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Obiettivo Editing Valutazione Valore degli esiti Pesi di decisione Discussione

Prospect Theory. Il modello.

andrea

3 marzo 2010

1 Obiettivo

2 Editing

3 Valutazione

4 Valore degli esiti

5 Pesi di decisione

6 Discussione

Obiettivo

Cerchiamo un modello descrittivo del comportamentodecisionale delle persone reali.

Conserviamo il piu possibile del modello classico.

Il modello deve predire le tendenze osservate negli esperimenti.

Obiettivo

Che cosa vogliamo?

Tendenze osservate negli esperimenti

Dagli esperimenti abbiamo ricavato queste informazioni:

i riscontri incrociati mostrano che le preferenze manifestatedagli intervistati sono incoerenti secondo la teoria dell’utilitaprevista;

nelle lotterie positive, gli intervistati rivelano avversione alrischio, preferendo una vincita piu bassa, ma sicura, ad unapiu alta, ma soltanto probabile (effetto della certezza);

nelle lotterie negative, le preferenze sono speculari (effetto diriflessione): gli intervistati ricercano il rischio, preferendouna perdita maggiore, ma soltanto probabile, ad una sicuraperdita minore;

Che cosa vogliamo?

Tendenze osservate negli esperimenti

la concavita di U non basta a spiegare il comportamentodegli intervistati di fronte al rischio (assicurazioneprobabilistica);

la rappresentazione del problema e fondamentale: sembrache le caratteristiche comuni a due opzioni siano trascurate(effetto di isolamento);

gli esiti delle lotterie sono avvertiti come vincite o perdite, enon come stati finali di ricchezza (quindi U e una funzione divincite e perdite);

le persone reali sembrano piu sensibili alle perdite che allevincite: avversione alla perdita.

Oggi cerchiamo un modello nuovo, che tenga conto di tutto cio!

Due fasi

Il modello proposto da Kahneman e Tverksy [KT79] si chiamaProspect Theory. Secondo questo modello:

Importante

Il processo decisionale si articola in due fasi:

a) una fase di rielaborazione (editing)

b) una fase di valutazione

Due fasi

Importante

Due fasi

Importante

Nei problemi degli esperimenti. . .

a) All’agente sono proposte due lotterie A e B.

b) L’agente svolge alcune operazioni preliminari su A e B, persemplificarne la valutazione (editing). I risultati sono le lotterieA∗, B∗.

c) L’agente valuta A∗ e B∗ e sceglie.

Fase di editing

Inizio

LeggiA, B

RielaboraA← A∗

B ← B∗Valuta:

A∗ - B∗?No

Scegli B

Scegli A

Fase di valutazione

Inizio

LeggiA, B

RielaboraA← A∗

B ← B∗Valuta:

A∗ - B∗?No

Scegli B

Scegli A

Analisi preliminare delle lotterie

Alcune operazioni

Un elenco delle operazioni piu importanti (ma non sono svoltetutte ogni volta!):

codifica: gli esiti sono registrati come perdite o vinciterispetto a un punto di riferimento fissato

(per fissare il punto di riferimento, e rilevante la formulazionedel problema −→ framing);

combinazione: le probabilita di esiti identici sono sommate,e.g.

(200, 0.25; 200, 0.25; 0, 0.50)

diventa

(200, 0.50; 0, 0.50);

Alcune operazioni

(200, 0.25; 200, 0.25; 0, 0.50)

diventa

(200, 0.50; 0, 0.50);

Alcune operazioni

(200, 0.25; 200, 0.25; 0, 0.50)

diventa

(200, 0.50; 0, 0.50);

Alcune operazioni

(200, 0.25; 200, 0.25; 0, 0.50)

diventa

(200, 0.50; 0, 0.50);

Alcune operazioni

estrazione: si “estrae” la componente sicura della lotteria,che viene valutata a parte, e.g.

(300, 0.80; 200, 0.20)

diventa

(200, 1) + (100, 0.80; 0, 0.20);

isolamento: le componenti comuni alle lotterie sonocancellate, e.g. la scelta fra

(200, 0.20; 100, 0.50; −50, 0.30)(200, 0.20; 150, 0.50; −100, 0.30)

diventa la scelta tra (100, 0.50; −50, 0.30) e(150, 0.50; −100, 0.30);

Alcune operazioni

estrazione: si “estrae” la componente sicura della lotteria,che viene valutata a parte, e.g.

(300, 0.80; 200, 0.20)

diventa

(200, 1) + (100, 0.80; 0, 0.20);

isolamento: le componenti comuni alle lotterie sonocancellate, e.g. la scelta fra

(200, 0.20; 100, 0.50; −50, 0.30)(200, 0.20; 150, 0.50; −100, 0.30)

diventa la scelta tra (100, 0.50; −50, 0.30) e(150, 0.50; −100, 0.30);

Alcune operazioni

semplificazione: i numeri sono arrotondati (in particolare, gliesiti estremamente improbabili sono trascurati);

individuazione delle alternative dominate, che vengonosubito scartate.

Alcune operazioni

semplificazione: i numeri sono arrotondati (in particolare, gliesiti estremamente improbabili sono trascurati);

individuazione delle alternative dominate, che vengonosubito scartate.

Effetti dell’editing

Le lotterie che le persone valutano non sono piu quelleofferte dai problemi.

Il problema viene rappresentato diversamente, a secondadell’ordine delle operazioni preliminari sulle lotterie.

Le operazioni preliminari sulle lotterie giustificano alcuneanomalie (e.g., isolamento).

Ricapitoliamo

Inizio

LeggiA, B

- codifica- combinazione

- estrazione- isolamento

- semplificazione- scarto delle

opzioni dominate

A∗ - B∗?No

Scegli B

Scegli A

Le operazioni di editing (codifica, combinazione, ecc.) trasformanoA in A∗ e B in B∗.

Valutazione delle lotterie

Manteniamo il piu possibile del modello classico: il valore V diuna lotteria

(x1, p1; . . . ; xn, pn)

e una funzione lineare dei valori soggettivi degli esiti xi , ciascunopesato per un peso di decisione π(pi ).Per definire V , usiamo pertanto due funzioni:

a) una funzione di valore degli esiti

v : {x1, . . . , xn} → R

b) una funzione che pesa le probabilita

π : {p1, . . . , pn} → R

Valutazione delle lotterie

Nota bene

La scelta fra due lotterie rimane vincolata a un criterio dimassimizzazione: infatti

(x1, p1; . . . ; xn, pn) - (y1, q1; . . . ; ym, qm)

se e solo se

V (x1, p1; . . . ; xn, pn) ≤ V (y1, q1; . . . ; ym, qm)

Osservazioni generali

Il peso di decisione π(p) dipende unicamente dalla probabilitap (a differenza di [TK92]).

La funzione π non e una funzione di probabilita; in generale,

π(p) + π(1− p) 6= 1.

π(p) rappresenta l’impatto della probabilita p nellavalutazione della decisione (peso di decisione).

v e una funzione sugli esiti di una lotteria (vincite o perdite),che assegna ad ogni esito il suo valore soggettivo.

Prendiamo come zero nella scala dei valori il punto diriferimento rispetto a cui gli esiti sono vincite o perdite:

v(0) = 0.

π(p) + π(1− p) 6= 1.

v(0) = 0.

π(p) + π(1− p) 6= 1.

v(0) = 0.

π(p) + π(1− p) 6= 1.

v(0) = 0.

π(p) + π(1− p) 6= 1.

v(0) = 0.

Avvertenza

D’ora in poi, consideriamo solo lotterie monetarie semplici, con alpiu due esiti non nulli:

(x , p; y , q),

con p + q ≤ 1.

Cioe, consideriamo solo le lotterie del tipo:

x con probabilita py con probabilita q0 con probabilita 1− p − q

Distinguiamo i due casi:

a) lotterie miste, in cui non ci sono solo vincite nette o perditenette (p + q < 1 o xy < 0);

b) lotterie in cui ci sono o solo vincite nette, o solo perdite nette(p + q = 1 e xy > 0).

Lotterie miste (non solo vincite o perdite nette)

Valore della lotteria

Il valore di una lotteria mista (x , p; y , q) e

V (x , p; y , q) = v(x) · π(p) + v(y) · π(q),

cioe la somma dei valori soggettivi degli esiti, ciascuno pesatoper il peso di decisione della sua probabilita.

Lotterie miste (non solo vincite o perdite nette)

Il valore di una lotteria mista (x , p; y , q) e

V (x , p; y , q) = v(x) · π(p) + v(y) · π(q),

cioe la somma dei valori soggettivi degli esiti, ciascuno pesatoper il peso di decisione della sua probabilita.

E il modello dell’utilita prevista generalizzato!

Lotterie con solo vincite nette (o perdite nette)

Il valore di una lotteria strettamente positiva o strettamentenegativa (x , p; y , q), con |y | < |x |, e:

V (x , p; y , q) = v(y) +(v(x)− v(y)

)· π(p),

cioe il valore soggettivo della vincita (o perdita) sicura, piu ilvalore della lotteria rischiosa (x − y , p; 0, q).

Lotterie con solo vincite nette (o perdite nette)

Il valore di una lotteria strettamente positiva o strettamentenegativa (x , p; y , q), con |y | < |x |, e:

V (x , p; y , q) = v(y) +(v(x)− v(y)

)· π(p),

cioe il valore soggettivo della vincita (o perdita) sicura, piu ilvalore della lotteria rischiosa (x − y , p; 0, q).

La componente sicura della lotteria e “estratta” nella fase diediting (→ effetto di isolamento), e il valore della lotteria rischiosae calcolato a parte.

Ricapitoliamo

Inizio

LeggiA, B

- codifica- combinazione

- estrazione- isolamento

- semplificazione- scarto delle

opzioni dominate

V (A∗)≤V (B∗)?No

Scegli B

Scegli A

Le operazioni di editing (codifica, combinazione, ecc.) trasformanoA in A∗ e B in B∗.

Osservazioni

Le due equazioni

V (x , p; y , q) = v(x) · π(p) + v(y) · π(q) (1)

V (x , p; y , q) = v(y) +(v(x)− v(y)

)· π(p) (2)

hanno una forma molto simile a quella dell’utilita prevista,

V (x , p; y , q) = U(x) · p + U(y) · q.

Prima differenza: il valore v degli esiti e una funzione divincite e perdite, non di stati finali di ricchezza (com’e U).

Seconda differenza: i valori degli esiti xi non sono pesati per leprobabilita pi , ma per dei pesi di decisione π(pi ), che nonsono probabilita.

Da cio seguono scelte normativamente inaccettabili! Lostandard normativo rimane il modello dell’utilita prevista.

Osservazioni

Le due equazioni

V (x , p; y , q) = v(x) · π(p) + v(y) · π(q) (1)

V (x , p; y , q) = v(y) +(v(x)− v(y)

)· π(p) (2)

V (x , p; y , q) = U(x) · p + U(y) · q.

Osservazioni

Le due equazioni

V (x , p; y , q) = v(x) · π(p) + v(y) · π(q) (1)

V (x , p; y , q) = v(y) +(v(x)− v(y)

)· π(p) (2)

V (x , p; y , q) = U(x) · p + U(y) · q.

Osservazioni

Le due equazioni

V (x , p; y , q) = v(x) · π(p) + v(y) · π(q) (1)

V (x , p; y , q) = v(y) +(v(x)− v(y)

)· π(p) (2)

V (x , p; y , q) = U(x) · p + U(y) · q.

Osservazioni

Le due equazioni

V (x , p; y , q) = v(x) · π(p) + v(y) · π(q) (1)

V (x , p; y , q) = v(y) +(v(x)− v(y)

)· π(p) (2)

V (x , p; y , q) = U(x) · p + U(y) · q.

Cambiamenti di ricchezza

Dagli esperimenti

Le persone valutano i cambiamenti di ricchezza (vincite o perdite),non gli stati finali di ricchezza.

La sensibilita ai mutamenti, piuttosto che agli stati finali, euna caratteristica di molti meccanismi percettivi (e.g., latemperatura al tatto).

La posizione iniziale altera il valore delle vincite e delleperdite: per ogni posizione iniziale, una funzione v diversa.

Dagli esperimenti

Tre fatti

a) La concavita di U non spiega il comportamento osservato negliesperimenti (→ assicurazione probabilistica).

b) Ma il valore di una vincita sicura di xp + y(1− p) e superioreal valore della lotteria (x , p; y , 1− p), che ha la stessa vincitaprevista:

V (xp + y(1− p), 1) > V (x , p; y , 1− p)

(→ effetto della certezza, avversione al rischio).

c) Viceversa per le perdite:

V (xp + y(1− p), 1) < V (x , p; y , 1− p)

(→ effetto di riflessione, ricerca del rischio).

Tre fatti

V (xp + y(1− p), 1) > V (x , p; y , 1− p)

V (xp + y(1− p), 1) < V (x , p; y , 1− p)

Tre fatti

V (xp + y(1− p), 1) > V (x , p; y , 1− p)

V (xp + y(1− p), 1) < V (x , p; y , 1− p)

Tre fatti

V (xp + y(1− p), 1) > V (x , p; y , 1− p)

V (xp + y(1− p), 1) < V (x , p; y , 1− p)

Attenzione

Stavolta, cio non dice ancora nulla sulla forma di v .

nella percezione, succede che la risposta psicologica sia unafunzione concava dell’ampiezza dello stimolo (la sensibilitadiminuisce, con l’ampiezza dello stimolo);

le persone sentono piu differenza tra vincere 100 e vincere200, che tra vincere 1100 e vincere 1200;

le persone sentono piu differenza tra perdere 100 e perdere200, che tra perdere 1100 e perdere 1200.

Convessita e concavita di v

Nuova ipotesi

La funzione di valore v e una funzione:

a) dei cambiamenti di ricchezza (vincite o perdite),

b) crescente (v ′ > 0),

c) convessa sulle perdite (v ′′(x) > 0 per x < 0),

d) con un punto di flesso per x = 0, e

e) concava sulle vincite (v ′′(x) < 0 per x > 0).

Nuova ipotesi

Confronta con l’ipotesi classica

Ipotesi classica

La funzione di utilita U e una funzione:

a) degli stati finali di ricchezza,

b) crescente (U ′ > 0), e

c) (ovunque) concava (U ′′ < 0).

L’utilita U (classica)

Figura: da http://www.econ.ohio-state.edu/hmarvel.

La funzione di valore v

Figura: [KT79, 279]. La curva e convessa sulle perdite e concava sullevincite.

Un esperimento per verificare quest’ipotesi:

Problema 13

Scegli fra:

A = (6000, 0.25; 0, 0.75)B = (4000, 0.25; 2000, 0.25; 0, 0.50)

Problema 13′

Scegli fra:

C = (−6000, 0.25; 0, 0.75)D = (−4000, 0.25; −2000, 0.25; 0, 0.50)

Un esperimento per verificare quest’ipotesi:

Problema 13

Scegli fra:

A = (6000, 0.25; 0, 0.75) 18%B = (4000, 0.25; 2000, 0.25; 0, 0.50) 82%

Problema 13′

Scegli fra:

C = (−6000, 0.25; 0, 0.75) 70%D = (−4000, 0.25; −2000, 0.25; 0, 0.50) 30%

Ricordiamo che

V (x , p; y , q) = v(x) · π(p) + v(y) · π(q)

per le lotterie miste. Percio:

v(6000) · π(0.25) < v(4000) · π(0.25) + v(2000) · π(0.25)

cioe v(6000) < v(4000) + v(2000), in accordo con laconcavita di v sulle vincite;

v(−6000) ·π(0.25) > v(−4000) ·π(0.25) + v(−2000) ·π(0.25)

cioe v(−6000) > v(−4000) + v(−2000), in accordo con laconvessita di v sulle perdite.

Ricordiamo che

V (x , p; y , q) = v(x) · π(p) + v(y) · π(q)

v(6000) · π(0.25) < v(4000) · π(0.25) + v(2000) · π(0.25)

v(−6000) ·π(0.25) > v(−4000) ·π(0.25) + v(−2000) ·π(0.25)

Ricordiamo che

V (x , p; y , q) = v(x) · π(p) + v(y) · π(q)

v(6000) · π(0.25) < v(4000) · π(0.25) + v(2000) · π(0.25)

v(−6000) ·π(0.25) > v(−4000) ·π(0.25) + v(−2000) ·π(0.25)

Ricordiamo che

V (x , p; y , q) = v(x) · π(p) + v(y) · π(q)

v(6000) · π(0.25) < v(4000) · π(0.25) + v(2000) · π(0.25)

v(−6000) ·π(0.25) > v(−4000) ·π(0.25) + v(−2000) ·π(0.25)

Ricordiamo che

V (x , p; y , q) = v(x) · π(p) + v(y) · π(q)

v(6000) · π(0.25) < v(4000) · π(0.25) + v(2000) · π(0.25)

v(−6000) ·π(0.25) > v(−4000) ·π(0.25) + v(−2000) ·π(0.25)

Avversione alla perdita

Le persone reali sono piu sensibili alle perdite che alle vincite.

Il dispiacere per una perdita e maggiore del piacere per una vincita!Percio ipotizziamo che la funzione v sia asimmetrica:

Ipotesi

La “pendenza” della curva di v e maggiore per le perdite che per levincite, ossia

v ′(x) > v ′(−x)

se x < 0.

Avversione alla perdita

Le persone reali sono piu sensibili alle perdite che alle vincite.

Il dispiacere per una perdita e maggiore del piacere per una vincita!Percio ipotizziamo che la funzione v sia asimmetrica:

Ipotesi

La “pendenza” della curva di v e maggiore per le perdite che per levincite, ossia

v ′(x) > v ′(−x)

se x < 0.

Figura: [KT79, 279]. La curva e asimmetrica rispetto all’origine.

La funzione di utilita di Markowitz

Figura: [Mar52, 154]

In sintesi

a) dei cambiamenti di ricchezza (vincite e perdite);

b) convessa per le perdite, concava per le vincite;

c) piu pendente sulle perdite che sulle vincite.

Non probabilita!

I pesi di decisione

a) sono rivelati dalle scelte (come le probabilita soggettive di deFinetti); ma

b) non sono probabilita, e

c) non rappresentano gradi di convinzione [KT79, 280].

Non probabilita!

I pesi di decisione

Non probabilita!

I pesi di decisione

Non probabilita!

I pesi di decisione

Caratteristiche di π

π e una funzione delle probabilita p.

π e crescente: se q < p, allora π(q) < π(p).

π(0) = 0 (= gli esiti che dipendono da eventi impossibili sonotrascurati).

π(1) = 1 (= i pesi sono normalizzati).

Sopravvalutazione delle probabilita molto piccole

La fortuna dei biglietti del lotto e dei premi di assicurazionemanifesta

l’attrattiva delle grosse vincite molto improbabili

l’avversione per le grosse perdite molto improbabili.

Ad esempio, (5, 1) ≺ (5000, 0.01; 0, 0.99) e(−5000, 0.01; 0, 0.99) ≺ (−5, 1) per almeno il 55% degliintervistati.

Ipotesi

Le probabilita piccole sono sopravvalutate nelle decisioni, i.e.

π(p) > p

se p e sufficientemente piccolo.

Sopravvalutazione delle probabilita molto piccole

La fortuna dei biglietti del lotto e dei premi di assicurazionemanifesta

l’attrattiva delle grosse vincite molto improbabili

l’avversione per le grosse perdite molto improbabili.

Ad esempio, (5, 1) ≺ (5000, 0.01; 0, 0.99) e(−5000, 0.01; 0, 0.99) ≺ (−5, 1) per almeno il 55% degliintervistati.

Ipotesi

Le probabilita piccole sono sopravvalutate nelle decisioni, i.e.

π(p) > p

se p e sufficientemente piccolo.

Subcertainty e subproportionality

Subcertainty

Per ogni p ∈ (0, 1),

π(p) + π(1− p) < 1.

Cio spiega il paradosso di Allais e l’effetto della certezza.Moralmente: le preferenze delle persone reali sono meno sensibili aicambiamenti di probabilita di quanto non preveda il modelloclassico.

Subcertainty e subproportionality

Subproportionality

Per p, q, r ∈ (0, 1),π(p)

π(q)≥ π(pr)

π(qr).

L’ipotesi dell’altra volta, che

(x , p; 0, 1− p) ∼ (y , pq; 0, 1− pq)

implicasse

(x , pr ; 0, 1− pr) ≺ (y , pqr ; 0, 1− pqr),

e una conseguenza!

La funzione π

Figura: [KT79, 283]. Il comportamento della funzione e irregolare inprossimita degli estremi (effetto della certezza).

Avvertenza

Questa forma dei pesi di decisione π(pi ), dati da una funzione (nonlineare) delle probabilita pi , e abbandonata negli sviluppisuccessivi di Prospect Theory [TK92].

Vincite rischiose

Il modello proposto si accorda con certi atteggiamenti verso ilrischio:

avversione al rischio sulle vincite con probabilita non piccole(= dove π e una funzione quasi lineare della probabilita), pervia della concavita di v ;

ricerca del rischio sulle vincite con probabilita molto piccole,per via della sopravvalutazione delle probabilita molto piccole.

Vincite rischiose

Perdite rischiose

E (simmetricamente):

ricerca del rischio sulle perdite con probabilita non piccole(= dove π e una funzione quasi lineare della probabilita), pervia della convessita di v ;

avversione al rischio sulle perdite con probabilita moltopiccole, per via della sopravvalutazione delle probabilita moltopiccole.

Perdite rischiose

Ricordate l’effetto di riflessione?

P.3 (4000,0.80) ≺ (3000,1) P.3′ (−4000,0.80) � (−3000,1)

20% 80% 92% 8%

P.4 (4000,0.20) � (3000,0.25) P.4′ (−4000,0.20) ≺ (−3000,0.25)

65% 35% 42% 58%

P.7 (3000,0.90) � (6000,0.45) P.7′ (−3000,0.90) ≺ (−6000,0.45)

86% 14% 8% 92%

P.8 (3000,0.002) ≺ (6000,0,001) P.8′ (−3000,0.002) � (−6000,0.001)

27% 73% 70% 30%

Il punto di riferimento

Osservazione

Un’idea centrale del modello proposto e che gli esiti siano valutaticome vincite o perdite

Il punto di riferimento puo essere:

lo status quo;lo stato atteso, cioe il livello a cui si aspira.

La rappresentazione (= codifica) degli esiti di una lotteriacome vincite o come perdite altera radicalmente lavalutazione del problema.

Percio sono importanti i cambiamenti di punto di riferimento:ad esempio, se V (x , p; −y , 1− p) = 0, alloraV (x − z , p; −y − z , 1− p) > V (−z , 1) (aumenta la ricercadel rischio).

Osservazione

Un’idea centrale del modello proposto e che gli esiti siano valutaticome vincite o perdite → relativamente a un punto di riferimento

Osservazione

lo status quo;

lo stato atteso, cioe il livello a cui si aspira.

Osservazione

Estensioni

La teoria dev’essere estesa per trattare lotterie con piu di dueesiti non nulli.

Abbiamo usato soltanto esiti monetari!

La teoria tratta di decisioni in condizioni di rischio: e perl’incertezza?

In conclusione

Che cos’abbiamo fatto?

Abbiamo constatato sperimentalmente l’insufficienza delmodello dell’utilita prevista come modello descrittivo deicomportamenti decisionali in condizioni di rischio.

I dati sperimentali hanno dato anche indicazioni su comemodificare il modello: non abbiamo registrato erroriasistematici, ma biases fondamentali e largamente diffusi!

Kahneman e Tversky propongono un modello descrittivoalternativo, in due fasi.

Nella prima fase, le persone svolgono alcune operazionisulle lotterie, utili ad una rappresentazione piu semplice delproblema. Queste operazioni alterano il problema.

In conclusione

Nella seconda fase, le persone valutano le lotterie, adottandoun criterio di massimizzazione, simile all’utilita prevista.

A differenza che nel modello dell’utilita prevista, pero, gli esitinon sono stati finali di ricchezza, ma vincite o perdite.

Le proprieta della funzione di valore degli esiti spiegano alcunidati osservati (avversione al rischio sulle vincite, ricerca delrischio sulle perdite, avversione alla perdita).

Gli esiti sono pesati non con delle probabilita, ma con dei pesidi decisione che dipendono dalle probabilita.

In conclusione

Il modello proposto rende ragione dei dati sperimentaliraccolti; d’altra parte, si accorda con / predicecomportamenti normativamente inaccettabili (e.g.,violazioni dell’invarianza). Lo teniamo come modellodescrittivo.

Daniel Kahneman and Amos Tversky.Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk.Econometrica, 47(2):263–291, 1979.

Harry Markowitz.The Utility of Wealth.The Journal of Political Economy, 60(2):151 – 158, 1952.

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