SFIDA 2009 - TORINO, 22/05/09

STRATEGIE COGNITIVE ALLA BASE DELL’ALGEBRA E DEI SUOI PROCESSI DI SIMBOLIZZAZIONE E GESTIONE

(verso un’ecologia della ricerca didattica)

Paolo Guidoni, Dipartimento di Scienze Fisiche, Università di Napoli Federico II p.guidoni@na.infn.it

il discorso è l’ombra dell’azione Democrito

(e viceversa)

indice

parte I

qualche considerazione di sfondo

parte II

qualche esempio elementare (ricerca vs storia)

parte III

qualche osservazione cognitiva

parte I: considerazioni di sfondoI A) SCUOLA di base e RICERCA DIDATTICA, oggi

PRESTAZIONI PISA-07 SU ITEMS CONCETTUALMENTE CRITICI:se in Italia sono “persi” il 70% dei ragazzi, in media OCSE sono “persi” il 50%va abbastanza male per tutti (!) - e non c’è gran che da “copiare”

CAMBIAMENTI 2000-2007 NEL “LIVELLO 1” DI PISA (“INSUFFICIENTE”):media UE: 21.3% (2000) -> 24.1% (2007) (obiettivo Lisbona: 17% (2010))Italia: 19.0% (2000) -> 26.5% (2007) (obiettivo Lisbona: 17% (2010)) va peggio per tutti (!) - per noi molto peggio

DISPERSIONE S.S.S.in Italia record europeo (sopra 30%) - e non migliora

SUPPORTO ISTITUZIONALEdrastica riduzione di insegnanti e risorse, dissimmetria cruciale fra scuole primarie ...

CURRICULA E STANDARDancora indefiniti - intanto INVALSI progetta prove a risposta chiusa...

INSEGNANTIabbandonati: “Piani” (MATABEL, ISS, POSEIDON) in stagnazione...demotivati: stipendi al minimo europeo, pagando più tasse del loro dentista, ...

oggi

la ricerca didattica non è in buona salute:

se vuole sopravvivere (affermarsi)

come ricerca efficace sulla trasmissione culturale efficace

deve

saper affrontare le sue condizioni al contorno

uscendo dall’autoreferenzialità

parte I: considerazioni di sfondoI B) istruzione vs SVILUPPO RISONANTE DI POTENZIALITA’

il singolo motivo principale per cui “loro” non capiscono ... è che non si riesce a spiegare abbastanza bene ...

il singolo motivo principale per cui non si sa spiegare ... è che non si è riusciti a capire abbastanza bene ...

ma cosa vuol dire “capire”?

raggiungere uno stato in cuipotenzialità cognitive, strutture culturali e strutture dei fatti

sono in risonanza reciproca “produttiva”:

il nodo cruciale sono le potenzialità cognitive “primarie”da riconoscere, evocare, avviare a sviluppo esplicito attraverso la mediazione didattica (anche “precoce”)

parte I: considerazioni di sfondoI C) per esempio: dalle POTENZIALITA’ COGNITIVE

molte GEOMETRIE, due VIE AL NUMERO,... molte ALGEBRE?

La cultura non ha costruito “una” geometria, né “una” aritmetica,:

la competenza di comprensione e gestione degli aspetti spazialidella realtà

si è evoluta sviluppando (lungo vie variamente intrecciate) diversimodi di guardare, modi di agire, modi di parlare/pensare...:tutti “naturali” (cioè radicati nelle potenzialità cognitive primarie)

ma non “spontaneamente” strutturati in modo esplicitoin ogni singolo individuo

(così per gli approcci al numero, cardinale e ordinale... etc).In modo analogo

diverse “algebre” sono in potenza “cognitivamente primarie” e devono/possono essere evocate in modo non artificioso/forzato.

parte I: considerazioni di sfondoI D) il problema dei <dissòi lògoi>

per esempio ... (è importante distinguere e correlare)

C’è un’<algebra-1>legata a gestione/sviluppo della struttura numericaunidimensionale (prima discreta, poi continua)in cui il numero-variabile è in sé “astratto” (semantica di “volte”) ...C’è un’<algebra-2>in cui lo spazio di variabili/parametri (concreto o metaforico) ha due o più dimensioni, di necessità semanticamente marcate e a sua volta ogni numero (1d) è sempre a semantica definita ... C’è un’<algebra-3> in cui l’elemento-base della struttura è un operatore ...C’è un’<algebra-4>In cui l’elemento-base della struttura è un vettore ...C’è un’<algebra-5> i cui elementi-base sono stati e trasformazioni.........................................

parte II: esempi elementari di <algebra-2>

gli esempi che seguono

sono riferiti a situazioni storiche

scelte secondo un criterio “inverso”

rispetto a quello usuale:

dopo che certi “passaggi” cognitivi si sono rivelati cruciali

nella modellizzazione dei risultati di ricerca

è stato possibile rintracciarne il ruolo

anche in alcuni contesti storici

in cui aspetti scientifici e aspetti matematici si intrecciano

in risonanza reciproca

aspetto comune:

esplicitazione di un vincolo caratterizzante

(fisico-e-formale)

parte II: esempi elementari di <algebra-2> II A) Platone e le variabili continue (dal FILEBO)

• PRIMO PRINCIPIO: ... processi indefiniti, crescenti o decrescenti (del caldo e del freddo, del secco e dell’umido, del veloce e del lento, del grande e del piccolo, del più e del meno, e così via) ... tutti processi che abbiamo raccolto in un concetto unico: quello di una condizione che in sé ammette il più e il meno ... in cui un’intensità si accresce e si diminuisce ...: la condizione cioè di indefinito o di indeterminato ...

• ... SECONDO PRINCIPIO: ... quanto invece non accoglie tali caratteristiche, e accoglie anzi la condizione contraria – determinante o limitante: per esempio ciò che è uguale e accoglie il concetto di uguaglianza, e ciò che è doppio ... e tutto ciò che rispetto a un numero pure è numero, ciò che rispetto a una misura pure è misura ...

• ... TERZO PRINCIPIO: una volta mischiati insieme questi due principi, la generazione dell’uguale e del doppio ... infondendo in quei processi un numero, rende i contrari commisurati e armonizzabili ... in quanto capace di far cessare il processo della loro reciproca indeterminazione ... e di produrre giusta misura in sé stessa, e giusta misura di rapporto con altri fenomeni ...

• ... QUARTO PRINCIPIO: prima viene l’indeterminato, secondo il determinante; da questi due come terza proviene una sostanza commista che diviene (!!!) ... e come quarta la causa del mescolamento e del divenire ...

parte II: esempi elementari di <algebra-2> II B) sul rapporto disomogeneo

EUCLIDE esclude in sostanza che si possa dare significato a un rapporto disomogeneo (non espresso in “volte”)

ARISTOTELE ha idee “chiare” sulle relazioni fra matematica e fisica (cfr Platone!)

...siccome la stessa natura si dice in due sensi - materia e forma, non possiamo indagarla senza materia, né secondo la sola materia. Ma se la natura è doppia, fisica e matematica, … gli stessi corpi naturali esibiscono anche tutti gli enti che sono studiati dai matematici: ma il matematico studia le proprietà di tali enti non in quanto appartenenti a entità naturali, e da queste le separa …

e adopera il rapporto (disomogeneo) fra peso del corpo e densità del mezzo per “dimostrare” l’inesistenza del vuoto

(“altrimenti”, velocità (limite) infinita)

parte II: esempi elementari di <algebra-2> II B) sul rapporto disomogeneo

ARCHIMEDE attribuisce significato matematico-e-fisico al rapporto fra peso e volume gestito come variabile

GALILEO attraverso una geometrizzazione metaforica delle tre variabili spazio, tempo e velocità “dimostra” le leggi del moto uniforme e uniformemente accelerato (v = s/t, etc)

TORRICELLI - introduce gli incrementi “indivisibili” nei calcoli delle aree- riprende un discorso intuitivo di correlazioni d’ordine per

matematizzare nel modo più semplice (compensazione moltiplicativa) il livello in un recipiente sotto un flusso F d’acqua (costante o variabile): F Dt = S Dh (S parametro-sezione) (da cui “definizione” correlata di velocità e flusso)

- individua la stessa correlazione d’ordine (alla Platone) nel moto di un corpo di massa M spinto da una forza F, e vi ipotizza un isomorfismo di formalizzazione “minimale”:

F Dt = M Dv (v ora è la variabile-velocità, da cui definizione e gestione di “forza”, “accelerazione” e “impulso”)

- problema: non controlla il criterio di convergenza del limite Dv/Dt (pure gestito implicitamente in ambito geometrico) e finisce nel paradosso

- In altro contesto: in una esperienza di confronto fra deformazione elastica statica (correlata alla forza) e deformazione elastica massima (correlata all’energia) non riesce a “vedere” una dipendenza in un caso lineare, nell’altro quadratica nella variabile, a parametri fissi

parte II: esempi elementari di <algebra-2> II C) la deformazione elastica “à la Thom”

La deformazione elastica elementare F = -K (L-L°)(come una varietà di correlazioni lineari di esperienza comune)

può essere vista come forma vincolare invariante (sorgente di ulteriori invarianti)

caratterizzata da due parametri che definiscono il sistema (K e L°) e due variabili che ne fissano la configurazione.

L’osservazione di Thom sullo split dello spazio astratto globale 4din due sottospazi 2d indipendenti, a diversa semantica,

apre la strada a una efficace gestione cognitiva generalizzatadelle forme algebriche elementari in termini di variabili e parametriin cui l’<incognita> ha un significato contestualmente dinamico

parte II: esempi elementari di <algebra-2> II D) dall’algebra all’analisi

Una forma lineare come F = - K (L – L°) (“vincolo di stato”) si “integra” banalmente per via geometrica a definire una corrispondente forma quadratica E = ½ K (L – L°)*2: il nodo concettuale connesso è però il “passaggio” semantico da una componente di invarianze differenziali (“equilibri”) a una componente di invarianze integrali (“conservazioni”).

E’ in questo contesto allargato che emergono: - il ruolo cruciale dei “modi di guardare” che, a monte della

formalizzazione dei modelli, definiscono i significati primari e quindi la stessa validità originaria delle forme prescelte

- il significato inestricabilmente unitario/risonante dell’aspetto formale e dell’aspetto fisico nella descrizione del mondo: il fatto che la manipolazione formale di fatto produce risultati semanticamente interpretabili garantisce che la matematica è parte del mondo quanto è parte dei nostri modi di pensare

parte III: osservazioni cognitiveIII A) GALILEO: epistemologia e conoscenza

... la natura aver fatte prima le cose a suo modo, e poi fabbricati i discorsi umani abili a poter capire (ma però con fatica grande) alcuna cosa ...

... ben è egli stato a me laborioso il ritrovare in qual maniera ciò possa effettuarsi in natura ... la quale anco le cose all’intelletto nostro d’infinito stupore opera ella con somma facilità e semplicità ...

... il grande libro della natura è scritto in una lingua ...

... ma per interposto discorso ...

si “fabbrica” progressiva (faticosa-stupefatta)

RISONANZA fra fatti naturali e discorsi umani:

ma a risonanza raggiunta, pensiero scientifico e pensiero formale

sono del tutto integrati fra loro e con l’esperienza

COSI’ COME accade nella lingua naturale

parte III: osservazioni cognitiveIII B) <il discorso è l’ombra dell’azione>

sistemi/interazioni e variabili/relazioni, ... stati e trasformazioni, ... riferiti al mondo in generale e formalizzati in “discorsi”,

sono la controparte risonante di constatazioni e azioni, riferiti alla conoscenza in generale;

(ed è lo stessoper tutte le “categorie” che organizzano il pensiero naturale)

in questo spazio complessonasce e cresce la “scoperta” culturale dell’algebra (delle algebre)

come potente strumento di controlloaffine ma distinto dalla lingua naturale: per svilupparlo serve

una sistematica <filosofia delle forme simboliche>

parte III: osservazioni cognitive in conclusione I

Serve

una ricerca sistematica sullo sviluppo

del pensiero algebrico nelle sue varie forme

a livello di formazione culturale di base

Serve

una impostazione/gestione/valutazione “ecologica”

della ricerca

raccordandosi in risonanza alle potenzialità naturali del pensiero

e seguendone interattivamente lo sviluppo

(le “prove” alla Piaget o alla Dehaene non servono più a granché)

parte III: osservazioni cognitive in conclusione II: un “problema” per tutte le stagioni• Primo problema di Gioele• Il pastore Gioele ha un piccolo gregge con 40 pecore e il cane Melampo e

deve attraversare il fiume.• Il barcaiolo Ascanio ha una piccola barca che può portare al massimo una

persona e 8 pecore, oppure due persone e 6 pecore ( un cane occupa il posto di una pecora).

• Per ogni viaggio (andata e ritorno) Ascanio chiede un compenso di 4 euro.• Nel primo viaggio bisogna che in barca ci sia anche Melampo, che poi

rimane a far la guardia alle pecore al di là del fiume.• Nell’ultimo viaggio bisogna che in barca ci sia anche Gioele, che è rimasto a

far salire tutte le pecore.• Quanto spende Gioele?• Dopo 10 giorni Gioele deve tornare indietro: ha comprato al mercato • 11 agnelli e ha venduto due pecore ( In barca due agnelli occupano il posto

di una pecora).• Però questa volta è domenica e Ascanio chiede un prezzo doppio.• Quanto spende Gioele?

parte III: osservazioni cognitive in conclusione II: un “problema” per tutte le stagioni

• Secondo problema di Gioele• E’ inverno e il pastore Gioele deve comprare del fieno per le

sue 36 pecore, perché ha nevicato e le pecore dovranno restare al chiuso per un po’ di tempo.

• Così va al Consorzio a comprare del fieno con il camioncino, insieme il suo amico Emanuele che invece ha solo 24 pecore.

• Il fieno si vende in balle da 50 chili l’una.• Gioele compre12 balle, Emanuele ne compra 6.• Avranno più da mangiare le pecore di Gioele o quelle di

Emanuele?• Se i due amici avessero deciso che tutte le pecore devono

poter mangiare in modo uguale, come avrebbero potuto fare?

parte III: osservazioni cognitive in conclusione II: progresso attraverso le stagioni

una linea di lavoro continua

dai 4 ai 14 anni

attraverso livelli e modalità di simbolizzazione

per l’algebra additiva e moltiplicativa

sperimentata in tutte le classi di una scuola elem.

(e la media … ???)