SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario
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SISSISScuola Interuniversitaria Siciliana diSpecializzazione per l’Insegnamento
Secondario
Laboratorio di matematica
Docente: Specializzanda: Prof. Lizzio Melania Russo
Indirizzo 1 Scienze NaturaliClasse 59/A
Tema
Massimo comune divisore e minimo comune multiplo
PREREQUISITI:• Essere in grado di svolgere le quattro operazioni e l’elevamento a potenza
in N ed avere padronanza delle loro proprietà• Conoscenza dei Sottoinsiemi e Diagrammi di Venn• Sapere cos’è l’intersezione tra due insiemi
OBIETTIVI:• Individuare i multipli e dei divisori di un numero• Acquisire il concetto di divisibilità• Riconoscere i numeri primi da quelli composti• Apprendere le tecniche di scomposizione di un numero in fattori primi e
saperla applicare• Possedere i concetti di MCD e mcm• Conoscere le tecniche di calcolo del MCD e mcm• Risolvere semplici problemi con l’uso del MCD e mcm
METODI:La trattazione verrà fatta con osservazioni, descrizioni, manipolazioni di
oggetti (Es: Lego colorati).Si possono sottoporre ad un test gli alunni per valutare il possesso dei
prerequisiti richiesti.
Classe I media
PREMESSAINTRODUZIONE AL CONCETTO DI DIVISORE E
CONCETTO DI MULTIPLO
Le operazioni aritmetiche fondamentali che si possono eseguire con i numeri naturali e decimali sono:
- l’addizione e la sua inversa, la sottrazione- La moltiplicazione e la sua inversa, la
divisione- L’elevamento a potenza.Esistono altre relazioni, e in particolare le
relazioni “essere divisore di” e “essere multiplo di” anch’esse una inversa dell’altra.
RELAZIONE DI DIVISIBILITA’Facciamo degli esempi:
Dalla divisione di due numeri naturali a e b si può avere come resto 0 oppure un altro numero naturale che è minore rispetto a b.
nel primo caso si dice che la divisione è esatta e il numero a è divisibile per b.
Nel secondo caso si dice che la divisione non è esatta e a non è divisibile per b
Ritornando all’esempio, dai risultati ottenuti, possiamo concludere che:
125 è divisibile per 537 non è divisibile per 15
Sulla base di queste considerazioni si possono introdurre i concetti di multiplo e sottomultiplo di un numero.
DEF: un numero a è multiplo di un numero b quando a è divisibile per b, cioè quando la divisione di a x b dà resto 0.
Si dice anche che b è sottomultiplo di a.Le espressioni “è multiplo di” “è divisore di” in
matematica sono dette RELAZIONI.Una relazione tra due numeri può essere
rappresentata da una freccia
I MULTIPLI DI UN NUMERO
Consideriamo un numero naturale ≠ da 0, ad es. il 4. Quali sono i suoi multipli? Basterà moltiplicare per tutti i numeri della successione naturale 0, 1, 2, 3, 4, ecc. e avremo quindi:
In questa tabella, lo 0 non è considerato.Sappiamo però che ogni numero moltiplicato per lo 0
da per risultato 0. Quindi lo 0 è multiplo di qualunque numero.
M(0)= 0Cioè lo 0 ha un solo multiplo
Dal momento che è possibile continuare a costruire i passi seguenti della successione, moltiplicando il numero-base per i numeri della serie dei naturali, i multipli di un numero sono illimitati, quindi, in altre parole sono infiniti.
L’insieme dei multipli di un numero a si può indicare col simbolo M(a). Se consideriamo il numero 3 e i suoi multipli, avremo:
I DIVISORI O SOTTOMULTIPLI DI UN NUMERO
Consideriamo un altro numero naturale n=12.Volendo trovare i divisori di 12, basta individuare per mezzo della
tabella quali numeri moltiplicati tra loro danno come prodotto 12.
1x12 2x6 3x4 4x3 6x2 12x1 Come si nota, i divisori di 12, sono un numero
limitato, per cui un numero naturale ≠ da 0 ha un numero limitato (finito) di divisori.
OSSERVAZIONI: il quoziente fra 0 e un qualsiasi altro numero naturale ≠ da 0, dà per risultato 0; quindi lo 0, ha un insieme infinito di divisori:
D(0)= {1,2,3,4,ecc.}OSSERVAZIONI: come si sarà notato, tutti i numeri sono divisibili
per se stessi e per 1. questi due divisori, proprio perché comuni a tutti i numeri, sono stati chiamati divisori banali
L’insieme dei divisori di un numero a si può indicare con il simbolo D(a).
Supponiamo che a=124
Alcune proprietà dei divisori di un numero
NUMERI PRIMI E NUMERI COMPOSTII numeri che hanno come divisori solo se stessi e 1 possono
essere considerati come il risultato della moltiplicazione di questi 2 fattori banali.
Es 15 = 5x3Questi numeri sono chiamati Numeri PrimiDEF: Un numero è primo se è divisibile solo per se stesso e 1Gli altri numeri vengono definiti come numeri non primi o
numeri Composti.Essi si possono ottenere come il prodotto di fattori non
banali, oltre che di fattori banali.
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI
DEF: L’operazione che trasforma un numero composto nel prodotto di fattori primi è detta Fattorizzazione o Scomposizione in fattori primi.
Per scomporre in fattori primi un numero composto bisogna determinare tutti i suoi divisori primi.
REGOLA: Per scomporre un numero in fattori primi, lo si divide per il più piccolo numero primo che è suo divisore, poi si divide il quoto ottenuto per il più piccolo numero primo che è suo divisore, e così via finché si ottiene per quoto 1
Il numero dato, è uguale al prodotto di tutti i numeri primi utilizzati come divisori
Dunque la scomposizione in fattori del numero 630 è:630= 2x3x3x5x7= 2x32x5x7
OSSERVAZIONI: nella scomposizione in fattori primi, uno o più di questi fattori possono comparire per più volte. In quest’ultimo caso si usano le potenze per indicare un prodotto di fattori primi.
OSSERVAZIONI: effettuando la scomposizione di due numeri, nel primo numero scomposto, è possibile che compaiano tutti i fattori del secondo, con esponente maggiore o uguale a quello del secondo. Si dice allora che quel numero è divisibile per l’altro numero preso in considerazione.
MCDConsideriamo due numeri: (es: 48 e 60) e troviamo i
loro fattori effettuando la scomposizione
L’insieme dei divisori o fattori che 48 e 60 hanno in comune è l’intersezione tra l’insieme D (48), formato dai divisori di 48, e l’insieme D (60), formato dai divisori di 60. Il MCD appartiene a quest’insieme ed è il più grande dei numeri che formano l’intersezione tra D (48) e D(60).
DEF: il MCD di due o più numeri è il maggiore dei loro divisori comuni
METODI PER TROVARE IL MCD• Metodo basato sulla scomposizione in
fattori.DEF: il MCD di due o più numeri, scomposti in
fattori primi, è il prodotto di tutti i loro fattori primi comuni, presi ciascuno una sola volta, con il minimo esponente
• Metodo basato sulle divisioni successive o algoritmo euclideo delle divisioni successive.
OSSERVAZIONI: Può capitare che due numeri non abbiano divisori comuni ≠ da 1. Es: 30 e 49
30= 2x3x5 49= 72
non hanno divisori comuni. In questo caso si dice che due numeri sono primi fra loro.
DEF: due numeri si dicono primi fra loro , se non hanno divisori comuni ≠ da 1.
DEF: Dati 2 o più numeri, se il minore di essi è divisore di tutti gli altri, esso è il loro MCD
mcmConsideriamo due numeri qualsiasi: es. 8 e 10 e
consideriamo pure l’inizio della successione dei loro multipli
M (8)= {8,16,24,32,40,48,56,64,72,80…}M(10)={10,20,30,40,60,60,70,80,90,100…}Rappresentiamo attraverso i diagrammi di Venn:Il mcm (8;10)=40
DEF: il mcm di due o più numeri è il minore dei loro multipli comuni
• Regola: dati due numeri, se il maggiore è multiplo di tutti gli altri, esso è il mcm dei numeri dati
Es: 9, 27 M(9)= {9,18,27,36…}M(27)= {27,54,81…}mcm(9,27)=27
• Regola: il mcm di due o più numeri primi fra loro, è il loro prodotto
Es: 4, 5 M(4)= {4,8,12,16,20…}M(5)= {5,10,15,20…}mcm (4,5)=20 dove 20=4x5; 4 e 5 sono primi fra
loro
METODI PER TROVARE IL mcm TRA DUE NUMERI
• Metodo basato sulla scomposizione in fattoriDEF: per calcolare il mcm di due numeri, si
scompongono in fattori i numeri, poi si moltiplicano fra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente
• Metodo basato sul MCD
METODI PER TROVARE IL mcm TRA TRE O PIU’ NUMERI
• Metodo basato sulla scomposizione in fattori
• Metodo basato sul MCD
Verifiche:
•
- M. Pellerey IL NUOVO COSTRUIAMO LA MATEMATICA SEI 2001
- P.Lazzarini FARE E RAGIONARE CON LA MATEMATICA LA NUOVA ITALIA 2001
- T. Genovese ARITMETICA A LATTES 2006
- G. Colosio IMPARIAMO ARITMETICA EDITRICE LA SCUOLA 2000
- G. Flaccavento MATEMATICA SU MISURA FABBRI EDITORI 2002
- E. Bovio ARITMETICA MODERNA LATTES 1979