Università agli Studi di Genova

Scuola di Specializzazione all’Insegnamento Secondario

Indirizzo matematico scientifico

Anno accademico 2005/6 – VI Ciclo

Le funzioni

Specializzando: Paolo FasceClasse di abilitazione A048

Matematica Applicata

Ipotesi di fondo

• Situazione ideale, a regime, continuità didattica.• In alternativa, in caso di supplenza temporanea o di

incarico annuale, il mio livello di adattamento alle direttive dell’insegnante sostituito sarà funzione (inversamente proporzionale) della durata temporale del mio coinvolgimento.

• Devo affrontare me stesso e i miei pregiudizi: la SSIS è stata utile per esplicitare aporie sopite. Da una parte c’è il modello di scuola che ho frequentato e che ho visto consolidato dalle ripetizioni private (dalle quali ho percepito un certo tipo di insegnante), dall’altro ciò che mi viene prospettato dalla SSIS.

• Una metafora forte (e che criticherò) per il mondo delle funzioni che ho vissuto e che intendo sperimentare: fuochi d’artificio… verba volant…

Impostazione generale

Scelte operate, collocazione del tema nell'arco del curricolo pluriennale, eventuali differenze rispetto ad altre impostazioni

Concetto di funzione attraversa tutto il campo della matematica ed è utile affrontare l’argomento sin dal primo anno, anticipandone la formalizzazione con la confidenza degli strumenti che poi saranno gli stessi che sono alla base del concetto di funzione e prodromici della sua formalizzazione.

È utile un approccio intuitivo e immediato per i ragazzi, che si fondi su contesti noti, su esperienze ed esigenze quotidiane e giovanili (scaffolding).

Fare precedere la trattazione dell’argomento “funzioni” da un approccio formale e astratto mi sembra controproducente. Il significato di funzione deve emergere da esperienze precedenti e quindi suggerisco di cominciare con la costruzione di queste esperienze a partire dalla classe prima.

Nel biennio sono numerose le occasioni da sfruttare per contribuire alla costruzione dell’alfabetizzazione preliminare:

• trasformazione di equazioni (usare scatole nere che conservano le soluzioni);

• la geometria analitica (la retta e la parabola come “funzione”: le scatole nere);

• le tabelle e l’informatica (Calc ed Excel); • i radicali (e la metafora del ragioniere ligio; contrapposto con la

fidanzata schizofrenica).

Esplicitare qualcosa di già noto, ma rivederlo sotto un altro punto di vista (“la matematica elementare, vista da un punto di vista superiore”):

• Alle elementari sono state affrontate tutte le operazioni aritmetiche: sono funzioni a più input.

• Alle scuole medie inferiori è stata studiata la proporzionalità diretta ed inversa (e la loro rappresentazione grafica)

Lo studio con un foglio di calcolo delle tariffe telefoniche di vari gestori (o di uno stesso gestore che, comunque, fornisce sempre profili diversi) e di tariffe per la linea ADSL (confrontare la varie offerte sul mercato), è un’attività che si fonda su motivazioni dell’alunno, sfrutta le nuove tecnologie e ha ricadute nell’ambito del tema in oggetto (le funzioni).

Le funzioni del foglio di calcolo predefinite (input e output), le funzioni che ci servono e che possiamo generare (cosa “mangiano”). Vedere il risultato dell’elaborazione (nella cella) e vedere come è fatta la scatola nera (nella barra degli strumenti)

Prima caratterizzazione intuitiva del concetto di funzione

I giochi con le funzioni:• Il gioco dell’agente segreto.• Il gioco della scoperta della legge (con le carte).• Nota: il fitting, r2 della gravitazione universale…

outputinput

Il gioco dell’agente segreto

La risposta corretta è “sette”!

Infatti la parola “quattro” ha sette lettere.

Otto 8 4

Dieci 10 5

Sei 6 3

Dodici 12 6

Quattro 4 ?

Una premessa “culturale” di tipo storicoLa funzione che emerge dalla cinematica di Newton, il punto materiale

che si muove nel tempo e nello spazio, rappresentazioni grafiche.Il punto materiale non può essere ubiquo.La matematica che emerge dalla Storia (della Matematica, corso della

prof.ssa Giuseppina Fenaroli).

I ponti verso le altre discipline.• Fisica: le leggi fisiche, loro rappresentazioni grafiche, le

trasformazioni delle formule per ottenere le inverse.• Informatica: il foglio elettronico e le funzioni che possono essere

implementate, la programmazione dove function e procedure “mangiano i parametri” (approfondimento linguistico: variabili e parametri).

• Geografia: carte geografiche fisiche (quota come funzione delle coordinate). Punto sul globo terrestre, funzione delle coordinate sferiche.

• Economia e matematica finanziaria: di tutto, di più (esempio pratico: imposta progressiva sul reddito).

• Elettronica digitale (nell’ambito dell’informatica): porte logiche (funzioni logiche a due ingressi).

Una definizione formale

Dati due insiemi I e O di oggetti matematici, una funzione a input in I e output in O è un insieme F di coppie a, b con a in I e b in O tale che per ogni a in I accada uno dei due seguenti fatti:  (1)  c'è un unico oggetto b di O tale che a  b stia in F (ossia per a c'è un solo accoppiamento);      F(a) è definito e b è l'output corrispondente tramite F all'input a;      si scrive  F(a) = b  o  F: a   b  (2)  non c'è alcun oggetto b di O tale che a  b stia in F (ossia per a non ci sono accoppiamenti).      F(a) è indefinito ovvero all'input a F non associa alcun output.

L'insieme degli a per cui F(a) è definito si dice dominio (o insieme di definizione) di F.

Le difficoltà e il loro superamento

Esistono delle difficoltà di fondo.

• La resistenza a “pensare”. La visione della matematica come mero strumento, disponibile sotto forma di “formulette”, algoritmi e procedure da adottare secondo necessità è un ostacolo che ha a che fare anche con il meccanismo del rifiuto.

• La resistenza dei colleghi e la sottovalutazione degli alunni: le profezie che si auto avverano (“non impareranno mai”, “la classe non è all’altezza”, “la matematica non fa per loro”…).

• La difficoltà a passare da un registro linguistico concettuale a quello tecnico formale, proprio della materia.

Le difficoltà e il loro superamento

Esistono difficoltà “tecniche”.

• Composizione di funzioni: saper riconoscere come posso spezzare una funzione in tante funzioni. Costruire le funzioni per passi successivi, aiuta la scatola nera e le esperienze fatte con il foglio di calcolo.

• Manipolazione del linguaggio algebrico (“la discussione”).• Capire qual è la variabile oggetto di studio (a volte è il

parametro):– “cos’è che gli insegnanti di matematica sanno…” (la reificazione,

dalle lezioni della prof.ssa Fulvia Furinghetti.– “ora et labora”, motto dei monaci benedettini.– “volli, sempre volli, fortissimamente volli”, Vittorio Alfieri.– “se insisti e persisti, conquisti!”, Luigi Matteini.