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A/A

2017

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8 –

Doc

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Progetto di StruttureFacoltà di Ingegneria

Corso di Laurea in Ingegneria CivileA/A 2017-2018

Analisi di pilastri in C. A. allo SLU

Dipartimento di Ingegneria - Corso di Ingegneria Civile – Progetto di Strutture - A/A 2017-2018 – Docente Ing. Marialaura Malena

Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDefinizione del Problema

N

ec

Si consideri una sezione rettangolare in c.a.con doppia armatura soggetta a pressioneapplicata al centro di pressione c coneccentricità e. Ragioni di equivalenza staticapermettono di considerare la sollecitazionecome composta da una forza applicata albaricentro della sezione e un momentoflettente pari a M=Ne.Si vuole effettuare la verifica di resistenzaallo stato limite ultimo, valutando quindi losforzo Normale e il Momento ultimo che lasezione è capace di esplicare nel rispettodelle condizioni di equilibrio e di congruenzadella sezione.


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDefinizione del Problema

Naturalmente esistono infinite coppie N,Mche rispettano tali condizioni.Resta dunque individuata una regione dettadominio di resistenza al di fuori del quale illimite ultimo della sezione viene superato.

La verifica consiste dunque nel verificare che

Mu(Nd) Md

controllando che Nd non superi il valoremassimo esplicabile dalla sezione.

Esempio di dominio di Resistenza

Mu

Nd


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaIpotesi di lavoro (generali)

1. Le sezioni si conservano piane (legge lineare delle deformazioni)

2. Il calcestruzzo teso non è reagente

3. Non vi è scorrimento relativo tra acciaio e cls (perfetta aderenza)


Legge costitutiva del Cls (tensione-deformazione)

Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaIpotesi di lavoro (allo stato limite ultimo)


Legge costitutiva dell’acciaio

Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaIpotesi di lavoro (allo stato limite ultimo)


Leggi costitutive del Cls e dell’AcciaioNTC08

Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaIpotesi di lavoro (Stato limite ultimo)

fyd/Es10%°

151.f

f ykyd

Legge costitutiva dell’acciaio Legge costitutiva del CLS

2%° 3.5%°

51850850

.f

.f. ckcd

Tratto parabolico


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaIpotesi di lavoro (Stato limite ultimo)

CLASSI DI RESISTENZA DEL CALCESTRUZZO

11.2.10 caratteristiche del calcestruzzo


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaCampi di rottura

(0,0’) piccola eccentricità (Compressione)(1) sez. fortemente armata(2) Sez. normalmente armata(3) Sez. debolmente armata(4) Grande eccentricità (Trazione)

s

ydsy

c

su

cu

Ef

000

1

000

000

210

5.3

(4)(3)

(2)

su sy

cu

c1

3/7 h

h

b

(1)(0)

Campi di Rottura

d’

(0’)

As’

As


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del campo di rottura

Il campo di rottura dipende oltre che dalla quantità di armatura(come succede nella flessione semplice) anche dall’entità dellosforzo normale N. All’aumentare di N si passa da sezioni duttili asezioni fragili fino a schiacciamento per compressione uniforme, cheper sezioni simmetriche corrisponde al caso di pressione centrata.Come per il caso di flessione è utile poter determinare a priori ilcampo di rottura associato ad una determinata armatura e sforzonormale. A tale scopo è sufficiente determinare il valore di N checorrisponde alle linee di separazione tra i diversi campi di rottura.Sarà poi sufficiente confrontare il valore di calcolo Nd con i vari Nprima calcolati per individuare in quale intervallo ci si colloca.


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del campo di rottura compressione centrata

Nel caso di compressione centrata l’equilibrio alla traslazione della sezioneconduce alla seguente equazione:

ydsscdmax f)'AA(bhf8.0N

C

C’

C’’Il coefficiente 0.8 nella componente associata alcls dipende dal fatto che la normativa impone nelcaso di compressione centrata che il coefficientec venga aumentato del 25%.

)'()1(8.0bdfNn ss

cd

maxmax

dd '

fcd C C’+C’’

cd

ss

cd

ss bdf

Abdf

A '

'



C

C’

C’’

sezione interamente compressa

Nel passaggio tra campo 0 e campo 0’ la sezione risulta ancora interamentecompressa con l’asse neutro passante per il lembo inferiore della sezione.

ydssscd fAAbhfN '81.00

La deformazione dell’acciaio inferioreè immediatamente ricavabile dasemplici considerazioni geometriche

1cus

'1

)1(81.00 susn

In termini adimensionalizzati si ha:

cu fcd

a.n.

sy

cuu

dd '



C’

retta di separazione campo 0’ e campo 1

Nel passaggio tra campo 0’ e campo 1 la sezione risulta parzializzata conl’asse neutro che taglia la sezione in corrispondenza dell’armatura inferiore.

ydscd fAbdfN '81.0'0

'81.0'0 sn

In termini adimensionalizzati si ottiene la semplice espressione:

cu

Ca.n.



C

C’

retta di separazione campo 1 e campo 2

Nel passaggio tra campo 1 e campo 2 la sezione risulta parzializzata conl’asse neutro che taglia la sezione ad una distanza yc dal lembo superiore.L’acciaio inferiore risulta essere teso e snervato.

ydsydscdc fAfAfbyN '81.01

dysycu

cuc

L’asse neutro yc si trova con semplici proporzioni geometriche

cu

yc

y

T

'81.01 sssycu

cun

a.n.



CC’

retta di separazione campo 2 e campo 3

Passaggio tra campo 2 e campo 3: la fibra più esterna del cls e l’acciaio tesohanno raggiunto la deformazione massima. L’acciaio inferiore è snervato.

ydsssscdc fAAfbyN )'('81.02

dKddysucu

cuc 259.0

cu

yc

suT

''207.02 syd

ss f

n

L’acciaio compresso risulta in genere snervato per travi con h>30 cm

)857.31(0035.0'

cus KK

a.n.

dd '



T’

Grande eccentricità : retta di separazione campo 3 e campo 4

Nel passaggio tra campo 3 e campo 4 la sezione risulta esserecompletamente tesa. La resistenza è affidata alle sole armature.

ydssss fAAN )'('3

su TL’acciaio superiore risulta in genere non snervato per travi con h>20 cmsusus d

d ''

a.n.

ssln '3sy

sul

ssyds

ssss

yd

s

EE

fn

''''3



e0e2

N’0N1

e1

N2

Nmax

Noti gli sforzi normalicorrispondenti alle lineedi separazione tra idiversi campi di rottura,questi ultimi possonoessere facilmenteindividuati e visualizzatisul diagramma diinterazione M-N

Campo 0’-0

Campo 1Campo 2

N0


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del Momento Ultimo

Per la determinazione del Momento Ultimo della sezioneconsiderata occorre seguire in sequenza i seguenti due passi:

1. Determinazione della posizione dell’asse neutro

2. Determinazione del valore del Momento Ultimo



compressione eccentrica (n0 < n < nmax)

)(' sssydsd AfACN

Determinazione asse neutro

La posizione dell’asse neutro yc si determinaa partire dall’equazione di equilibrio allatraslazione della sezione. L’acciaio inferiorerisulta generalmente non snervato per cui:

C

C’

C’’

2%°

fcd

a.n.

cu

yc

0

)(0

yy

hyccd

c

c

dybfbyC

2)3'7(21

641K

fbhC cd 01 yy

y

cc

y0=3/7 h

K’=yc/h

d c1



Piccola eccentricità : compressione eccentrica (n0 < n < nmax)

Determinazione asse neutro

C

C’

C’’

2%°

fcd

a.n.

c

yc

11

01

0 7/3'/'

/'/'

cccc

cs K

hdKhyKhdK

yydy

y0=3/7 h

c1

)(' sssydsud AfACNN

K’=yc/h

))'((')'( kAfAkCNN sssydsud



compressione eccentrica (n0 < n < nmax)

Determinazione Momento Ultimo

L’equazione di equilibrio alla rotazioneattorno al baricentro geometrico dellasezione ci fornisce il Momento Ultimo dellasezione

C

C’

C’’

2%°

fcd

a.n.

c

yc

0

)(222

)('2

' 00

yy

hyccdsssyds

c

c

ydybyhfbydhAdhfAM

22

3'7147160

KfbhM cdc



Collasso nel campo 1 (n1 < n < n’0)Determinazione Asse neutro

C

C’

T

fcd

a.n.

cu

yc

s< sy

La posizione dell’asse neutro yc si determinaa partire dall’equazione di equilibrio allatraslazione della sezione. L’acciaio inferiorerisulta per definizione non snervato.L’equilibrio alla traslazione si scrive comesegue:

)('81.0 sssydscdcd AfAfbyN

dyK

KKE

yydE c

cusc

ccusss

;1)(

Sostituendo la precedente nella equazione di equilibrio alla traslazione si ha:

0)'(81.0 2 usduss nKK

Equazione algebrica di 2° grado

sy

cuu



Collasso nel campo 1 (n1 < n < n0)


'd

2h)(A'd

2hf'Ay416.0

2hfby81.0M sssydsccdcu

L’equazione di equilibrio alla rotazioneattorno al baricentro geometrico dellasezione ci fornisce il Momento Ultimodella sezione.

KK

cus

1

C

C’

T

fcd

a.n.

cu

yc

s< sy



Collasso nel campo 2 (n2 < n < n1)

Determinazione Asse neutro

CC’

T

fcd

a.n.

cu

yc

s> sy

La posizione dell’asse neutro yc sidetermina a partire dall’equazione diequilibrio alla traslazione della sezione.L’acciaio inferiore risulta certamentesnervato e quindi nell’ipotesi che anchel’acciaio compresso sia snervatol’equilibrio alla traslazione si scrive :

ydsydscdcd fAfAfbyN '81.081.0

'ssdnK

HP: acciaio compresso snervato


Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione RettaDeterminazione del Momento UltimoCollasso nel campo 2 (n2 < n < n1)


CC’

T

fcd

a.n.

cu

yc

s> sy

2%°

Nel caso l’ipotesi di armatura compressasnervata non sia verificata occorreesprimere l’equazione alla traslazione infunzione di K ottenendo l’equazione disecondo grado con incognita la stessa K

0')'(81.0 2 usussdnKK

Equazione per la determinazionedell’asse Neutro nel caso chel’armatura compressa non risultisnervata

)'(''81.0 sssydscdcd AfAfbyN

KK

cus1'



Grande eccentricità : Collasso nel campo 2 (n2 < n < n1)

CC’

T

fcd

a.n.

cu

yc

s> sy



'

2'

2)'('416.0

281.0 dhfAdhAyhfbyM ydssssccdcu

KK

cus1'





CC’

T

fcd

a.n.

c<cu

yc

s= sl

Equazione per la determinazione dell’asseNeutro nel caso che l’armatura compressarisulti snervata

La posizione dell’asse neutro yc si determinaa partire dall’equazione dei equilibrio allatraslazione della sezione. L’acciaio inferiorerisulta certamente snervato e quindinell’ipotesi che anche l’acciaio compressosia snervato l’equilibrio alla traslazione siscrive :

81.0'ssdn

K




Nel caso l’ipotesi di armatura compressasnervata non sia verificata occorreesprimere l’equazione alla traslazione infunzione di K ottenendo l’equazione disecondo grado con incognita la stessa K

0')'81.0(81.0 2 dslslssd nnKK

CC’

T

fcd

a.n.

c<cu

yc

s= su

Equazione per ladeterminazione dell’asseneutro nel caso chel’armatura compressarisulti non snervata


sy

su

1

K1K' sus

)'(''81.0 sssydscdcd AfAfbyN




'd

2hfA'd

2h)'('Ay416.0

2hfby81.0M ydssssccdcu


CC’

T

fcd

a.n.

c<cu

yc

s= su


K1K' sus

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