, si possono scrivere:

l’equazione di conservazione della massa,

( ) 0p pc A v c A= + (5.1)

61

l’equazione della conservazione della quantità di moto,

( )p yv c vρ σ σ+ = − (5.2)

e l’equazione del moto per la parte indeformata,

ydvhdt

ρ σ= − (5.3)

Assumendo, ancora, che la velocità di propagazione dell’onda plastica sia costante e che

la superficie libera del cilindro venga decelerata uniformemente, si può derivare la

formula di Taylor:

( )( )0

200 0 1

12 ln

y l Hlv l lH

σρ

−=

− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.4)

in cui l0 è la lunghezza iniziale del cilindro, l1 ed H sono, come mostrato in Figura 5.1b,

rispettivamente le lunghezze, rilevate al termine della prova, dell’intero cilindro e della

sua porzione indeformata.

Taylor ha introdotto un fattore correttivo nell’analisi in virtù del fatto che la

decelerazione del cilindro, in realtà, non avviene in maniera costante. Se si indica con

yσ il valore corretto di yσ determinato con la relazione precedente, si può scrivere:

0

0 12

0

lny

y p

ll l Hl H c

Ka

σσ

⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎝ ⎠− =

− ⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

(5.5)

con:

2 2 yaσρ

= (5.6)

0 pv cK

a+

= (5.7)

Nel corso degli anni numerosi ricercatori hanno cercato di superare alcune delle ipotesi

semplificative, introdotte nella formulazione di Taylor, per ottenere una sua validità più

generale. Nel 1954, Lee e Tupper, [4], hanno presentato un modello che tiene in

62

considerazione la deformazione elastica. Raftopoulos e Davis [5], hanno generalizzato il

comportamento del materiale, includendo la deformazione elastica e il lavoro

d’incrudimento. Jones et al. [6], hanno proposto una nuova equazione del moto per la

parte indeformata del provino. Erlich et al. [7], nel 1981, hanno presentato una tecnica

alternative che prevede l’impatto simmetrico tra due cilindri, così da eliminare le

incertezze dovute all’indeterminatezza dovuta all’attrito sulla superficie d’impatto.

5.2 Simulazione numerica del Taylor test

Nella presentazione del test di Taylor si è visto come una delle assunzioni principali, su

cui è ricavata la relazione che permette di ricavare il valore della tensione di

snervamento del materiale in regime dinamico, è l’unidimensionalità dello stato di

sforzo. In realtà, proprio tale assunzione è stata in passato largamente contestata.

Wilkins e Guinam [8], evidenziarono la necessità di ricorrere ad un’analisi

bidimensionale per simulare correttamente il test in oggetto.

Nel presente studio, è stata effettuata un’estesa campagna numerica per verificare la

possibilità di riprodurre le caratteristiche salienti dell’esperimento e di stimare il ruolo

dei diversi parametri che caratterizzano il modello di resistenza del materiale in regime

dinamico. I risultati ottenuti sono stati sempre, per quanto possibile, messi a confronto

con risultati sperimentali disponibili in letteratura.

La modellazione agli elementi finite del Taylor Cylinder Impact Test, pur dando

l’impressione di essere estremamente semplice, nasconde, in realtà, una serie di aspetti

critici quali, il contatto tra cilindro e incudine, l’attrito tra le superfici d’impatto, le

dimensioni degli elementi, l’aspect ratio”, che rendono l’analisi molto delicata. Per

queste prime simulazioni numeriche, si è utilizzato il codice MSC.Marc facendo ricorso

alla schema di risoluzione diretto Newmark-β. Si è effettuata un’analisi parametrica

degli effetti associati al modello di resistenza utilizzato, nello specifico quello di

Johnson e Cook, [1]. Una notevole attenzione è stata dedicata alla corretta simulazione

dell’incudine, la cui influenza sulla bontà dei risultati non è, in letteratura,

opportunamente evidenziata. Le analisi hanno riguardato l’impatto di cilindri, a diverse

velocità, di rame OFHC, ferro ARMCO e acciaio AISI, le cui proprietà meccaniche

sono riportate in Tabella 5.1.

63

Tabella 5.1 - Propietà meccaniche dei materiali investigati e relativi parametri per il modello di Johnson e Cook, [1].

Proprietà Meccaniche Costanti per il modello di Johnson e Cook

Materiale Densità [kg/m3]

Calore specifico [J/kg K]

Temperatura di fusione

(°K)

A (MPa)

B (MPa) n C m

Acciaio AISI 4340 7830 477 1793 792 510 .26 .014 1.03

Ferro ARMCO 7890 452 1811 175 380 .32 .060 0.55

Rame OFHC 8960 383 1356 90 292 .31 .025 1.09

L’analisi è stata effettuata in configurazione assialsimmetrica. Poiché gli elementi della

zona di contatto sono soggetti ad elevate deformazioni, la mesh iniziale è stata

realizzata con un aspect ratio rettangolare, in modo da prevenire schiacciamenti

eccessivi degli elementi della zona di contatto. Questa strategia consente di superare i

problemi derivanti da un’eccessiva distorsione degli elementi che possono risultare in

uno Jacobiano negativo e, quindi, all’interruzione della simulazione. In Figura 5.2 è

riportato un esempio della mesh utilizzata, con dimensioni dell’elemento di 0,5x0,25

mm2.

Figura 5.2 - Dettaglio della mesh nella zona d'impatto, per il rame OFHC.

64

Uno studio preliminare è stato effettuato modellando l’incudine come infinitamente

rigido, una strategia largamente utilizzata in letteratura, [1]. Tale assunzione si è, però,

rivelata essere inadeguata, perché porta alla generazione di disturbi ad altissima

frequenza all’interfaccia tra provino ed incudine che provocano chattering al contatto ed

altri problemi di natura numerica.

Per superare tali inconvenienti, l’incudine è stato modellato, più simile al caso reale,

come corpo deformabile a snervamento molto elevato. La mesh dell’incudine è, nella

zona del contatto, uniforme e formata da elementi quadrati, mentre nella parte

rimanente, dove è richiesta una minore accuratezza, gli elementi hanno forma

rettangolare e dimensioni via via crescenti. Per chiudere la mesh alle estremità ed

evitare che onde di riflessione possano interferire con il provino, sono stati utilizzati

elementi semi-infiniti a sei nodi e sei punti d’integrazione; l’elemento mostrato in

Figura 5.3, è formulato in modo tale da estendersi virtualmente all’infinito e da

considerare, lì, nulli gli spostamenti.

Figura 5.3 - Elemento semi-infinito usato nella modellazione dell'incudine.

Come sottolineato più volte, il fattore più critico nella simulazione dei processi dinamici

è dato dalla difficoltà di caratterizzare il materiale in modo adeguato. Per questo motivo

si sono analizzati, sfruttando la formulazione del modello Johnson e Cook, [1], gli

effetti che i diversi parametri, deformazione, velocità di deformazione e temperatura,

hanno sui risultati della simulazione numerica.

Il primo gruppo di simulazioni è stato effettuato senza tenere in considerazione il

danneggiamento del materiale ed utilizzando la legge costitutiva nella forma:

65

σ ε= +A B n (5.8)

Si sono, in altre parole, trascurati gli effetti dovuti alla velocità di deformazione ed alla

temperatura. Le prove sono state effettuate per il rame OFHC (l0=25,4mm) a 190m/s,

per il ferro ARMCO (l0=12,6mm) a 279m/s e per l’acciaio AISI (l0=8,1mm) a 343m/s.

Le simulazioni numeriche forniscono, per tutte le configurazioni, deformazioni del

proiettile molto superiori a quelle rilevate sperimentalmente. La verifica può essere

effettuata confrontando gli accorciamenti, espressi come il rapporto tra la lunghezza del

cilindro al termine della prova e la lunghezza iniziale, per le diverse configurazioni. Per

il ferro il rapporto calcolato è pari a 0,58 contro lo 0,70 rilevato dalle sperimentazioni,

mentre per l’acciaio si ha uno 0,73 calcolato contro lo 0,8 misurato. Per il rame, inoltre,

l’eccessiva deformazione provoca l’interruzione del calcolo dopo un tempo di appena

0,2µs, a fronte di un tempo necessario alla conclusione del processo di circa 80µs,

Tabella 5.2.

Tabella 5.2 - Confronto tra gli accorciamenti calcolati, con diversi modelli di resistenza, e i dati sperimentali.

Risultati numerici Dati sperimentali

( )fσ ε= ( ),fσ ε ε= ( ), ,f Tσ ε ε=

Rame OFHC 0.68 - 0.65 0.66

Ferro ARMCO 0.70 0.58 0.70 0.66

Acciaio AISI 0.73 0.80 0.77 0.61

Per il secondo gruppo di simulazioni, si è introdotto il modello di danno e si è utilizzata

la legge costitutiva nella forma:

( )( )*1 *lnnA B Cσ ε ε= + + (5.9)

in modo da tenere in conto gli effetti dovuti alla velocità di deformazione ma non

ancora quelli legati alla temperatura. Le configurazioni per le simulazioni sono le stesse

utilizzate in precedenza ma i risultati ottenuti sono decisamente differenti. Un tipo di

legge di questo tipo è sicuramente più adeguata alla descrizione del comportamento

meccanico del materiale e ciò è confermato dal confronto tra gli accorciamenti calcolati

per i diversi provini e quelli misurati nelle sperimentazioni. Per il ferro ARMCO

66

l’accorciamento calcolato numericamente è di 0,7, pari a quello misurato; per l’acciaio

AISI è di 0,77, contro lo 0,8 misurato; per il rame OFHC, il rapporto calcolato è pari a

0,65 contro lo 0,68 misurato. Nelle Figura 5.4, Figura 5.5 e Figura 5.6 si può osservare

come i profili di deformazione per il rame e per l’acciaio corrispondano con ottima

approssimazione a quelli rilevati sperimentalmente. Questa è un’evidente conferma del

fatto che il materiale ha un comportamento meccanico differente a seconda che venga

sollecitato staticamente ovvero in modo dinamico.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 240

2

4

6

8

10

12

Dis

tanz

a da

ll'ass

e di

sim

met

ria [m

m]

Posizione [mm]

Figura 5.4 - Profilo dela deformata per il rame OFHC (l0=25,4mm; V0=190m/s) ottenuta assumendo

( )( )*1 *lnnA B Cσ ε ε= + + .

0 2 4 6 8 10 12 14 10

2

4

6

8

10

12

Posizione [mm]

Dis

tanz

a da

ll'ass

e di

sim

met

ria [m

m]

Figura 5.5- Profilo della deformata per il ferro ARMCO (l0=12,6mm; V0=279m/s) ottenuta

assumendo ( )( )*1 *lnnA B Cσ ε ε= + + .

67

0 2 4 6 8 10 12 10

2

4

6

8

10

12

Dis

tanz

a da

ll'ass

e di

sim

met

ria [m

m]

Posizione [mm]

Figura 5.6 - Profilo della deformata per l’acciaio (l0=8,1mm; V0=343m/s) ottenuta assumendo

( )( )*1 *lnnA B Cσ ε ε= + + .

Per l’ultimo gruppo di simulazioni si è provveduto a completare l’equazione costitutiva

aggiungendo il termine che tiene in conto gli effetti della temperatura, la relazione,

dunque, si presenta nella forma:

( )( )( )* *1 *ln 1n mA B C Tσ ε ε= + + − (5.10)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 240

2

4

6

8

10

12

Dis

tanz

a da

ll'ass

e di

sim

met

ria [m

m]

Posizione [mm]

Figura 5.7 - Profilo della deformata per il rame OFHC (l0=25,4mm; V0=190m/s) ottenuta assumendo ( )( )( )* *1 *ln 1n mA B C Tσ ε ε= + + − .

68

0 2 4 6 8 10 12 14 10

2

4

6

8

10

12

Posizione [mm]

Dis

tanz

a da

ll'ass

e di

sim

met

ria [m

m]

Figura 5.8 - Profilo della deformata per il ferro ARMCO (l0=12,6mm; V0=279m/s) ottenuta

assumendo ( )( )( )* *1 *ln 1n mA B C Tσ ε ε= + + − .

0 2 4 6 8 10 12 10

2

4

6

8

10

12

Dis

tanz

a da

ll'ass

e di

sim

met

ria [m

m]

Posizione [mm]

Figura 5.9 - Profilo della deformata per l’acciaio (l0=8,1mm; V0=343m/s) ottenuta assumendo

( )( )( )* *1 *ln 1n mA B C Tσ ε ε= + + − .

I risultati, per quanto riguarda i profili delle deformate, per il rame e l’acciaio

rimangono sostanzialmente gli stessi, per il ferro invece, la deformata ottenuta

utilizzando l’ultima relazione costitutiva proposta è decisamente diversa e molto più

simile a quella misurata.

69

Un tale risultato è in accordo perfetto con i dati sperimentali, reperibili in letteratura,

che hanno dimostrato, per mezzo di prove effettuate alla barra di Hopkinson, un’elevata

sensibilità del ferro alle variazioni di temperatura.

5.3 Analisi critica dei meccanismi di propagazione delle onde durante

il test di Taylor.

Come detto in precedenza nel test di Taylor, l’unidimensionalità dello stato di sforzo

non è verificata. Questo si può intuire, ad esempio, osservando la forma della deformata

del cilindro nella parte impattata, che non può essere giustificata a meno di ammettere la

presenza di deformazioni radiali.

Gli strumenti numerici sono stati allora utilizzati per investigare i meccanismi di

propagazione delle onde che si vengono a verificare durante il test. Le interpretazioni

date nel presente paragrafo derivano dalle osservazioni delle analisi numeriche già

presentate e da altre effettuate per la configurazione del RoR. In particolare si è fatto

riferimento alla configurazione adottata da Mayes et al., [10], dell’impatto simmetrico

di cilindri, di calibro 7,62 mm, di rame OFE, con due diverse dimensioni medie del

grano. Il materiale con grano medio maggiore, 75µm, è stato impattato a 300m/s e

392m/s, mentre il material con grano medio più fine, 40µm, è stato impattato a 233m/s.

Le simulazioni sono state effettuate col codice esplicito Autodyn, il modello è stato

realizzando due griglie, una per cilindro, in configurazione assialsimmetrica. In Tabella

5.3, i diametri finali delle superfici impattate sono confrontati con le misure

sperimentali, per tutte le velocità e le microstrutture, dimostrando, almeno per le

velocità più basse, un ottimo accordo.

Tabella 5.3 - Confronto tra i diametri calcolati delle superfici d'impatto e quelli misurati.

Grano grande 300m/s

Grano fine 392m/s Grano fine 233m/s

Diametro calcolato 12.2mm 15.0mm 10.6mm

Risultati sperimentali, [10] 12.4mm 12.5mm 10.9mm

Nelle Figure 5.10 a, b, c e d, viene illustrato, in configurazione assialsimmetrica, il

processo di generazione, propagazione e sovrapposizione delle onde di pressione che si

70

viene a verificare nei primi 2µs del processo d’impatto. Al momento dell’impatto si

generano, all’interfaccia, nei due cilindri, onde di compressione che, secondo la

convenzione utilizzata nella dinamica dell’impatto, hanno segno positivo e sono

indicate in rosso nella prima delle Figure 5.10.

a)

b)

71

c)

d) Figure 5.10 a, b, c e d - Generazione, propagazione e sovrapposizione delle onde di pressione in un

RoR test a diversi istanti di tempo durante il processo di deformazione.

Dopo appena 1µs, sono facilmente distinguibili le onde di rilascio che dal bordo esterno

propagano verso il centro del provino. Queste, sovrapponendosi nella regione prossima

all’asse di simmetria, dando luogo, negli istanti successivi, ad uno stato di sforzo

tensile. Tale stato di sforzo porta al distacco, per un breve intervallo di tempo, della

72

parte centrale della superficie d’impatto, appena distinguibile nella Figure 5.10 d.

Successivamente si ripristina uno stato compressivo generalizzato, che ha come effetto

il ristabilirsi del contatto, tra cilindro e incudine, lungo l’intera superficie d’impatto.

Solo dopo questa prima fase, quindi, lo stato di sforzo si avvicina molto allo stato di

unidimensionalità ipotizzato da Taylor.

La conseguenza di tale meccanica è che durante il test, la deformazione e la velocità di

deformazione nel cilindro non sono uniformi e, in ogni punto, non sono costanti, ma

variano col tempo. Questo implica che da tale test non è possibile, in nessun modo,

estrapolare il valore dello snervamento del materiale, come era stato inizialmente

proposto. Ad oggi il test è ancora largamente utilizzato perché, con un sistema

relativamente semplice, permette di raggiungere velocità di deformazione dell’ordine di

104 ÷ 105 s-1, fornendo dati che possono essere utilizzati per verificare le potenzialità

degli strumenti numerici di previsione e di nuovi modelli costitutivi.

5.4 Analisi numerica dei meccanismi di danneggiamento

In questo paragrafo viene ripresa l’analisi del test di Taylor con particolare attenzione ai

processi di danneggiamento. In modo simile a quanto proposto nei paragrafi precedenti,

attraverso un’analisi numerica delle medesime configurazioni, si sono investigati gli

effetti che, in modo indipendente, velocità di deformazione e temperatura, hanno sui

processi di danneggiamento.

In Figura 5.11 è riportata la mappa di danno ottenuta per il rame OFHC, assumendo la

legge sforzo deformazione (5.9) ed utilizzando il modello di danno non lineare

presentato, con i parametri riportati in Tabella 5.4. Si può osservare come un certo

numero di elementi, tra i quindici ed i venti, a seconda della configurazione esaminata,

sia eliminato una volta che questi abbiano raggiunto il valore di danno critico. Le

regioni maggiormente danneggiate corrispondo a quelle che risultano essere,

dall’osservazione delle foto dei cilindri impattati, maggiormente degradate e questo

conferma, qualitativamente, la validità del modello di rottura utilizzato.

La legge di Johnson e Cook nella formulazione completa, Eqn. (5.10), è stata utilizzata

per analizzare l’effetto della temperatura sul danneggiamento.

73

Tabella 5.4 - Parametri di danno per il rame OFHC.

εth εf Dcr α

0.1 3.2 0.85 0.63

Figura 5.11 - Mappa di danno per il rame OFHC (l0=25,4mm; V0=190m/s) ottenuta assumendo

( )( )*1 *lnnA B Cσ ε ε= + + .

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00

200

400

600

800

1000σ ε= +A B n

( ) ( )σ ε ε= + +A B Cn 1 *ln *

( )( )( )σ ε ε= + + −A B C Tn m1 1*ln * *

Tens

ione

equ

ivale

nte

di vo

n M

ises

[MPa

]

Deformazione plastica equivalente

Figura 5.12 - Diagrammi tensione deformazione, al variare della legge costitutiva, per un punto

appartenente alla superficie di contatto per l’impatto di un cilindro di ferro ARMCO.

74

La Figura 5.12 esprime gli andamenti, ricavati dalle simulazioni degli impatti per il

ferro ARMCO, della tensione in funzione della deformazione per le tre diverse relazioni

costitutive utilizzate. E’ evidente il salto del valore della tensione di snervamento

causato dall’introduzione del termine legato alla velocità di deformazione, ma è altresì

interessante notare come l’aumento della temperatura, dovuto alla deformazione

plastica, abbassi, all’aumentare di quest’ultima, il livello dello sforzo. Questo comporta

una maggiore duttilità del materiale, che si manifesta in una riduzione del

danneggiamento dello stesso. Tale riduzione è messa in luce dal fatto che, per nessuna

configurazione, si ha l’eliminazione degli elementi per il raggiungimento del valore di

danno critico.

La Figura 5.13 rappresenta la mappa di danno, per il rame OFHC, rilevata dalla

simulazione numerica che si è effettuata tenendo in considerazione, nel legame

costitutivo gli effetti dovuti sia alla velocità di deformazione sia alla temperatura. E’

importante sottolineare come, per il rame e l’acciaio, la valutazione del profilo delle

deformate possa portare a ritenere ininfluente l’effetto della temperatura, mentre,

un’analisi del livello di danno raggiunto ne manifesta tutta la sua importanza.

Figura 5.13 - Mappa di danno per il rame OFHC (l0=25,4mm; V0=190m/s) ottenuta assumendo

( )( )( )* *1 *ln 1n mA B C Tσ ε ε= + + − .

75

5.4.1 Effetto della dimensione del grano

I risultati sperimentali in [10] mostrano una particolarità che opportuno investigare in

modo approfondito. In accordo con la teoria, si osserva, per il materiale a più grande

grano medio, un aumento del danno con la velocità d’impatto. Il materiale a grana fine,

invece, manifesta, sorprendentemente, rispetto a quello a grana grande, un maggiore

ammontare del danno, a più bassa velocità d’impatto, Figura 5.15.

Tale risultato mostra chiaramente che, per quanto riguarda il danneggiamento, le due

diverse microstrutture hanno caratteristiche di danneggiamento differenti. La

dimensione del grano, come noto, influenza la resistenza del materiale. A grani più

piccoli corrispondono valori più elevati della tensione di snervamento come descritto

dalla relazione di Hall-Petch:

0,50y Kdσ σ −= + (5.11)

in cui 0σ e K sono costanti che dipendono dal materiale e d è la dimensione media del

grano. Ad un aumento della tensione di snervamento, al diminuire delle dimensioni del

grano, corrisponde una riduzione della duttilità. Per quanto concerne il danneggiamento,

esso inizia con la nucleazione di microvuoti in prossimità delle inclusioni ovvero, per i

metalli puri come il rame in oggetto, ai bordi grano. In quest’ultimo caso, il danno è

dato dall’impossibilità di accomodare, alla mesoscala, le deformazioni imposte alla

macroscala. Di conseguenza, nelle microstrutture a grana fine, per le quali il moto delle

dislocazioni è fortemente vincolato, il danneggiamento duttile dovrebbe iniziare ad un

livello di deformazione plastica più basso rispetto al caso di grana più grossolana.

Quindi, per un dato livello di deformazione, ci si aspetta un ammontare di danno più

elevato. Si è pensato che un tale andamento possa essere governato dal valore della

deformazione di soglia e che, quindi, questa debba, in qualche modo, essere influenzata

dalla dimensione del grano.

Sono stati raccolti i valori della deformazione di soglia per diversi materiali metallici e

riportati, in funzione della dimensione media del grano, in Figura 5.14, che evidenzia

una chiara dipendenza tra εth e la dimensione media del grano, indipendentemente dal

materiale. Si è trovato, inoltre, che i dati rappresentati in Figura 5.14 sono molto bene

interpolati da una curva del tipo:

76

( )0,50th A d dε = − (5.12)

in cui A è una costante e 0d sembra indicare un limite inferiore di dimensione del

grano, al di sotto del quale i processi di danneggiamento dovrebbero essere inibiti a

causa della perdita di duttilità. Questo è in accordo con recenti osservazioni sperimentali

che indicano una variazione del tipo di rottura, da duttile a fragile, per dimensioni del

grano estremamente piccole.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 2400.000.020.040.060.080.100.120.140.160.180.200.220.24

OFHC Cu

OFHC Cu

A533B

ARMCO

AISI4340Al2024

Low carbon

W90

Dam

age

thre

shol

d st

rain

Figura 5.14 - Deformazione di soglia in funzione della dimensione media del grano.

Per quanto è stato illustrato, nelle simulazioni numeriche si sono utilizzati, per le due

diverse dimensioni medie del grano, i valori di deformazione di soglia ricavati dalla

relazione (5.12): 0,1thε = per 0,75d mµ= e 0,04thε = per 40d mµ= .

La mappa di distribuzione del danno è stata analizzata e confrontata, in Figura 5.15, con

i risultati derivati dalle micrografie dei cilindri sezionati, il risultato trovato è in ottimo

accordo con i dati sperimentali disponibili, sia per la deformata finale sia per la mappa

di distribuzione del danno.

Per il materiale con grano medio maggiore, è correttamente previsto un aumento del

danno con la velocità d’impatto. Si evince, inoltre, che il danno è causato da grandi

deformazioni plastiche, che avvengono in prossimità della zona di contatto, tardi nel

processo di deformazione. Per il materiale a grana fine, caratterizzato da un valore più

77

basso della deformazione di soglia, il danno sembra essere dovuto dall’intenso impulso

di tensione che si genera nelle prime fasi del processo di deformazione, secondo il

meccanismo descritto al paragrafo 5.3. Tale processo è caratterizzato da un basso livello

di deformazione plastica e da elevata triassialità dello stato di sforzo, mostrando forti

similarità alla rottura per spall che si ha, ad esempio, nel Flyer Plate Impact Test.

Figura 5.15 - Deformate e mappe di danno calcolate a confronto con i risultati sperimentali.

78

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80

6 Hopkinson Bar

6.1 Principio di funzionamento

La barra di Hopkinson (o apparato di Kolsky) è, ad oggi, la tecnica sperimentale più

utilizzata per la caratterizzazione della risposta meccanica dei materiali, in regimi di

velocità di deformazione compresi tra 102 e 104 s-1. Il principio di funzionamento è

basato sull’assunzione che nel provino e nelle barre che costituiscono il sistema di prova

si realizzi uno stato di sforzo uniassiale. Una configurazione tipica dell’apparato di

prova e degli strumenti necessari alla rilevazione dei dati è schematicamente mostrato in

Figura 6.1.

Figura 6.1 - Schematizzazione dell'apparato e della strumentazione di una configurazione classica

della Hopkinson in compressione, 0.

Il provino è fissato tra le due barre incidente e trasmittente. Una terza barra (proiettile o

striker bar), accelerata per mezzo dell’energia trasmessagli da una molla o da una

pistola a gas, colpisce la barra incidente provocando un impulso che viaggerà in essa

fino a raggiungere il provino. All’interfaccia col provino, parte dell’impulso sarà

trasmesso e parte riflesso in rapporto alle impedenze meccaniche della barra e del

provino. L’impulso trasmesso, dopo aver attraversato il provino, all’interfaccia con la

barra trasmittente, sarà in parte riflesso e in parte trasmesso alla barra stessa. Se la

lunghezza dell’impulso è sufficientemente più lunga della lunghezza del provino, le

81

ripetute riflessioni che si realizzano garantiscono, nel provino stesso, che la

deformazione e la velocità di deformazione possano ritenersi uniformi. La lunghezza

dell’impulso è pari al doppio della lunghezza della striker bar. Le barre incidente e

trasmittente devono essere sufficientemente snelle da garantire l’instaurarsi di uno stato

di sforzo quanto più prossimo a quello uniassiale. La sezione delle barre è scelta in

modo tale che, data l’intensità dell’impulso generato, esse abbiano, durante la prova, un

comportamento elastico, mentre il provino, di sezione minore, si deforma plasticamente.

Figura 6.2 - Schematizzazione degli impulsi di deformazione alle interfacce barre provino 0.

Lo stato di sforzo e deformazione che si realizza nel provino durante la prova può essere

ricavato dalla conoscenza dei segnali di deformazione elastica sulle barre incidente e

trasmittente. Nella rappresentazione schematica del provino e delle barre di Figura 6.2,

sono riportati gli impulsi incidente, iε , riflesso, rε , e trasmesso, tε . Indicando con i

pedici 1 e 2 le due estremità del provino, i loro spostamenti possono essere scritti come:

1 0 10

2 0 20

t

t

u c dt

u c dt

ε

ε

=

=

∫

∫

(6.1)

in cui 0c è la velocità dell’onda elastica nelle barre di Hopkinson. Se si scrivono le

equazioni (6.1) in termini di impulsi incidente, riflesso e trasmesso, si ottiene:

( )1 00

2 00

t

i r

t

t

u c dt

u c dt

ε ε

ε

= −

=

∫

∫

(6.2)

82

con la usuale convenzione, nella dinamica dell’impatto, di assumere positivi gli sforzi e

le deformazioni di compressione. La deformazione media nel provino è:

1 2s

u uL

ε −= (6.3)

o, in termini d’impulso di deformazione:

( )0

0

t

s i r tc dtL

ε ε ε ε= − −∫ (6.4)

in cui L è la lunghezza del provino. Le forze alle estremità del provino possono essere

scritte come:

( )1

2

i r

t

P EA

P EA

ε ε

ε

= +

= (6.5)

in cui E e A indicano rispettivamente il modulo di Young e la sezione delle barre di

Hopkinson. La forza media è pari a:

( )2av i r t

EAP ε ε ε= + + (6.6)

Se si assume, per l’equilibrio, 1 2P P= ,si ha:

( )i r tε ε ε+ = (6.7)

e, quindi, dall’equazioni (6.4):

( )0

0

t

s t r r tc dtL

ε ε ε ε ε= − − −∫ (6.8)

Per un provino si sezione sA , si ottengono la deformazione, lo sforzo e la velocità di

deformazione, come:

0

0

2 t

s rc dt

Lε ε−

= ∫ (6.9)

s ts

AEA

σ ε= (6.10)

83

02s r

cL

ε ε−= (6.11)

6.2 Simulazione numerica della Hopkinson bar

L’assunzione fondamentale della teoria alla base del principio di funzionamento della

barra di Hopkinson è che lo stato di sforzo possa essere assunto uniassiale. Nel presente

lavoro si è verificato che tale ipotesi può essere considerata vera sia per la classica

configurazione a compressione della Split Hopkinson Pressure Bar, sia per una

configurazione alternativa, che permette di effettuare la prova direttamente in trazione.

6.2.1 Prova di compressione

Nelle simulazioni delle prove di compressione un provino di forma cilindrica con

diametro mmd 8= e lunghezza mml 4= è stato sottoposto all’impulso generato da

una striker bar lunga 250 mm . Il diametro, D , delle barre di Hopkinson è di 10 mm e

la loro lunghezza è mmL 1100= . Il materiale di cui è formato il provino è rame OFHC

le cui proprietà meccaniche sono riportate in Tabella 5.1. Le due barre di pressione e lo

striker sono costituite, invece, di un acciaio maraging per cui si è adottato un modello

elasto-plastico perfetto con carico di snervamento Y pari a 1764 MPa. Uno schema del

sistema di prova è riportato in Figura 6.3.

Figura 6.3 - Schema del sistema di prova della barra di Hopkinson a compressione simulato agli

elementi finiti.

84

Il rapporto 5.0/ =dl del provino ed il coefficiente d’attrito nullo tra le interfacce con le

due barre di pressione che lo trattengono, sono stati scelti allo scopo di riprodurre le

condizioni più favorevoli per minimizzare l’effetto delle inerzie e dei fenomeni

d’attrito. La simulazione numerica è stata effettuata con il codice implicito MSC.Marc:

la mesh che discretizza il campione è formata da elementi, in configurazione

assialsimmetrica, di forma rettangolare di dimensioni pari a 225.05.0 mm × ; l’intervallo

di tempo d’integrazione è stato scelto di st 710−=∆ che si rivela il giusto compromesso

tra la precisione richiesta e i tempi di calcolo reclamati dal fenomeno, la cui durata è

dell’ordine dei sµ500 . Per la discretizzazione delle barre di pressione sono stati

impiegati elementi rettangolari di dimensioni maggiori, 212 mm× . In Figura 6.4 è

riportato il particolare del modello che interessa le interfacce barre provino.

Figura 6.4 - Particolare dell'interfaccia tra barre e provino nella configurazione non deformata

iniziale.

Per modellare il contatto tra i corpi si è fatto ricorso a quattro mesh indipendenti,

ciascuna associata ad un singolo corpo deformabile (il provino, lo striker, e le due barre

di pressione) avendo cura di assegnare una maggiore risoluzione alla mesh che

rappresenta il provino con un duplice scopo:

seguire con precisione il moto di scorrimento sulle barre di pressione e

85

l’eventuale compenetrazione dei corpi a contatto;

monitorare l’evoluzione dei gradienti di tensione indotti.

Le storie temporali delle deformazioni acquisite sulle mezzerie delle barre di Hopkinson

hanno permesso di confrontare i risultati ottenuti numericamente con quanto previsto

dalla teoria. In Figura 6.5 si riportano gli andamenti delle onde di tensione registrate

durante la prova.

Figura 6.5 - Andamenti delle tensioni durante la prova di compressione.

Sono indicate in blu ed in rosso le storie di carico che registrano rispettivamente il nodo

disposto sulla barra incidente (che rileva l’impulso incidente e in seguito quello riflesso)

e quello presente sulla barra trasmittente o d’output (che registra solo l’impulso

trasmesso), per una prova in cui lo striker viaggia inizialmente ad una velocità di

sm /15 . L’onda di compressione iσ generata dall’urto con lo striker, propaga lungo la

barra fino a raggiungere l’interfaccia con il provino, dove, è parzialmente riflessa come

onda di trazione rσ e parzialmente trasmessa tσ nella barra d’output. L’impulso di

compressione iσ rilevato dal nodo che funge da estensimetro sulla barra incidente, ha

una forma pressoché rettangolare; tuttavia si distinguono in modo nitido sul suo fronte,

le tipiche oscillazioni di Pochhammer-Chree imputabili agli effetti d’inerzia radiale e

86

che si attenuano molto velocemente per via dell’elevato rapporto di snellezza

110/ =dl scelto per le barre.

La durata temporale e l’intensità dell’onda di tensione generata dall’urto rispettano

egregiamente le previsioni teoriche secondo cui, per uno stato di sforzo elastico,

unidimensionale si dovrebbe avere:

0 0 0

0

1 1 292.52 2

2 2 102.6

EC V V MPa

l lt sC E

σ ρ ρρ

µρ

= = ⋅ ≅

= = ≅

(6.12)

Anche la contemporaneità con cui le due onde riflessa e trasmessa giungono sui due

estensimetri opposti è più che buona. Altrettanto soddisfacente è l’accordo con le

previsioni teoriche per quel che riguarda l’equilibrio delle tensioni nel provino, sebbene

le due onde non abbiano una forma simile a quella rettangolare, è facile verificare che

per ogni istante di tempo risulta vero, con buona approssimazione, che la somma degli

impulsi riflesso e trasmesso uguaglia quello incidente:

( ) ( ) ( )ttt itr σσσ =+ (6.13)

Proprio la forma dell’onda riflessa contraddistingue in modo univoco la prova di

compressione: se si fa riferimento alla formula (6.11), si evince che gli strain rates

applicati al provino non sono perfettamente costanti, ma che i valori spesso citati nelle

prove sperimentali non sono altro che un valore "mediato" dei corrispettivi andamenti

temporali. A conferma di quanto detto, nella Figura 6.6 sono riprodotti alcuni andamenti

temporali delle velocità di deformazione subite dal provino, per diverse velocità

d’impatto.

I diagrammi sono stati ottenuti effettuando una campagna di prove con velocità

d’impatto crescenti della barra proiettile generando onde di sollecitazione la cui

ampiezza sia sempre inferiore al limite elastico del materiale costituente le barre di

Hopkinson, imponendo che:

YVC ≤= 00max 21 ρσ (6.14)

87

Figura 6.6 - Andamenti temporali degli strain rates per diverse velocità d’impatto.

Figura 6.7 - Diagrammi tensione-deformazione per le diverse velocità di carico.

Sono due le cause concomitanti che provocano gli andamenti decrescenti delle velocità

di deformazione:

il progressivo incrudimento del materiale;

88

l’aumento della sezione resistente opposta dal campione a causa dell’espansione

radiale per effetto Poisson.

Questo spiega gli andamenti temporali decrescenti e le pendenze maggiori per i casi in

cui si genera nel provino un’onda plastica più intensa. La conferma è fornita dagli

andamenti dei diagrammi tensione-deformazione, riportati in Figura 6.7, ottenuti

secondo la teoria, dall’analisi delle onde di deformazione riflessa e trasmessa registrate

dai trasduttori, attraverso le equazioni (6.9) e (6.10).

In seguito sono state eseguite due prove con la medesima geometria per mettere a

confronto il metodo d’integrazione Newmark β con il single step Houbolt. I risultati

ottenuti hanno dimostrato la sostanziale conformità dei due algoritmi di calcolo, ma a

favore del secondo metodo sembra deporre una maggiore stabilità dimostrata da una

distribuzione delle tensioni più regolare nei primi istanti di tempo dell’analisi. Ad

esempio in Figura 6.8 si è riportato l’andamento delle tensioni all’interno delle barre di

pressione (proiettile ed incidente) dopo un tempo st µ10=∆ , ottenuto con i due metodi

per la stessa velocità d’impatto smV /25 = .

Figura 6.8 - Distribuzione delle tensioni sull’asse di simmetria delle barre di pressione a

10 sµ dall’istante in cui è avvenuto l’impatto.

89

La distribuzione generata dal metodo di Houbolt modificato è certamente più regolare e

dotata di una perfetta simmetria rispetto all’asse d’impatto delle barre, contrariamente a

quanto fatto dal metodo di Newmark β che è sporcato da un rumore "di fondo"

incomprensibile. Come anticipato dagli sviluppatori del codice il primo metodo si

conferma più indicato per le analisi dinamiche che coinvolgono corpi a contatto ed in

cui è necessario attenuare l’effetto dei disturbi d’alta frequenza eccitati dall’urto. Aldilà

delle sottili divergenze iniziali però, i risultati delle analisi numeriche sul medio e lungo

termine si rivelano del tutto equivalenti, come confermato dagli andamenti delle onde di

deformazione riflessa e trasmessa misurate sugli estensimetri mostrate nella Figura 6.9.

Figura 6.9 –Onde di deformazione incidente e riflessa registrate sugli estensimetri dopo circa 320 µs

dall’impatto.

La condizione d’equivalenza dei due metodi d’integrazione numerica sul lungo periodo

è confermata anche dall’uguaglianza delle deformate finali del provino, che in ambo i

casi non hanno presentato, a causa dell’attrito nullo sulle interfacce con le barre, il

tipico profilo curvo a forma di botte. Il "barreling" è, infatti, un fenomeno molto

comune nelle prove di compressione dinamiche in cui la lubrificazione non si dimostra

del tutto efficace come mostrato nei dettagli della Figura 6.10.

90

Figura 6.10 – Confronto tra un provino cilindrico non deformato (a) ed i profili finali deformati con

barreling (b) e senza (c).

6.2.2 Prova di trazione

Per riuscire ad ottenere l’intera curva sforzo deformazioni, fino a rottura, è necessario

effettuare la prova alla barra di Hopkinson in trazione. Nel corso degli anni sono stati

concepiti numerosi dispositivi, alcuni dei quali assai ingegnosi, in grado di trasformare

l’impulso compressivo, generato dall’impatto, in un impulso tensile, [2]. Una

configurazione molto interessante è quella proposta da Staab e Gilat, perché è in grado

di generare direttamente un’onda di trazione, senza ricorrere dell’azione della barra

proiettile. Questo obiettivo si raggiunge accumulando nella parte posteriore della barra

incidente un precarico di deformazione, e lasciandolo in seguito libero di propagare

lungo la barra fino ad investire il provino, Figura 6.11.

Figura 6.11 - Schema funzionale dl dispositivo di Staab e Gilat.

91

Per realizzare un simile sistema di carico, si rendono necessari però, un servosistema

idraulico per porre in trazione la parte della barra preposta a tal fine, ed una morsa

capace di fissarne una sezione di lunghezza prefissata L . Forse è proprio la morsa a

rilascio istantaneo, l’elemento essenziale dell’impianto, e perciò la corretta

progettazione di questo assemblato ha ricadute immediate sulla qualità dell’impulso di

trazione prodotto. Un semplice schema funzionale della morsa, riprodotto nel

particolare di Figura 6.11, prevede l’azione concomitante di due bracci meccanici (con

le estremità fissate sulla loro parte inferiore) a serrare i lati della barra incidente sotto

l’azione di un bullone intagliato. Per far partire l’impulso di trazione, il bullone

sopraindicato è stretto finché non cede di schianto lasciando la barra libera di spostarsi

in senso assiale. In quel preciso istante un impulso di trazione, d’ampiezza pari alla

metà della deformazione elastica accumulata fino a quel momento, inizia a diffondere

nella barra d’input verso il provino. Contemporaneamente, in modo perfettamente

analogo, un’onda di rilascio d’uguale ampiezza inizia a muoversi dalla morsa verso

l’estremità opposta della barra che è vincolata al sistema servo-idraulico di trazione. A

causa dell’impedimento esercitato da questo dispositivo, quando l’onda di rilascio è

riflessa dall’estremità posteriore della barra, si annulla bruscamente l’ampiezza

dell’impulso che va generandosi. Il risultato del transitorio descritto è perciò un impulso

di trazione la cui durata è pari a: 02 CLt = (tempo che esso impiegherebbe per coprire

il doppio della distanza esistente tra la morsa ed il sistema di trazione) che si muove

lungo la barra di pressione in direzione del provino. E’ l’intensità dell’impulso che si

desidera generare a suggerire il tipo di materiale da impiegare per il bullone e la

profondità del relativo intaglio. Comunemente, però, i materiali utilizzati a tale scopo

sono le leghe d’alluminio Al 6061-T6 o Al 2024-T6, perché dotate di una duttilità

minima ma non di un eccessivo livello di fragilità che potrebbe persino impedire di

raggiungere il livello di deformazione richiesto durante il precarico. Questo tipo

d’impianto, che ultimamente sembra essersi confermato il più compatto ed affidabile in

assoluto, ha tratto ampia ispirazione dalle tecniche sperimentali già ampiamente

collaudate per altre tipologie di prove, basti pensare a come tecniche analoghe siano

state per lungo tempo un cardine delle prove dinamiche a torsione.

La prova a trazione con il dispositivo della barra di Hopkinson su provini di rame, è

stata simulata facendo ricorso ad un’unica mesh, formata dall’unione delle barre di

92

pressione e del provino interposto. La continuità del reticolo di calcolo si è resa

necessaria per schematizzare il comportamento del campione che, nella realtà, è

assicurato alle barre per via delle estremità filettate di cui dispone. Il provino ha la

caratteristica forma ad "osso di cane" come per le normali prove di trazione, ma

dimensioni più contenute, con un diametro mmd 4= , lunghezza utile mml 8= , e

raggio di raccordo mmr 1= ; mentre le barre hanno un diametro mmD 9= ed una

lunghezza mmL 1100= . Per rappresentare il comportamento del sistema di carico della

barra incidente, nel modello numerico, si è fatto uso di una speciale condizione di

vincolo denominata "tying". Ai nodi disposti sull’estremità remota della barra incidente

è stato imposto uno spostamento x∆ prefissato mentre i nodi della barra disposti su una

sezione radiale ad una distanza mmL 450= dall’estremità, sono stati bloccati per

simulare il sistema di tenuta della morsa. In seguito è stato istantaneamente rimosso il

vincolo così imposto e si è lasciato il sistema libero di evolvere. Così facendo si genera

nella barra incidente un’onda di trazione di durata CLt 2= e di ampiezza pari alla

metà della deformazione accumulata sulla parte "in tiro" della barra fino a qualche

istante prima. Il passo adottato per l’integrazione diretta del transitorio generato, ha

dimensioni variabili ed è pari a st 7102 −⋅=∆ finché l’onda di trazione non giunge sul

bordo della barra incidente, ma diventa pari a st 8105.4 −⋅=∆ per i successivi sµ190

quando l’onda elasto-plastica investe in pieno il provino.

Figura 6.12 – Particolare della mesh adottata per la discretizzazione del provino di rame puro.

93

La necessità di un time step variabile è dettata dalla durata temporale dell’intero

processo e dalla mesh di dimensioni variabili adottata per la geometria in esame. Le

dimensioni minime degli elementi approssimanti il provino sono di 225.020.0 mm× per

quelli disposti sulla sua parte rettilinea come mostrato nella Figura 6.12.

Diversamente dalle prove di compressione, in tutte quelle di trazione realizzate, si è

avuto cura di implementare nel codice di calcolo il modello di danneggiamento non

lineare presentato.

Le peculiarità salienti della prova di trazione si sono confermate:

gli andamenti degli strain rates sono più regolari rispetto alla prova di

compressione;

le problematiche connesse alle "oscillazioni" presenti nelle curve tensione-

deformazione, tipiche di buona parte delle prove di trazione ad elevate velocità

di deformazione, costituiscono un punto critico;

la rottura avviene a seguito del fenomeno di strizione.

Figura 6.13 - Andamenti delle onde di tensione registrate durante le prove.

94

Figura 6.14 - Andamenti temporali delle velocità di deformazione raggiunte.

Nelle prove simulate al calcolatore si è proceduto lasciando inalterata la geometria del

sistema ed inviando sul campione onde di sollecitazione d’ampiezza crescente. Dai

profili di deformazione registrati sugli estensimetri è emerso un andamento più regolare

di quanto non risulti nelle prove di compressione. La tipica forma delle onde di trazione

e di compressione registrate sulle barre di pressione è mostrata in Figura 6.13, in cui

appaiono ben visibili gli impulsi di trazione incidenti e gli impulsi di compressione

riflessi e, più deboli, quelli trasmessi.

La forma molto regolare degli impulsi riflessi è un buon indice degli andamenti

temporali delle velocità di deformazione imposte al provino. Facendo ricorso alla

relazione (6.11) si ottengono gli andamenti mostrati in Figura 6.14, contraddistinti da

forme molto simili agli andamenti ideali "a gradino" che sarebbero indicativi di una

prova con velocità di deformazione perfettamente costante.

Ciononostante, anche la prova di trazione presenta alcuni limiti intrinseci. Innanzi tutto,

rimane confermato dall’analisi agli elementi finiti che come suggerito da diversi

ricercatori, 0, è molto difficile ottenere informazioni attendibili sul comportamento del

materiale ad elevati strain rates nel campo elastico. Sono sostanzialmente due le cause

di tale difficoltà:

95

i fenomeni delle oscillazioni della risposta, che crescono con la velocità di

deformazione della prova;

la mancata uniformità dello stato di deformazione interno del campione e degli

strain rates imposti nei primi istanti del test.

Ad aggravare la disomogeneità del campo di deformazione contribuiscono anche le

forme e le dimensioni del provino adottato nella prova di trazione. Tali problematiche

fanno in modo che il modulo di Young del materiale misurato in condizioni dinamiche

si riveli per diversi materiali, minore di quello ottenuto con prove di trazione

quasistatiche.

A conferma di quanto appena detto, in Figura 6.15, sono riportati gli andamenti dei

diagrammi εσ − ottenuti con diverse velocità di carico per lo stesso materiale.

Figura 6.15 - Curve tensione-deformazione ottenute per diverse velocità di carico.

Nella realtà esiste per le prove realizzate attraverso il dispositivo della barra di

Hopkinson, anche un limite superiore d’applicabilità, determinato dalle deformazioni

plastiche accumulate. La condizione di monodimensionalità dello stato tensionale,

infatti, cessa di esistere non appena il provino inizia a subire una localizzazione del

flusso plastico a causa del fenomeno del necking. Come per gli altri test di trazione

uniassiale, quando il processo di strizione localizza sul provino, non è più possibile

convertire attraverso la semplice teoria proposta, gli spostamenti delle barre di pressione

nella curva dello strain rate subito dal materiale in prova. Durate il processo di

96

necking la velocità di deformazione cresce localmente ben oltre i valori che si registrano

nelle condizioni di deformazione uniforme. Nella Figura 6.16 sono riportati gli

andamenti delle velocità di deformazione registrate per una prova in cui il provino è

stato deformato fin quasi a rottura ( 6.0≅D ). Come si può facilmente constatare, le

misure effettuate "localmente" con degli estensimetri virtuali di lunghezza decrescente,

confermano che la velocità di deformazione cresce notevolmente a causa del necking

Figura 6.16 - Misure degli strain rates effettuate con estensimetri di lunghezza variabile.

Figura 6.17 – Distribuzione del danno sulla deformata finale del provino dopo la rottura.

97

Quando l’effetto combinato della triassialità dello sforzo, della temperatura crescente

(causata dal riscaldamento adiabatico del provino) e del danno accumulato con la

deformazione plastica, sono spinte all’eccesso si provoca il cedimento del provino che

presenta la rottura coppa-cono tipica dei materiali duttili mostrata nella Figura 6.17.

6.2.2.1 Prove di trazione con ARMCO-iron

Il campo d’applicazione del dispositivo di Kolsky per le prove di trazione può essere

esteso ben oltre l’inizio del necking facendo ricorso alle capacità della fotografia ad alta

velocità. Sono attualmente disponibili, infatti, cineprese a tamburo rotante capaci di

acquisire fino a 200000 frames in un secondo con tempi d’esposizione inferiori ai sµ4 .

Di questa tendenza affermatasi negli ultimi anni, ci si è avvalsi di recente, per effettuare

un confronto approfondito tra dati sperimentali e risultati di natura numerica. Nella

Figura 6.18 ad esempio è riportata una tipica sequenza fotografica realizzata durante

una prova di trazione con la barra di Hopkinson ad intervalli di sµ10 .

Per esaminare la validità dei modelli costitutivi adottati nelle simulazioni assistite da

calcolatore si può effettuare un confronto tra le deformate reali e numeriche accumulate

durante alcuni test come il cilindro di Taylor o i proiettili forgiati tramite esplosivi. Di

recente Noble et al., [3], hanno evidenziato che per le prove di trazione, la riduzione

dell’area nella zona di strizione e gli incrementi di temperatura ivi registrati, sono due

parametri di confronto assai più sensibili. Soprattutto le previsioni riguardanti la

temperatura, sono molto importanti quando si fa ricorso a modelli costitutivi avanzati

che implementano una dipendenza esplicita da questo parametro. Dal momento che il

legame costitutivo del materiale e la legge d’evoluzione del danno, integrate nel calcolo,

sono contraddistinti da una forma spiccatamente non lineare, si è cercata una conferma

dei parametri numerici utilizzati nelle simulazioni attraverso un confronto con alcune

prove sperimentali rinvenute in letteratura. Sono così state svolte, prove di trazione su

provini di ARMCO-iron con diametro mmd 3= e lunghezza utile mml 8= lasciando

inalterata la geometria dell’intero impianto, ed utilizzando per gli elementi formanti la

mesh dimensioni minime di 225.025.0 mm × (come visualizzato in Figura 6.19) con

tempi inferiori d’integrazione pari a st 8104 −⋅=∆ .

98

Figura 6.18 - Sequenza fotografica per una prova di trazione.

Le costanti adottate per il legame costitutivo di Johnson e Cook e per il modello di

danno di Bonora, per il materiale in esame, sono elencate rispettivamente nelle Tabella

5.1 e Tabella 5.4.

La prima serie di prove ha puntato a verificare la fondatezza del valore dello

smorzamento numerico iγ scelto per le analisi numeriche effettuate. Sono stati

confrontati, a tal fine, i profili teorici e numerici assunti dall’onda di trazione che

propaga nella barra incidente. Le prove numeriche sono state svolte adottando nei tre

99

casi valori di iγ pari rispettivamente a: 0.4, 0.8 ed 1.2 come visualizzato nella Figura

6.20.

Figura 6.19 - Mesh adottata nelle prove con ARMCO-iron.

Figura 6.20 – Confronto tra il profilo teorico e quelli numerici dell’onda di trazione.

Gli andamenti dell’impulso incidente risultano in ogni caso abbastanza vicini

all’impulso ideale a gradino che dovrebbe assumere un’ampiezza 31075.3 −⋅=incε ed

una durata st µ 185=∆ . Ciò nonostante il giusto compromesso, tanto per le oscillazioni

dovute alle inerzie radiali, quanto per il livello di deformazione raggiunto, è garantito

100

dal valore di 8.0=iγ .

In seguito si è proceduto con un confronto tra risultati numerici e valori sperimentali

registrati in tre prove distinte su provini dalla geometria identica. Sono stati così

confrontati gli andamenti temporali della riduzione percentuale dell’area del provino

causata inizialmente dalla deformazione uniforme e dopo dal necking. Com’è evidente

il trend della simulazione segue in modo soddisfacente gli andamenti delle misurazioni

sperimentali per le quali sono diagrammati il valore minimo, medio e massimo delle tre

prove, Figura 6.21.

Figura 6.21 - Confronto tra dati numerici e sperimentali della strizione.

D’altronde uno scostamento del 3 o 4% sui valori massimi della strizione è

oggettivamente una soddisfacente conferma della validità del modello di danno non

lineare anche per le situazioni (come quella in esame) che coinvolgono evoluzioni

temporali dello stato di triassialità dello sforzo. Non bisogna trascurare che prima di

giungere alla rottura del provino lo stato tensionale interno per questo ultimo, muta

notevolmente, passando da una sollecitazione pressoché monoassiale ad una

marcatamente triassiale. La deformata finale del provino, un istante dopo la rottura, è

riportata in Figura 6.22, da essa sono stati rimossi gli elementi della mesh che hanno

raggiunto il limite critico del parametro di danno. Come si nota chiaramente

101

l’asimmetria di carico, imposta nella prova, causa la rottura del campione non in

corrispondenza della sua linea di simmetria ma su una sezione radiale disposta ad una

distanza dalla prima di circa mm 1

Figura 6.22 - Deformata finale del provino di Armco iron un istante dopo la rottura.

Figura 6.23 - Confronto tra valori numerici e sperimentali degli strain rates.

102

Questo particolare conferma il buon esito del calcolo, riproducendo l’essenza del

fenomeno reale, così come fatto anche dagli andamenti delle velocità di deformazione

sperimentate dal campione e riportate in Figura 6.23. In essa sono stati confrontati gli

andamenti sperimentali ottenuti tenendo sotto controllo due punti del provino per mezzo

della fotografia ad alta velocità, e gli analoghi andamenti temporali registrati nella

simulazione numerica.

L’altro parametro d’interesse per le simulazioni termo-meccaniche eseguite è la

temperatura. È già stato precisato che il lavoro plastico di deformazione compiuto sui

materiali di natura metallica è dissipato sotto forma di calore. Per i carichi dinamici

molto veloci s’instaurano, molto spesso, le condizioni di adiabaticità del fenomeno

perché il calore è dissipato con una velocità notevolmente inferiore a quella con cui è

generato localmente. In questi casi un’analisi semplificata, suggerisce di imporre che

un’aliquota costante k del lavoro di deformazione è convertita in calore causando

l’innalzamento della temperatura del materiale. Utilizzando un coefficiente di

conversione 95.0=k , avvalorato dagli studi effettuati in tale ambito negli ultimi anni,

si è monitorata l’evoluzione temporale della temperatura nel punto più deformato del

campione. Come confermato dalla simulazione numerica e dalla Figura 6.24, il provino

subisce un notevole aumento della temperatura fino oltre i C°250 ma, soprattutto, la

velocità di crescita di questa ultima cambia repentinamente quando localmente si

instaura il fenomeno del necking, aumentando di circa CT °=∆ 180 in meno di

st µ85=∆ .

Il notevole incremento della temperatura è stato confermato nelle prove sperimentali per

mezzo di una camera di scansione termica ad infrarossi. Con l’ausilio di questo

dispositivo si è riusciti ad ottenere, durante le prove sperimentali, la distribuzione della

temperatura sulla superficie del provino qualche istante dopo la rottura. Il confronto tra

valori sperimentali e numerici è presentato in Figura 6.25 e non deve colpire l’apparente

disuniformità dei dati, causata in realtà dai limiti del dispositivo di misura della

temperatura, incapace di acquisire immagini in un intervallo di tempo st µ400<∆ . La

realtà è che la mappatura della temperatura sperimentale è stata eseguita circa ms 2

dopo l’avvenuta rottura del provino, un intervallo di tempo cospicuo se si confronta con

i tempi di rottura di circa sµ180 . Questo ritardo può aver causato la ridistribuzione

della temperatura nelle immediate vicinanze della zona di frattura, che per la

103

simulazione numerica è risultata la più sollecitata come ampiamente anticipato dalla

teoria.

Figura 6.24 - Variazione della temperatura nel punto più sollecitato del provino.

Figura 6.25 - Distribuzioni della temperatura dopo la rottura del provino.

104

6.3 Conclusioni

Le simulazioni numeriche effettuate hanno permesso di verificare che nella prova alla

barra di Hopkinson, lo stato di sforzo che viene a realizzarsi sia effettivamente molto

prossimo ad uno stato unidimensionale.

Si è verificato, inoltre, che con un’attenta progettazione della prova, nello specifico

geometria del provino in relazione alla geometria delle barre e alle impedenze

meccaniche dei materiali utilizzati, la deformazione e la velocità di deformazione

possono essere ritenute, con buona approssimazione, uniformi all’interno del provino.

Questo è di importanza rilevante, in quanto, permette di accettare i risultati ottenuti con

questa tecnica sperimentale come identificativi del comportamento meccanico del

materiale in regime dinamico.

Si è riscontrato che i limiti maggiori in tale tecnica sperimentale sono dati dalla

difficoltà di mantenere costante, durante l’intera durata della prova, la velocità di

deformazione. In particolare si è osservato come nella prova di compressione la velocità

di deformazione decresce a causa dell’aumento di sezione per effetto poisson. Nella

prova a trazione, al contrario, è proprio l’effetto di strizione a consentire il

mantenimento di un’elevata velocità di deformazione ad un valore pressoché costante.

Dall’esperienza acquisita con le analisi numeriche effettuate si è partiti per la

progettazione e di una barra di Hopkinson a trazione in fase di realizzazione. Le barre

sono state dimensionate in modo da permettere la caratterizzazione del comportamento

meccanico in regime dinamico di materiali metallici quali il rame, gli acciai, alcune

leghe di nichel, come il waspaloy etc. Particolare attenzione ha richiesto la

progettazione del sistema di afferraggio. Al buon funzionamento di tale sistema, infatti,

è condizionata la limpidezza dell’impulso di trazione generato e, quindi, la pulizia della

prova effettuata.

105

Bibliografia




1990.

[3] Noble, J.P., Goldthorpe, B.D., Church, P. e Harding, J., "The use of the

Hopkinson bar to validate constitutive relations at high rates of strain", Journal

of the Mechanics and Physics of Solids, 47, pp. 1187-1206, 1999.

106

7 Flyer Plate Impact Test

L’esperimento del Flyer Plate Impact Test consiste nel realizzare un impatto planare, a

velocità nota, tra due dischi sottili. Un rapporto diametro su spessore elevato (D/h>10)

garantisce uno stato di deformazione uniassiale in prossimità dell’asse di simmetria dei

dischi. Questa configurazione sperimentale rappresenta una delle poche configurazioni

geometriche per le quali la trattazione teorica, come descritta al paragrafo 2.2.5, è

disponibile in forma esatta e può essere utilizzata per la verifica ed il confronto con i

risultati numerici. Come è già stato introdotto, è possibile, anche per impatti iperveloci,

generare un’onda di shock, perciò il Flyer Plate Impact Test è generalmente utilizzato

per determinare la curva di Hugoniot del materiale. Si ricorda che tale curva non è

percorsa durante il processo di caricamento, ma rappresenta il luogo dei punti di

equilibrio raggiunti per diverse condizioni della pressione d’impatto; in altre parole,

ogni esperimento permette di determinare un solo punto sulla curva.

Questo test è largamente utilizzato anche per il particolare tipo di rottura che è in grado

di produrre nel disco bersaglio. Tale rottura, denominata spalling, avviene per una

trazione localizzata provocata dalla sovrapposizione dell’onda di compressione, riflessa

sulla superficie libera del target, e della sopraggiungente onda di rilascio.

Nell’esperimento, la misura è effettuata mediante la rilevazione, ad esempio attraverso

tecniche d’interferometria laser, del profilo di velocità di un punto situato sulla

superficie posteriore del disco bersaglio, Figura 7.1 b. La lettura del profilo permette di

ricavare tutte le informazioni necessarie ad identificare il comportamento meccanico del

materiale. La comprensione dei tratti caratteristici del profilo di velocità, può essere

agevolata dal diagramma lagrangiano di Figura 7.1 a, in cui sull’asse delle ascisse è

riporta la distanza lungo gli spessori dei due dischi e sulle ordinate il tempo. Tale

diagramma permette di visualizzare, con tratti di retta, i fenomeni di propagazione e

riflessione delle onde durante il processo d’impatto; la pendenza del tratto di retta che

rappresenta una data onda ne indica la sua velocità di propagazione.

Al momento dell’impatto, 0t = , le onde elastiche, generate alla superficie di contatto,

iniziano a propagare in direzione delle superfici posteriori dei due dischi. Se il materiale

che costituisce i due dischi è lo stesso, l’impatto è denominato simmetrico: allora, le

onde propagheranno alla stessa velocità e saranno rappresentate da tratti di retta

107

simmetrici rispetto alla superficie d’impatto. Nel caso in cui il limite elastico di

Hugoniot sia superato, saranno generate due onde plastiche, che propagheranno alla

velocità determinata dall’equazione (2.4), con gli stessi meccanismi descritti per le onde

elastiche.

Figura 7.1 – a) Diagramma lagrangiano caratteristico di un impatto planare simmetrico; b) Tipico

profilo di velocità rilevato in un Flyer Plate Impact Test.

Distance from impact plane

σx

Ce

Cp

Cp

Ce

Lp

Figura 7.2 - Onda di stress generata in un Flyer Plate Impact Test a velocità moderata.

Le due onde, elastica e plastica, che viaggiano nel proiettile raggiungono la sua

superficie libera e vengono quindi riflesse come onde di trazione. Quando queste

raggiungono la superficie d’impatto, ct t= , entrano nel disco proiettile come onde di

rilascio e i due dischi, che fino a questo momento viaggiavano uniti, si separano.

A questo punto nel disco impattato si sta propagando il caratteristico impulso a gradino,

schematizzato in Figura 7.2, la cui forma è dovuta alla differenza di velocità di

Distanza lungo lo spessore

108

propagazione degli impulsi elastici e plastici. La lunghezza dell’impulso, pL , è pari al

doppio dello spessore del disco proiettile.

Quando l’impulso raggiunge la superficie posteriore del disco bersaglio, questa viene

accelerata e il fenomeno può essere seguito dalla lettura del profilo di velocità. Con

l’arrivo delle onde di compressione, elastica e plastica, la velocità della particella sale,

dapprima, fino al valore che compete al limite elastico di Hugoniot, punto “A”, e poi al

valore massimo del plateau orizzontale. L’arrivo dell’onda elastica di rilascio abbassa la

velocità fino al valore corrispondente al punto “D”, mentre il processo di scaricamento è

completato dall’arrivo dell’onda di rilascio plastica, curva tratteggiata in Figura 7.1.

L’onda riflessa dalla superficie posteriore del disco bersaglio si sovrappone alla

sopraggiungente onda di rilascio, su un piano che ritrova ad una distanza, dalla

superficie libera, pari allo spessore del disco proiettile. Tale sovrapposizione genera un

impulso di trazione che, se sufficientemente elevato, provoca la rottura per spalling. In

tal caso, l’onda generata dalla separazione delle superfici di rottura, una volta raggiunta

la superficie libera, provoca la risalita della velocità e il caratteristico segnale

denominato “spall signal”.Nel caso in cui la velocità d’impatto sia tale da generare

un’onda d’urto, il suo profilo potrebbe essere schematicamente descritto dalla Figura

7.3, e sul profilo di velocità non sarà più presente lo scalino dovuto al precursore

elastico.

Distance from impact plane

σx

C

Figura 7.3 - Profilo di un'onda d'urto.

109

7.1 Simulazione numerica del Flyer Plate Impact Test

La configurazione del Flyer Plate Impact Test, come detto in precedenza, permette di

realizzare uno stato di deformazione uniassiale in prossimità dell’asse di simmetria dei

dischi. Tale condizione rende superflua, in questa prima fase del lavoro, la

discretizzazione dei due dischi nella loro interezza e, quindi, la geometria da modellare

può essere ridotta ad una semplice striscia di elementi in deformazione piana, in cui gli

spostamenti verticali siano impediti. Tale modello è indicato col termine “single strip

model”. Le dimensioni di ciascun elemento, scelte coerentemente all’RVE legato al

modello di danno utilizzato, sono di 20,1 0,1mm× . L’uso del modello di danno permette,

attraverso la tecnica dell’element removal, la creazione della superficie di rottura una

volta realizzate le condizioni di spall. In condizioni d’impatto planare, l’evoluzione del

danno con la deformazione plastica è estremamente limitata, a causa della riduzione

duttilità, a valori prossimi alla deformazione di soglia, per l’elevata triassialità dello

stato di sforzo. In questo caso, il modello CDM è simile ad un criterio di rottura

improvvisa, ma la rottura è il risultato dell’accoppiamento geometria e materiale e non

richiede procedure di calibrazione post test.

La prima simulazione volta alla verifica delle capacità di previsione del modello

numerico realizzato, ha riguardato l’impatto simmetrico di due dischi di rame OFHC

secondo la configurazione riportata in [1], per la quale sono a disposizione i risultati

sperimentali. Le proprietà meccaniche del materiale sono riportate in Tabella 5.1, lo

spessore del disco proiettile è di 2mm , quello del disco bersaglio di 9mm , la velocità

d’impatto è di 185m s . Nonostante i parametri di danno per il rame siano

sufficientemente noti, Tabella 5.4, il valore della deformazione di soglia è stato

calibrato sul tempo di risalita dello spall signal, 0,01thε = .

La discordanza potrebbe essere imputata al fatto che il primo impulso di compressione,

sebbene non possa generare danno in senso stretto, in virtù del fatto che lo stato di

sforzo è compressivo, potrebbe causare delle modificazioni microstrutturali, quali, ad

esempio la rottura delle inclusioni, in grado di abbattere il valore della deformazione di

soglia. Tale speculazione andrebbe verificata con una campagna sperimentale ad hoc.

Le analisi sono state effettuate con entrambi i codici di calcolo: MSC:Marc e Autodyn.

Attenzione particolare è stata dedicata agli effetti dello smorzamento numerico sui

110

risultati delle simulazioni. Per il codice in formulazione implicita, a seguito di un’analisi

parametrica si sono scelti per i valori dei coefficienti dell’equazione (4.15), 0,0α = ,

0,0β = e 0,4γ = . Nelle simulazioni effettuate con il codice esplicito si è trovato che i

valori suggeriti dei coefficienti lineare e quadratico dell’equazione (4.21), sono troppo

elevati. In Figura 7.4 sono riportati a confronto i profili di velocità calcolati, con

entrambi i codici, con i coefficienti di smorzamento numerico scelti e con i coefficienti

consigliati per Autodyn.

Figura 7.4 – Effetto dello smorzamento numerico sui risultati delle simulazioni numeriche.

Figura 7.5 - Confronto tra il profilo di velocità ottenuto numericamente ed i dati sperimentali.

111

Infine, il confronto tra il profilo di velocità calcolato e i dati sperimentali, Figura 7.5,

permette di verificare la capacità del modello di riprodurre tutte le caratteristiche chiave

dell’esperimento quali: i tempi di arrivo del precursore elastico e dell’onda plastica sulla

superficie libera del bersaglio; l’intensità e la durata del plateau di massima velocità; i

tempi di arrivo delle onde di rilascio, elastica e plastica.

Figura 7.6 – Evoluzione nel tempo della distribuzione della triassialità dello stato di sforzo, lungo lo

spessore del provino.

Figura 7.7 - Evoluzione nel tempo del danno lungo o spessore del disco bersaglio.

In Figura 7.6, è riportata la distribuzione della triassialità dello stato di sforzo a cavallo

Spessore del piano

di spall 150 µm

112

della superficie di spalling, per diversi istanti di tempo durante il processo di frattura.

Nonostante si abbiano alti valori della triassialità per un tratto considerevole dello

spessore del disco, la rottura si ha solo per la porzione di materiale interessata dal valore

di picco della stessa.

In Figura 7.7, la corrispondente evoluzione del danno è data dall’innesco del

danneggiamento all’avvenuta rottura. L’ area tratteggiata rappresenta la distribuzione

del danno al termine del processo di rimozione degli elementi. Una conferma dell’entità

delle dimensioni della regione danneggiata è data dai risultati sperimentali riportati da

Christy et al., [2], in Figura 7.8.

Figura 7.8 – Distribuzione della porosità nel rame per impatti a diverse pressioni, [2].

113

7.2 Analisi dello “Spall Signal”

Lo spall signal, come definito in Figura 7.1 b, è la parte del profilo di velocità, che ha

inizio quando l’onda di spall raggiunge la superficie di libera del disco bersaglio. Nelle

simulazioni numeriche effettuate e in quelle riportate in letteratura, per le quali sono

stati utilizzati modelli di danno differenti, si trova che il secondo picco di velocità e la

pendenza iniziale dello spall signal sono sempre superiori a quelli rilevati

sperimentalmente.

Figura 7.9 - Confronto tra gli Spall Signals calcolato e misurato per il rame OFHC.

In Figura 7.9 è riportato il particolare del confronto tra gli spall signals, per la

configurazione già analizzata in Figura 7.5. Si prende come tempo di riferimento

iniziale, il momento in cui la prima onda di spall arriva sulla superficie libera e inverte

l’andamento del profilo di velocità. Poiché, in questo diagramma, la pendenza della

curva è una misura dell’accelerazione del punto materiale, la minore pendenza della

curva sperimentale indica una perdita di quantità di moto che, per forza di cose, deve

essere imputata a fenomeni irreversibili. Tali fenomeni devono aver luogo in una fase

successiva al processo di rottura e deve essere legato al meccanismo di separazione

delle superfici di spall.

Da un punto di vista fisico, tale separazione deve essere dipendente dalla microstruttura

del materiale e dal proprio modo caratteristico di frattura. Ad esempio, sebbene sia nel

114

rame sia nell’alluminio, il danno si sviluppa, con la deformazione plastica, con la

nucleazione e la crescita di microvuoti, il processo di coalescenza può essere, nei due

materiali, considerevolmente diverso. Come schematicamente illustrato in Figura 7.10,

per l’alluminio puro, la completa separazione è dovuta alla coalescenza per “voids

sheeting” che, essendo un meccanismo sostanzialmente fragile, richiede una bassa

energia di deformazione;. per il rame, la coalescenza avviene per necking dei legamenti

tra i vuoti, attraverso un meccanismo duttile che richiede un notevole ammontare di

energia.

Ductile failure with “brittle” (low strain energy) intervoid ligament

rupture

Ductile failure with “ductile” (high strain energy) intervoid ligament

rupture

Ductile failure with “brittle” (low strain energy) intervoid ligament

rupture

Ductile failure with “ductile” (high strain energy) intervoid ligament

rupture

Figura 7.10 – Differenti meccanismi di coalescenza dei microvuoti nella rottura duttile.

Poiché il processo di formazione dei piani di spall è analogo al processo di formazione

di una cricca duttile, utilizzando gli strumenti della meccanica della frattura, è possibile

quantificare il lavoro necessario alla generazione delle due superfici libere.

L’energia necessaria alla generazione di due superfici libere è pari a:

2G = Γ (7.1)

in cui Γ è l’energia libera di superficie che comprende i contributi elastico e plastico,

mentre G è il rateo di rilascio di energia di deformazione che può essere correlata al

valore della tenacità del materiale, ICK . Anche se questo è un concetto puramente

lineare elastico, può ancora essere considerato un valore di riferimento per il caso in

Rottura fragile dei legamenti tra i vuoti - bassa energia di deformazione

Rottura duttile dei legamenti tra i vuoti - elevata energia di deformazione

115

esame, in quanto la deformazione plastica lungo il piano di spall è estremamente

contenuta. Di conseguenza:

21

2IcK

EαΓ = (7.2)

Assumendo la tenacità a frattura del rame pari 60MPa m , ricordando che per uno

stato di deformazione piana è ( )21α ν= − , si ottiene 22000J mΓ .

Poiché, nella simulazione numerica, non è stato tenuto in conto il meccanismo di

separazione descritto, l’energia dissipata, per unità di superficie, può essere ricavata

dalla differenza tra il segnale di spall calcolato e quello misurato, attraverso la relazione:

22

1 1 38422

peff p

b

LW Jv LS L m

ρ ⎛ ⎞∆ ⎟⎜= ∆ − =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∆ (7.3)

in cui è la densità del materiale, pL e bL sono gli spessori rispettivamente del disco

proiettile e di quello bersaglio e

[ ]2

exp0

1 ( ) ( )T

eff femv v t v t dtT

∆ = −∫ (7.4)

Dividendo il risultato dell’equazione (7.3), per le due superfici, si ottiene 21921J mΓ , che è in ottimo accordo con il valore stimato con gli strumenti della

meccanica della frattura.

7.2.1 Modello numerico

La verifica, che il meccanismo di dissipazione descritto possa, potenzialmente, essere

responsabile della differenza tra gli spall signals calcolato e misurato, è stata effettuata

implementando, nella simulazione agli elementi finiti, un sistema costituito da molle

non lineari a cavallo del piano di spall. La rigidezza del sistema di molle è diminuita

progressivamente all’aumentare della distanza di separazione. Al raggiungimento di

un’apertura critica 0u , la forza fittizia viene annullata. La legge forza-spostamento

scelta è di forma simile a quella che descrive il legame dei piani cristallini:

0

sin uf Ku

απ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎟⎜ ⎜= ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (7.5)

116

in cui K è l’ampiezza, 0u l’apertura critica, α un esponente di forma, il cui effetto è

illustrato in Figura 7.11. I valori di K e 0u sono stati scelti imponendo che l’area sotto

la curva nel diagramma forza spostamento sia uguale al lavoro dissipato durante il

processo di separazione.

Figura 7.11 - Effetto del coefficiente di forma α sulla risposta del sistema di molle non lineare.

Figura 7.12 - Profilo di velocità calcolato con l’impiego del sistema di molle non lineare a confronto

con i risultati sperimentali.

La Figura 7.12 riporta il profilo calcolato con il modello numerico descritto a confronto

117

con il risultato sperimentale, è importante sottolineare come l’azione delle molle non

lineari nella prima fase del processo di separazione influenzi l’evoluzione dell’intero

segnale di spall.

7.3 Effetti geometrici sul processo di frattura per spalling

La condizione necessaria affinché durante l’impatto si realizzi uno stato di

deformazione uniassiale, come precisato in precedenza, è che nella regione d’interesse,

per l’intera durata del processo, non si senta l’influenza degli effetti di bordo. Anche nel

caso di dischi sottili, la condizione di deformazione uniassiale si realizza

esclusivamente in prossimità dell’asse di assialsimmetria in quanto l’onda di

deformazione radiale, che si genera al bordo libero, necessita, per raggiungere l’asse, di

un tempo maggiore a quello richiesto dall’intero fenomeno. Al diminuire del rapporto

diametro/spessore gli effetti di deformazione radiale possono intervenire direttamente

sulle modalità e localizzazione del processo di rottura per spall. A questo proposito sono

state analizzate diverse configurazioni di Flyer Plate Impact in cui il diametro del flyer è

stato progressivamente ridotto mantenendo inalterate le altre dimensioni e la velocità di

impatto.

Le simulazioni numeriche sono state effettuate utilizzando entrambi i codici numerici

presentati con lo scopo di valutare eventuali effetti dovuti alle diverse formulazioni.

Per uno spessore del flyer di 2mm sono stati esaminati i casi con un diametro di 32 ,

16 , 8 , 4 , e 2mm rispettivamente, come illustrato in Figura 7.13.

Nelle analisi agli elementi finiti è stato utilizzato un elemento a quattro nodi in

formulazione assialsimmetrica con altrettanti punti di gauss cercando di mantenere, per

quanto possibile, costante il livello di discretizzazione del modello al fine di evitare

possibili effetti di mesh. Entrambi i corpi sono considerati deformabili nel contatto. Il

criterio di rottura utilizzato nella simulazione con MSC/MARC fa riferimento al

modello di danno non lineare precedentemente descritto. Nelle simulazioni effettuate

con il codice lagrangiano AUTODYN si è adottato un criterio di rottura basato sulla

pressione massima il cui valore è stato stimato dalle prove effettuate, utilizzando il

modello di danno non lineare, con il codice implicito.

118

D/h=16 D/h=8 D/h=4 D/h=2 D/h=1

t=9 mm

V=185 m/s

Figura 7.13 - Schema riassuntivo delle configurazioni geometriche esaminate.

a) b)

c) d)

Figura 7.14 - Profili di velocità calcolati numericamente per le diverse configurazioni geometriche e con velocità d’impatto di 185m/s: a) D/h=16; b) D/h=8; c) D/h=4; d) D/h=2.

119

In Figura 7.14 a-d sono riportati i profili di velocità rilevati sulla superficie posteriore

del target per le diverse configurazioni. Un valore del rapporto D/h pari a 16 è ancora in

grado di garantire che lo stato di deformazione sia, per lo meno sull’asse di simmetria,

unidimensionale. Per valori più piccoli del rapporto D/h, Figura 7.14 b, si verifica

ancora una rottura per spall, come si può rilevare dalla risalita del segnale di velocità,

anche se gli effetti associati alla deformazione radiale iniziano ad influenzare il processo

di propagazione delle onde lungo l’asse di simmetria riducendo la durata del plateau di

velocità. Per un’ulteriore diminuzione del rapporto D/h la propagazione dell’onda di

sforzo diviene, a causa dell’influenza degli effetti di bordo, sempre più complessa. Nei

profili di velocità riportati in Figura 7.14 c e d, hanno ormai perso ogni attinenza con le

soluzioni di riferimento precedentemente illustrate. L’unica caratteristica ancora

evidente è la discontinuità a cui corrisponde il limite elastico di Hugoniot. In queste

condizioni non è più possibile stabilire sulla base della sola analisi del segnale di

velocità la presenza o meno di cedimento per spall.

a) b) Figura 7.15 - a) deformata e stato del materiale ottenuti con AUTODYN per velocità d’impatto di

185m/s e D/h=16; b) deformata e mappa del danno ottenuti con MSC/MARC per velocità d’impatto di 185m/s e D/h=16.

Nelle Figura 7.15 a e b vengono riportate le deformate e le mappe di danno ottenute

rispettivamente con AUTODYN e con MSC/MARC per due configurazioni simili,

caratterizzate da un elevato rapporto D/h. Per entrambe le simulazioni si ritrova il

120

cedimento per spall caratteristico di un impatto planare. Le distribuzioni di

danneggiamento ottenute con i due criteri adottati confermano la stretta correlazione

esistente tra variabile di danno e pressione idrostatica nelle condizioni di stato di

deformazione uniassiale.

Al diminuire del rapporto D/h la rottura interessa superfici del bersaglio sempre più

piccole. Si è osservato che l’innesco dei processi di rottura per spalling, nel caso di

configurazioni di diverso diametro del target e del flyer, non avviene mai in

corrispondenza dell’asse di simmetria dove invece è atteso dalla teoria. La rottura ha

luogo ad una distanza da tale asse che risulta essere in stretta correlazione con le

dimensioni del diametro del flyer, cosi come la localizzazione del piano di spall è legata

allo spessore dello stesso.

Il motivo per cui la frattura per spalling inizia fuori dall’asse di simmetria può essere

trovato nella differente forma dell’onda di compressione in corrispondenza del bordo

libero del disco proiettile, rispetto a quella sull’asse di simmetria, Figura 7.16.

Figura 7.16 - Impulso di compressione in due differenti posizioni lungo il raggio del disco bersaglio:

sull’asse di simmetria in blu e in corrispondenza del bordo libero del proiettile in nero.

Il bordo libero del proiettile è la superficie su cui l’onda di compressione, generata

nell’impatto, è immediatamente riflessa come onda di trazione. Questa, entrando come

onda di rilascio nel disco bersaglio, scarica parzialmente l’onda di compressione

modificandone il profilo. Tale profilo, di forma triangolare, riflesso dalla superficie

121

libera raggiunge più rapidamente, rispetto all’onda quadra, la condizione di massimo

sforzo di trazione. Se sufficientemente severo, l’impulso tensile porta alla rottura per

spalling il materiale prima di quanto non faccia la corrispondente onda sull’asse di

simmetria.

Una volta innescato, il processo di rottura si propaga radialmente fino ad interessare

l’asse di simmetria.

Questo fenomeno stabilisce le condizioni per la massima estensione radiale della

superficie interessata dal processo di rottura. Dal punto di vista quantitativo, si è

osservato che la localizzazione del primo innesco dei processi di rottura può essere

stimato attraverso la pendenza di una retta ideale, tracciata a partire dallo spigolo del

flyer ed incidente il piano di spall, Figura 7.17. Dalle simulazioni effettuate si è

verificato la costanza del valore di questo angolo per tutte le configurazioni esaminate.

θ

symmetry axis

Spall plane

First spall

Boundary-effectline

Figura 7.17 - Schema geometrico della localizzazione dell’innesco del processo di spall.

Inoltre, sempre sulla base di questo criterio, si è osservato che lo spall è impedito per

quelle configurazioni geometriche in cui l’intersezione della retta indicata, con il

termine di boudary-effect line, con la retta del piano di spall avvenga al disotto del

piano di simmetria assiale, come nel caso delle configurazioni riportate dalla Figura

7.19 alla Figura 7.21.

122

a) b) Figura 7.18 - a) deformata e stato del materiale ottenuti con AUTODYN per velocità d’impatto di 185m/s e D/h=8; b) deformata e mappa del danno ottenuti con MSC/MARC per velocità d’impatto

di 185m/s e D/h=8.


di 185m/s e D/h=4.


di 185m/s e D/h=2.

123


di 185m/s e D/h=1.

Gli effetti di bordo libero provocano un abbassamento del valore della triassialità dello

stato di sforzo ed un conseguente aumento del valore della deformazione a rottura. La

perdita di idrostaticità dello stato di sforzo limita la possibilità di prevedere in maniera

accurata i processi di cedimento utilizzando un criterio di massima pressione ed

evidenzia tutti i vantaggi di previsione garantiti dall’avere a disposizione il criterio di

danno non lineare presentato. Una conferma ulteriore dell’avvenuta variazione dello

stato di sforzo può essere ottenuta dall’analisi delle deformate dei flyers di più piccolo

diametro, figure 11a-b, 12a-b. Queste tendono ad assumere un profilo molto simile a

quelli ottenuti in un test di Taylor in cui si assume uno stato di sforzo unidimensionale.

7.4 Re-shock experiment

L’ultima configurazione analizzata è quella del re-shock experiment, che viene

realizzata posizionando, come illustrato in Figura 7.22, sulla parte posteriore del disco

proiettile, un disco di maggiore impedenza meccanica. Quando l’onda di compressione

generata dall’impatto raggiunge l’interfaccia con il backing, in accordo con le equazioni

(2.18) e (2.19), parte dell’impulso viene trasmesso e parte viene riflesso come impulso

di compressione. Tale impulso sovrapponendosi all’onda di compressione generata

dall’impatto causa, una ricompressione dello stato del materiale. Se la velocità

124

d’impatto è sufficientemente elevata da provocare un’onda d’urto, la ricompressione è

causa del fenomeno noto in letteratura col termine “re-shock”.

Figura 7.22 – Schema della configurazione del re-shock experiment.

Figura 7.23 - Profilo di velocità misurato in un re-shock experiment, [3].

Tale configurazione è estremamente affascinante per la possibilità che offre di

investigare la risposta meccanica dei solidi in regime dinamico di shock ripetuto.

Secondo la teoria delle onde di sforzo, la risposta di un materiale elasto-plastico, al re-

shock dovrebbe essere interamente plastica, poiché lo stato del materiale si dovrebbe

trovare sulla superficie di snervamento. Dagli esperimenti si osserva invece la presenza

PRECURSORE ELASTICO

BERSAGLIO

PROIETTILE BACKING

125

di un gradino, comunemente riconosciuto come un inaspettato precursore plastico, che

precede l’arrivo del ricaricamento plastico, Figura 7.23. I tentativi proposti in letteratura

per cercare di giustificare la presenza del gradino anomalo fanno tutti riferimento a

simili meccanismi fisici, che hanno luogo alla meso-scala, che dovrebbero portare lo

stato del materiale all’interno della superficie di snervamento. Lipkin e Asay, [4],

ritengono che le differenti orientazioni dei sistemi di scorrimento di grani contigui sono

causa di una deformazione, alla meso-scala, non uniforme. Essi proposero un modello,

una distribuzione dello stato di snervamento del materiale precompresso, in grado di

duplicare le caratteristiche chiave del profilo di velocità rilevato in un re-shock

experiment. Swegle e Grady, [5], credono che il gradino anomalo sia dovuto a fenomeni

di localizzazione delle deformazioni, causati da elevati gradienti termici, giustificati

dalla natura dinamica degli eventi, che si realizzano alla meso-scala. Tali fenomeni, a

loro volta, sarebbero responsabili di un comportamento dello stato di snervamento del

materiale dipendente dal tempo.

Nel presente lavoro di tesi si presenta una nuova interpretazione del fenomeno basata su

considerazioni alla macro-scala. In accordo con tale interpretazione, la giustificazione

della presenza del gradino anomalo va ricercata nella distribuzione non uniforme della

deformazione plastica, lungo lo spessore del disco bersaglio, dovuta a processi

dissipativi che hanno luogo durante il passaggio della prima onda di compressione.

7.4.1 Fenomenologia del re-shock

In un Flyer Plate Impact Test, il profilo di velocità della particella situata sulla

superficie libera presenta un andamento ondoso, più o meno pronunciato, all’inizio del

plateau a velocità costante. In termini di sforzo, per un punto prossimo alla superficie

libera, il profilo d’onda non è perfettamente quadrato, ma mostra un picco, più alto in

valore del susseguente plateau di sforzo. Ciò si traduce nel fatto che, quando lo stato di

sforzo in un punto raggiunge il plateau, questo non si trova esattamente sulla superficie

di snervamento.

Comunque, in base a tali considerazioni, per un punto prossimo alla superficie libera, il

divario non è grande abbastanza da giustificare la presenza del gradino anomalo,

all’arrivo della seconda onda di shock.

Un’onda di sforzo che viaggia nel disco bersaglio e soggetta a processi dissipativi, che

126

ne riducono l’intensità. Di conseguenza, la distribuzione di deformazione plastica, lungo

lo spessore, non dovrebbe essere uniforme, ma dovrebbe mostrare un massimo alla

superficie d’impatto ed un minimo alla superficie posteriore. Tale congettura può essere

verificata dall’analisi numerica di un Flyer Plate Impact Test standard. Un esempio del

risultato trovato è riportato in .

Figura 7.24 - Distribuzione della deformazione plastica lungo lo spessore del disco bersaglio, a

seguito dell’onda di compressione, in un Flyer Plate Impact Test.

Figura 7.25 - Profili di sforzo, calcolati numericamente, a diverse posizioni lungo lo spessore del

disco bersaglio, in un Flyer Plate Impact Test standard.

127

Figura 7.26 - Profili di sforzo, calcolati numericamente, a diverse posizioni lungo lo spessore del

disco bersaglio, in un re-shock experiment.

I profili di sforzo, a diverse posizioni lungo lo spessore del disco bersaglio, riportati in

Figura 7.25, mostrano come, durante la propagazione, essi si riducano progressivamente

nell’intensità del picco, mentre il plateau sembrano rimanere costanti. In prossimità

della superficie libera, la differenza in sforzo tra il picco ed il plateau, è molto piccola,

risultando nelle piccolissime oscillazione osservate sperimentalmente con le tracce

VISAR.

Come illustrato in Figura 7.26, in un re-shock test, la differenza in sforzo tra il picco e il

plateau, in prossimità della superficie libera, non è sufficiente da giustificare l’ampiezza

del gradino anomalo osservato negli esperimenti, mentre questa è consistente con la

differenza in sforzo calcolata in prossimità della superficie d’impatto.

In Figura 7.27, è riportata la rappresentazione dello stato di sforzo, al plateau, del punto

materiale, nel piano dei deviatori π , al fine di fornire una spiegazione del processo che

porta alla generazione del gradino anomalo. Il cerchio interno a tratto grigio continuo

rappresenta lo stato di sforzo corrente, che si trova in campo elastico per via del fatto

che il plateau è, rispetto al picco, ad un livello di sforzo inferiore; il cerchio a tratto

continuo nero indica la superficie di snervamento corrente; il cerchio più grande,

tratteggiato, rappresenta l’espansione della superficie di snervamento per l’arrivo

dell’onda di re-shock; il percorso di carico, in stato di deformazine uniassiale, è

rappresentato da vettore nero.

128

Figura 7.27 - Rappresentazione dello stato di sforzo del punto materiale che a subito uno shock, a differenti posizioni lungo lo spessore del disco bersaglio, nel piano dei deviatori π .

È importante sottolineare che, poiché il valore dello sforzo al plateau, può essere

considerato costante per tutti i punti, lo stato di sforzo iniziale, rappresentato dai cerchi

grigi, è lo stesso per tutti i punti lungo lo spessore del disco bersaglio. All’arrivo

dell’onda di re-shock, lo stato di sforzo, di un punto matriale prossimo alla superficie

d’impatto, dove la differenza in sforzo è più elevata, cresce dall’intervallo elastico fino

alla prima superficie di snervamento e poi cresce con essa: di conseguenza, a questo

punto, saranno generati un precursore elastico e un’onda plastica più lenta. Viaggiando

verso la superficie posteriore del bersaglio, l’onda di reshock tova punti in cui la

superficie di snervamento corrente è più piccola. Questo fa sì che il precursore elastico

generato in un punto precedentemente è forte abbastanza da snervare il materiale a

monte producendo un’onda plastica. La continua generazione, in accordo al

meccanismo descritto, di onde plastiche di diversa intensità porta alla creazione di un

profilo d’onda a “scalini” che, anche se può, in qualche modo, ricordare la caratteristica

struttura del precursore elastico e onda plastica, è quasi interamente plastico. Sulla

superficie libera, la struttura a scalino dell’onda di sforzo causa, nel profilo di velocità,

la comparsa del gradino anomalo che, a questo punto, dovrebbe essere indicato, più

Distance

fromim

pact

129

propriamente, “precursore plastico”.

Figura 7.28 - Confronto tra il profilo di velocità sperimentale, [3], e quello calcolato numericamente

con MSC.Marc.

In Figura 7.28, il profilo di velocità calcolato numericamente, per il re-shock

experiment è messo a confronto con i risultati sperimentali riportati da Vogler e Asay,

[3]. La configurazione si riferisce ad un impatto simmetrico di due dischi di alluminio

6061-T6, a 1,715km s ; il backing è costituito da un disco di rame e, per permettere

l’utilizzo dell’interferometria laser, è stata adottata una finestra di PMMA, secondo

quanto descritto in Asay e Chhabildas, [6].

La simulazione è stata effettuata con il codice agli elemeti fini MSC.Marc per mezzo

del metodo di Humbolt d’integrazione diretta. Si è assunto che la pressione idrostatica è

linearmente proporzionale alla compressione volumetrica, poiché con tale codice

numerico non è possibile utlizzare equazioni di stato differenti. Tutte le caratteristiche

principali della curva calcolata sono consistenti con gli esperimenti: velocità massima

della prima onda, durata e intensità del plateau, salto di velocità all’arrivo del precursore

plastico. Il ritardo della prima onda plastica, la presenza del precursore elastico e la più

lenta risalita del segnale delle onde plastiche, per il profilo di velocità calcolato, sono

dovuti alla formulazione dell’equazione di stato.

jump for

“plastic precursor”

130

In Figura 7.29, è presentato il confronto tra i dati sperimentali e la curva calcolata con

l’hydrocode Autodyn. In questo caso, per riuscire a catturare le caratteristiche di del

segnale risultante da un impatto a 1,7km s , si è utilizzata l’equazione di stato Mie-

Grunaisen. Si è osservato che lo smorzamento numerico suggerito dal codice è troppo

severo e non permette di catturare le caratteristiche fondamentali del profilo di velocità:

di conseguenza è stato appropriatamente modificato. L’abbassamento dello

smorzamento numerico è causa di una risposta che presenta oscillazioni ad alta

frequenza non realistiche. Il profilo calcolato, ancora una volta è molto simile a quello

misurato, ma le caratteristiche chiave del precursore elastico rischiano di essere

nascoste dalle forti oscillazioni.

Figura 7.29 - Confronto tra il profilo di velocità sperimentale, [3], e quello calcolato numericamente

con Autodyn.

Infine, l’interpretazione del fenomeno proposta permette di giustificare il ritardo del

gradino anomalo rispetto alla corrispondente onda di rilascio in un Flyer Plate Impact

Test standard, che si osserva sperimentalmente, Figura 7.30. Per il test standard, il

primo abbassamento della velocità al termine del plateau è dovuto all’arrivo della prima

onda di rilascio, che è puramente elastica e viaggia alla velocità che le compete. Nel re-

shock experiment, secondo l’interpretazione data, l’onda di ricompressione porta alla

formazione dell’onda plastica a scalini, il cui fronte, inizialmente, viaggia alla velocità

131

dell’onda elastica e, successivamente, rallenta alla velocità dell’onda plastica, con

l’effetto provocato del ritardo dell’arrivo, sulla superficie libera, del precursore plastico.

Figura 7.30 - Ritardo del gradino anomalo rispetto alla corrispondente onda di rilascio in un Flyer

Plate Impact Test standard, [4].

132

Bibliografia

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[2] Christy, S., Pak, H., e Mayers, M.A., in “Metallurgical Applications of Shock Waves and High Strain Rate Phenomena” (eds., Murr et al.), Marcel Dekker, New York, 1986.

[3] Vogler, T.J. e Asay, J.R., “A distributional model for elastic-plastic behavior of shock-loaded materials”, in Shock Compression of Condensed Matter, (M.D Furnish, Y.M. Gupta, J.W. Forbes, eds.), part I, pp. 617-620, 2003.

[4] Lipkin, J. e Asay, J.R., “Reshock and release of shock-compressed 6061-T6 aluminum”, J. of Applied Physics 48, 182, 1977.

[5] Swegle, J. W. e Grady, D. E., “Calculation of thermal trapping in shear bands”, Metallurgical application of shock wave and high-strain-rate phenomena”, edited by L. E. Murr et al., New York, 1986.

[6] Asay, J.R. e Chhabildas, L.C. “Determination of the shear strength of shock compressed 6061-T6 aluminum”, in Shock Waves and High-Strain-Rate Phenomena in Metals (M.A Mayers and L.E. Murr, eds.), pp. 417-431, Plenum, New York, 1981.

133

8 Conclusioni

Nel presente lavoro di tesi, gli strumenti della simulazione numerica sono stati utilizzati

per l’analisi di tre configurazioni classiche per la caratterizzazione meccanica dei

materiali in regime dinamico: il Taylor Test, la Hopkinson Bar e il Flyer Plate Impact

Test. Gli sforzi non sono stati indirizzati alla semplice riproduzione delle caratteristiche

osservate negli esperimenti, ma con un’analisi critica si è, di volta in volta, cercato di

interpretare i processi di deformazione e rottura che si verificano in dinamica

dell’impatto, al fine di giungere ad una loro corretta modellazione.

Il contributo innovativo del presente lavoro può essere sintetizzato nei seguenti punti:

è stata dimostrata la capacità di previsione di un modello di danno duttile non

lineare in regime di elevata velocità di deformazione;

sono stati individuati, per il cilindro di Taylor, due diversi modi di rottura che

si realizzano a tempi diversi, durante il processo di deformazione, e per stati

della triassialità dello stato di sforzo differenti;

è stata individuata una correlazione tra la deformazione di soglia, uno dei

coefficienti del modello di danno non lineare, e la dimensione media del grano;

è stato individuato e quantificato, con gli strumenti della meccanica della

frattura, un processo di dissipazione nel meccanismo di separazione delle

superfici di rottura per spalling;

è stata fornita una nuova interpretazione della presenza gradino anomalo che si

osserva nel re-shock experiment, identificato in letteratura come un inaspettato

“precursore elastico”;

è stato dimostrato che, in realtà tale gradino è plastico;

l’interpretazione proposta ha permesso di giustificare il ritardo del gradino

anomalo, rispetto alla corrispondente onda di rilascio in un Flyer Plate Impact

Test standard, che si osserva sperimentalmente.

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CASSINO XVIII... · numerica per analizzare tre configurazioni...

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