LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA 1

Prof. Francesco Marchi 2

Appunti ed esercizi su:

equazioni, disequazioni, sistemi

18 ottobre 2011

1Questi appunti sono ancora in una fase di bozza, percio puo capitare che: un paragrafo sia lasciato a meta, non siaaffatto trattato o sia presente solo il titolo; siano presenti errori tipografici o di calcolo; i numeri dei riferimenti alle figureo agli esercizi non siano corretti. In ogni caso, credo che possano essere di una qualche utilita: in attesa di una prossimarevisione, cerca di prendere il piu che puoi da questi materiali!

2 Per altri materiali didattici o per informazioni:

Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/Indirizzo email: fra.marchi@yahoo.it

Indice

I Equazioni 3

1 Introduzione, definizioni preliminari e prime generalizzazioni 51.1 Alcuni problemi, per cominciare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Problema I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Prime definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Le equazioni di II grado . . . e poi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Definizioni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Le equazioni: problemi e metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Il concetto di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Operazioni, funzioni, equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.2 Definizione di funzione e rappresentazione cartesiana delle funzioni . . . . . . . . . 81.4.3 Funzioni elementari e loro classificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Equazioni algebriche: alcuni approfondimenti 92.1 Equazioni di grado superiore al secondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Equazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Equazioni contenenti valori assoluti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Esercizi 113.1 Introduzione ed equazioni algebriche: esercizi teorici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.1 Questioni di carattere teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.2 Verifica di soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.3 Determinazione di soluzioni e di non-soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II Disequazioni 13

4 Intermezzo: alcune tecniche di soluzione 154.1 La discussione grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1.1 Le disequazioni di II grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.1.2 Il caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Le disequazioni fattorizzabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Il cambiamento di variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Esercizi 215.1 Introduzione e disequazioni algebriche: esercizi teorici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.1 Questioni di carattere teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.1.2 Intuire soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.1.3 Determinazione di una soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2 Introduzione e disequazioni algebriche: esercizi calcolativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2.1 Risoluzione di disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.3 Intermezzo: tecniche di soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1

2 INDICE

5.3.1 Discussione grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Parte I

Equazioni

3

Capitolo 1

Introduzione, definizioni preliminarie prime generalizzazioni

1.1 Alcuni problemi, per cominciare

Porre problemi concreti che portino all’impostazione di un’equazione

1.1.1 Problema I

1.2 Prime definizioni

1.2.1 Le equazioni di II grado . . . e poi?

Risolvere le seguenti equazioni:

x+ 3 = 11 (1.1)

x2 − 3x− 5 = 0 (1.2)

Beh, vi sara sembrato molto facile. Risolvete adesso le seguenti:

2x = 16 (1.3)

x7 = 1 (1.4)

Se ancora vi sembra facile, risolvete le seguenti:

4x3 + 5x− 7 = 0 (1.5)

2x+5 = 17 (1.6)

A questo punto, avrete qualche difficolta. Ma, innanzitutto, avete ben chiaro cosa significa risolvereun’equazione? Se siete riusciti a risolvere le equazioni 1.3, forse un’idea ce l’avete. Provate a spiegarla aparole.

Domanda 1. Cosa significa risolvere un’equazione?

5

6CAPITOLO 1. INTRODUZIONE, DEFINIZIONI PRELIMINARI E PRIME GENERALIZZAZIONI

1.2.2 Definizioni preliminari

Definizione 1. Si dice equazione un’espressione matematica in cui compare il segno di uguaglianza edalmeno un’incognita.

Definizione 2. Risolvere un’equazione significa trovare tutte le sue eventuali soluzioni.

Si dice eventuali soluzioni, perche non e detto che un’equazione ne abbia, come ad esempio la seguente:

x2 = −5

Un’equazione che non ha soluzioni si dice impossibile. Un’equazione puo avere anche infinite soluzioni,come la seguente:

3x+ 2 = 4 + 3x− 2

In tal caso l’equazione si dice indeterminata. Questi sono due casi un po’ estremi, che riassumiamo nelleseguenti:

Definizione 3. Un’equazione si dice impossibile se non ha soluzioni; indeterminata se ha infinitesoluzioni; determinata negli altri casi (ovvero quando ha un numero finito di soluzioni).

Definizione 4. Si dice soluzione di un’equazione un valore che, sostituito ad ogni occorrenza dell’in-cognita, rende l’equazione un’identita.

Definizione 5. Si dice identita un’espressione matematica vera per ogni valore delle eventuali incognitein essa presenti.

Ad esempio, sono identita le seguenti:

4 = 4; 1 < 190; x = x; (x+ t)2 = x2 + t2 + 2tx

Allora, avremo che x = 1 e soluzione dell’equazione 1.4, visto che, sostituendo tale valore nell’equazione,otterremo la seguente identita:

17 = 1⇒ 1 = 1

In questo caso, ci siamo limitati a verificare che un valore dato fosse soluzione. Ma come facciamo noi adeterminare tale valore?

1.3 Le equazioni: problemi e metodi

Quello che generalmente vogliamo e una formula o un metodo che permetta di trovare il valore o i valoriche risolvono un’equazione. Piu in generale, vorremmo trovare un metodo che consenta di risolvere tuttele equazioni di un certo tipo. Ad esempio, abbiamo risolto l’equazione

2x = 16

perche sostanzialmente la soluzione non era difficile da intuire; ma se volessimo risolvere la seguente?

2x = 17 (1.7)

Apparentemente non ha niente di piu complicato della precedente, eppure non sembra altrettanto facileda risolvere.

1.4. IL CONCETTO DI FUNZIONE 7

Alla ricerca di soluzioni approssimate

Domanda 2. Innanzitutto, secondo voi, ha soluzione?

Beh, sicuramente sı; inoltre, potrete dire che la soluzione sta fra 4 e 5. Ok, non abbiamo detto il valorepreciso della soluzione; ma non e andata cosı male: pressappoco, l’abbiamo localizzata. Anzi, possiamofare di meglio:

Esercizio 1. Trovare un valore esatto, alla prima cifra decimale, dell’equazione precedente.

Con questa tecnica, e chiaro, possiamo avvicinarci quanto vogliamo alla soluzione, ma non avremomai il valore esatto. Possiamo percio dire che la soluzione della precedente equazione e un numero:

α ∈ (4, 5); α = 4, ...

E’ possibile/utile avere il valore esatto? Risponderemo nelle prossime sezioni.

Operazioni elementari, numeri razionali e non & co

Consideriamo ora l’equazione

x2 = 7

Cosa significa che la sua soluzione e√

7? Beh, secondo la definizione 4, significa che tale numero,sostituito nell’equazione la rende un’identita. E perche tale numero la rende un’identita? Perche laradice e l’operazione inversa del quadrato e quindi si annullano. Vedremo meglio questo piu avanti.

1.4 Il concetto di funzione

1.4.1 Operazioni, funzioni, equazioni

La tecnica anticipata nella sezione precedente si basa sul concatto di operazione inversa.

Teorema 1. Per risolvere un’equazione, di qualsiasi tipo, si applicano ad entrambi i membri una succes-sione di operazioni in grado di liberare la x

Alla luce di questo procedimento, possiamo vedere la risoluzione di equazioni note:

x+ 4 = 5⇒ x+ 4− 4 = 5− 4⇒ x = 1 (1.8)

O ancora:

7x = 10⇒ 7x

7=

10

7⇒ x =

10

7(1.9)

In generale, si individua quali operazioni vengono svolte sulla x e si applicano le loro inverse. In base allostesso ragionamento, sapremo risolvere la seguente:

x2 = 13 (1.10)

Alcuni limiti

La tecnica enunciata nel teorema 1, non e pero sempre applicabile. Si consideri infatti la seguenteequazione:

x2 = 9

8CAPITOLO 1. INTRODUZIONE, DEFINIZIONI PRELIMINARI E PRIME GENERALIZZAZIONI

Tabella 1.1: Tabella relativa all’esercizio 1

Operazione Operazione inversa

somma sottrazionemoltiplicazione divisione

quadrato radicequadrata

Tabella 1.2: Classificazione delle funzioni elementari.

Algebriche Razionali Intere f(x) = 4x7 − 38x

3

Fratte g(x) = 2x9−5x3+5x12

Irrazionali Intere r(x) = 4√

3x7 − 2x6 + 4x5

Fratte w(x) =√4x+2

2x+7x2

Trascendenti Circolari Seno a(x) = sinx

Coseno k(x) = cosx

Tangente l(x) = tanx

Esponenziale d(x) = ax

1.4.2 Definizione di funzione e rappresentazione cartesiana delle funzioni

Piu che di operazione, dovremo cominciare a parlare, d’ora un poi, di funzione.

Domanda 3. Cos’e, infatti, un’operazione?

Anche se la risposta non e semplice, direte qualcosa come l’operazione riguarda due numeri. Infatti,il concetto di operazione, e piu adatto al caso in cui si parla di numeri. Nel momento in cui si parla diquantita algebriche e variabili, come la x, e piu opportuno parlare di funzione. Una funzione e sostan-zialmente un’operazione fatta sulla x. Ad esempio sono funzioni l’elevamento al quadrato; l’elevamentoalla terza potenza; l’aggiungere 6; il moltiplicare per 12; e cosı via.Fin qui si tratta di funzioni algebriche, cioe, in un certo senso tutte basate sulle operazioni elementari.Ma d’ora in poi vorremo iniziare a parlare di funzioni piu generali, definite attraverso operazioni piucomplicate.

1.4.3 Funzioni elementari e loro classificazione

A questo punto rimandiamo al file sulle funzioni.

Tabella 1.3: Principali funzioni elementari e relative funzioni inverse.

Funzione Funzione inversa In formule

Potenza Radice xn ←→ n√x

Seno Arcoseno sinx←→ sin−1 x = arcsinx

Capitolo 2

Equazioni algebriche: alcuniapprofondimenti

2.1 Equazioni di grado superiore al secondo

2.2 Equazioni irrazionali

2.3 Equazioni contenenti valori assoluti

9

10 CAPITOLO 2. EQUAZIONI ALGEBRICHE: ALCUNI APPROFONDIMENTI

Capitolo 3

Esercizi

3.1 Introduzione ed equazioni algebriche: esercizi teorici

3.1.1 Questioni di carattere teorico

Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

• Un’equazione di quarto grado e impossibile.

• Un’equazione di secondo grado ha al massimo due soluzioni.

• Un’equazione ha sempre almeno una soluzione.

3.1.2 Verifica di soluzioni

Dire se quelle proposte sono effettivamente soluzioni delle seguenti equazioni:

1. Equazione: x2 + 3 = 0. Soluzioni proposte: x = 4; x =√−3; x = −

√3.

2. Equazione: y4 − y3 = 8. Soluzioni proposte: y = 0; y = −1; y = 2.

3.1.3 Determinazione di soluzioni e di non-soluzioni

Esercizio 1

Completa la tabella 3.1, seguendo l’esempio che ti viene fornito nella prima riga, gia compilata.Per ciascuna equazione indica il numero delle incognite, il grado per ciascuna incognita e fornisci l’esempiodi una soluzione (o riempi il campo con una sbarra, nel caso non esistano soluzioni) e di una non soluzione.

Esercizio 2

Risolvi le seguenti equazioni rispetto a ciascuna delle variabili che in essa compaiono, come indicatonell’esempio qua sotto:Equazione: 42 + α = 4ψ + xSoluzioni: 4 = ±

√4ψ + x− α; α = 4ψ + x−42; ψ = ...; x = ...

1. 97 + 6f = �2 − ?2

2. δ − 3 + 5y =√

5 +√

2y + 6− 3δ

3. 4ηtu+ 2y = 3y − 5

11

12 CAPITOLO 3. ESERCIZI

Tabella 3.1: Tabella relativa all’esercizio 1

Equazione Grado Soluzione Non-soluzione

x3 + 5y = 7y + 2 (x, y) = (3, 1) ( 3√

2, 1) (1, 1)

42 + 44 = −34+ 5

a+ b2 = c+ 1

4ψ − 5y + 4 + 3ψ = 3y − 6 + 2x+ y2 − 5ψ

79u+ 2

5u2 − x3 + 2 = 0

xy + t− 1 = 4 + 65 t

4. s = 12at

2 + v0t+ s0

5. F = ilb

6. F = k q1q2d2

Parte II

Disequazioni

13

Capitolo 4

Intermezzo: alcune tecniche disoluzione

4.1 La discussione grafica

4.1.1 Le disequazioni di II grado

Le disequazioni di II grado sono spesso un argomento “mal digerito” e sono frequentemente oggetto dierrori, che hanno origini profonde. Vediamo nel prossimo paragrafo alcuni errori tipici e come superarli.

Il problema: un errore frequente

Uno degli errori piu frequenti (e piu gravi) nella risoluzione di disequazioni di II grado e il seguente:

x2 > 3 =⇒ x > ±√

3 (4.1)

La scrittura appena proposta e una vera e propria “mostruosita” matematica e dimostra che non sicapisce cio che si sta scrivendo: cosa significherebbe infatti x > ±

√3? Potremmo esser tentati di dare

due interpretazioni:

1. La scrittura sta a significare x > +√

3 ∧ x > −√

3.In tal caso, cio significa semplicemente x > +

√3; ma allora, nel nostro risultato non contemple-

remmo valori come x = −10, che pure e soluzione della disequazione data.

2. La scrittura sta a significare x > +√

3 ∨ x > −√

3.In tal caso, cio significa x > −

√3. In questo caso, staremmo facendo due errori: da un lato

escludiamo soluzioni, come x = −10; dall’altro includiamo soluzioni che in realta tali non sono (adesempio x = 0).

Diagnosi n.1: una mancata analogia

La causa di simili errori nella soluzione di disequazioni di II grado sta forse nella non completa analogiatra i metodi risolutivi delle equazioni e disequazioni di II grado, diversamente da quanto avviene perquelle di primo grado, come illustrato nella seguente tabella 4.1.

La rappresentazione grafica del trinomio di II grado

Per poter comprendere il corretto metodo di risoluzione delle disequazioni di II grado (e di altri tipi didisequazioni) e necessario mettere da parte un approccio puramente algebrico; puo essere, per contro,

15

16 CAPITOLO 4. INTERMEZZO: ALCUNE TECNICHE DI SOLUZIONE

Tabella 4.1: Confronto tra tecniche di soluzione di equazioni e disequazioni di I e II grado. L’ultima casella, quella relativaalla soluzione della disequazione x2 > 5 e volutamente errata, per illustrare un errore frequente.

Grado Equazione Disequazione

I 3x = 5 ⇒ x = 53 3x > 5 ⇒ x > 5

3

II x2 = 5 ⇒ x = ±√

5 x2 > 5 ⇒ x > ±√

5

molto utile considerare la questione anche da un punto di vista grafico. Da un punto di vista grafico,risolvere una disequazione come la seguente:

2x2 − 5x+ 1 < 0 (4.2)

significa determinare per quali valori della x la quantita 2x2 − 5x+ 1 e negativa; ad esempio avremo:

x = −1 =⇒ 2 · (−1)2 − 5 · (−1) + 1 = 2 + 5 + 1 > 0

x = 0 =⇒ 2 · 02 − 5 · 0 + 1 = 1 > 0

x = 1 =⇒ 2 · (1)2 − 5 · 1 + 1 = 2− 5 + 1 = −2 < 0

e percio x = 1 e soluzione della disequazione, mentre x = −1 e x = 0 non lo sono.Per poter capire quali sono tutte le soluzioni della disequazione, rappresentiamo graficamente la parabolay = 2x2 − 5x+ 1 (vedi fig. 4.1).

Figura 4.1: Rappresentazione cartesiana della parabola di equazione y = 2x2 − 5x + 1.

4.1. LA DISCUSSIONE GRAFICA 17

Diagnosi n.2: un problema di linguaggio

Un’altra possibile causa di difficolta nel comprendere questo tipo di problema, nasce in realta da una sortadi pigrizia nell’articolare verbalmente l’obiettivo dell’esercizio e le operazioni necessarie per raggiungerlo.Per quanto riguarda la soluzione di una disequazione tipo quella considerata, generalmente, si ritrovanotre modi in cui si espone il problema:

1. Livello I: “Dobbiamo vedere quando e maggiore di zero”.Qui non e ben chiaro chi e il soggetto della frase.

2. Livello II: “Dobbiamo vedere quando 2x2 − 5x+ 1 e maggiore di zero”.Qui, ad esser criticabile, e l’avverbio quando; ed e proprio dall’utilizzo di tale avverbio che nasconomolti errori.

3. Livello III (dicitura corretta): “Dobbiamo vedere per quali valori della x la quantita 2x2 − 5x + 1e maggiore di zero”.In questo caso abbiamo sostituito il quando con un’espressione piu articolata, che permette di capireveramente cosa richiede la soluzione di una disequazione.

Discussione di uno specifico caso ∆ > 0, a > 0

Vediamo adesso nel dettaglio la procedura di risoluzione di una disequazione di II grado; consideriamoanche l’equazione associata:

ax2 + bx+ c = 0; ∆ = b2 − 4ac

Consideriamo il caso specifico ∆ > 0, a > 0; l’esempio proposto in 4.2 rientra in questo caso. Ricordandocile formule relative alla parabola, avremo:

yV = −∆

4a< 0

Percio, la parabola avra vertice sotto l’asse x, ed essendo rivolta verso l’alto, lo intersechera in due puntidistinti, x1 e x2. Cio e confermato dal fatto che ∆ > 0: x1 e x2 sono le soluzioni dell’equazione associata;nel caso specifico:

x1 =5 +√

17

4; x2 =

5−√

17

4

Sempre facendo riferimento al grafico 4.1, possiamo capire che la soluzione della disequazione sara:

x < x1 ∨ x > x2

che possiamo scrivere anche cosı: (−∞, 5 +

√17

4

)∪(5−

√17

4,+∞

)Discussione degli altri casi

In generale, la disequazione puo presentarsi con ciascuno dei seguenti segni:

>; ≥; ≤; <

In tal caso, l’interpretazione grafica della disequazione e proposta nella tabella 4.2 e nei grafici di figura4.2.

Piu in generale, saranno possibili, a seconda del segno di ∆ e di a, i casi sintetizzati nella tabella 4.3.Come esercizio, discutere i vari casi possibili, come fatto nel paragrafo precedente.

18 CAPITOLO 4. INTERMEZZO: ALCUNE TECNICHE DI SOLUZIONE

Tabella 4.2: Tabella relativa al caso ∆ > 0, a > 0.

disequazione soluzione intervalli grafico

ax2 + bx+ c > 0 x < x1 ∨ x > x2 (−∞, x1) ∪ (x2,+∞) 4.2(a)

ax2 + bx+ c ≥ 0 x ≤ x1 ∨ x ≥ x2 (−∞, x1] ∪ [x2,+∞) 4.2(b)

ax2 + bx+ c = 0 x = x1 ∨ x = x2 {x1, x2} 4.2(b)

ax2 + bx+ c ≤ 0 x1 ≤ x ≤ x2 [x1, x2] 4.2(b)

ax2 + bx+ c < 0 x1 < x < x2 (x1, x2) 4.2(b)

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 4.2: Grafici relativi al caso ∆ > 0, a > 0.

4.2. LE DISEQUAZIONI FATTORIZZABILI 19

Tabella 4.3: Sintesi dei vari casi possibili per una disequazione di II grado.

sgn(∆) sgn(a) sgn(yV )

+ + −+ − +

0 + 00 − 0

− + +− − −

4.1.2 Il caso generale

Disequazioni nella forma f(x) ≶ 0

La tecnica vista nella sezione precedente, relativamente alle disequazioni di II grado, puo essere applicatain generale. In generale, infatti, si consideri una disequazione del tipo:

f(x) ≶ 0

Nel caso in cui si sappia tracciare il grafico della funzione f(x), la soluzione della disequazione richiederadue passaggi:

1. Determinare le coordinate dei punti di intersezione della funzione con l’asse x: per determinare talipunti si dovra risolvere l’equazione associata f(x) = 0.

2. Dedurre dal grafico quando la funzione e positiva e quando e invece negativa.

Disequazioni nella forma f(x) ≶ a

In altri casi, invece, puo essere piu comodo riportare la disequazione data nella seguente forma:

f(x) ≶ a

4.2 Le disequazioni fattorizzabili

4.3 Il cambiamento di variabile

20 CAPITOLO 4. INTERMEZZO: ALCUNE TECNICHE DI SOLUZIONE

Capitolo 5

Esercizi

5.1 Introduzione e disequazioni algebriche: esercizi teorici

5.1.1 Questioni di carattere teorico

Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

1. Una disequazione puo avere infinite soluzioni.

2. Una disequazione puo essere impossibile.

5.1.2 Intuire soluzioni

Esercizio 1

Si consideri la disequazione seguente:

x23 + 2 sinx+ 3 > 0

Proporre almeno due sue soluzioni.

5.1.3 Determinazione di una soluzione

Completa la tabella 5.1, seguendo l’esempio che ti viene fornito nella prima riga, gia compilata.Per ciascuna disequazione indica il numero delle incognite, il grado per ciascuna incognita e forniscil’esempio di una soluzione (o riempi il campo con una sbarra, nel caso non esistano soluzioni) e di unanon soluzione.

5.2 Introduzione e disequazioni algebriche: esercizi calcolativi

5.2.1 Risoluzione di disequazioni

Risolvi le seguenti disequazioni:

1. −x+ 6 ≤ −2x− 8

2. x2−13 + 5

6 ≥14x−

x2−24

3. −2y2 − 9 < 0

21

22 CAPITOLO 5. ESERCIZI

Tabella 5.1: Tabella relativa all’esercizio 1

Equazione Grado Soluzione Non-soluzione

x3 + 5y ≥ 7y + 2 (x, y) = (3, 1) (2, 0) (0, 0)

α2 + 4α < −3α+ 5

a+ b2 ≤ c+ 1

4ψ + 4 + 3ψ ≤ 3y − 6 + 2x− 5ψ

2x+ 52α− 3 + α ≤ 4 + x− α

4

2t2 + 6t ≤ 3t2 − 4 + t

3t3 − 4η + 2µ > 3 + η2

5.3 Intermezzo: tecniche di soluzione

5.3.1 Discussione grafica

Esercizio 1

Completare la tabella 5.2, completando le parti mancanti (a seconda dei casi grafico, soluzione, . . . ).Nota: alcuni esempi sono svolti.

(a) (b)

Figura 5.1: Grafici relativi all’esercizio 1 della sezione 5.3.1.

5.3. INTERMEZZO: TECNICHE DI SOLUZIONE 23

Tabella 5.2: Tabella relativa all’esercizio 1 della sezione 5.3.1.

disequazione ∆ a yV grafico soluzione

−3x2 + 2x− 3 < 0 − − − 5.1(a) (−∞,+∞)

−x2 + 5x+ 2 > 0

−x2 + 8x− 16 < 0

−x2 + 8x− 16 ≤ 0

−x2 + 8x− 16 ≥ 0

−x2 + 8x− 16 > 0

x2 − 8x+ 16 > 0

x2 − 8x+ 16 ≤ 0

5.1(b)

x2 + 5 < 0 − + + ∅

x2 + 5 ≥ 0

x2 − 5 > 0 (−∞,−√

5) ∪ (+√

5,+∞)

x2 − 5 ≤ 0

−x2 − 3 ≤ 0

−x2 + 6 ≥ 0

−x2 + 6 < 0

7x2 + 5x < 0

7x2 − 5x ≥ 0

24 CAPITOLO 5. ESERCIZI

Tabella 5.3: Tabella relativa all’esercizio 2 della sezione 5.3.1.

disequazione ∆ a yV grafico soluzione

ax2 + bx+ c ≥ 0 + −

ax2 + bx+ c ≥ 0 0 −

ax2 + bx+ c ≤ 0 − ∅

ax2 + bx+ c ≤ 0 − (x1, x2)

ax2 + bx+ c ≤ 0 + + − 5.2(a) (−∞, x1] ∪ [x2,+∞)

ax2 + bx > 0 + +

ax2 + c > 0 + 5.2(b)

ax2 + c > 0 + −

ax2 + c > 0 R

ax2 + c ≤ 0 [x1, x2]

Esercizio 2

Completare la tabella 5.3, completando le parti mancanti (a seconda dei casi grafico, soluzione, . . . ).Nota: alcuni esempi sono svolti.

5.3. INTERMEZZO: TECNICHE DI SOLUZIONE 25

(a) (b)

Figura 5.2: Grafici relativi all’esercizio 2 della sezione 5.3.1.