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FULVIA FURINGHETTI

Dipartimento di Matematica, Università di Genova

DIDATTICA DELLA MATEMATICA:

STORIA, ERMENEUTICA, FIGURE, NARRAZIONE, CREATIVITA`, …

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Sgomento di fronte ai 4 etti di relazionelettura

sollievocompleta, self-contained, ricca di informazioni

euforiaho imparato molto

come il Candide di Voltaire che parlava in prosa dalla nascita senza saperlo, ho scopertoche io ho sempre usato l’ermeneutica

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I temi che ho colto sono:

creatività (collegata all’abduzione)

istinto ipotizzante

discussione sulla visualizzazione e, collegataad essa, dell’intuizione

Una riflessione sui tre mondi

etc

Chiarificazione sulla dimostrazione (i suoi ruoli)

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Le mie esperienzeMi sembra giusto confrontare il mio percorso verso l’ermeneutica con quello di Bagni

Prendo come veicolo per le mie considerazioni esperienze in cui ho usato la storia

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Poincaré a Zurigo (1897, primo convegno mondiale dei matematici) parla del triple but della matematica “deve fornire uno strumento per lo studio della Natura. Ma non è tutto: la matematica ha anche uno scopo filosofico e, oso dirlo, estetico”.

Questo fatto è esemplificato nello studio dei rapporti tra analisi e fisica matematica. È il riferimento alla natura che impedisce al pensiero matematico di raggomitolarsi su se stesso e di entrare in uno sterile circolo vizioso. È la natura, molto più ricca dell’immaginazione umana, che suggerisce nuovi problemi a cui mai si sarebbe pensato.

Si può parafrasare sostituendo ‘ricerca didattica’ a ‘pensiero matematico’ e ‘classe’ a ‘natura’

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- Lavoro con insegnanti- Sperimentazione- Molto usata per la formazione insegnanti

L’uso della storia è sempre rimasto un fatto di nicchia, ma che risponde alle esigenze di chi aderisce

Mi manca una parte (che non sia anedottica) sia sulla preparazione degli insegnanti sia sulle loro aspettative (le concezioni della storia che essi hanno, il loro senso della storia, il gusto per la storia)

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Dicotomia iniziale: per promuovere la matematica, per introdurre concetti

Mi sono sempre mossa sulle due strade in maniera sghemba

Ora (vedremo) sono arrivata a un congiungimento

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principi, temi, metodo

L’alienamento (Barbin)Radici cognitive, I tre mondi di rappresentazione (Tall)

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Tall parla di radici cognitive come di concetti che sono (potenzialmente) significativi per gli studenti in un dato momento, che contengono i semi di espansione cognitiva a definizioniformali e a ulteriori sviluppi teorici

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Luca Cambiaso

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Tall parla di tre mondi di rappresentazione:

Incorporato

Simbolico-procettuale

formale-assiomatico

Questi tre mondi implicano tre diversi modi di operare, che Tall mette in relazione con i modi di rappresentazione di Bruner (esecutiva, iconica e simbolica)

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‘embodied’ è usato da Tall in riferimento al pensiero costruito fondamentalmente sulla percezione sensoriale in opposizione all’operazione simbolica e alla deduzione logica

Questo dà al termine ‘embodied’ un significato più focalizzato nel pensare matematico

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embodied object sviluppano immagini mentalipiù astratte attraverso l’uso del linguaggio

Il mondo simbolico-procettuale si riferisce alla triade ‘concetto, processo che agisce su di esso, simbolo come perno tra i due’

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Il procetto simbolico permette di passare da un ‘concetto mentale da manipolare’ a un ‘processo da sviluppare’, spesso inconscio,usando un appropriato algoritmo cognitivo

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Il terzo mondo (“mondo formale-assiomatico”)è basato su definizioni formali ecc…

Questo trasforma le esperienze precedenti nella loro stessa natura, lavorando non con gli oggetti familiari dell’esperienza, ma con assiomi che sono accuratamente formulati per definire le strutture matematiche in termini di proprietà specifiche. Altre proprietà sono dedotte tramite prova formale per costruire una sequenza di teoremi

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All’interno del sistema assiomatico, nuovi concetti possono essere definiti e le loro proprietà dedotte per costruire una teoria coerente e logicamente deduttiva

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In classe gli oggetti matematici sono spesso introdotti nel secondo o nel terzo mondo.

Skemp dice che un approccio puramente logico fornisce solo il prodotto finale della scoperta matematica e non genera nel discente i processi attraverso i quali essa avviene

Tale approccio insegna il pensieromatematico non il pensare matematico

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Nell’uso della storia il metodo è quello di usare, per quanto possibile, le fonti originali.

Questo ne fa un’attività di nicchia per l’inaccessibilità (fisica e di comprensione) delle fonti (ma c’è il grande incontro con la tecnologia via internet).

Tale metodologia coinvolge automaticamente un’attività ermeneutica

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Quando si affronta una fonte, cheinizialmente risulta criptica, si devonosviluppare strumenti per dare un senso.

Il principale può consistere in:Analizzare la fonte, porsi domande, parafrasare parte del testo con notazioni e parole proprie, raccogliere idee parziali, individuare e verbalizzare, confrontaredifferenti parti per vedere la coerenza

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Una fonte deve essere interpretata seguendo un processo che può essere descritto da un duplice circolo dove in un circolo primario gli autori della fonte agiscono e in un circolo secondario il lettore moderno cerca di capire che cosa sta accadendo

C’è un intreccio tra le interpretazioni di un certo concetto o teoria da parte del lettore moderno e dell’autore originale

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Come punto cruciale nell’ermeneutica lo studentestesso inevitabilmente entra in scena, non come fattore dsturbante, ma come prerequisito decisivoall’intuizione.

Lo studente che pensa se stesso come a unapersona che fa una qualche forma di matematica(autore di una fonte o omino nella figura) famatematica; si muove in un gioco mentale nelcerchio primario riflettendo su ciò che la persona in questione può avere in mente e mobilital’imaginazione per generare ipotesi su questo.

Naturalmente, certi aspetti dei personaggi storicie le loro idee saranno facilmente accessibili, altriresteranno oscuri

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Problemi tratti da testi medievali di aritmetica. Molti di essi sono riportati nel libro di Adriano DemattèFare matematica con i documenti storici. Una raccolta per la scuola secondaria di primo e secondo grado

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Un signore à un suo fante e mandalo nel giardino per 7 mele e dice: tu troverrai 3 portinai che ciaschuno ti dirà: io voglo la metà di tutte le mele e due più di quelle che tti rimangnonodopo la divixione. Adomando quante che ne cholxe di prima volendo che ne gli rimanexxe sette.

Paolo Dell’Abbaco, Trattato d’Aritmetica, 47

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Fà chosì e di’: se questo fante vuole che ne gli rimanga 7, all’ultima porta quante chonviene che n’abbi? Chonviene che n’abbi 18. E poi di’: se gli vuole che glene rimangha 18 alla seconda, chonviene che n’abbia 40; e poi se egli vuole che glene rimangha 40 alla terza porta chonviene che egli n’abbi 84. Ed ai falichato 3 porti e, muovendosi da prima chon 84, negli rimanghono 7. Ed è fatta.

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Calcolo le mele che si devono avere prima del passaggio per l'ultima porta. Poiché il portinaio ne vuole la metà più 2, le 7 mele sono la metà meno 2. Quindi prima dell’ultima porta deve avere 18 mele. Osservo che 18 è (7•2)+4 quindi, deduco che prima della seconda porta deve avere (18•2)+4=40 mele e quindi deve cogliere (40•2)+4= 84 mele.Ora verifico84 mele colte di cui

44 al 1° portinaio40 restano al fante

40 mele22 al 2° portinaio18 restano al fante

18 mele11 al 3° portinaio

7 restano al fante dal portare al padrone.

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Grazia dopo aver letto il testo ne dà una interpretazionegrafica: suddivide a metà una ellisse ed ha aggiunto a questaun’area equivalente a “+2”. L’area di destra rappresenta ilnumero di mele che il fante deve dare al primo portinaio, l’altrale mele che rimangono al fante.Grazia procede suddividendo ulteriormente la metà di sinistraper rappresentare in maniera analoga le mele che il fante cede al secondo e terzo portinaio…Dopo questa parafrasi grafica del testo dell’esercizio, procedecon una traduzione simbolica: chiama con y il numero di meleda raccogliere.Successivamente traduce con l’espressione algebrica “(y – y/2) – 2” il “numero di mele che rimangono al fante dopo l’incontrocon il primo portinaio”. A questo punto imposta l’equazionealgebrica eguagliando a 7 l’espressione che rappresenta ilnumero di mele rimaste al fante e solo ora la risolve.

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Questo problema permette due percorsi risolutivi differenti.Chiara parte dal noto (le mele rimaste) e arriva all’ignoto (le mele da raccogliere): il suo percorso è di tipo aritmetico.Grazia parte dall’ignoto (le mele da raccogliere) per arrivare al noto (le mele rimaste) : il suo percorso è di tipo algebrico.Fare disinvoltamente entrambi i percorsi non èpossibile in tutti i problemi: talvolta il percorso aritmetico è così immediato che risulta un inutile appesantimento fare il percorso algebrico. Altre volte il percorso aritmetico è veramente complicato.

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22x

+ 22x

+ 22x

+

La soluzione di Giulia (primo anno superiori)

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Ci riflette e si accorge che questi simboli non le bastano.Finchè non ha l’idea e dice: Provo con 50 mele.Il suo ragionamento è quello di trovare prima il numero di mele da dare al portinaio e poi di dedurre le mele che restano al fante, e ripetere il ciclo per ogni portinaio.

Alla fine del secondo ciclo di passaggi, però, si rende conto che 50 mele sono poche.A questo punto ha capito quali sono le ‘equazioni’ che le possono servire e mi propone di trovarle in astratto. Si mette a scrivere e infine soddisfatta mi mostra il sistema:

502

+ 2 = 27

50− 27 = 23232

+ 2 = 13.5

23−13.5 = 9.5

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x2

+ 2 = a

x−x2

+ 2

= y

y2

+ 2 = b

y−y2

+ 2

= z

z2

+ 2 = c

z −z2

+ 2

= 7

x = totale di mele che il fante deve raccoglierea = numero di mele che il fante deve dare al primo portinaioy = totale di mele che restano al fante dopo il primo portinaiob = numero di mele che il fante deve dare al secondo portinaioz = totale di mele che restano al fante dopo il secondo portinaioc = numero di mele che il fante deve dare al terzo portinaio7 = totale di mele che restano al fante dopo il terzo portinaio e che il fante deve portare al signore.

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Giulia non conosce i sistemi e non sa che, facendo l’astrazione dei calcoli svolti con la prima supposizione delle 50 mele, ne ha impostato uno con tre equazioni e tre incognite. Arrivata a questo punto si blocca e mi fa osservare che l’unica “cosa” che sa “fare” è l’ultima, sottolineando che quest’anno le equazioni non le ha ancora studiate. Allora la invito a risolvere solo quello che sa e Giulia prosegue svolgendo i seguenti calcoli:

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z −z2

+ 2

= 7

z −z2

− 2 = 7

z −z2

− 2+ 2 = 7+ 2

z −z2

= 9

2* z −z2

= 9* 2

2z − z = 18z = 18

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Al termine si ferma nuovamente, finchè le faccio osservare che, adesso che ha trovato z, può risolvere con lo stesso procedimento anche la penultima equazione. Allora procede:

y−y2

+ 2

= z

y−y2

+ 2

= 18

y−y2

− 2 = 18

y−y2

− 2+ 2 = 18+ 2

y−y2

= 20

2* y−y2

= 20* 2

2y− y = 40y = 40

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• • •Giulia non è completamente soddisfatta e preferisce fare la prova esplicita che il risultato che ha trovato sia corretto, anche perché 84 mele le sembrano tante.

842

+ 2 = 44(= a)

84 − 44 = 40(= y)402

+ 2 = 22(= b)

40− 22 = 18(= z )182

+ 2 = 11(= c)

18−11 = 7

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Una volta capite le parole “strane” del testo, l’interpretazione dell’esercizio è stata corretta.Si osserva che la ricerca di passare dall’ignoto al noto è affidata ad un caso particolare per cercare poi di astrarre delle ‘regole’ generali ed infine verificarne la correttezza.Quindi ad un primo approccio grafico, ne segue uno numerico che serve da ponte a quello simbolico usato per trovare la soluzione.

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La seconda esperienza è di tipo diverso

Coinvolge il senso sociale della matematica

Il senso della storia (della matematica)

È più liquida e quindi si presta a sviluppi diversi

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La seconda esperienza è di tipo diverso

Coinvolge il senso sociale dellamatematica

Il senso della storia (della matematica)

È più liquida e quindi si presta a sviluppidiversi

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Il senso storico è la percezione della matematica come un aspetto dello sviluppo culturale dell’uomo. Collocare gli eventoÈ un senso elusivo per molti anche adultiIn alcuni studi ne abbiamo trovato tracce negli studenti

Si può sviluppare mettendo in contatto l’esperienza degli studenti con l‘esperienza del matematico, mettendo in luce l’ambiente socio-economico che ha favorito lo sviluppo matematico e il dibattito tra differenti correnti

Brown & Walter (1983)

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Il senso storico è un’importante componente del senso sociale della matematica

Il nostro interesse per il senso sociale non èconfinato a valori etici, ma si lega all’obiettivo di fare della classe una community of inquiry in cui imparare avviene attraverso comunicazione, discussione, esplorazione

In questa esperienza, che per mancanza di tempo non è descritta, ci si basa su narrazione elaborate da studenti di scuolasecondaria superiore

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Una narrazione, l’individuazione di una storia, è anche un modo per ridurre la complessità di una descrizione. Il narratore può soffermarsi sui particolari, ma la storia riporta all’essenzialità del discorso. Se il lettore non riesce a ricondurre le digressioni al filo conduttore della vicenda prova fastidio.

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Brunerrileva come il pensiero scientifico si contrapponga a quello narrativo: il primo conduce alla descrizione di situazioni al di fuori del contesto originario mentre il secondo le presenta nella ricchezza del contesto.riconduce le difficoltà nel fare matematica da parte delle persone di ogni età all’assenza della narrativa, alla mancanza di storie.

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narrazione e, tramite aduttività e percezioneabduttiva, creatività

estetica

Esempi a livello avanzato

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Il tema della narrazione si pone nel quadro della rivalutazione nell’ambito delle scienze della natura (fra le quali viene ad essere collocata anche la matematica) di alcuni degli aspetti tradizionalmente riconosciuti alle scienze umane. In questo processo di rinnovamento l’ermeneutica - per la quale Francesco Speranza ha lanciato un famoso appello - gioca un ruolo fondamentale

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La forma narrativa è presente anche nel pensiero avanzato

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Dimostrare che la somma di due numeri primi tra loro è prima con entrambi gli addendi

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Lo studente “Albero”

Ve la racconto così

Furinghetti, F. & Morselli, F. (2007). For whom the frog jumps: the case of a good problem solver. For the Learning of Mathematics, 27(2), 22-27.

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My Dear Graves, — [1] A very curious train of mathematical speculation occurred to me yesterday, which I cannot but hope will prove of interest to you. [2] You know that I have long wished, and I believe that you have felt the same desire, to possess a Theory of Triplets, analogous to my publishedTheory of Couplets, and also to Mr Warren’s geometrical representation of imaginary quantities.

Hamilton, W. (1844) Letter to Graves on quaternions;or on a new system of imaginaries in algebra. Philosophical Magazine 25, 489–95.

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[3] Now I think that I discovered yesterday a theory of quaternions which includes such a theory of triplets. [4] My train of thought was of this kind.

51

[5] Since √-1 is in a certain well-known sense a line perpendicular to the line 1, it seemed natural that there should be some other imaginary to express a line perpendicular to both the former; [6] and because the rotation from 1 to this also being doubled conducts to -1, it also ought to be a square root of negative unity, though not to be confounded with the former. [7] Calling the old root, as the Germans often do, i, and…