Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento Fulvia...

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi

d’insegnamento/apprendimento

Fulvia Furinghetti

Gruppo Ricerca Educazione Matematica Genova

Dipartimento di Matematica dell’Università di Genova

Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.1

Dictionnaire des mathématiques ou idée générale des mathématiques di Ozanam (1691, Amsterdam)


L’algebra è come il gatto del Cheshire …The algebrization of mathematics, Samuel Eilenberg (1969)


Che cosa è l’algebra e che cosa è stata nella storia? (Freudenthal, What is algebra and what has been in history, 1976)


L’algebra è ...1. simbolismo operazionale2. attenzione alle relazioni matematiche più che agli oggetti matematici, le quali relazioni determinano le strutture che costituiscono l’oggetto dell’algebra moderna. Il modo di pensare algebrico è quindi basato su una logica relazionale più che predicativa3. libertà da ogni questione ontologica e coinvolgimento, e, legato a ciò, astrazione piuttosto che intuizione

Michael Mahoney (1971)


Si cercherà di capire che cosa è l’algebra attraverso ciò che è stata nella storia


Argomenti trattati

• parametri, variabili, …algebra scolastica• visualizzare l’algebra e scrivere la geometria• metodi approssimati e quasi-euristici


Autori trattati

•Anonimi• Euclide• Pappo• Diofanto• Al-Khwarizmi• Viète• Descartes


Argomenti non trattati

• esplicitazione delle strutture• storia dell’insegnamento dell’algebra• note biografiche

Storia usata come

• lente di ingrandimento per districare i nodi concettuali • fonte di problemi


Filo rosso: metodo di analisi e sintesi

• nasce dalla storia (Pappo, Viète, ...)• va in classe (Smith, Sabbatini, Campedelli)• torna alla storia e va in classe (insegnante: Annamaria Somaglia, autore del percorso scelto)

flash backflash, ma non pezzi separati


David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston). Cap. XIII. How to attack the exercises (pp.161-162)

“Riguardo alla dimostrazione, di solito lo studente vagola più o meno finché imbrocca la via giusta e la segue fino alla conclusione. Non deve essere rimproverato se fa questo, perché segue il metodo che si è seguito e si seguirà da che mondo è mondo. Questo è il metodo sintetico, costruire la dimostrazione da proposizioni precedentemente provate”


David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp.161-162)

“Ma si dovrebbe dire agli studenti che se essi non trovano abbastanza facilmente le proposizioni necessarie per costruire la dimostrazione, conviene che non rimandino di rivolgersi ad un altro e più sistematico metodo. Questo è noto come il metodo di analisi ed è applicabile a teoremi ed a problemi.”



“Ha molte forme, ma per lo studente non sono poi così importanti queste distinzioni, bensì basta dargli l’idea di base di queste forme, un’idea che risale a Platone (V sec. a.C.).”


David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (pp.161-

162)

“Per un teorema, il metodo di analisi consiste nel ragionare come segue: posso provare questa proposizione se posso provare questa cosa; posso provare questa cosa se posso provare questa; posso provare questa se posso provare una terza cosa”.



“Questo non prova la proposizione, ma permette allo studente di rovesciare il processo, iniziando con la cosa che può provare e andando indietro, passo passo, alla cosa che è da provare. Dunque l’analisi è il suo metodo di scoperta del modo in cui può sistemare le dimostrazioni in geometria. Gli studenti spesso si chiedono come uno ha fatto a farsi venire in mente come sistemare le dimostrazioni in geometria e questo [l’analisi] risponde alla domanda.”



“Qualcuno ha congetturato che un dato enunciato fosse vero; ha applicato l’analisi e trovato che poteva provarlo; ha applicato la sintesi e lo ha provato. Per un problema, il metodo di analisi è lo stesso che nel caso del teorema. Invero, sono coinvolte due cose invece di una, perché in questo caso si deve fare la costruzione e poi provare che essa è corretta. Dunque lo studente prima suppone il problema risolto e vede che risultati seguono. Poi rovescia il processo e vede se riesce ad avere questi risultati e fa la costruzione richiesta. Se la cosa funziona, espone il processo e la dimostrazione risultante.”


In un triangolo ABC disegnare la retta PQ parallela alla base AB che taglia i lati nei punti P e Q, cosicché PQ vale AP + BQ


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