Costruttivismo∗

Introduzione

Il costruttivismo e un modo di fare matematica, quindi e difficile discuterloprescindendo dai suoi prodotti. Si puo chiamare una filosofia solo nel sensoin cui si parla di filosofia aziendale. La filosofia sta nelle motivazioni che spin-gono a fare o ad accettare solo un particolare tipo di matematica. Esistonodiversi tipi di costruttivismo, dai liberali ai fondamentalisti.

In generale il costruttivismo e rivolto a produrre una matematica attentaal contenuto effettivo dei teoremi; con questo s’intende che ogni teorema deveaffermare che qualcosa si puo fare, in senso lato, non che qualcosa esiste.

Noi ci dedichiamo alla matematica costruttiva per un desideriodi chiarire il significato della terminologia e della pratica mate-matica – in particolare il significato di esistenza in un contestomatematico. Il matematico classico, con la liberta di metodologiasostenuta da Hilbert, percepisce un oggetto come esistente se puodimostrare l’impossibilita della sua non esistenza; il matematicocostruttivo deve avere a disposizione un algoritmo che costruiscal’oggetto prima di riconoscere che esso esiste.1

Il contenuto emerge attraverso il tipo di dimostrazioni sviluppate, conle informazioni che se ne ricavano. Il costruttivismo richiede una maggiore

∗G. Lolli, Filosofia della matematica, Il Mulino, 2002, pp. 163-78; A. S. Troelstra eD. van Dalen, Constructivism in Mathematics. An Introduction, vol. I., North Holland,1988; D. Bridges e F. Richman, Varieties of Constructive Mathematics, Cambridge Univ.Press, 1987; M. J. Beeson, Foundations of Constructive Mathematics, Springer, 1985.

1Bridges e Richman, cit., p. 1. “Algoritmo” significa la specificazione di una procedurapasso passo che possa essere eseguita almeno in linea di principio in un numero finito dipassi.

attenzione alla logica usata; esso, nelle varie versioni, preferisce logiche deboli,in base al principio che per cavarsela con strumenti poveri occorre ingegnarsia spremere meglio le loro possibilita – benche non sia questo l’unico principioispiratore, ne sia sempre rispettata l’indicazione di usare una logica debole(restrizioni possono comparire in altre parti del discorso matematico, peresempio, per il predicativismo, nelle definizioni).2

Il costruttivismo e dunque anche un capitolo della logica, da quando lalogica ha perfezionato una grande varieta di logiche intermedie. La sue moti-vazioni filosofiche peraltro in generale sono anti-logiche, sospettose e nemichesoprattutto della logica classica; esse mettono in discussione il concetto stes-so di esistenza in matematica e non sono cosı semplici o semplicistiche comel’opzione nominalista.

La filosofia del costruttivismo si colloca su di un versante genericamen-te idealista, considera cioe la matematica un prodotto della mente uma-na, idealizzata quel tanto che le permette di dominare almeno l’infinitopotenziale.3

Tutte le forme di costruttivismo tracciano una linea di separazione tra unamatematica significativa e accettabile, da una parte, e dall’altra quella chepuo essere chiamata senza senso, o un’illusione, o comunque un uso impropriodella ragione che prevarica oltre il lecito, anche se scimmiotta mosse che sonocorrette entro i propri limiti.

Tutte le versioni del costruttivismo sono accomunate dal rifiuto della ma-tematica classica, dizione con la quale d’intende l’armoniosa struttura for-matasi nel diciannovesimo secolo con la definizione dei reali e degli spazi difunzioni e funzionali sovrastanti, struttura le cui proprieta sono determinateper mezzo della teoria degli insiemi e della logica classica.4 I costruttivisti ri-fiutano, tra l’altro, il continuo insiemistico, gli esempi di funzioni patologiche,gli insiemi non misurabili secondo Lebesgue; rifiutano la diagonalizzazione diCantor – quindi il piu che numerabile, se non nella forma d’inesauribilita deireali, proprieta che cercano di preservare per il loro sostituto del continuo;

2Il predicativismo puo essere classificato sia come una forma di logicismo sia tra lecorrenti costruttivistiche; lo distingue dal logicismo l’assunzione che la matematica sia unprodotto della mente, non di una ragione trascendente.

3Peraltro i costruttivisti si possono definire o si sentono realisti in quanto insistonosul carattere concreto delle costruzioni matematiche, e tacciano di idealismo coloro cheaccettano tutti gli enti astratti, immaginati senza freno.

4Si veda J. K. Truss, Foundations of Classical Analysis, Oxford, 1997.

2

un numero reale non e un oggetto infinito, ma un metodo per generarnel’espansione.

Una formulazione recente e una messa in atto degli intenti costruttivistiche, pur non essendo filosoficamente e logicamente ben definita, ha avutosuccesso per l’accurata esecuzione e per essere riuscita a presentarsi in modoappetibile ai matematici e quella di Errett Bishop.5

Quest’ultima condizione e importante; mentre non e chiaro che il nomina-lista voglia davvero convincere i matematici a fare matematica a modo suo,per il costruttivista questa aspirazione e reale. Le ragioni del costruttivistapossono peraltro far breccia nel matematico, perche consistono nel chiederedi “dare significato numerico a quanta piu parte e possibile della matematicaastratta classica”. Nella matematica s’incontrano enunciati che sono “mera-mente evocativi”, asserzioni senza validita empirica, solo logica, e altri cheinvece hanno immediata validita empirica, come quelli che affermano che de-terminate operazioni eseguibili produrranno determinati risultati osservabili.“La matematica e un misto del reale e dell’ideale”, la parte reale fornisce ilcontrollo, la parte ideale permette semplificazioni e apre possibilita nuove; ilbilanciamento deve essere ragionevole, e le considerazioni pragmatiche devo-no essere la guida finale. Contro lo scandalo che la matematica classica siadeficitaria in significato numerico, il costruttivismo s’ispira ai seguenti prin-cipi, etici o metodologici: rendere ogni concetto affermativo, anche quellodi disuguaglianza per esempio; evitare definizioni non operative; evitare lepseudo-generalita.

Esempi Proponiamo qualche esempio di idee condivise da tutte le correnticostruttiviste.

Una definizione del tipo

f =

{1 se A vale0 altrimenti

dove A e un affermazione che allo stato presente non e ne dimostrata nerefutata non e accettabile. Neanche un matematico classico e interessatoa una definizione di questo tipo, di cui non se ne fa niente; ma f esistecomunque, per il principio di comprensione.

5E. Bishop, Foundations of Constructive Analysis, McGraw-Hill, 1967.

3

I numeri interi e i numeri razionali sono introdotti come coppie (risp. dinaturali e di interi). Successioni infinite di razionali sono accettate se si hauna procedura (una legge) che determina per ogni n l’n-esimo termine.

Un numero reale puo essere specificato a partire da una successione diCauchy {xn} con un modulo, che e una successione α : N → N tale che perogni k e ogni m,n ≥ αk

| xm − xn |≤ 2−k.

In alternativa a usare il modulo α, alcuni definiscono come successione diCauchy al solito modo una successione {xn} di razionali tale che per ogni kesiste un n tale che per ogni m

| xn − xn+m |< 2−k,

scaricando l’effettivita della definizione sull’interpretazione costruttiva delquantificatore esistenziale.6

Le affermazioni del tipo ∀x∃yA(x, y) devono essere intese costruttivamen-te; come vedremo con l’interpretazione BHK, sono accettabili solo se si ha unmetodo costruttivo che per ogni x del dominio dia un y che con x soddisfaA. Quindi diventa possibile trasferire tale metodo all’interno esprimendo ladipendenza di t da x con una funzione; e accettabile cioe

∀n∃mA(n,m)→ ∃f∀nA(n, f(n)),

n ∈ N.Enunciati di questa forma rappresentano principi di scelta accettabili,

anche se in generale come vedremo il principio di scelta non e costruttiva-mente valido; per il collegamento con le forme usuali di scelta, se si consideraXn = {m | A(n,m)} l’antecedente dell’implicazione afferma che tutti gli Xn

sono non vuoti, e il conseguente che esiste una funzione f tale che f(n) ∈ Xn

per ogni n.Tra le successioni di Cauchy si definisce una relazione di uguaglianza:

{xn} e {yn} sono uguali, x ≈ y, se per ogni k esiste un n tale che per ogni m

| xn+m − yn+m |≤ 2−k.

La relazione di uguaglianza e una relazione di equivalenza e le classi di equi-valenza sono i numeri reali.7 Tuttavia, poiche ogni dimostrazione sui reali si

6Si trovano anche nella letteratura costruttivista altre definizioni, per esempio con lacondizione che per ogni m,n | xm − xn |≤ m−1 + n−1, in Bridges e Richman, cit.

7Cosı in A. S. Troelstra, Principles of Intuitionism, Springer, 1969.

4

riconduce a una dimostrazione relativa a successioni di Cauchy rappresentan-ti alcuni preferiscono definire direttamente i reali come successioni di Cauchy,con la relazione ≈ vera relazione di equivalenza invece che di uguaglianza.8

Gli intuizionsiti chiamano generatori di numeri reali le successioni di Cauchy.L’uguaglianza tra due numeri reali e definita dall’uguaglianza di due

successioni di Cauchy rappresentanti i due numeri.Dopo aver introdotto i numeri reali e le operazioni algebriche su di essi,

si dimostra che una successione di Cauchy di reali e convergente, dove {xn}converge a x se

∀k∃n∀m(| x− xn+m |< 2−k),

sempre con l’interpretazione costruttiva dei quantificatori.

Due esempi di dimostrazione non costruttiva, rifiutata dai costruttivisti,sono i seguenti:

Teorema Esistono due numeri irrazionali a, b tali che ab e razionale.

Dimostrazione.√

2√2

e o razionale, e allora si prenda a = b =√

2, o

irrazionale, e allora si prenda a =√

2√a, b =

√2.9 2

Lemma di Konig Se T e un albero finitario (cioe ha una radice e ogninodo ha un numero finito di successori immediati) infinito, in T esiste unramo infinito.

Dimostrazione. Definiamo un ramo, partendo dalla radice, la quale hainfiniti successori: ammesso di aver definito l’n-esimo nodo in modo che essoabbia infiniti successori, tra i suoi successori immediati se ne prenda uno cheha infiniti successori. 2

Torneremo sul lemma di Konig a proposito dell’intuizionismo. La di-mostrazione non e costruttivamente accettabile, perche non si puo deciderequali nodi a ogni stadio hanno infiniti successori. Il lemma di Konig si usa,o e implicito, in diverse situazioni. La sua dimostrazione si ritrova pari parinel teorema che un insieme infinito limitato di punti sulla retta ha almenoun punto di accumulazione. Se l’insieme e contenuto in [a, b], si divide pro-gressivamente questo intervallo in meta, scegliendo un sottointervallo in cui

8Per esempio Bishop; alcuni enunciati diventano piu contorti, ma si evita un livello diastrazione.

9Il teorema ammette peraltro una versione costruttiva grazie a un teorema di Gelfondche afferma: se a, diverso da 0 e 1, e algebrico e b irrazionale algebrico, allora ab eirrazionale.

5

cadano infiniti punti dell’insieme; un albero e dato dalla relazione per cui unintervallo e predecessore immediato di un altro se e uguale a una sua meta.

Controesempi Brouweriani I costruttivisti in generale accettano quelliche sono chiamati controesempi Brouweriani , o deboli : un controesempioBrouweriano a un’asserzione A non falsifica A ma e una prova che A implicaun’affermazione inaccettabile o almeno molto dubbia. Questa prova fornisceevidenza per la non esistenza di una dimostrazione costruttiva di A. A stessasi chiama controesempio.

Il controesempio piu generale e la legge del terzo escluso, che e accettataper proprieta decidibili ma discutibile per quelle infinite indecidibili.

Il terzo escluso, nella forma ∀x(P (x) ∨ ¬P (x)), e chiamato anche princi-pio di onniscienza. Una possibile formulazione debole e la seguente, per Pparticolare; indichiamo con α una successione (infinita) di 0 e 1; P (α) sial’affermazione che per qualche n αn = 1 e ¬P (α) l’affermazione che αn = 0per ogni n. ∀α(P (α)∨¬P (α)) e un caso particolare del terzo escluso. Se esi-stesse una prova costruttiva, si avrebbe una procedura per decidere tutte lequestioni matematiche formulabili in questo modo. Per esempio αn potrebbeessere “αn = 0 se e solo se 2n e la somma di due primi e n > 2”.

Questi casi particolari del terzo escluso sono anche chiamati da Bishop

Principio limitato di onniscienza (LPO). Se {xn} e una successione infinitadi 0 e 1, o esiste un n ∈ N tale che xn = 1 o xn = 0 per ogni n.

Con il principio limitato di onniscienza si dimostra che ogni numero realee uguale a 0 o diverso da 0: dato un reale r, per ogni n si determini unrazionale rn tale che | r − rn |< n−1. Se | rn |≤ n−1 si ponga an = 0; se| rn |> n−1, an = 1. Allora

r = 0 se e solo se ∀n(an = 0)| r |> 0 se e solo se ∃n(an = 1).

(1)

Se, poniamo, rn > n−1 per qualche n, e rn−r < n−1, allora r > rn−n−1 > 0,mentre se r− rn > n−1 > 0 allora r > 0. Ricordiamo che | x |= max(x,−x).

Analogamente se rn < −n−1. Cosı e dimostrato che se ∃n(an = 1) allora| r |> 0.

Viceversa, se | r |> 0, sia n tale che | r |> 2/n. Consideriamo il caso| r |= r: allora

−n−1 < r − rn < n−1,

6

da cui a destra rn > r − n−1 > n−1 > 0, quindi | rn |> n−1.Se invece | r |= −r, allora −r > 2/n e da sinistra rn < r + n−1 <

−2/n+ n−1 = −n−1; di qui −rn > n−1, | rn |> n−1.In conclusione, ∃n(an = 1).L’altra equivalenza di (1) si dimostra nello stesso modo. 2

Viceversa a ogni successione binaria α corrisponde un numero reale {2−nαn}che soddisfa (1), quindi r = 0∨ | r |> 0 equivale a LPO.10 Tuttaviar = 0 ∨ | r |> 0, o altre analoghe espressioni della totalita dell’ordine deireali, appaiono indimostrabili, come vedremo, dal punto di vista costruttivo.

Si possono dare esempi specifici di generatori di numeri reali per cui nonsi puo decidere se sono uguali a 0 o diversi da 0, con una tecnica tipica basatasu affermazioni indecise allo stato attuale delle conoscenze.

Sia p il primo numero tale che il (p+i)-esimo posto nello sviluppo decimaledi π e un 1 per 0 ≤ i < 10, e p = 0 se non esiste nello sviluppo decimale diπ una successione consecutiva di 1 di lunghezza almeno 10.

Per mezzo di p si definisca la seguente successione: per ogni m, xm ugualea 10−p se nei primi m + 9 posti della rappresentazione decimale di π c’euna successione di almeno dieci 1, e p e il primo posto dove inizia una talesuccessione; altrimenti xm = 10−m.

La successione e di Cauchy: dato h, dobbiamo trovare un N tale che∀n,m ≥ N | xn − xm |< 2−h. N puo essere k + 9. Dati due numeri n edm maggiori o uguali a N , se calcolando k + 9 cifre di π si e incontrata unasuccessione di dieci 1, allora xn e xm sono uguali; se non si e incontrata,anche se p fosse maggiore di k si puo dire comunque che | xn − xm |≤| xn |+ | xm |≤ 2 · 10−h < 2−h.

Questa successione e generatore di un numero reale costruttivo legittimo:il numero α uguale a 10−p, dove p e quello di sopra, se π contiene unasuccessione di almeno dieci 1, e α uguale a 0 altrimenti.

Un numero come α, per cui non si puo affermare α = 0 ∨ ¬α = 0 si dicefluttuante.

Un principio piu sofisticato e il seguente:

Principio (meno) limitato di onniscienza (LLPO). Se {xn} e una successionebinaria in cui al massimo un termine e 1, allora o x2n = 0 per ogni n o

10Equivalenti a LPO sono anche tante altre affermazioni, per esempio [−1, 1] = [−1, 0}∪{0} ∪ {0, 1].

7

x2n+1 = 0 per ogni n, vale a dire il primo (e unico) n per cui la successionenon e 0 o e pari o e dispari.

Enunciati equivalenti a LLPO sono: “per ogni reale r, o r ≤ 0 o r ≥ 0”,ovvero [−1, 1] = [−1, 0] ∪ [0 − 1], e “se il prodotto di due reali e =, uno deidue fattori e 0”.

I principi di onniscienza si possono schematizzare nel linguaggio proposi-zionale, introducendo il tema dei principi logici costruttivamente inaccetta-bili: LPO come A ∨ ¬A; LLPO come ¬(A ∧B)→ ¬A ∨ ¬B.

Altri principi di onniscienza sono

WLPO: ¬A ∨ ¬¬AMP: ¬¬A→ A,

quest’ultimo detto anche principio di Markov.LPO implica WLPO e WLPO implica LLPO; le loro relazioni logiche sono

piu strette, per esempio da LLPO, come caso particolare ¬(¬A∧A)→ ¬¬A∨¬A, quindi siccome ¬(¬A∧A) vale in tutte le logiche, ¬¬A∨¬A. Sono tuttirifiutati sia dall’intuizionismo sia dalla scuola russa, mentre questa accettail principio di Markov MP. Questo e conseguenza di A ∨ ¬A, e viceversa¬¬A→ A implica intuizionsticamente A ∨ ¬A.

I controesempi non sono oggetto di ricerca di per se, per contraddirela matematica classica, servono a indirizzare la matematica costruttiva indirezioni che spesso sono raffinamenti o sviluppi alternativi.

8

Alcune correnti storiche del costruttivismo

Dalla premessa si capisce che il costruttivismo e una tendenza che ha sensosolo il presenza di una matematica astratta, quindi a partire dalla secondameta dell’Ottocento.

Aritmetizzazione Leopold Kronecker (1823-1891) espone un progetto diaritmetizzazione, cioe fondare algebra e analisi sulla nozione di numero na-turale (geometria e meccanica dipendono dalla realta esterna, non solo dallamente).

Kronecker considerava una definizione accettabile solo se poteva essereverificato in un numero finito di passi se un numero vi ricadeva o no.

La sua filosofia si riduce alla famosa frase “Dio ha creato i numeri naturali,tutto il resto e opera dell’uomo”. Jules Monk aggiunge che una definizionedeve essere algebrica, non logica.

I semi-intuizionsti francesi Henri Poincare (1854-1913) ha un pensierocomplesso elaborato in polemica con i logicisti. I punti fermi, che lo possonofar dichiarare un costruttivista dal punto di vista filosofico, meno da quel-lo pratico, sono: l’affermazione che il principio di induzione e indimostrabile(sintetico a priori), la critica della funzione creativa della logica, il rifiuto del-l’infinito attuale, l’appello all’intuizione (a proposito della quale distinguevaquella legata ai sensi e all’immaginazione, quella dell’induzione e l’intuizioneprimordiale dei numeri).

Peraltro affermava anche che l’esistenza coincideva con l’assenza di con-traddizione. Un altro suo contributo e la critica e il rifiuto delle definizioniimpredicative.

Emile Borel (1871-1956) era piu vicino a Kronecker, forse un po’ piu vago;sosteneva che solo oggetti definibili con un numero finito di parole esistono.I singoli numeri possono essere solo definiti in questo modo, quindi la lorototalita e numerabile. Il continuo era dato allora da una sorta di intuizionegeometrica. “Non capisco cosa possa significare la possibilita astratta di unatto che e impossibile per la mente umana”.

I semi-intuizionisti non erano del tutto coerenti nel loro lavoro con le loroconvinzioni espresse nelle polemiche, soprattutto in relazione al principio discelta.

Finitismo Kronecker e Borel possono essere considerati esponenti di un filo-ne caartterizzabile come finitismo: solo strutture concretamente rappresenta-

9

bili esistono , e le operazioni su di esse devono essere di natura combinatoria,mentre le nozione astratte sono da rifiutare.

Nel finitismo qualcuno inserisce anche David Hilbert (1862-1943), o per lomeno l’influsso che ha avuto per la sua insistenza sull’uso di metodi finitistiin metamatematica, perche Hilbert in realta e quello che piu di ogni altroha cercato di salvare la matematica classica dagli attacchi dei costruttivisti(Brouwer). La trattazione dell’aritmetica primitiva ricorsiva di Skolem 1923e considerata un esempio di matematica costruttiva.

Intuizionismo La base dell’intuizionismo, come predicato da Luitzen Eg-bertus Jan Brouwer (1881-1966) a partire dalla tesi del 1907,11 e una tesisulla radicale frattura tra pensiero e linguaggio.

La tesi del 1907 e ricca di contenuto filosofico, con venature misticheggian-ti, in parte ridotto su pressione del relatore D. J. Korteweg; in essa sono giapresenti espliciti riferimenti a Hilbert e alla sua proposta del 1904. La posi-zione di Brouwer e assolutamente opposta: “Operare uno studio matematicodi simboli linguistici [. . . ] non ci puo insegnare nulla sulla matematica”.

La matematica e prodotto della mente umana; l’espressione linguisticanon e matematica e non e neanche una rappresentazione della matematica;il linguaggio serve solo a comunicare, a permettere agli altri di (cercare di)seguire il proprio pensiero. La prima tesi dell’intuizionismo e cosı espressanelle conferenze di Cambridge del 1946-51:12

Primo atto dell’intuizionsimo Separazione completa dellamatematica dal linguaggio matematico e quindi dai fenomeni dellinguaggio descritti dalla logica teoretica, riconoscendo che la ma-tematica intuizionstica e un’attivita essenzialmente a-linguisticadella mente che ha la sua origine nella percezione del passare deltempo. Questa percezione del passare del tempo puo essere de-scritta come lo scindersi di un momento della vita in due cosedistinte, una delle quali cede il passo alla seconda, ma e conser-vata nella memoria. Se la biunita [duita, twoity ] cosı prodotta esvestita di ogni qualita, trascorre nella forma vuota del sostratocomune a tutte le biunita. Ed e questo comune sostrato, questaforma vuota, che e l’intuizione fondamentale della matematica.

11Tradotta in inglese solo nel 1975 in L. E. J. Brouwer, Collected Works I , North Holland,Amsterdam, 1975.

12Brouwer’s Cambridge Lectures on Intuitionism (a cura di D. van Dalen), CambridgeUniv. Press, 1981.

10

Un secondo assunto dell’intuizionismo e che non ha senso parlare della ve-rita o falsita di un’affermazione matematica indipendentemente dalla nostraconoscenza di essa; e vera se ne abbiamo una dimostrazione, e falsa se pos-siamo mostrare che l’ipotesi che esista una dimostrazione porta a un assurdo(contraddizione).

Un terzo assunto e quello della liberta della creazione matematica.Il pensiero umano qualche volta e idealizzato dagli intuizionisti, ma piu

spesso consiste proprio di atti individuali di pensiero, non esiste per essi unamente collettiva – in particolare la mente non e infinita, e lavora sempre conun ammontare finito di informazioni. La matematica consiste in costruzionidella mente, la prima delle quali e quella dei numeri naturali, fondata sullapercezione del tempo sopra descritta.

L’intuizione del tempo ricorda Kant; Brouwer chiamava Kant un proto-intuizionista, ma la sua intuizione e molto diversa, creativa, non si limitacome in Kant a rendere non vuoti i concetti. Naturalmente quest’intuizionee ancora diversa da quella di cui parlano i platonisti. Benche il pensiero diBrouwer sia del tutto originale, con forti venature di misticismo, egli stes-so riconosce qualche antesignano, tra i tanti nemici del formalismo o dellogicismo, in particolare i semi-intuinisti francesi.

Nel 1908 Brouwer pubblica due articoli, con cui si affaccia alle questionifondazionali, perche la tesi non era nota ad alcuno; uno e dedicato alle cardi-nalita infinite e al continuo. Sul metodo diagonale, che permette di ottenerepotenze superiori al numerabile, Brouwer sostiene che si tratta solo di unmetodo per estendere insiemi numerabili, per esempio di ordinali, e che nonfornisce un insieme compiuto, ma al massimo prova che l’insieme (degli ordi-nali numerabili) non esiste. Il continuo si presenta come formato da camminiin un albero binario infinito. L’albero contiene solo una infinita numerabiledi nodi, e possono esistere singoli cammini, ma non la loro totalita. La col-lezione di tutti i cammini e da intendersi come una matrice, nella quale sicollocano gli oggetti costruiti.

Nel secondo articolo, intitolato “L’inaffidabilita dei principi logici”, Brou-wer suggerisce che il principio del terzo escluso non si possa estendere agliinsiemi infiniti: per affermare ϕ ∨ ¬ϕ si deve avere o una costruzione cheesegue il compito descritto da ϕ o una costruzione che blocca ogni proces-so di esecuzione di tale compito; non e detto che si dia sempre una talesituazione.13

13Il concetto di negazione ¬ϕ nella logica intuizionistica e variamente espresso come “e

11

La concezione della matematica di Brouwer e che una asserzione matema-tica, per essere vera, deve essere conosciuta come tale, quindi dimostrata, ocostruita. Il principio del terzo escluso non e falso nel senso che ¬(A∨¬A) siavera, cioe che sia dimostrabile l’assurdita di A∨¬A; la disgiunzione e accet-tabile per esempio nei domini finiti. Il principio e al massimo semplicementenon contraddittorio; a parole si potrebbe dire che una doppia negazione ¬¬Asignifica che e impossibile dimostrare che e indimostrabile A, o che e impos-sibile dimostrare che A e assurdo; nel caso del terzo escluso questo segue dalfatto che nel caso finito tale principio vale, quindi ¬¬(A∨¬A) e accettabile.

D’altra parte Brouwer collega il principio del terzo escluso alla questionese possano esistere problemi matematici insolubili, negando che tale eventua-lita sia stata esclusa da alcuna dimostrazione. Per Brouwer il passaggio dallanon contraddittorieta all’esistenza puo essere espresso proprio dalla legge del-la doppia negazione ¬¬A → A, che segue intuizionisticamente dal principiodel terzo escluso. Per questo motivo Brouwer sosterra sempre che Hilbertcontinua a credere al principio della risolubilita di tutti i problemi, accettan-do il tertium non datur . Per Brouwer il principio ¬¬A → A e falso, anchese non e contraddittorio.

Dopo un periodo di impegno in lavori di topologia, Brouwer torna aifondamenti nel 1918 con un lavoro sulla “Fondazione della teoria degli insiemiindipendente dal principio del terzo escluso”, nel quale inizia a costruire inmodo sistematico la matematica intuizionistica, prima presentata in modoframmentario. Nel 1920 in una conferenza pubblicata l’anno successivo suiMathematisce Annalen, Brouwer risponde negativamente alla questione dellaesistenza di una espansione decimale per ogni numero reale.

L’intuizionismo di Brouwer negli anni venti del ventesimo secolo ha godu-to di un notevole ascolto. Brouwer era un grande geometra, e stato nemicoacerrimo di Hilbert non solo per la filosofia della matematica, ma anche indispute accademiche. Hilbert era spaventato del suo successo nella questionedei fondamenti, e parlava di putsch a proposito della rivoluzione intuizioni-sta a cui si era avvicinato anche Hermann Weyl; fu anche per difendere lamatematica dalla minaccia di Brouwer che Hilbert si dedico seriamente allateoria della dimostrazione.

Nel 1923 Brouwer spiega come il principio del terzo escluso abbia le sueorigini nella matematica finita e come poi sia stato applicato al mondo fisicoe alla matematica infinitaria, ma senza alcuna giustificazione, per inerzia.

dimostrabile che ϕ e impossibile”, o “e dimostrabile che ϕ e assurdo”.

12

L’uso prevalente del principio nel mondo materiale ha fatto sı che gli venisseassociato un carattere a priori dimenticando le condizioni della sua appli-cabilita, che consistono “nella proiezione di un sistema discreto finito suglioggetti in esame”.

Un carattere a priori e stato cosı persistentemente ascritto alleleggi della logica teoretica che fino a poco tempo fa queste leggi,incluso il principio del terzo escluso, erano applicate senza riserveanche nella matematica dei sistemi infiniti, e noi non abbiamopermesso che ci turbasse la considerazione che i risultati ottenutiper questa via non erano in generale sottoponibili, ne praticamen-te ne teoricamente, a una qualsiasi corroborazione empirica. Lecontraddizioni che, come risultato, ripetutamente si incontraronodiedero origine alla critica formalista, una critica che in sostanzasi riduce a questo: il linguaggio che accompagna l’attivita mentalematematica viene assoggettato a una disamina matematica. A untale esame, le leggi della logica teoretica si presentano come ope-ratori che agiscono su formule primitive, o assiomi, e l’obiettivoche ci si pone e quello di trasformare questi assiomi in modo taleche l’effetto linguistico degli operatori menzionati [. . . ] non puoessere inficiato dall’apparire della figura linguistica di una con-traddizione. Non si deve per nulla disperare di ottenere questorisultato, ma con esso non si otterra nulla di valore matematico:una teoria non corretta, anche se se non puo essere bloccata daalcuna contraddizione che la refuti, resta nondimeno incorretta,proprio come una politica criminale non e meno criminale se nonpuo essere bloccata da alcun tribunale.

Nel 1927 Brouwer tenta di mettere a fuoco quattro temi sui quali sipotrebbe instaurare un dialogo tra formalismo e intuizionismo, afferman-do ottimisticamente che sui primi tre il formalismo ha accettato la visioneintuizionistica (in verita solo sul primo e parzialmente il secondo).

prima intuizione La distinzione, all’interno del lavoro dei for-malisti, tra una costruzione di un “catalogo di formule matema-tiche” (visione formalista della matematica) e una teoria intui-tiva (contenutistica) delle leggi di questa costruzione, come pu-re il riconoscimento del fatto che per la seconda la matematicaintuizionistica dell’insieme dei numeri naturali e indispensabile.

13

seconda intuizione Il rifiuto dell’uso acritico del principio lo-gico del terzo escluso, insieme al riconoscimento, primo, del fattoche l’indagine della questione del perche il menzionato principiosia giustificato, e in che misura sia valido, costituisce un pro-blema essenziale di ricerca nei fondamenti della matematica, e,secondo, del fatto che nella matematica intuitiva (contenutistica)il principio e valido solo per i sistemi finiti .

terza intuizione L’identificazione del principio del terzo esclu-so con il principio della risolubilita di ogni problema matematico.

quarta intuizione Il riconoscimento del fatto che la giustifica-zione (contenutistica) della matematica formalista attraverso ladimostrazione della sua non contraddittorieta contiene un circolovizioso, dal momento che tale giustificazione poggia sulla corret-tezza (contenutistica) della proposizione che dalla non contraddit-torieta di una proposizione segue la correttezza della stessa, va-le a dire sulla correttezza (contenutistica) del principio del terzoescluso.

Brouwer osserva che i primi due assunti mancano in Hilbert 1904 e 1917, eche il secondo e stato accettato solo nel 1922. La terza intuizione e invececontraddetta ancora in Hilbert 1925, e la quarta in modo sistematico daHilbert.

Osserva Brouwer che se una costruzione eseguita viene messa in formalinguistica, ad essa si possono applicare trasformazioni linguistiche; il risul-tato e qualcosa che a sua volta puo essere la descrizione di una costruzionepossibile, nel qual caso il linguaggio funziona come una specie di scorciatoia;ma questo e lecito e garantito solo se nelle trasformazioni si sono usati alcuniprincipi logici e non altri; il principio di non contraddizione e accettabile,quello del terzo escluso no.

Tutti gli enti matematici per Brouwer sono costruzioni della mente; anchela parola “costruzione” ricorda Kant, ma ha un significato diverso, genera-lissimo; in Kant aveva il senso tecnico delle costruzioni geometriche con rigae compasso. Oltre all’intuizione di base, per Brouwer la mente ha altre ca-pacita di costruire nuove entita matematiche, in particolare le successioni dinumeri.

Secondo atto dell’intuizionismo Ammettere due modi dicreare nuove entita matematiche: innanzi tutto nella forma di

14

successioni infinite procedenti piu o meno liberamente di entitamatematiche precedentemente acquisite [. . . ]; in secondo luogonella forma di specie matematiche, cioe proprieta immaginabili dientita matematiche precedentemente acquisite, che soddisfano lacondizione che se valgono per una certa entita matematica alloravalgono anche per ogni entita matematica che sia sta definitaessere ‘uguale’ ad essa, dove le definizioni di uguaglianza devonosoddisfare le condizioni di simmetria, riflessivita e transitivita.

Per la costruzione (di strani sostituti) del continuo Brouwer, che non fi-nira mai di lavorarci sopra, introdurra in coerenza e sviluppo del secondoatto, molti concetti nuovi: le successioni legiformi, le successioni di libe-ra scelta, gli spiegamenti, le specie; formulera originali metodi dimostrativi,come l’induzione a sbarramento, il teorema del ventaglio, analogo intuizioni-stico del lemma di Konig, classicamente equivalenti ad essi ma tutti ostici aimatematici, anche se alcuni sono utili per capire meglio la continuita.

Weyl Hermann Weyl (1885-1955) ha flirtato con l’intuizionismo per un bre-ve periodo. Ma prima di approdare all’intuizionismo, egli aveva elaboratouna sua personale versione di costruttivismo. All’inizio Weyl si e dichiaratoidealista trascendentale, rifacendosi piu a Fichte che a Kant, con correzionihusserliane. Nelle sue opere spesso raccomanda di rivolgersi al pensiero di Fi-chte. Da Kant impara che la conoscenza richiede concetti e intuizione, e la suaopera si puo considerare proprio uno studio dei rapporti tra concetti teoriciformali e intuizione. Nell’idealismo di Weyl la verita oggettiva non e negata,ma deve essere affrontata a partire dal dato assoluto che e la pura coscien-za. Anche il mondo reale e dato come oggetto intenzionale dell’attivita dellacoscienza. Come in Husserl, pensare per Weyl e sempre pensare a qualcosa(il che esclude forse che pensare una legge logica sia pensare), e le intenzionipossono essere soddisfatte o meno. Per sapere che un oggetto corrisponde adun’intenzione, e che il pensiero quindi non e vuoto, occorre un’evidenza, ela fonte dell’evidenza e l’intuizione. Per la matematica, il punto di partenzapuo essere un’intuizione qualunque, seguita dalla sua ripetizione e dell’intui-zione della ripetizione che porta all’intuizione dell’iterazione di un’intuizionequalunque. Questo soltanto, non le infinite ripetizioni, e il fondamento deinumeri naturali, l’intuizione che fa sı che il concetto “numero naturale’” siaestensionalmente determinato. Tale intuizione e evidentemente strettamenteintrecciata con l’intuizione del tempo. Siccome l’infinito puo essere afferra-to solo grazie all’intuizione pura che e l’idea d’iterazione, cioe con l’esempio

15

dei numeri naturali, e assurdo cercare un fondamento insiemistico per i nu-meri naturali. Nell’intuizione dell’iterazione non c’e possibilita di un circolovizioso, mentre nel pensiero che non e fondato su tale intuizione il circolovizioso e in agguato. Weyl inventa il paradosso dell’aggettivo “eterologo”per illustrare un’intenzione il cui soddisfacimento e per ragioni di principioimpossibile.

Si schiera quindi con Poincare nella denuncia dell’impredicativita, e pro-pone una revisione dell’Analisi che non faccia uso del teorema impredicativodi Bolzano-Weierstrass. Nella presentazione della sua Analisi predicativista,Weyl ricorre spesso all’esistenza dell’estremo superiore per successioni limi-tate di numeri razionali; in questi casi l’estremo superiore si puo definirequantificando solo sui numeri naturali.

Al di sopra dei numeri naturali, il predicativista ammette solo livelli co-stituiti da insiemi che siano definibili in termini di quelli gia dati; la chia-rificazione del concetto di definibilita deve molto al lavoro di Weyl che gianella sua tesi di laurea del 1910 si era interessato della questione proponendola presentazione del linguaggio e dell’insieme di regole che in seguito e statachiamata logica del primo ordine. Tuttavia dei livelli iterati di definibilitaal di sopra dei naturali Weyl accetta solo il primo, dimostrandosi meno li-berale dello stesso Husserl e precludendosi l’approfondimento delle idee cheavrebbero portato Godel alla gerarchia dei costruibili. Weyl ha continuato ariflettere sull’Analisi che egli proponeva e sul continuo che in essa era trat-tato. Era a lui evidente che il (suo) continuo matematico e quello intuitivonon coincidevano; quello formale era inevitabilmente atomistico; Weyl pote-va solo chiedere che la trattazione formale fosse accettata come una teoriadel continuo la cui giustificazione doveva essere cercata altrove, come succedeper le teorie fisiche; i numeri e le funzioni dell’Analisi predicativa permettonosecondo Weyl almeno una trattazione del movimento coerente con quello cheappare nel mondo dell’oggettivita fisica.14

Nella sua riflessione sul continuo matematico atomistico, inadeguato ri-spetto al continuo fluido dell’intuizione, Weyl si avvicina a Brouwer; nel 1921dichiara di rinunciare a perseguire un’elaborazione indipendente e di schie-rarsi completamente con l’intuizionismo. Pensava che il continuo di Brouwerpotesse essere la presentazione matematica del continuo intuitivo, giustificatodall’intuizione del flusso di coscienza, e non dalle applicazioni fisiche, per le

14Solomon Feferman sostiene che a distanza di tempo tale adeguatezza ai bisogni dellafisica sembra confermata.

16

quali bastava quello atomistico. Non c’era tuttavia pieno accordo tra i duepensatori sulle successioni di libera scelta; per Brouwer esse erano individuie potevano essere quantificate; per Weyl invece solo le successioni legiformierano individui, quelle di libera scelta erano piuttosto un divenire libero; illoro merito era proprio quello di presentare i reali come in divenire, in unflusso temporale indeterminato dove non ci sono punti senza durata. Weylanticipa addirittura Brouwer nell’osservazione che tutte le funzioni reali so-no continue, non con una dimostrazione, come fara questi, ma sulla basedella fluidita del continuo intuitivo e dell’impossibilita di dividerlo in partidisgiunte.

A partire dal 1924 tuttavia Weyl si dimostra pubblicamente sempre piupreoccupato dei guasti che la rinuncia alle leggi della logica classica inducevasulla struttura delle teorie avanzate, e del dissolversi dell’imponente edificiocostruito dalla matematica classica. Inevitabilmente s’incontra con Hilbert,che lavorava mosso dalle stesse preoccupazioni. Weyl non rinnega Brouwer,ma considera irrinunciabile la parte, predominante, della matematica in cuisono presenti concetti senza costruzioni date dall’intuizione; pur ammetten-do che in questa parte della matematica non abbiamo conoscenza – abbiamopiuttosto una credenza – ritiene che se ne debba dare una ragione. La chiamamatematica simbolica. La matematica non fondata sull’intuizione pretendedi parlare del trascendente, invita ad un realismo ingenuo. Il realismo none accettabile da un idealista ma, attraverso il formalismo assiomatico hil-bertiano, la coscienza cerca di saltare sulla sua ombra e di rappresentare iltrascendente attraverso i simboli. Se la matematica deve conservare un valoreculturale, bisogna riuscire ad attribuire un senso al gioco delle formule. Perquesto, Weyl individua una terza possibilita, oltre all’idealismo e al realismoingenuo, una prospettiva che chiama il livello della creazione teorica .

Ma dove e quel mondo trascendente, portato dalla credenza, a cuisi riferiscono i simboli? Non lo trovo, a meno che io non fondacompletamente la matematica con la fisica e assuma che i concettimatematici di numero, funzione ecc. (o i simboli di Hilbert) ingenerale svolgono un ruolo nella costruzione teorica della realtaallo stesso modo dei concetti di energia, gravita, elettrone ecc.

La costruzione teorica e diversa dall’intuizione, e avvicinabile alla crea-zione artistica, una spinta creativa alla rappresentazione simbolica del tra-scendente. Come Hilbert, Weyl finisce per cercare giustificazioni sia per lamatematica costruttiva che per quella classica.

17

Heyting Per la giustificazione delle tesi accennate di Brouwer e Weyl, e piutrasparente l’esposizione di altri autori, che nello sforzo di rendere convincen-te l’intuizionismo hanno preso in considerazione sistematicamente la logicasoggiacente; tra questi un posto preminente spetta ad Arend Heyting (1898-1980), l’allievo di Brouwer che nel 1930 espone i principi dell’intuizionismo eper farlo si riferisce esplicitamente a Husserl.15

Una proposizione matematica per Heyting esprime un’aspettativa, o intermini fenomenologici un’intenzione. Un’asserzione, cioe un’affermazione diuna proposizione, e il riconoscimento del soddisfacimento dell’intenzione; talee sempre il suo significato. A differenza della proposizione o dell’intenzione,l’asserzione e un fatto empirico – per modo di dire, non ci sono ad esempiolimitazioni di spazio e tempo. L’aspettativa si soddisfa con una costruzione,con l’esibizione di un oggetto; il non soddisfacimento di un’aspettativa, nontemporaneo ma definitivo, si realizza con una prova d’impossibilita.

Dunque asserire la negazione di una proposizione e impegnativo. La provad’impossibilita si ha dimostrando che l’assunzione porta ad una contraddi-zione. Anche le dimostrazioni sono costruzioni. L’intenzione di non-p e sod-disfatta da una prova che p e assurda. Con le parole di Oskar Becker (1881-1964),16 citato da Heyting, la negazione e l’intenzione di una contraddizionecontenuta nell’intenzione originaria.

Una disgiunzione, per considerare uno dei connettivi tradizionali, e an-ch’essa un’intenzione; si puo asserire solo se si e asserita una delle due pro-posizioni disgiunte; quindi p o non-p si puo asserire solo se o si ha una dimo-strazione di p o si ha una dimostrazione che il soddisfacimento di p porta aduna contraddizione. Le due proposizioni p e “e provabile che p”, che Heytingrappresenta con “+p”, esprimono due intenzioni diverse, soddisfatte la primada una costruzione relativa all’argomento di cui parla p, la seconda da unacostruzione che e una dimostrazione di p. Le asserzioni “` p” e “` +p” hannolo stesso significato: “perche se p e dimostrata, la dimostrabilita di p e anchedimostrata, e se +p e dimostrata, allora l’intenzione di una dimostrazione dip e stata soddisfatta, cioe p e stata dimostrata”.

Ma p e +p non sono identiche; il controesempio di Heyting si riferisce comespesso negli esempi matematici intuizionistici ad approssimazioni di numeri

15A Konigsberg nel settembre 1930 alla Conferenza sulla epistemologia delle scienze esat-te, pubblicato in P. Benacerraf e H. Putnam (eds.), Philosophy of Mathematics, Blackwell,Oxford, 1964, pp. 42-9.

16O. Becker, “Mathematische Existenz”, Jahrbuch fur Philosophie und phanomenologi-sche Forschung , 7 (1927), pp. 439-809.

18

irrazionali: “Nel calcolo della costante C di Euler, potrebbe succedere cheun particolare valore razionale A sia contenuto per un tempo insolitamentelungo nell’intervallo che continuiamo a stringere intorno a C, sicche siamoindotti a sospettare che C = A; cioe sospettiamo che se continuassimo ilcalcolo di C continueremmo a trovare A nell’intervallo. Ma un tale sospettonon e per nulla una prova che questo succedera. La proposizione +(C = A),percio, contiene qualcosa in piu rispetto alla proposizione C = A.”.

Invece non solo “¬p” e “¬ + p” sono proposizioni diverse, ma anche leasserzioni “` ¬p” e “` ¬ + p” sono diverse. La seconda significa che l’as-sunzione di una costruzione come +p richiede e contraddittoria, mentre lasemplice aspettazione di p non necessariamente porta a una contraddizione.“E persino concepibile che noi possiamo [. . . ] asserire allo stesso tempo sia‘` ¬ + p’ sia ‘` ¬¬p’. In tal caso il problema [p] sarebbe essenzialmenteirrisolubile”.

La distinzione tra p e +p scompare se in p stessa e intesa una costruzione,perche la possibilita di una costruzione puo essere dimostrata solo dalla suaeffettiva esecuzione. Se ci si limita percio a trattare proposizioni che richiedo-no costruzioni, per esempio quelle della forma “p e dimostrabile”, la funzionedi dimostrabilita non appare, e questo e il motivo, secondo Heyting per cuila logica intuizionistica fino ad ora e stata sviluppata senza la funzione +.

Immaginare situazioni in cui ne p e soddisfatta, ne si ha una dimostrazioneche p e assurda e facile soprattutto se la matematica e concepita, coerente-mente con l’idea di una produzione da parte di un soggetto creativo, comedipendente dal tempo, come l’insieme delle costruzioni eseguite, non come uninsieme di verita. Amleto era un intuizionista, visto che per lui to be or notto be era un problema, e non una tautologia. Altre presentazioni della logicadell’intuizionismo la giustificano come un calcolo di soluzione di problemi.

In ogni caso, per ogni p, p o non-p e l’aspettativa di una costruzione ma-tematica, quindi la logica dipende dalla matematica, lungi dal fondarla. Lalogica usata nella matematica viene quindi costruita a partire dalla nozionematematica di prova. Michael Dummett ha usato quest’idea come fondazio-ne della logica in generale, della semantica, usando una nozione primitiva diprova in modo intuizionista.

Heyting si dedichera soprattutto alla logica e all’aritmetica, piuttosto cheal continuo, e costruira una logica formale intuizionista, uno di quei sistemiformali contro i quali protestano anche altri costruttivisti, oltre a Brouwer.La logica intuizionista ha interessanti semantiche, sia in termini di mondipossibili, sia in termini di soluzione di problemi, sia in termini di funzionali.

19

Tali sistemi sono interessanti in teoria della dimostrazione per misurare laforza delle varie teorie; ma e vero che con essi scompare un po’ la caricaeversiva dell’intuizionismo. Ha incominciato Godel,17 nel 1932, a mostrareche prima la logica, poi l’aritmetica classiche sono interpretabili in quelleintuizioniste, vale a dire per ogni loro teorema una opportuna traduzionee intuizionisticamente derivabile.18 I sistemi intuizionisti forniscono quindidimostrazioni di non contraddittorieta relativa per la logica e l’aritmeticaclassica.

Ultrafinitismo L’ultrafinitismo nega la prima parte della tesi di Kronecker,affermando che i numeri sono creati dall’uomo. A. S. Esenin-Volpin (1924 - )prende sul serio la domanda se 101010 sia un numero, e parte dall’assunzioneche l’iterazione del successore non sia infinitamente iterabile. Ne viene chei numeri naturali non costituiscono una struttura unica, ma possibilmentediversamente lunga, e non chiusa rispetto alle operazioni di moltiplicazioneed esponenziazione.

Il programma di Esenin-Volpin non si e sviluppato, anche per le disav-venture politiche del suo sostenitore, un dissidente; si e trasformato nelladiscussione sui numeri feasible, arricchita da Rohit Parikh (1936-) negli annisettanta, in connessione a questioni di complessita.

Matematica ricorsiva costruttiva Una matematica basata sulle funzioniricorsive e la tesi di Church e stata sviluppa da Markov, Shanin e altri, apartire dagli ani cinquanta. I principi su cui si basa sono: a) gli oggetti dellamatematica costruttiva sono parole di vari alfabeti, b) sono possibili astra-zioni basate sull’infinito potenziale, ma non su quello attuale, per esempio lasomma e un processo potenzialmente realizzabile, attraverso un algoritmo.

A. A. Markov (1903-1979) usava il formalismo degli algoritmi normali, odi Markov,19 ma la sua matematica si puo esprimere in riferimento a qualsiasimodello di calcolabilita per esempio le macchine di Turing.

La caratteristica principale, rispetto all’intuizionismo e ad altre versionidi matematica costruttiva, e il principio delle scelte costruttive, o principiodi Markov. Il principio afferma che se non e il caso che una macchina non sifermi su un dato input, allora si ferma; da intendersi che se e impossibile che

17Con anticipazioni di Kolmogorov e Glivenko.18K. Godel, “Zur intuitionistichen Arithmetic und Zahlentheorie” (1933), in Collected

Works, Vol. I , Oxford Univ. Press, New York, 1986, pp. 286-95; trad. it. in Opere, vol.1, pp. 212-17.

19Si veda una trattazione in E. Mendelson, Introduzione alla logica matematica.

20

una macchina calcoli per sempre, allora c’e un algoritmo per trovare l’output:basta continuare a calcolare finche la macchina si ferma.

Il principio non e accettato dall’intuizionismo, e anche da altri costrutti-visti. Markov ha risposto che il rifiuto basato sul fatto che il principio nonsarebbe intuitivamente chiaro non e accettabile, perche l’intuizione non e uncriterio per la verita matematica, sarebbe un successo del soggettivismo, efarebbe della matematica un’attivita sociale. Markov accettava il principionon perche gli fosse intuitivamente chiaro, ma perche non vedeva obiezioniragionevoli e perche usandolo poteva costruire una matematica costruttivaadeguata alle necessita della scienza.

Bishop Errett Bishop (1928-1983) presenta nel 1967 il suo manifesto costrut-tivista a partire dall’affermazione che l’interesse primario della matematica edato dai numeri, dagli interi positivi, e che “gli enunciati matematici dovreb-bero avere un signficato numerico”. Ricorda Kronecker naturalmente, e lasua affermazione che i numeri naturali sono stati creati da Dio, il resto dal-l’uomo, ma lo precisa nel senso che sono stati creati a vantaggio dell’uomo: lamatematica e umana. A partire dai numeri naturali si ascende a livelli piu altidi esistenza matematica, con l’introduzione delle strutture numeriche e dellefunzioni dell’analisi, considerando relazioni e funzioni tra enti gia costruiti enecessariamente ipostatizzandole, ma sempre in un modo costruttivo.

Il teorema di Bolzano-Weierstrass non e costruttivo perche se lo fosse do-vrebbe succedere quanto segue: data una successione limitata {xn} di numerirazionali, si dovrebbe calcolare l’estremo superiore con il grado voluto di ac-curatezza; ma non esiste un metodo generale per produrre un procedimentocostruttivo che calcoli un tale numero per ogni successione data costruttiva-mente; se esistesse, allora per ogni successione costruttiva di 0 e 1 tale metodoo dimostrerebbe che i termini sono tutti 0 o fornirebbe un n per cui xn e 1;un tale metodo risolverebbe tutti i problemi aperti, da quello di Fermat (altempo di Bishop) all’ipotesi di Riemann, attraverso un’ovvia codifica di tuttigli enunciati matematici.

Il termine “costruttivo” finora e stato usato in modo informale; la suaprecisazione non e facile, perche si tratta di un concetto aperto. Viene dachiedersi per esempio se una successione di numeri interi e considerata co-struttivamente data se si ammette una generazione in cui l’n-esimo terminesi ottiene con una ricerca, e la prova che la ricerca ha la garanzia di termi-nare e costituita da una dimostrazione in un sistema formale. Bishop non loaccetterebbe, ma si rende conto che il lettore del suo libro potrebbe all’inizio

21

non averlo capito; solo andando avanti si realizza sempre meglio che cosavuol dire “costruttivo”, vedendo esempi via via piu precisi di come lo usal’autore; e puo darsi che l’autore stesso non domini completamente tutte leramificazioni delle sue definizioni e sia soggetto alla necessita di modificare leinterpretazioni, e magari addirittura le definizioni, per conformarsi ai dettatidell’esperienza. All’inizio c’e una tendenza naturale a scegliere, per quantopossibile, le funzioni ricorsive come paradigma dei metodi costruttivi, ma none questa la restrizione giusta, anche perche certi aspetti della stessa teoriadelle funzioni ricorsive non sono costruttivi.

Il marchio della non costruttivita secondo Bishop e il principio di onni-scenza, viso sopra. LPO sembra ovvio, per l’abitudine che si ha alla logicaclassica, ma

[t]eorema dopo teorema della matematica classica dipendono inmodo essenziale dal principio di onniscenza ristretto [. . . ] Alcuniesempi sono: il teorema che ogni funzione reale continua su unintervallo chiuso limitato raggiunge il suo massimo; il teoremadel punto fisso per una funzione continua di una cella chiusa inse; il teorema ergodico; il teorema di Hahn-Banach. Tuttaviaquesti teoremi non vengono persi nella matematica costruttiva.Ciascuno di questi teoremi P ha un sostituto costruttivo Q che eun teorema costruttivamente valido e che implica P nel sistemaclassico, con un argomento che in genere e un semplice appello alprincipio di onniscenza. Per esempio il teorema che ogni funzionecontinua da una cella chiusa di uno spazio euclideo in se ammetteun punto fisso ha un sostituto costruttivo nell’enunciato che unatale funzione ammette un punto arbitrariamente vicino alla suaimmagine.

Spesso un teorema classico ha piu di un sostituto, nel senso che si suddivi-de in diversi teoremi, sfruttando in modo sottile e variando ciascuna ipotesi eil modo di arrivare alla conclusione. Sempre i sostituti forniscono maggiori in-formazioni, in quanto esibiscono algoritmi o metodi effettivi o limitazioni perle eventuali soluzioni; i teoremi esistenziali sono sempre sostituiti da versionieffettive. L’ampiezza dei campi in cui si hanno buoni sostituti costruttividei teoremi della matematica classica e per Bishop una dimostrazione chela matematica classica ha un sostegno sostanziale di verita costruttiva; averprodotto tale evidenza ha rappresentato il motivo del successo di Bishop edell’attenzione che si e tornati a dare al costruttivismo.

22

Quest’impostazione in precedenza non godeva di buona fama a causa –secondo la ricostruzione di Bishop – degli eccessi filosofici di Brouwer, “coin-volto in speculazioni metafisiche dal suo desiderio di migliorare la teoria delcontinuo”, a scapito della concreta attivita matematica. Al nome di Brou-wer e all’intuizionismo e legata soprattutto la conoscenza, per quel che se neha, dell’esistenza del costruttivismo nel ventesimo secolo. Ma Brouwer daval’impressione di credere – sostiene Bishop – che senza il suo intervento il con-tinuo sarebbe diventato discreto; i suoi allievi ne hanno poi tradito lo spiritofacendo compromessi con la logica; altri seguaci hanno cambiato bandiera,come Weyl che “soppresse le sue convinzioni costruttiviste” confidando che“la matematica idealistica trovasse la sua giustificazione nelle applicazionialla fisica”.

23