Universita degli studi di PerugiaFacolta di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corso di Laurea in Fisica

ENTROPIA DEI BUCHI NERITesi di Laurea in Fisica

a.a. 2006-07

Relatore LaureandaProf.Gianluca Grignani Agnese Bissi

Indice

1 Nozioni di relativita generale 31.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Principio di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Covarianza e controvarianza . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2 Derivazione covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.3 Tensore metrico e tensore energia-impulso . . . . . . . 61.3.4 Principio di covarianza generale . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Equazioni di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Soluzione di Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Teorema di Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Termodinamica dei buchi neri 172.1 Singolarita dello spazio-tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Diagramma di Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Teorema dell’assenza di peli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Leggi della termodinamica dei buchi neri . . . . . . . . . . . . 23

Capitolo 1

Nozioni di relativita generale

1.1 Introduzione

La descrizione del mondo fisico secondo la meccanica classica ha bisogno delconcetto di sistema di riferimento inerziale. Tutti i sistemi inerziali si equiv-algono ma essi risultano privilegiati rispetto a sistemi di riferimento in statidi moto diversi. Occorre estendere il principio di relativita a sistemi di riferi-mento che non sono in moto uniforme gli uni rispetto agli altri. C’e un’altrastranezza, o meglio, una coincidenza alla quale la teoria classica non sa dareuna spiegazione. La costante m che compare nel secondo principio della di-namica (F = ma), e anche la grandezza alla quale e proporzionale la forza

gravitazionale(F = GMm

r2

). Questo fatto che in meccanica classica risulta

essere solamente un’uguaglianza numerica diventa invece un assioma nellateoria della relativita generale e viene sviluppato in tutte le sue conseguenze.

1.2 Principio di equivalenza

Il principio di equivalenza, come gia accennato, e il nucleo fondamentale dellarelativita generale, anzi si puo affermare che in un certo senso esso contienel’intera teoria. Ne diamo ora una delle tante formulazioni possibili:Ad ogni punto dello spazio tempo in un campo gravitazionale arbitrario e pos-sibile associare un sistema di coordinate localmente inerziale tale che, in unintorno sufficientemente piccolo del punto in questione, le leggi della naturahanno la stessa forma che in un sistema inerziale di coordinate cartesiane inassenza di gravita.Esso discende da una considerazione in fondo piuttosto semplice. Immagini-amo di essere nello spazio aperto in caduta libera verso la terra magari incompagnia di qualche altro oggetto, e evidente che in tali condizioni si sper-

1.2 Principio di equivalenza 4

imentera l’assenza di peso, si avra la sensazione che nessuna forza agisca sudi noi, e anche il nostro compagno di viaggio ci seguira senza spostarsi di unmillimetro da noi indipendentemente dalla sua massa. Questo sara vero fino aquando non cominceranno a comparire le cosiddette forze mareali, dovute al-la particolare struttura del campo che tenderanno a farci avvicinare il nostroamico. Ma per un tratto sufficientemente piccolo di spazio-tempo, per noi,sara come essere assolutamente immobili l’uno rispetto all’altro nella totaleassenza di forze esterne o interazioni reciproche. Per cui potrebbero essereapplicate benissimo le leggi della relativita ristretta. Vediamo ora come dalprincipio di equivalenza sia possibile dare una forma nuova alle leggi fisiche.Consideriamo un corpo che si muove all’interno di un campo gravitazionalequalunque e in assenza di altre interazioni, nel sistema inerziale che in baseal principio di equivalenza e sempre possibile scegliere l’equazione del motoavra la forma:

d2ξα

dτ 2= 0 (1.1)

dove dξα sono le quattro coordinate del sistema inerziale e dτ e il tempoproprio:

dτ 2 = −ηαβdξαdξβ (1.2)

In questa notazione α e β possono assumere i valori: 0, 1, 2, 3 e ηαβ e untensore definito nel seguente modo (tensore di Minkowski):

ηαβ =

−1 0 0 00 +1 0 00 0 +1 00 0 0 +1

(1.3)

Il tensore di Minkowski e anche usato per classificare i vettori. Se la normadi tale tensore ηαα e negativa allora il vettore α si dice di tipo tempo, see positiva di tipo spazio e se ηαα = 0 allora α e nullo. Inoltre se la primacomponente di ciascun tipo di vettore e positiva allora si dice che sono di tipotempo, spazio o nullo futuro altrimenti sono di tipo tempo, spazio o nullopassato. I vettori nulli formano un doppio cono che separa i vettori di tipotempo da quelli di tipo spazio, infatti i primi giacciono all’interno del conomentre gli altri sono esterni.Supponiamo ora di voler ricavare l’equazione del moto in un sistema dicoordinate generico (anche non inerziale) xµ. Ovviamente ci saranno delleequazioni di trasformazione che permettono di passare da un sistema all’altro:xµ = xµ (ξα). Quindi l’equazione (1.1) si trasforma nel seguente modo:

d2xα

dτ 2+ Γλµν

dxµ

dτ

dxν

dτ= 0 (1.4)

1.2 Principio di equivalenza 5

dove Γλµν e il simbolo di Christoffel di seconda specie altrimenti detto con-nessione affine:

Γλµν ≡∂xλ

∂ξα∂2ξα

∂xµ∂xν(1.5)

E facile notare che essa non segue quindi l’algebra tensoriale. La soluzionedi questa equazione e la traiettoria dell’oggetto nelle nuove coordinate infunzione del parametro τ , xµ = xµ(τ). Si puo esprimere anche il tempoproprio in funzione delle nuove coordinate:

dτ 2 = −gµνdxµdxν (1.6)

dove gµν e il tensore metrico relativo alle nuove coordinate:

gµν ≡∂ξα

∂xµ∂ξβ

∂xνηαβ (1.7)

Per mettere in evidenza il legame tra il tensore metrico e la connessione affinee sufficiente derivare il primo rispetto a xλ, risolvendo poi rispetto a Γλµν siottiene:

Γσλµ =1

2gνσ

∂gµν∂xλ

+∂gλν∂xµ

− ∂gµλ∂xν

(1.8)

L’equazione (1.4) si riduce all’equazione di Newton in assenza di gravita,ovvero quando il tensore metrico coincide con il tensore di Minkowski e laconnessione affine e nulla. Questo fatto ci dice molto sulla natura della con-nessione affine. Per ora possiamo affermare che di fatto essa e strettamentelegata al campo gravitazionale all’interno del quale avviene il moto. Cer-chiamo ora di focalizzare l’attenzione su una fondamentale differenza tral’equazione (1.1) e l’equazione (1.4). Mentre la prima ha valenza soltanto inuna regione infinitesima dello spazio-tempo intorno all’oggetto, la seconda,essendo completamente arbitraria la scelta del sistema di coordinate, vale perintervalli finiti. Il problema e che l’equazione (1.4) da sola risolve il problemadel moto dei corpi solo in apparenza. Si vorrebbe calcolare la traiettoria di uncorpo in un campo gravitazionale generato da una qualunque distribuzione dimateria-energia. E evidente che a questo stadio cio non ci e possibile poichenon conosciamo l’espressione del simbolo di Christoffel. Quello che occorrefare e quindi cercare un’equazione che data una distribuzione di materia-energia permetta di ricavare il tensore metrico e quindi la connessione affine.Prima di affrontare questo problema e necessario introdurre alcuni importanticoncetti.

1.3 Tensori 6

1.3 Tensori

1.3.1 Covarianza e controvarianza

Per vettore covariante si intende un vettore che, data una trasformazione dicoordinate xµ → x′µ, si trasforma nel seguente modo:

U ′µ =∂xν

∂x′µUν (1.9)

Per vettore controvariante si intende un vettore che, data una trasformazionedi coordinate xµ → x′µ si trasforma nel seguente modo:

U ′µ =∂x′µ

∂xνUν (1.10)

In modo in tutto e per tutto analogo possiamo definire tensori covariantie controvarianti. Esistono anche tensori misti i cui elementi covarianti sitrasformano secondo la (1.9) mentre quelli controvarianti seguono la (1.10):

T ′µν =∂x′µ

∂xκ∂xρ

∂x′νT κρ (1.11)

1.3.2 Derivazione covariante

Il concetto di derivata covariante consente di estendere l’usuale concettto diderivata al calcolo tensoriale. In generale la derivata semplice (∂V

µ

∂xλ) di un

vettore non e un vettore infatti compare un termine non lineare. Per ovviarea cio si somma alla derivata il prodotto tra tale vettore e la connessione affine,che contiene lo stesso termine non lineare ma di segno opposto. In tal modosi ottiene la derivata covariante, che evidentemente e un vettore:

V µ;λ ≡

∂V µ

∂xλ+ ΓµλκV

κ (1.12)

Da questa espressione si evince che qualora il simbolo di Christoffel sia nullo,cioe in assenza di campo gravitazionale, la derivata covariante coincide con∂V µ

∂xλ. Questo anticipa un’ulteriore formulazione del principio di equivalenza: si

puo sostituire nelle equazioni valide in assenza di campo gravitazionale gµν aηαβ e V µ

;λ a ∂V µ

∂xλ. Con questi accorgimenti (Principio di covarianza generale) le

nuove equazioni descriveranno il moto nel campo gravitazionale considerato.

1.3.3 Tensore metrico e tensore energia-impulso

Parliamo ora dei due tensori piu ricorrenti in relativita generale.

1.3 Tensori 7

• Tensore metrico. Dall’invarianza di ds2 (ds2 = gµνdxµdxν) derivache gµν e un tensore simmetrico covariante. Vale inoltre la seguenterelazione:

gαµgµβ = δβα (1.13)

Attraverso tale relazione e possibile da tensori con indici a caratterecovariante ottenere tensori con indici a carattere covariante e viceversa:

Aµ = gµαAα (1.14a)

Aµ = gµαAα (1.14b)

T σµ = gσνTµν (1.14c)

Definiamo ora il determinante del tensore metrico:

g ≡ −Detgµν (1.15)

La legge di trasformazione dell’elemento di volume e:

dτ ′ =∫dx1dx2dx3dx4 (1.16)

In base al noto teorema di Jacobi,

dτ ′ =

∥∥∥∥∥∂x′σ∂xµ

∥∥∥∥∥ dτ (1.17)

moltiplicando le due ultime equazioni si ha√g′dτ ′ =

√gdτ (1.18)

Inoltre le componenti del tensore metrico descrivono sia le relazionimetriche del continuo spazio-temporale sia il campo gravitazionale.Un tensore metrico associato ad una varieta differenziabile, che nelnostro caso e il continuo spazio-temporale, ne individua la strutturageometrica; quindi la trasformazione di coordinate dal sistema local-mente inerziale ad uno generico di fatto rappresenta la modificazioneindotta dalla materia-energia allo spazio-tempo. Questa modificazionee l’espressione del campo gravitazionale. La presenza di g nella leggedi trasformazione dell’elemento di volume, il quale non e invariante, egiustificata da quanto detto sopra.Esistono dei vettori di campo, detti di Killing, che in una varieta diRiemann sono i generatori infinitesimi delle isometrie. Tali diffeomor-fismi conservano la metrica, cioe la metrica trasformata e in ogni punto

1.3 Tensori 8

uguale a quella di partenza, e i prodotti scalari. Inoltre ogni vettore diquesto tipo deve soddisfare l’equazione di Killing:

Ka;b +Kb;a = 0

In generale se uno spazio non possiede alcuna simmetria, non esistonovettori di Killing poiche le proprieta di simmetria di uno spazio sonocompletamente caratterizzate da un gruppo di isometrie. Nel caso del-la metrica di Schwarzschild, poiche e indipendente dal tempo, esistesicuramente un vettore di Killing di tipo tempo (κν∂a = ∂

∂t).

• Tensore energia-impulso. Definiamo ora un tensore del secondo or-dine Tµν che riassume la densita di energia del campo elettromagneticoe della quantita di moto. In un certo senso e l’analogo del quadriv-ettore densita di corrente, il carattere tensoriale di Tµν e dovuto alfatto che mentre la carica elettrica e uno scalare, il quadri-impulso e unquadrivettore. Poiche quantita di moto e energia devono conservarsi,la divergenza di Tµν deve essere nulla. Analogamente a quanto accadeper la derivazione, si puo definire una divergenza covariante in questomodo:

V µ;µ =

∂V µ

∂xµ+ ΓµµλV

λ (1.19)

Quindi Tµν deve soddisfare la seguente equazione:

0 =∂T µν

∂xµ+ ΓµµλT

λµ (1.20)

Da questa equazione si deduce che non e possibile parlare di legge diconservazione di energia e quantita di moto solamente per il campo elet-tromagnetico o gravitazionale per regioni estese poiche e presente il sec-ondo termine che rende impossibile dedurre l’esistenza di un’equazioneintegrale associata. Questo perche il campo gravitazionale trasferisceenergia e impulso alla materia esercitando su di essa delle forze e quin-di trasferendo l’energia. Questo aspetto verra chiarito dalla presenza diTµν nell’equazione di Einstein.

1.3.4 Principio di covarianza generale

Come gia introdotto esiste un’altra possibile formulazione del principio diequivalenza detto appunto principio di covarianza generale, che afferma:Un’equazione resta invariata in relativita generale se soddisfa le due seguenticondizioni:

1.4 Curvatura 9

1. L’equazione e valida in assenza di gravita cioe e in accordo con le leggidella relativita speciale quando il tensore metrico e uguale al tensore diMinkowski e quando la connessione affine e nulla.

2. L’equazione e covariante, preserva cioe la sua forma sotto un genericocambiamento di coordinate x→ x′.

Questa formulazione e equivalente a quella enunciata all’inizio del capitoloin quanto dalla seconda condizione si deduce che l’equazione resta valida inogni sistema di coordinate e dalla prima che e sempre possibile scegliere unsistema di coordinate localmente inerziale in cui gli effetti della gravitazionesono assenti.

1.4 Curvatura

Prima di parlare di curvatura e necessario introdurre il concetto di geodeticacome traiettoria di un punto nello spazio-tempo. Per far cio consideriamol’elemento lineare ds che e una grandezza invariante, cioe indipendente dalsistema di coordinate scelto. La linea tracciata tra due punti P1 e P2 del con-tinuo quadridimensionale per la quale

∫ds sia un estremo ha quindi carattere

invariante. Introducendo un principio variazionale:

δ

∫ P2

P1

ds

= δ

∫ P2

P1

√gµνdxµdxν

= 0 (1.21)

si ottengono quattro equazioni differenziali che determinano tale geodetica.Introducendo un parametro λ che identifica le varie curve passanti per P1 eP2 e integrando per parti, si ottiene l’equazione di questa curva:

d2xα

ds2+ Γλµν

dxµ

ds

dxν

ds= 0 (1.22)

Una geodetica oltre ad essere la curva di minima lunghezza rappresenta ancheil percorso di minima energia poiche verifica anche il principio variazionaleper il tensore energia-impulso. Come si puo notare l’equazione delle geode-tiche non e altro che l’equazione del moto (1.4) nel parametro ds. Piu avanticomprenderemo meglio il significato di questa apparente coincidenza.Ora si vuole cercare un tensore ottenuto mediante derivazione covariante deltensore metrico. Ricordando che la connessione affine non e un tensore perchesi trasforma per un cambiamento di coordinate nel seguente modo:

Γλµν =∂xλ

∂x′τ∂x′ρ

∂xµ∂x′σ

∂xνΓ′τρσ +

∂xλ

∂x′τ∂2x′τ

∂xµ∂xν(1.23)

1.4 Curvatura 10

ricaviamo il termine non lineare e lo deriviamo rispetto ad xκ. Cambiando gliindici e sottraendo le relative equazioni si ottiene la regola di trasformazioneper il tensore del quarto ordine cercato:

R′τρση =∂x′τ

∂xλ∂xµ

∂x′ρ∂xν

∂x′σ∂xκ

∂x′ηRλµνκ (1.24)

dove

Rλµνκ ≡

∂Γλµν∂xκ

−∂Γλµκ∂xν

+ ΓηµνΓλκη − ΓηµκΓ

λνη (1.25)

e detto tensore di curvatura di Riemann-Christoffel.L’importanza del tensore di curvatura risiede nel fatto che se lo spazio-tempoe tale che esiste un sistema di riferimento rispetto al quale le componenti deltensore metrico sono costanti allora si annullano anche tutte le componentidel tensore di curvatura. Se scegliamo un qualunque altro sistema di coor-dinate rispetto al quale le componenti gµν non sono piu costanti le nuovecomponenti di Rλ

µνκ saranno ancora nulle a causa del loro carattere tenso-riale. Da cio si deduce che l’annullarsi del tensore di Riemann e condizionenecessaria affinche in un appropriato sistema di riferimento le componentidel tensore metrico possano essere costanti, cioe ci troviamo nelle condizioniin cui la teoria della relativita ristretta e valida per una regione finita delcontinuo spazio-temporale.Il tensore di curvatura puo essere scritto in forma completamente covarianteusando la (1.14c):

Rλµνκ = gλσRσµνκ (1.26)

Possiamo contrarre il tensore di Riemann per ottenere un tensore simmetricodel secondo ordine detto anche tensore di Ricci:

Rµκ = gλνRλµνκ (1.27)

A partire sempre dal tensore di curvatura possiamo costruire uno scalare:

R ≡ −gλνgµκRµλνκ = gλνgµκRλµνκ (1.28)

Esplicitando la connessione affine e l’equazione sopra si possono ricavare leseguenti proprieta algebriche del tensore di Riemann-Christoffel:

• Simmetria:Rλµνκ = Rνκλµ (1.29)

• Antisimmetria:

Rλµνκ = −Rµλνκ = −Rλµκν = +Rµλκν (1.30)

1.4 Curvatura 11

• Ciclicita:Rλµνκ +Rλκµν +Rλνκµ = 0 (1.31)

• Identita di Bianchi:

Rλµνκ;η +Rλµην;κ +Rλµκη;ν = 0 (1.32)

dove si e considerata la derivata covariante in un certo punto x in unsistema di riferimento localmente inerziale in cui ovviamente la connes-sione affine e nulla.

In generale possiamo considerare uno spazio N-dimensionale. In questo con-testo e importante vedere quante sono le componenti indipendenti del tensoredi Riemann. Alla luce delle regole di simmetria elencate sopra, si puo notareche tale tensore e simmetrico rispetto alla coppia di coordinate λµ e νκ men-tre e completamente antisimmetrica la somma Rλµνκ+Rλκµν +Rλνκµ, quindiin totale si hanno CN = 1

12N2(N2 − 1)componenti indipendenti. Le CN , che

dipendono dal sistema di coordinate scelto, descrivono la curvatura di unospazio N-dimensionale generico. Per eliminare questa dipendenza dalla sceltadelle coordinate si considerano gli scalari, che sono degli invarianti, costruitia partire dal tensore metrico e da quello di Riemann. Il numero di questiscalari e pari a 1

12N(N − 1)(N − 2)(N + 3) se N ≥ 3. Per N=2 abbiamo uno

scalare che e proprio quello gia definito dalla (1.28). Per evidenziare meglioquesti invarianti si introduce il tensore di Weyl o tensore conforme Cλµνκ chee la differenza tra il tensore di Riemann e quello di Ricci:

Cλµνκ = Rλµνκ −1

N − 2(gλνRµκ − gλκRµν − gµνRλκ + gµκRλν) + (1.33)

R

(N − 1)(N − 2)(gλνgµκ − gλκgµν)

Il tensore di Weyl ha le stesse proprieta algebriche di quello di Riemann, in-oltre e invariante per trasformazioni conformi della metrica infatti se Cλµνκ =0 allora lo spazio considerato e euclideo. Ritornando alla definizione, e im-portante notare un altro aspetto: il tensore di Weyl rappresenta i gradi diliberta gravitazionali. Questo perche ai gradi di liberta totali (il tensore diRiemann) sono stati sottratti quelli di sorgente(il tensore di Ricci). Infatti iltensore di Ricci e dato dall’equazione di Einstein (Rµν − 1

2gµνR = −8πGTµν)

e quindi il tensore di Weyl per come e definito e la parte di curvatura chenon e determinata localmente dalla distribuzione di materia. Inoltre Rλµνκ

misura la diminuzione di volume che e l’effetto dell’accelerazione sulla cur-vatura dello spazio-tempo. Da queste considerazioni si puo vedere anche cheil tensore di Weyl descrive gli effetti di marea della gravita.

1.5 Equazioni di campo 12

1.5 Equazioni di campo

A questo punto siamo in grado di ricavare le equazioni che, dato il tensoreenergia impulso Tµν , permettono almeno in teoria di calcolare le componen-ti del tensore metrico gµν . Per prima cosa ci serve l’espressione del tensoremetrico in funzione del potenziale newtoniano. Uguagliando la (1.4) nell’ ap-prossimazione di campo debole (gαβ = ηαβ +hαβ con |hαβ| 1) e stazionario(tutte le derivate di gµν si annullano) con la seconda legge della dinamica etenendo conto della (1.8):

d2x

dt2=

1

2∇h00 = −∇φ⇒ h00 = −2φ+ cost (1.34)

imponendo che all’infinito h00 e il potenziale siano nulli si ottiene:

h00 = −2φ⇒ g00 = −(1 + 2φ) (1.35)

A questo punto utilizzeremo come modello l’equazione di Poisson della teorianewtoniana:

∇2φ = 4πGρ (1.36)

dove G e la costante di Newton, φ il potenziale newtoniano e ρ la densita dimassa. Ora si tratta di estendere l’equazione di Poisson al caso relativistico.La densita di massa e la 00-componente del tensore energia-impulso T00 = ρ.Sostituendo la (1.34) nella (1.35) si ottiene:

∇2g00 = −8πGT00 (1.37)

Visto che questa equazione non e Lorentz invariante e lecito supporre cheesista un tensore Gµν (combinazione lineare del tensore metrico e delle suederivate) che soddisfi la seguente:

Gµν = −8πGTµν (1.38)

Questa equazione supposta valida solo per campi statici e deboli in realtaassume valenza generale grazie al principio di equivalenza.Per individuare il tensore Gµν deve soddisfare cinque condizioni:

1. Gµν e un tensore per definizione.

2. Gµν contiene solo termini con derivate fino al secondo ordine del tensoremetrico, lineari nel secondo ordine e quadratici nel primo ordine.

3. Poiche Tµν e simmetrico allora anche Gµν lo e.

1.5 Equazioni di campo 13

4. Siccome Tµν si conserva nel senso della differenziazione covariante allora

Gµν;µ = 0 (1.39)

5. Per campi deboli e stazionari prodotti da materia non relativistica la00-componente della (1.37) si riduce a

G00∼= ∇2g00 (1.40)

In base alle prime due condizioni il tensore Gµν sara necessariamente del tipo:

Gµν = ARµν +BgµνR (1.41)

dove A e B sono delle costanti. La terza condizione non ci dice nulla di nuovo.In base alla quarta condizione,usando l’identita di Bianchi, si avra invece :

Gµν;µ =

(A

2+B

)R;ν = 0⇒ R;ν = 0 ∪

(A

2+B

)= 0 (1.42)

siccome R;ν = 0 presupporrebbe una distribuzione non omogenea di materia,questa ipotesi e da scartare. Quindi B = −A

2:

Gµν = A(Rµν −

1

2gµνR

)(1.43)

La costante A si puo determinare imponendo la quinta condizione tenendopresente che nella (1.26) le derivate temporali sono tutte nulle e risulta A = 1.Quindi siamo ora in grado di scrivere l’equazione di campo di Einstein:

Rµν −1

2gµνR = −8πGTµν (1.44)

Ricordando la (1.28) si ottiene una forma contratta dell’equazione di Einstein:

R = 8πGT µµ (1.45)

La (1.44) e un’equazione tensoriale. Di fatto sarebbero sedici equazioni ma,data la simmetria del tensore metrico, se ne ottengono dieci indipendenti. Lasoluzione di queste equazioni alle derivate parziali contiene delle funzioni ar-bitrarie per cui, analogamente a quanto avviene con le equazioni di Maxwell,si puo imporre una scelta delle coordinate che le semplifichi. Una di queste,detta delle coordinate armoniche, e la seguente:

Γλ ≡ gµνΓλµν = 0 (1.46)

Il tensore energia-impulso puo essere separato in due componenti, una riferitaalla materia e una al campo gravitazionale stesso.

1.6 Soluzione di Schwarzschild 14

1.6 Soluzione di Schwarzschild

Prima di risolvere l’equzione di Einstein per il caso piu semplice, si vuolescrivere il piu generale tensore metrico associato a un campo gravitazionalestatico ed isotropo e a simmetria sferica cioe tale che il tempo proprio dipendasolo da gli invarianti rotazionali dx2, x · dx e x2:

dτ 2 = F (r)dt2 − 2E(r)dtx · dx−D(r)(x · dx)2 − C(r)dx2 (1.47)

dove F, E, D, C sono funzioni non note di r(r ≡ (x · x)

12

).

Si passa a coordinate polari:x1 = r sin θ cosφx2 = r sin θ sinφx3 = r cos θ

(1.48)

si ricavano i differenziali:dx1 = sin θ cosφ dr + r cos θ cosφ dθ − r sin θ sinφ dφdx2 = sin θ sinφ dr + r cos θ sinφ dθ + r sin θ cosφ dφdx3 = cos θ dr − r sin θ dθ

(1.49)

e quindix · dx = rdr

(x · dx)2 = r2dr2

dx2 = dr2 + dθ2 + dφ2r2 sin2 θ

Sfruttando questi risultati e sostituendo il tempo proprio diventa:

dτ 2 = F (r)dt2−2E(r)dtrdr−D(r)r2dr2−C(r)dr2+dθ2+dφ2r2 sin2 θ (1.50)

Definendo una nuova coordinata temporale t′ = t + Φ(r) che permette dieliminare gli elementi non diagonali gtr e introducendo un nuovo raggio r′2 =C(r)r2, si ottiene in forma standard il tempo proprio:

dτ 2 = B(r′)dt2 − A(r)dr′2 − r′2(dθ2 + sin2 θdφ2) (1.51)

dove B(r′) ≡ F (r) e A(r′) ≡(1 + r2

C(r)

(D(r) + E2(r)

F (r)

)) (1 + r

2C(r)dC(r)dr

)−2.

Dalla (1.51) si puo ricavare il tensore metrico che sara:

grr = A(r)gθθ = r2

gφφ = r2 sin2 θgtt = −B(r)

(1.52)

1.6 Soluzione di Schwarzschild 15

Ora combinando la (1.8) e la (1.52) si calcolano le componenti della connes-sione affine e, visto che gµν e diagonale, le uniche non nulle sono:

Γrrr = 12A−1(r) Γrθθ = − r

A(r)Γrφφ = − r sin2 θ

A(r)

Γrtt = − 12A(r)

dB(r)dr

Γθrθ = Γθθr = 1r

Γθφφ = − sin θcosθ

Γφrφ = Γφφr = 1r

Γφθφ = Γφφθ = cot θ Γttr = Γtrt = 12B(r)

dB(r)dr

(1.53)

Per risolvere l’equazione di Einstein abbiamo bisogno anche del tensore diRicci dato da:

Rµκ =∂Γλµλ∂xκ

−∂Γλµκ∂xλ

+ ΓηµλΓλκη − ΓηµκΓ

λλη (1.54)

Facendo le opportune sostituzioni si ottiene che le componenti non nulle deltensore di Ricci sono:

Rrr = 12B(r)

d2B(r)dr2−(

14

1B(r)

dB(r)dr

) (1

A(r)dA(r)dr

+ 1B(r)

dB(r)dr

)− 1

rA(r)dA(r)dr

Rθθ = −1 + r2A(r)

(− 1A(r)

dA(r)dr

+ 1B(r)

dB(r)dr

)+ 1

A(r)

Rφφ = sin2 θ(−1 + r

2A(r)

(− 1A(r)

dA(r)dr

+ 1B(r)

dB(r)dr

)+ 1

A(r)

)= sin2 θRθθ

Rtt = − 12A(r)

d2B(r)dr2

+(

14A(r)

dB(r)dr

) (1

A(r)dA(r)dr

+ 1B(r)

dB(r)dr

)− 1

r1

A(r)dB(r)dr

(1.55)Ora siamo in grado di risolvere le equazioni di Einstein nel caso di campogravitazionale statico ed isotropo a simmetria sferica nello spazio vuoto, cioeRµν = 0. E facile vedere dalla (1.55) che affinche Rµν = 0 e sufficiente chesiano nulle Rrr,Rθθ e Rtt. Imponendo questa condizione e sottraendo la primaalla quarta equazione delle (1.55) si ottiene:

dA(r)

drB(r) + A(r)

dB(r)

dr= 0⇒ A(r)B(r) = C (1.56)

dove C e una costante reale. Sostituendo nella seconda equazione la relazionetra A e B si ha che

rdA(r)

dr+ A2 − A = 0

che e un’equazione differenziale di Bernoulli riconducibile ad una lineare, lacui soluzione generale e

A(r) =(

1 +1

Hr

)−1

1.7 Teorema di Birkhoff 16

Rimane da determinare il valore delle due costanti C ed H. Per grandi valoridi r il campo gravitazionale in questione e debole per cui la componentetemporale del tensore metrico gtt puo essere approssimata dalla (1.35). Siavra che

B(r) =(

1− 2MG

r

)

A(r) =(

1− 2MG

r

)−1

La soluzione di Schwarzschild delle equazioni di Einstein e dunque:

dτ 2 =(

1− 2MG

r

)dt2 −

(1− 2MG

r

)−1

dr2 − r2(dθ2 + sin2 θdφ2) (1.57)

1.7 Teorema di Birkhoff

La staticita della soluzione di Schwarzschild si dimostra non essere necessaria.Infatti il teorema di Birkhoff afferma che l’unica soluzione a simmetria sferi-ca per le equazioni di Einstein nello spazio vuoto e quella di Schwarzschild.Questo ci dice anche che, per una distribuzione sferica di massa-energia an-che non a riposo, la geometria dello spazio circostante e sempre quella diSchwarzschild. In particolare, siccome questa geometria e indipendente daltempo, lo spazio esterno e a sua volta statico, indipendentemente dallo statodi quiete o meno della materia che lo genera. E da notare pero che questoteorema non e piu valido se la massa che genera il campo ruota su se stessaperche in tal caso ci sarebbe una direzione privilegiata, quella dell’asse dirotazione, per cui non sarebbe piu soddisfatta la simmetria sferica. Questorisultato e utile per spiegare la dinamica di stelle e buchi neri. Ci aiuta an-che a comprendere il perche le onde gravitazionali siano cosı poco intense:poiche sono delle perturbzioni dello spazio (quindi non statiche) possono es-sere generate solo dalle piccole asimmetrie delle stelle, approssimativamentea simmetria sferica, che generano il campo.

Capitolo 2

Termodinamica dei buchi neri

2.1 Singolarita dello spazio-tempo

Una singolarita dello spazio-tempo e un punto in cui il tensore metrico none definito o non e opportunamente differenziabile. Questa definizione non emolto utile perche si potrebbe pensare di escludere i punti singolari e consid-erare lo spazio-tempo come la varieta restante. Percio e importante definirealtri concetti. In una varieta con una metrica definita positiva, si puo in-trodurre una funzione distanza ρ(x, y) come il massimo limite inferiore dellalunghezza delle curve da x a y. In questo caso si dice che la varieta ammetteuna metrica definita se ogni sequenza di Cauchy converge ad un punto di talevarieta rispetto alla funzione distanza. Inoltre si definisce geodetica comple-ta ogni geodetica che puo essere estesa per qualsiasi valore della connessioneaffine. Alla luce di queste definizioni si dice che uno spazio-tempo e singolarese e di tipo tempo o nullo geodeticamente incompleto e non e una varietacompleta. Si puo notare che l’incompletezza geodetica permette ad una par-ticella di avere un inizio o una fine in un intervallo finito del tempo proprio.Per cui si prevedono singolarita in due casi: nel passato e nel futuro. Le prime,dette anche singolarita iniziali, riguardano l’inizio dell’universo, il Big Bangda cui i segnali possono uscire ma non entrare. In questo caso la curvaturadi Weyl sara molto piccola come l’entropia. Le singolarita nel futuro, o finali,sono quelle dei buchi neri, in cui i segnali possono entrare ma non uscire, lacurvatura di Weyl e quindi infinita quando si raggiunge tale singolarita.Esistono anche altri tipi di singolarita oltre quelle di metrica sopra descritte,le cosiddette singolarita di coordinate. In tal caso effettuando un cambia-mento di coordinate standard si puo rendere la metrica regolare. Per capiremeglio questo aspetto analizziamo la (1.57). E evidente che abbiamo due sin-golarita: una in r = 0, l’altra in corrispondenza del raggio di Schwarzschild

2.1 Singolarita dello spazio-tempo 18

(r = Rs ≡ 2MG). Ora bisogna capire la natura di queste due singolarita. Lasoluzione di Schwarzschild risolve l’equazione Rµν = 0 quindi risulta ancheR = 0 e RµνR

µν = 0. Si possono considerare pero scalari di ordine superiorenon nulli, per esempio quello quadratico di Kretschmann:

K = RµνρσRµνρσ =48M2 cos2 θ

r6+ . . .

Poiche questo invariante (indipendente dal sistema di riferimento scelto) none regolare in r = 0, sicuramente ci sara in questo punto una singolarita dimetrica, pero non si puo dire nulla sulla singolarita in r = Rs.Se si considera un osservatore nel campo di Schwarzschild con massa a riposom le sue equazioni del moto si scrivono:

gαβpαpβ = m2c2

dove pα = −mdxα

dτe il suo quadrimomento e τ e il tempo proprio. L’energia

totale dell’osservatore sara:E = −p0c

Usando la conservazione dell’energia si ha un’equazione in pr, quindi un’e-quazione differenziale in r. Integrando tra 0 e Rs si ottiene il tempo chel’osservatore impiega per andare dalla singolarita di coordinate in r = 0 aRs. Questo intervallo di tempo proprio e finito, cio significa che non succedeniente di non fisico in r = Rs. Questa e quindi una singolarita di coordinate,basta scegliere un sistema di coordinate (ad esempio quelle di Eddington-Finkelestein o di Kruskal-Szekeres) non singolari in questo punto per avereuna metrica regolare.Il sistema di coordinate che copre l’intera varieta spazio temporale nella met-rica di Schwarzschild e quello di Kruskal-Szekeres. Si definiscono 2 nuovecoordinate in tal modo:

T =(

r

2MG− 1

) 12

er

4MG sinh(

t

4MG

)(2.1)

R =(

r

2MG− 1

) 12

er

4MG cosh(

t

4MG

)(2.2)

per r > 2MG e

T =(

1− r

2MG

) 12

er

4MG sinh(

t

4MG

)(2.3)

R =(

1− r

2MG

) 12

er

4MG cosh(

t

4MG

)(2.4)

2.2 Diagramma di Penrose 19

per r < 2MG.In questo sistema di coordinate l’espressione della metrica (che e singolaresolo in r = 0) e la seguente:

dτ 2 =32G3M3

re−r

2MG

(dT 2 − dR2

)r2(dθ2 + sin2 θdφ2) (2.5)

dove T 2 − R2 =(1− r

2MG

) 12 e

r2MG , si vede quindi che t e una coordinata

angolare ed r nello spazio T,R e rappresentata da delle iperboli.

Figura 2.1: Coodinate di Kruskal

Il grafico mostra le coodinate di Kruskal per la soluzione di Schwarzschild.L’ipersuperficie r = 2M (dove G=1) e detta orizzonte degli eventi, nessunaparticella o segnale luminoso puo andare dall’interno all’esterno. E quindi ev-idente che la soluzione completa di Schwarzschild rappresenta un buco nero.

2.2 Diagramma di Penrose

I diagrammi di Penrose sono delle rappresentazioni la cui metrica local-mente e conforme a quella reale dello spazio-tempo. Per far cio si parte

2.2 Diagramma di Penrose 20

dall’espressione della metrica in coordinate polari:

ds2 = −dt2 + dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2

)(2.6)

Apparentemente ci sono due singolarita, una in r = 0 e l’altra per sin2 θ = 0.Per evitare cio si possono introdurre due nuove coordinate w e v (coordinatedi avanzamento e ritardo temporale):

v = t+ r (2.7)

w = t− r

Si avra quindi:

r =v − w

2, t =

v + w

2⇒ dt =

1

2(dv + dw) , dr =

1

2(dv − dw) (2.8)

Sostituendo nella (2.6):

ds2 = −dvdw +1

4(v − w)2

(dθ2 + sin2 θdφ2

)(2.9)

dove −∞ < v < +∞ e −∞ < w < +∞. L’assenza di termini quadratici indv2 e in dw2 indica il fatto che le superfici con w o v costanti sono nulle. Conquesta scelta si sono eliminate le singolarita, il prossimo obiettivo e quello ditrovare un set di coordinate che assuma un valore finito quando v e w sonoinvece infinite. Si introducono:

tan p = v (2.10)

tan q = w

con −π2< p < π

2e −π

2< q < π

2. Sostituendo i differenziali dv = sec2 p dp e

dw = sec2 q dq si ottiene:

ds2 = sec2 p sec2 q(−dp dq +

1

4sin2(p− q)

) (dθ2 + sin2 θdφ2

)(2.11)

Tuttavia la metrica reale e conforme, per la (2.9) a:

ds2 = −4dp dq + sin2 (p− q)(dθ2 + sin2 θdφ2

)(2.12)

Vogliamo ricavare ora il fattore conforme, per far cio si definiscono le variabilit′ e r′:

t′ = p+ q, r′ = p− qdove −π < t′ + r′ < +π, −π < t′ − r′ < +π, r′ ≥ 0 ottenendo:

ds2 = −dt′2 + dr′2 + sin2 r′(dθ2 + sin2 θdφ2

)

2.2 Diagramma di Penrose 21

Risulta quindi:

ds2 =1

4sec2

(1

2(t′ + r′)

)sec2

(1

2(t′ − r′)

)ds2 (2.13)

e le variabili t ed r:

2t = tan(

1

2(t′ + r′)

)+ tan

(1

2(t′ − r′)

)

2r = tan(

1

2(t′ + r′)

)− tan

(1

2(t′ − r′)

)Lo spazio statico di Einstein, eliminando le coordinate θ e φ, puo essererappresentato da un cilindro e una regione finita di esso ( −π < t′ + r′ <+π, −π < t′− r′ < +π, r′ ≥ 0) e proprio lo spazio-tempo di Minkowski. Intale rappresentazione ad ogni punto corrisponde una 2-sfera.

Figura 2.2: Rappresentazione conforme dello spazio di Einstein

La regione conforme allo spazio di Minkowski e racchiusa dalle superficinulle I + (p = 1

2π), I − (q = −1

2π) e dai punti i+ (p = 1

2π, q = 1

2π), i0

(p = 12π, q = −1

2π) e i− (p = −1

2π, q = −1

2π). I punti i+ e i− rappresentano

rispettivamente infinito di tipo tempo futuro e passato mentre i0 e infinitodi tipo spazio. I + e l’infinito nullo futuro e I − e quello passato.La stessa struttura conforme graficata nel piano (r′, t′) e detta diagramma diPenrose.

2.2 Diagramma di Penrose 22

Figura 2.3: Diagramma di Penrose

In questa rappresentazione le geodetiche nulle sono rette a ±45, gli in-finiti sono delle linee, l’origine delle coordinate polari e una linea tratteggiatae le singolarita di metrica sono linee doppie. I diagrammi di Penrose sono utilisoprattutto quando c’e una simmetria sferica nel 4-spaziotempo poiche pos-siamo pensare che esso sia un 2-spaziotempo fatto ruotare; in tal modo ognipunto nel 2-spaziotempo rappresenta tutta una superficie nel 4-spaziotempo.Con questo diagramma si puo rappresentare anche il collasso in un buconero: nel passato ha lo stesso aspetto di quello per lo spazio di Minkowskima nel futuro la parte superiore del triangolo non c’e piu perche e presentela singolarita. Per cui sotto questa linea ci sono punti che non sono nel pas-sato dell’infinito nullo futuro I +. Se un punto giace dentro ad r = 2MG,entrambi le geodetiche raggiungono la singolarita e l’intero futuro del puntofinisce nella singolarita. E evidente che l’ipersuperficie r = 2MG rappresental’orizzonte degli eventi.

Figura 2.4: Diagramma di Penrose per un buco nero

2.3 Teorema dell’assenza di peli 23

2.3 Teorema dell’assenza di peli

Oltre a quella di Schwarzschild esistono altri tipi di soluzioni per le equazionidi Einstein: quella di Kerr, quella di Reissner-Nordstrom ed infine quelladi Kerr-Newman. Puo pero essere dimostrato un teorema, detto teorema diunicita, per cui gli unici buchi neri con momento angolare nullo e in assenzadi altri campi sono quelli desritti dalla metrica di Schwarzschild, quelli conmassa e momento angolare da quella di Kerr e quelli carichi da quella diReissner-Nordstrom. L’aspetto che contraddistingue un buco nero e di avereun campo scalare costante. Questo teorema non esclude pero la presenza disoluzioni dell’equazione di Einstein che non sia un buco nero. Se si consideraad esempio la soluzione di Schwarzschild con un campo non costante tale che∇2ϕ 6= 0 si ottiene la cosiddetta singolarita nuda che non presenta un oriz-zonte degli eventi. Questo ci fa capire che le uniche caratteristiche di un buconero sono la massa, il momento angolare e la carica (teorema dell’assenzadi peli). Questo teorema e estremamente connesso all’ipotesi della censuracosmica. Tale congettura afferma la non esistenza in natura di singolaritanude. Questo perche la presenza di campi non costanti, e quindi di singolar-ita nude, e resa possibile se l’energia cinetica puo assumere valori negativima, visto che cio non puo accadere in natura, l’ipotesi della censura cosmica eaccettabile. Inoltre il teorema di assenza di peli giustifica l’ipotesi che i buchineri abbiano una grande entropia. Infatti quando un corpo collassa perdeuna grande quantita di informazioni (tipi di materia e momenti multipolaridella distribuzione di massa) tranne il momento di monopolo che e la massae quello di dipolo che e il momento angolare.

2.4 Leggi della termodinamica dei buchi neri

E possibile fare un’analogia tra il comportamento dei buchi neri e le leggidella termodinamica. Si puo definire l’area dell’orizzonte degli eventi come:

A =∫r=Rs

dΩ2r2 = 4πR2s (2.14)

Hawking ha dimostrato classicamente che l’area dell’orizzonte degli eventinon puo mai diminuire nel tempo e che se si fondono due buchi neri la cuiarea dell’orizzonte degli eventi e rispettivamente A1 e A2 l’oggetto risultanteavra un’area maggiore o uguale ad A1 + A2. Queste caratteristiche fannopensare ad un’analogia tra questa grandezza e l’entropia (S). Quanto dettopuo risultare piu chiaro se si osserva la Figura 2.4: l’orizzonte degli eventi egenerato da segmenti geodetici nulli che possono avere estremi passati ma non

2.4 Leggi della termodinamica dei buchi neri 24

hanno estremi futuri. Da cio segue che i generatori dell’orizzonte non possonoessere convergenti perche, se lo fossero, si intersecherebbero a distanza finita.Questo implica che l’area di una sezione trasversale dell’orizzonte degli eventinon puo mai diminuire col tempo.Definiamo un’ulteriore grandezza: la gravita superficiale che e l’accelerazioneper portare un’unita di massa dall’infinito all’orizzonte degli eventi. Sia kν

un vettore di Killing normalizzato, allora la gravita superficiale κ e definitacome:

κ2 = −1

2(∇µkν) (∇µkν) (2.15)

valutata nell’orizzonte degli eventi.Usando la metrica di Schwarzschild la gravita superficiale e:

κ =c4

4GM(2.16)

E evidente che questa grandezza e costante per ogni buco nero all’orizzontedegli eventi. Questo porta ad un’analogia con la temperatura (T ), che ecostante in un oggetto all’equilibrio termico.Per vedere se quest’analogia e realmente attendibile si usa anche il primoprincipio della termodinamica:

dE = TdS ⇒ dM ≈ 1

GκdA

dove G e presente per motivi dimensionali. In effetti anch’esso risulta verifi-cato e il coefficiente di proporzionalita e dato da 1

8π. Integrando quest’espres-

sione si ottiene:

M =1

4πGκA (2.17)

Esiste anche una formulazione di questo principio, formula di Smarr, checonsidera anche il momento angolare e la carica elettrica

dM =κ

8πdA+ ΩdJ + ΦdQ

dove M e la massa, A e l’area dell’orizzonte degli eventi, Ω e la velocitaangolare, J e il momento angolare, Φ e il potenziale elettrostatico, Q e lacarica elettrica. Il termine ΩdJ + ΦdQ rappresenta il lavoro fatto sul buconero da qualche agente esterno che incrementa il momento angolare e la car-ica. Questi due termini quindi equivalgono a −PdV che rappresenta il lavorofatto su un sistema termodinamico classico secondo il primo principio dellatermodinamica (dE = TdS − PdV ).Quanto detto sembra portare a delle contraddizioni. Abbiamo gia notato che

2.4 Leggi della termodinamica dei buchi neri 25

da un buco nero non puo sfuggire neanche un segnale luminoso. Questo di-rebbe che la sua temperatura sia allo zero assoluto altrimenti avrebbe avutouno spettro di emissione, cio comporterebbe che la sua entropia non potrebbeessere finita. Classicamente cio non puo essere spiegato, bisogna quindi farricorso alla teoria quantistica e in particolare al concetto di radiazione diHawking. Dal vuoto sono prodotte continuamente coppie virtuali di particellee antiparticelle che si annichilano, secondo il principio di indeterminazionetempo-energia (∆E∆t ≥ h), dopo un tempo ∆t = h

∆E. La presenza di un

buco nero modifica questo processo per cui alcune delle particelle delle cop-pie precipitano nel buco e le altre sfuggono. Questo processo puo avveniresolamente quando la particella che sfugge diventa reale quindi, per la con-servazione dell’energia, la particella nel buco deve avere energia negativa.Questo fa sı che il buco nero perda massa. Il buco nero ha lo spettro di emis-sione di un corpo nero a temperatura T = hκ

2πc. Questo permette di calcolare

la costante di proporzionalita tra A ed S:

S =c3

4hGA (2.18)

che per il buco nero di Schwarzschild diventa:

T =hc3

8πGM(2.19)

S =4πGM2

hc(2.20)

E da notare che in questo sistema di unita di misura la costante di BolzmannkB e posta uguale ad 1, quindi la temperatura T ha le dimensioni di ML2T−2

e l’entropia S e adimensionata. Nel limite per h→ 0 l’entropia e infinita e latemperatura e zero come previsto classicamente.E evidente dalla (2.19) che la massa e la temperatura sono inversamenteproporzionali, quindi se un buco nero aumenta la propria massa la sua tem-peratura diminuisce.Analogamente possiamo notare che il calore specifico per un buco nero diSchwarzschild

C−1 =∂T

∂Me negativo in quanto la temperatura diminuisce quando l’energia, quindi lamassa, aumenta.Rimane da chiarire il parallelismo concettuale tra l’entropia termodinamicae quella dei buchi neri. Fin’ora e stato sottolineato soltanto il fatto che ledue si comportino come enti matematici allo stesso modo. La tendenza del-l’area dell’orizzonte degli eventi ad aumentare e la tendenza dell’entropia ad

2.4 Leggi della termodinamica dei buchi neri 26

aumentare fanno sı che sistemi di buchi neri (analogamente a quanto accadeper sistemi termodinamici) selezionino una direzione preferenziale dello scor-rere del tempo, quello cioe in cui tale grandezza aumenta.L’entropia termodinamica rappresenta il grado di degradazione dell’energia,anche l’area dell’orizzonte degli eventi viene ad identificarsi con cio. La massairriducibile di un buco nero e data da:

Mir =(A

16π

) 12

e rappresenta l’energia che non puo essere estratta per mezzo di un proces-so di Penrose. Un processo di Penrose e un modo per estrarre energia daun buco nero rotante reso possibile dall’esistenza di un’ergosfera (regione incui le particelle sono costrette a muoversi insieme allo spazio-tempo rotante)nello spazio di Kerr. Il momento angolare del buco nero diminuisce e ques-ta riduzione corrisponde al trasferimento di energia il cui momento angolareperso e convertito in energia estratta. E proprio per questo che la massa ir-riducibile e quell’energia che non puo essere trasformata in lavoro. Per cuianche nella termodinamica dei buchi neri, l’entropia(area dell’orizzonte deglieventi) viene a quantificare il grado di inconvertibilita dell’energia.Inoltre l’entropia di un sistema misura il grado di incertezza o di assenzadi informazioni sulla configurazione interna del sistema compatibilmente aiparametri termodinamici macroscopici come ad esempio temperatura, pres-sione, volume (S = −∑npnlnpn dove pn e la probabilita di avere lo staton-esimo). Analogamente ad un sistema termodinamico, un buco nero e rap-presentato dalle tre grandezze gia viste (massa, carica e momento angolare).L’entropia di un buco nero misura il grado di inaccessibilita alle informazionirelative alla precisa configurazione interna da parte di un osservatore ester-no. Questi concetti portano ad enunciare un ulteriore seconda legge dellatermodinamica dei buchi neri, detta principio generalizzato o di Bekenstein,che afferma che la somma tra l’entropia di un buco nero e quella dell’ambientecircostante non puo mai diminuire. Questo puo essere spiegato come segue.Un corpo di entropia S entra in un buco nero, S per quanto detto rappresen-ta l’incertezza sulla conoscenza della configurazione interna del corpo stesso.Dal momento che questo oggetto entra nel buco nero, l’informazione sul suostato diventa inaccessibile. Ci si aspetterebbe un aumento di S di entropiadel buco nero, mentre tale incremento e maggiore in quanto le informazioni adisposizione del corpo caduto vanno perse all’interno del buco nero. Questospiega dunque il secondo principio generalizzato.Quanto detto verra chiarito di seguito da un esempio.

2.4 Leggi della termodinamica dei buchi neri 27

EsempioL’entropia di un buco nero e proporzionale alla sua area A ed e data da:

S =c3

4GhA

(a) Calcolare la velocita di fuga da una massa M ad un raggio R usando lameccanica classica. Trovare la relazione tra il raggio e la massa di unbuco nero sostituendo la velocita della luce c alla velocita di fuga. (Ilcalcolo relativistico non cambia il risultato, ottenuto originariamenteda Laplace).

(b) Aumenta o diminuisce l’entropia quando due buchi neri si fondono inuno? Di quanto cambia l’energia dell’universo (anche in unita di bit)quando si uniscono due buchi neri di massa uguale alla massa solare(M ≈ 2 × 1030kg)?

(c) L’energia interna di un buco nero e data dalla relazione di Einstein,E = mc2. Trovare la temperatura di un buco nero espresso in funzionedella sua massa.

(d) Un buco nero emette radiazione termica dovuta al processo di creazionesul suo orizzonte degli eventi. Trovare il tasso di energia persa attraversoquesta radiazione.

(e) Calcolare il tempo che impiega un buco nero isolato per evaporare.Quant’e questo tempo per un buco nero di massa solare?

(f) Qual’e la massa di un buco nero che e all’equilibrio termico con l’attualeradiazione di fondo a T = 2.7K?

(g) Considerare un volume sferico di spazio di raggio R. Dal recente Princi-pio olografico si sa che esiste un valore per la massima entropia che puoavere un certo volume nello spazio, indipendentemente da cosa con-tiene. Qual’e questa massima entropia?

Svolgimento

(a) Classicamente la velocita di fuga si ottiene uguagliando l’energia poten-ziale gravitazionale all’energia cinetica sulla superficie:

GMm

R=mv2

E

2

2.4 Leggi della termodinamica dei buchi neri 28

quindi

vE =

√2MG

R

Sostituendo a vE la velocita della luce c, si ha che

R =2G

c2M

Per una massa piu grande di quella data da questo rapporto (M > c2R2G

),niente puo sfuggire ad una distanza piu vicina di R.

(b) Quando due buchi neri di massa M si fondono in uno, il cambiamentodi entropia e:

∆S = S2 − 2S1 =c3

4Gh(A2 − 2A1) =

c3

4Gh4π(R2

2 − 2R21

)=

=πc3

Gh

[(2G

c22M

)2

− 2(

2G

c2M)2]

=8πGM2

ch> 0

Da questo calcolo si puo vedere che, unendo due buchi neri, l’entropiadell’universo aumenta.Se si fondono due buchi neri di massa pari a M il cambiamento dientropia e:

∆S =8πGM2

ch

≈ 8π · 6.7× 10−11(N ·m/kg2) · (2× 1030)2kg2

3× 108(m/s) · 1.05× 10−34(J · s)≈ 2·1078

In un unita di bit l’informazione persa e

NI = ∆S ln 2 = 1.39× 1078

(c) Usando la definizione termodinamica di temperatura 1T

= ∂S∂E

e la re-lazione di Einstein E = Mc2:

1

T=

1

c2

∂

∂M

[c3

4Gh4π(

2G

c2M)2]

=8πG

hc3M ⇒ T =

hc3

8πG

1

M

(d) La diminuzione di energia E di un buco nero di area A a temperaturaT e data dalla legge di Stefan-Bolzmann,

1

A

∂E

∂t= −σT 4,

dove σ = π2

60h3c2.

2.4 Leggi della termodinamica dei buchi neri 29

(e) Usando il risultato del punto (d) si puo calcolare il tempo che impiegaun buco nero per evaporare.Per un buco nero

A = 4πR2 = 4π(

2G

c2M)2

=16πG2

c4M2, E = Mc2, T =

hc3

8πG

1

M.

Quindi

d

dt

(Mc2

)= − π2

60h3c2

(16πG2

c4M2

)(hc3

8πG

1

M

)4

,

che implica

M2dM

dt= − hc4

15360G2≡ −b.

Risolvendo:

M(t) =(M3

0 − 3bt)1/3

.

La massa diventa zero e il buco nero evapora dopo un tempo pari a τ :

τ =M3

0

3b=

5120G2M3

hc4≈ 2.2× 1074s

che e considerevolmente maggiore dell’eta odierna dell’universo (ap-prossimativamente dell’ordine di 1018s).

(f) La temperatura e la massa di un buco nero sono legate da M = hc3

8πGT.

Per un buco nero all’equilibrio termico con l’attuale radiazione cosmicadi fondo a T = 2.7K,

M ≈ 1.05× 10−34(J · s)(3× 108)3(m/s)3

8π · 6.7× 10−11(N ·m2/kg2 · 2.7 K≈ 0.62

J ·KgK

.

(g) La massa in un volume sferico di raggio R deve essere minore dellamassa che dovrebbe avere un buco nero che occupa lo stesso volume.Portando ulteriore massa (da infinito) nel volume sferico si ottiene lastessa configurazione del buco nero. Chiaramente l’entropia del sistemaaumenta nel processo e l’entropia finale, che e l’entropia del buco neroche e maggiore di quella del volume iniziale, porta a:

S ≤ SBH =c3

4GhA,

dove A = 4πR2 e l’area che racchiude il volume equivalente a quello delbuco nero. L’osservazione sorprendente e che il limite superiore dell’en-tropia e proporzionale all’area A, mentre ci si aspetta che per i sistemi

2.4 Leggi della termodinamica dei buchi neri 30

di particelle essa sia proporzionale ad N . Questo rimane valido finchele interazioni alle alte temperature sono trascurabili. Il Principio olo-grafico e un’allusione di cio che accade in un’osservazione che considerai gradi di liberta di superficie, piuttosto che quelli di volume. Questoe stato formulato nell’ambito della teoria delle stringhe che tenta dicostruire una teoria consistente della gravita quantistica, che rimpiazzaparticelle intese come gradi di liberta con stringhe.

Nella tabella di seguito sono riassunte le quattro leggi della termodinamicadei buchi neri:

Principio zero La gravita superficiale di un buco neroe costante all’orizzonte degli eventiper un buco nero stazionario.

Primo principio dM = κ8πdA+ ΩdJ + ΦdQ

Secondo principio L’area dell’orizzonte degli eventinon diminuisce nel tempo dA ≥ 0.

Secondo principio generalizzato La somma dell’entropia del buconero e dell’entropia dell’universonon diminuisce mai.

Terzo principio Non e possibile con un numerofinito di operazioni ridurre κ a zero.

Tabella 2.1: Leggi della termodinamica dei buchi neri

Bibliografia

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