LEZIONE N° 3 – STATO LIMITE ULTIMO DI INSTABILITA Posizione del problema Il problema della...

LEZIONE N° 3 – STATO LIMITE ULTIMO DI INSTABILITA’

• Posizione del problema• Il problema della stabilità dell’equilibrio

– aste perfette: Il carico critico euleriano– influenza delle imperfezioni– influenza dei vincoli

• Aste in c.a.: Il diagramma Momento-Curvatura (M-)– cenni alla sua determinazione numerica– punti caratteristici del diagramma (M-)

• Aste in c.a.: il metodo esatto• Aste in c.a.: il metodo della colonna modello• Esempio: calcolo sforzo normale ultimo di un pilastro in c.a. snello.• Prescrizioni Normative (D.M. 14.09.05, EC2)

Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07

Pilastri snelli in c.a. (Posizione del Problema)

Il problema della valutazione della capacità portante di pilastri tozzi (pilastri con rapporto tra lunghezza e minima dimensione in sezione è sufficientemente piccola) si riduce al calcolo della capacità portante della sua generica sezione (se di sezione costante). In tal caso le sollecitazioni sono determinate con la teoria del primo ordine, in quanto si ritiene che le sollecitazioni non siano influenzate dalla configurazione deformata essendo gli spostamenti piccoli (teoria del I° ordine)

Può però accadere che l’entità degli spostamenti non sia così piccola da poter trascurare le sollecitazioni aggiuntive che nascono imponendo l’equilibrio nella configurazione deformata. In tal caso si parla di teoria del II° ordine.Nel caso ad esempio di una mensola soggetta a compressione la possibilità che l’asta non sia inizialmente rettilinea potrebbe comportare effetti del II° ordine non trascurabili in presenza di snellezza elevata.

P P

vI° o

rdin

e

II°

ordi

ne


Pilastri snelli in c.a. (Posizione del Problema)

Ci si chiede allora quale sia l’influenza (in genere deleteria) degli effetti del II° ordine sulla capacità portante delle strutture. In particolare ci si chiede quale sia l’influenza degli effetti del secondo ordine sulla capacità portante di pilastri in cemento armato.

PuII < Pu

I

vII°

ordi

ne

PuI

I° o

rdin

e


Pilastri snelli in c.a. (Il problema della stabilità dell’eq.)

ASTE PERFETTE (Asta di Eulero)L’esempio classico sulla base del quale la teoria della II° ordine ha avuto il suo sviluppo è il problema dell’asta di Eulero.In particolare, considerata una trave semplicemente appoggiata, soggetta a sforzo normale, ci si chiede se esistano configurazioni equilibrate diverse dalla configurazione iniziale.

P

L

E J

v

Equazione di equilibrio (Eq. differenziale omogenea)

Car

ico

crit

ico

Eul

eria

no

Comportamentoreale

0vEJ

P''vEJM


P

L

E J

v


ASTE PERFETTE (Asta di Eulero)L’esempio classico sulla base del quale la teoria della II° ordine ha avuto il suo sviluppo è il problema dell’asta di Eulero.In particolare, considerata una trave semplicemente appoggiata, soggetta a sforzo normale, ci si chiede se esistano configurazioni equilibrate diverse dalla configurazione iniziale.

Equazione di equilibrio (Eq. differenziale omogenea)

0vEJ

P''vEJM

Il carico critico Euleriano è il più piccolo carico per il quale sussiste l’equilibrio nella configurazione deformata. In corrispondenza di esso sussiste quella che in gergo viene definita biforcazione dell’equilibrio.

2LEJ

crP

P

v

Biforcazione dell’Equilibrio



INFLUENZA DELLE IMPERFEZIONIDal momento che le condizioni di asta perfetta non sono in genere verificate occorre considerare anche l’influenza delle imperfezioni, in genere rappresentate da una eccentricità iniziale e.

Equazione di equilibrio(Eq. diff. non omogenea)

0eEJ

Pv

EJ

P''v

)ve(P''EJvEJM

P

L0

E J

v

P

e

20L

EJcrP

P

vComportamento reale

I

cr

cM

PP

1

PeM

Lo sforzo Normale massimo è inferiore al carico critico di Eulero

Le imperfezioni eliminano il fenomeno della biforcazione dell’equilibrio

Asta diEulero conImperfezioniPy

Pu



INFLUENZA DEI VINCOLILa formulazione del problema di Eulero riguardava l’asta semplicemente appoggiata. In realtà le condizioni di vincolo che possono presentarsi sono in genere diverse e hanno notevole influenza sulla valutazione della stabilità dell’equilibrio di elementi strutturali compressi. Per tener conto di ciò l’idea è quella di ridursi attraverso condizioni di natura geometrica all’asta di Eulero modificando opportunamente la lunghezza della trave con un coefficiente .

P

L

L0=2LL0=L

P

L L0=0.7 L

Esempi

L0=0.5 LL

P


Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU)

DEFINIZIONE DEL PROBLEMASi consideri ora un’asta in cemento armato. Poiché il materiale considerato è a comportamento non lineare la ricerca di posizioni equilibrate diverse dalla configurazione iniziale comporta, oltre a non linearità di natura geometrica, anche non linearità meccaniche. In particolare il momento dipende non linearmente dalla curvatura alla quale la sezione considerata è soggetta.

III MM)fe(P)(M f

v(x)

L

Pe

Occorre quindi valutare il massimo valore di P che soddisfi l’equazione di equilibrio nella sezione più sollecitata tenendo conto della non linearità della legge M()

Nella generica sezione la riserva di resistenza flessionale M() è in parte assorbita dal momento esterno del I° ordine MI=Pe e in parte dal momento del II° ordine MII=Pf.

Osservazione



VALUTAZIONE DELLA CURVATURA

xv

y

y

uy

dxd

dxdu

x

Deformazione della fibra a livello y

dx

dx+xdx

dr

dxdxrd x trascurabile

rdxd 1

yx

Modello Cinematico

Leg

ame

curv

atur

a-de

form

azio

ne


yu


Il DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURAPoiché siamo interessati alla valutazione della capacità ultima dell’elemento strutturale il diagramma M- può essere ragionevolmente approssimato con una trilatera i cui punti caratteristici sono rappresentati rispettivamente dal punto di prima fessurazione del CLS (I° Stadio), dal punto di primo snervamento dell’armatura (II° Stadio) e dal punto di rottura allo SLU della sezione (III° Stadio).

M

(f , Mf)

(y , My) (u , Mu)

N=cost

DiagrammaMomento-CurvaturaSemplificato

I° Stadio

II° Stadio

III° Stadio



PUNTI CARATTERISTCI DEL DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA

I° Stadio Il momento flettente e lo sforzo normale resistenti della sezione si valutano considerando la sezione interamente reagente omogeneizzata a CLS

II° Stadio

III° Stadio

Il momento flettente e lo sforzo normale resistenti della sezione si valutano considerando la sezione elastica ma parzializzata.

Il momento flettente e lo sforzo normale resistenti si valutano considerando per la sezione le condizioni di stato limite ultimo.



ESEMPIO DI DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA (codice VCASLU)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035

Curvatura (1/cm)

M (

kNm

)

(f , Mf)

(y , My)(u , Mu)

N=374 kN DATI SEZIONE:

Dimensioni Sezione b=30 cm, h=30 cm

Armatura 322 inferiore e superiore.



METODI DI SOLUZIONE: IL METODO ALLE DIFFERENZE FINITE

)x(veP)(M

P

L0

vi

P

e

21ii1i

2i

2

i x

vv2v

dx

vd

)x(veP)(M iii

xi

vi+1

x

Metodo delle differenze finite Sviluppo in serie di Taylor della legge M()

)ve(P)(d

)(dM)(M i

kii

kiik

iikii

Sistema lineare con incognita vi

)K)(MPe(xvKv)xPK2(vK ki

ki

kii

21i

kii

2ki1i

ki



METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO (D.M. 9.1.96)

f

v(x)

feP)(M

L

xsinf)x(v

Soluzione approssimata

L

22

2

max L

f10f

L

Curvatura Massima

L

xsinf

Ldx

)x(vd)x(

2

2

2

2

La verifica del pilastro si esegue calcolando il massimo valore dello sforzo normale Pu per cui sia ancora possibile

l’equilibrio nella sezione maggiormente sollecitata. Esso deve risultare minore dello sforzo normale applicato.

Pe

10LePM max2

u

du PPcon



METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO

Soluzione del sistema

10

)P(Le

)P(MP

uy

uyu

10

LPePM

2u

u

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035

Curvatura (1/cm)

M (k

Nm

)

MI= Pue

PuL2/10

(y , My)

MII

P=Pu

IIIy

2u

uy MM10

LPePM

Soluzione Iterativa



METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO

SOLUZIONE ITERATIVA

Lo sforzo normale ultimo Pu si valuta in 5 passi:

1) si sceglie un Pu di primo tentativo1) si valuta il diagramma M- 3) si valuta il momento del II° ordine MII

4) si valuta MI

5) se Pue MI il procedimento iterativo termina, altrimenti si utilizza il valore Pu=MI/e come ulteriore Pu di tentativo e si ripetono i punti dal 1 al 5 fino a che la condizione non risulti verificata

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035

Curvatura (1/cm)

M (k

Nm

)MI

(y , My)

P=Pu

y

2uII

10

LPM



METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO (ESEMPIO)

MaterialiCls Rck 30 MpaAcciaio FeB44K

DATI:Dimensioni Sezione b=30 cm, h=30 cm Armatura 322 inferiore e superiore. Eccentricità e = 30 cmAltezza pilastro H=700 cm

Nel caso dell’esempio considerato sono state necessarie 6 iterazioni per raggiungere la convergenza, ottenendo per lo sforzo normale ultimo il valore Pu = 374.2 kN che corrisponde al momento MI=112.26 kNm

N.B. il valore di Pu in assenza di fenomeni del II° ordine vale 482 kN, valore maggiore del 22% rispetto al caso nel quale gli effetti del II° ordine siano messi in conto



METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO (ESEMPIO)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035

Curvatura (1/cm)

M (

kNm

)

MI= 112.2 kNm

(y , My)

MII=261.8 kNm

P=Pu= 374 kN

MaterialiCls Rck 30 MpaAcciaio FeB44K

DATI:Dimensioni Sezione b=30 cm, h=30 cm Armatura 322 inferiore e superiore. Eccentricità e = 30 cmAltezza pilastro H=700 cm



PRESCRIZIONI NORMATIVE (D.M. 14.09.05 punto 5.1.2.1.9.2)


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