1

Una premessa….

t

b

a

1 2

34

5 6

78

4-6 e 3-5: angoli alterni interni

1-7 e 2-8: angoli alterni esterni

5-4 e 3-6: angoli coniugati interni

1-8 e 2-7: angoli coniugati esterni

4-8, 1-5, 2-6, 3-7:angoli corrispondenti

2

Il quinto postulato di Euclide

a cura di Elisabetta Boselli – elisabetta.boselli@rcm.inet.it

3

Un criterio per il parallelismo…

t

a

b

α

β

TEO delle rette parallele (o CRITERIO di paralleli-smo): se due rette tagliate da una trasversale for-mano angoli alterni interni tra loro congruenti

sono parallele

dim

Hp: α β

Th: a // b

DEF: due rette si dicono parallele se non hanno alcun punto in comune oppure sono coincidenti

4

CRITERIO generale per il parallelismo:

Se due rette, tagliate da una trasversale, formano

– angoli alterni (interni o esterni) congruenti,oppure

– angoli corrispondenti congruentioppure

– angoli coniugati (interni o esterni) supplementari

allora le due rette sono parallele.

5

COROLLARIO : due rette perpendico-lari alla stessa retta sono parallele.

t

a b

α

β

La retta a forma quattro angoli retti con la trasversale t; così anche la retta b.

In particolare gli angoli alterni interni α e β saranno entrambi retti e quindi con-gruenti tra loro.

Quindi le rette a e b sono parallele per il criterio di parallelismo (infatti gli angoli alterni interni interni α e β formati dalla trasversale t con le rette a e b sono con-gruenti).

6

Costruzione di una parallela ad una retta per un punto dato

aα

t

Consideriamo una retta a e un punto P ad essa esterno.

Tracciamo una retta t passante per P: essa formerà un angolo α con la retta a.

b

P

Tracciamo ora una retta b passante per P che forma con t un angolo congruente all’angolo α (questo è possibile per il postulato del trasporto dell’angolo)

Le rette a e b sono parallele, poi-ché rispetto alla trasversale t formano angoli alterni interni congruenti.

7

TEOREMA di esistenza della retta parallela:data una retta a ed un punto P esterno ad essa,

esisteesiste una retta b passante per Pe parallela alla retta data

aα

t

b

P

Il criterio di parallelismo e quanto visto sulla costruzione della parallela ad una retta data per un punto esterno ad essa ci permette quindi di affermare che vale il seguente:

Questo teorema non ci assicura che tale retta sia unica !!!

Potrebbe esistere una seconda retta passante per P che, pur non formando angoli alterni interni congruenti, sia comunque parallela alla retta a…

8

Attenzione, infatti….due rette tagliate da una

trasversaleformano angoli alterni

interni tra loro congruenti

sono parallele

due rette tagliate da una trasversale

non formano angoli alterni interni tra loro

congruenti

non sono parallele

… non sono affermazioni equivalenti!!!Questo ci ha permesso di stabilire l’esistenza della

parallela

Questo ci permetterebbe di stabilire che non esiste una eventuale seconda

retta parallela

9

POSTULATO dell’unicità della parallela(o QUINTO POSTULATO di EUCLIDE)

Per garantire che non esiste una seconda retta parallela ad una retta per un punto dato è indispensabile intro-durre il seguente postulato:

Data una retta ed un punto esterno ad essa, è unica la retta passante per quel punto e

parallela alla retta data.

10

INVERSO del CRITERIO di parallelismo

È solo grazie al quinto postulato di Euclide che diventa possibile dimostrare il seguente teorema:

due rette tagliate da una trasversalesono parallele

formano angoli alterni interni

tra loro congruenti

t

a

b

α

β

Hp: a // b

Th: α β

dim

11

Più in generale, è possibile dimostrare che:

Se due rette sono parallele, allora formano con una trasversale

– angoli alterni (interni o esterni) congruenti,

e– angoli corrispondenti congruenti

e– angoli coniugati (interni o esterni) supplementari

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Perché il quinto postulato di Euclide è così importante?

- Euclide stesso probabilmente non reputava tale postulato di sufficiente evidenza: nella redazione dei suoi “Elementi” vi ri-corre così solo quando non può farne a meno, dimostrando i primi 28 teoremi senza utilizzarlo

- nel tentativo (fallito!) di darne una dimostrazione, sono state formulate alcune importanti teorie, oggi note sotto il nome di “geometrie non euclidee”: esse si sono affermate nel corso del XIX sec., con enormi riflessi anche nell’ambito degli studi fi-losofici

- nella formulazione della teoria generale della relatività, Einstein utilizzerà la descrizione non euclidea dello spazio

13

TEOREMA dell’angolo esterno (versione euclidea)

In un triangolo ogni angolo esternoè congruente alla somma dei dueangoli interni non adiacenti ad esso.

A partire dall’inverso del criterio di parallelismo è pos-sibile dimostrare:

TEOREMA sulla sommadegli angoli interni di un poligono convesso

In un poligono convesso di n latiLa somma degli angoli interni ècongruente a (n – 2) angoli piatti.

dim

dim

14

DIMOSTRAZIONI

fine

15

t

b

a

α

βBA

P

Per assurdo:

Neghiamo la tesi:

le rette a e b non sono tra loro parallele

esiste un punto P a b

Si considera quindi il triangolo ABP.

Per il triangolo ABP l’angolo β è un ango-lo esterno β è maggiore di ogni angolo interno non adiacente (teo angolo esterno)

In particolare, quindi, si avrà α < β (1)

Del resto α β per ipotesi (2)

La conclusione (1) e l’ipotesi (2) SONO IN CONTRADDIZIONE TRA LORO: siamo giunti ad un assurdo, la tesi non

poteva quindi essere negata

DIMOSTRAZIONE del CRITERIO di parallelismoHp: α β Th: a // b

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Per assurdo: Neghiamo la tesi: α e β (angoli formati dalle rette a e b con la trasversale t) non sono congruenti tra loro.

Esisterà, quindi, una retta c passante per P che forma con t un an-golo congruente ad α.

DIMOSTRAZIONE dell’inverso del criterio di parallelismo Hp: a // b Th: α β

c

aα

t

b

P β

Per il criterio di parallelismo, c, passante per P, è parallela ad a.

Del resto b, anch’essa passante per P, è parallela ad a per ipotesi.

Quindi per il punto P passano due rette en-trambe parallele ad a.

QUESTO CONTRADDICE IL QUINTO POSTULATO DI EUCLIDE:

siamo giunti ad un assurdo, la tesi non poteva quindi essere negata

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DIMOSTRAZIONE del TEOREMA dell’angolo esterno (versione euclidea)

A B

C

D

E

Hp: ABC triangolo

Th: e +

Prolunghiamo il lato AC dalla parte di C; sia D un punto su tale prolungamento.

Varrà quindi che l’angolo ECD (generalizzazione dell’inverso del criterio di parallelismo).

Costruiamo la retta CE in mo-do che ECB : si avrà che CE // AB (criterio di paralle-lismo)

Pertanto l’angolo esterno e risulterà congruente alla somma di due angoli a loro volta congruenti ad e e, poiché somme di angoli congruenti sono congruenti, si avrà la tesi. c.v.d.

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DIMOSTRAZIONE del TEOREMAdella somma degli angoli interni di un poligono convesso

A B

CE

D Hp: ABC triangolo

Th: + +

La seguente figura dovrebbe rendere immediatamente evidente la correttezza della tesi nel caso il poligono considerato sia un trian-golo (la somma degli angoli interni risulta uguale a 3-2 angoli piatti).

19

DIMOSTRAZIONE del TEOREMAdella somma degli angoli interni di un poligono convesso

Ora osserviamo che ciascun poligono di n lati può essere suddiviso in n–2 triangoli, mediante tutte le diverse diagonali che è possibile tracciare da uno dei suoi vertici (a scelta) verso ciascuno dei re-stanti vertici…

A

BC

E

D

T1

T2

T3

T4

F

20

La DIMOSTRAZIONE per ASSURDO

IPOTESI TESISi ragiona a partire dalla negazione della TESI,

per arrivare ad una contraddizione:

con l’IPOTESI del teoremaoppure

con un assioma ammesso dalla geometriaoppure

con un teorema già dimostrato.

Questo significa che non è corretto negare la TESI, e quindi che essa è VERA.