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Lezioni sui Fibrati(a.a. 2016/17)

Mauro Nacinovich

Indice

Parte 1. Fibrati topologici 13

Capitolo I. Richiami su spazi cellulari ed omotopia 151.1. Spazi puntati 151.2. Gruppi di omotopia di uno spazio puntato 191.3. Cambiamento del punto di base e azione del gruppo fondamentale 231.4. Proprieta dellestensione e cofibrazioni 241.5. CW-complessi 27

Capitolo II. Fibrati topologici 312.1. Prime definizioni 312.2. Prodotti 332.3. Restrizioni e fibrati indotti 342.4. Fibrati localmente banali 352.5. Un lemma di trivializzazione 362.6. Prolungamento di sezioni 362.7. Esempi 372.8. Fibrati di Serre 382.9. Condizione di Serre forte 422.10. Associato di Serre di un fibrato 442.11. Successione esatta di omotopia di un fibrato 452.12. Esempi 48

Capitolo III. Fibrati topologici con strutture di gruppo 553.1. Azioni di gruppo 553.2. Gruppi topologici 583.3. Azioni continue 683.4. Azioni di gruppo su un fibrato 703.5. Fibrati di Steenrod e fibrati principali 703.6. Un Lemma di trivializzazione 753.7. Invarianza omotopica 753.8. Fibrati universali 773.9. Fibrati di Milnor 80

Capitolo IV. Alcuni spazi omogenei 874.1. Varieta di Stiefel reali 874.2. Varieta di Grassmann reali 89

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4.3. Varieta di Stiefel e di Grassmann complesse 924.4. Varieta di Stiefel e di Grassmann quaternioniche 944.5. Varieta di sottospazi isotropi 974.6. Classificazione omotopica dei fibrati principali 984.7. Sottospazi Lagrangiani reali 1004.8. Sottospazi Lagrangiani complessi 1014.9. Sottospazi proiettivi di una quadrica proiettiva complessa 102

Capitolo V. Fibrati vettoriali 1055.1. Fibrati vettoriali 1055.2. Gruppo strutturale 1065.3. Fibrati vettoriali associati a rappresentazioni lineari 1075.4. Equivalenza di fibrati vettoriali 1085.5. Fibrati vettoriali sulle sfere 1105.6. La proprieta (S ) 1115.7. Classificazione omotopica I: base CW 1135.8. Classificazione omotopica II: base compatta 114

Capitolo VI. Elementi di K-teoria 1196.1. Addendi banali 1196.2. Gruppo di K-teoria ed equivalenza stabile 1206.3. Caratterizzazione omotopica dellequivalenza stabile 1226.4. Gruppi si K-teoria relativi 1246.5. I gruppi K 1

k(B) 128

Parte 2. Algebre di Clifford 133

Capitolo VII. Campi di vettori sulle sfere 1357.1. Vettori tangenti unitarii sulle sfere 1367.2. Moltiplicazione ortogonale 136

Capitolo VIII. Algebre di Clifford e Spinori 1398.1. Algebre di Clifford reali 1398.2. Algebra di Clifford di uno spazio vettoriale quadratico 1458.3. Involuzioni, anti-involuzioni e centro dellalgebra di Clifford 1498.4. Gruppi ortogonali e loro algebre di Lie 1518.5. Rappresentazione spinoriale dellalgebra ortogonale 1538.6. Gruppo spinoriale e sua rappresentazione vettoriale 1558.7. Spinori complessi 1628.8. Algebre di Clifford reali di segnatura (p, q) 1678.9. Spinori reali 1718.10. Applicazione ai campi di vettori tangenti alle sfere 1798.11. Spinori di Dirac, Weyl, Majorana 179

Capitolo IX. Ottonioni 1819.1. Richiami sulle algebre 1819.2. La costruzione di Cayley-Dickson 186

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9.3. Un teorema di Hurwitz 1899.4. Gli ottonioni 1929.5. G2 1939.6. Algebre di Jordan, geometria proiettiva ed F4 197

Parte 3. Complesso di de Rham e coomologia di Cech 201

Capitolo X. Forme differenziali negli spazi Euclidei 20310.1. Forme differenziali in Rn 20310.2. Pull-back 20410.3. Differenziale di una forma 20410.4. Il complesso di de Rham 20510.5. Coomologia di de Rham a supporti compatti 20810.6. Il grado di unapplicazione propria di Rn in se 21110.7. Orientazione e sottovarieta di Rn. 21310.8. Integrazione sulle sottovarieta e formule di Stokes 215

Capitolo XI. Calcolo differenziale sulle varieta 22111.1. Fibrato cotangente e tensori 22111.2. Forme differenziali su una varieta 22211.3. Il lemma di Poincare-Volterra sugli intorni contrattili 22411.4. Derivata di Lie di un tensore 22411.5. Distribuzioni vettoriali e teorema di Frobenius 227

Capitolo XII. Calcolo differenziale sulle varieta 23112.1. Fibrato cotangente e tensori 23112.2. Forme differenziali su una varieta 23112.3. Il lemma di Poincare-Volterra sugli intorni contrattili 23312.4. Derivata di Lie di un tensore 23412.5. Distribuzioni vettoriali e teorema di Frobenius 23612.6. Integrabilita formale e lemma di Poincare-Volterra 24112.7. Il teorema di Darboux sulle forme canoniche 245

Capitolo XIII. Coomologia di de Rham sulle varieta 25113.1. Definizioni prinicipali 25113.2. Invarianza omotopica 25213.3. Complessi differenziali 25313.4. Le successioni di Mayer-Vietoris 25613.5. Dualita di Poincare 26213.6. Grado di unapplicazione 26413.7. La formula di Kunnet 26513.8. Duale di Poincare di una sottovarieta orientata 26713.9. La proprieta semi-locale 26913.10. Coomologia a supporti compatti nelle fibre 27313.11. Integrazione sulla fibra 27313.12. Dualita di Poincare e classe di Thom 275

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13.13. Due proprieta fondamentali della dualita di Poincare 27613.14. Il complesso di deRham twistato 277

Capitolo XIV. Il complesso di Cech-de Rham 28314.1. Successione esatta associata ad un ricoprimento 28314.2. La coomologia di Cech-de Rham 28414.3. Una formula di omotopia 28814.4. La forma di Eulero di un fibrato in sfere orientate 29114.5. La successione di Gysin 29614.6. Coomologia delle varieta di Stiefel complesse e quaternioniche 30114.7. Lisomorfismo di Thom 30214.8. Fibrati in sfere associati a fibrati vettoriali 30514.9. Il numero di Eulero 30614.10. La caratteristica di Eulero 30814.11. Caratteristica di Eulero di un complesso 310

Capitolo XV. Fasci e coomologia di Cech 31315.1. Fasci dinsiemi e morfismi di fasci 31315.2. Prefasci dinsiemi 31515.3. Fascio associato ad un prefascio e prefasci canonici 31615.4. Il fascio immagine diretta 31815.5. Fasci dotati di struttura algebrica 32015.6. Morfismi di A -moduli e fasci quozienti 32115.7. Coomologia di Cech con coefficienti in un fascio 32315.8. Il teorema di Serre 32615.9. Un teorema di algebra omologica 33315.10. Il teorema di Leray sui ricoprimenti aciclici 33815.11. Il Teorema di de Rham 34215.12. Fasci fiacchi 343

Capitolo XVI. Il complesso di Cech-de Rham 34916.1. Il teorema di de Rham 34916.2. Prolungamento di sezioni 35516.3. Fasci molli 35616.4. Fasci fini 36016.5. Fasci differenziali 36016.6. Risoluzione dun fascio 36116.7. Risoluzione canonica dun fascio 361

Parte 4. Classi caratteristiche 363

Capitolo XVII. Classi caratteristiche 36517.1. La classe di Chern di un fibrato in rette complesse 36517.2. La coomologia degli spazi proiettivi complessi 36717.3. Le classi di Chern 36717.4. Proprieta delle classi di Chern 369

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17.5. Varieta bandiera e varieta di Grassmann 37217.6. Varieta bandiera di un fibrato vettoriale 372

Appendice: Omotopia 375

Capitolo XVIII. Omotopia 37718.1. Omotopia libera di applicazioni continue 37718.2. Equivalenza omotopica di spazi topologici 37818.3. Spazi topologici contrattili 37918.4. Omotopia legata. Retratti di deformazione. Omotopia relativa 38018.5. k-connessione 38118.6. k-connessione relativa 38318.7. Proprieta di omotopia delle sfere 38418.8. Il teorema del punto fisso di Brouwer 390

Capitolo XIX. Rivestimenti ed omotopia 39119.1. Azioni di gruppo 39119.2. Omeomorfismi locali 39319.3. Rivestimenti 39519.4. Gruppo del rivestimento 39819.5. Rivestimenti con gruppo di rivestimento assegnato 40019.6. Rivestimenti di Galois 401

Capitolo XX. Il teorema di Van Kampen 40320.1. Prodotto libero di gruppi 40320.2. Teorema di Van Kampen 40420.3. Alcuni esempi ed applicazioni 408

Capitolo XXI. CW-complessi 41521.1. Celle e decomposizioni cellulari 41521.2. Spazi cellulari 41821.3. Attaccamenti 42421.4. Applicazioni cellulari ed attaccamenti di celle 42521.5. Prolungamenti differenziabili di funzioni continue 42621.6. Approssimazione cellulare 42721.7. Una proprieta di omotopia delle coppie cellulari 42921.8. Cofibrazioni 43121.9. Alcune proprieta di omotopia dei CW-complessi 43221.10. Coppie cellulari k-connesse ed equivalenza omotopica 43421.11. Gruppi di omotopia degli spazi cellulari di dimensione 1 43721.12. Gruppo fondamentale di uno spazio cellulare 438

Capitolo XXII. Esercizi e Complementi 43922.1. Esercizi 43922.2. Le superfici modello 44022.3. Gruppo fondamentale delle curve algebriche piane 44322.4. Esempi di curve piane irriducibili (Esercizi) 447

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22.5. Curve piane riducibili (Esercizi) 44722.6. Altri esercizi 44822.7. Varieta di Stiefel e di Grassmann reali 44922.8. Varieta di Stiefel e di Grassmann complesse 454

Appendice: Algebre di Lie 457

Capitolo XXIII. Algebre di Lie 45923.1. Nozioni fondamentali 45923.2. Algebre di Lie lineari, derivazioni, rappresentazione aggiunta 46023.3. Rappresentazioni lineari 46323.4. Forme invarianti 46523.5. Automorfismi 46623.6. Algebre di Lie risolubili 46723.7. Algebre di Lie semisemplici 46823.8. Algebre di Lie nilpotenti 46823.9. Il teorema di Engel 46923.10. Il Teorema di Lie 47123.11. Il piu grande ideale di nilpotenza di una rappresentazione 47423.12. Il radicale nilpotente e il nilradicale 47523.13. Automorfismi speciali 477

Parte 5. Gruppi ed algebre di Lie e spazi omogenei 479

Capitolo XXIV. Gruppi e algebre di Lie 48124.1. Nozioni fondamentali 48124.2. Alcune osservazioni sullapplicazione esponenziale 48524.3. Sottogruppi di Lie 48624.4. La forma di Maurer-Cartan 48724.5. Applicazioni a valori in un gruppo di Lie 49124.6. Omomorfismi di gruppi ed algebre di Lie 49224.7. Rappresentazioni lineari 49324.8. Spazi omogenei 49324.9. Gruppi di Lie di trasformazioni 494

Capitolo XXV. Studio di alcuni gruppi classici 49925.1. I quaternioni e la struttura differenziale di SU(2), SO(3), SO(4) 49925.2. I gruppi SL2(C), Sp(1,C), SO(3,C), SL2(R), SO(1, 2) 50125.3. La quadrica di CP5 ed alcuni omomorfismi di gruppi

(SL4(C), SO(6,C), SL4(R), SO+(3, 3), SU(4), SO(6)) 50325.4. I gruppi Sp(2,C), SO(5,C), SO(5) 50725.5. Rappresentazione spinoriale di alcuni gruppi di Lorentz 508

Capitolo XXVI. Strutture differenziali di alcuni gruppi lineari 51526.1. La trasformata di Cayley 51526.2. Alcuni gruppi lineari 517

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26.3. Decomposizione di Cartan 51826.4. Connessione di alcuni gruppi di matrici 52326.5. Gruppi GLn(H), SLH(n), Sp(n), U(2n), SU(2n) 524

Capitolo XXVII. Gruppi classici compatti 52727.1. Il gruppo unitario U(n) 52727.2. Il gruppo speciale unitario SU(n) 52827.3. I gruppi ortogonali O(n) ed SO(n) 52927.4. Il gruppo unitario simplettico Sp(n) 53127.5. Sfere e gruppi compatti 53327.6. Gruppi di omotopia dei gruppi classici 534

Capitolo XXVIII. Gruppi classici non compatti 53928.1. La lista dei gruppi classici non compatti 53928.2. I gruppi U(p, q) e SU(p, q) 54128.3. I gruppi SO(p, q) 54228.4. I gruppi Sp(n,C) e SU(2n) 54228.5. I gruppi SO(n,C) ed SO(2n) 54328.6. I gruppi Sp(p, q;C) 545

Appendice: Complementi di geometria differenziale 547

Capitolo XXIX. Il lemma di Morse-Sard 54929.1. Il caso degli spazi Euclidei 54929.2. Il teorema di Sard per varieta differenziabili 554

Capitolo XXX. Teoremi di approssimazione e dimmersione 55530.1. Il teorema dimmersione di Whitney 55530.2. Alcuni teoremi di approssimazione per applicazioni differenziabili 55530.3. Il teorema dimmersione di Whitney 55930.4. Retratti differenziabili dintorno 56330.5. Alcuni teoremi dapprossimazione 565

Capitolo XXXI. Campi di vettori e spazio tangente 56731.1. Campi di vettori e curve integrali 56731.2. Vettori tangenti e fibrato tangente 56931.3. Differenziale di unapplicazione differenziabile 57131.4. Alcune osservazioni sul teorema dimmersione di Whitney 57131.5. Gruppi a un parametro di diffeomorfismi 57231.6. Inclusioni isotope 57431.7. Campi completi 57531.8. Isotopie dello spazio ambiente 57731.9. k-celle differenziabili 579

Capitolo XXXII. Fibrati vettoriali 58132.1. Fibrati differenziabili 58132.2. Fibrati vettoriali differenziabili 584

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32.3. Morfismi e operazioni di fibrati vettoriali 58532.4. Fibrati vettoriali e fibrato tangente 58732.5. Norme differenziabili e strutture Euclidee 58932.6. Classi di isomorfismo di fibrati vettoriali 58932.7. Fibrati vettoriali sulle sfere 591

Appendice: Fibrati differenziabili 593

Capitolo XXXIII. Fibrati di Steenrod differenziabili 59533.1. Definizioni principali 59533.2. Alcuni esempi 59633.3. Triangolazione delle varieta differenziabili 597

Capitolo XXXIV. Fibrati principali differenziabili 60734.1. Prime definizioni 60734.2. Lesempio degli spazi omogenei 60934.3. Morfismi di fibrati principali 60934.4. Classificazione dei fibrati principali 61234.5. Il fibrato dei sistemi di riferimento 61434.6. Jacobiano di unapplicazione differenziabile 61534.7. Riduzione del gruppo strutturale e G-strutture 61634.8. G-strutture su una varieta differenziabile 61834.9. Fibrati vettoriali associati a rappresentazioni lineari 618

AppendiceCW complessi e omotopia 623

Capitolo XXXV. CW-complessi 62535.1. Celle e decomposizioni cellulari 62535.2. Spazi cellulari 62835.3. Attaccamenti 63435.4. Applicazioni cellulari ed attaccamenti di celle 63535.5. Prolungamenti differenziabili di funzioni continue 63635.6. Approssimazione cellulare 63735.7. Una proprieta di omotopia delle coppie cellulari 63935.8. Cofibrazioni 64135.9. Alcune proprieta di omotopia dei CW-complessi 64235.10. Coppie cellulari k-connesse ed equivalenza omotopica 64435.11. Gruppi di omotopia degli spazi cellulari di dimensione 1 64735.12. Gruppo fondamentale di uno spazio cellulare 648

Capitolo XXXVI. Esercizi e Complementi 64936.1. Esercizi 64936.2. Le superfici modello 65036.3. Gruppo fondamentale delle curve algebriche piane 65336.4. Esempi di curve piane irriducibili (Esercizi) 657

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36.5. Curve piane riducibili (Esercizi) 65736.6. Altri esercizi 65836.7. Varieta di Stiefel e di Grassmann reali 65936.8. Varieta di Stiefel e di Grassmann complesse 664

Capitolo XXXVII. Appendice: Omologia 66737.1. Notazione 66737.2. Definizione assiomatica 66837.3. Prime conseguenze degli assiomi 67037.4. La formula di Kunnet 67637.5. Gruppi di omologia dei complessi cellulari 676

Capitolo XXXVIII. Appendice: Elementi di algebra omologica 68138.1. Complessi 68138.2. Complessi di catene 68238.3. Complessi di cocatene 68838.4. I funtori Hom e Tor 69238.5. Relazione con lomologia singolare 693

AppendiceComplementi sulle connessioni 695

Capitolo XXXIX. Espressioni in coordinate 69739.1. Espressione in coordinate delle equazioni di struttura 69739.2. Espressioni locali 69939.3. Forme e simboli di Christoffel 702

Indice analitico 707

Bibliografia 709

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Testi consigliati

V.A. Rohlin, D.V. Fuks Paqal~nyi kurs topolologii: geometri-qeskie glavy Nauka, Moskba, 1977 [trad. Rohlin-Fuchs, Beginners Coursein Topology: Geometric Chapters, (Springer series in Soviet mathematics), 1984,Springer-Verlag, Berlin Heidelberg].Dale Husemoller, Fibre Bundles, Graduate Texts in Mathematics, 1994, SpringerVerlag, Berlin HeidelbergJ.C. Baez, The Octonions, Bulletin of the AMS, vol. 39, N.2, 2002, pp.145-205.

Parte 1

Fibrati topologici

CAPITOLO I

Richiami su spazi cellulari ed omotopia

1.1. Spazi puntati

Definizione 1.1.1. Uno spazio puntato e uno spazio topologico non vuoto X sucui sia stato fissato un punto base x0. Lo indicheremo come la coppia (X, x0).

1.1.1. Bouquet. Sia {(Xi, xi)} una qualsiasi famiglia di spazi puntati. Il pun-to (xi) si puo considerare in modo naturale come punto base del loro prodotto(

Xi). Per ogni indice j consideriamo la copia di X j passante per il punto base

del prodotto: X]j = {(xi) (

Xi) | xi = xi, i , j}.

Definizione 1.1.2. Chiamiamo bouquet degli spazi puntati {(Xi, xi)} il sotto-spazio

(Xi, xi) =

X]i del prodotto topologico

( Xi

), con punto base (xi).

Osservazione 1.1.3. Si verifica che

(Xi, xi) e omeomorfo, in modo naturale,al quoziente dellunione disgiunta

(Xi

)degli Xi rispetto allunione disgiunta({xi}) dei loro punti base.

Indichiamo con (X1, x1) (Xn, xn) il bouquet di un numero finito di spazipuntati.

1.1.2. Prodotto puntato o smash product.Definizione 1.1.4. Chiamiamo prodotto puntato, o smash product, o prodotto

tensoriale di due spazi puntati (X, x0), ed (Y, y0) il quoziente

(1.1) (X, x0) (Y, y0) = (X Y)/((X, x0) (Y, y0))del loro prodotto topologico rispetto al loro bouquet. E naturale fissare come puntobase limmagine del bouquet.

Quando si possano sottintendere i punti base, scriveremo per semplicita XYinvece di (X, x0) (Y, y0). Possiamo indicare i punti del prodotto puntato anchecome prodotti x y, con la regola che x y0 = x0 y = x0 y0, mentre, sex1, x2 X \ {x0} ed y1, y2 Y \ {y0}, allora x1 y1 , x0 y0 e luguaglianzax1 y1 = x2 y2 e verificata se e soltanto se x1 = x2 ed y1 = y2.

Osservazione 1.1.5. A meno di omeomorfismi, bouquet e smash product sonooperazioni associative e commutative.

Esempio 1.1.6. Consideriamo la sfera Sn come sottospazio dello spazio eucli-deo Rn+1, con punto base il primo vettore e0 di una base ortonormale fissata. Sen1, . . . , nk sono interi non negativi, allora

Sn1 Snk ' Sn1++nk .15

16 I. RICHIAMI SU SPAZI CELLULARI ED OMOTOPIA

1.1.3. Coni. Sia X uno spazio topologico. Chiamiamo cono topologico dibase X il quoziente:

(1.2) CX = (X I) / (X {0}) .

Indichiamo con tx limmagine di (t, x) in CX. E 0x = 0y per ogni x, y X; indi-chiamo tale punto con 0 e lo diciamo vertice, e lo scegliamo come punto base delcono CX. Per 0 < t 1, lapplicazione

X 3 x t x CX

e unimmersione topologica.Per ogni s [0, 1], lapplicazione CX 3 t x (st) x CX e continua.

Proposizione 1.1.7. Se f : X Y e unapplicazione continua tra due spazitopologici, allora

(1.3) C f : CX 3 t x t f (x) CY

e ancora unapplicazione continua.

Dimostrazione. Abbiamo infatti il diagramma commutativo

X Ifid Y Iy y

CXC f CY

in cui le frecce verticali denotano proiezione nel quoziente. Lapplicazione f ide continua perche prodotto di applicazioni continue. Quindi C f e continua percheottenuta da unapplicazione continua per passaggio ai quozienti.

Osservazione 1.1.8. Sia A un sottoinsieme di Rn e K il sottoinsieme di Rn+1

definito da:

K = {(t, tx1, ..., txn) | 0 t 1, (x1, ..., xn) A}.

Lapplicazione

CA 3 t x (t, tx) K

e continua e bigettiva. La sua inversa e ovviamente continua in tutti i punti (t, tx)con 0 < t 1 e x A. Essa non e pero in generale continua nel punto (0, 0):lo e nel caso in cui il sottoinsieme A di Rn sia chiuso e limitato. La topologiadi CA e quindi in generale piu fine di quella indotta dalla topologia euclidea sulcorrispondente cono geometrico K.

Esempio 1.1.9. Il cono CSn e omeomorfo ad disco Dn+1.Lomeomorfismo e dato da CSn 3 t x tx Dn+1.

1.1. SPAZI PUNTATI 17

1.1.4. Sospensioni. Sia X uno spazio topologico. Definiamo su X I unarelazione di equivalenza ponendo:

(x, t) (y, s)

s = t = 0, oppures = t = 1, oppure0 < s = t < 1 ed x = y.

Chiamiamo sospensione di X il quoziente topologico

S X = (X I) / .

Detta : X I S X la proiezione nel quoziente, linsieme (X {1/2}) si dicebase di S X. Osserviamo che per ogni 0 < t < 1, lapplicazione

X 3 x (x, t) S X

e unimmersione topologica. Lapplicazione naturale CX S X e decomponibileed S X e omeomorfo al quoziente che si ottiene identificando a un punto la base delcono CX.

Osservazione 1.1.10. Abbiamo gli omeomorfismi:

S Dn ' Dn+1 ed S Sn ' Sn+1.

Gli omeomorfismi si ottengono per passaggio al quoziente dalle applicazioni:

Dn I 3 (x, t) (2

t t2x, 2t 1) Dn+1,

Sn I 3 (x, t) (2

t t2x, 2t 1) Sn+1.

Possiamo definire per ricorrenza la sospensione k-esima S kX dello spazio to-pologico X ponendo S 0X = XS kX = S (S k1X) se k 1.

1.1.5. Giunti. Siano X ed Y due spazi topologici. Consideriamo sul prodottocartesiano X X I la relazione di equivalenza:

(1.4) (x1, y1, t1) (x2, y2, t2)

0 < t1 = t2 < 1 e x1 = x2, y1 = y2, oppures = t = 0 ed x1 = x2, oppures = t = 1 ed y1 = y2.

Il quoziente topologico:

X Y = (X Y I)/

si dice il giunto topologico di X ed Y. Sia : X Y I X Y la proiezione nelquoziente. I sottospazi (XY {0}) ' X e (XY {1}) ' Y si dicono basi delgiunto.


Lemma 1.1.11. Lapplicazione

X Y I 3 (x, y, t) ((1 t) x, t y) CX CYdefinisce per passaggio al quoziente unimmersione topologica

(1.5) : X Y CX CY.Dimostrazione. Osserviamo che (X Y) e il sottospazio chiuso

Z = {(tx, sy) CX CY | s + t = 1} di CX CY.Consideriamo le applicazioni continue:

: X Y I 3 (x, y, t) (x, 1 t, y, t) X I Y I : X I Y I 3 (x, s, y, t) (x, y, t) X Y I.

Lapplicazione composta e lidentita su XY I. Per passaggio ai quozientiotteniamo un diagramma commutativo:

X Y I

X I Y I

X Y Iy y yX Y CX CY

X Y

in cui le frecce verticali rappresentano le proiezioni nei quozienti. La e continuae la sua restrizione allimmagine di e linversa dellabbreviazione di . Questodimostra che e unimmersione topologica.

In modo analogo si verificano gli omeomorfismi:

Lemma 1.1.12. Siano X,Y,Z spazi topologici. Abbiamo allora omeomorfisminaturali:

X Y ' Y X,(X Y) Z ' X (Y Z) .

Se (Xi)1im e una m-upla di spazi topologici, possiamo definire, utilizzandolassociativita delloperazione di giunto, lo spazio topologico X1 ... Xm: esso siidentifica in modo canonico al sottospazio

{(t1x1, ..., tmxm) |xi Xi, ti I, 1 i m; t1 + ... + tm = 1}del prodotto topologico CX1 CXm.

Proposizione 1.1.13. Sia (Xi)1im una m-upla di spazi topologici. AlloraC(X1 ... Xm) e omeomorfo a CX1 CXm.

Dimostrazione. Definiamo unapplicazione continua

: (X1 ... Xm) I CX1 CXmidentificando X1 ... Xm al sottospazio di CX1 CXm. formato dalle m-uple(t1x1, ..., tmxm) con xi Xi, ti I per i = 1, ...,m e t1 + ... + tm = 1 e ponendo

(t1 x1, ..., tm xm, t) = ((tt1) x1, ..., (ttm) xm) .Il suo quoziente iniettivo e lomeomorfismo cercato.

1.2. GRUPPI DI OMOTOPIA DI UNO SPAZIO PUNTATO 19

Le operazioni di cono e sospensione si possono ricondurre al giunto:

Proposizione 1.1.14. Sia X uno spazio topologico. Abbiamo i seguenti omeo-morfismi:

CX ' D0 X, S X ' S0 X, S k+1X ' Sk X.

Dimostrazione. Il primo si ottiene per passaggio al quoziente dalla

D0 X I 3 (0, x, t) (x, t) X I,il secondo per passaggio al quoziente e abbreviazione da (qui = 1 S0)

S0 X I 3 (, x, t) (x, (1 + t)/2) X I.Il terzo omeomorfismo si ricava dalla proprieta associativa del giunto topologico:

S k+1X ' S k(S X) ' S k(S0 X) ' S k1(S0 S0 X) ' ' S0 S0 (k + 1) volte

X

e dal fatto che S0 S j ' S j+1 per ogni intero j 0.

Esempio 1.1.15. Siano m1, ...,mn interi non negativi. Abbiamo gli omeomorfi-smi:

(1) Sm1 Sm2 ... Smn ' Sm1+m2+...+mn+n1

(2) Dm1 Dm2 ... Dmn ' Dm1+m2+...+mn

(3) Dm1 Dm2 ... Dmn ' Dm1+m2+...+mn+n1.Basta dimostrare che gli omeomorfismi valgono per n = 2. Quindi la (1) e stata giaverificata. La (2) e ovvia se m1 = 0 od m2 = 0. Se m1,m2 1, abbiamo la catenadi omeomorfismi:

Dm1 Dm2 ' CSm11 CSm21 ' C(Sm11 Sm21

)' C

(Sm1+m21

)' Dm1+m2 .

Anche per la (3) possiamo limitarci a considerare il caso m1,m2 1. Abbiamo:Dm1 Dm2 '

(CSm11

)C

(Sm21

)' Sm11 D0 Sm21 D0

'(Sm11 Sm21

) D0 D0 ' Sm1+m21 D0 D0

' CSm1+m21 D0 ' Dm1+m2 D0 ' CDm1+m2 ' Dm1+m2+1.

1.2. Gruppi di omotopia di uno spazio puntato

Definizione 1.2.1. Chiamiamo n-esimimo gruppo di omotopia dello spaziopuntato (X, x0), e indichiamo con n(X, x0), linsieme (Sn, e0; X, x0) delle classidi e0-omotopia delle applicazioni continue f : Sn X tali che f (e0) = x0.

Il gruppo 1(X, x0) si dice anche gruppo fondamentale di X con punto base x0.

Se n 1, possiamo definire su n(X, x0) una struttura di gruppo. A questo sco-po, e conveniente utilizzare lisomorfismo tra n(X, x0) e (In, In; X, x0) descrittodal seguente:

Lemma 1.2.2. Sia n 1. Possiamo definire una : In Sn continua, con leproprieta:


(i) si restringe ad un omeomorfismo di In \ In su Sn \ {e0};(ii) 1(e0) = In;

(iii) il quoziente iniettivo di e un omeomorfismo di In /In su Sn.Sia (X, x0) uno spazio puntato. Lapplicazione

(1.6) : (Sn, e0; X, x0) (In, In; X, x0)

e bigettiva.

Dimostrazione. Fissiamo una mappa del disco Dn = {x 1} Rn sulla sferaSn, che trasformi la frontiera Sn1 di Dn nel punto e0 = (1, 0, . . . , 0) Sn Rn+1 edefinisca un omeomorfismo di Dn = {x < 1} con Sn \ {e0}. Possiamo consideraread esempio

(x) =

(2|x| 1, 2x

(1/|x|) 1

), se 0 < |x| 1,

e0, se x = 0.

Per passaggio al quoziente iniettivo, la definisce un omeomorfismo di Dn/Sn1

su Sn, che trasforma Sn1 in e0.Per ottenere la cercata sara quindi sufficiente comporre la con un omeo-

morfismo di In su Dn che trasformi In in Sn1.Poiche sia la palla chiusa Dn che lipercubo In sono convessi n-dimensionali,

lomeomorfismo si puo ottenere facendo corrispondere due loro punti interni (adesempio i centri) e i corrispondenti raggi paralleli da questi punti ai punti del-la frontiera. Possiamo esplicitare lomeomorfismo utilizzando in Rn la normadellestremo superiore sulle coordinate:

x = sup1in |xi| per x = (x1, . . . , xn) Rne sia c = 12 (1, . . . , 1) =

12 (e1 + + en). Possiamo allora definire : In Dn

mediante:

(x) =

x cx cx c, se x , c,

0, se x = c.

Allora = : In Sn e lapplicazione continua cercata.Per concludere, basta osservare che lapplicazione

C (Sn, e0; X, x0) 3 f f C (In, In; X, x0)

e un omeomorfismo per la topologia compatta-aperta.

Definizione 1.2.3. Dati f , g C (In, In; X, x0), con n 1, definiamo:

(1.7) ( f g)(s1, . . . , sn) = f (2s1, s2, . . . , sn), se 0 s1 12 ,g(2s1 1, s2, . . . , sn), se 12 s1 1.

Indicheremo graficamente il prodotto f g con

f g

1.2. GRUPPI DI OMOTOPIA DI UNO SPAZIO PUNTATO 21

Teorema 1.2.4. Sia (X, x0) uno spazio puntato. Per ogni intero n 1 lappli-cazione

(1.8) C (In, In; X, x0) C (In, In; X, x0) 3 ( f , g) f g C (In, In; X, x0)definisce per passaggio al quoziente unoperazione interna:

(1.9) n(X, x0) n(X, x0) 3 (, ) n(X, x0)rispetto alla quale n(X, x0) e un gruppo, il cui elemento neutro corrisponde al-lapplicazione costante x0 : In 3 s x0 X. Se n 2, allora n(X, x0) eabeliano.

Dimostrazione. Se F,G : In I X sono due In-omotopie con F(In, t) =G(In, t) = {x0} per ogni 0 t 1, allora anche

(F G)(s; t) =F(2s1, s2, . . . , sn; t), se 0 s1 12 ,G(2s1 1, s2, . . . , sn; t), se 12 s1 1,

e una In-omotopia con F G(In, t) = {x0} per ogni 0 t 1. Loperazione sun(X, x0) e percio ben definita.

Dimostriamo ora che n(X, x0) e un gruppo per n 1.a. [x0] e lelemento neutro del prodotto.

Sia f C (In, In; X, x0). Definiamo

F1(s; t) =

x0 se 0 s1 t2f (2s1t2t , s2, . . . , sn) se t2 s1 1, edF2(s; t) =

f(

2s12t , s2, . . . , sn

)se 0 s1 2t2

x0 se 2t2 s1 1.La prima e una In-omotopia tra f e x0 f , la seconda tra f e f x0:

fF1 x0 f f

F2 f x0

b. Esistenza dellinversa.Data f C (In, In; X, x0) definiamo

f (s) = f (1 s1, s2, . . . , sn), s = (s1, . . . , sn) In .Dico che f f f f x0 in C (In, In; X, x0). Osserviamo a questo scopo che

F(s; t) =

f (2ts1, s2, . . . , sn) se 0 s1 12f (2t(1 s1), s2, . . . , sn) se 12 s1 1e unomotopia tra x0 ed f f . Chiaramente la F(1 s1, s2, . . . , sn; t) e alloraunomotopia tra x0 ed f f perche f = f .c. Il prodotto e associativo.


Lassociativita segue dallo schema:

f g hF f g h

con

F(s; t) =

f (2(1 + t)s1, s2, . . . , sn) se 0 s1 12(1+t)g(2s1 12(1+t) , s2, . . . , sn

)se 12(1+t) s1

3+2t4(1+t)

h(

4(1+t)s1(3+2t)1+2t , s2, . . . , sn

)se 3+2t4(1+t) s1 1.

d. Il prodotto e commutativo per n 2.La dimostrazione della commutativita del prodotto per n 2 segue dallo

schema:

f gF1 f x0x0 g

F2 fgF3 x0 fg x0

F4 g f

Le omotopie sono descritte analiticamente da:

F1(s; t) =

x0, se 0 s1 1/2, 0 s2 t/2,f (2s1, 2s2t2t , s3, . . . , sn), se 0 s1 1/2, t/2 s2 1,g(2s1 1, (1 + t)s2, s3, . . . , sn), se 1/2 s1 1, 0 s2 11+t ,x0, se 1/2 s1 1, 11+t s2 1;

F2(s, t) =

x0, se 0 s1 1t2 , 0 s2

12 ,

g( 2s1+t11+t , 2s2, s3, . . . , sn), se1t2 s1 1, 0 s2

12 ,

f ((2 t)s1, 2s2 1, s3, . . . , sn), se 0 s1 12t , 1/2 s2 1,x0, se 12t s1 1, 1/2 s2 1;

F3(s) =

g((1 + t)s1, 2s2, s3, . . . , sn), se 0 s1 11+t , 0 s2

12 ,

x0, se 11+t s1 1, 0 s2 12,x0, se 0 s1 t2 ,

12 s2 1,

f ( 2s1t2t , 2s2 1, s3, . . . , sn), set2 s1 1,

12 s2 1 ;

F4(s) =

g(2s1, (2 t)s2, s3, . . . , sn), se 0 s1 12 , 0 s2

12t ,

x0, se 0 s1 12 ,1

2t s2 1,x0, se 12 s1 1, 0 s2

1t2 ,

f (2s1 1, 2s2+t11+t , s3, . . . , sn), se12 s1 1,

1t2 s2 1 .

Ricordiamo che un gruppo topologico e uno spazio topologico G su cui edefinita unoperazione di gruppo per cui lapplicazione

G G 3 (a, b) a1b Gsia continua. Quando calcoliamo i gruppi di omotopia di un gruppo topologico, econveniente scegliere la sua identita come punto base.

1.3. CAMBIAMENTO DEL PUNTO DI BASE E AZIONE DEL GRUPPO FONDAMENTALE 23

Teorema 1.2.5. Il gruppo fondamentale 1(G, e) di un gruppo topologico G eabeliano.

Dimostrazione. Dati due laccetti , C (I, {0, 1}; G, e), lapplicazioneI I 3 (s, t) (s, t) = (s) (t) G

e continua. Consideriamo i due cammini che congiungono il vertice (0, 0) al vertice(1, 1) del quadrato I I:

1(t) =

(2t, 0), se 0 t 12 ,(1, 2t 1), se 12 t 1, 2(t) =(0, 2t), se 0 t 12 ,(2t 1, 0), se 12 t 1.

Poiche( )(s) = 1(s), ( )(s) = 2(s),

lomotopia del quadrato che sovrappone 1 a 2 ci fornisce per composizioneunomotopia tra e . Lapplicazione

I I 3 (s, t) F(s; t) = (t2(s) + (1 t)1(s)) Ge unomotopia tra e .

Osservazione 1.2.6. Se X e uno spazio topologico, x0 X ed Y la compo-nente connessa per archi di X contenente x0, allora n(X, x0) = n(Y, x0) per ognin 1, mentre linsieme 0(X, x0) e in corrispondenza biunivoca con le componenticonnesse per archi di X.

1.3. Cambiamento del punto di base e azione del gruppo fondamentale

In uno spazio topologico connesso per archi i gruppi di omotopia sono, a menodi isomorfismi, indipendenti dalla scelta del punto base.

Sia X uno spazio topologico ed : I X un cammino continuo, di estremix0 = (0) ed x1 = (1).

Ad esso assoceremo unapplicazione : n(X, x0) n(X, x1). Per definirla,e conveniente utilizzare le identificazioni:

n(X, x0) ' (Dn,Sn1; X, x0) e n(X, x1) ' (Dn,Sn1; X, x1).La si ottiene allora per passaggio al quoziente dallapplicazione

: C (Dn,Sn1; X, x0) C (Dn,Sn1; X, x1)(1.10)

definita da:

f = f (2x) se |x| 12(2|x| 1) se 12 |x| 1.(1.11)

Chiaramente possiamo definire applicazioni

: C (In, In; X, x0) C (In, In; X, x1) ed : C (Sn, e0; X, x0) C (Sn, e0; X, x1)


utilizzando le composizioni con gli omeomorfismi canonici

C (In, In; X, x0) C (In, In; X, x1)

y x

C (Dn,Sn1; X, x0) C (Dn,Sn1; X, x1)

x y

C (Sn, e0; X, x0) C (Sn, e0; X, x1).

Teorema 1.3.1. Lapplicazione (1.10) definisce per passaggio al quoziente unisomorfismo

(1.12) : n(X, x0) n(X, x1).

Dimostrazione. Si verifica infatti che , con (t) = (1 t) cammino inversodi , e lapplicazione inversa di .

Osservazione 1.3.2. In particolare, se , C (I, {0, 1}; X, x0),

( )(s) =

(4s), se 0 s 14 ,([4s 1]/2), se 14 s

34 ,

(4s 3), se 34 s 1.Quindi e omotopa ad (dove (t) = (1 t) e il cammino inverso di ).

Otteniamo quindi il seguente:

Teorema 1.3.3. Sia (X, x0) uno spazio puntato. Per ogni intero n 1 lappli-cazione:(1.13)

C (I, {0, 1}; X, x0) C (Dn,Sn1; X, x0) 3 (, f ) f C (Dn,Sn1; X, x0)definisce per passaggio al quoziente unazione di gruppo:

(1.14) 1(X, x0) n(X, x0) 3 ([], [ f ]) [ f ] n(X, x0)del gruppo fondamentale 1(X, x0) sulln-esimo gruppo di omotopia n(X, x0).

Per n = 1 tale azione coincide con linversa della rappresentazione aggiunta.

Definizione 1.3.4. Una coppia topologica (B, A) ha la proprieta di estensionedellomotopia se, per ogni spazio topologico X, ogni omotopia fA C (A I, X)della restrizione ad A di unapplicazione f C (B, X) si estende ad unomotopiaf C (B I, X) di f .

1.4. Proprieta dellestensione e cofibrazioni

A volte e utile interpretare lomotopia utilizzando applicazioni a valori in spa-zi di funzioni. Ricordiamo che, per applicazioni definite su un prodotto, vale ilseguente lemma.

1.4. PROPRIETA DELLESTENSIONE E COFIBRAZIONI 25

Lemma 1.4.1. Siano B,Y, X spazi topologici e : B Y X unapplicazione.Definiamo : B XY mediante

(b)(y) = (b, y), b B, y Y.

Allora:

(1) Se e continua, allora (b) e continua per ogni b B e lapplicazione : B C (Y, X) e continua per la topologia compatta-aperta di C (Y, X).

(2) Viceversa, se Y e localmente compatto e : B C (Y, X) e continua perla topologia compatta-aperta di C (Y, X), allora e continua.

Dimostrazione. Indichiamo con prB e prY le proiezioni del prodotto cartesianoB Y sulle coordinate.(1) Se U e un aperto di X e b B, allora [(b)]1(U) = prY

(1(U) pr1B (b)

)e aperto perche prY si restringe ad un omeomorfismo di pr

1B (b) su Y ed, essendo

1(U) aperto in quanto e continua, 1(U) pr1B (b) e un aperto di pr1B (b).Quindi e unapplicazione di B in C (Y, X). La famiglia degli insiemi W(K,U) =

{ f C (Y, X) | f (K) U}, al variare di K tra i compatti di Y e di U tra gli aper-ti di X e una prebase degli aperti di C (Y, X). E quindi sufficiente verificare che1(W(K,U)) e aperto in B se K e un compatto di Y ed U un aperto di X. Siab0 1(W(K,U)). Poiche abbiamo supposto che fosse continua, per ogni y Kpossiamo trovare un intorno aperto y di b0 in B ed un intorno aperto Vy di y in Ytali che (y Vy) U. Per la compattezza di K, possiamo trovare un numero fi-nito di punti y1, . . . , yn di K tali che K

ni=1Vyi . Allora =

ni=1yi e un intorno

aperto di b0 in B e () W(K,U). Questo completa la verifica del punto (1).(2) Supponiamo ora che Y sia localmente compatto e sia continua. Siano b0 B,y0 Y ed U un qualsiasi intorno aperto di x0 = (b0, y0) in X. Poiche (b0) econtinua, possiamo trovare un intorno compatto K di y0 in Y tale che

(b0)(K) = ({b0} K) U.

Poiche e continua per la topologica compatta-aperta di C (Y, X), possiamo alloratrovare un intorno aperto di b0 in B tale che () W(K,U). Questo equivale a( K) U. Quindi K e un intorno di (b0, y0) la cui immagine mediante econtenuta in U. Questo argomento prova che C (B Y, X) e completa quindi ladimostrazione del Lemma.

Corollario 1.4.2. Se B, X sono due qualsiasi spazi topologici, allora unaf C (B I, X) e unomotopia di applicazioni continue di B in X se e soltantose f C (X,C (I, X)) e unapplicazione continua di B nello spazio degli archi di X.

Se B e localmente compatto, le omotopie di applicazioni continue di B in Xsono gli archi dello spazio C (B, X).

Definizione 1.4.3. Una coppia topologica (B, A) ha la proprieta di estensionedellomotopia se, per ogni spazio topologico X, ogni omotopia fA C (A I, X)della restrizione ad A di unapplicazione f C (B, X) si estende ad unomotopiaf C (B I, X) di f .


Identificando le omotopie di applicazioni a valori in X alle corrispondenti ap-plicazioni nello spazio degli archi di X, la proprieta di estensione dellomotopia sipuo sintetizzare con il diagramma commutativo:

A

fA // C (I, X)

val0

Bf//

f;;x

xx

xx

X

Lemma 1.4.4. Per ogni n 1, la coppia (Dn,Sn1) ha la proprieta di estensionedellomotopia.

Dimostrazione. Siano X uno spazio topologico ed f : Sn1 I X unomo-topia della restrizione ad Sn1 di unapplicazione continua : Dn X. Lapplica-zione

(x, t) =

(x), se x 1, t = 0,f (x, t), se x = 1, 0 t 1,e continua a valori in X, definita sulla superficie = (Dn 0) (Sn1 I) delcilindro Dn I, privata dei punti interni della base superiore. Osserviamo che eun retratto di Dn I. Possiamo costruire la retrazione : Dn I , ad esempio,considerando per ogni (x, t) (Dn I), il punto (x, t) in cui la semiretta

{(1 )(0, 2) + (x, t) | 0}interseca . Possiamo cioe definire

(x, t) =

(2

2 t x, 0), se 0 t 1, x (2 t)/2,

(xx , 2

2 tx

), se 0 t 1, (2 t)/2 x 1.

La ((x, t)) definisce lomotopia cercata.

Definizione 1.4.5. Una C (A, B) si dice una cofibrazione se per ogni spa-zio topologico X, per ogni applicazione continua f C (B, X), ed ogni omotopiag C (A I, X) di g = f , vi e unomotopia f C (B I, X) di f per cui siag(a, t) = f ((a), t), per ogni a A e t I.

La cofibrazione : A B si puo rappresentare con il diagramma commutati-vo:

A

g // C (I, X)

val0

Bf//

f

;;xx

xx

xX

In particolare, la proprieta di estensione dellomotopia di una coppia (B, A) sipuo riformulare richiedendo che linclusione A B sia una cofibrazione.

1.5. CW-COMPLESSI 27

Siano A, B,Y spazi topologici e C (A, B), C (A,Y) due applicazionicontinue. Possiamo incollare Y a B mediante ponendo

Y B = (Y t B)/ , con (a) (a) se a A.Abbiamo unapplicazione naturale, iniettiva e continua, : Y Y B, chesi ottiene componendo linclusione naturale di Y in Y t B con la proiezione nelquoziente.

Lemma 1.4.6. Se C (A, B) e una cofibrazione, anche C (Y,Y B) euna cofibrazione.

1.5. CW-complessi

Indichiamo con Dk la palla unitaria chiusa k-dimensionale Dk = {x 1} Rke con Sk1 = {x = 1} la sua frontiera in Rk.

Sia M uno spazio topologico. Una cella di dimensione k > 0 di M e il dato diun sottoinsieme e di M e di unapplicazione continua e : Dk M la cui restrizio-ne alla parte interna di Dk definisca un omeomorfismo di Dk su e con la topologiadi sottospazio. La e si dice funzione caratteristica della cella e. Chiamiamo e lacella chiusa e e = e(S k1) la frontiera di e e lintero k dimensione della cella.I singoletti chiusi {p} di M, con la funzione caratteristica D0 3 0 p {p}, sonole sue celle (aperte e chiuse) di dimensione zero, che consideriamo con frontieravuota. Quando cio non comporti confusione, identificheremo la cella (e,e) conil suo supporto e e scriveremo anche p invece di {p} per una cella di dimensionezero.

Una partizione in celle di M e un ricoprimento K di M mediante celle (aperte)tale che, per ogni e K , la frontiera e sia contenuta in ununione di celle di K didimensioni piu piccole.

Definiamo CW-complesso uno spazio di Hausdorff M su cui sia assegnata unapartizione in celle K con le proprieta:

(C) ogni cella chiusa interseca un numero finito di celle;(W) K = {e | e K } e un ricoprimento fondamentale1 di M.Indichiamo con Kk ed K(k), rispettivamente, linsieme delle celle di dimensione

k di K e delle celle di dimensione k di K . Lunione Sk(M) =

K(k) dellecelle di dimensione minore o uguale di k si dice scheletro di dimensione k di M.Lestremo superiore dellinsieme degli interi non negativi k per cui Kk , si dicela dimensione di M.

Per semplificare la scrittura, indicheremo di norma con la sola lettera M ilCW-complesso (M,K ) e con Mk il suo scheletro k-dimensionale Sk(M).

Un CW-complesso M e localmente finito se ogni punto di M ha un intornoaperto che interseca un numero finito di celle. Questo equivale al fatto che ognicella intersechi soltanto un numero finito di celle chiuse.

Un CW-complesso M e compatto se e soltanto se la sua partizione in celle Ke finita.

1Cio significa che un sottoinsieme A di M e chiuso se e soltanto se A e e chiuso per ognie K .


Un CW-complesso M e connesso se e soltanto se il suo scheletro 1-dimensiona-le M1 e connesso. Piu in generale, se p0 M e una cella di dimensione 0, abbiamo2q(M, p0) = q(Mq+1, p0) per ogni intero q 0.

Ricordiamo che uno spazio topologico M e m-connesso3 se, per ogni interok con 0 k m, ogni f C (Sk,M) e omotopa ad unapplicazione costante.Una coppia topologica (M, A) e m-connessa se, per ogni intero k con 0 k m,ogni applicazione continua f C (Dk,Sk1; M, A) e omotopa ad unapplicazionecostante. Vale la

Proposizione 1.5.1. Ogni applicazione f C (M,N) di un CW-complesso Mdi dimensione minore o uguale ad m in uno spazio topologico m-connesso N eomotopa ad unapplicazione costante.

Sia A un sotto-CW-complesso di un CW-complesso M ed f C (M, A; N, B)unapplicazione a valori in una coppia m-connessa. Se tutte le celle contenutein M \ A hanno dimensione minore o uguale ad m, allora f e A-omotopa4 adunapplicazione a valori in B.

1.5.1. Spazi cellulari relativi. Sia (B, A) una coppia topologica5. Una cella(aperta) di dimensione k > 0 di (B, A) e un sottospazio e di B \ A, omeomorfo aDk mediante unapplicazione continua : Dk B. Una cella di diemensione 0 di(B, A) e semplicemente una cella di dimensione zero di B \ A.

Chiamiamo partizione cellulare relativa di (B, A) una partizione in celle K diB \ A, tale che, per ogni e K di dimensione k > 0 e funzione caratteristica C (Dk, B), la frontiera e = (S m1) sia unione di e A e di un numerofinito di celle di K di dimensione minore di k.

Sia K una partizione cellulare relativa di (B, A). Diciamo che (B, A; K ) e unospazio cellulare relativo, o un CW-complesso relativo se:

(H) B/A e di Hausdorff (in particolare, A e chiuso in B);(C) la chiusura di ogni cella di K interseca solo un numero finito di celle

chiuse di K ;(W) {A} {e | e K } e un ricoprimento fondamentale di B.

In modo equivalente, possiamo richiedere che il quoziente B/A, ottenuto identifi-cando ad un punto il sottoinsieme A di B, sia uno spazio cellulare, in cui limmaginedi A sia una cella di dimensione 0. Chiamiamo dimensione di (B, A; K ) lestremosuperiore, finito o infinito, delle dimensioni delle celle di K .

Una coppia cellulare e in modo naturale anche una coppia cellulare relativa.

Proposizione 1.5.2. Sia (B, A; K ) uno spazio cellulare relativo ed X uno spa-zio topologico k-connesso per ogni k dim(B, A; K ). Allora ogni applicazionecontinua f : A X si estende ad unapplicazione continua f : B X.

2Per richiami sui gruppi di omotopia vedi il Cap. ?? di queste note.3Conveniamo che un qualsiasi spazio topologico non vuoto sia (1)-connesso.4Esiste cioe una f = { ft} C (M [0, 1],N) tale che f0 = f , f1(M) B ed ft(p) = f0(p) per

ogni p A ed ogni t [0, 1].5Cio significa che B e uno spazio ed A un suo sottospazio topologico.

1.5. CW-COMPLESSI 29

Dimostrazione. Indichiamo con ABk lo scheletro di dimensione k di (B, A; K ),cioe lunione di A e di tutte le celle di K di dimensione minore o uguale a k.Costruiamo, per ogni intero k 0, unapplicazione continua fk : A Bk X, inmodo che risulti fk|A = f ed fk+1|ABk = fk. Questo e senzaltro possibile perk = 0. Infatti le celle di dimensione 0 sono punti isolati di B disgiunti da A epossiamo quindi definire su di essi la f0 in modo arbitrario. Supponiamo ora diaver definito una fk, per un k 0, e dimostriamo che e possibile costruire fk+1.A questo scopo ragioniamo per ricorrenza sulla famiglia dei sottoinsiemi L conA Bk L A Bk+1 ed L unione di A Bk e di celle di dimensione minoreo uguale di (k + 1) in K . Poiche A e le sue celle chiuse formano un ricoprimentofondamentale di L, se L e unione di una catena crescente di {Li}iI e per ogni indicei e assegnato un prolungamento fi di f con fi = f j su L j quando j i,, allora la fLuguale ad fi su Li e unapplicazione continua di L in X che estende f .

Per il Lemma di Zorn vi e un L,massimale rispetto allinclusione, per cui (L, A)e un sottospazio cellulare relativo di (A Bk+1, A), e per cui si possa definire unprolungamento fL : L X di fk. Deve essere L = A Bk+1. Altrimenti potremmotrovare una cella e Kk+1 non contenuta in L.Osserviamo allora che e ABk L e quindi fL e definita su e. Per lipotesi che X sia k-connesso, lapplicazionecomposta

fe : Skxe(x) A Bk

fL Xsi estende ad unapplicazione continua fe : e X. La

fLe =

fL, su L,fe 1e , su e,sarebbe allora un prolungamento di fk ad Le, contraddicendo la massimalita di L.Questo dimostra lesistenza del prolungamento fk+1. Infine, utilizzando il fatto che{A} K e un ricoprimento fondamentale di B, otteniamo che f = fk su A Bk perogni intero k 0 e un prolungamento continuo di f su B.

Ricordiamo che uno spazio topologico X e contrattile se lidentita su X eomotopa ad unapplicazione costante.

Corollario 1.5.3. Uno spazio cellulare X e contattile se e soltanto se e k-connesso per ogni k.

Dimostrazione. Ogni spazio contrattile e anche k-connesso per ogni intero k 0. Basta quindi verificare che per gli spazi cellulari vale anche il viceversa.

Siano B = X I, A = X {0, 1}. Fissiamo un punto x0 X e consideriamof : A X definita da

f (x, t) =

x, se t = 0,x0, se t = 1.Per la Proposizione , la f si estende ad una f : X I X continua, che eunomotopia tra lidentita su X ed unapplicazione costante.

Utilizzando il Lemma 1.4.4 e ripetendo gli argomenti della dimostrazione dellaProposizione 1.5.2, otteniamo


Proposizione 1.5.4. Ogni spazio cellulare relativo ha la proprieta di estensionedellomotopia.

CAPITOLO II

Fibrati topologici

2.1. Prime definizioni

Definizione 2.1.1. Un fibrato e una terna (E, , B), in cui E = E(), B = B()sono spazi topologici e = : E B unapplicazione continua. Chiamiamo Bbase, E spazio totale e proiezione di .

Per ogni punto b di B, la Fb = Fb() = 1(b) si dice la fibra di su b.

Possiamo pensare un fibrato come un insieme di fibre, parametrizzate dai puntidi B e legate tra loro dalla topologia di E.

Esempio 2.1.2. Il fibrato banale con fibra tipica F e base B ha come spaziototale E il prodotto topologico B F e come proiezione quella sul primo fattore : B F 3 (b, v) b B.

Definizione 2.1.3. Diciamo che il fibrato e un sottofibrato di seE() E(), B() B() e =

B()E().

Definizione 2.1.4. Una sezione di e unapplicazione continua s : B() E()tale che s = idB. Indicheremo con (B, E) liniseme delle sezioni di .

Osservazione 2.1.5. Le sezioni di un fibrato banale (BF, , B) con fibra tipicaF si possono identificare alle funzioni continue di B in F.

Definizione 2.1.6. Un morfismo f : e il dato di una coppia di applica-zioni continue ( fE , fB) : (E(), B()) (E(), B()) che rendano commutativo ildiagramma

(2.1)

E()fE E()

y yB()

fB B().Proposizione 2.1.7. Se le mappe fE , fB di un morfismo di fibrati f : sono

omeomorfismi, allora la coppia ( f 1E , f1B ) : (E(), B()) (E(), B()) definisce

ancora un morfismo di fibrati f 1 : . Definizione 2.1.8. Un morfismo di fibrati f : per cui fE , fB siano

omeomorfismi si dice un isomorfismo di fibrati e la f 1 : la sua inversa.Proposizione 2.1.9. La composizione di morfismi di fibrati e ancora un morfi-

smo di fibrati.

31

32 II. FIBRATI TOPOLOGICI

Queste osservazioni si possono riassumere nella:

Proposizione 2.1.10. I fibrati e i loro morfismi formano gli oggetti e le frecce,o morfismi, di una categoria.

Indicheremo con F (dallinglese bundle) la categoria dei fibrati.Ricordiamo che una categoria C consiste dei dati di una famiglia di insiemi ob(C), gli oggetti

di C, e per ogni coppia (a, b) di oggetti, di un insieme homC(a, b) di frecce da a a b. Per ognitripla (a, b, c) di oggetti ce una composizione homC(a, b) homC(b, c) homC(a, c) che si supponeassociativa. Inoltre, si richiede che per ogni a ob(C) vi sia unidentita 1a homC(a, a) per cuif 1a = f per ogni f homC(a, b) ed 1a g = g per ogni g hom(b, a).

Esempio 2.1.11. Sia S n la sfera unitaria in Rn+1. Allora

TSn = {(x, v) Sn Rn+1 | (x|v) = 0}e lo spazio totale di un fibrato di base Sn, sottofibrato del fibrato banale Sn Rn+1e che si dice fibrato tangente di S n. Le sue fibre sono spazi vettoriali reali didimensione n.

Esempio 2.1.12. Con la proiezione

: Rn+1 \ {0} 3 x xx Sn

la terna = (Rn+1 \ {0}, , S n) e un fibrato, che si dice anche intorno tubolare di S nin Rn+1.

Si puo identificare al fibrato banale (S n R, , S n). mediante lisomorfismodi fibrati descitto da fE : S n R 3 (x, t) et x Rn\{0} ed fB = idS n .

Esempio 2.1.13. Il fibrato = k(S n) dei k-riferimenti ortonormali sulla sferaS n (con 1 k n) e il sottofibrato del fibrato banale (Sn [Sn]k, ,Sn) con spaziototale

E() = {(v0, v1, . . . , vk) [S n]k+1 | (vi|v j) = i, j, i, j = 0, . . . , k},base B() = S n e proiezione (v0, v1, . . . , vk) = v0.

Esempio 2.1.14. Consideriamo la varieta di Grassmann Grn,m(R) (vedi 4.2)dei k-piani lineari di Rn. Il fibrato tautologico (Grn,m(R)) e il fibrato vettoriale dirango m che possiamo definire come il sottofibrato di Grn,m(R) Rn che ha comespazio totale

E = {(, v) Grn,m(R) Rn | v }e base Grn,m(R). Possiamo considerare anche il suo ortogonale, con spazio totale

E = {(, v) Grn,m(R) | v }.Lapplicazione (, v) (, v) definisce un isomorfismo tra il fibrato ortogonaleed il fibrato tautologico di Grn,nm(R).

Possiamo definire in modo analogo i fibrati tautologici associati alle grassman-niane di m-piani complessi o quaternionici.

Lo spazio tangente, lintorno tubolare ed il fibrato canonico sono tutti esempidi fibrati vettoriali, cioe fibrati le cui fibre sono spazi vettoriali in cui le operazionivettoriali si possono descrivere come morfismi di fibrati.

2.2. PRODOTTI 33

2.2. Prodotti

Definizione 2.2.1. Il prodotto 1 2 di due fibrati e il fibrato che ha comespazio totale E(1 2) il prodotto E(1) E(2) degli spazi totali, come baseB(1 2) il prodotto B(1) B(2) delle basi, e come proiezione il prodotto delleproiezioni 1 2 : E(1) E(2) 3 (v1, v2) (1(v1), 2(v2)) B(1) B(2).

Il prodotto di fibrati cos definito e il prodotto nella categoria F.Ad uno spazio topologico fissato B possiamo associare la sottocategoria FB

di F, i cui oggetti sono i fibrati sulla base B e le cui frecce sono i morfismi cheinducono lidentita su B.

Definizione 2.2.2. Un isomorfismo di due fibrati sulla stessa base, che inducalidentita sulla base, si dice unequivalenza.

Scriveremo 1 2 per indicare che i due fibrati 1, 2 sulla stessa base B sonoequivalenti.

Chiamiamo trivializzabile un fibrato equivalente ad un fibrato banale.

Il prodotto in FB si dice prodotto fibrato. Diamone la definizione esplicita.

Definizione 2.2.3. Se 1, 2 sono due fibrati di base B, chiamiamo loro prodottofibrato, o somma di Whitney, il fibrato di base B con spazio totale

(2.2) E() = E() B E() = {(v1, v2) E(1) E(2) | 1(v1) = 2(v2)}e proiezione (v1, v2) = 1(v1) = 2(v2).

Useremo, per indicare il prodotto fibrato, le notazioni 1B 2, oppure 1B 2(la seconda soprattutto per i fibrati vettoriali).

Proposizione 2.2.4. Se 1, 2 FB sono fibrati banali con fibre F1, F2, rispet-tivamente, allora 1 B 2 e ancora banale con fibra F1 F2.

Proposizione 2.2.5. Le sezioni della somma di Whitney 1 B 2 di due fi-brati di base B sono tutte e sole le sezioni della forma b (s1(b), s2(b)), consi i(B(i), E(i)).

Esempio 2.2.6. Una somma di Whitney di fibrati non banali puo essere bana-le. Ad esempio, questo e il caso dei fibrati tangente e normale di una sfera didimensione n 2.

Esempio 2.2.7. Sia RPn lo spazio proiettivo reale di dimensione n. Indichiamocon il suo fibrato tangente. Possiamo identificare il suo spazio totale allinsieme

E() = T (RPn) = {[x, y] | x, y Rn+1, x , 0, (x|y) = 0} RP2n+1.Denotiamo con il suo fibrato tautologico, di spazio totale

E() = {([x], a x) | x Rn+1 \ {0}, a R} RPn Rn+1.Il fibrato in rette banale 1 su RPn si puo anche rappresentare con lo spazio totale

E(1) = {[x, a x] | x Rn+1 \ {0}, a R}.


Nel caso della retta proiettiva (n = 1) il fibrato tautologico e un fibrato in retteil cui spazio totale e omeomorfo al nastro di Moebius senza bordo e non e quindiisomorfo al fibrato in rette banale il cui spazio totale e il cilindro circolare retto.

La somma di Whitney (n+1) di (n+1) copie del fibrato tautologico e equivalentealla somma di Whitney RPn1 del fibrato tangente e del fibrato in rette banale.

Possiamo rappresentare gli spazi totali dei due fibrati nel modo seguente:

E((n+1)) = {([x], a0x, . . . , anx) | x Rn+1, x , 0, a0, . . . , an R} RPnR(n+1)2,

E( RPn1) = {[x, y, ax] | x, y Rn+1, x , 0, (x|y) = 0, a R} RP3n+2.

Ad un vettore non nullo x di Rn+1 associamo le proiezioni ortogonali

x : Rn+1 3 y(x| y)x2 x R

n+1 e x : Rn+1 3 y y x(y) Rn+1

sulla retta di x e sulliperpiano ad essa ortogonale. Lequivalenza si puo alloradescrivere, al livello degli spazi totali, mediante lapplicazione

fE : ([x], a0x, . . . , anx) [x/x2, x(a0, . . . , an),x(a0, . . . , an)].

2.3. Restrizioni e fibrati indotti

Definizione 2.3.1. Dato un fibrato ed un sottospazio topologico A della suabase B(), la restrizione di ad A e il fibrato |A con

E(|A) = 1 (A) E(), B(|A) = A, |A : E(|A) 3 v (v) A.Chiamiamo |A restrizione ad A del fibrato .

Si verifica facilmente che, se A B, la restrizione FB FA e un funtore dicategorie e che per le restizioni di fibrati vale la proprieta transitiva.

Siano A, B due spazi topologici e : A B unapplicazione continua. Datoun fibrato di base B, poniamoE() = {(x, v) A E | (v) = f (x)},(x, v) = x, (x, v) E().(2.3)

Definizione 2.3.2. = (E(), , A) e un fibrato di base A, che si diceindotto su A da . Chiamiamo il pullback di su A, ovvero il fibrato su Aindotto dallapplicazione .

La f : con fE(x, v) = v ed fB = e il morfismo canonico del fibratoindotto. In questo caso si usa indicare con (sollevamento di ) lapplicazione tragli spazi totali.

Sia f : un morfismo di fibrati. Il pullback f B e un fibrato di base B()e la

E() 3 v ((v), fE(v)) E()definisce un morfismo f ! : f B di fibrati di base B = B(). Il morfismoassegnato f si puo scrivere come la sua composizione con il morfismo canonicof B del fibrato indotto.

2.4. FIBRATI LOCALMENTE BANALI 35

2.4. Fibrati localmente banali

Definizione 2.4.1. Due fibrati ed sulla stessa base B si dicono localmenteequivalenti se, per ogni punto b di B possiamo trovare un intorno aperto Ub di b inB tale che |Ub ed |Ub siano equivalenti.

Definizione 2.4.2. Un fibrato si dice localmente banale con fibra tipica F see localmente equivalente al fibrato banale (B() F, B(), B()).

Proposizione 2.4.3. I pullback e le restrizioni di fibrati (localmente) equivalentisono (localmente) equivalenti.

Sia = (E B) un fibrato localmente banale con fibra tipica F e {Bi} un

ricomprimento fondamentale della sua base B = B() mediante sottospazi di tri-vializzazione. Per ogni indice i sia i : Bi F Ei = 1(Bi) un omeomorfismodi trivializzazione, che renda commutativo il diagramma

Bi Fi //

Bi ##FFF

FFFF

FFEi

~~}}}}}}}

Bi.

Se Bi, j = Bi B j , , per ogni b Bi, j lapplicazione i, j(b) : F F definita da

(2.4) (b,i, j(b)(v)) = 1i j(b, v), v F.

e un omeomorfismo della fibra. La 1i j : Bi, j F Bi, j F definisce unautomorfismo del fibrato banale.

Definizione 2.4.4. Chiamiamo A = {(Bi,i)} un atlante di trivializzazione delfibrato e le {i, j} le sue funzoni di transizione.

Le funzioni di transizione i, j di un fibrato localmente banale su B, con fibratipica F, sono caratterizzate dalle proprieta:

i,i = idBi ,(i)i, j j,k(b) = i,k(b), b Bi, j,k = Bi B j Bk,(ii)Bi F 3 (b, v) i, j(b)(v) F e continua.(iii)

Viceversa, queste proprieta caratterizzano le funzioni di transizione di un fibratolocalmente banale:

Proposizione 2.4.5. Siano B, F spazi topologici e {Bi} e un ricoprimento fon-damentale di B. Data una famiglia {i, j} di funzioni definite sulle intersezioni Bi, j,a valori negli omeomorfismi di F, che soddisfino le proprieta (i), (ii) ed (iii), vi e, ameno di equivalenza, un unico fibrato localmente banale con fibra tipica F di cuiesse siano le funzioni di transizione.

Dimostrazione. Il fibrato si costruisce incollando i fibrati localmente banalidi spazio totale Bi F mediante le funzioni di transizione.


2.5. Un lemma di trivializzazione

Lemma 2.5.1. Sia un fibrato localmente banale, con fibra tipica F e sianoB1, B2 due sottoinsiemi chiusi della sua base B = B(), tali che B1 B2 = B eB1 B2 sia un retratto1 di B2. Se i fibrati |B1 e |B2 sono trivializzabili, alloraanche e trivializzabile.

Se 1 : B1F E|B1 definisce una F-trivializzazione di di su B1, e possibiletrovare una trivializzazione di su B definita da una : BF E che estenda 1.

Dimostrazione. Siano C (B2, B1 B2) una retrazione e i : Bi F E|Biper i = 1, 2, omeomorfismi di trivializzazione.

La funzione di transizione 1,2 verifica la

1(b, v) = 2(b,1,2(b)(v)), b B1 B2, v F.

Dico che la : B F E, definita da

(b, v) =

1(b, v), se b B1, v F,2(b,1,2((b))(v)), se b B2, v F,e una trivializzazione di su B. Infatti linversa

1() =

11 (), se () B1,((),12,1(())(v)), se () B2,e ancora un morfismo di fibrati.

Possiamo ora dimostrare

Lemma 2.5.2. Ogni fibrato localmente banale su [0, 1]n e trivializzabile.

Dimostrazione. Sia un fibrato localmente banale su [0, 1]n, con fibra tipicaF. Per un intero positivo sufficientemente grande possiamo suddividere [0, 1]n

in n ipercubi di lato 1/, su ciascuno dei quali sia trivializzabile. Ordiniamo glin ipercubi Q1, . . . ,Qn in ordine lessicografico. In questo modo, per ogni h con2 h n lipercubo Qh si retrae per deformazione sulla sua intersezione con

i

2.7. ESEMPI 37

Dimostrazione. La prima e unipotesi sulla fibra, la seconda sulla base.Supponiamo valga la (1) e dimostriamo per ricorrenza che, data una sezione di

|A, si puo costruire una sequneza {sm} di sezioni, definite su |ABm , dove A Bme lo scheletro m-dimensionale di (B, A; K ) (unione di A e delle celle di dimensioneminore o uguale ad m di B \ A), con sm|A = s ed sm|ABm1 = sm1 se m 1.

Poiche AB0 e unione di A e di un sottospazio discreto disgiunto da A, possia-mo definire il prolungamento s0 (A B0, E) di s assegnando arbitrariamentei valori di s0 nei punti di (A B0) \ A. Proseguiamo la dimostrazione ragionandoper ricorrenza. Supponiamo sia 1 m dim(B, A) e che il teorema valga percoppie cellulari relative di dimensione minore di m ed, in particolare, di aver defi-nito sm1 (A Bm1, E). Osserviamo che, se {(Li, A; K(i))}iI e una catena disottospazi cellulari relativi di (A Bm, A; Km), ordinati mediante inclusione e con-tenenti (A Bm1, A; Km1), e per ogni i sia definito un prolungamento s(i) di sm1la cui restrizione a ciascun L j Li sia s( j), allora risulta definito un prolungamentos di s su

Li, con s|Li = s(i). Per il lemma di Zorn ci sara quindi un sottospazio

massimale L, con A Bm1 L A Bm su cui la sezione sm1 si estende ad unasezione sL. Dimostriamo che L = A Bm. Se cos non fosse, potremmo trovareuna cella m-dimensionale di (B, A; K ) non contenuta in L. Possiamo supporre lacella definita da una mappa : Im B, dove abbiamo posto I = [0, 1], che sirestringe ad un omeomorfismo su (0, 1)m. Possiamo suddividere Im in m cubi m-dimensionali di lato 1/ e considerare su (Im) la struttura cellulare K, in cui leimmagini degli m cubi sono le celle chiuse di dimensione m. Scegliendo abba-stanza grande, possiamo supporre che la restrizione del fibrato a ciascuna di questem celle sia banale. Per lipotesi di ricorrenza, applicata a ((Im), A(Im); K), lasezione definita su L si estende ad una sezione s definita su A L(Im)m1. Perlipotesi che F sia (m 1)-connesso, la s, definita sul bordo dei cubetti, si estendead unapplicazione continua sui cubetti. Otteniamo in questo modo un prolunga-mento di sL ad A L(In). Questo contraddice la massimalita di L. Quindi deveessere L = A Bm. Le {sm}, ottenute per ricorrenza, ci danno una sezione s cheestende s su B.

La dimostrazione del teorema sotto lipotesi (2) si fa estendendo la sezione allecelle relative di (B, A), dopo averle ordinate in modo che ciascuna corrisponda a unipercubo che ha una retrazione sulla parte della sua frontiera coperta da A e dallecelle precedenti. Utilizzando la trivializzazione data dal Lemma 2.5.2, si ottienelestensione.

2.7. Esempi

Esempio 2.7.1. Sulle sfere di dimensione dispari S2n1 e possibile definire uncampo analitico di vettori tangenti X con X 1.

Consideriamo S2n1 come una sottovarieta analitica reale di Cn e descriviamoil suo spazio tangente TS2n1 come un sottofibrato del fibrato banale:

TS2n1 = {(z,w) S2n1 Cn | Re(wz) = 0}.


Allora X(z) = iz e un campo analitico di vettori tangenti ad S 2n1 che ha in ognipunto lunghezza 1.

Esempio 2.7.2. Su S4n1 e possibile definire un campo analitico (X1, X2, X3) diterne di vettori tangenti ortonormali in ogni punto. In particolare, TS3 e trivializ-zabile.

Possiamo considerare S4n1 come un sottospazio analitico dello spazio Hn,dove H e lalgebra associativa dei quaternioni di Hamilton. Allora

TS4n1 = {(q, ) S4n1 Hn | Re(q) = 0}.Se i , j , k sono le unita immaginarie di H, allora X1(q) = q i , X2(q) = q j edX3(q) = q k definiscono la terna desiderata.

Esempio 2.7.3. Il pullback ad Sn del fibrato tangente di Sn+m e equivalente allasomma di Whitney del fibrato tangente di Sn e del fibrato banale (SnRm

Sn Sn).

2.8. Fibrati di Serre

Indichiamo con I lintervallo chiuso [0, 1] R. Per ogni coppia di interi po-sitivi m < n, consideriamo Im come il sottospazio di In che consiste delle n-uple(t1, . . . , tn) di In con ti = 0 per i > m. Conveniamo che I0 = {0}.

Definizione 2.8.1. Chiamiamo di Serre2 un fibrato che soddisfi la condizione(S) per ogni intero positivo n e per ogni coppia di applicazioni continue

f : In B() ed f0 : In1 E(), con f0(t) = f (t), t In1 In,esiste unapplicazione continua f : In E() che renda commutativo ildiagramma

(2.5) In1f0 //

E()

In f77oooo

f ''OOOO

OOO

B().

Una f che renda commutativo il diagramma (2.5) si dice un sollevamento o rialza-mento di f .

Osservazione 2.8.2. Prodotti e restrizioni di fibrati di Serre sono ancora fibratidi Serre.

Esempio 2.8.3. Il fibrato , con E() = I, B() = I e (x) = x/2 non e di Serre:le sue fibre sopra i punti b ( 12 , 1] sono vuote e quindi la f : I1 I = B() definitada f (b) = b, f0(0) = 0 non ammette una sollevamento.

Il fibrato , con E() = I, B() = I e (x) = 4x(1 x) non e localmentebanale, perche la sua fibra e { 12 } sul punto 1, mentre consiste dei due punti x =

2Jean-Pierre Serre (n. 1926) e un matematico francese che ha dato contributi fondamentali allatopologia e alla geometria algebriche, e alla teoria algebrica dei numeri. Medaglia Fields nel 1954,ha ricevuto il premio Wolf nel 2000 ed il premio Abel nel 2003.

2.8. FIBRATI DI SERRE 39

(1

1 b)/2 se b , 1. Qui la condizione di Serre non e soddisfatta per n = 2:se f (t1, t2) = 4t1(1 t1)(1 t2) per 0 t1, t2 1 ed f0(t1) = t1, non ci puo essereun sollevamento f di f ad I2 con dato iniziale f0. Infatti, f (0, I) = {0} e quindidovrebbe essere f (0, t) = 0 ed f (1, t) = 1 per ogni t I. E poi f (I, 1) = {0} e quindif (t, 1) sarebbe un cammino, sulla fibra di su 0, che congiunge 0 a 1; questo none possibile perche la fibra consiste dei due punti 0, 1.

Lemma 2.8.4 (Localita della condizione di Serre). Sia un fibrato. Se per ognipunto b della base B() possiamo trovare un intorno aperto Up di p in B() per cui|Up sia di Serre, allora e di Serre.

Dimostrazione. Sia n un intero positivo ed ( f , f0) C (In, In1; B(), E()),con f0 = f |In1 . Limmagine f (In) e compatta e puo quindi essere ricopertacon un numero finito di aperti di B() su cui la restrizione di sia un fibrato diSerre. Potremo quindi trovare un intero positivo , sufficientemente grande, taleche ciascun ipercubo Q di lato 1/ contenuto in In abbia immagine f (Q) su cui larestrizione |Q sia di Serre. Quadrettiamo In in n ipercubi

Qi1,...,in = {ik 1 tk ik, 1 k n}, per 1 i1, . . . , in ,ordinati lessicograficamente rispetto agli indici. Per ogni (i1, . . . , in) indichiamocon Qi1,...,in lunione di I

n1 e di tutti i Q j1,..., jn con ( j1, . . . , jn) (i1, . . . , in). Los-servazione fondamentale e che tutte le coppie (Qi1,...,in ,Qi1,...,inQi1,...,in) sono omeo-morfe alla coppia (In, In1). Infatti Qi1,...,inQi1,...,in e un connesso non vuoto, unionedi facce dellipercubo Qi1,...,in , che si retrae in Qi1,...,in su una delle facce delliper-cubo. Questo di permette di costruire per ricorrenza la f , estendendo prima f0 adun sollevamento su In1 Q1,...,1, utilizzando il fatto che (Q1,...,1,Q1,...,1 In1) eomeomorfa ad (In, In1) e | f (Q1,...,1) e di Serre. Dopo aver esteso f0 ad un solleva-mento su In1 Qi1,...,in , con (i1, . . . , in) (, . . . , ), si ottiene la sua estensionea un sollevamento su In1 Qi1,...,in Qi1,...,in , utilizzando il fatto che la coppia(Qi1,...,in ,Qi1,...,in Qi1,...,in) e omeomorfa alla coppia (I

n, In1) e che | f (Qi1 ,...,in ) e diSerre.

Corollario 2.8.5. Ogni fibrato localmente banale e di Serre.

Dimostrazione. Per il Lemma 2.8.4, e sufficiente verificare che ogni fibratobanale e di Serre. Consideriamo un fibrato banale (B F B) e, per un interon > 0, siano f C (In, B) ed f0 C (In1, B F) due applicazioni continue con f0 = f |In1 . Osserviamo che si puo scrivere f0(t) = ( f (t),(t)), per ogni t In1,per unapplicazione continua C (In1, F). Bastera porre

f (t1, . . . , tn) = ( f (t1, . . . , tn),(t1, . . . , tn1)).La dimostrazione e completa.

Esempio 2.8.6. Fissiamo due funzioni continue 1 2 C (I,R) e sianoE = {(x, y) R2 | 1(x) y 2(x)}, B = I e (x, y) = x. Allora (E

B) esempre un fibrato di Serre, anche se non e localmente banale quando

( {x I | 1(x) = 2(x)} ( I.Teorema 2.8.7 (di omotopia del sollevamento). Siano un fibrato di Serre ed

(X, A) una coppia cellulare relativa. Allora, per ogni applicazione f : X E() ed


ogni omotopia C (XI, B()) di f = f ed ogni omotopia C (AI, E())di f |A che solleva |AI, possiamo trovare unomotopia C (X I, E()) di fche solleva ed estende .

A I

++WWWWWWWWW

WWWWWWWWWW

WWWWWWWW

A //

aaCCCCCCCCCX f //

wwoooooo

oooooo

oo

fNNN

NNNN

&&NNNNN

E()

X I

ggggggg

33ggggggg

// B()

Dimostrazione. Per ogni intero m 0 indichiamo con A Xm lunione diA e delle celle di dimensione minore o uguale di m di X \ A. Dimostriamo perricorrenza su m che, per ogni intero m 0, e possibile costruire unomotopiam C ((A Xm) I, E()) con m|AI = , m|(AXm1)I = m1 se m > 0,m(x, 0) = f (x) su A Xm e m = |(AXm)I.

Per m = 0, le celle di dimensione zero di (X, A) formano un sottoinsiemediscreto disgiunto da A. Se {x} e una di queste celle, per la proprieta di Serrelapplicazione I 3 t (x, t) B() ha un sollevamento I 3 t 0(x, t) con0(x, 0) = f (x). Definendola uguale a su A I, otteniamo cos la 0.

Sia ora m > 0 e supponiamo di aver gia costruito m1. Consideriamo lafamiglia delle coppie (L,L) in cui L e unione di AXm1 e di celle di dimensionem di X\A e L unomotopia di f |L che coincide con m1 su (AXm1)I e solleva|LI con valore iniziale f . Semiordiniamo questa famiglia mediante la relazione(L,L) (L,L) se L L e L = L su L I. Poiche ogni catena massimaleammette un maggiorante, per il lemma di Zorn ce un (L,L) massimale. Bastaverificare che L = AXm. Infatti, se (L,L) e una coppia con L $ AXm, vi e unacella di dimensione m di X \ A non contenuta in L. Possiamo descriverla come una C (Im, X) la cui restrizione ad Im e un omeomorfismo con (Im) X \ A. Percomposizione con la L otteniamo unapplicazione che e definita su tutte le faccedellipercubo Im+1, tranne che sulla

{(t1, . . . , tm, 1) | 0 < ti < 1, 1 i m},corrispondente a tm+1 = 1. Detto 0Im+1 tale insieme, osserviamo che la coppia(Im+1, 0Im+1) e omeomorfa alla coppia (Im+1, Im). Per la proprieta di Serre, pos-siamo allora prolungare il sollevamento dellomotopia L ad (L (Im)) I, convalore iniziale f su L (Im). Quindi, per la massimalita, deve essere L = A Xme possiamo allora definire m = L.

Otteniamo il sollevamento dellomotopia cercato ponendo = m su A Xm,per ogni intero m 0.

Definizione 2.8.8. Un fibrato si dice un rivestimento generalizzato se e local-mente banale con fibre discrete. Togliamo laggettivo generalizzato se richiediamoche E() e B() siano connessi e non vuoti.

2.8. FIBRATI DI SERRE 41

Lemma 2.8.9 (unicita del sollevamento). Siano un rivestimento generalizzato,X uno spazio connesso ed f0, f1 C (X, E()) due applicazioni continue, a valorinello spazio totale, che inducono una stessa applicazione a valori nella base: talicioe che f0 = f1. Se f1(x0) = f2(x0) per un punto x0 di X, allora f0 = f1.

Dimostrazione. Punti distinti sulla stessa fibra di un rivestimento generalizza-to hanno intorni aperti disgiunti: infatti, se b B() ed indichiamo con F la fibratipica di in un intorno di b, possiamo trovare un intorno aperto U ed un omeo-morfismo : U F 1

(U) con U = . Se v1 e v2 sono punti distinti di

1

(b), allora (U {v1}) e (U {v2}) sono intorni disgiunti di v1 e v2 in E(). Daquesto segue che sia linsieme {x X | f0(x) = f1(x)} in cui f0 ed f1 assumono lostesso valore, sia il suo complementare {x X | f0(x) , f1(x)} sono aperti. Se X econnesso, uno dei due deve essere vuoto e laltro uguale ad X.

Proposizione 2.8.10. Siano un rivestimento generalizzato, X uno spazio cel-lulare connesso ed x0 un punto di X corrispondente ad una sua cella di dimensionezero. Siano f0, f1 C (X, E()) con f0(x0) = f1(x0). Se f0 = f0 ed f1 = f1sono {x0}-omotope, allora anche f0 e f1 lo sono.

Dimostrazione. Per il teorema sul rialzamento dellomotopia, una {x0}-omo-topia tra f0 ed f1 si rialza ad una {x0}-omotopia di f0. Per il Lemma 2.8.9, e(x, 1) = f1(x) perche ( , 1) e un rialzamento di f1 che ha in x0 lo stesso valoredi f1.

Piu in generale, per un fibrato di Serre qualsiasi diversi sollevamenti con lostesso dato iniziale sono omotopi.

Teorema 2.8.11 (di omotopia del sollevamento). Siano un fibrato di Ser-re, (X, A) una coppia cellulare relativa, f0, f1 C (X, E()) due applicazioni conf0|A = f1|A. Se f0 = f0 ed f1 = f1 sono A-omotope, anche f0 e f1 sonoA-omotope.

Dimostrazione. Sia f C (X I, B()) una A-omotopia tra f0 ed f1. Poicheanche (X I, (A I) (X {0, 1})) e una coppia cellulare relativa, per il teorema disollevamento dellomotopia, lomotopia costante C ((X I) I, B()), definitada

(x, t; s) = f (x, t), (x, t) X I, s I.si rialza ad unomotopia C ((X I) I, E()) con

= ,(x, t; 0) = f0(x) = f1(x), x A, t I,(x, 0; 0) = f0(x), x X,(x, 1; 0) = f1(x), x X.

La f (x, t) = ft(x) = (x, t; 0) definisce allora unA-omotopia tra f0 e f1.


2.9. Condizione di Serre forte

Definizione 2.9.1. Diciamo che il fibrato soddisfa la condizione di Serre fortese, per ogni spazio topologico X ed ogni applicazione continua f C (X, E()) diX nel suo spazio totale, ogni omotopia di f = f si rialza ad unomotopia di f .

E()

X

f11

//

f --

X I

77nnnnnnn

''PPPPP

PPPPPP

PP

B()

Una classe importante di fibrati che soddisfano la condizione di Serre forte eassociata alla nozione topologica di cofibrazione.

Definizione 2.9.2. Una coppia topologica (X, A) si dice una cofibrazione, ocoppia di Borsuk3 se X I ammette una retrazione su (X {0}) (A I).

Questa condizione e equivalente al fatto che per ogni spazio topologico Y ,ogni omotopia A della restrizione ad A dunapplicazione continua f C (X,Y)si estende ad unomotopia di f . La possiamo rappresentare con il diagramma:

A //

fA

X

f

''OOOOO

OOOOOO

OOO

X I //______ Y.

A I

::vvvvvvvvv A

44hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

Siano infatti Y uno spazio topologico, f C (X,Y) e A C (A I,Y) uno-motopia di fA = f |A. Se : X I (X {0}) (A I) e una retrazione, la = A C (X I,Y) e unomotopia di f che estende la A.

Viceversa, possiamo considerare limmersione

A : A I 3 (a, t) (a, t) ([A I] [X {0}])come unomotopia della restrizione ad A dellapplicazione

f : X 3 x (x, 0) ([A I] [X {0}]).Lestensione della A ad unomotopia di f e la retrazione cercata.

3Karol Borsuk (1905-1982), topologo polacco. A lui si devono diverse nozioni sulle retrazionie lintroduzione, insieme a Spanier, dei gruppi di coomotopia, da cui e derivata lomotopia stabile.Introdusse inoltre una teoria delle forme. Il teorema di Borsuk-Ulam dice che, per ogni applicazionecontinua f di Sn in Rn, ce almeno un punto x Sn per cui f (x) = f (x).

2.9. CONDIZIONE DI SERRE FORTE 43

Se (X, A) e una coppia topologica ed Y uno spazio topologico, possiamo defi-nire un fibrato = (X, A; Y) ponendo

E() = C (X,Y), B() = C (A,Y), ( f ) = f |A, f C (X,Y).

Proposizione 2.9.3. Se (X, A) e una cofibrazione con X di Hausdorff localmentecompatto ed Y un qualsiasi spazio topologico, allora soddisfa la condizione diSerre forte.

Dimostrazione. Sia Z uno spazio topologico, f C (Z,C (X,Y)) unapplica-zione continua e C (Z I,C (A,Y)) unomotopia della f . Poiche abbiamosupposto che X fosse di Hausdorff e localmente compatto, le applicazioni

g : Z X 3 (z, x) [ f (z)](x) Y,G : Z A I 3 (z, a, t) [(z, t)](a) Y

sono continue e quindi G e unomotopia della restrizione di g a Z A. La coppia(Z X,Z A) e ancora una cofibrazione e quindi G si prolunga ad unomotopia Gdi g. Otteniamo quindi lomotopia cercata definendo

: Z I 3 (z, t) (z, t) C (X,Y) mediante [(z, t)](x) = G(z, x, t).

Proposizione 2.9.4. Le fibre di un fibrato che abbia base connessa per archie soddisfi la condizione di Serre forte sono omotopicamente equivalenti.

Dimostrazione. Sia s0 C (I, B()) un cammino continuo che congiunge duepunti b0 e b1 della base. Indichiamo con s1 il cammino inverso s1(t) = s0(1 t), dab1 a b0. Siano F0 = 1 (b0) ed F1 =

1

(b1) le fibre sopra i due punti. I camminis0 ed s1 si possono considerare come omotopie delle proiezioni delle applicazionidinclusione 0 : F0 E() ed 1 : F1 E(), cioe delle F0 3 v b0 B(),F1 3 v b1 B(). Per la condizione di Serre forte, possiamo trovare delleomotopie

s0 : F0 I E() ed s1 : F1 I E()che li sollevano. Abbiamo ottenuto cos due mappe

f0 : F0 3 v s0(v , 1) F1 ed f1 : F1 3 v s1(v , 1) F0.Dico che f0 ed f1 sono luna uninversa omotopica dellaltra. Poiche possia-mo scambiare tra loro, nel ragionamento, i punti b0 e b1, possiamo limitarci adimostrare che f1 f0 C (F0, F0) e omotopa allidentita su F0. Definiamo

: F0 I 3 (v , t) s0(v , 2t), se 0 t 1/2,s1(s0(v , 1), 2t 1), se 1/2 t 1.

Poiche s0 s1(t) = s0(1 |1 2t|), lapplicazioneH(x, t; ) = s0

((1 )(1 |1 2t|))

definisce unomotopia di (v , t) = s0s1(t). Per la proprieta di Serre forte, questasi solleva ad unomotopia H : (F0 I) I E() di . E (1 )(1 |1 2t|) = 0sui tre dei lati del quadrato {0 t, 1} corrispondenti a = 1 e a t = 0, t = 1.Quindi, quando (t, ) percorre questi tre lati del quadrato, la H(v, t; ) assume valori


in F0. Possiamo quindi definire unomotopia di applicazioni continue di F0 in seponendo

K(v , t) =

H(v , 0; 3t), 0 t 1/3,H(v , 3t 1; 1), 1/3 t 2/3,H(v , 1; 3 3t), 2/3 t 1.

Poiche K(v , 0) = v e K(v , 1) = s1(s0(v , 1), 1) = f1 f0(v), questo completa ladimostrazione.

Lemma 2.9.5. Se X e connesso per archi ed x0, x1, x0, x1 X sono quattro suoi

punti, allora gli spazi C (I, 0, 1; X, x0, x1) e C (I, 0, 1; X, x0, x1) sono omotopicamen-

te equivalenti.

Dimostrazione. Gli spazi C (I, 0, 1; X, x0, x1) e C (I, 0, 1; X, x0, x1) sono le fibre

del fibrato = (I, {0, 1}; X) sui punti (x0, x1) ed (x0, x1) della sua base C ({0, 1}, X) =X X. La tesi e allora conseguenza della Proposizione 2.9.4, perche, per laProposizione 2.9.3, vale per la condizione di Serre forte.

2.10. Associato di Serre di un fibrato

Sia un fibrato. Poniamo

(2.6) E() = {(v , s) E() C (I, B()) | s(0) = (v)}, (v , s) = s(1).Definizione 2.10.1. Chiamiamo associato di Serre di il fibrato che ha la

stessa base di , mentre lo spazio totale E() e la proiezione sono definitidalla (2.6).

Possiamo considerare come un sottofibrato di , facendo corrispondere av E() la coppia (v , sv ) formata da v e dal cammino costante {t (v)}. Lospazio totale E() si retrae per deformazione su E(), mediante la

E() I 3 (v , s; ) (v , rs) E(), definita da rs(t) = s([1 ]t).Proposizione 2.10.2. Per ogni fibrato , il suo associato di Serre soddisfa la

condizione di Serre forte.

Dimostrazione. Sia Z un qualsiasi spazio topologico, f C (Z, E()) unap-plicazione continua e C (Z I, B()) (ricordiamo che B() = B()) uno-motopia di f = f . Siano g1 e g2 le applicazioni composte definite daldiagramma

E()

Z f //

g1:{zvz}00

g2:{zsz} ..

E() // E() C (I, B())

E()44iiiiiiiiiiiiiiiiii

C (I,B()) **UUUUUUU

UUUUUUUU

UU

C (I, B()).

Per ogni z Z e f (z) = (vz, sz), ed sz e un cammino continuo in B() che congiunge(vz) ad sz(1) = ( f (z)), mentre lomotopia definisce un cammino continuo

2.11. SUCCESSIONE ESATTA DI OMOTOPIA DI UN FIBRATO 45

{t (z, t)} in B(), di punto iniziale sz(1). Possiamo quindi definire unomotopiadi cammini sommando i cammini sz e quelli dati dallomotopia , mediante

[(z, t)]() =

sz((1 + t)) se 1/(1 + t),(z, (1 + t) 1) se 1/(1 + t).Il cammino [(z, t)]() ha punto iniziale sz(0) = (vz) e punto finale (z, 1).Poiche [(z, 0)]() = sz(), lapplicazione (z, t) = (vz,(z, t)) definisce unomo-topia di f che solleva .

2.11. Successione esatta di omotopia di un fibrato

Siano (X, x0) ed (Y, y0) due spazi puntati. Dallomeomorfismo

C (Sn, e0; X Y, (x0, y0)) ' C (Sn, e0; X, x0) C (Sn, e0; Y, y0)

ricaviamo il teorema sui gruppi di omotopia del prodotto.

Teorema 2.11.1. Per ogni intero n 1 abbiamo lisomorfismo

(2.7) n(X Y, (x0, y0)) ' n(X, x0) n(Y, y0) (prodotto diretto).

Quindi i gruppi di omotopia dello spazio totale di un fibrato banale si possonocalcolare come prodotti dei corrispondenti gruppi di omotopia della base e dellafibra. Questo non vale per fibrati generali, ma, per i fibrati di Serre, e quindi inparticolare per i fibrati localmente banali, vi sono delle relazioni tra i gruppi diomotopia dello spazio totale, della base e della fibra, che sono espresse da unasuccessione esatta.

2.11.1. Successioni esatte. Richiamiamo la nozione di successione esatta, alivello di insiemi puntati e di gruppi.

Sia {Ak}k=0,1,... una successione di insiemi non vuoti, su ciascuno dei quali siafissato un punto base ak0 Ak. Consideriamo una sequenza di applicazioni:

(2.8) An

fn An1fn1 An2

A2f2 A1

f1 A0.Definizione 2.11.2. La (2.8) si dice un complesso di insiemi puntati se

(2.9) fn+2(An+2) f 1n+1(an0), n 0,

ovvero se, per ogni n 0, la composizione fn+1 fn+2 e lapplicazione costante chetrasforma tutti gli elementi di An+2 nel punto an0.

Diciamo che la (2.8) e una successione esatta di insiemi puntati se

(2.10) fn(An) = f 1n1(an20 ) n 2.

Se gli Ak hanno ciascuno una struttura di gruppo, con identita ak0, e se tuttele fn (n 1) sono omomorfismi di gruppi, diremo che (2.8) e, rispettivamente, uncomplesso, o una successione esatta di gruppi.


Nei paragrafi successivi, mostreremo come ad un fibrato di Serre corrispondauna successione esatta di omotopia (che e una successione esatta di insiemi eduna successione esatta di gruppi se si cancellano i termini relativi allomotopia ingrado zero).

2.11.2. Definizione dellapplicazione . Sia un fibrato di Serre. Porremoper semplicita E = E(), B = B(). Fissato un punto base b0 di B, sia F = p1(b0)la fibra su b0 e v0 un punto di F, che considereremo come punto base sia di F chedi E.

Indichiamo con A la frontiera dellipercubo In, privata dei punti interni dellafaccia In {sn = 0}:

A = (In {sn > 0}) In1.La coppia (In, A) e omeomorfa alla coppia (In, In1). Quindi, per la proprieta diSerre, ogni f C (In, In; B, b0) si solleva ad una f C (In, A; E, v0), che assume ilvalore v0 in tutti i punti di A. Abbiamo cioe f (s) = v0, s A, f = f .Per il Teorema 2.8.11, la classe di omotopia [ f |In1] n1(F, v0) dipende solodalla classe di omotopia di f in n(B, b0).

Abbiamo definito in questo modo unapplicazione

(2.11) = n : n(B, b0) n1(F, v0), n 1.

2.11.3. La successione esatta di un fibrato di Serre.Linclusione : F = p1(b0) E e la proiezione : E B definiscono

applicazioni : n(F, v0) n(E, v0) e : n(E, v0) n(B, b0). Abbiamo:

Teorema 2.11.3. Sia =(E

B) un fibrato di Serre. Allora la:

(2.12)

. . . n+1(F, v0) n+1(E, v0)

n+1(B, b0) n(F, v0)

n(E, v0) n(B, b0)

2(B, b0) 1(F, v0)

1(E, v0) 1(B, b0)

0(F, v0) 0(E, v0)

0(B, b0)e una successione esatta di insiemi puntati ed una successione esatta di gruppi, sesi sopprime lultima riga della (2.12).

Dimostrazione. Il fatto che (2.12) sia un complesso di insiemi puntati e che, , siano omomorfismi di gruppi quando i due insiemi tra cui agiscono hannouna struttura di gruppo, sono facili conseguenze delle definizioni. Dimostriamolesattezza di (2.12).

2.11. SUCCESSIONE ESATTA DI OMOTOPIA DI UN FIBRATO 47

Esattezza in n(F, v0). Sia f C (In, In; F, v0), con ([ f ]) = 0. Cio significache esiste unomotopia F : In I E tale che

F(s, 0) = f (s) s In,F(s, t) = v0 (s, t) (In) I,F(s, 1) = v0 s In .

Allora C (In+1, In; B, b0) ed [ f ] = ([ ]).

Esattezza in n(E, v0). Sia f C (In, In; E, v0), con ([ f ]) = 0. Ciosignifica che esiste unomotopia F C (In I, (In) I; B, b0) tale che

F(s, 0) = f = f (s) s In,F(s, t) = b0 (s, t) (In) I,F(s, 1) = b0 s In .

Per la proprieta di Serre, possiamo rialzare F ad unomotopia F : In I E conle proprieta:

F(s, 0) = f (s) s In,F(s, t) = v0 (s, t) (In) I, F(s, t) = F(s, t) (s, t) In I .

La g : In 3 s F(s, 1) F e unapplicazione in C (In, In; F, v0) e ([g]) = [ f ].

Esattezza in n(B, b0). Siano f C (In, In; B, b0) ed f C (In, In; E, v0) unsuo sollevamento, con la condizione iniziale di assumere il valore costante v0 sullefacce in In diverse dalla faccia {sn = 0}. La f soddisfa cioe le condizioni

f (s, sn) = v0 s = (s, sn) (In1) I,f (s, 1) = v0 s In1, f (s) = f (s) s In .

Supponiamo sia ([]) = 0. Allora esiste unomotopia : In1 I F con leproprieta:

(s, 1) = f (s, 0) s In1,(s, t) = v0 s In1,(s, 0) = v0 s In1 .

Questa omotopia ci permette di estendere f ad una g C (In, In; E, v0), chedefinisce un elemento [g] n(E, v0). Definiamo infatti

g(s) =

(s, 2sn) se 0 sn 12 ,f (s, 2sn 1) se 12 sn 1 .Poiche

g(s) = g(s) =b0 se 0 sn 12f (s, 2sn 1) se 12 sn 1,


la f e la g definiscono lo stesso elemento di n(B, b0). Quindi ([g]) = [g] =[b0 f ] = [b0] [ f ] = [ f ].

La dimostrazione e completa.

Corollario 2.11.4. Se = (E B) e un rivestimento, v0 E e b0 = p(v0),

allora n(E, v0) ' n(B, b0) per ogni n 2, e, per n = 1 abbiamo la successioneesatta dinsiemi puntati:

(2.13) 0 1(E, v0) 1(B, b0) 0(F, v0).

Se E e connesso per archi, allora la 1(B, b0) 0(F, v0) e surgettiva.

Abbiamo qui indicato con 0 linsieme (o il gruppo) che contengono un soloelemento.

2.12. Esempi

Esempio 2.12.1 (Sfere). I primi n gruppi di omotopia della sfera Sn sono

(2.14) n(Sm, e0) =

0, se n m 1Z, se n = m .Rappresentanti di m(Sm, e0) si possono descrivere in questo modo.

Sia Sm = {(z, x) C Rm1 | |z|2 + x2 = 1}. Lelemento corrispondenteallintero k e descritto, nelle coordinate polari della variabile complessa z, da

fk( exp(it), x) = ( exp(ikt), x).

S1 ha come rivestimento universale la retta reale, che e contrattile, e quindin(S1, e0) = 0 per ogni n > 1.

Se m < n, possiamo considerare la sfera Sm come il sottospazio

Sm = {(x0, x1, . . . , xn) Sn | xi = 0, m < i n} di Sn.Ricordiamo che, dato uno spazio topologico X, possiamo definire la sua so-

spensione X come il quoziente di X [1, 1] ottenuto identificando i punti diX {1} ad uno stesso punto x1 ed i punti di X {1} ad un altro punto x1. Indi-cheremo con xt il punto corrispondente ad (x, t). La proiezione X [1, 1] Xda per restrizione un omeomorfismo di X (1, 1) su un aperto denso di X. Se suX abbiamo fissato un punto base x, e conveniente considerare come punto base diX il punto x0. Per ogni n 0, la sfera Sn+1 e omeomorfa alla sospensione dellasfera Sn.

Ad una qualsiasi applicazione f C (S n, e0; X, x) possiamo far corrisponderelapplicazione f C (S n+1, e0; X, x0) definita da

f (x0, x1, . . . , xn, xn+1) = xxn+1 , se f (x0, x1, . . . , xn) = x.

La sospensione ci permette di definire, per passaggio ai quozienti, unapplicazione

(2.15) : k(X, x) 3 [ f ] [ f ] k+1(X, x0).Per le sfere, vale il fondamentale teorema:

2.12. ESEMPI 49

Teorema 2.12.2. Lomomorfiso di sospensione : k(Sn, e0) k+1(Sn+1, e0)e un ismorfismo per k = n 1 e per k 2(n 1); e surgettivo per k = 2n 1.

Osserviamo che, a differenza di quanto avviene per la circonferenza, se m > 1,i gruppi n(Sm, e0) possono essere non banali per n > m.

Il problema di calcolare tutti i gruppi di omotopia di ordine > m della sfera Sm,per un m arbitrario, non e ancora completamente risolto. Sono stati calcolati tutti igruppi n(Sm, e0) per n m + 30.

Le sfere si sono rivelati, dal punto di vista della topologia, oggetti relati-vamente complicati. A titolo di esempio, riportiamo nel seguito alcuni risultatisullomotopia delle sfere di dimensione piccola.

Abbiamo:

(2.16) n(S1, e0) =

Z se n = 10 altrimenti.Riportiamo qui di seguito la tabella dei gruppi di omotopia superiore di ordineminore o uguale di 21 della sfera S2.

2(S2, e0) = Z 3(S2, e0) = Z 4(S2, e0) = Z2

5(S2, e0) = Z2 6(S2, e0) = Z12 7(S2, e0) = Z2

8(S2, e0) = Z2 9(S2, e0) = Z3 10(S2, e0) = Z15

11(S2, e0) = Z2 12(S2, e0) = Z22 13(S2, e0) = Z12 Z22

14(S2, e0) = Z84 Z22 15(S2, e0) = Z22 16(S2, e0) = Z2 Z317(S2, e0) = Z2 Z3 Z5 18(S2, e0) = Z2 Z3 Z5 19(S2, e0) = Z4 Z22 Z320(S2, e0) = Z4 Z22 Z3 21(S2, e0) = Z4 Z22 Z3

Per n 3 i gruppi di omotopia della sfera di dimensione tre sono gli stessi di quellidella sfera di dimensione due:

(2.17) n(S3, e0) =

0 se n 2n(S2, e0) se n 3 .Luguaglianza segue qui dalla fibrazione di Hopf : infatti S2 e omeomorfo alla rettaproiettiva complessa CP1. Allora lapplicazione naturale:

S3 C2 \ {0} 3 z [z] CP1

definisce un fibrato localmente banale S3 S2 con fibra S1. Dalla successione

esatta di Serre

n(S1, e0) n(S3, e0) n(S2, e0)

n1(S1, e0) ,

poiche n(S1, e0) = 0 per n 2, otteniamo che n(S3, e0) ' n(S2, e0) per ognin 3.


Analogamente, S4 si puo identificare alla retta proiet

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