SIS Piemonte

AVVIO ALLA TRIGONOMETRIA

Specializzato Luca Cerruti Supervisore di tirocinio Miranda Mosca a.a.2007-2008

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1. Contesto e livello Questo ciclo di lezioni è stato proposto ad una classe terza liceo scientifico PNI nell’ambito di un tirocinio attivo di matematica alla SIS Piemonte, ma può essere presentato anche ad una classe quarta liceo scientifico di ordinamento. 2. Finalità

Si sono voluti introdurre i primi concetti della goniometria e della trigonometria utilizzando un approccio diverso da quello tradizionale, sulla base delle recenti ricerche nell’ambito della didattica della matematica. Le indicazioni didattiche dell’UMI sono state un costante riferimento per la progettazione e la realizzazione di questo intervento. In particolare si è scelto di realizzare sul campo una delle attività proposte in Matematica 2003, nel nucleo “Spazio e Figure” per il secondo biennio, dal titolo “La trigonometria e il mondo reale”. 3. Prerequisiti Costituiscono prerequisiti per questa unità didattica gli argomenti dei programmi di algebra e di geometria del primo biennio; elementi di geometria dello spazio; padronanza di alcuni argomenti fondamentali della geometria analitica, in particolare la rappresentazione di luoghi geometrici sul piano cartesiano, la retta e la circonferenza. E’ inoltre necessaria qualche abilità di informatica, ma non la preconoscenza di Excel e di GeoGebra. 4. Metodologia La metodologia utilizzata in questa esperienza di tirocinio è quella sperimentale ed è basata sull’approccio per scoperta. Le modalità sostanziali per la gestione delle attività sono state le seguenti:

1) partire subito da problemi legati al mondo reale: in questo modo è stata messa in evidenza fin dall’inizio l‘utilità della trigonometria, mostrandone immediatamente alcune applicazioni come la navigazione, le coordinate sulla superficie terrestre (longitudine e latitudine), l’astronomia, e più in generale la misura di distanze a partire dalla misura di angoli, stabilendo un collegamento fra gli argomenti trattati (e la matematica più in generale) e la vita di tutti i giorni;

2) L’approccio per scoperta: è stata progettata una serie di attività con lo scopo di condurre i ragazzi a scoprire da soli le proprietà fondamentali delle funzioni goniometriche;

3) Il lavoro a gruppi: ritenuto fondamentale nell’ottica del cooperative learning, cercando di costruire gruppi “equilibrati” in cui gli allievi più deboli potessero essere aiutati dai compagni più brillanti e in cui questi ultimi potessero sentirsi responsabilizzati;

4) L’utilizzo del software in laboratorio: essenziale per aiutare a formare nella mente dei ragazzi le immagini dei concetti principali, in modo da costruire radici cognitive solide per lo sviluppo successivo degli argomenti.

L’approccio metodologico è stato dettato dalle recenti ricerche in campo didattico, in particolare nell’ambito della didattica della matematica. Nel paragrafo seguente se ne descrivono alcuni aspetti significativi.

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5. Teorie didattiche di riferimento Si è deciso di adottare una metodologia che desse ampio spazio alle attività di scoperta, al lavoro di gruppo e all’utilizzo degli strumenti informatici, senza tuttavia trascurare le lezioni frontali, volte a sintetizzare e consolidare i concetti fondamentali incontrati nelle attività precedenti. Un primo aspetto significativo è stato l’utilizzo di problemi legati al mondo reale per suscitare subito l’interesse dei ragazzi ed evitare che gli argomenti trattati venissero visti come un qualcosa di astratto e fine a se stessi. Alcuni problemi sono stati costruiti tenendo presente la tipologia degli esercizi proposti agli studenti quindicenni dei paesi dell’OCSE nell’ambito del progetto PISA, in cui l’attenzione è posta sulle “competenze per la vita”. A tal proposito, nelle slides del prof. Arzarello, relative al Corso di Fondamenti della Matematica (Arzarello 2007), si legge: “L’approccio del PISA nel valutare le competenze matematiche è stato disegnato per porre l’uso delle conoscenze e abilità matematiche al centro dell’insegnamento – apprendimento della matematica. L’obiettivo è di incoraggiare un approccio all’insegnamento – apprendimento della matematica che dia grande enfasi ai processi collegati alla proposta e confronto di situazioni problematiche in contesti reali, alla ricerca di modelli matematici, al loro uso per risolvere i problemi stessi e alla verifica dell’adeguatezza dei modelli scelti. Se gli studenti impareranno a far questo, saranno più preparati a usare le loro conoscenze e abilità matematiche nella vita reale e acquisiranno, pertanto, le competenze matematiche fondamentali, ossia una cultura matematica di base essenziale nell’attuale società.” Si è voluto utilizzare questo tipo di approccio nel corso del tirocinio, proponendo ai ragazzi problemi legati al mondo reale, nel tentativo di suscitare il loro interesse e di far loro comprendere nel contempo che la Matematica può essere di grande aiuto nella vita di tutti i giorni. Non va dimenticato che la capacità di costruire modelli di situazioni reali e l’uso del linguaggio e del ragionamento matematico per l’interpretazione del reale sono alla base della formazione culturale del cittadino, come si legge in “Matematica 2003”, nel passo introduttivo del curricolo per il ciclo secondario: “L’educazione matematica deve contribuire, insieme con tutte le altre discipline, alla formazione culturale del cittadino, in modo da consentirgli di partecipare alla vita sociale con consapevolezza e capacità critica. Le competenze del cittadino, al cui raggiungimento concorre l'educazione matematica, sono per esempio: esprimere adeguatamente informazioni, intuire e immaginare, risolvere e porsi problemi, progettare e costruire modelli di situazioni reali, operare scelte in condizioni d'incertezza. La conoscenza dei linguaggi scientifici, e tra essi in primo luogo di quello matematico, si rivela sempre più essenziale per l'acquisizione di una corretta capacità di giudizio. In particolare, l'insegnamento della matematica deve avviare gradualmente, a partire da campi di esperienza ricchi per l'allievo, all'uso del linguaggio e del ragionamento matematico, come strumenti per l'interpretazione del reale e non deve costituire unicamente un bagaglio astratto di nozioni”. (UMI 2003). Relativamente al lavoro di gruppo vanno ricordate le dinamiche del Cooperative Learning, che favoriscono il sorgere dell’interdipendenza positiva fra i singoli membri (Martinelli 2006): gli individui prendono coscienza che il rapporto di collaborazione è tale per cui non può esserci il successo individuale senza il successo del gruppo, ed il gruppo diventa responsabile nel suo insieme del raggiungimento dell’obiettivo comune. In altre parole il successo deve essere raggiunto insieme, e questo favorisce la collaborazione e la responsabilizzazione reciproca all’interno del gruppo. Si crea dunque una interazione costruttiva che avvantaggia sia l’apprendimento che la crescita personale (Martinelli 2007). Non vanno poi dimenticati gli aspetti psicologici che possono venire coinvolti nell’ambito del lavoro di gruppo: pensiamo ad esempio al concetto di “ zona di sviluppo prossimale” introdotto da Vygotskij , che viene definita dall’autore come la distanza tra il livello attuale dello sviluppo

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autonomo di un individuo ed il livello più alto di sviluppo potenziale raggiungibile dallo stesso individuo sotto la guida di un tutor più esperto, o anche solo in collaborazione con propri pari più capaci. Nelle slides del prof. C. Longobardi, relative al Corso di Psicologia dello Sviluppo, tenuto presso la SIS Piemonte nell’A.A. 2006-2007, si legge che “ la zona di sviluppo prossimale può riferirsi ad ogni situazione in cui un’attività sta portando il bambino oltre il suo attuale livello di funzionamento. Quindi essa può operare nel gioco, nel lavoro, negli studi scolastici”. (Longobardi 2007). Occorre sottolineare che il lavoro di gruppo non deve svolgersi necessariamente in laboratorio . A tal proposito si vuole menzionare il concetto di laboratorio proposto dall’UMI in Matematica 2003: “Il laboratorio di matematica non è un luogo fisico diverso dalla classe, è piuttosto un insieme strutturato di attività volte alla costruzione di significati degli oggetti matematici. Il laboratorio, quindi, coinvolge persone (studenti e insegnanti), strutture (aule, strumenti, organizzazione degli spazi e dei tempi), idee (progetti, piani di attività didattiche, sperimentazioni). L’ambiente del laboratorio di matematica è in qualche modo assimilabile a quello della bottega rinascimentale, nella quale gli apprendisti imparavano facendo e vedendo fare, comunicando fra loro e con gli esperti. La costruzione di significati, nel laboratorio di matematica, è strettamente legata, da una parte, all'uso degli strumenti utilizzati nelle varie attività, dall'altra, alle interazioni tra le persone che si sviluppano durante l’esercizio di tali attività”. (UMI 2003). Per quanto riguarda l’utilizzo degli strumenti informatici si è fatto riferimento alle ricerche didattiche di David Tall. Secondo David Tall, piuttosto che introdurre argomenti nuovi con definizioni formali che contengono elementi non familiari per i ragazzi, conviene partire da concetti che risultino familiari e che possano costituire da base per un successivo sviluppo matematico. E’ fondamentale cercare di creare nella mente dei ragazzi una immagine del concetto prima di darne la definizione formale. Grazie alle immagini è possibile costruire le “radici cognitive”, che Tall definisce nel modo seguente: “A cognitive root is a concept that:

(i) is a meaningful cognitive unit of core knowledge for the student at the beginning of the learning sequence;

(ii) allows initial development through a strategy of cognitive expansion rather than significant cognitive reconstruction;

(iii) contains the possibility of long-term meaning in later developments; (iv) is robust enough to remain useful as more sophisticated understanding develops”.

(Tall, McGowen and DeMarois, 2000). Molto importante nelle ricerche di Tall è il concetto di “embodiment”, ed anche in questo caso si riportano le parole dell’autore: “My whole life in mathematics education has been devoted to understanding the growth of mathematics at all ages with differing individuals. In my research, I found three fundamentally different ways of operation, one through physical embodiment, including physical action and the use of visual and other senses, a second through the use of mathematical symbols that operate as process and concept (procepts) in arithmetic, algebra and symbolic calculus, and a third through formal mathematics in advanced mathematical thinking. As I considered the whole range of mathematical thinking, I began to realise that the notion of three different worlds of mathematics:

• (conceptual) embodied • (proceptual) symbolic • (axiomatic) formal

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offered a useful categorisation for different kinds of mathematical context. Each has its own individual style of cognitive growth, each has a different way of using language and together they cover a wide range of mathematical activity”. (dal sito di Tall). Le attività svolte con l’utilizzo di apparecchiature informatiche sono state dunque previste e progettate tenendo presente quanto spiegato da Tall, nella consapevolezza che l’uso degli strumenti informatici può assumere un ruolo fondamentale nella costruzione delle immagini dei concetti, stabilendo un ponte fra gli aspetti percettivi, che coinvolgono la sfera dell’ “embodiment”, e gli aspetti simbolici, che sono alla base delle definizioni formali. A proposito degli strumenti informatici è bene ricordare anche quanto osservato dall’UMI, in Matematica 2003: i software di geometria dinamica sono dei “veri e propri micromondi, nei quali gli studenti possono fare esperienze, compiere esplorazioni, osservare, produrre e formulare congetture e validarle con le funzioni messe a disposizione dallo stesso software”, mentre “nell’insegnamento dell’algebra, della geometria analitica e dell’analisi può rivelarsi particolarmente opportuno l’uso di software di manipolazione simbolica, detti comunemente CAS (Computer Algebra System), che mettono a disposizione diversi ambienti integrati, in genere quello numerico, quello simbolico, quello grafico e un linguaggio di programmazione. […] I CAS inoltre presentano ambienti in cui poter effettuare esplorazioni, osservazioni, validazioni di congetture; si tratta di ambienti che, per loro stessa natura, aiutano a pianificare e costruire attività volte al conseguimento di quei significati degli oggetti di studio che costituiscono l’obiettivo fondamentale del laboratorio di matematica”. (UMI 2003: 24-25). 6. Materiali Tutte le schede di lavoro per questo ciclo di lezioni, compresa la prova finale di valutazione, sono presenti in appendice alla fine di questo documento. Nei paragrafi seguenti viene descritta la procedura per i singoli interventi e la relativa scansione temporale.

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7. Scansione delle attività e dei tempi La tabella seguente riporta una breve descrizione delle attività da svolgere e la relativa scansione temporale, adattata ad un orario scolastico suddiviso in unità da cinquanta minuti ciascuna. La procedura dettagliata per ogni intervento è descritta nel paragrafo successivo. Si segnala che in tabella compare anche un’attività che per motivi di tempo non è stata realizzata durante il tirocinio, ma che faceva parte del progetto iniziale: è stato tuttavia possibile riscontrarne l’efficacia in un ciclo di lezioni successivo e si è dunque deciso di presentarla ugualmente come proposta per un eventuale approfondimento.

Attività Descrizione Durata (minuti) Metodologia Luogo

1 A Introduzione alla trigonometria 10 Lezione frontale Aula

1 B Definizione di seno, coseno e tangente 40 Lezione dialogata, attività di scoperta

Laboratorio con proiettore

2 La misura degli angoli 50 Lezione frontale Aula

3 A Studio delle funzioni seno e coseno con Excel 50 Lavoro a gruppi Laboratorio di

informatica

3 B Studio della funzione tangente con Excel 50 Lavoro a gruppi Laboratorio di

informatica

4 La circonferenza goniometrica e la tangente,

introduzione alle coordinate polari 50 Lezione frontale Aula

5 A Ripasso dei concetti fondamentali, spazio per

le domande 20 Lezione dialogata Aula

5 B Esercitazioni 80 Esercitazioni Aula

6 Costruzione delle funzioni goniometriche con

GeoGebra 50

Lezione dialogata, attività di scoperta

Laboratorio con proiettore

7 Trasformazioni della funzione seno con Excel

(attività non realizzata in tirocinio) 50 Lavoro a gruppi

Laboratorio di informatica

8 Lezione di ripasso, spazio per le domande e i

chiarimenti 50 Lezione frontale Aula

9 Esercitazioni in vista della prova 50 Esercitazioni Aula 10 Prova di verifica 50 Prova individuale Aula

11 Consegna, correzione e discussione delle prove 50 Discussione alla

lavagna Aula

8. Procedura Attività 1: Introduzione alla trigonometria Modalità: lezione frontale nella prima parte, lezione dialogata con l’aiuto del software nella seconda parte. Parte prima: passi fondamentali per una breve lezione frontale introduttiva (10 minuti circa)

1) Distribuire una scheda contenente esercizi di varie tipologie. Questa scheda, riportata in appendice (Appendice 2) viene utilizzata durante tutto il ciclo di lezioni, risolvendo gli esercizi di volta in volta;

2) far osservare ai ragazzi che tutti gli esercizi proposti coinvolgono la misura degli angoli (molti esercizi sono stati scelti dall’attività UMI usata come riferimento);

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3) focalizzare l’attenzione sull’estrema importanza della misura degli angoli, sottolineando gli innumerevoli campi di applicazione (misura di distanze, altezze di edifici, navigazione, astronomia, geografia: latitudine e longitudine, ecc…);

4) far osservare che il termine stesso “goniometria” significa misura di angoli (dal greco gonion = angolo e metròs = misura);

5) cenno sulle origini storiche della trigonometria (problema della corda, presente nella scheda degli esercizi).

Parte seconda: definizione delle funzioni goniometriche seno, coseno e tangente (40 minuti circa) Questa attività prevede una lezione dialogata con l’utilizzo di un software didattico come GeoGebra, da svolgersi con l’aiuto di un proiettore grazie al quale i ragazzi possano seguire dal posto tutta la costruzione. E’ stata preparata anche un’attività alternativa, nel caso in cui non fosse possibile utilizzare il software fin dalla prima lezione. In questo caso la classe può essere divisa in gruppi di due o tre persone e può essere distribuita la scheda di lavoro riportata in appendice (Appendice 3). Questa attività è analoga per contenuti a quella che contempla l’utilizzo del software, con la differenza che i ragazzi possono lavorare direttamente anziché seguire la costruzione al computer, ma con la perdita dell’aspetto dinamico. Schema della lezione (da Matematica 2003,) Si può partire dai triangoli rettangoli, utilizzando i rapporti e le

similitudini. Fissare l’attenzione su:

1) i punti Q, Q’, Q’’ sono le proiezioni ortogonali dei punti P, P’, P’’ su OA: si formano così tanti triangoli rettangoli;

2) i triangoli in questione sono tutti simili e quindi, fissato l’angolo α, i rapporti fra coppie di lati corrispondenti sono costanti, ossia non dipendono dalla particolare posizione di P: se si utilizza un software di geometria dinamica come Cabri o GeoGebra si può far scorrere P lungo OB e mostrare che i rapporti non cambiano;

3) al variare dell’angolo α variano i rapporti: questo vuol dire che i valori di tali rapporti sono determinati dall’angolo α e sono quindi funzioni di α;

4) i software di geometria dinamica si rivelano davvero utili per aiutare a comprendere questo concetto, ma se non ne fosse possibile l’utilizzo si può impostare un breve lavoro da far svolgere su carta millimetrata con righello e goniometro, oppure ancora utilizzare angoli di 30°, 45° e 60° e far applicare le formule già note ai ragazzi: lo scopo è arrivare alle conclusioni sui rapporti lavorando direttamente sul campo;

5) all’inizio si lavora solo sugli angoli acuti.

A questo punto si possono introdurre le funzioni seno, coseno e tangente come:

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αα sin)( == fOP

PQ; αα cos)( == g

OP

OQ; αα tan)( == h

OQ

PQ.

Questo porta subito a una prima importante applicazione: noto un lato e l’angolo α si può risalire ad un altro lato (ricordare che i triangoli in questione sono rettangoli). Ad esempio:

αsinOPPQ = ; αcosOPOQ = . Si può subito provare con angoli di 30°, 45° e 60° e confrontare i valori ottenuti con una calcolatrice scientifica con quelli ottenuti per via geometrica diretta. Successivamente si mostra che se α �è un angolo acuto qualunque non si possono più utilizzare relazioni geometriche particolari, ma si può risolvere il problema utilizzando le funzioni appena definite e usare uno strumento come la calcolatrice. Si può provare ad esempio con 10°: questo permette di generalizzare il problema e fa capire fin da subito l’utilità della trigonometria. Attività 2: La misura degli angoli Modalità: lezione frontale (50 minuti circa)

1) Breve sintesi di quanto visto nella lezione precedente (definizione di seno, coseno e tangente);

2) la misura degli angoli: cenno al sistema sessagesimale, con gradi, primi e secondi, e al sistema sessadecimale, utilizzato dalle calcolatrici, con le frazioni di grado indicate in decimali. Brevi esercizi di conversione fra i due sistemi;

3) introduzione del concetto di radiante, brevi esercizi di conversione fra gradi e radianti; 4) convenzioni: angoli “con segno” e “periodicità” (angoli maggiori di 360°).

Attività 3: Studio delle funzioni seno, coseno e tangente fra -360° e 360° Modalità: lavoro a gruppi in laboratorio di informatica (100 minuti circa) Questa attività viene svolta con Excel. La scheda di lavoro corrispondente è riportata in appendice (Appendice 4). L’obiettivo di questa attività è far lavorare direttamente i ragazzi con Excel, costruendo tabelle e grafici, per arrivare a scoprire importanti proprietà delle funzioni goniometriche seno, coseno e tangente per angoli compresi fra -360° e 360°. In particolare:

1) Continuità; 2) Zeri e segno; 3) Immagine, massimi e minimi; 4) Simmetrie; 5) Periodicità; 6) Asintoti.

Prima di proporre questo lavoro occorre assicurarsi che i ragazzi abbiano già qualche confidenza, almeno su un piano intuitivo, con questi concetti. E’ importante insistere sul concetto di funzione. Si può anche fare riferimento al fatto che per la costruzione delle tabelle e dei grafici si utilizzano delle specifiche funzioni di Excel: ad esempio la funzione SEN() associa a un qualunque numero reale x un altro numero reale y: xyx sin=→ .

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Va inoltre ricordato che nella prima attività erano state introdotte le funzioni goniometriche seno, coseno e tangente considerando angoli compresi fra 0° e 90°: ora è possibile invece utilizzare Excel per scoprire nuove proprietà estendendo l’intervallo ad angoli compresi fra –360° e 360°. Nelle figure seguenti sono visualizzati i grafici che sono stati ottenuti durante la preparazione di questo intervento.

y=sinx e y=cosx [-360°,360°]

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

x (gradi)

y=f(

x)

.

y = sin x

y = cos x

y = tg x [-360°,360°]

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

x (gradi)

y

Attività 4: La circonferenza goniometrica e la tangente Modalità: lezione frontale e lavoro a gruppi (50 minuti circa) Questa lezione frontale ha l’obiettivo di riassumere le proprietà principali scoperte nell’attività precedente, e soprattutto di giustificarle introducendo la circonferenza goniometrica nel piano cartesiano.

Schema della lezione

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1. Introduzione alle coordinate polari: individuazione della posizione di un punto P sul piano cartesiano mediante il raggio e l’anomalia. Passaggio dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane (molto utile per l’introduzione successiva della circonferenza goniometrica). Con quanto già visto negli incontri precedenti non è difficile ricavare le formule di trasformazione:

==

αα

sin

cos

ry

rx

Attività di allenamento. Dal momento che la lezione frontale è abbastanza densa questa attività può essere omessa in caso di necessità di tempo, ma potrebbe risultare molto utile e anche divertente:

1) Cenno al funzionamento del radar, che individua la posizione di un punto nel piano (ad esempio una nave sulla superficie del mare) proprio in coordinate polari;

2) Dividere la classe in alcuni gruppi e provare a giocare a battaglia navale trasformando le coordinate cartesiane in coordinate polari. La scheda con il gioco a squadre è in (Appendice 5). è può eventualmente essere proposta come esercizio da svolgere a casa.

2. Il passaggio dai triangoli rettangoli al piano cartesiano permette anche di passare dagli angoli acuti agli angoli qualunque. Nelle relazioni di trasformazione delle coordinate, infatti, x e y sono le coordinate cartesiane di P, e come tali possono assumere anche valori negativi (cosa che non poteva succedere quando si consideravano solo le misure delle lunghezze dei lati dei triangoli). Le funzioni seno e coseno possono ora venire ridefinite in modo più generale in funzione delle coordinate cartesiane di P:

=

=

r

yr

x

α

α

sin

cos

3. La circonferenza goniometrica e la prima relazione fondamentale della goniometria. Si può procedere per passi successivi:

1) disegnare alla lavagna una circonferenza centrata nell’origine del piano cartesiano, di raggio r, e chiedere ai ragazzi di scriverne l’equazione: 222 ryx =+ (è molto importante partire dal caso generale e passare poi all’equazione della circonferenza goniometrica con r = 1);

2) considerare un punto P sulla circonferenza. Ricordare ai ragazzi che se P è sulla circonferenza le sue coordinate x e y soddisfano l’equazione precedente;

3) sappiamo anche che la posizione di P può essere definita in coordinate polari: disegnare sulla lavagna il raggio OP e l’anomalia α;

4) far scrivere ai ragazzi le equazioni di trasformazione; 5) inserirle nell’equazione della circonferenza: 22222 cossin rrr =+ αα ; 6) si ottiene così la prima relazione fondamentale della goniometria 1cossin 22 =+ αα ; 7) far notare che questa relazione vale sempre: non dipende dal raggio della circonferenza!; 8) a questo punto si può introdurre la circonferenza goniometrica, con r = 1: le equazioni di

trasformazione diventano allora αcos=x e αsin=y . In questo caso particolare le coordinate di P rappresentano proprio il coseno e il seno.

4. La tangente e la seconda relazione fondamentale della goniometria. Si può nuovamente procedere per passi successivi:

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1) disegnare alla lavagna una circonferenza centrata nell’origine del piano cartesiano, di raggio r, e considerare di nuovo un punto P sulla circonferenza;

2) osservare il triangolo rettangolo OPH (H è la proiezione ortogonale di P sull’asse x) e

far notare che per la definizione già nota della tangente risulta: x

y=αtan ;

3) sostituire nuovamente con le equazioni di trasformazione: ααα

cos

sintan

r

r= , da cui si

ottiene subito la seconda relazione fondamentale della goniometria: ααα

cos

sintan = . Far

riflettere i ragazzi sul coseno a denominatore (giustificazione degli asintoti paralleli all’asse delle ordinate, già scoperti con Excel);

4) riferire αtan alla tangente alla circonferenza goniometrica nel punto (1,0);

5) far riflettere sul legame con la pendenza delle rette mxy = : poiché x

ym= risulta

αtan=m . Attività 5: esercitazioni in classe Modalità: lezione dialogata (20 minuti circa) ed esercitazioni alla lavagna (80 minuti circa) Dopo le prime lezioni, dense di concetti nuovi, è opportuno programmare a questo punto un’attività in cui sia possibile “tirare il fiato”. La prima parte di questa attività è costituita da una lezione dialogata, della durata al massimo di venti minuti, in cui dare spazio alle domande da parte dei ragazzi, per sciogliere eventuali dubbi e chiarire meglio gli aspetti più importanti visti fin qui. Nella seconda parte, della durata di circa un’ora e venti minuti, viene svolta un’esercitazione. Sono state preparate a tal proposito due schede di lavoro, riportate nelle appendici (Appendici 6 e 7), da affiancare alla scheda di esercizi già distribuita nella prima lezione (Appendice 2). La modalità di svolgimento è la seguente: dopo aver concordato l’esercizio da affrontare, viene lasciato ai ragazzi qualche minuto per provare da soli. Successivamente vengono condivise le proposte di soluzione e infine viene mostrato il procedimento alla lavagna. Non è esclusa la possibilità di invitare alcuni studenti alla lavagna nel corso dell’esercitazione. Le tre schede contengono molti esercizi: sicuramente non è possibile svolgerli tutti in classe; alcuni possono essere proposti per casa, altri possono essere affrontati nelle esercitazioni successive. Attività 6: la costruzione delle funzioni goniometriche con GeoGebra Modalità: lezione dialogata in laboratorio di informatica (50 minuti circa) Lo scopo di questa attività è quello di utilizzare un software come GeoGebra per effettuare la costruzione dinamica delle funzioni seno, coseno e tangente. Questo strumento risulta davvero efficace, e può aiutare in modo concreto lo studente a formare nella propria mente un’immagine chiara dei concetti, costruendo delle radici cognitive solide che possono costituire una buona base per tutti gli sviluppi successivi. Questa lezione va svolta guidando i ragazzi dalla postazione dell’insegnante, che si avvale di un proiettore in modo che i passi delle varie costruzioni possano essere seguiti sullo schermo. Sarebbe utile se GeoGebra fosse installato su tutte le macchine del laboratorio, così che i ragazzi possano ripetere personalmente le varie costruzioni alla propria postazione. Schema della lezione 1. La costruzione dinamica delle funzioni seno e coseno

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Naturalmente GeoGebra ha già le funzioni seno e coseno predefinite. Lo scopo di questa attività, tuttavia, non è utilizzare le funzioni predefinite del software ma costruirle direttamente passo per passo utilizzando le definizioni date durante la lezione frontale. In questo modo è possibile generare i grafici delle funzioni goniometriche in modo dinamico, aiutando i ragazzi a comprenderne il vero significato. Nella figura seguente è mostrata la costruzione di partenza:

La circonferenza è centrata nell’origine e ha raggio 1 (circonferenza goniometrica), ma R è libero di muoversi lungo l’asse x in modo che il raggio della circonferenza possa essere fatto variare in un secondo momento. Il punto P è libero di muoversi sulla circonferenza: durante il trascinamento con il mouse si vede variare l’angolo α. I punti C ed S sono le proiezioni ortogonali di P sugli assi cartesiani e rappresentano proprio il coseno e il seno (segmento blu e segmento rosso). Trascinando P lungo la circonferenza si osserva che la lunghezza dei segmenti varia in funzione della posizione di P (e quindi dell’ampiezza dell’angolo α). Va fatto inoltre osservare che tali segmenti vanno considerati “con segno”: essi possono infatti assumere anche valori negativi in quanto rappresentano le coordinate cartesiane di P.

A questo punto si definiscono in GeoGebra i rapporti r

Px )(cos =α e

r

Py )(sin =α , dove r è la

misura del raggio della circonferenza (segmento verde). Poiché per il momento il raggio vale 1 il seno e il coseno corrispondono proprio alle coordinate di P, ma questa definizione generale aiuta a mostrare in un secondo momento che cosa succede quando si modifica il raggio. Il passo successivo è definire un punto A la cui ascissa sia l’angolo α e la cui ordinata sia la funzione αsin precedentemente definita. In questo modo, trascinando P, il punto A si sposta in funzione della posizione di P (e quindi dell’ampiezza di α) e genera dinamicamente il grafico della funzione seno essendo proprio )sin,( ααA . E’ possibile attivare la modalità “Traccia On” per il punto A e seguire la generazione della sinusoide al variare della posizione di P sulla circonferenza. Si può successivamente ripetere tutto il procedimento per la cosinusoide definendo un punto

)cos,( ααB . La figura seguente mostra contemporaneamente le tracce dei punti A e B, ma queste possono anche essere mostrate separatamente nascondendo uno dei due punti.

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Per il momento abbiamo lavorato solo per [ ]πα 2,0∈ . Per estendere lo studio è possibile ad

esempio definire i punti )sin,2(1 απα −A e )sin,2(2 απα +A . Questi due punti permettono lo studio in altri due intervalli e aiutano a mettere in luce la periodicità delle funzioni goniometriche. La figura seguente mostra le tracce generate dai punti A1, A2, e A:

Naturalmente si può ripetere tutta la costruzione per la funzione coseno (punto B). Successivamente si può far variare il raggio della circonferenza (trascinando R) per mostrare che, mentre i segmenti OS e OC non rappresentano più il seno e il coseno, la traccia dei vari punti non cambia (e quindi non cambiano le proprietà delle funzioni goniometriche, perché sono state definite in modo generale considerando i rapporti con il raggio). L’ultimo passo di questa attività consiste nel confrontare questi risultati con quelli ottenuti con Excel: in questo modo è possibile consolidare la comprensione dei concetti e delle proprietà più importanti, ricavati precedentemente con un percorso di scoperta e ora pienamente giustificati. Si possono infine far comparire le funzioni predefinite di GeoGebra e mostrare che sono le stesse che sono appena state costruite passo per passo. 2. La costruzione dinamica della tangente La costruzione della tangente è analoga a quelle di seno e coseno. Ci limitiamo a indicare le definizioni e a mostrare il risultato finale nella figura seguente. Quando il raggio della circonferenza è 1, il valore di αtan è rappresentato dal segmento viola RT (da considerare “con segno”). Nota: quando P si avvicina alle posizioni limite (cioè quando α si avvicina a π/2 e a 3π/2) si può mettere in evidenza il concetto di asintoto. Per costruire la tangente in GeoGebra si può utilizzare la seconda relazione fondamentale della goniometria (nella precedente lezione frontale è stato già sottolineato che vale sempre,

indipendentemente dal raggio): ααα

cos

sintan = . Infine il punto D che genera il grafico,

visualizzabile con la modalità “Traccia ON”, può essere definito come )tan,( ααD .

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Attività 7: trasformazioni Modalità: lavoro a gruppi, in laboratorio di informatica (50 minuti circa) Nota: questa attività non è stata realizzata durante il tirocinio per motivi di tempo, ma faceva parte del progetto iniziale: è stato tuttavia possibile riscontrarne l’efficacia in un ciclo di lezioni successivo e si è dunque deciso di presentarla ugualmente come proposta per un eventuale approfondimento. L’obiettivo è studiare come varia la funzione: ( )[ ] khxmAxf +−⋅= sin)( al variare dei parametri A, m, h, k. Questa attività può essere impostata come lavoro a gruppi in laboratorio, e prevede l’utilizzo di un software come Excel. Il foglio elettronico da far costruire ai ragazzi contiene una tabella in cui sono mostrati i valori delle seguenti funzioni:

• xxf sin)( = ;

• ( )[ ] khxmAxg +−⋅= sin)( . I valori di f(x) rimangono fissi, i valori di g(x) variano a seconda dei valori scelti per i parametri A, m, h, k (inseriti in apposite celle). Il grafico illustrato nella figura seguente corrisponde ai valori A=2, m=2, h=90°, k=0. Variando questi valori, varia dinamicamente anche il grafico.

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-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180 225 270 315 360

x (gradi)

y

y=sin x y=Asin(m(x-h))+k

Attività 8: lezione di ripasso Modalità: lezione frontale (50 minuti circa) L’obiettivo di questa lezione frontale è quello di effettuare una sintesi ed un ripasso dei concetti più importanti affrontati durante tutto l’intervento didattico. Una volta terminato il ripasso, verrà di nuovo dato spazio alle domande per chiarire gli ultimi eventuali dubbi in vista della prova finale. Attività 9: esercitazioni in vista della prova Modalità: esercitazioni alla lavagna (50 minuti circa) In quest’ultima lezione vengono nuovamente prese in considerazione le schede di esercizi distribuite nelle lezioni precedenti, si risolveranno e si commenteranno i problemi ancora in sospeso e ne verranno eventualmente proposti altri. Lo scopo di questa attività è preparare i ragazzi in vista della prova finale, fornendo loro indicazioni sulla tipologia delle domande che verranno proposte, sui vari punteggi, e facendo il punto sulla loro preparazione, sottolineare gli aspetti da migliorare e su cui focalizzare maggiormente l’attenzione. 9. Valutazione Di seguito viene riportato il testo di ciascuno degli esercizi proposti nella prova finale, con la relativa risposta: Esercizio 1. Definisci la funzione tangente e descrivine le principali proprietà. Esercizio 2. Dimostra la relazione fondamentale 1cossin 22 =+ xx . Esercizio 3. Esprimi in gradi le ampiezze dei seguenti angoli espresse in radianti:

a) π12

5 (R. 75°); b) π

5

9 (R. 324°).

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Esercizio 4. Esprimi in radianti le ampiezze dei seguenti angoli espresse in gradi: a) 144° (R. 4π/5); b) 210° (R. 7π/6).

Esercizio 5. Il valore dell’espressione πππ

πππ

cos3

sin3

tan

2sin

6tan

4cos

⋅

−

⋅

−

è:

a) 0; b)3

26 −; c) 362 − ; d)

3

62 − (R. corretta); e) 623− .

Esercizio 6. La retta r forma con l’asse x un angolo

∈

2,0πα tale che

5

3cos =α . Scrivi

l’equazione di r sapendo che passa per il punto di coordinate (0,1). R. 0334 =+− yx . Esercizio 7. Abbiamo un tavolo lungo 1,50 m, largo 0,85 m, e alto 0,75 m. Vogliamo illuminare il tavolo con un faretto appeso al soffitto. L’apertura angolare del fascio luminoso proiettato dal faretto è di 50°. A quale altezza dal tavolo occorre porre il faretto affinché non ci siano parti del tavolo in ombra? (R. h = 1,85 m circa). Esercizio 8. Un aereo da turismo sta volando con traiettoria rettilinea ad una altezza di 4500 m. Due piloti dell’aereo avvistano di fronte a sé, guardando in giù di un angolo di 48° rispetto a un piano orizzontale, la cima di un campanile. Dopo un minuto sorvolano il campanile. Supponendo che l’aereo viaggi ad altezza e velocità costanti, qual è la distanza percorsa in un minuto? (Facoltativo: qual è la sua velocità?). (R. d = 4052 m circa, v = 243 Km/h circa). Gli ultimi tre esercizi meritano alcune considerazioni approfondite. L’esercizio 6 ha il pregio di collegare gli argomenti svolti alla geometria analitica, che costituisce la parte predominante del programma di terza. Esso coinvolge numerose abilità che riguardano diversi argomenti e che sono legate fra loro. Per arrivare al risultato corretto occorre infatti: 1) conoscere le definizioni di seno, coseno e tangente; 2) conoscere la prima relazione fondamentale della goniometria e applicarla per calcolare il valore

del seno, noto il coseno; 3) fra i due valori ottenuti per il seno, scegliere quello corretto considerando la condizione che

limita la variabilità dell’angolo fra 0° e 90° 4) conoscere la seconda relazione fondamentale della goniometria e applicarla per calcolare il

valore della tangente; 5) saper calcolare l’equazione di un fascio di rette passanti per un punto dato; 6) saper scegliere la retta corretta fra quelle del fascio avendo compreso che αtan=m . Gli esercizi 7 ed 8 sono di importanza fondamentale in quanto richiedono la modellizzazione di problemi reali. L’esercizio 8 è il più semplice fra i due ed è molto simile a quelli proposti durante le esercitazioni, ma comprende una domanda di fisica (il calcolo della velocità dell’aereo), molto utile sia per contestualizzare l’esercizio ad una situazione reale, sia per stabilire un collegamento interdisciplinare. L’esercizio 7 è un po’ più sottile. Per la sua costruzione ci si è ispirati alla tipologia di esercizi proposti agli studenti quindicenni dei paesi dell’OCSE nell’ambito del progetto PISA, in cui l’attenzione è posta sulle “competenze per la vita”. Un esempio di queste competenze in ambito matematico è dato dal saper applicare le proprie conoscenze e abilità per risolvere problemi della

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vita reale. L’esercizio è fondato proprio su questa filosofia: per arrivare alla soluzione corretta occorre essere in grado di ragionare sul problema, cercando una strategia di soluzione e costruendo un modello facendo uso di quello che si è studiato. Consideriamo nel dettaglio i vari passi da effettuare nel ragionamento:

1) per prima cosa occorre chiedersi quale sia la dimensione del tavolo da utilizzare. A tal fine si può immaginare il fascio di luce proiettato dal faretto come un cono circolare retto, il cui asse risulta perpendicolare al piano del tavolo;

2) intersecando un cono con un piano perpendicolare al suo asse si ottiene un cerchio; 3) affinché non ci siano parti del piano del tavolo in ombra il piano del tavolo deve essere

contenuto interamente nel cerchio di luce; 4) l’altezza del tavolo è fissa, più si alza il faretto più il cerchio di luce si allarga: occorre

dunque cercare l’altezza minima del faretto; 5) l’altezza minima può essere riconosciuta nel caso in cui la circonferenza che delimita il

cerchio di luce è la circonferenza circoscritta del rettangolo che rappresenta il tavolo; 6) la dimensione da considerare è dunque la diagonale del tavolo, calcolabile con il Teorema di

Pitagora; 7) a questo punto occorre cambiare punto di vista, e immaginare un triangolo isoscele di base d

(la diagonale del tavolo), di altezza h (l’altezza del cono di luce, che è l’incognita) e il cui angolo α opposto alla base misura 50°;

8) infine, considerando il triangolo rettangolo formato da h, da uno dei due lati obliqui del triangolo isoscele precedente e dalla metà della sua base d si ottiene l’equazione risolutiva:

⋅

=

2tan2

αd

h .

Breve commento sui risultati ottenuti dagli studenti Dai risultati ottenuti dagli studenti sono emersi alcuni aspetti interessanti che si vogliono discutere brevemente. In tutti gli esercizi di applicazione (esercizi 3, 4, 5) è stato superato l’80% del punteggio massimo raggiungibile (nei due esercizi di trasformazione dai gradi ai radianti e viceversa è stato addirittura superato il 90%), mentre nel primo esercizio, che coinvolgeva conoscenze generali, è stato superato il 63%. Ha creato difficoltà l’esercizio 2 (la dimostrazione, in cui si è arrivati al 44%), mentre sono risultati oltre il 50% del punteggio massimo raggiungibile l’esercizio 6 (geometria analitica) e l’esercizio 8 (il secondo esercizio di trigonometria, per il quale si è superato il 57%). L’esercizio che ha messo i ragazzi maggiormente in difficoltà è stato il problema del tavolo (esercizio 7, al di sotto del 36%). A tal proposito va segnalato che nessuno ha risolto l’esercizio considerando la diagonale del tavolo e che i pochi che l’hanno risolto hanno utilizzato come base del triangolo la lunghezza del tavolo. Questo risultato evidenzia le difficoltà riscontrate dagli studenti nella modellizzazione di problemi reali, attività risultata per loro nuova 10. Riflessioni a posteriori sulla fattibilità: aspetti positivi e criticità emerse I nodi concettuali affrontati nel corso della lezione sulla circonferenza goniometrica rappresentano il cuore di tutto il percorso didattico e offrono diversi spunti di riflessione. Quali punti di forza di questo intervento sono possono essere indicati i seguenti:

1) l’introduzione delle coordinate polari (con cenni al funzionamento del radar);

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2) l’utilizzo di una circonferenza generica di raggio r, e la successiva introduzione della circonferenza goniometrica come caso particolare;

3) l’utilizzo delle coordinate polari del punto P sulla circonferenza di raggio r per dare la definizione generale delle funzioni goniometriche seno, coseno e tangente (generalizzazione di quanto visto nella prima attività);

4) ricavare le prime due relazioni fondamentali della goniometria partendo dal caso generale per aiutare a comprendere che esse valgono sempre e non solo perché si utilizza la circonferenza goniometrica;

5) il collegamento con la geometria analitica, parte preponderante del programma di terza, sia per quanto concerne i legami fra le definizioni, le coordinate nel piano cartesiano e l’equazione della circonferenza, sia per quanto riguarda il legame fra la pendenza della retta nel piano cartesiano e la tangente dell’angolo che essa forma con l’asse delle ascisse.

L’approccio è diverso da quello tradizionale e le impressioni avute durante l’intervento sono state molto positive: hanno fatto molta presa sull’interesse dei ragazzi sia il cenno al funzionamento del radar che il collegamento alla geometria analitica, terreno che sentivano un po’ più familiare. La difficoltà maggiore è stata riscontrata nel passaggio dal caso particolare affrontato nella prima attività di scoperta (dove si consideravano solo angoli acuti e le definizioni delle funzioni goniometriche venivano date come rapporti fra le misure dei lati di un triangolo rettangolo) al caso generale riferito al piano cartesiano: si sono registrate numerose domande spontanee proprio su questo aspetto. La strategia di spiegazione è stata allora la seguente: si è disegnata alla lavagna una circonferenza centrata nell’origine di un sistema di riferimento cartesiano e si è indicato un punto P sulla circonferenza nel primo quadrante. Si sono poi tracciati il raggio OP ed il segmento PQ (dove Q era la proiezione ortogonale di P sull’asse x) e si sono invitati i ragazzi a osservare il triangolo rettangolo OPQ: questo era proprio il triangolo rettangolo da cui si era partiti nella prima lezione, e pertanto era possibile dare le definizioni di seno, coseno e tangente come rapporti fra i lati del triangolo. L’unica cosa che cambiava era il fatto che il triangolo era rappresentato in un sistema di riferimento cartesiano e che i segmenti OQ e PQ non rappresentavano più semplici misure di lunghezze ma rappresentavano le coordinate di P nel sistema di riferimento e quindi potevano assumere anche valori negativi. Non cambiavano le definizioni di seno, coseno e tangente (si è fatto notare che erano le stesse), ma acquistavano semplicemente proprietà più generali e potevano ora essere definite per un angolo qualunque (perché P era libero di percorrere tutta la circonferenza). Si è messo in evidenza che occorreva andare oltre la visione dei triangoli rettangoli e rendersi conto che, qualunque fosse l’angolo (del primo giro), esistevano due segmenti orientati che lo caratterizzavano senza ambiguità: essi erano appunto le proiezioni ortogonali di P sugli assi di riferimento. Questa difficoltà è motivo di riflessione: alcuni studenti non riuscivano a cogliere il passaggio dal

caso particolare al caso generale e chiedevano se le “vecchie definizioni” continuavano ad essere

valide. Ci si può chiedere se sarebbe stato più opportuno invertire il percorso, partendo dal caso

generale e affrontare in seguito il caso particolare, ma questo avrebbe significato perdere l’aspetto

della scoperta, ritenuto fondamentale e rivelatosi alla fine decisivo.

La prima attività rappresentava infatti molto bene il taglio che si è voluto dare all’esperienza: con il supporto delle recenti ricerche didattiche, si era deciso di fondare il percorso sull’approccio per scoperta, e di scegliere come punto di partenza i problemi legati al mondo reale, nella convinzione che questa strategia permettesse di comprendere fin dall’inizio l’utilità della trigonometria, mostrandone immediatamente gli svariati campi di applicazione. Rovesciare il percorso avrebbe probabilmente evitato l’insorgere della difficoltà descritta, ma si sarebbe dovuto strutturare

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l’intervento in modo più tradizionale, introducendo i concetti con una lezione frontale e correndo il rischio che questi venissero visti come un qualcosa di astratto e lontano dalla realtà. Si sarebbe inoltre impedito ai ragazzi di arrivare da soli alla costruzione dei significati, e sarebbe probabilmente calato l’interesse verso gli argomenti trattati. Infatti, a parte la difficoltà segnalata, questa lezione è risultata una delle più utili e significative. Un’altra lezione davvero soddisfacente è stata quella svolta con GeoGebra. La strategia di proporre questa attività dopo il lavoro a gruppi con Excel si è rivelata assai efficace: in quella sede infatti l’obiettivo era utilizzare un software per guidare gli studenti alla scoperta di alcune importanti proprietà, mentre qui si trattava di utilizzarne un altro per mostrare l’origine di quelle proprietà, aiutando a creare nella mente dei ragazzi immagini vivide, fondamentali per il consolidamento dei concetti. Con Excel gli studenti avevano ad esempio potuto costruire il grafico della sinusoide a partire da una tabella di valori calcolati con le funzioni predefinite del foglio elettronico; con GeoGebra hanno avuto invece la possibilità di seguire la costruzione e la generazione dinamica della sinusoide trascinando il punto P sulla circonferenza goniometrica. Si è trattato di un’esperienza di un certo effetto: si sono colte diverse esclamazioni di entusiasmo e di meraviglia fra i ragazzi, alcune delle quali hanno lasciato pensare che la lezione stesse raggiungendo i sui obiettivi: più di una volta si sono udite espressioni concitate che iniziavano con la frase “ecco perché…!”. A ulteriore riprova della riuscita dell’intervento va segnalato che nelle lezioni successive alcuni allievi hanno chiesto spiegazioni sull’uso ed sul funzionamento di GeoGebra perché avevano scaricato e installato il software sul computer di casa e avevano provato a “giocarci” un po’. Si era infatti avvisata la classe che si tratta di un software gratuito e ed è stato vivamente consigliato per i laboratori della scuola. La sensazione rimasta al termine dell’esperienza è senz’altro positiva. Si comprende molto bene quanto le recenti ricerche nel campo della didattica e lo sviluppo tecnologico siano stati importanti e ci si rende conto della rilevanza che possono avere l’uso del laboratorio e delle apparecchiature informatiche, il lavoro di gruppo e le attività di scoperta, tanto che ora sembra impossibile pianificare un percorso didattico senza impostarlo su questa metodologia di lavoro. Un ultimo aspetto che si è rivelato essenziale è stato il collegamento della disciplina da insegnare ai problemi tratti dalla realtà quotidiana, che è stato recepito in modo estremamente positivo anche dai ragazzi. Vogliamo concludere a tal proposito con un’osservazione scritta da uno studente sulla scheda di feedback, perché riassume lo spirito di tutto l’intervento didattico e rappresenta una prova del suo successo: “Mi è piaciuto il modo di fare dell’insegnante, soprattutto perché alcuni problemi avevano a che fare con aspetti della realtà. Generalmente nella matematica studiata da noi a scuola non c’è molta matematica legata alla realtà. Al contrario le spiegazioni e i problemi che ci ha proposto erano incentrati anche su cose quotidiane. Ho ammirato questa cosa”.

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Appendici

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APPENDICE 1 – L’ATTIVITA’ UMI

La trigonometria e il mondo reale

Abilità interessate

Conoscenze Nuclei coinvolti

Collegamenti esterni

Analizzare in forma problematica la risolubilità dei triangoli rettangoli e risolverli. Utilizzare la trigonometria in semplici problemi nell’ambito di altri settori disciplinari.

Seno, coseno e tangente di un angolo. Coordinate polari. Relazioni trigonometriche nel triangolo rettangolo.

Spazio e figure. Risolvere e porsi problemi.

Astronomia, Fisica, Topografia, Geografia della terra.

Contesto Trigonometria e applicazioni. Questa attività può essere proposta nel secondo biennio, quando gli studenti conoscono gli elementi fondamentali di geometria piana in particolare le similitudini. Il contesto è quello della trigonometria e delle sue applicazioni. Descrizione dell’attività L’attività si struttura in quattro fasi e prevede l’introduzione di seno, coseno e tangente di un angolo acuto, la loro applicazione alla risoluzione dei triangoli rettangoli e alla risoluzione di semplici problemi legati al mondo reale. La descrizione dettagliata dell’attività si trova in: UMI, Matematica 2003, Attività didattiche e prove di verifica per un nuovo curricolo di Matematica, Ciclo secondario, Spazio e figure, Secondo biennio.

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APPENDICE 2 – SCHEDA DEGLI ESERCIZI PROPOSTI 1. Una scala lunga 4 m è appoggiata a un muro in modo da formare con esso un angolo di 26°. A quale altezza la scala tocca il muro? Quanto dista dal muro il punto di appoggio sul pavimento? 2. Vi trovate a 16 m dalla base di un palazzo e ne vedete il punto più alto sotto un angolo di 28° rispetto all’orizzontale. Quanto è alto il palazzo? 3. Si vuole installare su una terrazza di Roma un pannello solare quadrato, con il lato lungo 3 m. I costruttori raccomandano di installare il pannello in modo che formi con il piano orizzontale un angolo di 10° inferiore a quello della latitudine del luogo (trovandosi Roma alla latitudine di 41°, il pannello dovrà essere inclinato di 31°). A che altezza dal pavimento della terrazza arriverà la sommità del pannello ? 4. Dalla cima di una scogliera alta 50 m si vede una nave sotto un angolo di 78° rispetto alla verticale (angolo di depressione: formato dalla scogliera, considerata verticale, e dalla linea congiungente la nave e l’osservatore). Quanto dista la nave dalla scogliera? Quanto dista la nave in linea d’aria dal punto di osservazione? Quanto varrebbero tali distanze se l’ampiezza dell’angolo valesse 79°? Confronta i risultati. 5. Quando una strada sale di 20 m, su una distanza orizzontale di 100 m, si dice che la pendenza è del 20%. Quanto vale l’ampiezza dell’angolo di inclinazione della strada rispetto al piano orizzontale? 6. Un calciatore sta per battere un rigore. Sapendo che la larghezza della porta è di 7,32 m, e che la distanza del dischetto dalla porta è di 11,00 m, qual è l’ampiezza dell’angolo sul piano orizzontale entro cui il calciatore deve indirizzare la palla per sperare di segnare? 7. Date le rette di equazione 053 =−−⋅ yx e 633 +−⋅ yx , calcolare:

a) L’ampiezza dell’angolo che la prima retta forma con l’asse x; b) L’ampiezza dell’angolo che la seconda retta forma con l’asse x; c) L’ampiezza dell’angolo acuto formato dalle due rette.

8. Esprimere l’area del triangolo mostrato in figura, supponendo noti i lati AC e AB e l’angolo α fra essi compreso:

23

9. Dimostrare che la lunghezza L di una corda AB di una circonferenza è sempre data da

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αsenRL ⋅= , dove R è il raggio della circonferenza, α è l'ampiezza dell’angolo al centro che

insiste sulla corda AB (teorema della corda).

10. (da UMI 2003) Aristarco di Samo nel III secolo a.C. affronta il seguente problema: “Quando la Luna si presenta come una perfetta mezzaluna, l'angolo fra le visuali del Sole e della Luna è inferiore ad un angolo retto per un trentesimo di quadrante (90°); quanto è più lontano dalla Terra il Sole rispetto alla Luna?”. Il problema si può schematizzare con un triangolo LAS, rettangolo in L, di cui si conosce l'angolo  = 87° e si vuol ricavare il rapporto AS/AL.

• calcolare il rapporto AS/AL con l'angolo  = 87°; • calcolare il rapporto AS/AL, con le attuali misure che forniscono  = 89° 51’; • confrontare i risultati ottenuti.

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APPENDICE 3 - SCHEDA DI LAVORO n. 1

I valori di tali rapporti variano solo al variare dell’ampiezza α e sono univocamente determinati da essa. Si può dunque dire che variano in funzione di α ovvero che sono funzioni di α. Li indicheremo rispettivamente con sin α , cos α , tan α . Completate le seguenti tabelle calcolando i valori di queste funzioni per i valori di α indicati.

αααα = 0° OP l

PQ/OP = sin αααα

OQ/OP = cos αααα

PQ/OQ = tan αααα

PQ OQ

αααα = 30° OP l

PQ/OP = sin αααα

OQ/OP = cos αααα

PQ/OQ = tan αααα

PQ OQ

αααα = 45° OP l

PQ/OP = sin αααα

OQ/OP = cos αααα

PQ/OQ = tan αααα

PQ OQ

αααα = 60° OP l

PQ/OP = sin αααα

OQ/OP = cos αααα

PQ/OQ = tan αααα

PQ OQ

αααα = 90° OP l

PQ/OP = sin αααα

OQ/OP = cos αααα

PQ/OQ = tan αααα

PQ OQ

Nella figura qui a lato è mostrato l’angolo acuto AOB (la cui ampiezza è indicata con α). Consideriamo il punto P, libero di muoversi sul lato OB, e la sua proiezione ortogonale sul lato OA, indicata con Q (in figura sono mostrate le posizioni P, P’ e P’’ e le rispettive proiezioni Q, Q’ e Q’’). A causa della similitudine (omotetia) dei triangoli OPQ, i tre rapporti tra i segmenti PQ e OP, OQ e OP, e PQ e OQ rimangono costanti al variare della posizione di P.

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APPENDICE 4 - SCHEDA DI LAVORO n. 2

Grafici delle funzioni goniometriche con Excel nell’intervallo [ -360°,360°]

COGNOME E NOME: ________________________________________________________ Si consiglia di utilizzare un foglio elettronico per il grafico delle funzioni seno e coseno e un altro (all’interno della stessa cartella) per la funzione tangente. FOGLIO 1 1. Costruite una tabella di tre colonne. Nella prima colonna riportate le ampiezze degli angoli espresse in gradi nell’intervallo compreso tra -360° e 360°, con un passo pari a 15°. Nella seconda colonna trasformate i gradi in radianti. Nota: per inserire π in Excel utilizzate l’apposita funzione PI.GRECO(). Qual è la relazione per trasformare i gradi in radianti? α (gradi) = ______________ radianti Nella terza colonna fate calcolare al foglio elettronico i valori della funzione seno inserendo l’espressione “=SEN(cella angolo in radianti)”. Nota: Nell’ultima colonna appariranno numeri espressi in forma esponenziale. Per ovviare a tale problema evidenziate il loro contenuto e formattate i numeri scegliendo l’espressione “numero”con 4 cifre decimali. 2. Costruite un grafico a “dispersione” (selezionando il terzo tipo: grafico a linea continua), con in ascissa i valori della prima colonna (valori delle ampiezze degli angoli espresse in gradi) e in ordinata i valori della terza colonna (valori della funzione seno restituiti da Excel). Indicate il titolo opportuno e il nome adatto delle coordinate. Impostate la scala sull’asse delle ascisse in modo che le tacche siano separate da intervalli di 45°. Nota: se avete bisogno di istruzioni per costruire il grafico con Excel chiedete aiuto! 3. Osservate ora il grafico della funzione seno nell’intervallo [-360°,360°] e rispondete alle seguenti domande:

a) La funzione seno è continua nell’intervallo considerato? ____________________________ b) Qual è la sua immagine? _____________________________________________________ c) Presenta massimi/minimi? Se sì, per quali valori di x? _____________________________________________________________________________ d) Esistono dei valori di x per cui è negativa? Se sì, quali? _____________________________________________________________________________ e) Ammette degli zeri? Se sì, per quali valori di x? _____________________________________________________________________________ f) Notate delle simmetrie? Se sì, quali? ____________________________________________ g) Osservate ora separatamente gli intervalli [-360°,0°] e [0°,360°]. Che cosa notate? _____________________________________________________________________________

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4. Aggiungete ora una colonna alla vostra tabella, e in questa colonna fate calcolare al foglio elettronico i valori della funzione coseno inserendo l’espressione “=COS(cella angolo in radianti)”. Aggiungete una serie di valori al grafico, inserendo in ascissa i valori della prima colonna (valori delle ampiezze degli angoli espresse in gradi) ed in ordinata i valori della quarta colonna (valori della funzione coseno restituiti da Excel). 5. Osservando il grafico della funzione coseno nell’intervallo [-360°, 360°] rispondete alle seguenti domande:

a) La funzione coseno è continua nell’intervallo considerato? __________________________ b) Qual è la sua immagine? _____________________________________________________ c) Presenta massimi/minimi? Se sì, per quali valori di x? _____________________________________________________________________________ d) Esistono dei valori di x per cui è negativa? Se sì, quali? _____________________________________________________________________________ e) Ammette degli zeri? Se sì, per quali valori di x? _____________________________________________________________________________ f) Notate delle simmetrie? Se sì, quali? ____________________________________________ g) Osservate ora separatamente gli intervalli [-360°,0°] e [0°,360°]. Che cosa notate? _____________________________________________________________________________

6. Confrontate ora i due grafici:

a) Secondo voi esiste un particolare tipo di legame fra la funzione seno e la funzione coseno? Per rispondere osservate anche i valori mostrati dalle tabelle.

____________________________________________________________________________ b) Sapreste scrivere una relazione matematica che esprima questo legame? ______________________ ______________________________________________________ c) Per quali valori di x le due funzioni assumono lo stesso valore? _____________________________________________ _______________________________

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FOGLIO 2 1. Costruite una tabella di tre colonne: nella prima riportate le ampiezze degli angoli espresse in gradi nell’intervallo compreso tra -360° e 360°, con passo pari a 15°. Nella seconda colonna trasformate i gradi in radianti con il procedimento seguito nella prima tabella. Nella seconda colonna fate calcolare ad Excel i valori della funzione tangente inserendo l’espressione “=TAN(cella angolo in radianti)”, sempre dopo aver formattato i numeri come avete fatto nel foglio precedente. Nota: introducete una riga vuota successiva a quelle degli angoli pari a –270°, -90°, 90° e 270°, oppure cancellate semplicemente i valori relativi a tali angoli (altrimenti il calcolatore evidenzia inopportunamente delle verticali). 2. Introducete i dati in un grafico a “dispersione” del terzo tipo (linea continua), analogamente a quanto fatto nel foglio precedente. Indicate il titolo opportuno e il nome adatto delle coordinate. Nota: affinché il grafico sia leggibile evidenziate prima un numero dell’asse y e selezionate col pulsante destro del mouse l’opzione “formato asse”. Selezionate quindi l’opzione “scala” e imponete come valore minimo ad esempio –4, come valore massimo il valore 4 e come unità principale 1. Seguendo una procedura analoga fate in modo che l’unità principale dell’asse x sia pari a 45°. 3. Osservate ora il grafico della funzione tangente nell’intervallo [-360°,360°] e rispondete alle seguenti domande:

a) La funzione tangente è continua nell’intervallo considerato? _________________________ b) Esistono dei valori di x per cui è negativa? Se sì, quali? ____________________________________________________________________________ c) Ammette degli zeri? Se sì, per quali valori di x? _____________________________________________________________________________ d) Come si comporta quando x si avvicina a 90° “da sinistra” (valori minori di 90°)? E quando

x si avvicina a 90° “da destra” (valori maggiori di 90°)? _____________________________________________________________________________

e) Provate a far calcolare ad Excel, in due opportune celle, i valori che la funzione tangente

assume per x = 89° e per x = 91°. Quali valori avete trovato? _____________________________________________________________________________ f) Ripetete lo stesso procedimento di prima per gli angoli –270°, -90° e 270° e scrivete le

vostre considerazioni: _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ g) Notate delle simmetrie? Se sì, quali? _____________________________________________________________________________ h) Osservate ora separatamente gli intervalli [-360°,0°] e [0°,360°]. Che cosa notate? _____________________________________________________________________________

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APPENDICE 5 – SCHEDA DI LAVORO n. 3

Giochiamo a battaglia navale… con le coordinate polari! COGNOME E NOME: __________________________________________ COGNOME E NOME: __________________________________________ Un vostro amico matematico vi propone di giocare ad una battaglia navale… un po’ speciale. Per vincere dovrete seguire scrupolosamente le regole stabilite:

1) Dividetevi a coppie, ogni coppia costituirà una squadra; 2) Come in ogni battaglia navale che si rispetti, dovrete colpire le navi del vostro avversario

trovandone le coordinate corrette (x, y): coordinate cartesiane; 3) Potrete usare il radar: avrete quindi il grande vantaggio di conoscere esattamente le

posizioni delle navi del vostro avversario; 4) C’è però una piccola complicazione: il radar vi fornirà le posizioni in coordinate polari

( )α,r , permettendovi di leggere sullo schermo il raggio r e l’anomalia α, ma non le coordinate cartesiane (x, y);

5) Nel secondo foglio di questa scheda troverete una tabella che vi aiuterà durante il gioco. Compilatela in ogni sua parte, rappresenterà un valido strumento di lavoro anche in futuro;

6) Nel secondo foglio troverete anche il disegno dello schermo radar su cui indicare le posizioni delle navi avversarie;

7) Ogni nave verrà considerata colpita se avrete trovato le coordinate cartesiane corrette (x, y) e se avrete indicato correttamente la sua posizione sullo schermo radar;

8) Ogni nave colpita vale 5 punti; 9) Sono previsti anche 25 punti per le squadre che scriveranno le relazioni di trasformazione

che permettono di passare dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane; 10) E’ previsto infine 1 punto aggiuntivo per ogni trasformazione corretta dai radianti ai gradi

per le misure degli angoli (non essenziale ai fini del gioco ma allenamento molto utile per voi);

11) Il tempo di gioco è stabilito in 30 minuti; 12) Naturalmente la squadra che fa più punti vince!

Il gioco comincia… in bocca la lupo! Lettura fornita dal radar:

A (2, 3

π); B (3, π

3

4); C (4,

6

π); D (5, π

6

11); E (3,

4

π); F (1, π

4

5); G (1,

2

π); H (3.5, π

3

5);

I (2, π ); L (4, π6

7); M (5, π

4

3); N (4.5, π

3

2); O (3, π

4

7); P (2.5, 0); Q (1, π

2

3); R (2, π

6

5).

Relazioni di trasformazione delle coordinate polari in coordinate cartesiane:

==

_______________

_______________

y

x

29

C. POLARI C. CARTESIANE

r αααα (radianti) αααα° cos αααα sin αααα x y

A

B

C

D

E

F

G

H

I

L

M

N

O

P

Q

R

30

APPENDICE 6 – SCHEDA DI LAVORO n. 4 – ESERCIZI

αααα (gradi) αααα (radianti) sin αααα cos αααα tan αααα

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

L’ esercizio proposto in questa scheda è importante perché: 1) Potrete prendere dimestichezza con la

trasformazione delle misure delle ampiezze degli angoli espresse in gradi nelle misure corrispondenti espresse in radianti;

2) Calcolerete il valore di tre funzioni goniometriche per alcuni angoli notevoli;

3) Costruirete una tabella davvero utile, da conservare per il futuro.

1. Scrivete la relazione che permette di passare dai gradi ai radianti, aiutandovi se necessario con qualche passaggio: _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ 2. Completate la tabella qui a fianco aiutandovi se necessario con la circonferenza disegnata qui sotto.

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APPENDICE 7 – SCHEDA DI LAVORO n. 5 – ESERCIZI

Il primo esercizio proposto in questa scheda rappresenta un utile allenamento sul calcolo dei valori di tre funzioni goniometriche per alcuni angoli notevoli. Il secondo esercizio è molto importante perché vi aiuterà a comprendere il legame fra il seno e il coseno di un angolo e a darne una interpretazione grafica. 1. Calcolate il valore delle seguenti espressioni:

a)

πππ

πππ

2

3sin

6

7cos

6

11tan

3tan

4cos

2sin

⋅

−

⋅

+

= __________; b) πππ

πππ

3

4sin

2

3cos

4

5tan

6cos

4tan

4sin

⋅

+

⋅

−

=__________.

2. Risolvete il seguente esercizio guidato:

a) Sapendo che 5

4sin =α , dove πα 20 <≤ , calcolate per via algebrica il valore di αcos ,

utilizzando la relazione fondamentale tra seno e coseno. Relazione fondamentale fra seno e coseno: ____________________; =αcos ________.

b) Utilizzando la circonferenza disegnata qui sotto, interpretate graficamente il vostro risultato.

c) Ripetete il procedimento per calcolare αsin sapendo che 3

2cos =α . =αsin ________.

INTERPRETAZIONE GRAFICA: