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Una prospettiva logica

sull’interazione razionale

Hykel Hosni

Centro di Ricerca Matematica E. de Giorgi, Scuola Normale Superiore, Pisahttp://homepage.sns.it/hosni/

12 giugno 2009

Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 1 / 36

Logica e interazione razionale

1 Problemi di interazione razionale

2 La prospettiva

3 Decisione individuale

4 Scelta collettiva

5 L’orizzonte logico della razionalita

6 Letture


Decisione individuale

No, no... allora non vengo. Che dici vengo? Mi si nota di piu sevengo e me ne sto in disparte o se non vengo per niente?


Decisione sociale

qual e una buona soluzione al problema dello sbarco dei migranti?


Negoziazione

come si risolve una questione sindacale?


Tripartizione (accademica)

Teoria della decisione comportamento razionale individuale

Teoria della scelta sociale meccanismi razionali diaggregazione

Teoria dei giochi concetti risolutivi in situazioni strategiche(cooperative o di conflitto)

Tratto comuneModelli normativi del comportamento degli agenti: si cerca di capirecosa dovrebbero fare gli agenti per comportarsi in modo razionale


Agenti

Gerarchia

agente individuale

agenti collettivi (societa, gruppi eccetera)

individui che interagiscono in situazioni strategiche

Modularita

agenti collettivi intesi come individui

individui intesi come gruppi di agenti

FattoL’accuratezza predittiva dei modelli normativi di razionalita decrescequanto piu ci avviciniamo all’agente individuale


Ipotesi di razionalita

gli agenti dispongono di informazioni sullo stato del mondo esono motivati dal raggiungimento di determinati scopi

gli agenti decidono sulla base del proprio stato di informazionee delle proprie motivazioni

L’ipotesiGli agenti razionali scelgono in modo da massimizzare il propriointeresse personale


Ipotesi di socialita

La teoria delle decisioni andrebbe applicata soprattutto allaricerca di un optimum per la collettivita, e solo poi, in viasubordinata, all’analoga ricerca a livello settoriale oregionale o addirittura aziendale o familiare o individuale

Sidovrebbe pensare, avanti a tutto, alla preservazione dellavita della biosfera, e quindi all’uomo col compito della suaregolazione, se sapra raccogliere il messaggio di rarichiaroveggenti come Peccei, Huxley, Salk [. . .] Soltanto inquesta prospettiva puo esserci speranza per il futuro. (deFinetti 1977)



La teoria delle decisioni andrebbe applicata soprattutto allaricerca di un optimum per la collettivita, e solo poi, in viasubordinata, all’analoga ricerca a livello settoriale oregionale o addirittura aziendale o familiare o individualeSidovrebbe pensare, avanti a tutto, alla preservazione dellavita della biosfera, e quindi all’uomo col compito della suaregolazione, se sapra raccogliere il messaggio di rarichiaroveggenti come Peccei, Huxley, Salk [. . .]

Soltanto inquesta prospettiva puo esserci speranza per il futuro. (deFinetti 1977)



La teoria delle decisioni andrebbe applicata soprattutto allaricerca di un optimum per la collettivita, e solo poi, in viasubordinata, all’analoga ricerca a livello settoriale oregionale o addirittura aziendale o familiare o individualeSidovrebbe pensare, avanti a tutto, alla preservazione dellavita della biosfera, e quindi all’uomo col compito della suaregolazione, se sapra raccogliere il messaggio di rarichiaroveggenti come Peccei, Huxley, Salk [. . .] Soltanto inquesta prospettiva puo esserci speranza per il futuro. (deFinetti 1977)




2 La prospettiva


4 Scelta collettiva


6 Letture


Coerenza

Non si valutano convinzioni e preferenze (e intenzioni ecc.) sulla basedel loro contenuto, ma ne studiamo le condizioni di coerenza

My own view is that nothing is to be gained in the long runby inventing versions of rationality that allow theirproponents to label brands of ethics or metaphysics otherthan their own as irrational [. . .] I prefer to emulate thelogicians in seeking to take rationality out of the firing lineby only adopting uncontroversial rationality principles [. . .]There is a reward for following the straight and narrow pathof rectitude. By so doing, we will be able to avoid gettingentangled in numerous thorny paradoxes that lie in wait onevery side. (Binmore 2009)


Incoerenza nelle convinzioni

Definiamo P(A) = p il prezzo che un agente i e disposto a pagareper giocare una scommessa che gli da un guadagno netto di

1− p se A e vero

−p se A e falso

Dutch BookSupponiamo che i scommetta .51 su A e .51 su ¬A. Qualunque cosasucceda incorrera in una perdita netta di .2 (paghera 1.02 perricevere 1).


Incoerenza nelle preferenze sociali

Supponiamo che gli individui {1, 2, 3} abbiano i seguenti profili sullealternative sociali {f , d , v}

f ≺1 d ≺1 v (1)

d ≺2 v ≺2 f (2)

v ≺3 f ≺3 d (3)

Paradosso di CondorcetL’aggregazione a maggioranza semplice e incoerente:

f ≺ d , d ≺ v e v ≺ f




2 La prospettiva


4 Scelta collettiva


6 Letture


Problemi di decisione

Una situazione di decisione, e una n-upla 〈S, E, A, F,≤〉, dove:

S e un insieme non vuoto di stati del mondo s1, s2, . . . ;

E e l’insieme degli eventi E1, E2, . . . (sottoinsiemi non vuoti diS);

F e l’insieme degli esiti f , g , h, . . . ;

A e l’insieme delle scelte α1, α2, α3, . . . che associano uno statoa un esito:

A = {α | α : S −→ F} ;

≤ e una relazione di preferenza individuale sulle scelte (lettacome “non e preferito a”).


Come si misura l’interesse individuale?

Due caratterizzazioni operative:

si associa a ogni esito di un problema di decisione un valorenumerico: teoria matematica dell’utilita

si deduce la preferenza di un agente dal suo comportamentomanifesto: razionalizzazione della funzione di scelta

L’analisi economica della scelta razionale inizia conl’assiomatizzazione di von Neumann del concetto di preferenzarazionale (o coerente):

Se le preferenze di un agente sono coerenti (complete, transitive earchimedee) allora esiste una funzione a valori reali u (unica a menodi trasformazioni lineari) tale che un agente preferisce l’esito e ′ a e see solo se u(e) ≤ u(e ′).


Tipi di decisione

Il tipo di informazione disponibile all’agente determina tre categoriedi problemi di decisione:

certezza: l’agente conosce (perfettamente!) tutti gli esiti delleproprie scelte

rischio: l’agente conosce la distribuzione di probabilita con cuisi danno gli esiti delle proprie scelte

incertezza: gli esiti delle scelte dell’agente sono completamentealeatori (nessuna informazione a priori sulle distribuzioni)


Decisioni in condizioni di incertezza

Leonard Savage

(20 November 1917 1 November 1971)


Teorema di rappresentazione (Savage 1954)

Convinzione e preferenze possono essere assiomatizzate in modo taleda garantire l’esistenza di una funzione di probabilita w definita suglieventi E e una funzione a valori reali u definita sugli esiti F tali chese

(i) Ei , i = 1, . . . , n e una partizione di S e α e una scelta con esitofi su Ei e

(ii) E ′i , i = 1, . . . , m e un’altra partizione di S e α′ e una scelta con

esito f ′i su E ′i ,

allora, α ≤ α′ se e solo se

n∑i=1

u(fi)w(Ei) ≤m∑

i=1

u(f ′i )w(E ′i ).

Inoltre la funzione u e unica a meno di trasformazioni lineari positive.


Razionalita individuale

I postulati di Savage (“logic-like criteri[a] of consistency in decisionsituations”) determinano univocamente

una funzione di probabilita

una classe di equivalenza di funzioni di utilita

attraverso cui e possibile formalizzare regola di decisione razionalecome

Massimizzazione della speranza matematicaUn agente e razionale se le sue preferenze su esiti incerti sonoconsistenti (nel senso degli assiomi di Savage) e si comporta come semassimizzasse la propria utilita prevista.




2 La prospettiva


4 Scelta collettiva


6 Letture


Come si misura il bene collettivo?

Due interpretazioni1 modelli di aggregazione delle preferenze

I come possiamo aggregare preferenze individualmente razionalinella preferenza (razionale!) della collettivita? (Il vincolo,ovviamente, e che la preferenza collettiva dipenda da quelleindividuali)

2 modelli di funzioni di sceltaI quali sono i vincoli razionali che devono essere soddisfatti da

una qualsiasi funzione di scelta definita su alternative sociali?


Aggregazione

Kenneth Arrow

(New York City 1921 - )Premio nobel per l’economia 1972


Assunzioni

gli individui hanno un profilo di preferenze consistente (completoe transitivo)

tipicamente individui distinti hanno profili di preferenza distinti

ProblemaDefinire funzione di bene sociale che mappi i profili individuali in unprofilo interpretato come la preferenza della collettivita

IdeaL’enfasi e sulla caratterizzazione condizionale della scelta razionale:posto che gli individui siano razionali, quale meccanismo diaggregazione delle preferenze produce un esito razionale nel senso dirispondere a criteri di giustizia, democrazia e uguaglianza?


Scelta sociale binaria

Desiderata per i metodi di aggregazione delle preferenze di unnumero finito di agenti per un’agenda binaria:

Monotonia

Anonimicita

Neutralita

Theorem (May 1952)

Se Y e un’agenda binaria e il numero di votanti N e disapri, l’unicomeccanismo di aggregazione che soddisfa monotonia, anonimicita eneutralia e il voto a maggioranza semplice.


Scelta arroviana (non binaria)

Desiderata:

Dominio universale (U)I nessuna preferenza e esclusa a priori

Optimum Paretiano (P)I se x ≺i y ∀i ∈ N allora x ≺ y

Indipendenza dalle alternative irrilevantiI Dati due profili individuali, se questi coincidono su ogni coppia

di alternative (x , y) ∈ X , allora la preferenza collettiva tra x e ydeve essere la stessa

DittatorialitaI ∃i ∈ N tale che se x ≺i y allora x ≺ y


Teorema di impossibilita

Arrow 1951Dato un numero finito di individui e almeno tre alternative sociali(distinte), se una funzione di preferenza collettiva soddisfa U, P e I,allora e dittatoriale.

Un risultato strettamente correlato e:

Gibbard-Satterthwaite 1974Per un numero finito di individui e almeno tre alternative sociali, seun meccanismo di aggregazione e a prova di voto strategico allora edittatoriale.


Funzioni di scelta sociale

Amartya Sen

(Santiniketan 1933 - )Premio Nobel per l’economia 1998


Idea

Non e necessario assumere un ordinamento “razionale” (transitivo ecompleto) delle preferenze per formulare il problema della sceltasociale.

ExampleSupponiamo che K = {x , y , z} sia un insieme di alternative sociali ex � y , y � z , z ≈ x . L’insieme degli massimi R(K ) di K e semprenon vuoto

R({x , y}) = {x}R({y , z}) = {z}R({z , x}) = {z , x}R({x , y , z}) = {x}

ma l’ordinamento non e transitivo.


Funzioni di scelta sociale

Gli ingredienti del modello sono:

X un sottoinsieme di un dato insieme universale U

una funzione di scelta R tale che ∅ 6= R(X ) ⊆ X

R(X ) ( detto l’insieme scelto) contiene quegli elementi di X chel’agente ha ragione di preferire a ogni altro elemento di X .

Una funzione di scelta R e razionalizzabile da una relazione di(pre-)ordine ≺ se l’insieme scelto R(X ) seleziona gli elementi≺-massimali di X :

R(X ) = max�

(X ) = {x ∈ X | 6 ∃y ∈ X , y ≺ x}

Lemma (Esistenza dell’insieme scelto)

Se � e riflessivo e completo allora R(X ,�) e definito per un X finitose e solo se � non contiene cicli.


Consistenza delle funzioni di scelta

Possiamo caratterizzare la razionalita delle funzioni di scelta socialeanalizzando le proprieta desiderabili per la funzione R :

Contrazione - Proprieta α

se X1 ⊆ X2, allora X1 ∩ R(X2) ⊆ R(X1)

Espansione - Proprieta γ

R(X1) ∩ R(X2) ⊆ R(X1 ∪ X2)

Sen 1971,1979Una funzione di scelta R e razionalizzabile da un preordine se e solose R soddisfa α and γ




2 La prospettiva


4 Scelta collettiva


6 Letture


Razionalita e logica

1 Correlazione intrinsecaI coerenza/consistenza

2 Correlazione indirettaI formalizzazione logica dei concetti chiave dell’interazione

razionaleF es: formalizzazioni modali dei giochi

I tecniche e strumenti per la logica basate sui giochiF es: gioco di Ehrenfeucht - Fraısse


Razionalita e inferenza

Rationality [...] is a process of logical inference [...]. Itproceeds from knowledge of a problem to knowledge of ananswer to it (in the sense of a method of handling it). Itraises questions such as what is meant by “knowing”something and in what sense can we infer or otherwiseproceed form knowing some propositions to knowing others.(Arrow 2004)




2 La prospettiva


4 Scelta collettiva


6 Letture


Savage, Leonard, The Foundations of Statistics. New York:Wiley 1954.

de Finetti, Bruno Decisione, Enciclopedia Einaudi (1977).

Binmore, Ken, Rational Decisions, Princeton University Press,Princeton (2009).

Arrow, Kenneth J., Social Choice and Individual Values. Wiley,New York. 2nd ed. (1963)

Sen, Amartya, Collective Choice and Social Welfare, Holden-Day,(1970)

Gaertner, Wulf, A Primer in Social Choice Theory, OxfordUniversity Press, (2006)

Aumann, R. J., and S.Hart, eds. Handbook of Game Theorywith Economic Applications. North-Holland, (1992 - 2002.)


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