Una ragazza di massa 40kg e una slitta di massa 8,4kg sono sulla superficie di un lago gelato,...

Una ragazza di massa 40kg e una slitta di massa 8,4kg sono sulla superficie di un lago gelato, distanti fra loro 15m. Per tirare a sè la slitta la ragazza, per mezzo di una fune di massa trascurabile, esercita sulla slitta una forza orizzontale di 5,2N. Qual è l’accelerazione della slitta? Qual è l’accelerazione della ragazza? A quale distanza si incontreranno, in assenza di attrito, a partire dalla posizione della ragazza?

xx=0 x=D

T T

M=40 kgm=8,4kg

D=15m

HALLIDAY - capitolo 5 problema 19

Accelerazione della slitta:

Accelerazione della ragazza:

20,62m/sm

Ta

20,13m/sM

TA

Moto della slitta: 2S at

2

1D(t)x

Moto della ragazza: 2R At

2

1(t)x

La ragazza raggiunge la slitta nell’istante t1 in cui xR=xS:

aA

2Dtat

2

1DAt

2

1)(tx)(tx 1

21

211S1R

2,6mAa

ADAt

2

1)(tx 2

11R


Uno sciatore di massa 40kg scende su una pista priva di attrito inclinata di 10° rispetto al piano orizzontale mentre soffia un vento forte parallelo alla pista. Calcolare modulo e direzione della forza esercitata dal vento sullo sciatore se (a) la sua velocità scalare rimane costante; (b) la sua velocità scalare aumenta in ragione di 1m/s2; (c) la sua velocità scalare aumenta in ragione di 2m/s2.

θP

NF

x

y

θ

Se la velocità è costante, applichiamo la prima legge di Newton:

0NPF

0mgcosθN

0Fmgsinθ

386NmgcosθN

68NmgsinθF

Supponendo a≠0, applichiamo la seconda legge di Newton:

amNPF

0mgcosθN

maFmgsinθ

mgcosθN

a)m(gsinθF

se a=1m/s2 è F=28N: vento contrario al moto dello sciatore

se a=2m/s2 è F= -12N: vento favorevole al moto dello sciatore


La cabina di un ascensore col suo carico ha una massa di 1600kg. Trovate la tensione del cavo di sostegno quando la cabina, mentre sta scendendo a 12m/s, rallenta ad accelerazione costante, fino ad arrestarsi in 42m.

T

Px

Seconda legge di Newton: a MTP

N101.82h

vgMa)M(gTMaTMg 4

20

Moto della cabina: atvv at2

1tvx 0

20

Calcoliamo ora l’istante t1 in cui la cabina si ferma:

a

vt0atv0)v(t 0

1101

Al tempo t1 la cabina avrà percorso un tratto h=42m:

v0=12m/s

a<0 incognita

2h

vah

2a

vh

a

va

2

1

a

vv

hat2

1tvh)x(t

20

20

2

000

21101


Un blocco di massa 5,00kg è trascinato su un piano orizzontale privo di attrito da una corda che esercita una forza F di modulo 12,0N con un angolo θ di 25,0° rispetto al piano orizzontale. Qual è il modulo dell’accelerazione del blocco? L’intensità della forza F viene lentamente aumentata. Quale sarà il suo valore all’istante in cui il blocco è sollevato completamente dal suolo? Quale sarà il modulo dell’accelerazione del blocco in quell’istante?

F

θ

P

N

x

y

Secondo principio della dinamica: amNPF

Scomponendo lungo gli assi cartesiani: 0mgθ FsinN

maθ Fcos

accelerazione: 22,18m/sm

θ cos Fa

Supponendo F variabile, il blocco si distacca dal pavimento nell’istante in cui questo cessa di esercitare una reazione (N=0):

Dalla seconda equazione del moto: θ sin FmgN

116Nθ sin

mgF0N 221,0m/s

tgθ

g

m

θ cos Fa

Imponendo la condizione N=0:


Tre blocchi, collegati tra loro come in figura, sono spinti verso destra su un piano orizzontale privo di attrito da una forza T3=65,0N. Se m1=12,0kg, m2=24,0kg e m3=31,0kg, calcolare l’accelerazione del sistema, la tensione T1 e la tensione T2.

m1 m2 m3T1 T2 T3

x

Scriviamo la seconda legge di Newton per i 3 blocchi, studiando le sole componenti delle forze lungo l’asse x:

amT

amTT

amTT

11

212

323

(N.B.: poichè le funi sono inestensibili, l’accelerazione è la stessa per i 3 blocchi)

Sommando membro a membro le 3 equazioni:

2

123

31233 0,970m/s

mmm

Ta)amm(mT

Sostituendo il valore di a si ricavano T1 e T2:

34,9Nmmm

)Tm(mT

11,6Nmmm

TmT

123

3122

123

311


Una scimmia di massa 10kg si arrampica su una fune priva di massa che può scorrere, senza attrito, su un ramo d’albero ed è fissata ad un contrappeso di massa 15kg, appoggiato al suolo. Qual è il minimo valore del modulo dell’accelerazione che deve avere la scimmia per sollevare dal suolo il contrappeso? Se, dopo aver sollevato il contrappeso, la scimmia smette di arrampicarsi e rimane appesa alla fune, quali sono il modulo e la direzione della sua accelerazione? E qual è la tensione della fune?

T

T

mg

Mg

N

x

Per studiare il moto della scimmia che si arrampica applichiamo la seconda legge di Newton:

mamgT

La cassa si trova in quiete, quindi applichiamo la prima legge di Newton:

0NMgT

Affinchè la cassa si sollevi, deve annullarsi la reazione normale:

a)m(gT

T-MgN

24,9m/sgm

m-Ma0a)m(g-Mg0N

Quando la scimmia cessa di arrampicarsi, e la cassa si è sollevata, si ha una situazione analoga a quella del dispositivo di Atwood.

CS

C

S

aa

MaMgT

mamgT

118NmM

2MmgT

1,96m/sgMm

Mma

1,96m/sgMm

Mma

2C

2S

T

T

mg

Mg

N

x


Un blocco di massa m1=3,70kg, su un piano privo di attrito, inclinato di un angolo θ=30,0°, è collegato da una corda che passa sopra una puleggia priva di massa e di attrito, a un altro blocco, sospeso in verticale, di massa m2=2,30kg. Quali sono le accelerazioni di ciascun blocco e la tensione nella corda?

θ

T

P2

T

P1

N

xy

xθ

Corpo m2: 222 amTP

222 amTgm

Corpo m1: 111 amNTP

0gcosθmN

amgsinθmT

11

111

L’accelerazione dei due corpi è la stessa: a1=a2=a

a)(gmT 2 Dalla prima equazione si ricava T:

Sostituendo nella seconda:

2

21

12

112

0,735m/smm

sinθmmga

amgsinθma)(gm

La tensione è quindi: 20,8Na)(gmT 2


Immaginiamo un modulo di atterraggio che si stia avvicinando alla superficie di Callisto, una delle lune di Giove. Se la spinta verso l’alto del motore è di 3260N, il veicolo scende a velocità costante; se invece è di soli 2200N, accelera verso il basso con modulo di 0,39m/s2. Qual è il peso del modulo di atterraggio in prossimità della superficie di Callisto? Qual è la sua massa? Quanto vale l’accelerazione di gravità vicino alla superficie di Callisto?

P

F1

P

F2

velocità costante

accelerazione verso il basso

Se la navicella scende con velocità costante:

3260NFP0FP 11

Se la navicella accelera verso la superficie della Luna:

2720kga

FPmmaFP 2

2

Accelerazione di gravità su Callisto:

2C 1,20m/s

m

Pg


Un operaio spinge orizzontalmente una cassa di 35kg con una forza di 110N. Il coefficiente di attrito statico tra cassa e terreno vale 0,37. Qual è, in questa situazione, la massima intensità fas,max della forza di attrito statico? La cassa si

sposterà? Qual è la forza di attrito esercitata dal suolo sulla cassa? Supponiamo ora che un operaio venga in suo aiuto tirando la cassa verticalmente verso l’alto. Qual è la minima forza di alleggerimento necessaria perchè la spinta di 110N del primo operaio sia sufficiente a far spostare la cassa? Se, invece, il secondo operaio interviene tirando anche lui orizzontalmente, qual è la minima forza di trazione che consentirà lo spostamento della cassa?

F

P

N

fas

0fPNF as

x

y

0fF

0mgN

as

Reazione normale: mgN

Massima forza di attrito statico: 127NmgμNμf ssas,max

Poichè F<fas,max la cassa non si muove.

110NFfas

Supponiamo ora che il secondo operaio tiri la cassa verso l’alto con una forza F1

F

P

N

fas

F1

x

y

0FfPNF 1as

0fF

0FmgN

as

1

Reazione normale: 1FmgN

Perchè la cassa inizi a muoversi deve essere fas=fas,max:

45,7Nμ

FmgF)F(mgμFNμFNμf

s11sssas

Supponiamo infine che il secondo operaio applichi una forza F2

orizzontale

F

P

N

fasF2

0FfPNF 2as

0FfF

0mgN

2as

x

y

Reazione normale: mgN

Perchè la cassa inizi a muoversi deve essere fas=fas,max:

16,9NFmgμFNμFFNμf s2s2sas

Una forza orizzontale F di modulo 12N spinge un blocco del peso di 5,0N contro una parete verticale. I coefficienti di attrito fra parete e blocco sono μs=0,60 e μd=0,40. All’inizio il blocco è fermo. Comincerà a muoversi? Quale sarà, espressa mediante versori, la forza esercitata dal blocco sulla parete?


x

y

F

P

N

fa

Nella direzione x il blocco è in equilibrio:FN0NF

L’attrito è statico o dinamico?

7,2NFμNμf ssas,max

Essendo P<fas,max, l’attrito è statico!

Anche in direzione y c’è equilibrio: Pfas

Forza esercitata dalla parete sul blocco:

j5,0N)i-12N)fNR asˆ(ˆ(


I blocchi A e B della figura pesano rispettivamente 44N e 22N. Trovate il peso del blocco C da collocare su A per impedirne lo slittamento, sapendo che fra A e il piano d’appoggio μs=0,20. Togliamo bruscamente il blocco C: quale sarà l’accelerazione di A per μd=0,15?

A

C

B

T

PB

T

PA+PC

N

fasx

y

x

Blocco B: 0TPB

BB PT0TP

Blocchi A+C: 0fNTPP asCA

Tf

PPN

0fT

0PPN

as

CA

as

CA

66NPμ

PP

)P(PμPNμf

As

BC

CAsBsas

A+C restano fermi finchè fas≤fas,max:

A

B

T

PA

N

fad

T

PB

x

x

ySupponiamo ora di togliere il blocco C

Blocco B: BBB amTP

Blocco A: AAadA amfNTP

Scomponendo lungo gli assi:

AA

AAad

BBB

PN0PN

amfT

amTP

Ricordando che fad=μdN, mA=PA/g, mB=PB/g e ponendo a=aA=aB:

ag

PPμT

ag

PTP

AAd

BB

2

AB

AdB

ABAdB

2,3m/sPP

PμPga

)P(Pg

aPμP


Un giovane di massa 80kg, seduto su una poltroncina di una ruota panoramica, ruota lungo una circonferenza di raggio 10m con asse orizzontale con velocità di modulo costante 6,1m/s. Che periodo ha il moto? Che intensità ha la forza normale che il seggiolino applica al giovane quando questi si trova nel punto più alto della traiettoria e nel punto più basso?

Periodo: 10,3sv

R 2T

R

Nel punto più alto:

mg

N

486NR

vgmN

R

mvNmg

22

mg

N Nel punto più basso:

1080NR

vgmN

R

mvmgN

22


La figura mostra un disco di massa m=1,50kg che percorre una circonferenza di raggio r=20,0cm sul piano privo di attrito di un tavolo e sostiene una massa M=2,50kg appesa a un filo che passa attraverso un foro al centro del cerchio. Trovate a quale velocità deve muoversi m per trattenere M.

Mg

T

T

Equilibrio di M: MgT0TMg

Moto di m:R

mvT

2

Si può quindi ricavare la velocità:

1,81m/sm

MgRv

R

mvMg

2


Un bambino mette il cestino della merenda sul bordo esterno di una giostra di raggio 4,6m che compie un giro ogni 30s. Qual è la velocità di un punto su un bordo della giostra? Quanto deve essere il minimo coefficiente di attrito statico fra la giostra e il cestino perchè questo rimanga al suo posto?

R

0,96m/sT

R 2v

v

R 2T

Velocità dei punti della giostra:

La forza centripeta che mantiene il cestino in rotazione con la giostra è l’attrito statico:

fas

0,020/gRvμ

mgμR

mvNμ

R

mvf

2s

s

2

s

2

as

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