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Fisica 2

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15 dicembre 2017

Indice

1 Teoria - Moruzzi 51.1 18 settembre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Informazioni utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Legge di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 19 settembre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Angolo solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Eserciziucci su Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 22 settembre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Forma locale della legge di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 25 settembre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1 Potenziale di un filo carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Gradiente in altre coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.3 Dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 29 settembre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.1 Operatori differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.2 Terza equazione di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.3 Conduttori all’equilibrio elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 2 ottobre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.1 Condensatori comuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.2 Energia elettrostatica e densita di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.3 Equazione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.4 Cariche immagine per un piano conduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 9 ottobre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7.1 Pressione elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7.2 Cariche immagini per la sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7.3 Sviluppo in multipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8 13 ottobre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.8.1 Energia di un condensatore, dielettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9 16 ottobre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.9.1 Polarizzazione di un atomo e di una molecola . . . . . . . . . . . . . . . . 221.9.2 Polarizzazione macroscopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.10 20 ottobre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.10.1 Sfera uniformemente polarizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.10.2 Suscettivita dielettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.10.3 Leggi dell’elettrostatica in un dielettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3

4 INDICE

1.10.4 Superfici di separazione tra dielettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.10.5 Energia di un dielettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.10.6 Sfera immersa in un dielettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.10.7 Cariche immagine per un semispazio dielettrico . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.11 23 ottobre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.11.1 Dielettrico in un condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.11.2 Conduzione elettrica, modello di Drude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.11.3 Equazione di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.11.4 Leggi di Kirkhoff (o come diavolo si scrive) . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.11.5 Legge di Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.11.6 Effetto Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.11.7 Carica e scarica di un condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.12 27 ottobre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.12.1 Forza di Lorentz e moto di una carica in campo magnetico . . . . . . . . 321.12.2 Selettore di velocita, spettrografo di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.12.3 Filo percorso da corrente immerso in campo magnetico . . . . . . . . . . . 32

1.13 30 ottobre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.13.1 Legge di Biot-Savart, potenziale vettore e terza equazione di Maxwell . . 331.13.2 Energia meccanica di una spira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.14 3 novembre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.14.1 Campo magnetico di un solenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.14.2 Potenziale magnetico, teorema di Ampere e quarta equazione di Maxwell 35

1.15 6 novembre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.15.1 Potenziale e campo di una spira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.15.2 Trasformazioni di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.15.3 Interazione tra circuiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.15.4 Effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.16 10 novembre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.16.1 Magnetismo nella materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.16.2 Equazioni di Maxwell per il magnetismo nella materia . . . . . . . . . . . 401.16.3 Condizioni di raccordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.17 13 novembre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.17.1 Interpretazione microscopica della magnetizzazione . . . . . . . . . . . . . 401.17.2 Introduzione all’elettrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.18 17 novembre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.18.1 Legge di Faraday e equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.19 4 dicembre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.19.1 Induttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.19.2 Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.19.3 Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.19.4 Mutua induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.20 15 dicembre 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.20.1 Energia del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.20.2 Cilindro paramagnetico in un solenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Capitolo 1

Teoria - Moruzzi

1.1 18 settembre 2017

1.1.1 Informazioni utili

• Libri: Feynman Lectures (Pegoraro), Mencuccini-Silvestrini (Cavasinni)

• [email protected], www.df.unipi.it/∼moruzzi

• Usiamo l’MKS, probabilmente La Rocca utilizzera il CGS.

• Ci saranno tre compitini, di cui uno nel primo semestre.

1.1.2 Introduzione

Il tizio ha parlato un po’ a caso di elettromagnetismo, ha parlato di isolanti, conduttori di prima(gli elettroni periferici possono spostarsi nel reticolo) e seconda specie (ci sono portatori di caricapositiva e negativa, e.g. l’acqua del mare).

1.1.3 Legge di Coulomb

Due cariche puntiformi q1 e q2 a distanza r12 interagiscono con una forza data da:

f2 = kq1q2

r212

~f2 = kq1q2

r312

~r12

Le due forze, oltre a essere opposte, sono anche collineari (per ovvi motivi di momento angolare).In CGS, k = 1 e quindi l’unita di carica (il franklin) e la carica tale che alla distanza di 1 cmesercita una forza di 1 dyn. In MKS, k = 1

4πε0, con ε0 = 8.854 · 10−12C2/(N·m2). A questo

punto 1 C e tautologicamente la carica che posta a 1 m di distanza produce una forza di 9 · 107

N.Se ho un sistema di cariche puntiformi uso la relazione precedente sommando le varie forze:

~f =Q

4πε0

∑i

qir2iQ

riQ

Definisco il campo elettrico come

~E =~f

Q

5

6 CAPITOLO 1. TEORIA - MORUZZI

Che definisce una proprieta del punto, indipendente da Q.

Per un corpo esteso si definiscono alcune proprieta

• la densita di carica volumica ρ,

• la densita di carica superficiale σ,

• la densita di carica lineare λ.

1.1.4 Esercizi preliminari

Supponiamo di avere un anello di raggio r, spessore trascurabile e uniformemente carico conuna densita lineare di carica λ. Vogliamo calcolare il campo elettrico sull’asse dell’anello auna distanza z dal centro. Una porzione infinitesima dell’anello di lungheza dl ha una caricadq = λdl, quindi il campo generato e

dE =1

4πε0

λdl

r2 + z2

La porzione diametralmente opposta annulla la componente radiale di E e rimane solo lacomponente assiale, quindi

dEz =λdl

4πε0

z

(r2 + z2)3/2

Di conseguenza

Ez(z) =λrz

2ε0 (r2 + z2)3/2=

Qz

4πε0 (r2 + z2)3/2

Supponiamo ora di avere un disco di raggio R e densita superficiale σ e di voler calcolare il campoelettrico lungo l’asse del disco. Posso dividere quest’ultimo in anelli di carica dQ = 2πrσdr.Allora

Ez(z) =

∫ R

0

2πσrzdr

4πε0 (r2 + z2)3/2=

σ

2ε0

∫ β

0sinαdα = σ

1− cosβ

2ε0

Dove si e posto r = z tanα, tanβ = R/z. Inoltre, se R → ∞ si ha β → π/2, quindi il campogenerato da un piano con carica σ e

E =σ

2ε0


Moruzzi ha dato la definizione di campo vettoriale e di flusso, che sono banali.

1.2.1 Angolo solido

Consideriamo un punto P nello spazio e una curva chiusa γ, possibilmente non contenuta inun piano. Se Q e un punto del sostegno di γ, consideriamo la porzione di spazio tra tutte lesemirette di estremi P e Q, al variare di Q sul sostegno di γ. Tale regione di spazio e dettaangolo solido, e si misura tramite una superficie sferica di raggio r e centrata in P . Se A e l’areadella superficie della porzione di sfera tra le semirette uscenti da P , si pone

Ω =A

r2

1.2. 19 SETTEMBRE 2017 7

Tale definizione non dipende da r, inoltre tutto lo spazio individua un angolo solido di 4π.Inoltre, se d~S e una superficie infinitesima si ha

dΩ =r · d~Sr2

Dove ~r e il vettore con coda in P e punta nel centro di d~S.

1.2.2 Teorema di Gauss

Consideriamo una carica puntiforme q e una qualunque superficie chiusa Σ tale che q sia al suointerno. Si ha

φ( ~E) =

∮Σ

~E · d~S =q

4πε0

∮Σ

r · d~Sr2

=q

4πε0

∮Σ

dΩ =q

ε0

Se invece q e all’esterno di Σ, il flusso e nullo per ovvi motivi. Se ho una collezione di cariche oun corpo esteso, si ha

ε0

∮Σ

~E · d~S = Qint

1.2.3 Eserciziucci su Gauss

1. Consideriamo una sfera di raggio R carica uniformemente con densita volumica ρ. Cal-colare ~E in tutti i punti dello spazio.

Fissiamo l’origine nel centro della sfera, e sia Q = 43πρR

3 la carica totale della sfera. Per

ovvi motivi di simmetria si deve avere ~E(~r) = E(r)r. Usando Gauss si ha allora

~E(~r) =

Q

4πε0r2se r ≥ R

ρ~r3ε0

se r < R

2. Ripetere nel caso di una sfera carica solo sulla superficie.

Il campo all’esterno e lo stesso del caso precedente, all’interno e nullo.

3. Ripetere nel caso di un piano uniformemente carico.

Per simmetria il campo deve essere ortogonale al piano e indipendente dalla quota. UsandoGauss (e fissando un cilindro ortogonale al piano) si ottiene

E =σ

2ε0

che per fortuna e il risultato della lezione precedente.

4. Ripetere nel caso di un filo rettilineo infinito uniformemente carico.

Il campo deve essere radiale e indipendente dalla quota. Fissando un cilindro coassialecon il filo si ottiene

~E(~r) =λ

2πε0rr



Teorema 1.3.1 (della divergenza). Consideriamo un campo vettoriale ~v su R3 di classe C1,allora se S e una superficie chiusa e orientabile che delimita un volume V si ha∮

S~v · d~S =

∫V

~∇ · ~vd3x

Dimostrazione. Faremo una dimostrazione a la Gigi. Consideriamo un cubetto di centro (x, y, z)e lati dx, dy,dz. Allora il flusso attraverso la superficie di tale cubetto e, al primo ordine:

~∇ · ~v(x, y, z)dxdydz

Se integro su V , i contributi delle facce interne si elidono e rimangono solo i contributi dellefacce su S, da cui si ha la tesi.

1.3.1 Forma locale della legge di Gauss

Riprendiamo la legge di Gauss ∮S

~E · d~S =qint

ε0

e sia V il volume il cui bordo e S. Allora si ha

qint =

∫Vρ(x)d3x

Usando il teorema della divergenza, si ha

~∇ · ~E =ρ

ε0

Ossia la prima equazione di Maxwell (anche se a quanto pare Pegoraro odia una qualunqueenumerazione delle equazioni di Maxwell).

1.3.2 Potenziale

Consideriamo una carica puntiforme q nell’origine e una carica Q. Allora il lavoro necessarioper spostare Q dalla posizione ~rA alla posizione ~rB e

L =

∫ ~rB

~rA

Q~E · d~l =Qq

4πε0

∫ ~rB

~rA

r · d~lr2

=Qq

4πε0

(1

rA− 1

rB

)Ne segue che la forza elettrostatica e conservativa, e in particolare esiste un’energia potenzialeU tale che

~F = −~∇U

Definiamo il potenziale V come U/Q. Chiaramente vale

~E = −~∇V

Inoltre, per una carica puntiforme q nell’origine si ha

V (~r) =q

4πε0|~r|

1.4. 25 SETTEMBRE 2017 9

Se invece abbiamo una collezione di cariche puntiformi, il potenziale e

V (~r) =1

4πε0

n∑i=1

qi|~r − ~ri|

Ovviamente l’espressione precedente e definita ovunque, tranne nei punti in cui si trovano lecariche. Per una distribuzione continua di carica si ha invece

V (~x) =1

4πε0

∫ρ(x′)d3x′

|~x− ~x′|

Per cariche puntiformi, puo essere utile definire la delta di Dirac, che non e una funzione (arigore e un funzionale lineare continuo sullo spazio delle funzioni di test), e che ha le seguentiproprieta:

• δ(x) = 0 per ogni x 6= 0

•∫ ba δ(x)dx = 1 per ogni a < 0 < b

Definiamo la delta di Dirac in tre dimensioni come δ(~r) = δ(x)δ(y)δ(z) (con ~r = xx+ yy + zz).Allora per una carica puntiforme in ~r0 il potenziale puo essere scritto come

V (~r) =1

4πε0

∫δ(~r′ − ~r0)

|~r − ~r′|dx′dy′dz′

La generalizzazione a piu cariche puntiformi e ovvia.


1.4.1 Potenziale di un filo carico

Consideriamo un filo uniformemente carico posto sull’asse z, e sia λ la densita lineare di carica.Allora, in punto sul piano xy a distanza r dal filo, il contributo al potenziale dovuto al trattodi filo compreso tra z e z + dz e

dV =λ

4πε0

dz√z2 + r2

Di conseguenza, si avra

V (r) =λ

4πε0

∫ +∞

−∞

dz√r2 + z2

=λ

2πε0

∫ ∞0

dz√r2 + z2

L’ultimo integrale diverge, dato che la funzione integranda e asintotica a z−1 quando z → ∞.Per ovviare a questo problema, ci possiamo limitare a considerare solamente le differenze dipotenziale (oppure risolviamo ~E = −~∇V come Dio comanda e evitiamo queste porcate). Presor0 come potenziale di riferimento si ha

V (r) = − λ

2πε0ln r +

λ

2πε0ln r0


1.4.2 Gradiente in altre coordinate

Consideriamo una funzione scalare V . Allora il suo gradiente in ~x e tale che(~∇V (~x)

)· d~x = dV

In particolare, se fissiamo delle coordinate cartesiane otteniamo l’espressione usuale del gradien-te. In coordinate cilindriche e sferiche si ha rispettivamente

~∇V =∂V

∂rr +

1

r

∂V

∂θθ +

∂V

∂zz

~∇V =∂V

∂rr +

1

r

∂V

∂θθ +

1

r sin θ

∂V

∂φφ

1.4.3 Dipolo elettrico

Consideriamo due cariche q e −q mantenute a distanza h l’una dall’altra. Fissiamo l’origine delsistema di riferimento nel punto medio del segmento congiungente le due cariche, con l’asse zcontenente q e −q, e sia ~h il vettore con coda in −q e punta in q. Vogliamo calcolare il potenzialein un punto P di posizione ~r, nell’ipotesi che r h. Se r+ e r− sono rispettivamente le distanzedi q e −q da P , si ha

V (r) =q

4πε0

(1

r+− 1

r−

)=

q

4πε0

r− − r+

r−r+

Grazie all’ipotesi su r e h si har+r− ≈ r2

r− − r+ ≈ h cos θ

dove θ e l’angolo tra ~r e ~h. Allora, definendo il momento di dipolo ~p = q~h, si ottiene

V (r) ≈ ~p · r4πε0r2

D’ora in poi, se non e specificato altrimenti, assumeremo che h sia sempre molto piu piccoladelle altre lunghezze considerate e tratteremo la relazione precedente come esatta.

Il campo elettrico ~E generato dal dipolo si ottiene facendo il gradiente dell’espressioneprecedente. Ad esempio, in cartesiane si ha

Ex =3pxz

4πε0 (x2 + y2 + z2)5/2

Ey =3pyz

4πε0 (x2 + y2 + z2)5/2

Ez =p

4πε0

2z2 − (x2 + y2)

(x2 + y2 + z2)5/2

Mentre in sferiche

Er =p cos θ

2πε0r3

Eθ =p sin θ

4πε0r3

Eφ = 0

1.5. 29 SETTEMBRE 2017 11

In forma vettoriale, si ha

~E =1

4πε0

[3 (~p · ~r)~r

r5− ~p

r3

]=

3 (~p · ~r)~r − r2~p

4πε0r5

Consideriamo ora un dipolo elettrico immerso in un campo elettrico esterno ~E, e supponiamoche questo sia uniforme. Allora la forza agente sul dipolo e nulla. Il momento torcente calcolatorispetto a −q e invece

τ = qEh sin θ = |~p× ~E|dove θ e l’angolo tra ~E e ~p, preso ruotando in verso orario a partire da ~E (che convenzione delcazzo). In forma vettoriale si ha quindi

~τ = −~p× ~E

Sia V il potenziale tale che ~E = −~∇V . Se −q si trova in ~r, l’energia del dipolo e

U = −qV (~r) + qV (~r + ~h) = q~∇V (~r) · ~h = −~p · ~E

Di conseguenza, la forza agente sul dipolo e

~F = −~∇U =(~∇ · ~E

)~p+

(~∇ · ~p

)~E

Dato che si mostra banalmente che la regola di Leibniz vale anche per i prodotti scalari. Comenotato prima, se ~E e uniforme (e il dipolo e fermo), tale forza e nulla.


1.5.1 Operatori differenziali

Siano ~E, V due campi, rispettivamente vettoriale e scalare. In coordinate cartesiane, possiamodefinire i tre operatori

~∇ · ~E =∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

~∇V =

(∂V

∂x,∂V

∂y,∂V

∂z

)~∇× ~E =

(∂Ez∂y− ∂Ey

∂z,∂Ex∂z− ∂Ez

∂x,∂Ey∂x− ∂Ex

∂y

)Teorema 1.5.1 (di Stokes). Consideriamo un campo vettoriale ~A onesto, una superficie Σ conbordo γ. Allora si ha ∮

γ

~A · d~l =

∫Σ

~∇× ~A · d~S

Dimostrazione. Supponiamo di suddividere S in quadratini sufficientemente piccoli da poteressere considerati piani. Consideriamo ad esempio un quadratino sul piano xy. Allora lacircuitazione lungo questo quadratino e

Ax(x, y)dx+Ay(x+ dx, y)dy −Ax(x, y + dy)dx−Ay(x, y)dy =

= (Ax(x, y)−Ax(x, y + dy)) dx+ (Ay(x+ dx, y)−Ay(x, y)) dy =

=

(∂Ax∂y− ∂Ax

∂y

)dxdy =

(~∇× ~A

)z· dxdy

Chiaramente il flusso di ~∇× ~A e la somma di tutti i contributi dell’ultimo membro. Se invece duequadratini hanno un lato in comune, i due contributi alla circuitazione sono uguali e opposti,mentre quelli lungo γ vengono sommati, da cui la tesi.


1.5.2 Terza equazione di Maxwell

Dato che ~E = −~∇V , si ha

~∇× ~E = εijk∂Ek∂xj

xi = εijk∂2V

∂xj∂xkxi

Se siamo nelle solite ipotesi del teorema di Schwarz, allora si ottiene

~∇× ~E = 0

1.5.3 Conduttori all’equilibrio elettrostatico

La condizione di equilibrio impone che il campo elettrico all’interno sia nullo. Allora per lalegge di Gauss l’eventuale carica del conduttore deve essere necessariamente distribuita sullasuperficie. In particolare, se si pone il conduttore in un campo elettrico esterno, questo faramigrare le cariche sulla superficie in modo che queste generino un campo all’interno uguale eopposto. Consideriamo ora due punti A e B all’interno del conduttore e sia γ una curva consostegno interno al conduttore che li congiunge. Si ha

∆VBA =

∫ B

A

~E · d~l = 0

Ovvero tutti i punti interni si trovano allo stesso potenziale. Si ha la stessa tesi se A e interno, Be sulla superficie e γ e contenuta, tranne al piu per un estremo, nel conduttore. Questo implicache la superficie esterna del conduttore e equipotenziale, e quindi per un ben noto teoremadi analisi il campo ~E deve essere ortogonale in ogni punto alla superficie esterna. Apparequindi evidente che non e possibile realizzare una distribuzione statica di carica che produca uncampo elettrico tangente alla superficie. Supponiamo ora che in punto esterno al conduttore, inprossimita della superficie, il campo elettrico sia E0. fissiamo un cilindretto perpendicolare allasuperficie. Applicando il teorema di Gauss si trova che la densita di carica sul conduttore nelpunto considerato e

σ = E0ε0

In generale, se un conduttore ha una carica Q ci aspettiamo che il potenziale V (o meglio,la differenza di potenziale tra un qualunque punto della superficie e il punto all’infinito) siaproporzionale alla carica stessa. Definiamo quindi la capacita C di un conduttore in modo chesi abbia

V =Q

CAd esempio, per una sfera di raggio R si ha C = 4πε0R. In MKS la capacita si misura in F(Farad). In presenza di piu conduttori con cariche Q1, . . . , Qn, il potenziale Vi sulla superficiedell’i-esimo conduttore sara della forma

Vi = pijQj

con pii > pij > 0 per ogni i 6= j e pij = pji per ogni i e j. Tale matrice e detta matrice deicoefficienti di potenziale ed e invertibile, quindi detta C la sua inversa si ha

Qi = CijVj

con Cij < 0 < Cii per ogni i 6= j e Cij = Cji per ogni i e j. I coefficienti Cii sono detti coefficientidi capacita, i coefficienti Cij per i 6= j sono detti coefficienti di induzione elettrostatica.

Per un condensatore, si da la stessa definizione di capacita, intendendo con V la differenza dipotenziale tra i due conduttori. Si parla inoltre di induzione totale tra due conduttori di caricaopposta se tutte le linee di campo uscenti dal conduttore carico positivamente si chiudono nelconduttore carico negativamente (tranne al piu la linea che si chiude all’infinito).

1.6. 2 OTTOBRE 2017 13

1.6 2 ottobre 2017

1.6.1 Condensatori comuni

Condensatore sferico

Consideriamo due gusci sferici concentrici di raggi r1 e r2 (con r1 < r2). Sia Q la carica sullasfera piu piccola e −Q la carica sulla sfera piu grande. Il campo elettrico, per la legge di Gauss,deve essere radiale. Inoltre, e non nullo solo per r1 ≤ r ≤ r2. In tale regione si ha

E(r) =Q

4πε0r2

Di conseguenza la differenza di potenziale tra le due piastre e

∆V =Q

4πε0

(1

r1− 1

r2

)Da cui la capacita

C = 4πε0r1r2

r2 − r1

Se si ha d = r2 − r1 r1 (ossia il caso di sfere molto vicine) si ottiene

C ≈ 4πε0r2

d= ε0

S

d

dove S = 4πr2 e la superficie delle piastre.

Condensatore piano a facce parallele

Consideriamo due piastre di area S piane e parallele, su cui sono distribuite uniformemente lecariche Q e −Q, a distanza d

√S. Per Gauss, il campo elettrico e non nullo solo nello spazio

tra le due piastre. Inoltre, data l’ipotesi su d, possiamo assumere che il campo all’interno sia lasovrapposizione dei campi generati da due piani paralleli infiniti, ovvero

E =Q

Sε0

Di conseguenza

∆V =Qd

Sε0

C = ε0S

dRitroviamo dunque l’approssimazione delle sfere.

Condensatore cilindrico

Consideriamo due cilindri coassiali di lunghezza l e raggi r1 e r2 (con r1 < r2) su cui sono postele cariche Q e −Q. Dal teorema di Gauss, il campo elettrico e radiale e per r1 ≤ r ≤ r2 si ha

E(r) =Q

2πε0rl

Mentre e nullo altrove. Allora si ottiene

∆V =Q

2πε0llnr2

r1

C =2πε0l

ln r2/r1


1.6.2 Energia elettrostatica e densita di energia

Consideriamo una carica q1 nello spazio. L’energia spesa per portare una carica q2 dall’infinitoa distanza r12 6= 0 da q1 e

U =q1q2

4πε0r12

Se ora portiamo una terza carica q3, l’energia spesa e

U =q1q3

4πε0r13+

q2q3

4πε0r23

Generalizzando a q1, . . . , qn cariche puntiformi poste in ~r1, . . . , ~rn, e posto rij = |~ri−~rj |, si trovafacilmente

U =1

4πε0

∑i<j

qiqjrij

Che puo essere riscritta nelle forme piu simmetriche e eleganti

U =1

2

1

4πε0

∑i 6=j

qiqjrij

=1

2

∑i 6=j

qiVij =1

2

∑i

qiVi

dove Vij e il potenziale generato dalla carica qj nella posizione ~ri e Vi e il potenziale generato datutte le cariche, tranne l’i-esima, nella posizione ~ri. Per distribuzioni volumiche ρ e superficialiσ si ha

U =1

2

∫ρV d3x

U =1

2

∫σV dS

Dalla prima equazione di Maxwell sappiamo che ρ = ε0~∇ · ~E, dunque

U =1

2ε0

∫V ~∇ · Ed3x =

1

2ε0

∫ (~∇ · (V ~E)− ~∇V · ~E

)d3x =

=1

2ε0

(∮SV ~E · d~S +

∫| ~E|2d3x

)Se supponiamo che la carica sia localizzata e che S sia una sfera di raggio r, allora l’integrale disuperficie all’ultimo membro decresce come r−1, e in particolare si annulla se r →∞, dunque siottiene

U =1

2ε0

∫| ~E|2d3x

La quantita

ue =1

2ε0| ~E|2

puo essere allora interpretata come densita di energia del campo elettrostatico. Le formule

U =1

2

∫ρV d3x

U =1

2ε0

∫| ~E|2d3x

non sono equivalenti. La seconda e sempre positiva, e tiene conto anche dei termini dell’au-toenergia (cioe l’energia usata per creare anche, ad esempio, una carica puntiforme). Sonoequivalenti se il campo elettrico non diverge, e sono equivalenti quando siamo interessati solo adifferenze di energia.

1.6. 2 OTTOBRE 2017 15

Digressione sui coefficienti di capacita e di induzione elettrostatica

Questa parte non e stata neppure menzionata a lezione, pero e bella. Nella sezione precedenteabbiamo dato per scontato che si abbia Cij = Cji e Cij < 0 < Cii per i 6= j. Consideriamol’energia di un sistema di conduttori

U =1

2ε0

∫| ~E|2d3x

dove l’integrale e esteso a tutto lo spazio esterno ai conduttori. Chiaramente si ha U ≥ 0. Si hadunque

U = −1

2ε0

∫~E · ~∇V d3x = −1

2ε0

∫~∇ ·(V ~E

)d3x+

1

2ε0

∫V ~∇ · ~Ed3x

Il secondo integrale dell’ultimo membro e nullo per la prima equazione di Maxwell. Il primo puoinvece essere trasformato con il teorema della divergenza in

U =1

2ε0

∫SV ~E · d~S

e tale integrale e esteso alle superfici di tutti i conduttori. In particolare, indicizzando iconduttori e tenendo conto che le loro superfici sono equipotenziali, si ha

U =1

2ε0Vi

∮Si

~E · d~S

Detta En la componente di ~E ortogonale alla superficie, sappiamo che la densita superficiale dicarica e σ = ε0En, quindi se qi e la carica dell’i-esimo conduttore si ha

qi = ε0

∮Si

EndS

U =1

2qiVi

Le cariche e i potenziali non sono indipendenti. Per la linearita e l’omogeneita delle equazionidel campo nel vuoto, la relazione tra carica e potenziale dovra essere anch’essa lineare, ossia sideve avere

qi = CijVj

Vi = pijqj

con Cijpjk = δik. Se immaginiamo ora di variare le cariche o i potenziali, la differenza di energiasara

δU = ε0

∫~E · δ ~Ed3x

Trasformiamo questa relazione in due modi diversi. Usando ~E = −~∇V si ottiene

δU = −ε0

∫~∇V · δ ~Ed3x = −ε0

∫~∇ ·(V δ ~E

)d3x = ε0

∫SV δ ~E · d~S

Indicizzando nuovamente si ottiene

δU = ε0Vi

∫Si

δ ~E · d~S = Viδqi


In maniera del tutto analoga, usando δ ~E = −~∇δV si ottiene

δU = qiδVi

In particolare, risulta

qi =∂U

∂Vi

Vi =∂U

∂qi

Dunque usando il teorema di Schwartz

Cij =∂qi∂Vj

=∂2U

∂Vj∂Vi=

∂2U

∂Vi∂Vj=∂qj∂Vi

= Cji

L’energia e allora la forma quadratica

U =1

2CijViVj

Abbiamo gia notato U ≥ 0, dunque deve essere

Cii > 0

Viceversa, per mostrare che Cij < 0 per i 6= j procediamo in questo modo: supponiamo di averetutti i conduttori messi a terra, tranne l’i-esimo. Allora questo induce una carica sul j-esimoconduttore pari a

qj = CjiVi

Supponiamo ad esempio Vi > 0. Dato che il potenziale assume massimo e minimo solo sullesuperfici dei conduttori (vedi piu avanti per questa dimostrazione), il potenziale e positivo intutto lo spazio esterno ai conduttori, ed e nullo solo sui conduttori messi a terra. Allora laderivata in direzione normale del potenziale e positiva su tutta la superficie di un conduttorea terra, di conseguenza En < 0, e quindi qj < 0. Segue Cji < 0, da cui si ha la tesi perl’arbitrarieta di i e j.

Energia elettrostatica di una sfera piena

Consideriamo una sfera piena di densita di carica ρ uniforme e raggio R. Calcoliamo l’energiain tre modi diversi:

1. Consideriamo una sfera di raggio r < R e un guscio sferico che viene portato dall’infinitofino sulla superficie della sfera. L’energia spesa e

δU =4πρ2r4

6ε0dr

dove dr e lo spessore del guscio. Allora si ha

U =

∫δU =

∫ R

0

4πρ2r4

6ε0dr =

4πρ2R5

15ε0=

3Q2

20πε0R

dove Q = 43πρR

3 e la carica totale presente nella sfera.

1.6. 2 OTTOBRE 2017 17

2. Si ha

U =1

2

∫ρV d3x =

3Q2

20πε0R

3. Il campo elettrico e radiale e di intensita

E(r) =Q

4πε0

r/R3 se r < R1/r2 se r ≥ R

Dunque

U =Q2

32π2ε0

(∫r<R

r2

R6d3x+

∫r≥R

1

r4d3x

)=

3Q2

20πε0R

Usando E = mc2 possiamo fare una maialata e dire che il ”raggio classico” di un elettrone e

re =3e2

20πε0mec2≈ e2

4πε0mec2= 2.8 · 10−15 m

E se siamo ancora piu maiali possiamo pure dire che tale raggio e talmente piccolo da non poteressere misurato, e quindi non si puo neppure dire che sia sbagliato parlare di raggio dell’elettrone.

1.6.3 Equazione di Poisson

Utilizzando la prima equazione di Maxwell e la conservativita del campo elettrostatico si ottienefacilmente l’equazione di Poisson

∇2V = − ρ

ε0

Consideriamo, in generale, un volume V e l’equazione ∇2f = g all’interno di V, con la condizioneal bordo f|∂V = h, dove g e h sono funzioni assegnate. Vogliamo mostrare che una tale f , seesiste, e anche unica. Per fare cio diamo un poco di definizioni e lemmi:

Definizione 1.6.1. Sia f : V → R una funzione di classe almeno C2. Diciamo che f e armonicasu V se ∇2f = 0 per ogni punto di V.

Lemma 1.6.1 (Principio del massimo per funzioni armoniche.). Sia f una funzione armonicasu V non costante. Allora f puo solo ammettere massimi e minimi su ∂V.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esista un punto x di massimo interno a V (il casodel minimo e analogo, basta considerare −f). Sia ε > 0 e definiamo la funzione fε : V → Rponendo

fε(x) = f(x) + ε|x− x|2

dove | · | denota la norma euclidea. Si puo mostrare che e possibile scegliere ε sufficientementepiccolo in modo che fε ammetta un massimo xε ancora interno a V. Inoltre, si ha

∇2fε(x) = 2ε > 0

E questo e assurdo, perche si ha

∇2fε(xε) ≤ 0

Dato che il laplaciano e la traccia dell’hessiana.

Corollario 1.6.1.1. Sia f una funzione armonica su V tale che f|∂V ≡ 0. Allora f ≡ 0 su tuttoV.


Dimostrazione. Si ha infatti, per ogni x ∈ V:

0 = min∂V

f ≤ f(x) ≤ max∂V

f = 0

A questo punto possiamo mostrare

Teorema 1.6.2 (Unicita della soluzione per il problema di Poisson). Sia dato il problema ∇2f =g su V, con la condizione al bordo f|∂V = h, dove g e h sono funzioni assegnate sufficientementeregolari. Supponiamo che esista una soluzione f1 del problema. Allora tale soluzione e unica

Dimostrazione. Sia f2 un’altra soluzione. Poniamo f = f1 − f2. Allora f e armonica su V eidenticamente nulla su ∂V, dunque e nulla su V. Allora f1 = f2.

Dimostrazione data da Moruzzi senza usare il principio del massimo. Siano f2, f come prima.Allora si ha

0 =

∮∂Vf ~∇f · d~S =

∫V~∇ ·(f ~∇f

)d3x =

∫V

(f∇2f + |~∇f |2

)d3x =

∫V|~∇f |2d3x

Da cui si deduce ~∇f ≡ 0 su V. Allora f e costante, dunque nulla perche nulla al bordo.

1.6.4 Cariche immagine per un piano conduttore

Consideriamo un piano conduttore e una carica q posta a distanza d dal piano. Dato che lasuperficie del piano deve essere equipotenziale, q indurra una certa densita di carica sul piano.Inoltre, dato che all’infinito il potenziale deve annullarsi, il piano ha potenziale nullo. Fissiamoun sistema di riferimento in cui la carica e posta in ~d = (0, 0, d). Il problema da risolvere equindi

∇2V = − q

ε0δ(~d)

V (x, y, 0) = 0

La soluzione e equivalente a porre una carica −q in −~d = (0, 0,−d). Se ~r = xx+ yy + zz, si ha

V (~r) =q

4πε0

(1

|~r − ~d|− 1

|~r + ~d|

)

Il campo elettrico in un punto (x, y, 0) del piano conduttore e

~E(x, y, 0) = − qd

2πε0

z

(d2 + x2 + y2)3/2

Che e chiaramente a simmetria cilindrica. Posto ρ2 = x2 + y2, la densita di carica e

σ(ρ) = ε0~E(ρ) · z = − qd

2π

1

(d2 + ρ2)3/2

Allora la carica indotta Q e

Q = 2π

∫ ∞0

σ(ρ)ρdρ = −q

Come ci si poteva aspettare intuitivamente.

1.7. 9 OTTOBRE 2017 19

1.7 9 ottobre 2017

1.7.1 Pressione elettrostatica

Consideriamo un conduttore all’equilibrio elettrostatico e consideriamo una porzione di superficie∆S. Preso un cilindretto di base ∆S e altezza ∆x, esterno al conduttore, l’energia contenutanel cilindro e

∆U = ue∆S∆x =1

2ε0| ~E|2∆S∆x =

σ2

2ε0∆S∆x

Di conseguenza la pressione e

p =σ2

2ε0

1.7.2 Cariche immagini per la sfera

Consideriamo una sfera conduttrice di raggio a messa a terra e una carica q puntiforme a distanzaR > a dal centro della sfera. Il problema da risolvere e quindi

∇2V = − q

ε0δ(~r − ~R)

Nello spazio esterno alla sfera, con la condizione V = 0 sulla sfera. Se troviamo una soluzione,allora abbiamo risolto il problema per unicita della soluzione dell’equazione di Poisson. Imma-giniamo di porre una carica puntiforme q′ sulla congiungente tra la carica e il centro della sfera,a distanza r′ < a (cio e possibile perche siamo interessati alla soluzione nel volume esterno allasfera) da quest’ultimo. Allora, preso un punto P sulla sfera e detto θ l’angolo tra il raggio perP e la congiungente tra q e centro della sfera, si ha

V (θ) =1

4πε0

(q√

a2 +R2 − 2Ra cos θ+

q′√a2 + r′2 − 2r′a cos θ

)Dovendo essere V (θ) = 0 per ogni θ, e prendendo ad esempio θ = 0, π si ottiene

q

R+ a+

q′

r′ + a= 0

q

R− a+

q′

a− r′= 0

E dopo facili calcoli

q′ = −q aR

r′ =a2

R

Se invece la sfera e messa a terra, possiamo mettere una carica −q′ al centro, in modo taleda mantenere l’equipotenzialita. In questo caso non conosciamo il potenziale sulla sfera, masappiamo che e costante. Anche in questo caso si ha l’unicita della soluzione:

Teorema 1.7.1 (Unicita della soluzione per il problema di Poisson). Sia dato il problema∇2f = g su V, dove g e una funzione assegnata sufficientemente regolare, con la condizione albordo ∮

∂V

~∇f · d~S = A

Supponiamo che esista una soluzione f1 del problema. Allora tale soluzione e unica.


Dimostrazione. Osserviamo che la condizione al bordo richiede che la carica sul conduttore siacostante. Detta f2 un’altra soluzione, e posto f = f2 − f1, si ha

∇2f = 0∮∂V~∇f · d~S = 0

Ma allora si ha∫V|~∇f |2d3x =

∫V

(f∇2f + |~∇f |2

)d3x =

∫V~∇ ·(f ~∇f

)d3x =

∮∂Vf ~∇f · d~S = 0

L’ultimo integrale e nullo perche f e costante su ∂V , quindi puo essere estratta dal segno diintegrale.

Consideriamo ora una regione di spazio in cui e presente un campo elettrico ~E uniforme,e introduciamo in tale regione una sfera conduttrice scarica e isolata di raggio a. Possiamoconsiderare il campo ~E come una carica q molto grande e molto distante dalla sfera. Allora,passando al limite q,R→ +∞ in modo tale che rimanga costante il rapporto

E =1

4πε0

q

R2

Allora |q′| → +∞, r′ → 0 e la carica indotta sulla sfera si comporta come un dipolo posto nelcentro della sfera e con momento di dipolo

p = −4πa3ε0E = −3ε0V E

dove V e il volume della sfera.

1.7.3 Sviluppo in multipoli

Consideriamo un volume V in cui e presente una densita di carica ρ. Allora, se P e un puntoposto in ~r si ha

V (~r) =1

4πε0

∫V

ρ(~r′)

|~r − ~r′|d3x =

1

4πε0

∫Vρ(~r′)f(~r, ~r′)d3x

Se |~r| e molto maggiore delle lunghezze tipiche del corpo V, possiamo espandere f(~r, ~r′) in serie

f(~r, ~r′) =∞∑n=0

fn(~r, ~r′)

Per opportune funzioni fn(~r, ~r′). I primi termini sono

V (~r) =1

4πε0

(Q

|~r|+~p · r|~r|2

+rtQr

2|~r|3+ o

(1

|~r|3

))Quindi all’ordine zero la distribuzione si comporta come una carica puntiforme, uguale allacarica totale contenuta in V (eventualmente nulla). Il termine successivo e analogo a un dipolo,in cui

~p =

∫V~r′ρ(~r′)d3x

Il secondo ordine e infine quello di quadrupolo, e si e introdotto il tensore di quadrupolo

Qij =

∫Vρ(~r′)

(3r′ir

′j − |~r′|2δij

)d3x

1.8. 13 OTTOBRE 2017 21

Notiamo che tale tensore e simmetrico e a traccia nulla. In generale, ~p e Q dipendono dall’originescelta del sistema di riferimento. Un’eccezione e un dipolo composto da due cariche opposte, incui in ogni sistema di riferimento si ha

~p = q~d

Dove ~d ha coda in −q e punta in +q (assumendo q > 0).

1.8 13 ottobre 2017

Teorema 1.8.1 (della media). Siano V una funzione armonica su un certo volume V, x ∈ V,a > 0 tale che la sfera Sa di raggio a centrata in x sia interamente contenuta in V. Allora si ha

V (x) =1

4πa2

∮Sa

V dA

Dimostrazione. A meno di traslazioni, supponiamo x = 0. Allora si ha

〈V 〉(a) =1

4πa2

∮Sa

V dA =

∫dΩ

4πV (a, θ, φ)

Poiche V e almeno C1, si puo applicare il teorema di derivazione sotto il segno di integrale,ottenendo

∂〈V 〉∂a

=

∫dΩ

4π

∂V

∂a=

1

4πa2

∮Sa

~∇V · d ~A =1

4πa2

∫∇2V d3r = 0

Da cui si conclude.

Usiamo il teorema precedente per mostrare che la forza tra due sfere uniformemente carichee la stessa che si ha tra due cariche puntiformi poste nei centri delle sfere uguali alla caricatotale su una sfera. Siano S1, S2 le due sfere e ρ1, ρ2 le due densita di carica. Ovviamente, seU e l’energia della seconda sfera dovuta al potenziale V1 della prima sfera, la forza agente sullaseconda sfera e

~F = −~∇U

Consideriamo ora un guscio sferico di raggio r della seconda sfera. Il contributo all’energia e

dU =

∫ρ2V1d3r = 4πr2ρ2V 1dr

Dove V 1 e il potenziale al centro della sfera. Allora si ha banalmente

U = q2V 1

E tale energia coincide con quella del sistema con cariche puntiformi.

1.8.1 Energia di un condensatore, dielettrici

Consideriamo un condensatore a facce piane e parallele con una carica Q sulle armature. Illavoro per portare una carica infinitesima dq sulle piastre e

dL = V dq =q

Cdq

Dove q e la carica gia presente sulle piastre e C e la capacita. Allora si trova banalmente

U =Q2

2C


Consideriamo ora un condensatore a facce piane e parallele di area A a distanza h √A. Se

tra le armature c’e il vuoto, la capacita e

C0 = ε0A

h

Sperimentalmente, si osserva che se lo spazio tra le piastre viene riempito di isolante, la capacitadiventa

C1 = εrC0

Si osserva che la costante εr, detta costante dielettrica relativa, e in genere maggiore di 1 edipende unicamente dal materiale isolante, e non dalla geometria del sistema. Se le piastre sonoisolate, il potenziale si abbassa di un fattore ε−1

r . Possiamo interpretare tale risultato come uncondensatore con il vuoto tra le piastre, ma con una carica minore su queste ultime. Questainterpretazione puo essere motivata dal seguente fatto: da un punto di vista microscopico, glielettroni di un dielettrico sono legati a un particolare atomo. In generale, l’atomo e neutroin assenza di campi elettrici esterni. Se invece l’atomo e immerso in un campo esterno (comead esempio tra le piastre di un condensatore), esso tendera a deformarsi nella direzione delcampo, assumendo un momento di dipolo. Chiaramente le cariche positive saranno deviateverso la piastra caricata negativamente e viceversa. Un qualunque volume interno alle piastresara complessivamente neutro. Invece, se consideriamo un volume che ha una faccia in comunecon una piastra (per semplicita quella negativa), ci sara un eccesso di carica positiva su talefaccia. Di fatto, dall’esterno e come se vedessi una carica effettiva minore sulle piastre.

La proprieta delle particelle di acquisire un momento di dipolo in presenza di un campoesterno e detta polarizzazione. Vi sono due tipi fondamentali di polarizzazione:

• Polarizzazione per deformazione: il campo esterno deforma la particella (ad esempio, lanuvola elettronica di un atomo) e cosı viene acquisito un momento di dipolo.

• Polarizzazione per orientamento: le particelle possiedono gia un momento di dipolo (e ilcaso ad esempio dell’acqua), che a causa dell’agitazione termica e orientato casualmente(in assenza di campo esterno). Il campo esterno tende semplicemente ad allineare questidipoli, generando un effetto globale.

1.9 16 ottobre 2017

1.9.1 Polarizzazione di un atomo e di una molecola

Schematizziamo un atomo con il modello di Thomson (l’effetto e analogo per atomi reali),ossia consideriamo una sfera di raggio R e carica e uniformemente distribuita, con una caricapuntiforme −e all’interno. Se la particella si trova nella posizione ~r, dove ~r = 0 corrisponde alcentro della sfera, la forza di cui risente la carica puntiforme e

~F = −ρe~r3ε0

Dove ρ = 3e4πR3 e la densita di carica dell’atomo. In assenza di campi esterni ovviamente l’elet-

trone sara in equilibrio al centro, mentre in presenza di un campo esterno ~E = Ex, l’elettronesi trovera a distanza

r =3ε0E

ρ

Il momento di dipolo acquisito per deformazione e allora

~p = αD ~E

1.9. 16 OTTOBRE 2017 23

Dove si e introdotta la polarizzabilita elettronica per deformazione

αD =3eε0

ρ= 4πR3ε0

Consideriamo ora un materiale le cui molecole sono dipoli permanenti, e sia ~p0 il dipolodella singola molecola. In assenza di campo esterno, a causa dell’agitazione termica (o, se sivuole, anche a causa dell’isotropia dello spazio) il materiale non avra globalmente un momentodi dipolo. Se invece e presente un campo esterno ~E = Ez, i dipoli permanenti tenderannoad allinearsi. Piu precisamente, detto p0 il versore del momento di dipolo di una molecola, laprobabilita che esso abbia coordinate sferiche (θ, φ) e

dp(θ, φ) = Ae−U(θ,φ)

kBT sin θdθdφ

Dove si e usata la distribuzione di Boltzmann e dove sin θdθdφ = dΩ e l’angolo solido infinitesimosulla sfera. A e una semplice costante di normalizzazione. L’energia del dipolo e

U(θ, φ) = −~p0 · ~E = −p0E cos θ

Per ovvi motivi di simmetria, e indipendente dalla coordinata φ. Imponendo la condizione dinormalizzazione ∫ 2π

0

∫ π

0Ae

p0E cos θkBT sin θdθdφ = 1

E supponendo di essere nel regime di alta temperatura, si ottiene

A =1

4π

Di conseguenza, in tale approssimazione la densita di probabilita e

ρ(θ, φ) =1

4π

(1 +

p0E cos θ

kBT

)sin θ

In coordinate cartesiane, il valor medio del momento di dipolo e, per simmetria, 〈~p〉 = (0, 0, 〈pz〉).〈pz〉 e chiaramente

〈pz〉 =

∫ 2π

0

∫ π

0p0 cos θρ(θ, φ)dθdφ =

p20E

3kBT= αoE

Dove si e introdotta la polarizzabilita elettronica per orientamento

αo =p2

0

3kBT

Notiamo che, a differenza del caso precedente, la polarizzabilita per orientamento dipende dallatemperatura, e in particolare si abbassa quando quest’ultima si alza. Questo andamento hauna chiara intepretazione fisica, dato che per alte temperature l’agitazione termica, che tendea riordinare i dipoli casualmente, aumenta. Prima di mettere una parte non vista a lezione,notiamo che in realta E non coincide con il campo esterno. In realta e il campo elettrico locale,ossia la somma vettoriale del campo esterno e dei campi prodotti dalle molecole, tranne quellanel punto considerato.

Vediamo ora come trattare il regime di temperature non alte (questa parte non si e vista alezione). In tal caso, la costante di normalizzazione e la densita di probabilita sono

A =p0E

2πkBT

ep0EkBT

e2p0EkBT − 1


ρ(θ, φ) =p0E

2πkBT

ep0E(1+cos θ)

kBT

e2p0EkBT − 1

sin θ

Anche qui la media del momento di dipolo e della forma 〈~p〉 = (0, 0, 〈pz〉), ma 〈pz〉 e un pocopiu brutto:

〈pz〉 =kBT

E

e2p0EkBT

(p0EkBT− 1)

+ p0EkBT

+ 1

e2p0EkBT − 1

E non ci pensa nemmeno a essere lineare con E. (A occhio non torna neppure il limite perp0EkBT 1, ma non riesco a trovare l’errore, quindi se qualcuno ha sbatta di rifare questo conto

e trova un altro risultato me lo dica e correggo).

1.9.2 Polarizzazione macroscopica

Definiamo la polarizzazione ~P come

~P = limV→0

1

V

∑i

~pi

~P e una grandezza mesoscopica, ossia il volume V deve essere infinitesimo, in modo da definireuna grandezza locale, ma deve comunque contenere un numero sufficientemente elevato di dipolimicroscopici (e la stessa approssimazione che si fa in fluidodinamica). La somma nel limite eestesa a tutti i dipoli microscopici contenuti in V . Consideriamo un corpo polarizzato e sia ~Pla sua polarizzazione. Il potenziale ϕ in ~r sara

ϕ(~r) =1

4πε0

∫ ~P (~r′) · (~r − ~r′)|~r − ~r′|3

d3x′ =1

4πε0

∫~P (~r′) · ~∇′

(1

|~r − ~r′|

)d3x′ =

=1

4πε0

[∮ ~P (~r′) · n|~r − ~r′|

dS −∫ ~∇′ · ~P (~r′)

|~r − ~r′|d3x′

]

Dove si e usato il teorema della divergenza. Appare evidente che la polarizzabilita ~P puoessere intepretata (ossia genera lo stesso campo) come una carica volumica ρP (~r) = −~∇ · ~P (~r)all’interno del corpo e una carica superficiale σP (~r) = ~P (~r) · n(~r) sulla superficie del corpo. Innatura esistono anche corpi con polarizzazione permanente, che per analogia con i magneti sonodetti materiali ferroelettrici.

1.10 20 ottobre 2017

1.10.1 Sfera uniformemente polarizzata

Consideriamo una sfera di raggio R con una polarizzazione uniforme ~P . Sappiamo che il campoelettrico prodotto dalla sfera e quello di un dipolo all’esterno ed e uniforme all’interno. Inparticolare, all’interno si ha

~Ein = −~P

3ε0

1.10. 20 OTTOBRE 2017 25

1.10.2 Suscettivita dielettrica

Nel caso precedente, se la polarizzazione ~P e dovuta a un campo esterno ~E, allora il campolocale ~El e

~El = ~E − ~Ein = ~E +~P

3ε0

L’ultima equazione e detta relazione di Lorentz o relazione di Lorentz e Lorenz (no, non e untroll). Se n e la densita di dipoli microscopici (ossia la densita di molecole del dielettrico) eα = αD + αo e la polarizzabilita molecolare, si ha

~P = nα~El

Di conseguenza

~P =nα

1− nα3ε0

~E

Introduciamo ora la suscettivita dielettrica χ, ossia il numero puro definito da

χ =3nα

3ε0 − nα

In tal modo si ha

~P = ε0χ~E

Consideriamo ora un condensatore a facce piane e parallele con una densita di carica σ0

uniforme sulle piastre. Se lo spazio tra le piastre e vuoto, sappiamo che il campo elettrico eE0 = σ0/ε0. Se invece riempiamo lo spazio con un dielettrico di costante dielettrica relativa εr,il campo elettrico e E1 = E0/εr. La polarizzazione allora e uniforme, ortogonale alle piastre ediretta verso la piastra negativa. Il suo modulo e

P = ε0χE′

La densita di carica superficiale polarizzata su una piastra e allora

σP = P

Ed ha segno opposto al segno della carica sulla piastra considerata. Allora possiamo considerareil campo E′ come generato da una densita di carica σ0 − σP , dunque si ha

E′ =σ0 − σPε0

=σ0 − ε0χE

′

ε0

Segue banalmente εr = χ + 1. Nel vuoto si ottiene χ = 0, come ci si aspetta intuitivamente.Inoltre, possiamo ricavare nα in funzione di εr, ottenendo

nα = 3ε0εr − 1

εr + 2

Tale relazione e detta relazione di Clausius-Mossotti.


1.10.3 Leggi dell’elettrostatica in un dielettrico

Supponiamo di avere una densita di carica libera ρ0 in un dielettrico. Allora le equazioni diMaxwell all’equilibrio elettrostatico sono

~∇ · ~E =ρ0 + ρPε0

~∇× ~E = 0

Dove ρP e la densita di carica polarizzata. Ricordando ρP = −~∇ · ~P , e introducendo il vettoredi spostamento elettrico ~D = ε0

~E + ~P , la prima equazione diventa

~∇ · ~D = ρ0

In generale, il vettore di spostamento e comodo a livello di conti (possiamo ignorare la polariz-zazione e considerare solo le cariche libere), ma non ha un preciso significato fisico (e pare chePegoraro lo odii). Utilizzando ~P = ε0(εr − 1) ~E, si ottiene

~D = ε0εr ~E

In generale, puo accadere che la polarizzabilita cambi a seconda della direzione, del verso odell’intensita del campo esterno (accade ad esempio in un cristallo), quindi a rigore dovremmointrodurre il tensore di suscettivita χij, tale che

Pi = ε0χijEj

Ma noi non considereremo mai tali casi. Se in un dielettrico χ e indipendente da direzione eintensita del campo esterno ~E, si parla di dielettrico perfetto o lineare. Chiaramente in naturanon esistono dielettrici perfetti, dato che se il campo esterno e sufficientemente grande allora lemolecole si ionizzano.

1.10.4 Superfici di separazione tra dielettrici

Consideriamo due dielettrici a contatto, di costanti dielettriche εr,1 e εr,2, in assenza di cariche

libere. Fissiamo un piccolo cilindretto ortogonale alla superficie. In tale cilindro ~D e indiver-gente, quindi il suo flusso e nullo. Se facciamo tendere l’altezza del cilindro a 0, allora il flussoe

(D1,⊥ −D2,⊥)S = 0

Quindi la componente ortogonale alla superficie del vettore di spostamento elettrico non variaattraversando la superficie. Riscrivendo tale relazione in termini del campo elettrico, si ha

εr,1E1,⊥ = εr,2 = E2,⊥

Inoltre, dato che il campo elettrico e irrotazionale, se si fissa un circuitino rettangolare con latiparalleli (o ortogonali) alla superficie di separazione, si ottiene

E1,‖ = E2,‖

Cio significa che, detti θ1 e θ2 rispettivamente gli angoli formati da ~E1 e ~E2 con la normale allasuperficie, vale una ”legge di rifrazione” per il campo elettrico

tan θ1

tan θ2=εr,1εr,2

1.10. 20 OTTOBRE 2017 27

1.10.5 Energia di un dielettrico

L’energia di un dielettrico puo essere calcolata come

U =1

2

∫ρφd3x

Con la seguente avvertenza: ρ e la sola densita di carica libera, dato che effettivamente spostiamodall’infinito solo le cariche libere. φ invece tiene conto sia delle cariche libere che delle carichedi polarizzazione. In particolare, si ottiene

U =1

2

∮φ~D · d~S +

1

2

∫~D · ~Ed3x

Cio significa che la densita di energia e

ue =1

2~E · ~D =

1

2ε0εr| ~E|2 =

1

2

| ~D|2

ε0εr

1.10.6 Sfera immersa in un dielettrico

Consideriamo una sfera di raggio R e carica Q uniformemente distribuita immersa in un dielet-trico di costante dielettrica relativa εr. Vogliamo trovare il campo all’esterno della sfera. Questapuo essere considerata come un condensatore sferico, con una faccia all’infinito. Ci aspettiamoquindi che per r ≥ R il campo elettrico sia

~E(r) =Q

4πε0εrr2r

In tal caso la polarizzazione e

~P (r) = ε0(εr − 1) ~E(r) =εr − 1

4πεr

Q

r2r

Ovviamente nella regione che ci interessa ~P e indivergente, quindi la densita volumica di caricapolarizzata e assente. Sulla superficie della sfera si ha invece una densita di carica polarizzata

σP = −~P (R) · r = −εr − 1

4πεr

Q

R2

Che corrisponde a una carica polarizzata totale

QP = −εr − 1

εrQ

Effettivamente, il campo generato nel dielettrico e lo stesso che si avrebbe nel vuoto con la caricaQ nella sfera e la carica QP sulla superficie.

1.10.7 Cariche immagine per un semispazio dielettrico

Consideriamo due semispazi dielettrici di costanti dielettriche εr,1 e εr,2 separati da un piano (persemplicita il piano z = 0) e piazziamo una carica puntiforme q nel dielettrico di costante εr,1, auna distanza d dal piano di separazione dei dielettrici. A meno di riscalare opportunamente ε0,possiamo supporre che nel semispazio contenente q sia εr,1 = 1, quindi possiamo indicare senzaambiguita della costante dielettrica del secondo semispazio con εr. Cerchiamo di costruire lasoluzione in questo modo: nel semispazio contenente q il campo elettrico sara quello generato da


q e da una certa carica immagine q′, posta a distanza d dal piano z = 0 nel semispazio contenenteil secondo dielettrico. Nel semispazio senza carica, il campo sara invece quello generato da unacerta carica q′′ posta dove si trova q. In generale puo accadere (e anzi ci aspettiamo) q′′ 6= q, datoche q′′ deve simulare anche l’effetto della carica di polarizzazione superficiale. Allo stesso modopuo darsi che si abbia q′ 6= q. Il campo elettrico gode di simmetria cilindrica per ovvi motivi,in particolare il campo nel semispazio contenente q in un punto sul piano z = 0 di coordinate(d tan θ, 0, 0) e

~E1 =1

4πε0r2

(sin θ(q + q′)x+ cos θ(q − q′)z

)Dove si e posto r = d/ cos θ. Nello stesso punto nel secondo dielettrico si ha

~E2 =q′′

4πε0εrr2(sin θx+ cos θz)

Le condizioni da imporre sono allora

q + q′ =q′′

εr

q − q′ = q′′

Che portano infine a

q′ = −εr − 1

εr + 1q

q′′ =2εrεr + 1

q

Controlliamo due casi limite:

• Per εr = 1, ossia se il secondo dielettrico e assente, si ha q′ = 0 e q′′ = q. Cio e sensato, datoche in tal caso stiamo banalmente studiando il campo elettrico di una carica puntiforme.

• Per εr → ∞, si ha q′ = −q e q′′ = 2q. Notiamo che per εr → ∞ il dielettrico diventain realta un conduttore, quindi il primo risultato e sensato, dato che e l’usuale caricaimmagine per il piano. Il secondo puo inizialmente sorprendere (sappiamo che in quellaregione si deve avere campo nullo), ma in effetti il campo elettrico nel secondo semispazioscala con q′′/εr, dunque si annulla come deve.

1.11 23 ottobre 2017

1.11.1 Dielettrico in un condensatore

Consideriamo un condensatore a facce rettangolari e parallele lunghe a e b e poste a distanzah a, b. Inseriamo un dielettrico di costante dielettrica εr per un tratto x nello spazio tra lepiastre e mettiamo una carica Q su di esse. Il campo elettrico non varia passando dalla zonasenza dielettrico alla zona con dielettrico, di conseguenza ci aspettiamo una densita superficialedi carica diversa nei due tratti. In ogni caso, possiamo schematizzare il sistema come duecondensatori in parallelo, di conseguenza la capacita sara

Ceq =ε0a

h(b+ (εr − 1)x)

Supponiamo ora che il condensatore sia isolato. Allora l’energia e

Ue =Q2h

2ε0a(b+ (εr − 1)x)

1.11. 23 OTTOBRE 2017 29

La forza agente sul dielettrico e semplicemente

F = −∂Ue∂x

=Q2h(εr − 1)

2ε0a(b+ (εr − 1)x)2

Tale forza tende a far entrare il dielettrico nelle piastre. Se supponiamo invece che le piastresiano mantenute a un potenziale costante V da un generatore, allora l’energia e

Ue =ε0aV

2(b+ (εr − 1)x)

2h

Siamo quindi portati a pensare che la forza sia

F = −ε0aV2(εr − 1)

2h

Tale risultato e sbagliato, dato che la forza e il gradiente di tutta l’energia del sistema. In talcaso, anche il generatore compie lavoro (e lo fa per mantenere V costante). Se il dielettrico sisposta di dx, allora la capacita aumenta di dC. Allora il generatore deve spostare sulle piastreuna carica dQ = V dC, compiendo un lavoro L = V 2dC. Tale lavoro e uguale e opposto allavariazione di energia del generatore, e tra l’altro e il doppio (in valore assoluto) della variazionedi energia del solo condensatore. Ritroviamo cosı il risultato precedente.

1.11.2 Conduzione elettrica, modello di Drude

Definiamo l’intensita di corrente

i =dQ

dt

In MKS, l’intensita di corrente si misura in A. Vogliamo ora studiare il modello di Drudeper la conduzione degli elettroni in un metallo. Faremo l’ipotesi che gli elettroni possano essereconsiderato un gas perfetto. Questa ipotesi e verosimile, dato che l’interazione elettrone-elettronee schermata dalla presenza del reticolo del metallo. Osserviamo che, a temperatura ambiente(T ∼ 300 K) la velocita media degli elettroni per agitazione termica e dell’ordine

〈vT 〉 =

√3kBT

me∼ 105 m/s

Immergiamo ora il metallo in un campo esterno ~E. Allora gli elettroni risentono di una forza−e ~E. Se ipotizziamo che, dopo un urto con uno ione del reticolo, la velocita di un elettrone sia~v0 rivolta casualmente, allora la velocita di un elettrone subito prima di un urto e

~v = ~v0 −e ~Eτ

me

Dove τ indica il tempo medio tra due urti consecutivi. Se mediamo su tutti gli elettroni, siottiene

〈~v〉 = −e~Eτ

me

Dato che ~v0 e orientata casualmente. Introduciamo ora la velocita di deriva ~vd, che indica inqualche modo la velocita media di un elettrone. Dato che il moto e uniformemente accelerato,definiamo

~vd =1

2〈~v〉 = −e

~Eτ

2me


Sperimentalmente si osserva vd 〈vT 〉, quindi se λ e la distanza percorsa in media da unelettrone tra due urti consecutivi si ha

τ ≈ λ

〈vT 〉

Alternativamente, si puo anche costruire un modello in cui gli elettroni risentono di attritoviscoso, ossia l’equazione del modo e

med〈~v〉dt

= −e ~E − η〈~v〉

In tal caso la velocita di deriva e quella limite, ossia

~vd = −e~E

η

1.11.3 Equazione di continuita

Consideriamo un conduttore in cui i portatori di carica abbiano una carica q. Siano n il numerodi portatori di carica per unita di volume e ~v la velocita di deriva. Definiamo la densita dicorrente

~j = nq~v

Osserviamo che la corrente che attraversa una superficie S e

I =

∫S

~j · d~S

Consideriamo ora una superficie chiusa S che delimita un volume V . Allora la carica cheattraversa la superficie e

Q = −∫V

∂ρ

∂td3x =

∮S

~j · d~S =

∫V

~∇ ·~jd3x

Di conseguenza, per l’arbitrarieta di S e V si ottiene l’equazione di continuita

∂ρ

∂t+ ~∇ ·~j = 0

1.11.4 Leggi di Kirkhoff (o come diavolo si scrive)

La legge dei nodi segue banalmente dalla conservazione della carica. La legge delle maglie seguedall’irrotazionalita del campo elettrico.

1.11.5 Legge di Ohm

Consideriamo un conduttore cilindrico di area di base S e lunghezza h, in cui c’e un campoelettrico ~E parallelo all’asse del cilindro. Per una classe di materiali, detti ohmici, si ha

~j = σ ~E

Dove la costante σ, detta conduttivita, dipende dal materiale. La differenza di potenziale tra ledue facce del cilindro e chiaramente V = Eh, dunque la corrente che attraversa il conduttore e

I = jS =σV S

h=V

R

1.11. 23 OTTOBRE 2017 31

Dove si e introdotta la resistenza elettrica

R =h

σS

Spesso al posto della conduttivita σ si usa la resistivita ρ = σ−1. La grandezza G = R−1 e dettaconduttanza.

1.11.6 Effetto Joule

Consideriamo un conduttore in cui scorre una certa corrente. Il portatore di carica perde energia,dato che si sta muovendo verso zone a energia potenziale piu bassa. Inoltre, se ha gia raggiuntola velocita di deriva, tale energia persa non diventa energia cinetica. Deve quindi essere dissipatain calore. La potenza dissipata e

P =dU

dt= V I = R2I =

V 2

R

Dove V e la differenza di potenziale tra i due capi del conduttore e R la sua resistenza.

1.11.7 Carica e scarica di un condensatore

Vabbe sono note dal liceo, per la carica con un generatore di d.d.p. E si ha

E

R

C

Q(t) = CE(1− e−t/τ)

Mentre per la scarica

R

C

Q(t) = Q0e−t/τ

Con τ = RC. Ah, E e detta forza elettromotrice perche e causata da processi chimici sconosciutia noi fisici (e guarda un po’, non e una forza, non e elettrica e non e motrice).


1.12 27 ottobre 2017

1.12.1 Forza di Lorentz e moto di una carica in campo magnetico

Consideriamo una carica in movimento in un campo magnetico ~B. La carica risente di unaforza, detta forza di Lorentz, pari a

~F = q~v × ~B

Ovviamente ~B deve essere uno pseudovettore. ~B si misura in Tesla (1 T=1 kg s−1 C−1) nelsistema MKS, in Gauss (G) nel sistema CGS. Si ha inoltre 1 T=104 G. In alcuni testi, con forzadi Lorentz si intende la forza totale sulla carica, ossia

~F = q~v × ~B + q ~E

In CGS si deve dividere per c:

~F = q~v

c× ~B + q ~E

E di fatto il campo elettrico e il campo magnetico hanno la stessa unita di misura. Chiaramentein assenza di campo elettrico si ha ~F ·~v = 0, ossia la forza di Lorentz non fa lavoro e, se il campoe uniforme, l’orbita della carica e circolare. Il raggio dell’orbita e

r =mv

qB

La velocita angolare e il periodo sono rispettivamente

ω =qB

m

T =2πm

qB

In particolare, non dipendono dalla velocita della particella. ω viene anche chiamata frequenzadi ciclotrone.

1.12.2 Selettore di velocita, spettrografo di massa

Consideriamo una regione di spazio in cui sono presenti un campo elettrico ~E e ~B uniformi eperpendicolari tra di loro, per semplicita ~E = Ex e ~B = Bz. La forza agente su una particellacon velocita ~v = vxx+ vyy + vz z e

~F = q [(E + vyB) x− vxBy]

Possiamo quindi costruire un selettore di velocita (ad esempio, una piastra con un buco) chelascia passare solo le particelle che si muovono di moto rettilineo, ossia tali che vx = 0, vy =−E/B.

Se invece abbiamo un fascio di isotopi di carica nota, possiamo defletterli con un campomagnetico e dal raggio delle traiettorie possiamo risalire alla massa dell’isotopo.

1.12.3 Filo percorso da corrente immerso in campo magnetico

Consideriamo un filo percorso da una corrente i. La forza agente su un tratto d~l e

d~F = id~l × ~B = nAq~vD × ~Bdl

1.13. 30 OTTOBRE 2017 33

Dove n e la densita di portatori di carica, A la sezione del filo, ~vD la velocita di deriva e q lacarica del singolo portatore. Si e usato il fatto che d~l e ~vD sono paralleli. La forza totale agentesul filo e

~F = i

∮d~l × ~B

In particolare, si annulla se il campo magnetico e uniforme. In generale, sul circuito agira ancheun momento torcente ~Γ:

~Γ = i

∮~r ×

(d~l × ~B

)A seconda del verso della corrente, d~F tendera a restringere il filo o a farlo espandere. Nelsecondo caso, supponendo il filo inestensibile, esso diventera una circonferenza di raggio R incui la tensione e

τ =iBl

2π

Dove si e indicata con l la lunghezza del filo.

Consideriamo ora una spira rettangolare di lati a e b immersa in un campo magneticouniforme ~B. Se θ e l’angolo tra la normale n alla superficie della spira (con verso scelto dallaregola della mano destra in base al verso della corrente), il momento torcente e

Γ = abiB sin θ

Introducendo il vettore momento magnetico ~m = abin, si ha

~Γ = ~m× ~B

A titolo d’esempio, si hanno i seguenti momenti magnetici:

• Per un disco uniformemente carico con una carica Q e raggio R che ruota a una velocitaangolare ω si ha

m =ωQR2

4

• Per un guscio sferico uniformemente carico con una carica Q e raggio R che ruota a unavelocita angolare ω si ha

m =ωQR2

3

1.13 30 ottobre 2017

1.13.1 Legge di Biot-Savart, potenziale vettore e terza equazione di Maxwell

Sperimentalmente, si osserva che un tratto infinitesimo d~l′ di filo percorso da una corrente Iposto nel punto ~r′, genera un campo magnetico d ~B nel punto ~r pari a

d ~B =µ0I

4π

d~l′ × (~r − ~r′)|~r − ~r′|3

Dove si e introdotta la permeabilita magnetica del vuoto µ0 = 4π ·10−7 N/A2 (pare che Pegoraroodii tale costante e che usi sempre µ0 = 1/(ε0c

2)). Per una spira percorsa da corrente si hachiaramente

~B =µ0I

4π

∮d~l′ × (~r − ~r′)|~r − ~r′|3


Osserviamo ora che si ha

−~∇(

1

|~r − ~r′|

)=

~r − ~r′

|~r − ~r′|3

Inoltre, presi ψ e ~v campi scalare e vettoriale si ha

~∇× (ψ~v) = ~∇ψ × ~v + ψ~∇× ~v

Di conseguenza la legge di Biot-Savart si puo scrivere nella forma

~B = −µ0I

4π

∮d~l′ × ~∇

(1

|~r − ~r′|

)=µ0I

4π

∮~∇× d~l′

|~r − ~r′|

Dato che d~l′ non dipende dalle coordinate non primate. Si ha allora

~B = ~∇× µ0I

4π

∮d~l′

|~r − ~r′|= ~∇× ~A

Dove ~A e detto potenziale vettore

~A =µ0I

4π

∮d~l′

|~r − ~r′|

Segue subito la terza equazione di Maxwell:

~∇ · ~B = 0

Alcuni campi magnetici notevoli sono

• Campo magnetico di un filo sull’asse z percorso da una corrente I: detta r la distanza dalfilo, si ha

~B(~r) =µ0Iθ

2πr

Il potenziale vettore e invece

~A =µ0Iz

2πln

r

r0

r0 e una costante arbitraria necessaria per evitare divergenze (sostanzialmente il calcoloe analogo al potenziale elettrico del filo carico). In particolare, la circuitazione di ~Blungo una qualunque circonferenza che giace su un piano ortogonale al filo e con centro suquest’ultima e ∮

γ

~B · d~l = µ0I

Quindi il campo magnetico non e conservativo.

• Campo magnetico prodotto da una spira circolare sul suo asse: detto R il raggio dellaspira e z la distanza dal centro della spira, si ha

~B(z) =µ0IR

2z

2(R2 + z2)3/2

1.14. 3 NOVEMBRE 2017 35

1.13.2 Energia meccanica di una spira

Per spostare una spira percorsa da corrente immersa in un campo magnetico bisogna compierelavoro contro la forza di Lorentz. Ignoriamo per il momento il fatto che ~B interagisce con la cor-rente, e supponiamo che I sia costante (per questo motivo parliamo solo di energia meccanica).La forza su un tratto infinitesimo e

d~F = Id~l × ~B

Dunque il lavoro fatto sulla spira affinche ogni tratto infinitesimo si sposti di un certo δ~r e

δL =

∮d~l × ~B · δ~r = −I

∮d~l × δ~r · ~B

d~l × δ~r rappresenta l’area infinitesima spazzata dalla spira. Di conseguenza si ha

δL = −I∫S

~B · d~S = −IdΦ

Consideriamo ora la superficie chiusa formata dalla superficie della spira nella posizione iniziale,dalla superficie della spira nella posizione finale e dal nastro che le unisce. Il flusso di ~B attraversotale superficie e nullo. Di conseguenza dΦ′ sul nastro e uguale al flusso dΦ di ~B sulla superficiedella spira nella posizione iniziale. Ma allora, a meno di costanti, si ha

Um = −IΦ

Ad esempio, per una spira infinitesima si ha

Um = −I ~S · ~B = −~m · ~B

Di conseguenza l’energia di una spira in campo magnetico e analoga all’energia di un dipolo incampo elettrico.

1.14 3 novembre 2017

1.14.1 Campo magnetico di un solenoide

Consideriamo un solenoide con n spire per unita di lunghezza percorso da una corrente I.Vogliamo calcolare il campo magnetico in un punto P sull’asse del solenoide. Siano a il raggiodel solenoide e θ1, θ2 gli angoli sotto cui gli estremi del solenoide sono visti da P . Il campomagnetico e allora

~B(P ) =µ0Ia

2z

2

∫ z2

z1

ndz

(a2 + z2)3/2=µ0nI

2(cos θ1 − cos θ2) z

In particolare, se il solenoide e infinito θ1 → 0, θ2 → π e quindi il campo magnetico esemplicemente ~B = µ0Inz.

1.14.2 Potenziale magnetico, teorema di Ampere e quarta equazione di Max-well

In un dominio semplicemente connesso in cui non sono presenti correnti, e possibile scrivere unpotenziale per il campo magnetico (se si assume la quarta equazione di Maxwell e banale, manoi vogliamo usare questo fatto per ottenere tale equazione). Consideriamo dunque una spira


percorsa da una corrente I e una sfera che la contiene. Lo spazio all’esterno di tale sfera esemplicemente connesso. Preso un punto P posto in ~r, il campo magnetico in tale punto e

~B(~r) =µ0I

4π

∮d~l′ × (~r − ~r′)|~r − ~r′|3

In ~r + δ~r invece si ha

~B(~r + δ~r) =µ0I

4π

∮d~l′ × (~r + δ~r − ~r′)|~r + δ~r − ~r′|3

Possiamo interpretare ~B(~r+ δ~r) come il campo magnetico che avremmo in ~r se traslassimo ognipunto della spira di −δ~r. Se ϕ e un potenziale per ~B si ha

δϕ = − ~B · δ~r = −µ0I

4π

∮δ~r · d~l′ × (~r − ~r′)|~r − ~r′|3

Usando le proprieta del prodotto triplo, si ha −δ~r · d~l′ × (~r − ~r′) = (~r − ~r′) · (−δ~r) × d~l′. Ilprodotto −δ~r × d~l′ e l’area infinitesima del nastro che collega le spire nella posizione iniziale efinale, di conseguenza si ha

δϕ = −µ0I

4πdΩΣ

Dove dΩΣ e l’angolo solido sotto cui viene visto il nastro. Ovviamente, se consideriamo lasuperficie formata dalla spira in posizione iniziale, dalla spira in posizione finale e dal nastro siha

Ωf + dΩΣ − Ωi = 0

Di conseguenza si ha

ϕ = −µ0I

4πΩ + c

Dove Ω e l’angolo solido sotto cui viene vista la spira da P . Orientando il vettore superficie con laregola della mano estra, si ha Ω > 0 quando si vede la corrente circolare in verso orario, negativoaltrimenti. In generale, la costante c puo assumere valori diversi nel dominio. Consideriamo adesempio una spira circolare di raggio R e prendiamo come dominio un cilindro coassiale con laspira di raggio r < R. Se la costante c fosse la stessa ovunuque, avremmo una discontinuitain ϕ (che si traduce in una divergenza di B) quando attraversiamo il piano della spira. Si puoporre ad esempio c = 0 nella regione in cui Ω > 0 e c = −µ0I nell’altra regione, e in tal caso ϕe continuo.

Consideriamo ora una spira qualunque e un toro concatenato ad essa. Priviamo il toro diuna ”fetta” che interseca la superficie delimitata dalla spira, in modo che sia semplicementeconnesso e che la costante c sia la stessa ovunque. Presi P1 e P2 sulle due superfici della fetta,l’integrale di linea di ~B lungo una curva all’interno del nostro dominio e semplicemente∫ P2

P1

~B · d~l = ϕ(P2)− ϕ(P1) =µ0I

4π(ΩP1 − ΩP2)

Se restringiamo la fetta (ossia prendiamo il limite in cui P1 tende a P2) allora il valore precedentetende alla circuitazione di ~B, mentre ΩP1 − ΩP2 → 4π. Abbiamo cosı il teorema di Ampere∮

~B · d~l = µ0I

Dal teorema segue banalmente la quarta equazione di Maxwell

~∇× ~B = µ0~J

1.15. 6 NOVEMBRE 2017 37

1.15 6 novembre 2017

1.15.1 Potenziale e campo di una spira

Per quanto visto in precedenza, se consideriamo una spira di area S in cui scorre una correnteI, il potenziale scalare e

ϕ =µ0I ~S · r

4πr2+ c

Dato che Ω = −~S · r/r2. Detto ~m = I ~S il momento magnetico della spira, il potenziale e analogoa quello di un dipolo elettrico

ϕ =mu0 ~m · r

4πr2

Di conseguenza il campo magnetico sara

~B =µ0

4π

3(~m · r)r − ~m

r3

L’espressione precedente prende il nome di teorema di equivalenza di Ampere: non e possibiledistinguere un dipolo magnetico da una spira percorsa da corrente misurando il campo da essigenerato.

Il potenziale vettore e invece

~A(~r) =µ0I

4π

∮d~l′

|~r − ~r′|3

A grandi distanze si ha1

|~r − ~r′|' 1

r+~r · ~r′

r3

Di conseguenza

~A(~r) =µ0I

4π

∮ (1

r+~r · ~r′

r3

)d~l′

L’integrale del primo termine e nullo. Per calcolare il secondo in maniera furba, notiamo che seψ e una funzione scalare e ~v un vettore costante si ha

~v ·∮ψd~l =

∫~∇× (~vψ) · d~S =

∫~∇ψ × ~v · d~S = −~v ·

∫~∇ψ × d~S

Per l’arbitrarieta di ~v si ha allora ∮ψd~l = −

∫~∇ψ × d~S

Nel nostro caso, posto ψ = ~r · ~r′ ottieniamo

~A(~r) = − µ0I

4πr3

∮~r × d~S =

µ0 ~m× r4πr2

1.15.2 Trasformazioni di gauge

Sappiamo che e possibile definire un potenziale vettore ~A per il campo magnetico ~B tale che~B = ~∇ × ~A. Dato che ~A e definito a meno del gradiente di una funzione scalare, possiamoscegliere il potenziale vettore in modo che sia indivergente. Infatti, se ~∇· ~A = f , e sufficiente porre~A′ = A+ ~∇g, dove g e una funzione tale che ∇2g = −f . Tale scelta viene detta trasformazione


di gauge, in particolare gauge di Coulomb. In presenza di campi variabili nel tempo, si scegliein genere il gauge di Lorenz:

~∇ · ~A+1

c2

∂2ϕ

∂t2= 0

Dove ϕ e il potenziale elettrostatico. Se quindi scegliamo il gauge di Coulomb, la quartaequazione di Maxwell si riscrive come

~∇× (~∇× ~A) = ~∇(~∇ · ~A)−∇2 ~A = −∇2 ~A = µ0~J

Quindi anche il potenziale vettore soddisfa un’equazione di Poisson, pero in forma vettoriale

∇2 ~A = −µ0~J

La soluzione e la solita

~A(~r) =µ0

4π

∫ ~J(~r′)

|~r − ~r′|d3r′

A questo punto Moruzzi ha detto una banalita, ossia se si fissa una curva γ nello spazio, allora ilflusso di ~B attraverso una qualunque superficie S che abbia γ come bordo e indipendente dallaparticolare superficie scelta (dipende invece ovviamente da γ).

1.15.3 Interazione tra circuiti

Consideriamo due circuiti percorsi dalle correnti I1 e I2. In generale, la forza di cui risente ilcircuito percorso dalla corrente I1 e

~F1 = I1

∮d~l1 × ~B2 =

µ0I1I2

4π

∮ ∮ d~l1 ×(

d~l2 × (~r1 − ~r2))

|~r1 − ~r2|3

In generale chiunque sano di mente si rifiuterebbe di fare il calcolo, pero puo essere interessantenel caso di fili infiniti posti a distanza d. In tal caso, la forza per unita di lunghezza e

F =µ0I1I2

2πd

In particolare, e attrattiva se le correnti sono concordi.

1.15.4 Effetto Hall

Consideriamo un parallelepipedo di spessore a e larghezza b. La lunghezza e molto maggiore di ae b e in tale direzione scorre una corrente I. Inoltre, e presente un campo magnetico ~B uniformee parallelo al lato b. I portatori di carica sono deflessi all’interno del parallelepipedo (e semprenella stessa direzione, a prescindere dal segno della carica). Pertanto, si genera un’accumulazionedi carica all’interno del corpo, e quindi un campo elettrico ~E. All’equilibrio, detta vd la velocitadi deriva del portatore di carica deve essere

E = vdB

Di conseguenza tra le facce del parallelepipedo si genera una differenza di potenziale

V = vdaB

D’altro canto, se n e la densita di portatori di carica e q la carica del singolo portatore, si haI = nqvdab, e in definitiva

V =1

nq

IB

b=

1

RH

IB

b

La costante RH = (nq)−1 e detta costante di Hall e dipende solo dal materiale. Questo effetto(e in particolare il segno di V ) permettono anche di determinare il segno dei portatori di carica.

1.16. 10 NOVEMBRE 2017 39

1.16 10 novembre 2017

1.16.1 Magnetismo nella materia

Si osserva che, in presenza di un campo magnetico esterno, la materia risponde in tre differentimodi:

• Materiali paramagnetici: fanno aumentare il campo esterno

• Materiali diamagnetici: fanno diminuire il campo esterno

• Materiali ferromagnetici: fanno aumentare tanto il campo esterno

In maniera analoga allo studio dei dielettrici, introduciamo il vettore di magnetizzazione ~M , parial momento di dipolo per unita di volume acquisito dal materiale. Ricordando che il potenzialevettore di un momento magnetico ~m e

~A(~r) =µ0

4π

~m× rr2

Otteniamo subito il potenziale vettore generato dal corpo:

~A(~r) =µ0

4π

∫ ~M(~r′)× (~r − ~r′)|~r − ~r′|3

d3r′

Dimostriamo ora un’utile identita vettoriale che utilizzeremo in seguito. Siano ~v, ~w due campivettoriali, con ~w uniforme. Allora si ha

~∇ · (~w × ~v) = ~v · ~∇× ~w − ~w · ~∇× ~v = −~w · ~∇× ~v

Integrando su un volume generico si ottiene

−~w ·∫~∇× ~vd3x =

∮~w × ~v · d~S = ~w ·

∮~v × d~S

Di conseguenza, per l’arbitrarieta di ~w si ottiene∫~∇× ~vd3x = −

∮~v × d~S

Torniamo ora al nostro potenziale vettore

~A(~r) =µ0

4π

∫~M(~r′)× ~∇′

(1

|~r − ~r′|

)d3r′ =

µ0

4π

[∫ ~∇′ × ~M(~r′)

|~r − ~r′|d3r′ +

∮ ~M(~r′)× d~S

|~r − ~r′|

]

Di conseguenza, possiamo interpretare la magnetizzazione ~M con la comparsa di una den-sita volumica di corrente di magnetizzazione ~Jm e di una densita superficiale di corrente dimagnetizzazione ~Km, pari rispettivamente a

~Jm = ~∇× ~M

~Km = ~M × n


1.16.2 Equazioni di Maxwell per il magnetismo nella materia

Le equazioni di Maxwell vanno ovviamente modificate nella forma seguente

~∇ · ~B = 0

~∇× ~B = µ0( ~JC + ~Jm)

Dove ~JC e la densita di corrente di conduzione, e ha un ruolo analogo alla carica libera neidielettrici. Introduciamo il vettore ausiliario ~H:

~H =~B

µ0− ~M

In tal modo, la quarta equazione di Maxwell si riscrive come

~∇× ~H = ~JC

Se il mezzo e omogeneo e isotropo e il campo ~B non e eccessivamente elevato, si ha con buonaapprossimazione

~B = µ0µr ~H

Dove la costante µr, tipica del mezzo, e detta permeabilita magnetica relativa. In tal caso si ha

~M =~B

µ0

(1− 1

µr

)Se definiamo la suscettitivita magnetica χm = µr − 1, si ottiene

~M =χmµ~B = χm ~H

La grande differenza con lo studio dei dielettrici e il fatto che, in generale, si puo avere µr < 1.Ah, stando a Moruzzi ~H si misura in A·spire/m.

1.16.3 Condizioni di raccordo

In maniera analoga al campo nei dielettrici, si trovano le condizioni di raccordo

B1,⊥ = B2,⊥

µ−1r,1B1,‖ = H1,‖ = H2,‖ = µ−1

r,2B2,‖

E la ”legge di rifrazione”tan θ1

tan θ2=µr,1µr,2

1.17 13 novembre 2017

1.17.1 Interpretazione microscopica della magnetizzazione

Consideriamo un atomo alla Rutherford, ossia schematizziamo l’atomo come un nucleo di carica eal centro e un elettrone puntiforme di carica −e in orbita circolare intorno al nucleo. L’equazionedel moto e semplicemente

meω20r =

e2

4πε0r2

1.17. 13 NOVEMBRE 2017 41

Inoltre, il moto dell’elettrone puo essere assimilato a una spira circolare di raggio r in cui scorreuna corrente I = ω0e/2π. Di conseguenza, il momento magnetico dell’atomo sara

m =ω0er

2

2

Aggiungiamo ora un campo magnetico esterno, con la stessa direzione di ~m. Facciamo inoltrela buffa assunzione che il raggio dell’orbita r non varii in presenza del campo esterno. Alloral’equazione del moto diventa

meω2r =

e2

4πε0r2+ eωrB

Data l’ipotesi su r, necessariamente la frequenza angolare deve cambiare. Sottraendo membroa membro, e ricordando che in condizioni standard si ha ω ' ω0, si ottiene la variazione difrequenza angolare ∆ω

∆ω ' eB

2me

Di conseguenza, se ~m e ~B hanno anche lo stesso verso allora il momento magnetico aumenta.Inoltre, osserviamo che, detto ~L il momento angolare, si ha

~m = − e

2me

~L

Possiamo a questo punto introdurre il fattore giromagnetico γ

γ =e

2me

Per inciso, la variazione ∆ω spiega l’effetto Zeeman: in presenza di un campo magnetico esterno,la frequenza della radiazione elettromagnetica emessa da un atomo si divide in tre valori diversi,che corrispondono a elettroni con momento magnetico parallelo, antiparallelo e ortogonale alcampo esterno. Il momento meccanico agente sull’elettrone e

~Γ = ~m× ~B

Di conseguenza, la seconda equazione cardinale si scrive come

d~L

dt= γ ~B × ~L

Ossia ~L precede intorno a ~B con una velocita angolare ~ωL pari a

~ωL = γ ~B

La frequenza con cui ~L precede e detta frequenza di Larmor.Se consideriamo un atomo con un numero pari di elettroni, in assenza di un campo magnetico

esterno non avra un momento magnetico, dato che il momento degli elettroni con spin oppostosi elide. Al contrario, in presenza di un campo esterno il momento acquisito dagli elettroni eantiparallelo al campo stesso. Ricordando che

~M = χm ~H

Si ottiene che per tali materiali χm < 0, e dunque µr < 1. Questo modello permette quindi dispiegare il diamagnetismo da un punto di vista microscopico. In genere per un diamagnetico si


ha 10−9 < |χm| < 10−6, quindi gli effetti della magnetizzazione rimangono comunque piccoli.Tale tipo di magnetizzazione si chiama anche magnetizzazione per deformazione.

Se consideriamo invece un atomo con un numero dispari di elettroni, questo presentera unmomento di dipolo permanente ~m anche in assenza di campo esterno. Ovviamente per agitazionetermica (o, se si vuole, per l’isotropia dello spazio) in assenza di campo il momento dei variatomi sara orientato casualmente, quindi non si osserva una magnetizzazione macroscopica. Inpresenza di campo esterno i dipoli tendono ad allinearsi con il campo (magnetizzazione perorientamento). Introduciamo la solita distribuzione di Boltzmann

p(θ) = AemBl cos θ

kBT sin θ

Dove Bl e il campo magnetico locale. Allora il momento magnetico medio lungo z sara

〈mz〉 =

∫ π0 m cos θp(θ)dθ∫ π

0 p(θ)dθ= m

(cothα− 1

α

)= mL(α)

Nell’espressione precedente sono stati introdotti il parametro α e la funzione di Langevin L:

α =mBlkBT

L(x) = cothx− 1

x

Lo sviluppo della funzione di Langevin in un intorno di 0 e

L(x) =x

3− x3

45+

2x5

945+ . . .

Di conseguenza, nel regime di alte temperature la magnetizzazione e

~M(α) = nmL(α)z ' nBlm2

3kBTz

E quindi

χm 'nµ0m

2

3kBT> 0

Questo modello spiega il paramagnetismo dal punto di vista microscopico. Inoltre, notiamo chese non approssimiamo si ottiene

limα→+∞

~M(α) = nmz

Cioe il sistema raggiunge una magnetizzazione di saturazione. Cio e dovuto al fatto che lamagnetizzazione raggiunge il suo valore massimo quando tutti i momenti microscopici sonoallineati con il campo esterno. In maniera analoga a quanto visto per i dielettrici, si ha

~Hl = ~H +~M

3

Supponiamo, piu in generale, di poter scrivere

~Hl = ~H + γ ~M

Dove γ e un’opportuna costante, detta costante di Weiss. Allora otteniamoM(α) = nmL(α)

M(α) = kBTαγmµ0

− Hγ

1.18. 17 NOVEMBRE 2017 43

Questo sistema e brutto, quindi si risolve numericamente. Tenendo fissa la temperatura, lamagnetizzazione aumenta all’aumentare di H. Inoltre, per valori bassi di T si possono averefino a tre valori possibili per la magnetizzazione. Per H = 0 si puo anche avere M 6= 0, e intal caso si parla di magnetizzazione residua (ossia abbiamo una calamita). Inoltre, la curva dimagnetizzazione non e univoca, ma dipende dalla storia del campione preso in considerazione:se si grafica ~M in funzione di ~H, si ottiene la classica curva di isteresi. Al contrario, pertemperature sufficientemente alte, la soluzione del sistema e unica. La temperatura minima percui cio accade e detta temperatura di Curie e al di sopra di tale soglia il materiale si comportacome un paramagnetico.

1.17.2 Introduzione all’elettrodinamica

Finora ci siamo interessati solamente di campi statici, arrivando a scrivere le equazioni diMaxwell

~∇ · ~E = ρε0

~∇× ~E = 0~∇ · ~B = 0~∇× ~B = µ0

~J

Ovviamente, dato che stiamo utilizzando i campi ~E e ~B, si deve tener conto delle cariche dipolarizzazione in ρ e delle correnti di magnetizzazione in ~J . Se ora consideriamo una spiraimmersa in un campo magnetico ~B variabile nel tempo, si osserva una forza elettromotrice

E = −dΦB

dt

Dove ΦB e il flusso del campo magnetico attraverso la superficie della spira. In tal caso, si ha~∇× ~E 6= 0. Dobbiamo quindi rivedere la seconda equazione di Maxwell (e anzi, anche la quarta)per adattarle al caso in cui ~E e ~B non sono costanti. Nel caso della spira, la forza elettromotricepuo essere associata a un campo elettromotore indotto ~Ei tale che

E =

∮~Ei · d~l

Tale campo e~Ei = ~E + ~v × ~B

Dove ~v e la velocita del portatore di carica. Se scriviamo ~v = ~vt + ~vd, dove ~vt e la velocita ditrascinamento dovuta al movimento della spira e ~vd e la velocita di deriva, si osserva facilmenteche ∮

~vd × ~B · d~l =

∮d~l × ~vd · ~B = 0

Dato che l’elemento di lunghezza e la velocita di deriva sono paralleli. Allora si puo porre anche

~Ei = ~E + ~vt × ~B

1.18 17 novembre 2017

1.18.1 Legge di Faraday e equazioni di Maxwell

Abbiamo gia visto la legge di Faraday (o legge di Faraday-Neumann, o legge di Faraday-Neumann-Lenz)

E = − d

dt

∫S

~B · d~S


Tale legge e ottenuta sperimentalmente, anche se e comunque possibile ricavarla dalle equazionidi Maxwell. Lo facciamo in tre casi

• Campo magnetico costante, spira in movimento: in tal caso, se consideriamo il nastro Σche congiunge la posizione iniziale e finale della spira, si ha

Φf − Φi + dΦΣ = 0

D’altro canto, possiamo scrivere

ΦΣ =

∫Σ

~B · d~S =

∫Σ

~B · d~l × ~vtdt = dt

∮~vt × ~B · d~l

Allora si ottienedΦ

dt= −dΦΣ

dt= −

∮~vt × ~B · d~l

In accordo con quanto ottenuto in precedenza

• Campo magnetico variabile, spira ferma: in tal caso si ottiene∮~Ei · d~l = − d

dt

∫S

~B · d~S = −∫∂ ~B

∂t· d~S

Allora, usando il teorema di Stokes, si ottiene

~∇× ~Ei = −∂~B

∂t

• Campo magnetico variabile, spira in movimento: in tal caso la derivata del flusso delcampo magnetico e

dΦ

dt=

1

dt

(∫S(t+dt)

~B(t+ dt) · d~S −∫S(t)

~B(t) · d~S

)=

=1

dt

(∫S(t+dt)

~B(t) · d~S −∫S(t)

~B(t) · d~S

)+

∫S(t+dt)

∂ ~B

∂td~S

Il primo termine e analogo a quello di una spira in movimento in un campo costante, ilsecondo e analogo a quello di una spira ferma in un campo variabile. Di conseguenza si ha

dΦ

dt=

∮~vt × ~B · d~l +

∫∂ ~B

∂t· d~S

Utilizzando la legge di Faraday, il teorema di Stokes e la definizione di ~Ei si ottiene infine

~∇× ~E = −∂~B

∂t

Vediamo ora come modificare la quarta equazione di Maxwell, che nel caso stazionario e

~∇× ~B = µ0~J

1.19. 4 DICEMBRE 2017 45

Il problema con questa equazione e che il primo membro e sempre indivergente, mentre il secondolo e solo nel caso stazionario. Se consideriamo dalla prima equazione di Maxwell e dall’equazionedi continuita, otteniamo

~∇ ·

(~J + ε0

∂ ~E

∂t

)= 0

Il secondo termine, detto densita di corrente di spostamento, permette di adattare la quartaequazione di Maxwell al caso non stazionario

~∇× ~B = µ0~J +

1

c2

∂ ~E

∂t

In definitiva, le equazioni di Maxwell nel vuoto sono

~∇ · ~E =ρ

ε0

~∇× ~E = −∂~B

∂t

~∇ · ~B = 0

~∇× ~B = µ0~J +

1

c2

∂ ~E

∂t

Nella materia diventano invece

~∇ · ~D = ρ

~∇× ~E = −∂~B

∂t

~∇ · ~B = 0

~∇× ~H = ~J +∂ ~D

∂t

1.19 4 dicembre 2017

1.19.1 Induttanza

Consideriamo una spira di forma qualunque percorsa da una corrente I e sia Φ il flusso delcampo magnetico attraverso la spira. Definiamo l’induttanza L come

Φ = LI

Tale grandezza dipende unicamente dalla geometria del sistema e, in MKS, si misura in Henry(1 H=1 Wb/A). Ad esempio, per un solenoide di raggio a, lunghezza l e n spire per unita dilunghezza, si ha

L = µ0µrπa2n2l


1.19.2 Circuito RL

Consideriamo il seguente circuito

E

R

L

La legge delle maglie ci da

RI = E + Eind = E − LI

Di conseguenza, se I(0) = 0

I(t) =ER

(1− e−t/τ )

Dove si e posto τ = L/R. Consideriamo ora un intervallo di tempo dt in cui il generatore erogauna corrente dQ = Idt. Moltiplicando l’equazione del circuito per dQ a destra e a sinistraotteniamo

V dQ = RI2dt+ LIdI

Dato che V dQ e l’energia erogata dal generatore nel tempo dt e RI2dt e l’energia dissipata dallaresistenza nello stesso intervallo, per la conservazione dell’energia l’aumento dell’energia nell’in-duttore e LIdI. Di conseguenza, in un induttore in cui scorre una corrente I e immagazzinataun’energia pari a

U =1

2LI2

Alternativamente, consideriamo il seguente circuito

R

L

In cui I(0) = I0. L’equazione di maglia ci da

I(t) = I0e−t/τ

Con τ = L/R. Di conseguenza, l’energia dissipata dalla resistenza durante la scarica e

U =

∫ ∞0

RI20e−2t/τdt =

1

2LI2

0

Tale energia deve essere quella immagazzinata per t = 0 nel circuito, e in particolare nell’indut-tore.

1.20. 15 DICEMBRE 2017 47

1.19.3 Circuito RLC

Consideriamo il seguente circuito

R

L

C

Se Q e la carica sulle piastre del condensatore, la legge delle maglie ci da

LQ+RQ+Q

C= 0

L’equazione e quindi analoga a quella di un oscillatore armonico smorzato di frequenza naturaleω = 1/

√LC. L’aggiunta di un eventuale generatore di tensione e del tutto analoga all’aggiunta

di una forzante.

1.19.4 Mutua induzione

Consideriamo ora due spire, percorse dalle correnti I1 e I2, e sia ~B1 il campo magnetico generatodalla prima spira. Il flusso di ~B1 attraverso la seconda spira e

Φ2( ~B1) =

∫S2

~B1 · d~S2 =

∮~A1 · d~l2

Dove il potenziale vettore e

~A1 =µ0µrI1

4π

∮d~l1|~r − ~r1|

Allora si ha

Φ2( ~B1) =µ0µrI1

4π

∮ ∮d~l1 · d~l2|~r2 − ~r1|

= M21I1

Il coefficienteM21 e detto coefficiente di mutua induzione. Si osserva banalmente cheM21 = M12.

1.20 15 dicembre 2017

1.20.1 Energia del campo magnetico

Consideriamo il circuito

R

L

E


Sappiamo che l’equazione del circuito e

E = LI +RI

Se il solenoide ha sezione S e N spire, in un tempo dt il bilancio energetico e

EdQ = NSBIdt+RI2dt

EdQ = VBdB

µ+RI2dT

Dove V e il volume del solenoide. Di conseguenza, l’energia e la densita di energia del campomagnetico sono

U =B2V

2µ

u =B2

2µ

Nel caso generale, consideriamo n circuiti rigidi costituiti da fili ideali (ossia di spessore nullo),ciascuno con una resistenza Ri e un generatore di tensione Ei. Sia Mij il coefficiente di mutuainduzione tra il circuito i-esimo e il circuito j-esimo e sia Li l’induttanza del circuito i-esimo.Allora abbiamo per ogni i

Ei = LiIi +RiIi +

n∑j=1j 6=i

Mij Ij

Se per semplicita poniamo Mii = Li, otteniamo

Ei = RiIi +n∑j=1

Mij Ij

Di conseguenza, il bilancio energetico totale e

n∑i=1

EiIidt =n∑i=1

RiI2i dt+

n∑i,j=1

MijIjdIi

Dato che M e una matrice simmetrica, l’energia magnetica del sistema e

Um =1

2

n∑i,j=1

MijIiIj =1

2

n∑j=1

ΦjIj

D’altro canto, abbiamo visto in una precedente lezione che l’energia meccanica di una spira e

U = −IΦ

Mostriamo che questa relazione e un caso particolare di quella che abbiamo ottenuto ora. Se ilcircuito k-esimo si sposta (rigidamente!) di un tratto dxk, allora il bilancio energetico e

n∑j=1

EjIjdt =n∑j=1

RjI2j dt+

1

2

n∑j=1

IjdΦj + f (k)m dxk

Dove f(k)m e la forza agente sul circuito che si muove. Usando l’equazione del circuito, otteniamo

f (k)m dxk =

1

2

n∑j=1

IjdΦj

1.20. 15 DICEMBRE 2017 49

f (k)m =

∂Um∂xk

L’assenza del segno meno e dovuta al fatto che le batterie erogano il doppio della variazione dienergia magnetica, in maniera analoga a quanto accade per i condensatori mantenuti a potenzialecostante. Abbiamo ora

∂Um∂xk

=1

2

∂

∂xk

n∑i,j=1

MijIiIj

Dato che gli Mij dipendono unicamente dalla geometria del sistema, se i e j sono diversi da kil valore di Mij non dipende da xk. D’altro canto, avendo supposto il circuito k-esimo rigido,neppure Mkk dipende da xk. Allora otteniamo

∂Um∂xk

=1

2

n∑i,j=1

IiIk∂Mik

∂xk+

1

2

n∑i,j=1

IiIk∂Mki

∂xk=

n∑i,j=1

IiIk∂Mik

∂xk=

n∑i=1

Ii∂Φi

∂xk

Da cui la relazione per l’energia meccanica.Se ora supponiamo che i fili non abbiano sezione trascurabile, possiamo comunque riutilizzare

le relazioni precedenti (basta immaginare di dividere ciascun filo in sezioni sufficientementepiccole) nel caso statico. Indicando ~Ji e ~Ai la densita di corrente e il potenziale vettore dell’i-esimo circuito, dal teorema di Stokes otteniamo

Um =1

2

n∑i=1

∫Si

~Ji · d~σ∮γi

~Ai · d~l =1

2

n∑i=1

∫Vi

~Ji · ~Aid3r =1

2

∫~J · ~Ad3r

L’ultimo integrale e esteso a tutto lo spazio. Nel caso dinamico, abbiamo invece

Um =1

2

∫ (~J + ε0

∂ ~E

∂t

)· ~Ad3r

In entrambi i casi, notando che

~∇ · ( ~B × ~A) = (~∇× ~B) · ~A− ~B · (~∇× ~A) = µ0

(~J + ε0

∂ ~E

∂t

)· ~A− | ~B|2

Otteniamo infine

Um =1

2µ0

∫~∇ · ( ~B × ~A)d3r +

1

2µ0

∫| ~B|2d3r =

1

2µ0

∫| ~B|2d3r

Al solito, l’ultima uguaglianza vale sotto opportune ipotesi di localizzazione delle sorgenti. Nellamateria, si ottiene in maniera simile

Um =1

2

∫| ~B|2

µd3r =

1

2

∫~H · ~Bd3r

1.20.2 Cilindro paramagnetico in un solenoide

Consideriamo un cilindro paramagnetico di permeabilita µ inserito per un tratto x in un so-lenoide di lunghezza l, sezione S e con n spire per unita di lunghezza, in cui e mantenuta lacorrente costante I. L’induttanza e l’energia del sistema sono

L = n2S(µx+ µ0(l − x))


Um =1

2LI2 =

1

2n2S(µx+ µ0(l − x))I2

Il cilindro viene risucchiato, dato che dobbiamo massimizzare Um e µ > µ0. Il fatto che Umvada massimizzata proviene dal ragionamento precedente sull’energia erogata dal generatore chemantiene I costante. Infatti, se il cilindro si sposta di un tratto dx, la variazione di flusso e

dΦ = n2SI(µ− µ0)dx = IdL

L’energia erogata dal generatore e allora

dU = −IdΦ = −n2SI2(µ− µ0)dx = −2dUm

Fisica 2 - SNS

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