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Matematica Open Source – http://www.extrabyte.infoQuaderni di Fisica Teorica – 2020
Appunti di Calcolo Tensoriale(Con esercizi svolti a cura dell’ing. Giorgio Bertucelli)
Marcello Colozzo
Indice
I Geometria differenziale 2
1 Superficie regolare e sua rappresentazione parametrica 3
1.1 Coordinate curvilinee. Linee coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Rappresentazione parametrica del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Funzioni vettoriali di una variabile vettoriale 12
2.1 Immagine di un’applicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Funzioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Limite di una funzione vettoriale di una variabile vettoriale. Continuita . . . 182.4 Derivata secondo una direzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Derivata parziale di una funzione vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Differenziale di una funzione vettoriale. Matrice jacobiana . . . . . . . . . . 262.7 Differenziabilita di una funzione vettoriale di variabile vettoriale . . . . . . . 30
A Esercizi svolti a cura dell’ing. G. Bertucelli 35
1
Parte I
Geometria differenziale
2
Capitolo 1
Superficie regolare e sua
rappresentazione parametrica
Ricordiamo rapidamente dal corso di Analisi Matematia 2 la definizione di superficie rego-lare, dando per scontata la nozione di rappresentazione parametrica di un assegnato luogogeometrico. Nel caso specifico di una superficie scriviamo:
x = x (u, v) , y = y (u, v) , z = z (u, v) (1.1)
essendo
Definizione 1 1. x (u, v), y (u, v), z (u, v) ∈ C1 (D)
2. ρ (J) = 2, dove J e la matrice jacobiana delle funzioni x (u, v) , y (u, v) , z (u, v), mentreρ indica il rango:
J =
(xu yu zuxv yv zv
)
, (1.2)
essendo xu = ∂x∂u, etc.
3. ∀ (u, v) , (u′, v′) ∈ D, con (u, v) 6= (u′, v′), si ha:
(x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) 6= (x (u′, v′) , y (u′, v′) , z (u′, v′))
Si noti che le (1.1) possono essere scritte in forma vettoriale
r = r (u, v) , ∀ (u, v) ∈ D (1.3)
essendo r (u, v) una funzione vettoriale delle variabili scalari u, v . Precisamente e con ovviosignificato dei simboli:
r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k (1.4)
Specifichiamo il punto 2 della definizione di rappresentazione regolare. A tale scopodenotiamo con L,M,N i minori estratti dalla matrice jacobiana presi con segni alterni:
L =
∣∣∣∣
yu zuyv zv
∣∣∣∣, M =
∣∣∣∣
zu xu
zv xv
∣∣∣∣, N =
∣∣∣∣
xu yuxv yv
∣∣∣∣,
ondeρ (J) = 2 ⇐⇒ L2 +M2 +N2 > 0
Seguono le definizioni:
3
CAPITOLO 1. SUPERFICIE REGOLARE E SUA RAPPRESENTAZIONE
PARAMETRICA
Definizione 2 Dicesi interno di S, l’insieme
int (S) ={
(x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) ∈ S | (u, v) ∈ D}
(1.5)
Si noti che l’interno di S non e inteso nel topologico del termine.
Definizione 3 Dicesi interno di S, l’insieme
B (S) = {(x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) ∈ S | (u, v) ∈ ∂D}
Anche qui il bordo di S non e inteso nel topologico del termine.
***
E facile convincersi che a una qualunque curva C tracciata in D, corrisponde univoca-mente una curva Γ tracciata su S. Un caso speciale e quello in cui C e una curva regolare.Sussiste la proposizione:
Proposizione 4 A ogni curva regolare tracciata in D, corrisponde una curva regolare trac-ciata su S.
Dimostrazione. Sia C una curva regolare contenuta nell’interno di D, di rappresentazioneparametrica:
x = x (t) , y = y (t) , t ∈ [a, b] (1.6)
A tale curva corrisponde univocamente la seguente curva tracciata su S, quale luogo deipunti:
Γ = {(x, y, z) ∈ S | x = x (u, v) , y = y (u, v) , z = z (u, v) , (u, v) ∈ C}
Una rappresentazione parametrica di Γ e
x = α (t) , y = β (t) , z = γ (t) , t ∈ [a, b] ,
avendo definito le funzioni composte:
α (t) = x [u (t) , v (t)] , etc.
Cio premesso, dalla
(u (t′) , v (t′)) 6= (u (t′′) , v (t′′)) , ∀t′, t′′ ∈ [a, b] , t′ 6= t′′
segue(α (t′) , β (t′) , γ (t′)) 6= (α (t′′) , β (t′′) , γ (t′′)) , ∀t′, t′′ ∈ [a, b] , t′ 6= t′′
In altri termini, esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti di Γ e i punti dell’intervallobase [a, b]. Abbiamo quindi dimostrato una delle condizioni per la regolarita di Γ. Inoltre,per una nota proprieta delle funzioni composte, segue
u (t) , v (t) ∈ C1 ([a, b]) =⇒ α (t) , β (t) , γ (t) ∈ C1 ([a, b])
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CAPITOLO 1. SUPERFICIE REGOLARE E SUA RAPPRESENTAZIONE
PARAMETRICA
Resta da dimosrare che le derivate α′ (t) , β′ (t) , γ′ (t) non si annullano mai simultaneamente.Abbiamo per un noto teorema di derivazione delle funzioni composte:
α′ (t) = xuu′ (t) + xvv
′ (t)
β′ (t) = yuu′ (t) + yvv
′ (t)
γ′ (t) = zuu′ (t) + zvv
′ (t)
Procedendo per assurdo:
xuu′ (t) + xvv
′ (t) = 0yuu
′ (t) + yvv′ (t) = 0
zuu′ (t) + zvv
′ (t) = 0,
che e un sistema lineare omogeneo nelle incognite (u′ (t) , v′ (t)), la cui matrice dei coefficientie
M = JT
Dal momento che il rango di J e 2:
ρ (M) = 2 =⇒ ∃!soluzione banale
Cioe u′ (t) = v′ (t) = 0 che e manifestamente la negazione dell’ipotesi di regolarita di C, dacui l’asserto.
1.1 Coordinate curvilinee. Linee coordinate
Consideriamo la superficie regolare:
S : x = x (u, v) , y = y (u, v) , z = z (u, v) , (u, v) ∈ D (1.7)
i.e. la funzione vettorialer = r (u, v) (1.8)
di classe C1 su D. I parametri u, v istituiscono un sistema di coordinate curvilinee su S. Permostrare cio, fissiamo la nostra attenzione sul piano coordinato (u, v) ove possiamo definirele linee coordinate:
Cu0= {(u, v) ∈ D | u = u0} (1.9)
Cv0 = {(u, v) ∈ D | v = v0} ,
per un’assegnata coppia di parametri (u0, v0) ∈ D, come illustrato in fig. 1.1.I luoghi (1.9) sono segmenti di retta e sono banalmente regolari. Per la proposizione
dimostrata nel numero precedente, la regolarita si conserva nel processo di immagine attra-verso l’applicazione r (u, v). In altri termini, le immagini Γu0
,Γv0 di Cu0, Cv0 sono archi di
curva regolari. Abbiamo
Cu0−→r(u,v)
Γu0= {(x, y, z) ∈ S | r = r (u0, v) , (u0, v) ∈ D} (1.10)
cioeΓu0
: x = x (u0, v) , y = y (u0, v) , z = z (u0, v) (1.11)
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CAPITOLO 1. SUPERFICIE REGOLARE E SUA RAPPRESENTAZIONE
PARAMETRICA
Figura 1.1: Linee coordinate nel piano (u, v).
Allo stesso modo:
Cv0 −→r(u,v)
Γv0 = {(x, y, z) ∈ S | r = r (u, v0) , (u, v0) ∈ D} (1.12)
cioeΓv0 : x = x (u, v0) , y = y (u0, v) , z = z (u0, v) (1.13)
Definizione 5 (u0, v0) diconsi coordinate curvilinee del punto P0 di S.
Ne consegue che parametrizzare una superficie S equivale a ricoprire S con due famigliedi curve regolari, che si dicono linee coordinate su S.
Scriviamo la rappresentazione parametrica di S nella forma vettoriale:
r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k (1.14)
Esprimiamo le derivate parziali della funzione vettoriale r (u, v) nel punto (u0, v0):
∂r
∂u
∣∣∣∣(u0,v0)
≡ ru (u0, v0) = xu (u0, v0) i+ yu (u0, v0) j+ zu (u0, v0)k (1.15)
∂r
∂v
∣∣∣∣(u0,v0)
≡ rv (u0, v0) = xv (u0, v0) i+ yv (u0, v0) j+ zv (u0, v0)k
La rappresentazione parametrica della linea coordinata Γu0e:
Γu0: x = x (u0, v) , y = y (u0, v) , z = z (u0, v) (1.16)
Come e noto, l’equazione della retta tangente a una curva in rappresentazione parametricaassume la forma (nel nostro caso specifico):
x− x (u0, v0)
xv (u0, v0)=
y − y (u0, v0)
yv (u0, v0)=
z − z (u0, v0)
zv (u0, v0)(1.17)
Equivalentemente, una terna di numeri direttori della predetta tangente e:
ν (u0, v0) = xv (u0, v0) , µ (u0, v0) = yv (u0, v0) , ν (u0, v0) = zv (u0, v0) (1.18)
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CAPITOLO 1. SUPERFICIE REGOLARE E SUA RAPPRESENTAZIONE
PARAMETRICA
Dalla geometria analitica sappiamo che i numeri direttori sono le componenti cartesiane diun vettore parallelo alla retta data. Nel caso in esame, le (1.18) sono le componenti di unvettore tangente a Γu0
in P0. Percio:
∂r
∂v
∣∣∣∣(u0,v0)
≡ rv (u0, v0) vettore tangente a Γu0in P0
Allo stesso modo:
∂r
∂u
∣∣∣∣(u0,v0)
≡ ru (u0, v0) vettore tangente a Γv0 in P0,
come illustrato in fig. 1.2.
Figura 1.2: Vettori tangenti alle linee coordinate sulla superficie S.
Inoltre
ru ∧ rv =
∣∣∣∣∣∣
i j k
xu yu zuxv yv zv
∣∣∣∣∣∣
= Li+M j+Nk
Ricordiamo che L,M,N sono i minori del secondo ordine della matrice jacobiana relativa allarappresentazione parametrica di S, presi con segno alterno cancellando la prima, seconda eterza colonna. Dal momento che la predetta rappresentazione e regolare, si ha (L.M,N) 6=(0, 0, 0), onde
ru ∧ rv 6= 0, ∀ (u, v) ∈ D
Geometricamente si ha che i vettori tangenti ru e rv non sono mai paralleli (in ogni puntodi S).Tale condizione e vitale affinche sia possibile determinare la posizione dei punti di Snelle coordinate curvilinee (u, v). Nel caso contrario, cioe se esistono punti di S tali cheru ∧ rv = 0, significa che la rappresentazione parametrica adottata non e regolare (giaccheil rango della matrice jacobiana e 2 in un sottoinsieme non vuoto del dominio base D). Intale circostanza, il sistema di coordinate curvilinee (u, v) si dice degenere.
Ricapitolando, assegnata una superficie regolare S e una sua rappresentazione parame-trica regolare (rammentiamoc he una superficie regolare puo avere una rappresentazione
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CAPITOLO 1. SUPERFICIE REGOLARE E SUA RAPPRESENTAZIONE
PARAMETRICA
parametrica non regolare):
r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k
Segueru (u, v) ∧ rv (u, v) 6= 0, ∀ (u, v) ∈ D
In particolare, seru (u, v) · rv (u, v) = 0, ∀ (u, v) ∈ D
il sistema di coordinate curvilinee si dice ortogonale.Le considerazioni precedenti suggeriscono di riformulare in maniera piu compatta la de-
finizione di rappresentazione parametrica di una superficie, sostituendo il dominio base D
con un qualunque aperto U .
Definizione 6 Un’applicazione r (u, v) di un aperto U a S (superficie) e una rappresen-
tazione parametrica di classe Cp≥1 di S, se
1. r (u, v) ∈ Cp≥1 (U)
2. ru (u, v) ∧ rv (u, v) 6= 0, ∀ (u, v) ∈ U
Esercizio 7 Studiare la rappresentazione parametrica:
r (u, v) = (u+ v) i+ (u− v) j+(u2 + v2
)k, (u, v) ∈ R
2 (1.19)
Soluzione
Si tratta di una funzione di classe C∞ su R2. Inoltre:
ru = i+ j+ 2uk, rv = i− j+ 2vk ,
onde
ru ∧ rv =
∣∣∣∣∣∣
i j k
1 1 2u1 −1 2v
∣∣∣∣∣∣
= 2 (u+ v) i+ 2 (u− v) j− 2k
=⇒ |ru ∧ rv| = 2√
2 (u2 + v2) + 1 6= 0, ∀ (u, v) ∈ R2
Ne consegue che l’applicazione assegnata e una rappresentazione parametrica regolare di clas-se C∞. Per esplicitare il tipo di superficie proviamo a ricavare la rappresentazione cartesiana.Eliminando i parametri, otteniamo
z =1
2
(x2 + y2
)(1.20)
Cioe S e un paraboloide ellittico (fig. 1.3). Quindi l’applicazione assegnata e un’applicazionesuriettiva da R
2 al paraboloide ellittico (1.20).
Esercizio 8 Studiare la rappresentazione parametrica:
r (ϕ, θ) = (cosϕ sin θ) i+ (sinϕ sin θ) j+ (cos θ)k (1.21)
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CAPITOLO 1. SUPERFICIE REGOLARE E SUA RAPPRESENTAZIONE
PARAMETRICA
-10
-5
0
5
10
x
-10
-5
0
5
10
y
0
50
100
z
Figura 1.3: Esercizio 7.
Soluzione
Il campo di esistenza e tutto R2:
{(ϕ, θ) | −∞ < ϕ < +∞, −∞ < θ < +∞}
Eliminando nella (1.21) i parametri ϕ, θ, si giunge alla rappresentazione cartesiana:
x2 + y2 + z2 = 1,
cioe la sfera di centro l’origine e raggio unitario. Ricordiamo che convenzionalmente:
0 ≤ ϕ ≤ 2π (longitudine)
0 ≤ θ ≤ π (colatitudine)
Cioe, (ϕ, θ) sono le usuali coordinate angolari di un sistema di coordinate sferiche valu-tate sulla predetta sfera unitaria. Diversamente, noi consideriamo (ϕ, θ) variabili in tut-to R
2. La funzione vettoriale e di classe C∞ (R2), quindi per stabilire la regolarita dellarappresentazione parametrica, valutiamo:
rϕ (ϕ, θ) =∂r
∂ϕ= (− sinϕ sin θ) i+ (cosϕ sin θ) j
rθ (ϕ, θ) =∂r
∂ϕ= (cosϕ cos θ) i+ (sinϕ sin θ) j− (sin θ)k
Segue
rϕ (ϕ, θ) ∧ rθ (ϕ, θ) =
∣∣∣∣∣∣
i j k
− sinϕ sin θ cosϕ sin θ 0cosϕ cos θ sinϕ sin θ − sin θ
∣∣∣∣∣∣
=(− sin2 θ cosϕ
)i−(sinϕ sin2 θ
)j− (sin θ cos θ)k
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CAPITOLO 1. SUPERFICIE REGOLARE E SUA RAPPRESENTAZIONE
PARAMETRICA
Dobbiamo ricercare gli eventuali zeri di tale funzione vettoriale. Se
θ = ±nπ, ∀n ∈ N,
si ha rϕ (ϕ,±nπ) ∧ rθ (ϕ,±nπ) = 0, per cui la rappresentazione non e regolare nell’insiemedi punti
{(ϕ, θ) ∈ R
2 | −∞ < ϕ < +∞, θ = ±nπ}
E pero regolare la sua restrizione all’aperto
U ={(ϕ, θ) ∈ R
2 | −∞ < ϕ < +∞, 0 < θ < π}
(1.22)
Ne consegue che l’applicazioner (ϕ, θ) : U → S,
e una rappresentazione regolare di classe C∞ della sfera unitaria privata dei punti (ϕ, 0) e(ϕ, π) che in coordinate cartesiane si esprimono (0, 0,±1) (cfr. fig. 1.4).
Figura 1.4: Esercizio 8.
E facile scrivere una rappresentazione parametrica delle linee coordinate di un assegnatopunto P0 (ϕ0, θ0):
Γϕ0: x = cosϕ0 sin θ, y = sinϕ0 sin θ, z = cos θ, θ ∈ (0, π)
Γθ0 : x = cosϕ sin θ0, y = sinϕ sin θ0, z = cos θ0, ϕ ∈ (−∞,+∞)
In coordinate (ϕ, θ):
Γϕ0: ϕ = ϕ0, θ ∈ (0, π)
Γθ0 : θ = θ0, ϕ ∈ (−∞,+∞)
ovvero i meridiani e i paralleli. Questo particolare sistema di coordinate curvilinee eortogonale, giacche
rϕ (ϕ, θ) · rθ (ϕ, θ) ≡ 0
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CAPITOLO 1. SUPERFICIE REGOLARE E SUA RAPPRESENTAZIONE
PARAMETRICA
Figura 1.5: La traslazione di r lungo la curva γ, genera una superficie denominata cilindro.
1.2 Rappresentazione parametrica del cilindro
Definizione 9 Assegnata una curva regolare γ di rappresentazione parametrica:
x = x (u) , y = y (u) , z = z (u) , u ∈ [a, b]
e una retta orientata che interseca γ in un punto assegnato, si dice cilindro la superficiegenerata dalla traslazione di r lungo γ (fig. 1.5).
Se w = λi+ µj+ νk e il versore di r, una rappresentazione parametrica di r e
x = x0 + vλ, y = y0 + vµ, z = z0 + vν, v ∈ R
essendo (x0, y0, z0) le coordinate cartesiane di un assegnato punto della predetta retta. Neconsegue che una rappresentazione parametrica del cilindro C e
x = x (u) + vλ, y = y (u) + vµ, z = z (u) + vν, (u, v) ∈ [a, b]× R
Ne consegue che C e una superficie regolare, in virtu della regolarita di γ. Le rette parallelea r che intersecano γ, sono le generatrici del cilindro. Stabiliamo le equazioni delle lineecoordinate di un punto P0 (u0, v0) preso ad arbitrio su C.
Γu0: x = x (u0) + vλ, y = y (u0) + vµ, z = z (u0) + vν, v ∈ R
che e una retta parallela a r (quindi una generatrice) e passante per P0.
Γv0 : x = x (u) + v0λ, y = y (u) + v0µ, z = z (u) + vν, v0 ∈ R
ossia la curva γ traslata nella direzione di w e passante per P0. Consideriamo il caso speciale:
γ : x = cos u, y = sin u, u ∈ [0, 2π] ,
che e una circonferenza del piano coordinato xy di raggio 1 e di centro l’origine. Consideriamola retta per (1, 0, 0) e parallela all’asse z
r : x = 1, y = 0, z = vν, ν ∈ R
La traslazione di r lungo γ genera il cilindro circolare retto:
x = cos u+ 1, y = sin u, z = vν, ∀ (u, v) ∈ [0, 2π]× R
Le linee coordinate per P0 (u0, v0):
Γu0: x = cosu0 + 1, y = sin u0, z = vν, ν ∈ R
Γu0: x = cosu+ 1, y = sin u, z = v0ν, u ∈ [0, 2π]
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Capitolo 2
Funzioni vettoriali di una variabile
vettoriale
Nelle lezioni precedenti abbiamo introdotto la nozione di rappresentazione parametrica (aven-te per base un assegnato aperto U di R2) di una superficie S, per poi osservare che que-st’ultima e l’immagine di un’applicazione che associa univocamente ad ogni elemento di U ,un elemento di S. Ne consegue che la nozione di rappresentazione parametrica “parla” illinguaggio delle funzioni (naturalmente intese come legge di corrispondenza tra due insiemi).
Nello specifico, gli elementi di U sono vettori di un assegnato sottospazio vettoriale dellospazio euclideo bidimensionale (R2) , mentre una qualunque superficie S e un sottoinsiemedello spazio euclideo tridimensionale R
3, ma non un suo sottospazio vettoriale. Vediamo,dunque, che nella definizione di rappresentazone parametrica di una superficie, sono coin-volti gli spazi vettoriali (euclidei) R
2 e R3. Ne consegue che la predetta rappresentazione
parametrica altro non e che una legge di corrispondenza tra tali spazi vettoriali. E prefe-ribile comunque, riferirsi a spazi vettoriali (finito-dimensionali) su un qualunque campo K.Incidentalmente, sussiste la seguente definizione:
Definizione 10 Siano E e F due spazi vettoriali (finito-dimensionali) su uno stesso campoK. Un’applicazione (o funzione vettoriale ) di E in F , e una legge di corrispondenzasimboleggiata da:
f : E → F (2.1)
che associa univocamente a ogni vettore x ∈ E, un vettore y ∈ F . Quindi:
y = f (x) , ∀x ∈ E (2.2)
Abbiamo detto che E,F sono finito-dimensionali. Cioe
∃n,m ∈ N−{0} | dimE = n, dimF = m 6= n (in generale) (2.3)
Siano {e1, ..., en} , {ε1, ..., εm} due basi di E e F rispettivamente. Segue
x ∈ E =⇒ ∃ (x1, ..., xn) ∈ Kn | x =
n∑
i=1
xiei
12
CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
Cioe la n-pla di scalari (x1, ..., xn) definisce le componenti di x nella predetta base. Allostesso modo:
y = f (x) =⇒ y ∈ F =⇒ ∃ (y1, ..., ym) ∈ Km | y =
m∑
i=1
yiεi
=⇒ ∃f1 (x) , ..., fm (x) | f (x) =m∑
i=1
fi (x) εi
Definizione 11 Le m funzioni scalari delle n variabili scalari
f1 (x1, ..., xn) , f2 (x1, ..., xn) , fn (x1, ..., xn) (2.4)
sono le componenti della funzione vettoriale f (x) nelle basi {ei} , {εj} di E e F rispetti-vamente.
Esempio 12 Nello spazio euclideo R3 consideriamo una sfera S di raggio R e di centro
l’origine O di riferimento cartesiano ortogonale R (Oxyz), come in fig. 2.1.
Figura 2.1: Esempio 12.
Dalla geometria analitica sappiamo che la rappresentazione cartesiana di S e:
x2 + y2 + z2 = R2 (2.5)
vettorialmente equivalente a|x| = R (2.6)
essendox = xi+ yj+ zk
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
il vettore posizione di un generico punto di R3, espanso nella base ortonormale {i, j,k}.
Denotando con n il versore di un generico x ∈ S, e facile convincersi che n e il versore dellaretta normale a S orientata dall’interno verso l’esterno della sfera. Segue
n =x
|x|=
x
R
Cioen =
x
Ri+
y
Rj+
z
Rk
D’altra parteS =
{x ∈ R
3 | |x| = R}
i.e. e un sottoinsieme (ma non un sottospazio vettoriale) di R3. Quindi n (x) e una funzionevettoriale della variabile vettoriale x, e
nx =x
R, ny =
y
R, nz =
z
R
sono le sue componenti nella base {i, j,k} di R3.
2.1 Immagine di un’applicazione
Alle funzioni vettoriali, quali applicazioni tra spazi vettoriali, si applicano le definizioni disuriettiva, iniettiva, bi–iettiva. In particolare:
Definizione 13 Assegnata una funzione vettoriale
f : E → F (2.7)
dicesi immagine di E attraverso f , l’insieme
f (E) = {f (x) | x ∈ E} ⊆ F (2.8)
Tale sottoinsieme di F e anche noto come immagine dell’applicazione f (anziche dellospazio vettoriale E).
Osservazione 14 Si badi che in generale, f (E) non e un sottospazio vettoriale di F . Comevedremo in seguito cio si verifica solo per una particolare classe di applicazioni.
Esercizio 15 Determinare l’immagine della funzione vettoriale:
f : R2 → R3 (2.9)
cosı definitaf (u) = (u1 + u2) i+ (u1 − u2) j+
(u21 + u2
2
)k, (2.10)
dove {i, j,k} e la base canonica di R3, mentre
u = u1e1 + u2e2,
con {e1, e2} base canonica di R2.
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
Soluzione
Per definizione di immagine:
f(R
2)={x ∈ R
3 | x = (u1 + u2) i+ (u1 − u2) j+(u21 + u2
2
)k}
(2.11)
Cio implica che le componenti della funzione vettoriale assegnata, nelle basi {i, j,k} , {e1, e2},sono
fx (u1, u2) = u1 + u2, fy (u1, u2) = u1 − u2, fz (u1, u2) = u21 + u2
2
Ma x = f (u) con x = xi+ yj+ zk, onde
x = u1 + u2, y = u1 − u2, z = u21 + u2
2
Eliminando le variabili u1, u2:
z =1
2
(x2 + y2
)
che e l’equazione di un paraboloide ellittico. Ne concludiamo che l’immagine dell’applicazioneassegnata, e il predetto paraboloide (fig. 2.2).
Figura 2.2: Esempio 15.
2.2 Funzioni lineari
Nei numeri precedenti abbiamo introdotto la nozione di funzione vettoriale di una variabilevettoriale. Tra queste rientrano le funzioni lineari; si tratta dei ben noti omomorfismi chesi studiano in algebra lineare. Precisamente:
Definizione 16 Assegnati gli spazi vettoriali E,F su un campo K, una funzione vettorialef da E a F si dice lineare se verifica le seguenti proprieta:
1. Additivita
f (x+ x′) = f (x) + f (x′) , ∀x,x′ ∈ E (2.12)
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
2. Omogeneita
f (λx) = λf (x) , ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E (2.13)
Tali condizioni possono essere inglobate in
f (λx+ µx′) = λf (x) + µ (x′) , ∀λ, µ ∈ K, ∀x,x′ ∈ E (2.14)
Vediamo ora come si esprime la definizione di linearita in termini di vettori di base diE, F . Al solito, stiamo considerando spazi vettoriali finito-dimensionali, onde
{e1, ..., en} base di E
{ε1, ..., εm} base di F
Segue
x ∈ E =⇒ x =n∑
i=1
xiei, (2.15)
per cui
f (x) = f
(n∑
i=1
xiei
)
=f e lineare
n∑
i=1
xif (ei) (2.16)
Ma
f (ei) ∈ F =⇒ f (ei) =m∑
j=1
ajiεj,
che sostituita nella (2.16) porge
f (x) =n∑
i=1
m∑
j=1
ajixiεj, ∀x ∈ E (2.17)
D’altra parte, l’espansione di f nelle sue componenti rispetto alle predette basi, si scrive:
f (x) =m∑
j=1
fj (x) εj,
dove fj (x) e la j-esima componente di f . Confrontando con la (2.16):
fj (x) =m∑
i=1
ajixi
Cioefj (x1, x2, ..., xn) = aj1x1 + aj2x2 + ...+ ajnxn, (j = 1, 2, ...,m) (2.18)
Abbiamo cosı dimostrato la proposizione:
Proposizione 17 Le componenti di una funzione lineare sono funzioni lineari omogenee (avalori reali) delle n variabili reali x1, x2, ..., xn. I coefficienti aji dipendono dai vettori di basedegli spazi vettoriali E ed F .
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
I coefficienti aji compongono una matrice m× n
A =
a11 a12 ... a1na21 a22 ... a23... ... ... ...
am1 am2 ... amn
(2.19)
che si chiama matrice rappresentativa di f nelle basi {e1, ..., en} , {ε1, ..., εm}. Il rango diA si dice rango di f .
Esercizio 18 Studiare la funzione vettoriale
x = f (u) , ∀u ∈ R2
dove x ∈ R3 e
f (u) = (2u1 − u2) i+ (u1 + u2) j+ (−u1 + u2)k
essendo u1, u2 le componenti di u in una base assegnata {e1, e2}di R2, mentre {i, j,k} e la
base canonica di R3 (versori degli assi coordinati x, y, z).
Soluzione
La funzione e manifestamente lineare. Scriviamo
x = xi+ yj+ zk,
onde le componenti della funzione sono:
x = f1 (u1, u2) = 2u1 − u2
y = f2 (u1, u2) = u1 + u2
z = f3 (u1, u2) = −u1 + u2,
da cui la matrice rappresentativa:
A =
2 −11 1−1 1
,
che ha rango 2. Quindi la funzione assegnata e lineare con rango 2. Eliminando le variabiliu1, u2 si perviene alla rappresentazione cartesiana
2x− y + 3z = 0
ovvero l’equazione di un piano dello spazio euclideo tridimensionale. Ne concludiamo che lafunzione lineare assegnata trasforma lo spazio euclideo bidimensionale R2 nel predetto piano(fig. 2.3).
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
Figura 2.3: Esercizio 18.
2.3 Limite di una funzione vettoriale di una variabile
vettoriale. Continuita
La nozione di limite di una funzione reale di una variabile reale si estende immediatamentealle funzioni vettoriali, a patto di fornire una definizione operativa di intorno di un vettore.Precisamente, se f (x) e definita in un sottoinsieme V di un assegnato spazio vettoriale, presoad arbitrio un punto/vettore x0, definiamo un intorno sferico di raggio ε:
Sε (x0) = {x ∈ V | |x− x0| < ε}
Siamo interessati al caso in cui x0 e di accumulazione per V , e dal momento che puo nonappartenere all’insieme di definizione, bisogna ridefinire la disuguaglianza come segue
0 < |x− x0| < ε
Cio premesso, sussiste la seguente definizione:
Definizione 19 Sia x0 un punto di accumulazione per l’insieme di definizione V di unafunzione vettoriale f : E → F . Si dice che f e convergente in x0 o che converge a L, se
∀Sε (L) , ∃Sδe (x0) | x ∈ V ∩ Sδe (x0)− {x0} =⇒ f (x) ∈ Sε (L) (2.20)
come illustrato in fig. 2.4. La precedente definizione si esprime equivalentemente come:
∀ε > 0, ∃δε > 0 | 0 < |x− x0| < δε =⇒ |f (x)− L| < ε (2.21)
Per esprimere tale proprieta si usa scrivere:
limx→x0
f (x) = L (2.22)
E immediata la dimostrazione del seguente teorema
Teorema 20 La funzione vettoriale f (x) e convergente in x0 se e solo se sono ivi convergentile sue componenti rispetto a una qualunque coppia di basi di E e F . Precisamente:
limx→x0
f (x) = L ⇐⇒ limx→x0
fk (x) = Lk
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
Figura 2.4: Per x → x0, la funzione f (x) converge a L.
dove fk (x) e la k-esima componente rispetto alle predette basi:
f (x) =m∑
k=1
fk (x) εk
e Lk e la k-esima componente del vettore L:
L =m∑
k=1
Lkεk
Definizione 21 Dicesi modulo di f (x), la funzione scalare
|f (x)| =
√√√√
m∑
k=1
fk (x)2
Definizione 22
f (x) e limitatadef⇐⇒ ∃M > 0 | |f (x)| ≤ M
Enunciamo senza dimostrare:
Teorema 23
limx→x0
f (x) = L
)=⇒:
(
limx→x0
|f (x)| = |L|
Anche la nozione di continuita di una funzione reale di una variabile reale si estendefacilmente alle funzioni vettoriali:
Definizione 24f (x) e continua
in x0 ∈ V
)def⇐⇒
(
limx→x0
f (x) = f (x0)
Sussiste il teorema
f (x) e continuain x0 ∈ V
)
⇐⇒ (fk (x) e ivi continua, k = 1, ...,m
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
2.4 Derivata secondo una direzione
Definizione 25 Siano E,F spazi vettoriali su uno stesso campo K. Assegnata una funzio-ne vettoriale f (x) definita in V ⊆ E, e un vettore u0 ∈ E − {0}definiamo il rapportoincrementale di f (x) in x0 nella direzione di u0, il seguente vettore
f (x0 + hu0)− f (x0)
h(2.23)
Il predetto rapporto e una funzione vettoriale della variabile scalare h, definita in K−{0},ove manifestamente h = 0 e punto di accumulazione per tale insieme di definizione. Quindipossiamo studiare il comportamento della funzione in un intorno di detto punto.
Definizione 26 Se il rapporto incrementale converge per h → 0, diremo che la funzionevettoriale f (x) e derivabile nel punto x0 e secondo la direzione del vettore u0. Inoltre,posto
Du0f (x0) = lim
h→0
f (x0 + hu0)− f (x0)
h
e il primo membro, i.e. il limite del rapporto incrementale, si chiama derivata di f in x0
secondo la direzione del vettore u0.
Osserviamo che per un assegnato x0 ∈ V , f (x0 + hu0) e una funzione vettoriale dellavariabile scalare h. Definiamo:
g (h)def= f (x0 + hu0)
Segue, con ovvio significato dei simboli:
limh→0
f (x0 + hu0)− f (x0)
h= lim
h→0
g (h)− g (0)
h= g′ (0)
Tali conclusioni si prestano a una interpretazione geometrica. A tale scopo, consideriamo ilcaso speciale:
f : R2 → R3
Ne consegue che y = f (x) e la rappresentazione parametrica di una superficie, come illustratoin fig. 2.5. Qui vediamo che il rapporto incrementale e il vettore rappresentato in rosso.Inoltre, al variare del parametro h, l’equazione vettoriale x = x0 + hu0 descrive una retta r
di R2 per il punto posizionato da x0, e parallela al vettore u0. Ne segue che
f (x0 + hu0) = g (h)
e l’immagine di r attraverso f o cio che e lo stesso attraverso g. Questa immagine e unacurva γ di rappresentazione parametrica y = g (h), per cui il vettore g′ (0) e tangente a γ ing (0) = f (x0).
Se la predetta proprieta e verificata per x0 preso ad arbitrio in V , diremo che la funzionevettoriale assegnata e ivi derivabile. Rimane aperta la questione della direzione, nel sensoche ci si pone la domanda: una data funzione vettoriale derivabile in V , lo e in ogni direzione?Per rispodere al quesito, risolviamo gli esercizi che seguono.
Esercizio 27 (Tratto da geometria differenziale – Schaum. La soluzione e nostra)Mostrare che la seguente funzione vettoriale (da R
2 a R3) y = f (x)
f (x) = x1ε1 + x2ε2 +(x21 + x2
2
)ε3, con {ε1, ε2, ε3} base ortonormale di R3 (2.24)
e derivabile in R2 secondo la direzione di un qualunque vettore u.
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
Figura 2.5: Interpretazione geometrica della derivata direzionale.
Soluzione
Per quanto precede, la derivata di f in un assegnato x ∈ R2 secondo una direzione u ∈ R
2,e data da:
Duf (x) = g′ (0)
dove a secondo membro abbiamo la derivata della seguente funzione vettoriale della variabilescalare h:
g (h) = f (x+ hu)
Per esplicitare le componenti di tale funzione, scriviamo lo sviluppo dei vettori x ed u inun’assegnata base (ortonormale) {e1, e2} di R2:
x = x1e1 + x2e2, u = u1e1 + u2e2
Quindi
g (h) = (x1 + hu1) ε1 + (x2 + hu2) ε2 +[(x1 + hu1)
2 + (x2 + hu2)2]ε3
Derivandog′ (h) = u1ε1 + u2ε2 + [2u1 (x1 + hu1) + 2u2 (x2 + hu2)] ε3
Ne consegueDuf (x) = u1ε1 + u2ε2 + 2 (u1x1 + u2x2) ε3,
per cui la funzione proposta e derivabile su tutto R2 e in ogni direzione. Cerchiamo ora di
dare un’interpretazione geometrica. Per fissare le idee, consideriamo
x = e1 + e2 =⇒ x1 = x2 = 1
e assumiamo come direzione:
u = 2e1 + e2 =⇒ u1 = 2, u2 = 1
Inoltre, l’immagine della funzione assegnata e la superficie S graficata in fig. 2.6.Con questa particolare scelta del punto e della direzione in cui vogliamo determinare la
derivata, si ha:
g (h) = (1 + 2h) ε1 + (1 + h) ε2 +[(1 + 2h)2 + (1 + h)2
]ε3,
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
-2
0
2
y1
-2
0
2
y2
0
5
10
15
y3
Figura 2.6: Immagine della funzione vettoriale (2.24).
Figura 2.7: Al variare del parametro h, il punto di vettore posizione x + hu (per x edu assegnati), descrive la retta r passante per il punto posizionato da x e parallela ad u.Tale retta viene processata dalla funzione vettoriale f , per restituire una curva γ, che e poil’immagine della funzione vettoriale g (h).
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
che e una rappresentazione parametrica di una curva γ tracciata su S. Piu precisamente,e l’immagine della retta r passante per il punto di vettore posizione x e parallela a u (fig.2.7).
Scriviamo la funzione y = g (h) per componenti:
y1 = 1 + 2h, y2 = 1 + h, y3 = (1 + 2h)2 + (1 + h)2 , h ∈ R
che e appunto la predetta rappresentazione parametrica di γ. Applichiamo il procedimentostandard per scrivere l’equazione della retta tangente τ0 nel punto di γ corrispondente ah = 0. Come e noto, deve essere
τ0 :y1 − y0,1
g′1 (0)=
y2 − y0,2
g′2 (0)=
y3 − y0,3
g′3 (0)
dove g′1 (0) , g′2 (0) , g
′3 (0) sono le componenti della derivata di g (h) nel punto h = 0, mentre
y0 = y0,1ε1 + y0,2ε2 + y0,3ε3 = g (0) = ε1 + ε2 + 2ε3
Un rapido calcolo fornisce:
g′1 (0) = 2, g′2 (0) = 2, g′3 (0) = 6
onde
τ0 :y1 − 1
2=
y2 − 1
2=
y3 − 2
6,
per cui (2, 2, 6) sono i numeri direttori di τ0, ovvero le componenti di un vettore paralleloa τ0, quindi tangente a γ in y0. Diversamente, vediamo che la notazione vettoriale e piuveloce. Infatti, la curva γ e l’immagine di y = g (h) e un vettore tangente e semplicementeg′ (h), ed in particolare
g′ (0) = ε1 + ε2 + 2ε3
Esercizio 28 (Tratto da geometria differenziale – Schaum. La soluzione e nostra)Consideriamo una funzione vettoriale
f : R2 → R1
che e in realta una funzione scalare della variabile vettoriale x ∈R2. Infatti, abbiamo unafunzione f (x, y) delle variabili reali (x, y) che sono le componenti di un vettore (posizione)del predetto spazio vettoriale. Nello specifico:
f (x, y) =
{x+ y, se x = 0 o y = 01, altrimenti
Mostrare che nel punto x = 0 tale funzione e derivabile solo nelle direzioni degli assicoordinati.
Soluzione
Nel linguaggio delle funzioni vettoriali, la funzione assegnata si comporta come neldiagramma di fig. 2.8.
Cio premesso, esplicitiamo l’espressione analitica della funzione:
f (x, y) =
x, se y = 0y, se x = 01, altrimenti
(2.25)
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
Figura 2.8: Esercizio 28.
Ne consegue che il diagramma cartesiano di tale funzione, e l’unione del piano z = 1 e dellebisettrici z = x, z = y dei rispettivi piani coordinati.
La derivata in un generico punto x nella direzione u e:
Duf (x) = g′ (0) ,
dove g′ (0) e la derivata in h = 0 della funzione
g (h) = f (x+ hu)
Nel punto x = 0 e nella direzione u = e1 = (1, 0)
g (h) = f (hu) = f (h, 0) = h =⇒ g′ (h) = 1,
cosiccheDe1
f (0) = 1
In maniera perfettamente analoga, si giunge a
De2f (0) = 1
Diversamente per u = (ux, uy) e sempre nel punto x = 0
g (h) = f (hu) = f (hux, huy) =
hux, se uy = 0huy, se uz = 01, altrimenti
=
{0, se h = 01, altrimenti
Segue
g′ (0) = limh→0
g (h)− g (0)
h= lim
h→0
1− 0
h= ∞
Cioe la funzione g (h) non e derivabile in h = 0, da cui la non derivabilita della funzionef (x) secondo direzioni diverse da quelle degli assi coordinati.
2.5 Derivata parziale di una funzione vettoriale
Sia f : E → F una funzione vettoriale di una variabile vettoriale. In particolare, denomianocon V il suo insieme di definizione. Al solito, E ed F sono spazi vettoriali di dimensionefinita (n = dimE, m = dimF ) su uno stesso campo K. Assegnate le basi di E ed F
{e1, ..., en} , {ε1, ..., εm}
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
scriviamo lo sviluppo di f nelle sue componenti rispetto a tali basi:
f (x) =m∑
j=1
fj (x1, ..., xn) εj, ∀x = (x1e1 + ...+ xnen) ∈ V (2.26)
Per quanto visto nel paragrafo prcedente, se f e derivabile in V secondo una qualunquedirezione u:
Duf (x) = limh→0
f (x+ hu)− f (x)
h
Ricordiamo che tale limite e la derivata di f secondo la direzione u. Ed e manifestamenteuna funzione vettoriale definita in V .
Definizione 29 Dicesi derivata parziale di f rispetto alla k-esima componente dellavariabile vettoriale x, la derivata di f secondola direzione del vettore di base ek. In simboli:
Dkf (x)def= Dek
f (x) , k ∈ {1, ..., n}
oppure∂f
∂xk
def= Dek
f (x) , k ∈ {1, ..., n}
Proposizione 30 La derivata parziale di f rispetto alla k-esima componente della variabi-le vettoriale x, e una funzione vettoriale le cui componenti sono le derivate parziali dellecomponenti di f rispetto alla variabile xk. Cioe
∂f
∂xk
=∂f1
∂xk
ε1 +∂f2
∂xk
ε2 + ...+∂fm
∂xk
εm (2.27)
Dimostrazione. Per definizione di derivata:
Dekf (x) = lim
h→0
f (x+ hek)− f (x)
h
Da x = x1e1 + ...+ xnen segue
x+ hek = x1e1 + ... (xk + h) ek + xnen,
per cui
Dekf (x) = lim
h→0
f (x1, ..., xk + h, ..., xn)− f (x1, ..., xk, ..., xn)
h
Tenendo conto della (2.26):
Dekf (x) =
n∑
j=1
limh→0
fj (x1, ..., xk + h, ..., xn)− f (x1, ..., xk, ..., xn)
h︸ ︷︷ ︸
=∂fj∂xk
εj,
onde l’asserto.Per il calcolo della derivata parziale, conviene procedere scrivendo la funzione vettoriale
nella formaf (x) = (f1 (x) , f2 (x) , ..., fm (x)) ,
per cui∂f
∂xk
=
(∂f1
∂xk
,∂f2
∂xk
, ...,∂fm
∂xk
)
L’esercizio seguente e tratto da geometria differenziale – Schaum. La soluzione e nostra.
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
Esercizio 31 Calcolare le derivate parziali di f : R2 → R3 la cui espressione elementare e
f (u, v) = uevε1 +(u2 + v2
)ε2 + uvεm (2.28)
Soluzione
Scriviamof (u, v) =
(uev, u2 + v2, uv
),
onde
∂f
∂u= (ev, 2u, v) = evε1 + 2uε2 + vε3
∂f
∂v= (uev, 2v, u) = uevε1 + 2vε2 + uε3
Se poniamo x = f (u, v) con x = ue1 + ve2, la nostra funzione trasforma R2 nella superficie
di R3 data dalla rappresentazione parametrica:
x = uev, y = u2 + v2, z = uv
e graficata in fig. 2.9, assieme alla superfici le cui rappresentazioni parametriche sono lederivata parziali della funzione vettoriale assegnata.
-5
0
5
10
x
-5
0
5
10
15
y
-5
0
5
z
Figura 2.9: Esercizio 31.
2.6 Differenziale di una funzione vettoriale. Matrice
jacobiana
Premettiamo alcuni richiami di Analisi matematica 1 e 2. Sia f : X → R reale di unavariabile reale, derivabile in X. La funzione lineare omogenea dell’incremento ∆x, data da
df = f ′ (x)∆x (2.29)
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
si dice differenziale di f . Se applichiamo tale definizione alla funzione identica f (x) = x, siottiene dx = ∆x per cui il differenziale puo essere scritto come:
df = f ′ (x) dx
Teorema 32 Nelle ipotesi precedenti, se ∆f e l’incremento della funzione corrispondenteall’incremento ∆x della variabile indipendente, si ha:
∆f = df + ω (∆x) ,
dove ω (∆x) e, per ∆x → 0, un infinitesimo di ordine superiore a ∆x.
Ora consideriamo il caso di una funzione reale di n variabili reali:
f : A → R, A ⊆ Rn
Se f e dotata in A di derivate parziali
∂f
∂x1
,∂f
∂x2
, ...,∂f
∂xn
si dice differenziale totale di f la seguente funzione lineare degli incrementi ∆x1, ...,∆xn
delle variabili indipendenti:
df =∂f
∂x1
∆x1 +∂f
∂x2
∆x2 + ...+∂f
∂xn
∆xn
Anche in questo caso e facile mostrare che ∆xk = dxk, onde
df =∂f
∂x1
dx1 +∂f
∂x2
dx2 + ...+∂f
∂xn
dxn
Sussiste il teorema:
Teorema 33 Se f ∈ C1 (A), si ha
∆f = df + ω (ρ) , ρ =
√√√√
n∑
k=1
∆x2k
dove ω (ρ) e, per ρ → 0, un infinitesimo di ordine superiore rispetto a ρ.
Cio premesso, ci proponiamo di generalizzare la nozione di differenziale totale a unafunzione vettoriale di variabile vettoriale:
f : E → V (2.30)
dove E e V sono i soliti spazi vettoriali su un campo K, supponendo di aver assegnato lerispettive basi:
{e1, ..., en} base di E
{ε1, ..., εm} base di E
Abbiamo che f (x) e un vettore a m componenti:
f (x) = (f1 (x) , f2 (x) , ..., fm (x)) (2.31)
Il differenziale totale della k-esima componente e
dfk =m∑
j=1
∂fk
∂xj
dxj (2.32)
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
Teorema 34 Dicesi differenziale della funzione vettoriale f (x), il vettore
df = (df1, df2, ..., dfm) (2.33)
Il vettore le cui componenti (nella base {e1, ..., en}) sono i differenziali delle componentidi x, e
dx = (dx1, dx2, ..., dx)
Inoltre
df =m∑
j=1
∂f
∂xj
dxj (2.34)
rammentando che∂f
∂xj
=
(∂f1
∂xj
,∂f2
∂xj
, ....,∂fm
∂xj
)
Quindi il differenziale df e una funzione vettoriale lineare della variabile vettoriale dx, e cometale e dotata di una matrice rappresentativa rispetto alle basi assegnate. Per esplicitare glielementi di matrice, scriviamo per esteso i differenziali delle componenti:
df1 =∂f1
∂x1
dx1 +∂f1
∂x2
dx2 + ...+∂f1
∂xn
dxn
df2 =∂f2
∂x1
dx1 +∂f2
∂x2
dx2 + ...+∂f2
∂xn
dxn
...
dfm =∂fm
∂x1
dx1 +∂fm
∂x2
dx2 + ...+∂fm
∂xn
dxn
Per definizione di matrice rappresentativa, si ha:
J (x1, ..., xn) =
∂f1∂x1
∂f1∂x2
... ∂f1∂xn
∂f2∂x1
∂f2∂x2
... ∂f2∂xn
... ... ... ...∂fm∂x1
∂fm∂x2
... ∂fm∂xn
(2.35)
che si chiamamatrice jacobiana della funzione vettoriale f (x) rispetto alle basi {ek} , {εj}.Se i due spazi vettoriali hanno la stessa dimensione n, la matrice jacobiana e quadrata diordine n, e il suo determinante si dice jacobiano della funzione, e si indica con
∂ (f1, f2, ..., fn)
∂ (x1, x2, ..., xn)=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂f1∂x1
∂f1∂x2
... ∂f1∂xn
∂f2∂x1
∂f2∂x2
... ∂f2∂xn
... ... ... ...∂fm∂x1
∂fm∂x2
... ∂fm∂xn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(2.36)
***
Probabilmente le nozioni precedente sono un po troppo “formali”, per cui in questonumero facciamo un riassunto. Abbiamo una funzione vettoriale
f : V ⊆ E → F (2.37)
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
e supponiamo di aver assegnato due basi degli spazi vettoriali E ed F :
{ei} , (i = 1, ..., n) base di E (2.38)
{εj} , (j = 1, ...,m) base di F
Abbiamo quindi, il vettore a m componenti:
f (x) = (f1 (x) , f2 (x) , ..., fm (x)) (2.39)
Se f (x) e dotata di derivate parziali rispetto alle variabili reali x1, ..., xn:
∂f
∂xk
=
(∂f1
∂xk
,∂f2
∂xk
, ...,∂fm
∂xk
)
, con k = 1, 2, ..., n (2.40)
Possiamo poi considerare il differenziale totale di singola componente:
dfj =∂fj
∂x1
dx1 +∂fj
∂x2
dx2 + ...+∂fj
∂xn
dxn , con j = 1, 2, ...,m (2.41)
ossevando che dfj e una funzione lineare delle variabili dx1, ..., dxn, ove le derivate parzialisvolgono il ruolo di coefficienti.Per definizione, il vettore
df = (df1, df2, ..., dfm) (2.42)
e il differenziale della funzione vettoriale f (x). Si noti che non utilizziamo l’aggettivo totale,poiche le n variabili x1, ..., xn sono inglobate nell’unica variabile vettoriale x = (x1, ..., xn).Per quanto precede le componenti dfj sono funzioni lineari dei differenziali delle variabiliindipendenti, ne segue che il differenziale df e una funzione vettoriale lineare della variabilevettoriale
dx = (dx1, dx2, ..., dxn)
per cui siamo interessati alla matrice rappresentativa della predetta funzione lineare, rispettoalle basi {ei} , {εj}. Abbiamo
df =m∑
j=1
dfjεj =m∑
j=1
(n∑
i=1
∂fj
∂xi
dxi
)
εj =m∑
j=1
n∑
i=1
∂fj
∂xi
dxiεj,
rammentando che le variabili indipendenti sono dx1, ..., dxn. Per definizione di matricerappresentativa:
df =m∑
j=1
n∑
i=1
ajidxiεj,
dove aji =∂fj∂xi
sono gli elementi di matrice che stiamo cercando. Per essere piu chiari:
df1 = a11dx1 + a12dx2 + ...+ a1ndxn
df2 = a21dx1 + a22dx2 + ...+ a2ndxn
...
dfm = am1dx1 + am2dx2 + ...+ amndxn
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
Finalmente, la matrice rappresentativa:
J =
∂f1∂x1
∂f1∂x2
... ∂f1∂xn
∂f2∂x1
∂f2∂x2
... ∂f2∂xn
... ... ... ...∂fm∂x1
∂fm∂x2
... ∂fm∂xn
in accordo con quanto trovato nel numero precedente. Nel caso speciale in cui la funzionevettoriale in esame e una rappresentazione parametrica di una superficie, la matrice jacobianadella rappresentazione altro non e che l’omonima matrice della funzione. Ad esempio,consideriamo la funzione vettoriale della variabile vettoriale w = (u, v):
f (w) = (2u− v) ε1 + uvε2 + (u− sin v) ε3, ∀ (u, v) ∈ R2 (2.43)
le cui componenti sono
f1 (u, v) = 2u− v, f2 (u, v) = uv, f3 (u, v) = u− sin v
Quindi
J =
∂f1∂u
∂f1∂v
∂f2∂u
∂f2∂v
∂f3∂u
∂f3∂v
=
2 −1v u
2u − cos v
La superficie di rappresentazione parametrica x = f (w) e plottata in fig. 2.10.
-4
-2
0
2
4
x-2
-1
0
1
2
y
-1
0
1
2
z
Figura 2.10: Andamento della superficie di rappresentazione parametrica (2.43).
2.7 Differenziabilita di una funzione vettoriale di va-
riabile vettoriale
Nel numero precedente, abbiamo visto che il differenziale di una funzione vettoriale
f (x) = (f1 (x) , f2 (x) , ..., fm (x))
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
e il vettore le cui componenti sono i differenziali totali delle componenti di f :
df = (df1, df2, ..., dfm)
Ci proponiamo di stabilire la definizione di differenziabilita di una funzione vettoriale, per poienunciare criteri sufficienti affinche una funzione sia differenziabile. Ricordiamo brevementeche nel caso di una funzione scalare di n variabili scalari, esistenza e continuita delle derivateparziali del primo ordine, costituiscono un criterio sufficiente di differenziabilita. Nel caso diuna funzione vettoriale prima di dare la definizione di differenziabilita, scriviamo l’incrementodella funzione nella seguente forma:
∆f = f (x0 + v)− f (x0) , (2.44)
dove x0 ∈ V e un punto preso ad arbitrio, mentre
v ∈ V | (x0 + v) ∈ V
svolge il ruolo di incremento della variabile indipendente. Cio premesso, sussiste la seguentedefinizione:
Definizione 35 Una funzione vettoriale
f : V ⊆ E → F
si dice differenziabile in x0 ∈ V , se esiste una funzione vettoriale lineare Λ (v) tale che
∆f = Λ (v) + ω (v) (2.45)
dove ω (v) e, per |v| → 0, un infinitesimo di ordine superiore a |v|:
limv→0
ω (v)
|v|= 0
Lemma 36 Comunque prendiamo u0 ∈ V − {0} e h ∈ K si ha:
limv→0
ω (v)
|v|= 0 =⇒ lim
h→0
ω (hu0)
h= 0 (2.46)
Dimostrazione. Per definizione di limite
∀ε > 0, ∃δε > 0 | 0 < |v| < δε =⇒
∣∣∣∣
ω (v)
v
∣∣∣∣<
ε
|u0|
Posto v = hu0, segue∣∣∣∣
ω (hu0)
h
∣∣∣∣=
∣∣∣∣
ω (hu0)
hu0
∣∣∣∣· |u0| <
ε
|u0|· |u0| = ε
Quindi
∀ε > 0, ∃δε > 0 | 0 < |hu0| < δε i.e. 0 < |h| <δε
|u0|
=⇒
∣∣∣∣
ω (hu0)
h
∣∣∣∣< ε,
onde l’asserto.
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
Teorema 37 Se f e differenziabile in x0, e ivi derivabile in ogni direzione.
Dimostrazione. Comunque prendiamo u ∈ V − {0} e per ogni h ∈ K tale che |h| ≪ 1
f (x0 + hu)− f (x0) = Λ (hu) + ω (hu)
Ma Λ (hu) e lineare:Λ (hu) = hΛ (u)
Quindif (x0 + hu)− f (x0)
h= Λ (u) +
ω (hu)
h
Cioe
limh→0
f (x0 + hu)− f (x0)
h= lim
h→0Λ (u)
︸ ︷︷ ︸
=Λ(u)
+ limh→0
ω (hu)
h︸ ︷︷ ︸
=0 (lemma prec.)
Per definizione di derivata secondo una direzione u:
Duf (x0) = Λ (u) (2.47)
Dall’arbitriarieta di u segue l’asserto.A questo punto ci chiediamo: “cos’e Λ (u)?” Per quanto precede, tale funzione vettoriale
lineare e la derivata della funzione vettoriale f (x) secondo la direzione u, calcolata in x0:
Λ (u) = Duf (x0) (2.48)
Si noti che Λ (u) dipende anche da x0, che tuttavia si comporta alla stregua di un parametro,giacche noi fissiamo tale punto per poi calcolare la derivata secondo la predetta direzione.Se ques’ultima e definita da uno dei vettori di base, per quanto gia stabilito:
Λ (ek) = Dekf (x0) =
∂f
∂xk
∣∣∣∣x0
(2.49)
Ora riscriviamo l’incremento di f
f (x0 + hu)− f (x0) = Λ (hu) + ω (hu)
Riesce
u ∈ E =⇒ u =n∑
i=1
uiei
Ne consegue
Λ (hu) = Λ
(
h
n∑
i=1
uiei
)
=n∑
i=1
huiΛ (ei) =Λ(ei)=
∂f∂xi
∣
∣
∣
x0
n∑
i=1
∂f
∂xi
∣∣∣∣x0
hui,
dove il penultimo passaggio segue dalla linearita di Λ. Tenendo presente che hu e l’incre-mento della variabile (vettoriale) indipendente:
hu = (hu1, ..., hun) ≡ (∆x1, ...,∆xn)
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
Quindi
Λ (hu) =n∑
i=1
∂f
∂xi
∣∣∣∣x0
∆xi = df |x0
cioe Λ (hu) e il differenziale di f calcolato in x0. Quindi la differenziabilita della funzionevettoriale si riesprime:
∆f = df + ω (∆x)
dove∆x = (∆x1, ...,∆xn)
Esempio 38 Consideriamo la funzione vettoriale da R2 a R
3:
f (x) = (f1 (x1, x2) , f2 (x1, x2) , f3 (x1, x2)) ,
conf1 (x1, x2) = sin (2x1) e
−x2 , f2 (x1, x2) = x1 − cos x2, f3 (x1, x2) = x21 + x2
2
Proviamo a calcolare l’incrementof (hu)− f (0)
nella direzione u = e1 + e2. Abbiamo
f (hu) =(sin (2h) e−h, h− cosh, 2h2
), f (0) = (0, 0, 0)
Quindi∆f =
(sin (2h) e−h, h− cosh, 2h2
)
Il differenziale e
df = (df1, df2, df3)
=(2 cos (2x1) e
−x2dx1 − sin (2x1) e−x2dx2, dx1 + sin x2dx2, 2x1dx1 + 2x2dx2
)
In (x1, x2) = (0, 0)
df |0= (2dx1, dx1, 0) = (2∆x1,∆x2, 0) = hu = (2h, h, 0)
cosicche(sin (2h) e−h, h− cosh, 2h2
)=
|h|≪1(2h, h, 0) + ...
In fig.2.11 riportiamo l’immagine della funzione vettoriale assegnata.
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CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE
-2
0
2
y1
-2
-1
0
y2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
y3
Figura 2.11: Esempio (38).
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Appendice A
Esercizi svolti a cura dell’ing. G.
Bertucelli
• Esercizio 1 (Coordinate curvilinee su una superficie).
• Esercizio 2 (parte 2) (Componenti covarianti e controvarianti di un vettore).
• Esercizio 3 (Coordinate curvilinee ortogonali. Viene discusso il sistema di coordinatecilindriche).
• Esercizio 4 (parte 2) (Ortogonalita del sistema di coordinate sferiche).
• Esercizio 5 (parte 2) (Ancora sulle coordinate curvilinee ortogonali).
• Esercizio 6 (parte 2) (Elemento di volume in coordinate curvilinee ortogonali. Formaquadratica fondementale).
• Esercizio 7 (Coordinate curvilinee ortogonali. Viene discusso il sistema di coordinatecilindriche).
35