UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CAGLIARI -...

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CAGLIARI

Facolta di Scienze

Corso di laurea in Fisica

Il Teletrasporto Quantistico

Relatore: Candidato:

Prof. Michele Saba Federico Cinus

Anno Accademico 2015-2016

Introduzione

Il Teletrasporto Quantistico e uno dei piu importanti protocolli della teoria del-l’informazione quantistica. Esso, sfruttando il fenomeno dell’entanglement comerisorsa, costituisce un pilastro delle tecnologie quantistiche che permettono lo svi-luppo nel campo della comunicazione quantistica, computazione quantistica e retiquantistiche. Il Teletrasporto si interpone tra la teoria della Meccanica Quanti-stica, la teoria dell’informazione classica e la Relativita Speciale. In particolaretale protocollo mette in luce le potenzialita della Meccanica dei quanti sfruttandopero il trasferimento classico di informazione e nel rispetto delle leggi fondamentalidella Relativita. Ma che cos’e il teletrasporto? Perche l’aggettivo ”quantistico”?Dalla radice greca ”Tηλε−” (”lontano”) e dall’italiano ”trasporto” si presenta unabanale risposta alla prima domanda, la quale esprime la non-localita del processodi trasferimento di informazione. La parola fu coniata da Charles H. Fort1 nel 1931e fu associata al trasferimento di oggetti tra luoghi distanti senza il compimentodel percorso. Tale descrizione e propria dei film di fantascienza e dunque in unarivisitazione fisica si traduce nel seguente processo: uno stato quantistico scono-sciuto viene misurato e ”riassemblato” in una localita distante con comunicazionisubluminali. Per la risposta alla seconda domanda risulta evidente la necessita dipresentare quelli che sono gli assiomi fondamentali della Meccanica Quantistica esottolineare i due aspetti chiave della presente trattazione: il principio di sovrap-posizione e il principio di localita. Il cuore dei presenti principi e racchiuso in dueesperimenti noti come l’esperimento delle due fenditure e il paradosso EPR. Inprincipio antitetici i due esperimenti risultarono strettamente correlati (o meglio”intrecciati”) agli occhi dei fisici a partire dal 1964, quando J. S. Bell mostro laviolazione del realismo locale a beneficio della completezza della Meccanica Quan-tistica e della nascita di una teoria sull’Entanglement; quest’ultimo fa da collanteper i due principi e si dimostra la chiave di volta del Teletrasporto Quantistico.

1Computer Science and York Centre for Quantum Technologies, University of York, YorkYO10 5GH, United Kingdom

3

Indice

1 Elementi di MQ e paradosso EPR 7

1.1 I postulati della Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Il principio di sovrapposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Stati puri e miscele statistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 Cenni sulla teoria dell’informazione quantistica . . . . . . . . 11

1.3 Il Paradosso EPR e il realismo locale . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 La disuguaglianza di Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Entanglement Quantistico 15

2.1 La definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Stato entangled come stato puro . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Le proprieta di uno stato entagled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Paradosso EPR e disuguaglianza di Bell: Formalismo . . . . 17

2.3 La quantificazione dell’Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Esempio: stati di Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Le realizzazioni sperimentali di Entanglement . . . . . . . . . . . . 24

2.4.1 Conversione parametrica spontanea . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.2 Autostati del momento in entanglement . . . . . . . . . . . 25

2.4.3 Autostati di polarizzazione in entanglement . . . . . . . . . 26

2.5 Analizzatore di stati di Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Teletrasporto Quantistico 29

3.1 La visione classica e quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Il protocollo del teletrasporto quantistico . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 La realizzazione sperimentale e i risultati . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.1 Esperimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.2 Risultati sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Cenni ad altri schemi di teletrasporto . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Decoerenza come limite sperimentale 41

5

6 INDICE

5 Conclusioni 43

Bibliografia 47

Capitolo 1

Elementi di MQ e paradosso EPR

1.1 I postulati della Meccanica Quantistica

Il presente capitolo si prefigge di esplicare i due aspetti fondamentali del Teletra-sporto Quantistico: il principio di sovrapposizione e il non realismo-locale. Seguo-no dunque i fondamenti della teoria dei quanti al fine di permettere una descrizioneappropriata dei due temi citati e di quelli dei capitoli successivi.

1 Stati. Un sistema fisico e descritto da uno stato, ovvero un vettore nellospazio di Hilbert (H). Quest’ultimo e uno spazio vettoriale su C che gode di:

a) : prodotto interno 〈ψ|φ〉 che mappa una coppia di vettori in C conle seguenti proprieta: positivita (〈ψ|φ〉 > 0 per |ψ〉 6= 0), linearita esimmetria (〈ψ|φ〉=〈φ|ψ〉∗).

b) : completezza nella norma ‖ ψ ‖= 〈ψ|ψ〉1/2

Gli stati sono descritti per convenzione da stati normalizzati (〈ψ|ψ〉=1) la cuifase globale non ha significato fisico a differenza di quella relativa. Data ladefinizione di prodotto scalare e la proprieta di linearita dello spazio esistonocombinazione lineari di stati (|Ψ〉 = a|ψ〉+b|φ〉) ancora appartenenti ad esso.

2 Osservabili. Una proprieta misurabile del sistema fisico viene detta osser-vabile e le viene associato un operatore autoaggiunto, ovvero:

a) tramite la sua azione mappa vettori in vettori: A : |ψ〉 7→ A|ψ〉b) corrisponde una trasformazione lineare: A(a|ψ〉+b|φ〉) = aA|ψ〉+bA|φ〉c) e autoaggiunto poiche: A = A† da cui 〈ψ|A|φ〉 = 〈ψ|A|φ〉∗

d) poiche auto-aggiunto gli autostati corrispondenti agli autovalori (tuttireali) formano una base ortonormale nello spazio H: A = ΣnanEn

7

8 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI MQ E PARADOSSO EPR

3 Misure. Il processo di misura mediante il quale un osservatore acquisisceinformazioni sul sistema avviene tramite il valore di aspettazione dell’opera-tore, cosı definito:

〈a〉 = 〈ψ|A|ψ〉

Il risultato della misura e proprio l’autovalore a e la probabilita di otteneretale valore e data dal modulo quadro della proiezione dello stato che descriveil sistema sull’autostato corrispondente all’autovalore:

P (an) = ‖〈ψ|En〉‖2

Se la misura viene ripetuta l’esito risulta il medesimo con probabilita uni-taria, come se lo stato del sistema fosse collassato nel particolare autostato.Due osservabili possono essere misurate simultaneamente senza regole d’in-determinazione se gli operatori autoaggiunti (ad esse correlate) commutano:[A,B] = 0; in tal caso esiste un set di autostati comune e le due osservabilisono dette compatibili.

4. Dinamica. L’evoluzione temporale di un sistema chiuso e descritta da unoperatore unitario. In particolare vale:

|ψ(t′)〉 = U(t, t′)|ψ(t)〉|ψ(t)〉

Dove U(t, t′) e l’operatore unitario di evoluzione temporale. Dall’equazionedi Schrodinger si ricava il caso infinitesimo:

d

dt|ψ(t)〉 = −iH(t)|ψ(t)〉

Da cui segue che se l’operatore Hamiltoniana e indipendente dal tempo:

U(t, t′) = e−i(t′−t)H

Si noti come la presente trattazione trascende ogni interpretazione della MeccanicaQuantistica; difatti essa (e i successivi capitoli) non entra nel merito dei dibattitistorici della fisica dei quanti ma si focalizza sugli aspetti oggettivi corredati daevidenze sperimentali, precludendo cosı la possibilita di erronee interpretazioni deifenomeni.

1.2. IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE 9

1.2 L’esperimento della doppia fenditura e

la sovrapposizione quantistica

Il principio di sovrapposizione ha un ruolo centrale in tutte le considerazioni ine-renti all’informazione quantistica. In accordo con R. Feynman l’esperimento delladoppia fenditura ha in se stesso il cuore della Meccanica Quantistica; e dunqueutile esporre il presente esperimento al fine di spiegare la sovrapposizione quanti-stica. Si consideri una sorgente (ad esempio di radiazione elettromagnetica, anchese l’esperimento e realizzabile anche con elettroni, neutroni, atomi), una doppiafenditura e uno schermo per osservare le frange d’interferenza.

Figura 1.1: Esperimento della doppia fenditura

La descrizione matematica del fenomeno avviene sfruttando il postulato 1, ovve-ro lo stato del sistema e esprimibile come combinazione lineare di una base, inparticolare:

|Ψ〉 =1√2

(|ψa〉+ |ψb〉) (1.1)

dove |ψa〉 e |ψb〉 sono gli stati corrispondenti all’apparato fisico con apertura dellasola fenditura a o b. La 1.1 esprime una sovrapposizione coerente di stati (temadella prossima sezione); e dunque un’applicazione del principio di sovrapposizione.In sintesi le particelle, sottostando al dualismo onda/particella, esprimono i lorocaratteri ondulatori e mostrano una figura d’interferenza; in particolare essa risul-ta ancora evidente a basse intensita, infatti i dati sperimentali confermano che lasingola particella puo interferire con se stessa. La sovrapposizione dei due stati(particella che passa in a o particella che passa in b) non permette di identificarein quale fenditura passi la particella. Risulta evidente che per rispondere a questoquesito e necessario un apparato di misura che interferisca con essa; questo pro-duce cio che viene definita decoerenza ovvero perdita di coerenza, che si traducesperimentalmente nella dissoluzione della figura d’interferenza. Si sottolinea chel’interferenza viene osservata solo se non si ha alcuna possibilita di conoscere ilpercorso, nemmeno in principio.


1.2.1 Stati puri e miscele statistiche

Si definisce stato puro un vettore nello spazio di Hilbert. Da un punto di vistamatematico esso e anche l’autostato di un operatore autoaggiunto; ne consegue chefisicamente per tale stato esiste un’osservabile la cui misura sul sistema darebbeluogo ad esiti non aleatori e in particolare darebbe come risultato certo l’autovalorecorrispondente all’autostato dell’operatore autoaggiunto. Un sistema composto edato dalla combinazione di stati puri la quale puo essere ancora uno stato purose la sovrapposizione e ottenibile tramite una trasformazione che coincide con uncambiamento di base (l’intero sistema e descritto dalla sovrapposizione), mentreviene definita miscela statistica se lo stato fisico del sistema e descritto da uno deglistati puri della sommatoria a cui corrisponde una certa probabilita. Quest’ultimaviene dunque descritta da un insieme statistico che preclude esiti non stocasticinelle operazioni di misura.Definito l’operatore densita ρ = |ψ〉〈ψ|, ad esso e associata una matrice:

ρnn′ = 〈n′|ψ〉〈ψ|n〉

Dunque si hanno: ρ = |ψ〉〈ψ| (stato puro) ; ρ = ΣPi|ψ〉〈ψ| (miscela statistica).La matrice densita gode delle seguenti proprieta:

• Tr(ρ) = 1 poiche Σpi = 1

• ρnn > 0

• 0 ≤ ρnn ≤ 1

• per uno stato puro: Tr(ρ2) = Tr(ρ) ovvero ρ2 = ρ

• per una miscela statistica: Tr(ρ2) < Tr(ρ)

La sovrapposizione viene definita coerente (e ancora uno stato puro) se vi sono,all’interno della matrice densita, dei termini fuori dalla diagonale principale checorrispondono alla presenza di una fase reciproca tra gli stati della sovrapposi-zione, altresı si ha una miscela statistica. Nel caso di sovrapposizione coerente,poiche stato puro, si ha un autovalore definito (”coerente”) per l’osservabile dicui il sistema e autostato. Si consideri un sistema fisico costituito da due sotto-sistemi A e B; se lo stato totale che descrive il sistema e dato dal prodotto deglistati dei due sottostistemi (|Ψ〉 = |ψ〉A|ψ〉B) viene definito separabile, mentre secompare una somma o sottrazione di stati viene detto entagled. Si supponga divoler misurare un’osservabile solo di A; essa sara dunque definita come: A ⊗ IB(dove IB e l’identita nel sottospazio del sistema B). Se lo stato e separabile al-lora ρAB = ρA ⊗ ρB, e dunque esiste un’operatore densita per lo stato di A:tr(ρAB) = tr(ρA⊗ρB) = ρAtr(ρB) = ρA. La misura del sottosistema A e ottenibiledunque tramite la traccia parziale su B dell’operatore densita di AB.

1.2. IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE 11

1.2.2 Cenni sulla teoria dell’informazione quantistica

Il principio di sovrapposizione ha ricadute sulla teoria dell’informazione. In par-ticolare se un bit classico e assimilabile allo ”switchare” tra uno stato e un altro(separati da una grande barriera di potenziale), un bit quantistico (qubit) ha lapossibilita di contenere informazione all’interno di una sovrapposizione coerente:

|Q〉 = α|0〉+ β|1〉

da cui deriva la probabilita |α|2 di ottenere |0〉 e la probabilita |β|2 di ottenere|1〉. Si potrebbe pensare che l’indistingubilita degli stati in una sovrapposizionetenda a declinare la possibilita di avere un’informazione ben definita, ma poicherappresentato da una sovrapposizione coerente, il qubit ha sempre un valore bendefinito per una base. E noto che i coefficienti α e β sono riconducibili, grazie allanormalizzazione della somma delle probabilita, a una forma contenente le variabiliangolari:

|Q〉 = cosθ

2|0〉+ eiφsin

θ

2|1〉

A tale forma corrisponde una sfera denominata sfera di Bloch, la quale esprimela continuita dei valori assunti dalla sovrapposizione. Scaturisce dunque una do-manda: quanta informazione contiene un qubit? La cui risposta e semplicementeun’altra domanda: come si puo quantificare qualcosa senza poterla misurare?

Figura 1.2: Sfera di Bloch

Si conclude elencando, per completezza, alcune delle proprieta (dimostrabili) dicui gode il qubit:

• Il qubit non puo essere convertito in bit classici

• Il qubit non puo essere clonato o eliminato

• Il qubit puo essere teletrasportato (argomento della presente trattazione)


1.3 Il Paradosso EPR e il realismo locale

Si consideri il decadimento di una particella con spin nullo (e.g. π0). Definendol’origine del sistema di riferimento coincidente con essa si avra l’emissione deiprodotti del decadimento in direzioni opposte. Per la conservazione del momentoangolare gli spin di questi ultimi saranno opposti in verso. Scegliendo un asse perla misura di tale momento (z), lo stato di spin del sistema sara descritto dallaconfigurazione di singoletto:

|Ψ〉 =1√2

(| ↑〉1| ↓〉2 − | ↓〉1| ↑〉2) (1.2)

Il principio di sovrapposizione permette di definire lo stato totale come combinazio-ne dei vettori di una base, in questo caso quella determinata dalle due combinazionidi spin antiparalleli per le particelle 1 e 2. Tale stato viene denominato entanglede una misura su una delle due particelle influenza istantaneamente il risultato diuna eventuale misura sull’altra. Infatti, essendo l’atto della misura rappresentatodall’azione di un operatore, l’effetto della prima misurazione sara quello di otte-nere uno dei due stati | ↑〉1| ↓〉2 o | ↓〉1| ↑〉2 (P = 50%) e una eventuale secondamisura avra una probabilita del 100% di ottenere lo spin antiparallelo al primo.Generalizzando si puo affermare che: dato un sistema quantistico costituito dadue particelle dove ne posizione ne momento sono ben definiti, mentre lo sono lasomma delle posizioni (centro di massa) e differenza dei momenti (singoli momen-ti nel c.m.), una misura della posizione o momento della particella 1 implica laconoscenza precisa della posizione o momento della particella 2 (a una distanzaarbitraria) senza interagire con essa.Il paradosso EPR, il quale prende il nome dai fisici Einstein, Podolsky e Rosen, sipone in antitesi a tale risultato evidenziando che una teoria fisica completa deverispettare il realismo locale. Questo significa che l’azione sulla particella 1 nonpuo influenzare istantaneamente la particella 2 senza limiti spaziali. Si precisa chetale paradosso non mette in discussione la validita della Meccanica Quantisticama piuttosto la sua completezza. Al fine di rimuovere la sua indeterminazione,la meccanica dei quanti viene inserita all’interno della classe di teorie denominateteorie locali a variabili nascoste. Secondo tale interpretazione una misura risultaessere deterministica per natura ma si presenta con caratteri probabilistici poichealcuni gradi di liberta non sono noti precisamente. Infatti se un sistema fisico incui vengono misurati gli spin lungo z e in realta parametrizzato da (z,λ), allorase λ e nota il risultato sara deterministico altresı si otterra una distribuzione diprobabilita consistente con le predizioni della meccanica quantistica. Le teorie avariabili nascoste sono oltretutto locali perche la misura sulla particella 1 non modi-fica i valori delle variabili che governano le misure della 2 ma acquista informazioniesclusivamente circa le variabili nascoste che permettono di predire il risultato su 2.

1.3. IL PARADOSSO EPR E IL REALISMO LOCALE 13

1.3.1 La disuguaglianza di Bell

Nel suo articolo del 1964 ”On the Einstein Podolsky Rosen paradox”, il fisico JohnStewart Bell propose il suo omonimo teorema: nessuna teoria locale a variabili na-scoste puo riprodurre tutte le predizioni della Meccanica Quantistica. Tale teoremasi fonda sulla violazione della disuguaglianza di Bell di cui segue una illustrazionesintetica ed intuitiva che non sfrutta la teoria dell’entanglement o il formalismomatematico necessario, i quali saranno propri del capitolo successivo (2.2).Si considerino 2 individui (Alice e Bob), i quali possiedono 3 monete identicheciascuno. Alice si trova a Cagliari e Bob a Losanna; entrambi vogliono studiare lacorrelazione tra i risultati delle misure eseguite su sistemi fisici (i set di monete)posti in luoghi distanti. Ognuna delle monete ha il lato testa e croce e una eti-chetta che la identifica, in totale si hanno: monete 1, 2 e 3 di Alice e monete 1, 2e 3 di Bob. Tutte le monete sono coperte da singole cover opache che impedisconodi vedere le stesse; inoltre Alice o Bob possono scoprire una sola delle 3 monete.Realizzate molte copie identiche dei set di monete, l’esperimento ha inizio: Alicescopre una moneta, le restanti spariscono istantaneamente, Bob scopre la monetacon la medesima etichetta e succede altrettanto. Ripetono l’esperimento milionidi volte e il risultato e sempre il medesimo: qualsiasi sia il valore della moneta(Testa/Croce) ottenuto da Alice, Bob ottiene sempre il medesimo risultato di Ali-ce. Pensando di aver scoperto una correlazione importante tra i set di monete idue si dirigono da J. Bell per una spiegazione: quando un set di monete correlatoviene preparato il valore delle variabili nascoste non e completamente specificato,ma esiste una distribuzione di probabilita P (x, y, z) con x, y, z ∈ [T,C] e vale:

ΣP (x, y, z) = 1 (1.3)

I due possono sapere con certezza solo se due delle monete hanno il medesimovalore, si delineano cosı i seguenti casi:

Puguali(1, 2) = P (CCC) + P (CCT ) + P (TTC) + P (TTT )

Puguali(2, 3) = P (CCC) + P (TCC) + P (CTT ) + P (TTT )

Puguali(1, 3) = P (CCC) + P (CTC) + P (TCT ) + P (TTT )

(1.4)

Sfruttando la 1.3 e 1.4 si ottiene:

Puguali(1, 2) + Puguali(2, 3) + Puguali(1, 3) = 1 + 2P (CCC) + 2P (TTT ) ≥ 1 (1.5)

I due sperimentatori ottengono con una eccellente accuratezza che:

P (1, 2) ' P (2, 3) ' P (1, 3) ' 1/4

Da cui segue la violazione della disuguaglianza 1.5:

Puguali(1, 2) + Puguali(2, 3) + Puguali(1, 3) ' 3 · 1

4< 1

Capitolo 2

Entanglement Quantistico

Nel capitolo precedente si e visto come alcuni sistemi fisici mostrano diversi ca-ratteri della Meccanica Quantistica, in particolare il principio di sovrapposizione(esperimento delle due fenditure) e il non realismo-locale (paradosso EPR e disu-guaglianza di Bell). Tramite i postulati si e potuto esprimere matematicamentelo stato di tali sistemi, facendo riferimento in alcuni casi agli stati entangled. Nelpresente capitolo si dara una spiegazione piu accurata di tale aggettivo, con ladefinizione di entanglement, la sua quantificazione, esempi e sorgenti fisiche di talefenomeno.

2.1 La definizione

L’entanglement e un fenomeno fisico che si presenta nel momento in cui coppie ogruppi di particelle sono create o interagiscono in modo tale che lo stato quanticodel sistema non e esprimibile come il prodotto degli stati delle singole particelle.Ne consegue che ciascuna di esse non godra di una descrizione matematica-fisicaindipendente dalle altre, ovvero svanira l’individualita delle particelle a favore di uninsieme inseparabile. Nel formalismo matematico uno stato entangled si presentanel seguente modo; generalizzando lo stato 1.2:

|Ψ〉 =1√2

(α|0〉1|1〉2 + eiχβ|1〉1|0〉2 (2.1)

dove la fase χ e determinata dalle proprieta interne della sorgente e puo essereassunta pari a 0 a scopo illustrativo. Poiche ogni stato composito (se separabile)e esprimibile come somma o prodotto degli stati costituenti, e possibile affermareche uno stato e entangled quando si ha la somma del prodotto di stati in cui gliaddendi sono diversi. Se α = β = 1 lo stato e detto massimamente in entanglement(vedi sezione 2.3).

15

16 CAPITOLO 2. ENTANGLEMENT QUANTISTICO

2.1.1 Stato entangled come stato puro

Si consideri la configurazione di singoletto espressa dallo stato 1.2. Come e notoil sistema fisico si trova nell’autostato dell’operatore spin il cui autovalore e pari azero. Poiche la misura dello spin di tutto il sistema non ha esiti aleatori, si deduceche lo stato entangled di singoletto e uno stato puro. Ne consegue che l’operatoredensita e cosı definito: ρ = |ψ〉〈ψ|, e dunque:

ρ2AB = (|ψ〉〈ψ|)(|ψ〉〈ψ|) = |ψ〉〈ψ| = ρAB → Tr(ρ2) = Tr(ρ) (2.2)

Come e noto dalla sezione 1.2.1 l’operatore densita del sottosistema A e dato dallatraccia parziale su B dell’operatore densita AB ovvero:

ρA = trB(ρAB)

Si dimostra che per uno stato entangled essa e pari vale (vedi ”trasferimentosubluminale d’informazione”):

ρA = I/2

Il medesimo risultato e raggiungibile per una miscela statistica dei medesimi statiche compongono lo stato entangled. Questo implica che dal punto di vista EPRla probabilita delle misure in Meccanica Quantistica e insita nella miscela che de-scrive lo stato e non nella natura stessa, ma cio e negato dalla trattazione di JohnBell (sezione 2.2.1). Piu concretamente questo implica che in uno stato entan-gled, gli esiti stocastici di misure sul sistema non sono dovuti all’ignoranza dellosperimentatore sullo stato reale del sistema, ma sono dovuti al fatto che si stamisurando un’osservabile non compatibile con quella della quale il sistema si trovain un autostato e dunque la stocasticita e insita nella natura stessa.

Cenni sulla decoerenza:

• Lo stato totale del sistema non e piu entanlged (sovrapposizione coerente) edunque puro quando subentra la decoerenza

• In uno stato entangled, poiche puro, si ”perde” la coerenza dei due sottosiste-mi singoli che lo compongono, i.e. non e possibile misurare la fase reciprocadei sottostati (vedi capitolo 4)

2.2. LE PROPRIETA DI UNO STATO ENTAGLED 17

2.2 Le proprieta di uno stato entagled

La formulazione matematica di uno stato entangled permette di evidenziare alcunedelle sue proprieta fisiche fondamentali.

|Ψ〉12 =1√2

(|0〉1|1〉2 + |1〉1|0〉2 (2.3)

Dalla trattazione sull’esperimento delle due fenditure (sezione 1.2) e noto che ilprincipio di sovrapposizione puo essere interpretato come assenza di conoscenzacirca lo stato occupato dal sistema tra le possibilita date dagli stati che compon-gono tale sovrapposizione. In particolare il qubit 1 puo avere valore 1 o 0 e inegual modo il qubit 2 puo avere come valore 0 o 1; solo una misurazione producevalori ben definiti per i due qubits. Risulta evidente che tale indistinguibilita e unaproprieta delle basi di uno stato entangled ed e inoltre alla base della produzionedi esso, la cui trattazione seguira nella sezione 2.4.E inoltre interessante notare che nessuno dei due qubits possiede un valore defini-to, difatti se un sottosistema e soggetto a un’azione di misura il risultato ottenutosara assolutamente random e il sottosistema correlato avra un valore opposto.La presente proprieta di correlazione e del tutto indipendente dalla locazione delledue particelle coinvolte e dunque rappresenta una violazione del realismo locale;inoltre l’essenza di tale violazione e che non vi e nessuna possibilita di spiegare lacorrelazione tra le due parti sulla base i proprieta locali dei qubits singoli. I duequbits sono piu che correlati, sono una entita inseparabile. Sono entangled.

2.2.1 Paradosso EPR e disuguaglianza di Bell: Formalismo

Data la violazione del realismo locale (proprio del paradosso EPR) sembra oppor-tuno rivisitare in chiave piu formale la disuguaglianza che permette di escluderela presenza di variabili nascoste. In particolare si formalizzeranno le risposte a tredomande: [1] perche il concetto di variabile nascosta esplica il carattere aleatoriodelle misure in MQ? [2] Come viene violata la disuguaglianza di Bell in un espe-rimento di MQ? [3] L’informazione viaggia piu veloce della luce?

Si considerino due particelle di spin semintero prodotte simultaneamente in unostato di singoletto. Indicando con σ1 e σ2 le due componenti dello spin selezionatesi avra che a una misura σ1 · a = +1 sara correlata σ2 · a = −1 e vice versa se a eil versore della misura. S’introduca il parametro continuo λ e tale per cui sia unamisura lungo a sia lungo b possa essere parametrizzata da esso in modo tale chela misura B non influenzi quella in A.


Variabile nascosta e misure in MQ

Supponendo che la particella con spin 1/2 abbia polarizzazione lungo p e la va-riabile nascosta abbia una distribuzione di probabilita uniforme sulla semisferaλ · p > 0, il valore della misura dello spin potra essere:

sgnλ · a′

dove a′ e un vettore unitario dipendente da a e p. Mentre il valore di aspettazionedi una misura di spin sara:

〈σ · a〉 = 1− 2θ′/π (2.4)

dove θ′ e l’angolo tra a′ e p. Ipotizzando che a′ sia ottenuto da a per rotazionenella direzione di p sino:

1− 2θ′

π= cosθ

dove θ e l’angolo tra a e p. Si ottiene dunque che:

〈σ · a〉 = cosθ (2.5)

Da cui risulta evidente che la misura e determinata da una variabile extra con ca-ratteri statistici (poiche ignota) che soddisfano le necessita stocastiche delle misurein Meccanica Quantistica.

Violazione della disuguaglianza

Nel 1964 J. Bell propose una generalizzazione dell’esperimento EPR considerandorivelatori di spin mobili per angoli arbitrari e indipendenti. Si consideri una par-ticella avente spin nullo che decade; i prodotti del decadimento saranno descrittida una configurazione di singoletto e ne saranno misurati gli spin lungo direzioniarbitrarie sui due rivelatori distanti. Dati i vettori di misura a e b si ha che il valormedio del prodotto degli spin e:

P (a, b) = −a · b

La presente dimostrazione verte sulla impossibilita di ottenere un tale risultato perqualsiasi teoria (locale) a variabile nascosta. Si supponga dunque che le misuresulle due particelle siano scorrelate (teoria locale) ma dipendenti dalla variabilenascosta λ. Esistono di conseguenza due funzioni A(a, λ) e B(b, λ) che esprimonoil risultato della misura rispettivamente della particella 1 e particella 2 e dunquehanno valore pari a ±1. Per rivelatori allineati si ha:

A(a, λ) = −B(b, λ) (2.6)


Si denoti con ρ(λ) la funzione di densita di probabilita della variabile nascosta;allora segue che:

P (a, b) =

∫ρ(λ)A(a, λ)B(b, λ)dλ

Per la 2.6 essa diventa:

P (a, b) = −∫ρ(λ)A(a, λ)A(b, λ)dλ (2.7)

Introducento un versore arbitrario c, si ha:

P (a, b)− P (a, c) = −∫ρ(λ)[A(a, λ)A(b, λ)− A(a, λ)A(c, λ)]dλ

Ma |A(b, λ)|2 = 1 e quindi:

P (a, b)− P (a, c) = −∫ρ(λ)[1− A(b, λ)A(c, λ)]A(a, λ)A(b, λ)dλ (2.8)

Poiche valgono:A(a, λ) = ±1;A(b, λ) = ±1;A(c, λ) = ±1

allora:

−1 ≤ A(a, λ)A(b, λ) ≤ 1

ρ(λ)[1− A(b, λ)A(c, λ)] ≥ 0(2.9)

Calcolando il modulo della 2.8 e usando la 2.9:

|P (a, b)− P (a, c)| ≤∫ρ(λ)[1− A(b, λ)A(c, λ)]dλ

ovvero:|P (a, b)− P (a, c)| ≤ 1 + P (b, c) (2.10)

Nota come disuguaglianza di Bell. L’incompatibilita con le predizioni della Mec-canica Quantistica e evidente con un esempio. Se a e b formano un angolo di π/2e c e posto a π/4 rispetto a entrambi si ha:

P (a, b) = 0;P (a, c) = P (b, c) ' −0.7

e la 2.10 e violata poiche: 0.7 � 1− 0.7. La violazione della disuguaglianza di Bellcomporta la negazione di due assunzioni implicite dell’esperimento: conoscendola variabile nascosta e possibile predire con certezza il risultato di ogni misura(realismo), la misura in un luogo non influenza in alcun modo quella in un altro”lontano” (localita). Si conferma dunque la completezza della MQ, l’impossibilitadi descrivere le sue predizioni con carattere stocastico mediante variabili nascostee la non localita delle conseguenze dei processi di misura.


Trasferimento subluminale d’informazione

299’792’458 m/s e il valore della velocita della luce e rappresenta una delle costantifondamentali della fisica: c. Dal diagramma di Minkowski della relativita ristrettae noto che la coordinata spaziale e quella temporale sono strettamente dipendenti;in particolare nel diagramma (x, ct) tale legame e evidenziato proprio dal limitedi propagazione dei segnali luminosi (c). Il presente limite coincide con quellodel trasferimento d’informazione e in tale diagramma e rappresentato dalle duebisettrici dei quadranti, difatti nessuna particella avente massa puo raggiungere lavelocita della luce a causa del fattore lorentziano. Si delineano cosı delle regionidell’universo che non hanno legami tra loro, infatti se si considera un evento nel-l’origine gli unici eventi ad esso correlati sono quelli situati nell’ipercono superiore(futuro assoluto di 0) e quello inferiore (passato assoluto di 0).

Figura 2.1: Diagramma di Minkowski

Risulta evidente il contrasto tra la relativita ristretta e la teoria dell’entanglementpoiche se una impone trasferimenti d’informazione subluminali, l’altra afferma chee possibile conoscere il valore di una variabile entangled (e.g. spin) di una particellaa distanza arbitraria conoscendo il risultato della misura sulla particella correlata.Tale contrasto non e solo di natura fisica ma anche di natura logica.


Si consideri un segnale che viaggia lungo x a velocita u e due eventi (A e B):

xB − xA = u(tB − tA) (2.11)

B si verifica dopo A: ∆t = tB − tA > 0. Nel sistema K ′ in moto rispetto a K convelocita v:

∆t′ = t′B − t′A = γ[(tB − tA)− v

c2(xB − xA)

]Sostituendo la 2.11:

∆t′ = γ[(tB − tA)− vu

c2(tB − tA)

]Dunque:

∆t′ = γ[1− vu

c2

]∆t

Da cui segue che se u fosse maggiore di c esisterebbe un sistema inerziale in cuil’effetto precede la causa. Pur non dimostrando l’inesistenza di particelle con ve-locita superluminale (non e possibile viaggiare a velocita pari a c) e necessarioconcludere che, per mantenere valida la causalita, l’informazione deve viaggiare auna velocita massima pari a c.

La proprieta dell’entanglement secondo cui e possibile dedurre informazioni cir-ca la particella 1 (per esempio in uno stato di singoletto) misurando lo stato della2, suggerisce un meccanismo superluminale d’informazione. Tale affermazione none esatta poiche trascura un aspetto fondamentale della misura: la scelta della ba-se. Al fine di spiegare il teorema di non-comunicazione il quale implica che dueosservatori macroscopici non possano sfruttare l’entanglement quantistico per tra-smettersi informazioni in modo istantaneo (cioe a velocita maggiore di quella dellaluce), si sfrutta il banale esempio che segue. Si considerino Alice e Bob, la prima hai suoi qubits sulla Terra e il secondo nella costellazione di Andromeda. Alice vuoleinviare dell’informazione a Bob e puo decidere di misurare lo spin lungo x oppurelungo z; ne consegue che per Bob vi saranno due insiemi equamente probabili per isuoi qubits: [| ↑z〉A, | ↓z〉A] e [| ↑z〉A, | ↓z〉A]. Poiche non vi e alcun modo per Bob didistinguere tra i due insiemi quello corretto, non vi e alcun modo per Alice di comu-nicare il messaggio. Al fine di evidenziare cio si considerino i due seguenti casi. Sisupponga che vi siano molte copie dei qubits e che Alice chiami Bob per riferirgli l’e-sito delle misure, senza accennare alcun informazione sulla base considerata; alloraBob, se misura sul medesimo asse, avra una coincidenza perfetta delle misure, vice-versa otterra una compatibilita del 50 %. Quest’ultima affermazione e vera poichein un asse ortogonale non si ha correlazione e, essendo 2 i possibili risultati dellamisura, la probabilita del singolo e pari a 1/2. Ne consegue che se la statistica e affi-dabile Bob riesce a dedurre la base corretta e quindi ricevere il messaggio; il metodopero sottintende un passaggio d’informazione subluminale circa l’esito delle misure.


Dal punto di vista matematico il paradosso e risolvibile secondo quanto segue.Si consideri il seguente stato entangled:

|Ψ〉 =1√2

(|0〉A|0〉B + |1〉A|1〉B)

L’operatore densita del sistema AB e:

ρAB =|0〉|0〉+ |1〉|1〉√

2

〈0|〈0|+ 〈1|〈1|√2

=|00〉〈00|+ |00〉〈11|+ |11〉〈00|+ |11〉〈11|

2

Da esso si ricava l’operatore densita per il sottosistema A:

ρA = trB(ρAB) =|0〉〈0|〈0|0〉+ |0〉〈1|〈0|1〉+ |1〉〈0|〈1|0〉+ |1〉〈1|〈1|1〉

2

Ma poiche gli stati sono normalizzati ed ortogonali:

ρA =|0〉〈0|+ |1〉〈1|

2=

1

2

(1 00 1

)=

I

2(2.12)

Tale operatore esprime l’ignoranza di Alice sull’azione di Bob, infatti pur essendopreparato in uno stato puro il sistema originale appare ad Alice come una misturadi |0〉A e |1〉A (50:50) e l’azione di Bob non puo cambiare nulla sulla sua conoscenzadi esso, a meno che le invii informazioni circa la sua azione tramite un canaledi comunicazione classico (a velocita subluminali). Si dimostra che il medesimorisultato vale anche per ρB.

2.3. LA QUANTIFICAZIONE DELL’ENTANGLEMENT 23

2.3 La quantificazione dell’Entanglement

Nella Meccanica Quantistica Statistica l’entropia di Von Neumann, essendo un’e-stensione quantistica dell’entropia di Gibbs e Shannon, e definita come:

S = −tr(ρlnρ) (2.13)

Dato un sistema descritto dall’operatore densita ρ essa esprime la sua differenzada uno stato puro la cui entropia e nulla. Essa gode di diverse proprieta chepermettono di quantificare l’informazione quantistica e classica di un insieme distati e l’entanglement di una sovrapposizione coerente.

• Stati puri. Uno stato puro ρ = |ψ〉〈ψ| ha S(ρ) = 0

• Miscele statistiche. Uno stato massimamente in miscela statistica (ovverotutti gli stati hanno probabilita uguale) possiede il massimo dell’entropia:S = lnN ; dove N e la dimensione dello spazio di Hilbert corrispondente.

• Invarianza unitaria. L’entropia e invariante per trasformazioni unitarie dibase poiche S(ρ) dipende solo dagli autovalori di ρ: S(UρU−1) = S(ρ)

• Concavita. L’entropia e maggiore se siamo piu ignoranti circa la preparazio-ne del sistema, come conseguenza della convessita della funzione logaritmo.

• Stati biparte puri. Se uno stato composto da A e B, e descritto da ρAB epuro allora: S(A) = S(B)

Si consideri lo stato di tripletto 2.3. Se il sistema composto e in questo stato, eimpossibile attribuire o al sottosistema A o al sottosistema B uno stato puro defi-nito. In altri termini mentre l’entropia di tutto il sistema e zero (come dev’essereper uno stato puro), l’entropia dei sottosistemi e maggiore di zero.

2.3.1 Esempio: stati di Bell

Se e possibile quantificare l’entanglement, allora quando esso e massimo? Glistati massimamente entagled sono caratterizzati dalla massima incertezza sullapreparazione del sistema e dunque tutti gli stati della sovrapposizione hanno lamedesima probabilita. Come visto nella 2.12, in tal caso l’operatore densita di unsottosistema e multiplo semintero della matrice identita ovvero e massimamentein miscela statistica. Gli stati Bell sono un esempio di massimo entanglement eformano una base nello spazio di Hilbert:

|Φ+〉 =|0〉A|0〉B + |1〉A|1〉B√

2; |Φ−〉 =

|0〉A|0〉B − |1〉A|1〉B√2

|Ψ+〉 =|0〉A|1〉B + |1〉A|0〉B√

2; |Ψ−〉 =

|0〉A|1〉B − |1〉A|0〉B√2


2.4 Le realizzazioni sperimentali di Entanglement

tra particelle

I sistemi fisici che sfruttano stati entangled sono accomunati dall’isolamento dal-l’ambiente e dalla massimizzazione dell’entanglement. Tre diversi esperimenti sonoriusciti ad ottenere le condizioni quantiche necessarie e hanno avuto ripercussioninei campi inerenti l’informazione quantistica. Essi si basano sull’elettrodinamicadelle cavita quantiche (QED in cavita), trappole di ioni e risonanza magneticanucleare (NMR). Nel primo caso si ha l’interazione tra la luce confinata in unacavita riflettente e atomi, in particolare e di rilievo l’utilizzo di circuiti a RF consuperconduttori i quali vengono usati per generare dei chip a risonatori a microon-de che confinano i singoli fotoni e gli permettono di interagire con dei quantumdot. Nel secondo caso vengono catturati degli ioni mediante un potenziale attrat-tivo che poi cambia segno in modo alternato e possono interagire generando statientangled sui gradi di liberta vibrazionali e di eccitazione elettronica. Nel terzocaso le transizioni tra i livelli Zeeman (iperfine) di un nucleo immerso in un campomagnetico permettono di ottenere informazioni circa l’isospin del nucleo atomicoche diventa una buona sorgente di qubits. Ad oggi pero l’ottica quantistica si erivelata la piu soddisfacente per qualita di entanglement prodotto ed esistono dueclassi in cui puo essere stabilito l’entanglement: tra fotoni singoli oppure tra duepolarizzazioni ortogonali di un raggio di luce.

2.4.1 Conversione parametrica spontanea

L’ottica non lineare e una parte dell’elettrodinamica classica che studia campielettrici forti (generati ad esempio da laser) che scatterano anelasticamente indiversi modi. Questo significa che l’interazione con il materiale non cambia solo ladirezione ma anche la frequenza della luce. L’aggettivo ”non lineare” denota che ilvettore polarizzazione P e legato al vettore del campo elettrico E da una relazionenon lineare; difatti considerando lo sviluppo della suscettivita del materiale siottiene l’ordine piu basso del processo non lineare (il pedice indica la componentei-esima):

Pi = χ(1)ij Ej + χ

(2)ijkEjEk + χ

(3)ijklEjEkEl + ...

Al fine di osservare interazioni non lineari all’interno di un volume d’interazionegrande rispetto alle lunghezze d’onda coinvolte, e necessario considerare i contri-buti di tutto il volume. L’interferenza tra i contributi genera delle relazioni di fasetra i diversi vettori d’onda associati ai campi elettromagnetici. I processi basatisull’interazione del campo con l’atomo possono essere sia stimolati sia spontanei.Un caso particolare di quest’ultimo e dato dalla conversione parametrica sponta-nea, la quale e un processo non lineare che coinvolge χ(2) e in cui un solo campo e

2.4. LE REALIZZAZIONI SPERIMENTALI DI ENTANGLEMENT 25

inizialmente eccitato con una pulsazione ωp.Cio che fisicamente avviene e una suddivisione dei fotoni in coppie, in accordo conle leggi di conservazione dell’energia e momento le quali determinano delle relazionidi fase tra i fotoni nel dominio delle frequenze. In particolare se i fotoni generatiavranno pulsazioni ω1 e ω2 allora:

ω1 + ω2 = ωp

da cui segue:k1 + k2 = kp

dove k e il vettore d’onda. Se i fotoni hanno la medesima polarizzazione le relazionidi fase e la conversione vengono denominate di Tipo-1, viceversa se ortogonali sidefiniscono di Tipo-2. Tale processo e stimolato dalle fluttuazioni del vuoto, percione consegue che i fotoni sono generati in istanti random. L’efficienza di conversionee molto bassa (1 paio ogni 1000 fotoni incidenti) ed e stimabile tramite il modulodelle componenti di χ(2).

2.4.2 Autostati del momento in entanglement

L’entanglement in questione e indotto dalle relazioni di fase che governano l’emis-sione di differenti lunghezze d’onda in differenti direzioni. Si consideri un’aperturaA (vedi figura); sono selezionati due modi (direzioni) dalla conversione parame-trica. La selezione per ogni coppia prevede: un fotone di colore a (pulsazionemaggiore della meta di quella di pompaggio), un fotone di colore b (pulsazioneinferiore della meta di quella di pompaggio). Prima dello beamsplitter lo stato e:

|Ψ〉 =1√2

[eiφb|a〉1|b〉2 + eiφa|a〉2|b〉1] (2.14)

Il quale e uno stato entangled nonostante vi sia distinguibilita tra i modi. L’en-tanglement si manifesta realmente quando il modo a e il modo b si ricombinanonel beamsplitter 50/50.

Figura 2.2: Schema dell’esperimento sull’entanglement di momento lineare basato sulla conversione parametricadi Tipo-1


Il beamsplitter trasforma un campo in ingresso (in) nel seguente modo:

|in〉1 →1√2

[|out〉3 + i|out〉4]

|in〉2 →1√2

[|out〉4 + i|out〉3](2.15)

E dunque lo stato prima dei rivelatori e:

|Ψ〉 =1

2[(eiφa − eiφb)|a〉4|b〉3 + (eiφb − eiφa)|a〉3|b〉4+

i(eiφa + eiφb)|a〉4|b〉4 + i(eiφa + eiφb)|a〉3|b〉3](2.16)

Il modulo quadro delle ampiezze esprime la probabilita di coincidenza nelle ri-velazioni tra i detector relativi ad a e b; essa varia cosinusoidalmente rispetto aφ = φa − φb (ovvero la differenza di fase). Si noti che nel processo di conversioneparametrica non e conservata la fase ma solo la somma delle fasi nel modo a eb, ed essa e pari a quella della raggio della sorgente. Quando φ = φa − φb = 0 epossibile confermare la non localita del processo tramite il 100% di correlazionenelle misure binarie di momento.

2.4.3 Autostati di polarizzazione in entanglement

Si consideri una conversione parametrica spontanea con relazioni di fase di tipo-2.Se e presente un angolo tra il raggio sorgente e l’asse ottico di conversione i fotonisono emessi lungo coni che non hanno un asse comune (vedi figura). Uno dei duesara polarizzato ordinariamente, viceversa l’altro; inoltre essi si intersecherannolungo due direzioni. Poiche nel tipo-2 i fotoni sono sempre polarizzati ortogonal-mente, lungo le direzioni d’intersezione si avra luce emessa non polarizzata e inlinea di principio non e possibile distinguere a quale cono appartenga un fotone.

Figura 2.3: Entanglement di polarizzazione tramite conversione parametrica di Tipo-2

2.5. ANALIZZATORE DI STATI DI BELL 27

Come visto nella sezione 2.2 l’indistinguibilita e una proprieta fondamentaledei sottosistemi in entanglement e in questo caso non e esattamente verificata.Le onde luminose che vibrano lungo la direzione dell’asse ottico ”vedono” un in-dice di rifrazione nS (indice di rifrazione straordinario) mentre quelle che invecevibrano perpendicolarmente vedono nO (indice di rifrazione ordinario) tale chenS 6= nO. Scaturisce dunque una differenza di velocita tra i fotoni che comportauna distinguibilita temporale nella rilevazione. E comunque possibile eliminare ladifferenza di cammino inserendo dei cristalli identici di meta spessore e ruotati diπ/2, ottenendo cosı un vero entanglement di polarizzazione; esso e descritto da:

|Ψ〉 =1√2

[|V 〉1|H〉2 + eiφ|H〉1|V 〉2] (2.17)

dove H e V indicano rispettivamente polarizzazione orizzontale e verticale.L’inserimento dei cristalli puo portare inoltre a cambiare la fase tra le componentidello stato entangled. Questo permette di ottenere, inserendo una lamina quartod’onda in uno dei due raggi, altri due stati di Bell:

|Φ±〉 =1√2

[|V 〉1|V 〉2 ± |H〉1|H〉2]

2.5 Analizzatore di stati di Bell

L’analisi di stati di Bell, necessaria nel teletrasporto quantistico, si basa sulla pro-iezione di uno stato sulla base costituita dagli stati di Bell; una ripetizione di talemisura comporta la conoscenza della probabilita che lo stato iniziale possa esseretrovato in uno degli stati citati. Gli stati di Bell dipendono dal tipo di entangle-ment che li descrive e nel caso di entanglement di polarizzazione tra due fotoni solouna proiezione su due stati di Bell e possibile, e questo comporta la degenerazionenella rilevazione degli altri due. Tale analisi viene denominata Analisi parziale distati di Bell e si basa sull’osservazione di antisimmetricita per scambio di particelledi uno dei quattro stati di Bell (|Ψ−〉).

|Φ+〉 =|0〉A|0〉B + |1〉A|1〉B√

2; |Φ−〉 =

|0〉A|0〉B − |1〉A|1〉B√2

|Ψ+〉 =|0〉A|1〉B + |1〉A|0〉B√

2; |Ψ−〉 =

|0〉A|1〉B − |1〉A|0〉B√2

(2.18)

Gli stati di Bell esprimono gli stati interni delle particelle; per una descrizionetotale e necessario introdurre la parte spaziale. Nel caso di un esperimento chesfrutta bosoni lo spinore dovra essere simmetrico e dunque per lo stato |Ψ−〉 siavra una parte spaziale antisimmetrica e viceversa per gli altri tre.


Si considerino due fotoni in uno stato di Bell di polarizzazione (grado di libertainterno); poiche bosoni sono descritti da uno spinore simmetrico. Si consideri oral’incidenza dei due su un beam-splitter (a e b sono i modi); i possibili stati spazialisono:

|ΨA〉 =1√2

(|a〉1|b〉2 − |b〉1|a〉2)

|ΨS〉 =1√2

(|a〉1|b〉2 + |b〉1|a〉2)

dove i pedici A e S indicano: antisimmetrica e simmetrica. Al fine di garantire lasimmetricita dello stato totale si ha:

|Ψ+〉|ΨS〉, |Ψ−〉|ΨA〉, |Φ+〉|ΨS〉, |Φ−〉|ΨS〉

Poiche l’azione dello beam-splitter e descritta dalla trasformazione di Hadamard,il quale agisce solo sulla parte spaziale si ha:

H|a〉 =1√2

(|c〉+ |d〉)

H|b〉 =1√2

(|c〉 − |d〉)(2.19)

si ha:

H|ΨA〉 =1√2

(|c〉1|d〉2 − |d〉1|c〉2) = |ΨA〉

Dunque |ΨA〉 e autostato dell’operatore beam-splitter e questo non influenza lostato interno del sistema; ne consegue che e possibile individuare lo stato spazial-mente antisimmetrico e di conseguenza lo stato di Bell |Ψ−〉.Poiche due stati ortogonali massimamente in entanglement possono essere distinti,e possibile individuare lo stato di Bell |Ψ+〉 tramite una misura della polarizzazio-ne. In tal modo si e riusciti a distinguere due stati di Bell su quattro, raggiungendol’obbiettivo dell’analisi parziale di stati di Bell.

Capitolo 3

Teletrasporto Quantistico

Il primo capitolo ha visto l’introduzione dei concetti base della Meccanica Quan-tistica quali stati, misure e principio di sovrapposizione (interferenza). Nel secon-do capitolo si e analizzato l’entanglement e dunque le sue proprieta, tra cui lanon-localita, l’indistinguibilita degli stati costituenti, la sua massimizzazione conesempi e la sua generazione (conversione parametrica). Il presente capitolo ha loscopo di introdurre, spiegare e mostrare la realizzazione pratica del teletraspor-to quantistico, il quale unisce i concetti precedentemente citati per trasferire unostato quantico in un altro sistema in una locazione distante.

3.1 La visione classica e quantistica

Il termine teletrasporto indica nel linguaggio comune il trasferimento simultaneodi un oggetto da un luogo a un altro senza compimento di alcun moto nello spazio.Banalmente questo risulta impossibile ma scaturiscono a riguardo due concezioni.

La prima e caratterizzata da una visione classica che vede l’acquisizione d’in-formazioni circa un determinato oggetto (lasciandolo intatto) e l’utilizzo delle me-desime per manipolare altra materia al fine di ottenere una copia dello stesso. Nonsi sta dunque trasportando un oggetto ma lo si sta copiando, inoltre non e pos-sibile attuare tale schema con velocita superluminali. Da un’analisi quantitativadel problema si rivela che: per un oggetto di 50Kg vi sono 1028atomi e per cia-scuno sono necessari 100 bit al fine di determinarne il tipo e la posizione relativa.Segue che l’informazione da acquisire e pari circa a 1030 bit, a cui corrisponde, sesi considera un processore da 10GHz, un tempo di circa 1020s ' 3 · 1012 anni!

29

30 CAPITOLO 3. TELETRASPORTO QUANTISTICO

Figura 3.1: Teletrasporto come copia di un oggetto

Da un punto di vista quantistico e particolarmente rilevante notare cio checomporta una misura precisa delle posizioni atomiche. Sfruttando il principio diindeterminazione di Heisenberg si ha:

∆p ' h

∆x=⇒ ∆E ' ∆p2

2m' h2

2m∆x2

Considerando una massa dell’ordine di grandezza di quella del protone, una pre-cisione nella distanza di circa un raggio atomico (atomo d’idrogeno), si ottiene:

∆E ' (10−34)2

3× 10−27(10−11)2J ' 3 · 10−20J

Ad essa corrisponde una variazione di velocita casuale delle particelle che e rela-zionata alla variazione di temperatura del corpo:

1

2KB∆T ' ∆E =⇒ ∆T ' 2∆E

KB

' 6× 10−20

1.410−23J/K' 4000K

Se non e possibile ”teletrasportare” un oggetto e lecito pensare che possa esseretrasferito uno stato ”interno” e dunque quantistico. Ancora una volta si vuole ac-quisire informazioni circa un determinato sistema quantistico (lasciandolo intatto)e utilizzare le medesime per manipolare altra materia al fine di ottenere una copiadello stesso. Da un punto di vista quantistico e noto dal capitolo 1 che l’azione dimisura fa collassare il sistema in uno degli stati che lo compone cancellando cosılo stato iniziale, dunque non e possibile mantenere il sistema inalterato. Inoltrela copia di uno stato quantico e negata dalla teorema di no-cloning citato nellasezione 1.2.2, in particolare la fedelta rirpoduttiva non puo essere superiore a 5/6.Sembra dunque impossibile la realizzazione del teletrasporto quantistico ma essae invece fisicamente ottenibile sfruttando la teoria dell’entanglement.

3.2. IL PROTOCOLLO DEL TELETRASPORTO QUANTISTICO 31

3.2 Il protocollo del teletrasporto quantistico

Lo schema di seguito presentato e stato proposto nel 1993 da C. H. Bennett, G.Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres e W. K. Wootters. Alice possiede unostato da trasferire a Bob (1), condivide uno stato entangled con lui (particelle2 e 3) e puo trasmettere classicamente informazione, mentre Bob puo effettuaretrasformazioni unitarie (U) sullo stato 3.

Figura 3.2: Schema del protocollo del teletrasporto quantistico

Si supponga che Alice abbia una particella 1 in uno stato quantistico descritto da:

|Ψ〉1 = α|0〉1 + β|1〉1 (3.1)

dove |0〉 e |1〉 sono due stati ortogonali con ampiezze complesse α e β che soddisfanola relazione |α|2 + |β|2 = 1. Alice vuole inviare il presente stato a Bob sfruttandol’entanglement e un canale di comunicazione classico. I due condividono una coppiaEPR, ovvero una coppia di particelle (2 e 3) in uno stato entangled completamenteignoto ad entrambi (Alice particella 2 e Bob particella 3); e possibile immaginaretale fatto come se lo stato fosse preparato da un’altra persona, per cui i due nonhanno potuto effettuare azioni di misura su di esso. Lo stato delle particelle 2 e 3si trova in uno dei quattro stati di Bell, per le considerazioni esposte nella sezione2.5 si considera:

|Ψ−〉23 =1√2

(|0〉2|1〉3 − |1〉2|0〉3) (3.2)

Essendo uno stato entangled se una particella e sottoposta a un’azione di misura,esso ha la proprieta di proiettarsi su un determinato stato che e sovrapposizionedi |0〉 e |1〉 e le due particelle saranno istantaneamente identificate da due statiortogonali.


La 3.1 esprime dunque lo stato della particella 1 da trasferire e la 3.2 lo statoentangled delle particelle 2 e 3 sfruttate per il teletrasporto quantistico. Si notiche particelle 1 e 2 non sono in entanglement; e dunque possibile ricondurre lostato complessivo delle tre particelle (prodotto tra la 3.1 e la 3.2) nella base deiquattro stati di Bell:

|Ψ〉123 = |ψ〉1 ⊗ |ψ〉23 = (α|0〉1 + β|1〉1)1√2

(|0〉2|1〉3 − |1〉2|0〉3)

=1

2(α|001〉123 − α|010〉123 + β|101〉123 − β|110〉123)

(3.3)

Dai quattro stati di Bell (2.18) si ricava:

|Ψ+〉+ |Ψ−〉 =2√2|01〉;

|Ψ+〉 − |Ψ−〉 =2√2|10〉;

|Φ+〉+ |Φ−〉 =2√2|00〉;

|Φ+〉 − |Φ−〉 =2√2|11〉

Mediante le presenti sostituzioni la 3.3 diventa:

|Ψ〉123 =1

2α(|Φ+〉12 + |Φ−〉12)|1〉3 −

1

2α(|Ψ+〉12 + |Ψ−〉12)|0〉3

+1

2β(|Ψ+〉12 − |Ψ−〉12)|1〉3 −

1

2β(|Φ+〉12 − |Φ−〉12)|0〉3

(3.4)

Raccogliendo gli stati relativi alle particelle 1 e 2 si ottiene:

|Ψ〉123 =1

2[|Ψ−〉12(−α|0〉3 − β|1〉3)

+|Ψ+〉12(−α|0〉3 + β|1〉3)

+|Φ−〉12(+α|1〉3 + β|0〉3)

+|Φ+〉12(+α|1〉3 − β|0〉3)]

(3.5)

Dalla 3.5 consegue che una misura attuata da Alice sullo stato delle particelle 1e 2 impone che la particella 3 (di Bob) si trovi in una delle quattro combinazionitra parentesi tonde. Tale combinazione e direttamente correlata a quella inizialeche Alice vuole trasmettere (particella 1, formula 3.1).

3.2. IL PROTOCOLLO DEL TELETRASPORTO QUANTISTICO 33

La correlazione tra la sovrapposizione che descrive la particella 3 (di Bob) e lostato iniziale della particella 1 (di Alice) e data dalle matrici di Pauli; in particolare:

Alice misura |Ψ−〉12 → Bob applica I(3)

Alice misura |Φ−〉12 → Bob applica σ(3)x

Alice misura |Φ+〉12 → Bob applica σ(3)y

Alice misura |Ψ+〉12 → Bob applica σ(3)z

Si noti che i parametri α e β rimangono ignoti ad ambo gli sperimentatori; infattiAlice tramite la proiezione sugli stati di Bell non acquisisce alcuna informazionesullo stato della particella 1 e l’azione di Bob, come espresso dalla formula 2.12,non amplia la conoscenza di Alice sullo stato iniziale della particella 1. Le trasfor-mazioni unitarie applicate da Bob non permettono di conoscere i valori α e β, lacui misura effettiva comporterebbe un disturbo del sistema.Si noti inoltre che le azioni di misura e proiezione producono per la particella 1 unaperdita dello stato iniziale, questo fa sı che il presente processo non stia copiandolo stato ma lo stia puramente trasferendo, in accordo con il termine ”teletraspor-to”. Risultano dunque garantite la validita del teorema di no-cloning e la nonconoscenza dello stato iniziale.

Sintesi del protocollo del teletrasporto quantistico

1. Alice vuole trasferire lo stato della particella 1 a Bob

2. Una terza persona prepara uno stato entangled per le particelle 2 e 3

3. Alice possiede la particella 2 e Bob la 3

4. Alice proietta lo stato delle particelle 1 e 2 su uno dei quattro stati di Bell

5. A ogni stato di Bell corrispondera una combinazione correlata allo statodella particella 1

6. Alice comunica lo stato di Bell della misura a Bob

7. Bob compie una trasformazione unitaria per ottenere esattamente lo statodella particella 1


3.3 La realizzazione sperimentale e i risultati

3.3.1 Esperimento

La realizzazione sperimentale del teletrasporto quantistico, di cui segue la tratta-zione, e incentrata sul trasferimento di uno stato di polarizzazione di un singolofotone (1) su un altro (3). La base dell’esperimento e ancora una volta il fenome-no dell’entanglement la cui generazione e misura e attuata rispettivamente dallasorgente EPR e misuratore di stati di Bell (BSM).L’apparato sperimentale di cui segue uno schema e costituito da: una sorgented’impulso UV (laser titanio-zaffiro), un cristallo non-lineare (sorgente EPR) pergenerare i due fotoni in entanglement (2, 3), un vetro riflettente per formare altridue fotoni (1, 4) tramite il cristallo, un beamsplitter (BS), un beamsplitter conpolarizzazione (PBS), due detector f1 e f2 per la coincidenza dei fotoni 1 e 2 eindividuazione dello stato di Bell |Ψ−〉12, due detector per l’analisi dello stato delfotone 3 (d1 e d2) e un detector che ha la funzione di trigger (p).

Figura 3.3: Realizzazione sperimentale del Teletrasporto Quantistico

Si noti come la scelta dello stato di proiezione (|Ψ−〉12) da parte di Alice comportil’applicazione della trasformazione unitaria da parte di Bob; ne consegue che lostato della particella 3 sara esattamente uguale a quello della particella 1.

3.3. LA REALIZZAZIONE SPERIMENTALE E I RISULTATI 35

L’esperimento procede nel seguente modo. Il laser genera un impulso lungo200fs; quest’ultimo passa all’interno del cristallo e per conversione parametricagenera due fotoni (2 e 3) in entanglement. L’impulso viene riflesso e ripassandoall’interno del cristallo genera un’altra coppia di fotoni (1 e 4). Il fotone 4 direttoverso il detector p serve ad indicare il passaggio del fotone 1. Il fotone 1 passa all’in-terno di un polarizzatore che ne determina lo stato iniziale, dopodiche viene direttonel beamsplitter insieme al fotone 2. In tale frangente avviene, poiche l’azione delbeamsplitter sulla parte spaziale dello spinore 12 e descritta dalla trasformazione diHadamard (2.19), l’individuazione dello stato di Bell |Ψ−〉12. Condizione necessariaperche questo avvenga e l’indistinguibilita dei due fotoni. La loro generazione risul-ta completamente indipendente per cui i tempi di arrivo al BS sono diversi; al fine dieliminare tale distinzione si sfrutta un ritardo variabile, ottenuto traslando lo spec-chio riflettente, che massimizza la sovrapposizione tra i due pacchetti d’onda alla ri-levazione. Poiche la lunghezza di coerenza del pacchetto e dell’ordine dei 50fs (unarisoluzione temporale di tale ordine porta alla distinguibilita) e necessario introdur-re dei filtri d’interferenza da 4nm di spessore di fronte ai detector che comportanouna durata temporale del pacchetto di 500nm. Tale accorgimento permette di otte-nere una indistinguibilita del 85% tra i fotoni 1 e 2. La sperimentazione procede conla ricerca della coincidenza tra le rilevazioni dei detector f e d la quale rappresentacio che nella teoria era il passaggio d’informazione classico tra Alice e Bob.

Sintesi dell’esperimento

1. Il laser titanio-zaffiro produce un impulso di 200 fs

2. L’impulso passa nel cristallo e genera due fotoni (2 e 3)

3. L’impulso viene riflesso da uno specchio posto a distanza variabile

4. L’impulso ripassa nel cristallo generando altri due fotoni (1 e 4)

5. Il fotone 1 passa attraverso un polarizzatore a 45◦

(evento triggerato dal fotone 4 tramite il detector p)

6. I fotoni 1 e 2 (non in entanglement) arrivano nel BS e fanno registrare lacoincidenza nei detector f1 e f2

7. Il fotone 3 e diretto verso il BS con polarizzazione e si registra la coincidenzanel detector d2 e assenza di segnale nel d1

8. Il fotone 3 possiede esattamente la stessa polarizzazione del fotone 1 poicheal punto 6 si sfrutta lo stato di Bell |Ψ−〉12


3.3.2 Risultati sperimentali

I risultati sperimentali sono validi solo se confrontati con gli opportuni parametriiniziali dell’esperimento. A tal proposito si sottolinea che lo stato del fotone 1 ecaratterizzato da una polarizzazione a +45◦. Come gia precisato la coincidenza trai fotoni 1 e 2 permette di ottenere, tramite il BS, lo stato |Ψ−〉12, ne consegue cheil fotone 3 debba avere esattamente una polarizzazione di 45◦. Quest’ultima vieneanalizzata mediante un beamsplitter che seleziona le due polarizzazioni ±45◦. Alfine di dimostrare l’effettivo avvenimento del teletrasporto occorre rilevare il foto-ne 3 attraverso il detector d2 a cui corrisponde la polarizzazione a 45◦ e assenzadi rilevamento nel d1 (polarizzazione a −45◦). In sintesi la triplice rilevazione ecoincidenza in d2, f1 e f2 e l’assenza di coincidenza in d1, f1 e f2 e la prova deltrasferimento della polarizzazione del fotone 1 al fotone 3.

La condizione di indistinguibilita dei fotoni 1 e 2 e data dalla variazione del-la posizione dello specchio riflettente, la quale genera una variazione temporaledell’intervallo che intercorre tra le due conversioni parametriche. Tale fatto de-termina due regioni: una dove vi e la sovrapposizione temporale e si verifica ilteletrasporto, l’altra in cui non vi e sovrapposizione dei pacchetti e il fenomenonon avviene. Poiche il beamsplitter evidenzia solo lo stato di Bell |Ψ−〉12 (perche ilfotone e un bosone, lo spinore e simmetrico e la parte spaziale |ΨA〉 e suo autostato- vedi pagina 28), allora la coincidenza tra i detector f1 e f2 ha una probabilitadel 25% (1 stato su 4) all’interno della regione del teletrasporto. Al di fuori di taleregione i fotoni arrivano indipendentemente e la probabilita di coincidenza e del50%. I fotoni 2 e 3 appartengono a uno stato entangled, dunque non hanno unapolarizzazione definita; ne consegue che la rilevazione nel detector d1 o d2 ha unaprobabilita del 50%. Il prodotto delle probabilita di coincidenza tra i tre detectoral di fuori della regione da come risultato 25%.

In sintesi si ha:

• una probabilita del 25% di coincidenza tra d2, f1 e f2 all’interno della regionedel teletrasporto;

• una probabilita del 25% di coincidenza tra (d2, f1 e f2) al di fuori dellaregione del teletrasporto (vale anche per d1, f1 e f2)

• una probabilita dello 0% di coincidenza tra d1, f1 e f2 all’interno dellaregione del teletrasporto

3.3. LA REALIZZAZIONE SPERIMENTALE E I RISULTATI 37

Il grafico seguente sintetizza le predizioni precedentemente elencate mostrandol’andamento teorico della probabilita in funzione dello spostamento dello specchioriflettente (delay). In alto la polarizzazione a −45◦, in basso la polarizzazione a45◦ (uguale a quella del fotone 1). In grigio la regione del teletrasporto.

Figura 3.4: Grafico teorico: probabilita di coincidenza d1f1f2 e d2f1f2 in funzione del ritardo tra 1 e 2 al BS

Si noti l’andamento decrescente nel primo grafico che soddisfa la condizione attesadi non coincidenza per il detector d2 a polarizzazione −45◦ (ortogonale a quelladel fotone 1). La verifica di tal fatto con la costanza del valore nell’analisi a+45◦ costituisce una prova del successo della sperimentazione poiche il fotone 3ha esattamente la stessa polarizzazione del fotone 1.


La piena verifica dell’efficienza sperimentale di tale protocollo e realizzabiletramite l’attuazione dell’esperimento in due basi non ortogonali tra loro: ±45◦ e0◦-90◦. Seguono dunque i grafici dei dati sperimentali relativi alle 4 coincidenze(se si comprende anche l’evento di trigger) per fotoni da teletrasportare rispetti-vamente con polarizzazione a 45◦ e 90◦.

Figura 3.5: Grafici sperimentali: probabilita di coincidenza d1f1f2 e d2f1f2 in funzione del ritardo tra 1 e 2 alBS (espresso in um) per le due basi di polarizzazione

Si definisce fedelta del teletrasporto quantistico la sovrapposizione del qubit ininput e quello teletrasportato. In questo esperimento e dell’ordine del 80% poichela proiezione sullo stato di Bell |Ψ−〉12 e eseguita mediante particelle non pura-mente in entanglement ma con tempi di arrivo al BS differenti. Segue un graficoillustrativo.

Figura 3.6: Grafici relativi alla fedelta del teletrasporto nelle due basi di polarizzazione

3.4. CENNI AD ALTRI SCHEMI DI TELETRASPORTO 39

3.4 Cenni ad altri schemi di teletrasporto

Schema a due particelle per il teletrasporto quantistico

Come visto nella sezione precedente lo schema a quattro particelle ha un’efficienzalimite che non raggiunge l’unita. Lo schema seguente non presenta limiti di fedeltapoiche sfrutta una proiezione completa sugli stati di Bell, resa possibile dall’inte-razione controllata tra due particelle. Proposto per la prima volta da S. Popescue realizzato sperimentalmente a Roma, il presente protocollo sfrutta solamente ledue particelle che costituiscono il canale di comunicazione non-locale. In tal mo-do il terzo individuo, invece di preparare la coppia di particelle in entanglement,introduce all’interno del singoletto lo stato Ψ da inviare, sfruttando altri gradidi liberta della particella di Alice. Si noti dunque che la conoscenza dello statorimane ignota anche in questo caso; la differenza si riscontra nell’utilizzo di parti-celle entangled nella loro direzione, i.e. entanglement nel momento, e ben definitenella polarizzazione. In particolare con la conversione parametrica si generanofotoni entangled nella polarizzazione, si trasferisce l’entanglement allo spazio deimomenti sfruttando opportuni beamsplitter, un terzo ”individuo” cambia cambiala polarizzazione determinando cosı lo stato iniziale, Alice proietta lo stato su unodei quattro stati di Bell e lo comunica a Bob il quale trasforma la sovrapposizionedel momento in una di polarizzazione (esattamente quella dello stato iniziale).

Teletrasporto di variabili quantiche continue

Il presente protocollo e stato proposto da L. Vaidman, rielaborato da Kimble erealizzato sperimentalmente al Caltech. Esso si basa sul trasferimento di variabilicontinue quali la posizione e il momento, sfruttando opportunamente gli stati en-tangled correlati a tali variabili quantiche. La differenza sostanziale con gli altrischemi risiede negli spazi che descrivono le suddette variabili, difatti se alla pola-rizzazione corrisponde uno spazio interno di dimensione finita (2), al momento ealla posizione sono relazionati spazi di Hilbert infinito-dimensionali. E inoltre in-teressante notare che per tali variabili vale il principio di indeterminazione, ovvero[x, p] = i~, per cui posizione e momento non possono essere misurati contempo-raneamente con arbitraria precisione. Sfruttando pero una stato entangled le dueparticelle non avranno valori individualmente definiti ma le loro proprieta totalisı; difatti: x2 + x3 = 0 e p2 − p3 = 0 poiche commutano. In generale l’azione diproiezione di Alice in questo caso non riguardera i 4 stati di Bell ma produrra deivalori reali distribuiti in maniera continua: x2 + x3 = a e p2− p3 = b con a, b ∈ R.L’implementazione di tale schema ha visto l’utilizzo di altre variabili quantistichecaratterizzate da spettri continui e dalle medesime relazioni di indeterminazione,in particolare gli operatori x e p della teoria dell’oscillatore armonico.

Capitolo 4

Decoerenza come limitesperimentale

A partire dal paradosso del gatto di Schrodinger i fisici si sono domandati ”esisteun confine tra il mondo quantistico e classico?”. La risposta a tale domanda risie-de nella teoria della decoerenza che si basa sull’affermazione che solo un sistemaisolato segue le leggi della MQ, altresı e soggetto al fenomeno della decoerenza.Come visto nella sezione 2.1.1 e 2.3 un sistema entangled e caratterizzato da unaentropia di Von Neumann pari a zero, minore di quella dei sottosistemi che lo com-pongo. Questo comporta che il fenomeno dell’entanglement generi una perdita disignificato della coerenza dei singoli sottosistemi, ovvero risulti inaccessibile la fa-se reciproca tra gli stati che lo compongono. La perdita di una fase costante tragli stati che caratterizza una sovrapposizione coerente (o stato puro) produce unandamento stocastico degli autovalori e la perdita dei termini d’interferenza nellematrici densita che descrivono il singolo sottosistema. Quest’ultima affermazione sitraduce nella perdita dell’interferenza. Dalla formula 2.12 e noto che la misura delsottosistema A (appartenente a uno stato entangled AB) corrisponde a un opera-tore densita pari all’identita moltiplicata per 1/2; questo implica che A si comportiincoerentemente e rimanga una miscela degli stati che compongono il sistema tota-le. Allo stesso modo se un sistema isolato entra in contatto con l’ambiente esternosi ha il fenomeno della decoerenza e il sistema viene definito aperto. Per un sistemaaperto valgono le negazioni degli assiomi della MQ: il sistema non e descritto singo-li vettori, le misure non sono proiezioni ortogonali, l’evoluzione non e unitaria. Laperdita di coerenza coincide ancora una volta con l’inaccessibilita della fase relativadegli stati che compongono la sovrapposizione che descrive il sistema. Quest’ul-timo sara dunque descritto da un operatore densita che rappresenta una miscelaincoerente di stati, ognuno con la sua probabilita. E dunque l’ambiente a generarela decoerenza ma in particolare quella del sistema fisico in principio isolato, mentrela sovrapposizione del sistema+ambiente diviene una sovrapposizione coerente.

41

42 CAPITOLO 4. DECOERENZA COME LIMITE SPERIMENTALE

Il presente fatto e interpretabile come entanglement tra sistema isolato e ambiente,il quale genera la decoerenza dei suoi sottosistemi (e.g. sistema isolato) ma man-tiene la coerenza dello sistema totale. L’unico modo per evitare la decoerenza eperdita di entanglement di un sistema e perseguire l’isolamento del sistema fisico.La decoerenza s’inserisce come principale ostacolo e limite al teletrasporto quan-tistico, poiche e essenziale che nel protocollo sperimentale venga mantenuto l’en-tanglement di polarizzazione dei fotoni, senza il quale non e possibile trasferirealcuno stato quantistico. A tal proposito si citano alcuni degli attuali esperimentiche con esito positivo sono riusciti ad ottenere il teletrasporto quantistico a grandidistanze (dell’ordine di 100 km).

Figura 4.1: Record del teletrasporto di uno stato di polarizzazione tra fotoni posti a 143 km di distanza(Palma-Tenerife)

1. 143 km di spazio aperto. Isole Canarie (La Palma-Tenerife). 09/2012. Au-tori: Ma Xiao-Song, T. Herbst, T. Scheidl, D. Wang, S. Kropatschek, W.Naylor, B. Wittmann, A. Mech, J. Kofler, E. Anisimova, V. Makarov, T.Jennewein, R. Ursin, A. Zeilinger.

2. 100 km di fibra ottica. 09/2015. Autori: Hiroki Takesue, Sjellee D. Dyer,Martin J. Stevens, Varun Verma, Richard P. Mirin, Sae Woo Nam.

3. 21 m (teletrasporto tra atomi). 12/2012. Max-Planck-Institut fur Quan-tenoptik, Germania. Autori: Christian Nolleke, Andreas Neuzner, AndreasReiserer, Carolin Hahn, Gerhard Rempe, Stephan Ritter.

Capitolo 5

Conclusioni

Nel presente lavoro di tesi si e introdotto e descritto il concetto di teletrasportoquantistico. In particolare le basi di tale processo sono state esposte nel capi-tolo 1 e sono l’azione di misura quantistica, il principio di sovrapposizione e lanon-localita di alcuni fenomeni, quale ad esempio l’entanglement. Quest’ultimofenomeno descritto nel capitolo 2 permette la realizzazione del protocollo del te-letrasporto poiche incarna le caratteristiche necessarie che delineano tale schema,ovvero l’indistinguibilita degli stati che formano il sistema entangled e la cor-relazione tra le misure dei sottosistemi. Nel rispetto delle leggi della relativitaspeciale l’entanglement puo essere prodotto (conversione parametrica spontanea),quantificato e sfruttato per trasferire uno stato quantistico. La necessita di uncanale di comunicazione classico tra trasmettitore e ricevente soddisfa il teoremadi non-comunicazione e impone una caratteristica fondamentale nelle sperimenta-zioni correlate: la coincidenza di rilevamento tra fotone iniziale e fotone in output.Si e visto come l’utilizzo del teletrasporto quantistico permette di trasferire statiignoti ad arbitrarie distanze (non-localita dell’entanglement); sperimentalmentequesto e visibile trasferendo la polarizzazione di un fotone ad un altro a distanzaarbitraria sfruttando una coppia di fotoni in entanglement. Proprio l’arbitrarietadi tale locazione di arrivo ha permesso agli sperimentatori di investire sull’aumen-to della distanza del trasferimento in contrasto con il limite sperimentale datodalla decoerenza. Come mostrato nell’ultimo capitolo i record sperimentali sonodi 143 km in spazio aperto e 100 km con fibra ottica, i quali aprono la strada afuture tecnologie che potrebbero sfruttare il trasferimento d’informazione tra sa-telliti e stazioni a terra. I successivi sviluppi legati al teletrasporto quantisticosono dunque molteplici e riguardano la teoria dell’informazione, comunicazione ecomputazione quantistica che nello specifico esprimono le idee di rivoluzione nelcampo dell’internet e comunicazione sicura e veloce.

43

44 CAPITOLO 5. CONCLUSIONI

Elenco delle figure

1.1 D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger, The Physics of QuantumInformation, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000, (fig 1.1 pag 2) 9

1.2 en.wikipedia.org . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 it.wikipedia.org . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger, The Physics of Quantum

Information, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000, (fig 3.4 pag 57) 252.3 D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger, The Physics of Quantum

Information, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000, (fig 3.5 pag 59) 26

3.1 Prof. Lorenzo Marrucci, INFN Napoli, web.na.infn.it, presentazio-ne: Teletrasporto Quantistico, (pag 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger, The Physics of QuantumInformation, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000, (fig 3.1 pag 52) 31

3.3 D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger, The Physics of QuantumInformation, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000, (fig 3.12 pag68) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34




4.1 www.extremetech.com . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

45

46 ELENCO DELLE FIGURE

Bibliografia

[1] D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger. The Physics of Quantum Information.Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.

[2] Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. Quantum computation and QuantumInformation. Cambridge University Press, 2000.

[3] John Preskill. Lecture Notes of Course Information for Physics 219 /Computer Science 219 - Quantum Computation. Caltech, 19997-1999.http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/

[4] B. H. Bransden, C. J. Joachain. Quantum Mechanics - second edition. PearsonEducation Limited 1989, 2000.

[5] V. Barone. Relativita - Princıpi e applicazioni. Bollati Boringhieri, 2004, 2015.

[6] J. S. Bell. On The Einstein Podolsky Rosen Paradox. Department of Physics,University of Wisconsin, Madison, Wisconsin, 4 Novembre 1964.

[7] S. Pirandola, J. Eisert, C. Weedbrook, A. Furusawa, S. L. Braunstein. Advancesin quantum teleportation. Nature Photonics, 29 Settembre 2015.

[8] Kirk T. McDonald. Density-Matrix Description of the EPR “Paradox”. JosephHenry Laboratories, Princeton University, Princeton. 31 Marzo 2005, 3 Aprile2013.

[9] Charles H. Bennett, Gilles Brassard, Claude Crepeau, Richard Jozsa, AsherPeres, William K. Wootters. Teleporting an Unknown Quantum State via DualClassical and EPR Channels. Dicembre 1992.

47

48 BIBLIOGRAFIA

Ringraziamenti

Ringrazio tutti i professori del dipartimento di Fisica di Cagliari per gliinsegnamenti, supporto e disponibilita di questi tre anni, sottolineandoprofessionalita e competenza in tutti gli ambiti della Fisica e non solo. A talproposito vorrei mettere in evidenza i miei ringraziamenti al Prof. MicheleSaba per l’aiuto e appoggio datomi per la stesura della presente tesi di laureae soprattutto per la disponibilita avuta durante tutto il corso della triennale,rivelandosi un punto di riferimento e fonte d’ispirazione non solo per taleperiodo ma anche per il futuro.Ringrazio inoltre tutti i tutor e dottorandi del dipartimento, anche loro perdisponibilita e pazienza rivelatesi, e i cui aiuti sono stati indispensabili perla mia crescita personale. La crescita non e mai un percorso strettamenteindividuale percio ringrazio tutti i colleghi presenti in dipartimento e gli amiciche hanno appoggiato i miei studi. Concludo dicendo che il raggiungimento delpresente traguardo non sarebbe stato possibile senza il supporto delle mentibrillanti precedentemente citate, quindi ancora grazie.

Dedico (sottintendendo i corrispettivi ringraziamenti) la presente tesi ai mieigenitori, in particolar modo a mia madre nella speranza che possano realizzarsiparzialmente i suoi sogni attraverso il mio conseguimento del titolo.

49

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CAGLIARI -...

Documents

Transcript of UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CAGLIARI -...