Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni –...

Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07

LEZIONE N° 2

• Stato limite ultimo di sezioni in c.a. soggette a pressoflessione

– SLU per sezioni rettangolari in c.a. con doppia armatura

• determinazione del campo di rottura• determinazione del momento ultimo

– Esempio: verifica di sezione rettangolare a doppia armatura

– Prescrizioni normative

Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDefinizione del Problema

N

ec

Si consideri una sezione rettangolare in c.a. con doppia armatura soggetta a pressione applicata al centro di pressione c con eccentricità e. Ragioni di equivalenza statica permettono di considerare la sollecitazione come composta da una forza applicata al baricentro della sezione e un momento flettente pari a M=Ne.Si vuole effettuare la verifica di resistenza allo stato limite ultimo, valutando quindi lo sforzo Normale e il Momento ultimo che la sezione è capace di esplicare nel rispetto delle condizioni di equilibrio e di congruenza della sezione.


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDefinizione del Problema

Naturalmente esistono infinite coppie N,M che rispettano tali condizioni. Resta dunque individuata una regione detta dominio di resistenza al di fuori del quale il limite ultimo della sezione viene superato.

La verifica consiste dunque nel verificare che

Mu(Nd) Md

controllando che Nd non superi il valore massimo esplicabile dalla sezione.In quanto segue si farà riferimento all’EC2

Esempio di dominio di Resistenza

Mu

Nd


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaIpotesi di lavoro (generali)

1. Le sezioni si conservano piane (legge lineare delle deformazioni)

2. Il calcestruzzo teso non è reagente

3. Non vi è scorrimento relativo tra acciaio e cls (perfetta aderenza)


Legge costitutiva del Cls (tensione-deformazione)

Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaIpotesi di lavoro (allo stato limite ultimo)


Legge costitutiva dell’acciaio

Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaIpotesi di lavoro (allo stato limite ultimo)


Leggi costitutive del Cls e dell’Acciaio

EC2

Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaIpotesi di lavoro (Stato limite ultimo)

fyd/Es10%°

ydf

Legge costitutiva dell’acciaio

Legge costitutiva del CLS

2%° 3.5%°

6.185.085.0 ck

cdf

f

Tratto parabolico

La norma permette di tener conto per l’acciaio di un incrudimento k con deformazione massima al 1%


k

Leggi costitutive del Cls e dell’Acciaio

EC2



La legge costitutiva del cls può esseresostituita dallo stressblock (diagramma rettangolare equivalente alla parabola rettangolo) con altezza pari a 0.8 volte l’altezza dell’asse neutro rispetto al lembo superiore della sezione



CLASSI DI RESISTENZA DEL CALCESTRUZZO (EC2)

Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaCampi di rottura

(0,0’) piccola eccentricità (Compressione)(1) sez. fortemente armata(2) Sez. normalmente armata(3) Sez. debolmente armata(4) Piccola eccentricità (Trazione)

(4)

(3)

(2)

su sy

cu

c1

3/7 h

h

b

(1)(0)

Campi di Rottura

d’

(0’)

s

ydsy

c

su

cu

E

f

000

1

000

000

2

10

5.3


As’

As

Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del campo di rottura

Il campo di rottura associato ad una determinata sezione dipende oltre che dalla quantità di armatura (come succede nella flessione semplice) anche dall’entità dello sforzo normale N. All’aumentare di N si passa da sezioni duttili a sezioni fragili fino a schiacciamento per compressione uniforme, che per sezioni simmetriche corrisponde al caso di pressione centrata.Come per il caso di flessione è utile poter determinare a priori il campo di rottura associato ad una determinata armatura e sforzo normale. A tale scopo è sufficiente determinare il valore di N che corrisponde alle linee di separazione tra i diversi campi di rottura. Sarà poi sufficiente confrontare il valore di calcolo Nd con i vari N prima calcolati per individuare in quale intervallo ci si colloca.



Piccola eccentricità : compressione centrata

Nel caso di compressione centrata l’equilibrio alla traslazione della sezione conduce alla seguente equazione:

ydsscdmax f)'AA(bhf8.0N

C

C’

C’’

Il coefficiente 0.8 nella componente associata al csl dipende dal fatto che la normativa impone nel caso di compressione centrata che il coefficiente c venga aumentato del 25%.

)'()1(8.0bdf

Nn ss

cd

maxmax

d

d '

fcd

Dovrà ovviamente risultare che nd<nmax altrimenti l’equilibrio alla traslazione risulterà impossibile

C C’+C’’


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del campo di rottura Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del campo di rottura

C

C’

C’’

Piccola eccentricità : sezione interamente compressa

Nel passaggio tra campo 0 e campo 1 la sezione risulta ancora interamente compressa con l’asse neutro passante per il lembo inferiore della sezione.

ydssscd fAAbhfN '8.00

La deformazione dell’acciaio inferiore è immediatamente ricavabile da semplici considerazioni geometriche

1cus

'1

)1(8.00 susn

In termini adimensionalizzati si ha:

cu fcd

a.n.

sy

cuu



C’

Grande eccentricità : retta di separazione campo 0 e campo 1

Nel passaggio tra campo 0 e campo 1 la sezione risulta parzializzata con l’asse neutro che taglia la sezione in corrispondenza dell’armatura tesa.

ydscd fAbdfN '8.0'0

'8.0'0 sn

In termini adimensionalizzati si ottiene la semplice espressione:

cu

Ca.n.



C

C’


Nel passaggio tra campo 1 e campo 2 la sezione risulta parzializzata con l’asse neutro che taglia la sezione ad una distanza yc dal lembo superiore. L’acciaio inferiore risulta essere teso e snervato.

ydsydscdc1 fAf'Afby8.0N

dysycu

cuc

L’asse neutro yc si trova con semplici proporzioni geometriche

cu

yc

y

T

'8.0n sssycu

cu1

a.n.



CC’


Nel passaggio tra campo 2 e campo 3 la sezione risulta essere in condizioni di rottura bilanciata, ossia sia il cls che l’acciaio hanno raggiunto la loro tensione massima. Inoltre l’acciaio inferiore è naturalmente snervato.

ydsssscdc2 fA)'('Afby8.0N

dKddysucu

cuc 259.0

cu

yc

su

T'

f

'207.0n s

yd

ss2

L’acciaio compresso risulta in genere snervato per travi con h>30 cm

)857.31(0035.0'

cus K

K

a.n.



Grande eccentricità : Esempio di rottura in campo 2



T’


Nel passaggio tra campo 3 e campo 4 la sezione risulta essere completamente tesa. La resistenza è affidata alle sole armature.

ydssss fAAN )'('3

sl T

ssln '3

L’acciaio superiore risulta in genere non snervato per travi con h>20 cm

slsls d

'd'

a.n.

sy

sll




e0

e2

N0N1

e1

N2

Nmax

Noti gli sforzi normali corrispondenti alle linee di separazione tra i diversi campi di rottura, questi ultimi possono essere facilmente individuati e visualizzati sul diagramma di interazione M-N

Campo 0

Campo 1Campo 2

M/N > h/30-20 cm(Eurocodice 2)

Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del Momento Ultimo

Per la determinazione del Momento Ultimo della sezione considerata occorre seguire in sequenza i seguenti due passi:

1. Determinazione della posizione dell’asse neutro

2. Determinazione del valore del Momento Ultimo

Nelle prossime slide si fornisce una espressione del MomentoUltimo in relazione al campo di rottura precedentemente determinato



Piccola eccentricità : compressione eccentrica (n0 < n < nmax)

)(' sssydsud AfACNN

Determinazione asse neutro

La posizione dell’asse neutro yc si determina a partire dall’equazione di equilibrio alla traslazione della sezione. L’acciaio inferiore risulta generalmente non snervato per cui:

C

C’

C’’

2%°

fcd

a.n.

c

yc


0

)(0

yy

hycd

c

c

dybfbyC

2)3'7(21

641

KfbhC cd 0

1 yyy

cc

y0=3/7 h

K’=yc/h

d c1



Determinazione asse neutro

s

ss

s

ydscddss EA

f'Abhf8.0N)(

C

C’

C’’

2%°

fcd

a.n.

c

yc

1')7/3()/(

'1

1

Khd

Ksc

sc


1'

81.01'

cd

cd

fbd

CK

fbd

CK

Il valore max di C è limitato dalla massima resistenza a compressione ammessa per il cls

cdfbdC 8.0max

y0=3/7 h

c1

)(' sssydsud AfACNN



Determinazione Momento Ultimo

L’equazione di equilibrio alla rotazione attorno al baricentro geometrico della sezione ci fornisce il Momento Ultimo della sezione

C

C’

C’’

2%°

fcd

a.n.

c

yc

0

)(22

)('2

' 00

yy

hyccdsssyds

c

c

ydyby

yfbydh

Adh

fAM

22

3'7147

160

KfbhM cdc



Grande eccentricità : Collasso nel campo 1 (n1 < n < n0)

C

C’

T

fcd

a.n.

cuDeterminazione Asse neutro

yc

s< sy

La posizione dell’asse neutro yc si determina a partire dall’equazione dei equilibrio alla traslazione della sezione. L’acciaio inferiore risulta per definizione non snervato. L’equilibrio alla traslazione si scrive come segue:

)(Af'Afby81.0NN sssydscdcud

d

yK

K

KE

y

dyE c

cusc

ccusss

;

1)(

Sostituendo la precedente nella equazione di equilibrio alla traslazione si ha:

0)'(81.0 2 usduss nKK

Equazione algebrica di 2° grado




C

C’

T

fcd

a.n.

cuDeterminazione Momento Ultimo

yc

s< sy

'd

2

h)(A'd

2

hf'Ay416.0

2

hfby81.0M sssydsccdcu

L’equazione di equilibrio alla rotazione attorno al baricentro geometrico della sezione ci fornisce il Momento Ultimo della sezione.

K

Kcus

1




CC’

T

fcd

a.n.


yc

s> sy

La posizione dell’asse neutro yc si determina a partire dall’equazione dei equilibrio alla traslazione della sezione. L’acciaio inferiore risulta certamente snervato e quindi nell’ipotesi che anche l’acciaio compresso sia snervato l’equilibrio alla traslazione si scrive :

ydsydscdcud fAfAfbyNN '81.081.0

'ssdnK

HP: acciaio compresso snervato




CC’

T

fcd

a.n.


yc

s> sy

2%°

Nel caso l’ipotesi di armatura compressa snervata non sia verificata occorre esprimere l’equazione alla traslazione in funzione di K ottenendo l’equazione di secondo grado con incognita la stessa K

0')'(81.0 2 usussdnKKEquazione per la determinazione dell’asseNeutro nel caso che l’armatura compressanon risulti snervata




CC’

T

fcd

a.n.

cu

yc

s> sy


'd

2

hfA'd

2

h)'('Ay416.0

2

hfby81.0M ydssssccdcu


K

Kcus

1




CC’

T

fcd

a.n.

c<cuDeterminazione Asse neutro

yc

s= sl

Equazione per la determinazione dell’asseNeutro nel caso che l’armatura compressarisulti snervata

La posizione dell’asse neutro yc si determina a partire dall’equazione dei equilibrio alla traslazione della sezione. L’acciaio inferiore risulta certamente snervato e quindi nell’ipotesi che anche l’acciaio compresso sia snervato l’equilibrio alla traslazione si scrive :

81.0

'ssdnK



Determinazione Asse neutro

Nel caso l’ipotesi di armatura compressa snervata non sia verificata occorre esprimere l’equazione alla traslazione in funzione di K ottenendo l’equazione di secondo grano con incognita la stessa K

0n')'8.0n(KK8.0 dslslssd2

CC’

T

fcd

a.n.

c<cu

yc

s= su

Equazione per la determinazione dell’asseNeutro nel caso che l’armatura compressarisulti non snervata





'd

2

hfA'd

2

h)'('Ay416.0

2

hfby81.0M ydssssccdcu


CC’

T

fcd

a.n.

c<cu

yc

s= su


K1

K' sus


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