un’onda elettromagnetica o incide una e K P Hl’interfaccia ......1) Onda viaggiante in un mezzo...

M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 1

6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

(ultima modifica 04/12/2012)

Generalmente quando un’onda elettromagnetica oi incide una

interfaccia che separa due mezzi di natura diversa (e quindi con

impedenza intrinseca diversa ), in parte viene riflessa or e

in parte viene rifratta ot , ossia attraversa l’interfaccia cambiando la

direzione.

Se il mezzo è un conduttore

le onde elettromagnetiche

non possono propagare in

esso, infatti nei conduttori:

oi

or

ot

/

0P 0

0

HE

H

E


Onde piane nei mezzi dissipativi privi di sorgenti

In un mezzo dissipativo privo di sorgenti l’equazione di Helmholz

da risolvere per determinare le onde elettromagnetiche è:

dove il numero d’onda è un numero complesso :

La costante di propagazione tale che:

022

EkE

"' jk cc

"c

σ Fessendo ε ε -j '

ω mj

121

2

1

'

"1'

1

mjj

jjjjjjk ccc

ck


Poiché:

l’equazione di Helmholtz diventa:

0EE22

2222 ; cccc kkjjk

022

EkE


Nella ipotesi che:

l’onda sia linearmente polarizzata nella direzione x,

la soluzione dell’equazione di Helmholz é :

un’onda piana uniforme che si propaga nella direzione z e da

si ottiene

con

fattore e costante di attenuazione in [Np/m]

fattore e costante di fase in [rad/m]

equivale l’attenuazione in ampiezza espressa in Np per 1 m di propagazione

equivale sfasamento dell’onda espressa in radianti per 1 m di propagazione.

022

EE

zjzx

zxxx eeEaeEaEaE

00

x

z y

iHnia

iE


Quindi le soluzioni del campo elettrico e magnetico sono:

con η impedenza intrinseca del mezzo, espressa in [Ω].

Trascurando il fattore di attenuazione α, le relazioni diventano:

******************************************************************************************************************************************************************

Queste ultime relazioni saranno utilizzate per lo studio della trasmissione delle onde in corrispondenza delle interfacce, quando la direzione della propagazione delle onde coincide con la direzione dell’asse z.

zjzy

zyyy

zjzx

zxxx

eeE

aeE

aHaH

eeEaeEaEaE

00

00

con

0

0

zjyyy

zjxxx

eE

aHaH

eEaEaE


Quando la direzione di propagazione non coincide con l’asse z, il modello

matematico delle onde che si propagano in una direzione generica con versore

è :

*******************************************************************************************************************************************************************

Queste relazioni saranno utilizzate per lo studio della trasmissione delle onde in corrispondenza delle interfacce, quando la direzione della propagazione delle onde è qualsiasi, ossia non coincide con la direzione di uno degli assi di riferimento.

m

VeE)R(E Rajk n0

m

A

1

1 R najk-0nn

ReEaREaH

Ω

ε'/''1ε'

μ

ε

μη intrinseca impedenza

j

m

radakkakakak nzzyyxx ondad’ numero vettore

m

:magnetico e elettrico campo il valutare vuolesi quale nel

P punto del posizione vettore o originedall’ radiale vettore

zayaxaR zyx

na


Classificazione dei tipi d’onda fondamentali

Nello studio delle onde guidate di solito si classificano le soluzione dell’equazione d’onda nei seguenti tipi:

• ONDE TEM: onde che non contengono Campo Elettrico e Campo Magnetico nella direzione di propagazione. Esse si chiamano onde trasversali elettromagnetiche perché le linee del campo elettrico e del campo magnetico giacciono interamente su piani trasversali alla direzione di propagazione. Esse sono comunemente usate sulle linee di trasmissione e sono anche chiamate onde principali.

• ONDE TM: onde che contengono Campo Elettrico, ma non Campo Magnetico nella direzione di propagazione.

Sono chiamate onde trasversali magnetiche.

• ONDE TE: onde che contengono Campo Magnetico, ma non Campo Elettrico nella direzione di propagazione

Sono chiamate onde trasversali elettriche.


Per studiare il comportamento delle onde in corrispondenza delle interfacce saranno esaminati quattro casi fondamentali

1) Onda incidente su una interfaccia piana tra un mezzo privo di perdite (dielettrico)1=0, e una superficie conduttrice 2=

a) Incidenza normale dell’onda in un’interfaccia piana

b) Incidenza obliqua dell’onda in un’interfaccia piana, con un angolo di incidenza i ,

1. polarizzazione perpendicolare al p.i.* del campo elettrico un’onda elettrica trasversale (TE)

2. polarizzazione parallela al p.i.* del campo elettrico un’onda magnetica trasversale (TM)

2) Onda incidente su una interfaccia piana tra due dielettrici di permettività ε1 e ε2 nei casi:

a) Incidenza normale in una interfaccia piana tra due dielettrici

b) Incidenza obliqua su una interfaccia piana tra due dielettrici con un angolo di incidenza i

******************************************************************************************************************************************************************

* p.i. piano d’incidenza


1) Onda viaggiante in un mezzo privo di perdite (dielettrico) 1=0,

incidenza su una superficie conduttrice 2=

a) incidenza dell’onda normale al piano di incidenza

nella direzione z.

Se la polarizzazione del campo elettrico

incidente è parallela al piano di incidenza,

le espressioni del campo elettrico e

magnetico incidenti nel mezzo 1 sono:

Per il sistema scelto, la variabile z é negativa nel mezzo 1 e positiva nel mezzo 2.

zjiyi

zjixi

eE

azH

eEazE

1

1

1

0

0

iH

x

z

2= 1=0

y

rH

iH

rE

nra

nia

iE

·

·

0

0

2

2

H

EiE

iE


Eio è l’ampiezza del campo elettrico in z = 0

1 è la fase costante e

è l’impedenza intrinseca del mezzo 1.

La direzione del vettore di Poynting:

dell’onda incidente, coincide con la direzione della propagazione

dell’onda e della energia, ossia dell’asse z, essendo normale al

campo elettrico e al campo magnetico .

zHzEzP iii za

zjiyizjixi eE

azHeEazE 1

1

010

1

11

iE iH


Nel mezzo 2 ( conduttore perfetto) sia il campo elettrico che il

campo magnetico sono nulli e quindi risulta nullo anche il

vettore di Poynting :

Quindi nessuna onda é trasmessa attraverso l’interfaccia, per cui

l’energia trasmessa sarà totalmente riflessa nell’interfaccia con

un’onda riflessa uguale a:

*************************************************************************************************************************************************************

L’esponente con il segno positivo indica una direzione di trasmissione z opposta a

quella dell’onda incidente.

0P 0 0 22222 HEHE

zjrx eEaz

10r )(E

zjixi eEazE 10


L’intensità totale del campo elettrico nel mezzo 1 sarà pari alla

somma dell’onda incidente e dell’onda riflessa :

Per determinare l’onda riflessa Er0 occorre imporre le condizioni

al contorno, ossia la continuità della componente tangenziale del

campo ed essendo il versore tangente alla interfaccia, per

z = 0 deve essere:

ri E e E

)()(E (z)E (z) 11 00ri1zj

rzj

ix eEeEazE

E

00

200ri1

0 (0))()0(E (0)E (0)

ir

rix

EE

EEEaE

xa


Dunque l’onda incidente è:

dove il segno negativo dell’esponente significa che le onde incidenti viaggiano nella direzione z,

e

l’onda riflessa è così caratterizzata:

con il segno positivo dell’esponente che significa che le onde riflesse viaggiano nella direzione -z.

versore nella direzione di propagazione dell’onda riflessa.

rr HE ,

i0r0

zjβ

1

i0y

zjβ

1

i0y

zjβ

1

r0y

01

r

1

r

1

r

zjβi0x

zjβi0x

zjβr0xr

EEcon eη

Eae

η

E-a e

η

Ea

η

1zE

η

1zE

η

1zH

eEa- eE-a eEazE

111

1

111

zjβixzznr eEa-aaa

ii HE ,

zjβ

1

i0yi

zjβi0xi

11 eη

EazH eEazE

nra


Quindi le intensità del campo elettrico e del campo magnetico totali nel mezzo 1, saranno rispettivamente uguali a:

zE

aeeE

aeE

eE

a

eE

eE

azHzHH

zEjajeeEa

eEeEaeEeEazEzEE

iy

zjzjiy

zjizjiy

zjrzjiyri

ixzjzj

ix

zji

zjix

zjr

zjixri

11

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

01

100

00001

cos22/2

sin22/2j

1111

11

11

1111

zE

aHzEjaE iyix 11

01101 cos2 sin2

M. Usai 6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE

15

Da queste relazioni risulta che in funzione della coordinata spaziale z:

•il campo magnetico é massimo per z = 0 (fun. sinusoidale di z) e

•il campo elettrico è minimo per z=0 (fun. cosinusoidale di z).

In particolare si verifica che per un istante e per due volte in ogni periodo:

• tutta l’energia sia immagazzinata nel campo elettrico (quando si

annulla e è massimo) e

• dopo 90° tutta energia è immagazzinata nel campo magnetico (quando

si annulla e è massimo).

1H

1E

zE

aHzEjaE iyix 11

01101 cos2 sin2

1H

1E1E

1H


Essendo l’andamento nello spazio dei campi elettrico e magnetico totali

nel mezzo 1 è:

l’andamento nello spazio e nel tempo dei campi elettrico e magnetico

totali nel mezzo 1 sarà:

L’onda totale nel mezzo 1 non é un’onda viaggiante, ma

un’onda fissa che risulta dalla sovrapposizione di due onde viaggianti in

direzioni opposte.

tzE

2aezHtzH

tzE2aezEtzE

1

1

0iy

tj11

10ixtj

11

coscosRe,

sinsinRe,

zE

azH

zEjazE

iy

ix

11

01

101

cos2)(

sin2)(


I campi hanno zeri e massimi a distanze fisse dalla interfaccia con il conduttore,

che dipendono dai valori di (fase intrinseca del mezzo ), ossia:

2,... 1, 0,ncon

412

212zper o

2

12zβper

0tz,H

massimo valoretz,E

2,... 1, 0,ncon

2-nzper o

βper

massimo valoretz,H

0tz,E

1

1

1

1

1

1

1

1

nn

n

n

nz

1β

f

u

22

1

ztE

aezHtzH

ztEaezEtzE

iy

tj

ixtj

11

011

1011

coscos2Re,

sinsin2Re,


Onde stazionarie per diversi valori di t dei campi

11 He E

Al variare del tempo i valori massimi e minimi variano, ma sempre in corrispondenza degli stessi valori di z

Sulla superficie del conduttore per z=0, il campo elettrico è nullo e il campo magnetico è massimo.

M. Usai

Premessa

Incidenza obbliqua dell’onda

Piano di incidenza: è quello individuato dal versore del raggio incidente e dal

versore della normale n alla superficie di separazione nel punto di incidenza

Polarizzazione del campo elettrico

perpendicolare al piano di incidenza parallela al piano di incidenza

1. polarizzazione perpendicolare al p.i.* del campo elettrico un’onda elettrica trasversale (TE)

2. polarizzazione parallela al p.i.* del campo elettrico un’onda magnetica trasversale (TM)

6e_EAIEE_ INCIDENZA DELLE ONDE SULLE INTERFACCE 19

rHx

z y

iH

rE

nra

nia

iE

r

i

+

·

iE

19

x

z

2= 1=0

y

iH

rEnra

niaiE

r

i

+

·

rH

2= 1=0

n n



incidenza su una superficie piana conduttrice 2=

b.1) incidenza obliqua dell’onda con un angolo di incidenza i

Nel caso di polarizzazione perpendicolare del campo elettrico ,

risulta perpendicolare al piano di incidenza.

Il versore della direzione di propagazione è:

essendo i l’angolo di incidenza

sin cosni x zi ia a a

nia

iz θa cos

ix θa sin

x

z

iθ

x

z

2= 1=0

y

iH

rE

nra

niaiE

r

i

+

·

iE

rH


Le onde incidenti essendo , saranno:

L’ onda riflessa avrà un versore :

ii

ni

iini

zxjizix

i

ajiyizixinii

zxjiy

ajiyi

eaaE

eEaaayxEazxH

eEaeEazxE

cossin

1

0

R 0

11

cossin0

R 0

1

1

11

sincos

cossin1

),(1

,

,


rzrxnr θaθaa cossin

)zcosθ(xsinθjβr0yRajβ

r0yrii1ri1 eEaeEazx,E

Snell di legge laper θθ essendo

EEeEeEa(x,0)E

0zper e

eEeEa

zx,Ezx,Ez)(x,E

ri

r0i0

xsinθjβ

r0

xsinθjβ

i0y1

zcosθxsinθjβ

r0

zcosθxsinθjβ

i0y

ri1

i1i1

rr1ii1

← Onda totale nel mezzo 1


Quindi le intensità del campo elettrico e del campo magnetico totali nel

mezzo 1, considerando l’onda incidente e l’onda riflessa, saranno

rispettivamente uguali a:

z

x

y

xj

iiz

xj

iixi

ri

xj

iiy

xjzjzj

iy

ri

a

eazxH

azxE

ezja

ezaE

zxHzxHzxH

ezEja

eeeEa

zxEzxEzxE

i

i

i

iii

versoredel direzione nella H una

versoredel direzione nella H una componenti due ha ,

versoredel direzione nellaE componente sola una ha ),(

] cossinsin

coscoscos[2

,,,

cossin2

,,),(

1z

1x1

1y 1

sin

1

sin

1

1

0

1

sin

10

sincoscos

0

1

1

1

1

111

E1y

H1x

H1z


Le relazioni trovate risultano complesse, ma si possono fare le seguenti

considerazioni:

• in corrispondenza della interfaccia il campo elettrico totale deve

annullarsi e dalla espressione di deve risultare che:

Er0 = -Ei0 e i= r

l’angolo di incidenza deve essere uguale all’angolo di riflessione,

secondo la legge di Snell della riflessione

Nella direzione z (normale alla interfaccia)

• E1y e H1x , al variare di z, hanno l’andamento di onde stazionarie in

funzione di (sinβ1zcosi z ) e (cos β1zcos i z) , rispettivamente.

• Non si propaga alcuna potenza media poiché E1y e H1x sono sfasate nel

tempo di 90°. Infatti in E1y compare l’operatore j e nel dominio del

tempo varia con legge sinusoidale mentre H1x nel dominio del tempo

varia con legge cosinusoidale.

1E


Nella direzione x parallela all’interfaccia;

• E1y e H1z sono in fase nel tempo e che nello spazio. Infatti in

entrambi i termini compare l’operatore j e nel dominio del tempo

sono entrambi sinusoidali.

• Quindi si verifica un’onda

viaggiante nella direzione x

con velocità di fase:

e lunghezza d’onda:

sinsin

1

111

iixx

uu

• l’onda di propagazione nella direzione x é un’onda piana non

uniforme perché la sua ampiezza varia con z.

iiix

xx

f

f

f

u

sinsin

2

sin

22 1

111

11

x

z

2= 1=0 y

iH

rE

nra

niaiE

r

i

+

·

rH


Dalle espressioni precedenti risulta che: per tutti i valori di

x, quando , ossia per tutti i valori di z tali che:

In corrispondenza di tali piani z è come se fossero presenti dei

piani conduttori, dove il campo elettrico nel mezzo 1 si annulla:

0E1

0z i1 cossin

, 1,2,3,...m ,cos2

cos1

11

mzmz i

] cossinsin

coscoscos[(2,,,

cossin2,,),(

sin1

sin1

1

01

sin101

1

1

1

i

i

i

xjiiz

xjix

iri

xjiiyri

ezja

eaE

zxHzxHzxH

ezEjazxEzxEzxE

cos2

1

i

mz

0E1


Quindi in corrispondenza dei piani:

si potrebbe inserire un piano conduttore senza che cambi l’andamento

del campo, che esiste tra il piano conduttore e l’interfaccia conduttrice.

Si ha dunque un’onda elettrica trasversale (TE)

( il campo elettrico non ha alcuna

componete nella direzione x: E1x= 0)

che rimbalza avanti e indietro

tra i due piani conduttori

propagandosi nella direzione x,

con un comportamento analogo

a quello di una guida d’onda con

piani paralleli.

..., 3, 2, 1,m cos2

1

i

mz

iiiif

cos2

1

cos2

12

cos2 1

1

Piano conduttore

fittizio

Conduttore

perfetto

x

0E1

i

z


In conclusione questi campi hanno il comportamento di:

•un’onda progressiva rispetto alla direzione x, ma di

•un’onda stazionaria rispetto alla direzione z.

Cioè Ex è uguale a zero in ogni istante sia sul conduttore che su piani

paralleli al conduttore e posti a distanza (nd) da esso con

• Ex è una funzione sinusoidale del tempo, ha un’ampiezza che è

massima sui piani a distanze multiple dispari di d/2 dal conduttore.

• Hy è massimo dove Ex è zero ed è nullo dove Ex è massimo, e risulta

ovunque sfasato di 90° in ritardo rispetto a Ex.

La distanza d tra due massimi e minimi successivi, misurata

normalmente al piano, diventa tanto più grande quanto più l’incidenza

è obliqua, ossia all’aumentare di θi ( se θi aumenta, cos θi diminuisce e

d aumenta).

La distanza d diminuisce all’aumentare della frequenza f.

iiiif

cos2

1

cos2

12

cos2d

1

1



incidenza su una superficie conduttrice 2=

b.2) incidenza obliqua dell’onda con un angolo di incidenza i

Nel caso di polarizzazione del campo elettrico parallela al piano di

incidenza,.

Il versore della direzione di propagazione è:

essendo i l’angolo di incidenza


nia

iz θa cos

ix θa sin

x

z

iθ

x

z

2= 1=0

y

iH

rEnra

niaiE

r

i

+

·

rH


yy1

z1z

x1x1

xsinθjβ

i1

1

i0yri1

xsinθjβ

i1iz

i1ixi0ri1

a versoredel direzione nella H componente una ha zx,H

a versoredel direzione nella E una

e a versoredel direzione nellaE una componenti due ha z)(x,E

ezcosθβcosη

E2azx,Hzx,Hzx,H

]ezcosθβcossinθa

zcosθβsinjcosθa[2Ezx,Ezx,Ez)(x,E

i1

i1

Procedendo in maniera analoga si ottengono le seguenti equazioni:

E1x

E1z

H1y


Nella direzione z (normale alla interfaccia)

• E1x e H1y hanno l’andamento di onde stazionarie in funzione di sin

β1zcos i z e cos β1zcos i z , rispettivamente.

• Non si propaga alcuna potenza media in direzione z poiché E1x e

H1y sono sfasate nel tempo di 90°

Nella direzione x parallela all’interfaccia;

• E1x e H1y sono in fase nel tempo e nello spazio, quindi si verifica

un’onda viaggiante nella direzione x con velocità identica al caso

di polarizzazione perpendicolare:

con la stessa lunghezza d’onda:

•l’onda di propagazione nella direzione x é un’onda piana non

uniforme .

sinsin

1

111

iixx

uu

iiix

xx

f

f

f

u

sinsin

2

sin

22 1

111

11


Dalle espressioni precedenti risulta che: per tutti i valori

di x, quando , ossia per tutti i valori di z tali che:

In corrispondenza di tali piani z è come se fossero presenti dei

piani conduttori, dove il campo elettrico nel mezzo 1 si annulla:

01 xE

0z i1 cossin

, 1,2,3,...m ,cos2

cos1

11

mzmz i

cos2

1

i

mz

0E1

coscos2,,,

]coscossin

cossincos[2,,),(

sin1

1

01

sin1

101

1

1

i

i

xji

iyri

xjiiz

iixiri

ezE

azxHzxHzxH

eza

zjaEzxEzxEzxE


Procedendo in maniera analoga si dimostra che in questo caso

un’onda magnetica trasversale TM ( il campo magnetico non ha

alcuna componete nella direzione x: H1x=0) , si propaga nella

direzione x rimbalzando avanti indietro tra i due piani conduttori

(uno reale coincidente con l’interfaccia conduttore-dielettrico e

uno fittizio a distanza:

con un comportamento analogo a quello di una guida d’onda con

piani paralleli.

La velocità di propagazione è la stessa ottenuta nel caso

precedente, ossia per la polarizzazione del campo elettrico

perpendicolare al piano di trasmissione.

cos2

1

i

md


Incidenza normale in un’ interfaccia piana tra due dielettrici

Quando un’onda elettromagnetica è incidente su una superficie di

un mezzo dielettrico avente un’impedenza intrinseca diversa da

quella del mezzo nel quale l’onda è stata originata, una parte della

potenza incidente è riflessa e una parte è trasmessa.

Nella ipotesi che i mezzi siano non dissipativi (1= 2=0) e che

l’onda incidente sia normale all’interfaccia i fasori del campo

elettrico e magnetico sono:

z è negativo nel mezzo 1.

zj

1

0iyi

zj

0ixi

1

1

eE

azH

eEazE

z

mezzo 2

y (entrante)rH

uscenteiH

rEnra

nia

iEmezzo 1

tE

uscentetH

ntax

+

.

.


A causa della discontinuità in z = 0, l’onda incidente è in parte

riflessa nel mezzo 1 e in parte trasmessa nel mezzo 2.

Si ha

a) per l’onda riflessa

b) per l’onda trasmessa

rr HE ,

zjryrzr

zj

rxr

eE

azEazH

eEazE

1

1

1

0

1

0

1

zjtytzt

zjtxt

eE

azEazH

eEazE

2

2

2

0

2

0

1

tt HE ,

zjiyi

zjixi

eE

azH

eEazE

1

1

1

0

0

incidente onda


Dove Et0 è l’ampiezza di per z=0, e e sono la fase

costante e l’impedenza intrinseca del mezzo 2.

Si noti che i versi di riportati in figura sono arbitrari

perchè Er0 e Et0 possono essere positive o negative in funzione

dei relativi parametri costitutivi dei due mezzi.

Per determinare le 2 incognite Er0 e Et0 sono necessarie due

equazioni. Queste equazioni si ottengono dalle condizioni al

contorno che devono essere soddisfatte dai campi elettrici E e H

e magnetico.

Sull’interfaccia dielettrica in z = 0 le componenti tangenziali

(componenti nella direzione x del sistema di riferimento

assunto) delle intensità del campo elettrico e magnetico totali

devono essere uguali (o continue):

tE

tr E e E

H H EE tttt 2121 ;


Nella interfaccia per z = 0 , si ha che le componenti tangenziali

(componenti nella direzione x del campo elettrico e magnetico)

devono essere continue. Poiché nel mezzo 1 sono presenti l’onda

incidente e l’onda riflessa e nel mezzo 2 è presente la sola onda

trasmessa, deve essere:

e risolvendo le equazioni si ottiene:

definendo:

Er0 / Ei0 = coefficiente di riflessione e

Et0 / Ei0 = coefficiente di tramissione τ .

2

000

1

000

1000

000

t

ritri

tritri

EEE o HHH

EE E o EEE

0i

2

20t0i

12

120r E

1

2EEE

EE tt 21

HH tt 21


il coefficiente di riflessione e coefficiente di tramissione τ

In funzione delle impedenze intrinseche sono uguali a:

• il coefficiente di riflessione può essere positivo o negativo a seconda che 2 sia > o < di 1. può essere positivo o negativo ma in valore assoluto è sempre | | 1, in quanto dal punto di vista energetico nessuna onda riflessa può essere più grande dell’onda incidente.

• il coefficiente di trasmissione è sempre positivo.

12

2

0i

0t

12

12

0i

0r 2

E

E

E

E

e


I coefficienti di riflessione e di trasmissione sono legati tra di loro dalla seguente equazione adimensionale:

1 + =

Infatti:

12

2

i0

t0

12

12

i0

r0

i0

t0

i0

r0t0r0i0

ηη

2η

E

Eτ e

ηη

ηη

E

EΓ

E

E

E

E1 EEE


Incidenza obliqua su una interfaccia piana tra due dielettrici

Si suppone che i due mezzi siano privi di perdite e abbiano parametri

costitutivi (1,1) e (2,2).

A causa della discontinuità del

mezzo nella interfaccia una

parte dell’onda incidente è

riflessa e una parte è trasmessa.

Le linee AO, O’A’, O’B sono le

intersezioni dei fronti d’onda

(superfici a fase costante) col

piano d’incidenza delle

onde incidente, riflesse e

trasmessa rispettivamente.

Onda rifratta

z

mezzo 2 mezzo 1

nra

nia

r

i

nta

t

Onda incidente

Onda riflessa

A B

O’

O

A’

x


Poichè sia l’onda d’incidenza che

l’onda riflessa si propagano nel

mezzo 1 con la stessa velocità di fase

up1, per cui

↓

le distanze OA’ e AO’ devono essere

uguali quindi :

OO’ sinr = OO’ sini o

r = i

Queste equazioni dimostrano che

l’angolo di riflessione e uguale

all’angolo di incidenza secondo la

legge di riflessione di Snell.

Onda rifratta

z

mezzo 2 mezzo 1

nra

nia

r

i

nta

t

Onda incidente

Onda riflessa

A B

O’

O

A’

x


Il tempo necessario nel mezzo 1 per trasmettere l’onda da O a B é uguale al tempo

necessario per trasmetterla da A a O’ tOB=tAO’ e si ha:

n1 e n2 rappresentano gli indici di rifrazione dei mezzi 1 e 2 rispettivamente.

2 1 2 1 1

1 2 22

1

'

sin

sin'sin

' 'sin

p p pt

i ppt

pi

OB AO

u u u n

u nuOOOB

uAO OO

Onda rifratta

z

mezzo 2 mezzo 1

nra

nia

r i

nta

t

Onda incidente

Onda riflessa

A B

O’

O

A’

x

Y

s

m

p

u

p

u

cn


Per indice di rifrazione di un mezzo si intende il rapporto della

velocità della luce (onde elettromagnetiche) nello spazio libero e

della velocità nel mezzo: n= c/up.

La relazione trovata rappresenta la legge di Snell della rifrazione:

essa stabilisce che in una interfaccia tra due mezzi dielettrici, il rapporto del seno dell’angolo di rifrazione (trasmissione) nel mezzo 2 e il seno dell’angolo di incidenza nel mezzo 1 é uguale al rapporto inverso degli indici di rifrazione.

2

1

2

1

1p

2p

i

t

n

n

u

u

sin

sin


Per i mezzi non magnetici ***1= 2= 0 , l’equazione diventa:

dove 1 ed 2 sono le impedenze intrinseche del mezzo.

Se il mezzo 1 é lo spazio libero (vuoto o aria) tale che r1=1 e n1=1,

l’equazione si riduce a:

essendo:

l’onda piana incidente obliquamente su una interfaccia con un mezzo più

denso del vuoto o aria, in corrispondenza della interfaccia si inclina

ulteriormente rispetto alla normale (allontanandosi dalla direzione della

normale).

***I mezzi non magnetici hanno un comportamento magnetico analogo all’aria = 0

ε0 =8.856 10-12

[F/m] e µ0= 1.256 10--6

[H/m]

1

2

2

1

2

1

02

01

1

2

sin

sin

n

n

u

u

r

r

p

p

i

t

120n

11 2

22ri

t

sin

sin

itit2i

t2 θθ sinθsinθ 1

n

1

sinθ

sinθ 1n


Le leggi di riflessione e rifrazione di Snell valide anche per la

trasmissione delle onde elettromagnetiche, sono indipendenti dalla

polarizzazione dell’onda.

Riflessione totale

Poiché all’aumentare dell’angolo di incidenza aumenta l’angolo di

rifrazione, si può affermare che esiste un valore dell’angolo di

incidenza per il quale l’angolo di rifrazione sarà perpendicolare alla

normale della interfaccia:

Si definisce angolo critico di incidenza l’angolo , quello per il

quale si verifica che ossia si verifica

la condizione di riflessione totale. si determina imponendo

che:

2t /

n

nsin sin o sin

1

2

1

1

21

c

1

2ct

2

c

2

1sinsin

it

c


Onda incidente che incide l’interfaccia con un angolo

maggiore all’angolo critico di incidenza c

Per i > c si ha un’onda evanescente lungo l’interfaccia

nella direzione x ed è attenuata esponenzialmente nel

mezzo 2 in direzione normale (direzione z).

Questa onda risulta strettamente confinata in prossimità

della interfaccia ed è chiamata onda superficiale. Essa

non è un’onda piana uniforme.

In tali condizioni (i > c) non viene trasmessa potenza

all’interno del mezzo 2.

x

y

z

un’onda elettromagnetica o incide una e K P Hl’interfaccia ......1) Onda viaggiante in un mezzo...

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