La probabilit a non esiste -...

La probabilita non esisteL’epistemologia soggettivista di

Bruno de Finetti

Hykel Hosnihttp://homepage.sns.it/hosni/

Scuola Normale Superiore, Pisa

27 aprile 2010

Hykel Hosni (SNS Pisa) La probabilita non esiste 27 aprile 2010 1 / 37

Bruno de Finetti

Innsbruck, 13/06/ 1906 - Roma, 20/11/1985

Un esempio attuale

I ministri dei trasporti dell’UE hanno deciso di chiudere gran partedello spazio aereo europeo per l’alta probabilita di malfunzionamentodei propulsori dovuta alla cenere vulcanica.

Decisione in condizioni di incertezza

La decisione della UE e stata estremamente costosa per l’economia ein termini di disagio arrecato a migliaia di viaggiatori. Oggi, con ilsenno di poi!, molti criticano i decision maker dell’Unione dicendo chehanno sovrastimato il rischio

Domande centraliLa probabilita e uno strumento fondamentale in tutte le circostanzepratiche della vita quotidiana in cui ci troviamo a dover decidere incondizioni di incertezza.

Ma come interpretare il concetto di probabilita?

In che senso non possiamo dire che e oggettiva?

Decisione in condizioni di incertezza

La decisione della UE e stata estremamente costosa per l’economia ein termini di disagio arrecato a migliaia di viaggiatori. Oggi, con ilsenno di poi!, molti criticano i decision maker dell’Unione dicendo chehanno sovrastimato il rischio

Domande centraliLa probabilita e uno strumento fondamentale in tutte le circostanzepratiche della vita quotidiana in cui ci troviamo a dover decidere incondizioni di incertezza.

Ma come interpretare il concetto di probabilita?

In che senso non possiamo dire che e oggettiva?

Sommario

1 Quali sono le domande?

2 Definizioni e interpretazioni del concettodi probabilita

3 La probabilita come grado di convinzione

4 Dalla definizione alla misura

5 Sviluppi e suggerimenti per approfondire

La probabilita non esiste

Un sistema di coordinate

La probabilita svolge un ruolo fondamentale nella matematica, nellescienze naturali e in quelle sociali.Per questo e utile distinguere tra

1 teoria delle probabilita

2 calcolo delle probabilita

3 inferenza probabilistica

Attenzione!Questa distinzione non corrisponde a una partizione in ambiti diricerca indipendenti, al contrario! La grande lezione di de Finetti eproprio questa: soltanto attraverso una profonda riflessionesull’interazione tra questi tre livelli e possibile comprendere in modosensato il problema del ragionamento in condizioni di incertezza.

Un sistema di coordinate

La probabilita svolge un ruolo fondamentale nella matematica, nellescienze naturali e in quelle sociali.Per questo e utile distinguere tra

1 teoria delle probabilita

2 calcolo delle probabilita

3 inferenza probabilistica

Attenzione!Questa distinzione non corrisponde a una partizione in ambiti diricerca indipendenti, al contrario! La grande lezione di de Finetti eproprio questa: soltanto attraverso una profonda riflessionesull’interazione tra questi tre livelli e possibile comprendere in modosensato il problema del ragionamento in condizioni di incertezza.

Teoria delle probabilita

Domanda centraleCome si definisce, come si interpreta, e come si valuta la probabilita?

Che vuol dire che laprobabilita di pioggia domanie del 90%?

Come si misura il grado difiducia dei fisici sul fatto chel’LHC permettera di decideresull’esistenza del bosone diHiggs?

Calcolo delle probabilita

Domanda centraleQuali sono le proprieta formali (i teoremi!) della probabilita?

Esempio

P(E | H) = P(E )P(H | E )

Calcolo delle probabilita

Domanda centraleQuali sono le proprieta formali (i teoremi!) della probabilita?

Esempio

P(E | H) = P(E )P(H | E )

Ragionamento probabilistico

Domanda centraleCome possiamo/dobbiamo usare la probabiltia nell’inferenzainduttiva?

statistica

logica induttiva / logica probabilistica

Mettendo le cose insieme

Affinche sia possibile applicare il calcolo delle probabilita ai problemidi ragionamento in condizioni di incertezza e necessario che entrambisiano sviluppati in accordo a un’adeguata teoria delle probabilita

Esempio: Certezza pratica‘We were seeing things that were 25-standard-deviation events,several days in a row,’ said David Viniar, CFO of the smartestfinancial firm in the world, Goldman Sachs. According to Goldman’ smathematical models, August, Year of Our Lord 2007, was a veryspecial month. Things were happening that were only supposed tohappen once in every 100,000 years. Either that [. . .] or Goldmansmodels were wronga.

aB. Bonner, Financial Times, 13/8/2007

Classica/frequentista

DefinizioneLa probabilita di un evento e la sua frequenza relativa rispetto a unaclasse di eventi (indipendenti ed) equiprobabili.

le frequenze relative sono estremamente importanti nelragionamento induttivo (statistico) per la definizione dellaprobabilita non sono

I ne necessarie: qual e la probabilita di una nuova eruzione delvulcano Eyjafjallajokull

I ne sufficienti: fallacia dei numeri ‘ritardatari’

il riferimento all’equiprobabilita rende la definizione ovviamentecircolare!

Logicista

DefinizioneLa probabilita e una proprieta logica (analitica) degli eventi. Tutti gliindividui che dispogono delle medesime informazioni devono quindiassegnare le medesime probabilita agli eventi.

Critica:

individui distinti valutano generalmente evidenze distinte

anche nel caso in cui tutti gli individui dispongano dellamedesima evidenza, e perfettamente ragionevole che si trovino indisaccordo nella valutazione finale

Assiomatica

DefinizioneData una tripla (W , E ,P) dove W e un insieme qualsiasi e Eun’algebra su W , definiamo la probabilita P come una funzione chesoddisfa i tre assiomi di Kolmogorov:

(K1) 0 ≤ P(E ) ≤ 1,∀E ∈ E

(K2) P(W) = 1,P(∅) = 0

(K3) Se E1,E2 sono elementi disgiunti E , alloraP(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)

(K3’) Per ogni sequenza numerabile di eventi logicamente indipendentiE1,E2 . . . vale

P(E1 ∪ E2 ∪ . . .) =∑

P(Ei).

Assiomatica

(K1) 0 ≤ P(E ) ≤ 1,∀E ∈ E(K2) P(W) = 1,P(∅) = 0

P(E1 ∪ E2 ∪ . . .) =∑

P(Ei).

Assiomatica

(K1) 0 ≤ P(E ) ≤ 1,∀E ∈ E(K2) P(W) = 1,P(∅) = 0

P(E1 ∪ E2 ∪ . . .) =∑

P(Ei).

Assiomatica

(K1) 0 ≤ P(E ) ≤ 1,∀E ∈ E(K2) P(W) = 1,P(∅) = 0

P(E1 ∪ E2 ∪ . . .) =∑

P(Ei).

Fatti, eventi e fenomeni

De Finetti argomenta contro le interpetazioni oggettiviste eassiomatiche mettendo mettendo in evidenza come queste noncaratterizzino in modo appropriato la nozione di evento e distinguetra

1 evento: circostanza singola e ben definita su cui un individuo sipone una domanda

I LHC dimostrera l’esistenza del bosone di Higgs?

2 fatto: insieme di circostanze che sussistono indipendentementedal soggetto che si pone la domanda

I L’ossigeno ha tre istopi stabili

3 fenomeno: circostanze che associamo naturalmente in quantosimili

I Il primo Ryanair del giorno da STN a PSA e piu puntuale delsecondo

Soggettivistmo (radicale)

Riassunto dei concetti fondamentali:

La probabilita misura il grado di convinzione (o fiducia, ecc.) diun agente su evento relativamente al proprio stato diinformazione

La probabilita non e una proprieta del mondo (degli eventi) mauno stato psicologico di chi si interroghi circa l’esito dideterminati eventi

La valutazione soggettiva della probabilita avviene sempre allaluce dello stato di informazione corrente di un individuo

Il concetto di ‘probabilita vera’ o ‘oggettiva’ e insensato

Ciascuno a modo suo, purche in modo coerente

Lo schema delle scommesse

IdeaLa probabilita che un agente a assegna all’evento E e il prezzo equop = P(E ) che a e disposto a pagare per partecipare a una scommessain cui

a riceve

{1-p se l’evento E si verifica

0 altrimenti

Dutch Book

IdeaUna valutazione di probabilita di una agente a si dice inconsistente see possibile costruire un book contro a, cioe un insieme di scommessetali che

ogni scommessa e individualmente accettabile per a

ma che prese congiuntamente portano a a perdita sicura

Formalmente, una valutazione di probabilita si dice consistente se nonesistono Si ,Ti > 0, Ei ,Ej ∈ E , pi < P(Ei),P(Ej) < qj ,i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n tali che per ogni V

n∑1=i

Si(V (Ei)− pi)−m∑

Tj(V (Ej)− qj) < 0,

dove V (E ) = 1 se l’evento E si verifica e 0 altrimenti.Hykel Hosni (SNS Pisa) La probabilita non esiste 27 aprile 2010 20 / 37

La giustificazione

L’argomento del Dutch Book si completa con il seguente risultato checi fornisce una risposta epistemologicamente adeguata alla domanda‘come si formalizza il concetto di grado di convinzione razionale?’

Teorema (de Finetti 1931, de Finetti 1970)

Le valutazioni di probabilita di un individuo in un book sonoconsistenti se e solo se soddisfano gli assiomi K1-K3.

A meno di (non infrequenti!) appropriazioni indebite, l’espressioneprobabilita bayesiana si usa in riferimento a questa caratterizzazionedella ‘convinzione come probabilita’Concezioni analoghe si trovano per esempio in

Savage, L. J. (1954). The Foundations of Statistics. Wiley.

Ramsey, F. (1931). Truth and probability (1926). in R. Braithwaite (ed:)The Foundations of Mathematics and other Logical Essays. Kegan, Paul,Trence, Trubner & Co., London.

La giustificazione

A meno di (non infrequenti!) appropriazioni indebite, l’espressioneprobabilita bayesiana si usa in riferimento a questa caratterizzazionedella ‘convinzione come probabilita’

Concezioni analoghe si trovano per esempio in

La giustificazione

A meno di (non infrequenti!) appropriazioni indebite, l’espressioneprobabilita bayesiana si usa in riferimento a questa caratterizzazionedella ‘convinzione come probabilita’Concezioni analoghe si trovano per esempio in

Esempio

Per far fronte alla minaccia di una nuova crisi finanziaria globale, laBanca Mondiale ha deciso di assumere un epistmologo. Supponiamoche alla competizione partecipino due filosofi bayesiani B e F che cheil CFO della Banca assegni le seguenti probabilitaPB = 0.60 ,PF = 0.20 P = 0.70, dove P sta per ‘vince unbayesiano’.

Le seguenti scommesse sono eque:

1 +40 se vince B, -60 se perde

2 +80 se vince F, -20 se perde

3 +30 se vince un bayesiano, -70 altrimenti

Ma questo e un book contro CFO!In ogni caso vince una scommessa e se pere due, con una perditanetta di 10 E

Se invece avesse assegnato p = pB + pF questo non sarebbe successo!

Esempio

Per far fronte alla minaccia di una nuova crisi finanziaria globale, laBanca Mondiale ha deciso di assumere un epistmologo. Supponiamoche alla competizione partecipino due filosofi bayesiani B e F che cheil CFO della Banca assegni le seguenti probabilitaPB = 0.60 ,PF = 0.20 P = 0.70, dove P sta per ‘vince unbayesiano’. Le seguenti scommesse sono eque:

Esempio

Se invece avesse assegnato p = pB + pF questo non sarebbe successo!Hykel Hosni (SNS Pisa) La probabilita non esiste 27 aprile 2010 22 / 37

Coerenza come razionalita

Il colpo di genio di de Finetti (e indipendentemente! di Ramsey)consiste nel far riferimento alla perdita sicura.

una persona che consapevolmente si metta nella posizione diperdere indipendentemente dal corso degli eventi su cuiscommette, di sicuro non agisce in modo razionale

sotto l’ipotesi che il comportamento dipenda dalle convinzionidella persona se ne conclude l’inconsistenza

al fine di evitare obiezioni metodologiche e necessario escludere icasi di ‘scommessa per amor del rischio’.

Scommesse come contratti

La scommessa che sta alla base della definizione di book eessenzialmete come un contratto completo tra due parti che decidono

1 le condizioni di scommessa: quota e pagamenti

2 le condizioni di pagamento: il contratto include le condizioni diverifica dell’evento oggetto di scommessa

Il punto 2 e di importanza fondamentale per la logica degli eventi chee, per de finetti a tre valori. Una scommessa su E infatti puo essere:

vinta, se E si verifica

persa, se E non si verifica

annullata, se non si danno le condizioni di verifica di E (p.e.LHC viene chiuso per mancanza di fondi)

Probabilita condizionale

La logica a tre valori degli eventi e di importanza fondamentalenell’interpetazione operativa della probabilita condizionale definita da

P(E2 | E1) =P(E2 ∩ E1)

Ovviamente la sensatezza della definizione dipende fal fatto cheP(E1) > 0. Che succede, pero se non si danno le condizioni diverifica di E1?

V (E1) viene dichiarato nullo e la scommessa viene quindi annullata(ognuno riprende i propri soldi).

Trieventi

Riassumendo, per E1,E2 ∈ E

V (E2 | E1) =

0 se V (E1) = 1 e V (E2) = 0

1 se V (E1) = 1 e V (E2) = 1

∅ se V (E1) = 0

OsservazioneLa logica degli eventi (condizionali) ha la stessa semantica dellalogica tre valori di Kleene, ma non possiamo trattare | come unconnettivo composizionale! Altrimenti incorriamo nel Teoremalimitativo (Triviality) di D. Lewis.

Lewis, D. (1976). Probabilities of Conditionals and ConditionalProbabilities. The Philosophical Review, 85(3), 297.

Lewis, D. (1986). Probability of Conditionals and Conditional ProbabilitiesII. The Philosophical Review, 54(4), 581-589.

Trieventi

V (E2 | E1) =

0 se V (E1) = 1 e V (E2) = 0

1 se V (E1) = 1 e V (E2) = 1

∅ se V (E1) = 0

Trieventi

V (E2 | E1) =

0 se V (E1) = 1 e V (E2) = 0

1 se V (E1) = 1 e V (E2) = 1

∅ se V (E1) = 0

Valutazione sincera di probabilita

Lo schema delle scommesse permette di dare una definizioneoperativa del grado di convinzione razionale di una persona che sitrovi a valutare l’esito di un evento E in condizioni di incertezza

gli assiomi della probabilita ci mettono a riparo da valutazioniincoerenti

ma non ci dicono nulla sul modo piu appropriato di misurare taleprobabilita

IdeaCerchiamo uno strumento per forzare, nel suo proprio interesse, unagente a dichiarare sinceramente il propri valori di probabilita. Inquesto modo si elimina la componente strategica intrinseca nelloschema delle scommesse.

Regola di Brier

L’idea centrale consiste nell’informare l’agente che deve valutare laprobabilita di essere soggetto alla penalizzazione:

{(π)2 se E non si verifica

(1− π)2 se E si verifica

dove π rappresenta il valore indicato da a.

Proprieta fondamentalePonendo π = p si minimizza la previsione di penalizzazione.

Riferimenti:

Lindley, D. V. (1982). Scoring Rules and the Inevitability of Probability.International Statistical Review, 50(1), 1-11.

de Finetti, B. (1981). The Role of ’Dutch Books’ and of ’Proper ScoringRules’. British Journal for the Philosophy of Science, 32(1), 55- 56.

M D’Agostino, C Sinigaglia (2010) Epistemic Accuracy and SubjectiveProbability In: EPSA Epistemology and Methodology of Science Editedby:M Surez, M Dorato, M Rdei. 95-105 Springer

Regola di Brier

Riferimenti:

Regola di Brier

Riferimenti:

Argomento algebrico

Supponiamo che un agente a reputi che la probabilita di un certoevento sia p ma che indichi invece π 6= p.Allora

π2(1− p) + (1− π)2p = π2 − π2p + (1 + π2 − 2π)p

= π2 − π2p + p + π2p − 2πp

= π2 + p − 2πp.

Se invece a avesse indicato p (e quindi π = p) sostuendo nell’ultimariga sopra avremmo che la sua previsione di penalizzazione sarebbestata p2 + p− 2p2 = p− p2. Possiamo calcolare, quindi, la differenza:

(π2 + p − 2πp)− (p − p2) = π2 + p − 2πp − p + p2

= π2 + p2 − 2πp

= (π2 − p)2.

Argomento geometrico

ascisse: [0, 1] (codominiodi P)

ordinate: previsione dipenalizzazionePp(Lπ) = π2 + p − 2πp =p(1− 2π) + π2

la scelta ottima, per ognip consiste nello scegliere ilπ che corrisponde allaretta che ha ordinataminima in p

Epistemologia bayesiana

L’area di ricerca che affronta questioni epistemologiche attraverso laconcezione soggettivista della probabilita e nota con il nome diepistemologia bayesiana

Domande centralirevisione delle convinzioni (belief revision)

giustificazione e evidenza

causalita

coerenza

Riferimenti:

Luc Bovens and Stephan Hartmann (2003), Bayesian Epistemology Oxford:Clarendon Press.

Talbott, W,, ‘Bayesian Epistemology’, The Stanford Encyclopedia ofPhilosophy (Fall 2008 Edition), Edward N. Zalta (ed.), http://plato.stanford.edu/archives/fall2008/entries/epistemology-bayesian

Alcune critiche

troppo permissivoI consistenza come condizione necessaria ma non sufficiente

troppo restrittivo

la consistenza non e necessaria per costruire una misura dellaconvinzione razionale in condizioni di incertezza

Riferimenti:

Paris, J. B. (1994). The uncertain reasoner’s companion: A mathematicalperspective. Cambridge University Press.

Halpern, J. Y. (2003). Reasoning about Uncertainty. MIT Press.

Alcune critiche

troppo permissivoI consistenza come condizione necessaria ma non sufficiente

troppo restrittivo

la consistenza non e necessaria per costruire una misura dellaconvinzione razionale in condizioni di incertezza

Riferimenti:

Paris, J. B. (1994). The uncertain reasoner’s companion: A mathematicalperspective. Cambridge University Press.

Halpern, J. Y. (2003). Reasoning about Uncertainty. MIT Press.

Oltre la coerenza

Massima entropiaParis, J. (1999). Common sense and maximum entropy. Synthese,Volume 117(1) , 75-93.

Bayesianesimo oggettivoWilliamson, J. (2010). In Defence of Objective Bayesianism. OxfordUniversity Press.

Pluralismo probabilisticoGillies, D. (2000). Philosophical Theories of Probability. Routledge.

Oltre la coerenza

Soggettivismo e logica del probabile

Il calcolo delle probabilita e la logica del probabile. Come lalogica formale insegna a dedurre la verita o falsita di certeconseguenze dalla verita o falsita di certe premesse, cosı ilcalcolo delle probabilita insegna a dedurre la maggiore ominore verosimiglianza o probabilita di certe conseguenzedalla maggiore o minore verosimiglianza o probabilita dicerte premesse. Per chi attribuisca alla probabilita unsignificato obbiettivo, il calcolo delle probabilita dovrebbeavere un significato obiettivo, i suoi teoremi esprimere delleprorieta che nel campo del reale risultano soddisfatte.

Ma e inutile fare simili ipotesi. Basta limitarsi allaconcezione soggettiva, considerare cioe la probabilita comegrado di fiducia sentito da un dato individuo nell’avverarsidi un dato evento, e si puo dimostrare che i noti teoremi delcaclolo delle probabilita sono condizioni necessarie esufficienti perche le opinioni di un dato individuo non sianointrinsecamente contraddittorie e incoerenti.1

1B. de Finetti, ‘Fondamenti logici del ragionamento probabilistico’, Boll. Un.Mat. Ital., 9, 258-261, 1930Hykel Hosni (SNS Pisa) La probabilita non esiste 27 aprile 2010 37 / 37

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