Rivista di matematica per le scienze economiche e sociali - Anno 11", Fascicolo 1" - 2" .

UNA CARATTERIZZAZIONE DI UN INDICE EQUIVALENTE AL VALORE ATTUALE

G R A Z I E L L A P A C E L L I Universitd degli Studi di Ancona lstituto di Matematica e Statistica

Versione definitiva pervenuta il 14-2-I989

Sia x un vettore di R n e siano ~b(x) funzioni definite in R n e a valori reali. Supponiamo the tall funzioni verifichino

4(u_) < #(v__) =. 4(u_+ z_) < #(_v+ z_) (*)

per ogni u , v , z 6 _R". In questo lavoro si dimostra the se le fuazioni ~b(x_) sono parzialmedlm crescenti in senso stretto

ammettono la rappresentazione particolare

#(z) = c._z

con C vettore a componenti tutte positive. Tale risultato assume un'importanza particolare dal punto di vista finanziario, in quanto in tale

ambito un criterio di scelta tra operazioni finanziarie certe e discrete ~ rappresentato da una funzione

#(z.) : R" -* R

D'altra pane le ipotesi per ~(x) : di parziale stretta monotonia e di verificare ( . ) , Ixovano ovvie interpretazioni in questo settore applicativo. La rappresentazione a eui si giunge per r assume al- lora significato finanziario specifieo: accenniamo solo the con un'opportuna normali77azione le com- ponenti di c sono coefficienti di attualizzazione e quindi l'indice realizza un criterio di scelta in un certo sen.so equivalente al valore attuale. Per una interpretazione pih dettagliata del risultato si rimanda a G.A. Rossi [1]. dove un' analoga rappresentazione t: dimosu'ata ma con l'ulteriore ilmtesi di parziale continuit~ per ~ ( ~ .

Infine in questo lavoro viene anche pre.sa in considerazione l'ipotesi di patziale continuitA, ma per mostrare come in questo caso si riduca molto l'importanza deU'ipotesi di parziale monotonia.

1. Posizione del problema

Sia

( ~ l , X 2 , - . . , 2 ; n ) ~ ~ ( ~ 1 , 2 ~ 2 , . . . , ~ , )

163

con notazione vettoriale z ~ r una funzione d i n variabili, definita su tutto R '~,

a valori in R.

Indicheremo la funzione 05 usando anche la notazione comune 05(x_.).

Siano poi u, v, z vettori in R", e consideriamo funzioni 05 : R ~ ~ R che verificano

05(~ < 05(v_) =~ 05(_~ + z__) < 05(v_+ z__) (1.1)

per ogni u, v_, z E R ".

Supporremo 05(xi, x 2 , . . . , x , ) parzialmente monotona in senso stretto, cio~ la fun-

zione di una sola variabile z i

0 5 ( ~ , , ~ 2 , �9 �9 �9 z / , . . . , ~ . ) ] = 1 , 2 , . . . n

strettamente crescente oppure strettamente decrescente.

Funzioni 05 del tipo descritto presentano un certo interesse ad esempio nell 'ambito

della matematica finanziaria.

In tale campo infatti un vettore z_ = (xl,x2,...,x,~) pub rappresentare un 'ope-

razione fmanziaria certa e discreta, le cui componenti sono le poste disponibili ad una

successione di n scadenze, fissate una volta per tutte.

Se si pensa di prendere in considerazione qualunque tipo di operazione finanziaria

questo equivale a far variare __z in tutto R '~.

Dal punto di vista delle applicazioni ha significato aUora dare un ordinamento di

preferenza neU'insieme delle operazioni finanziarie considerate e in genere ci6 viene

realizzato mediante un indice che sia un numero male. Quindi un criterio di preferenza

rappresentato da una funzione

r : x_ ~ r con _x E R '~.

L'ipotesi (1.1) per la funzione 05 comporta, dal punto di vista economico-finanziario,

che la preferenza tra l 'operazione _x e l 'operazione _y dipenda solo dalla loro diversith

ed esuli dal contesto. In altre parole, indipendentemente dall'<<ambiente>> considerato

se l 'operazione finanziaria y_. ~ preferibile all 'operazione finanziaria _z una qualunque

operazione z che viene inserita nella situazione descritta da z__ e da y__ non var ia il verso

di preferibilitL

Si 6 supposto poi 05 parzialmente monotona in senso stretto, in particolare considere-

remo 05 parzialmente crescente in senso stretto, in quanto dal punto di v is ta finanziario

ci6 equivale a dire che l 'indice 05(x) indica come migliore tra due operazioni fmanziarie

che differiscono solo per una posta, quella che in quell'istante presenta una posta mag-

giore, ossia ad esempio quella che fa incassare di pi~, se si tratta di due pos te maggiori

di zero, spendere di meno se si tratta di due poste minori di zero.

164

Fondamenti e questioni relative alla scelta degli investimenti sono state ampiamente

trattate. A titolo di esempio per l 'impostazione adottata in questo lavoro si cita [1], [2],

[3], [4]. Uno studio molto particolareggiato delle propriet~ delle funzioni ~ che verificano

(1.1) e sono parzialmente monotone in senso stretto, nonch~ dell'interpretazione finan-

ziaria di tali funzioni sotto l'ulteriore ipotesi di parziale continuitY, 6 stata affrontata da

G.A. Rossi in [1]. Nel presente lavoro [vedi w w e w si dimostra che nella classe delle funzioni

: _R" ---* R che verificano (1.1) e sono parzialmente crescenti in senso stretto l ' indice

~b(~ ainmette la rappresentazione:

~,(z__) = f(_c. z__)

dove il vettore _c ha componenti tutte positive ed f 6 una funzione crescente.

Si potr~ allora considerare per l 'indice $(z__) la rappresentazione particolare

r = c .z_ ( 1 . 2 )

con _c vettore a componenti tutte positive, questa ~ la rappresentazione canonica indivi-

duata in [ 1 ] . E' chiaro che dalla (1.2) mediante una semplice normaliTJ.azione ~ sempre possibile

ottenere una rappresentazione dell'indice $(z.), che indicheremo con ~1(~_), dove il

vettore _c oltre ad avere tutte le componenti positive ha la prima di esse uguale ad 1.

~1 (~--) assume il significato particolare della somma che disponibile in un'unica solu-

zione al tempo 1 ~ indifferente all'operazione fmanziaria z.. (Vedi a tale proposito[1]). Quindi ~bl(z_.) 6 praticamente il valore al tempo iniziale dell'operazione z; i coeffi-

cienti c k sono i valori al tempo 1 di una lira dovuta al tempo k. E ' in questo senso che

si intende l'indice ~b(z_) caratterizzato in questo lavoro ~<equivalente, al valore attuale.

Anzich6 la prima componente di _c si pub normalizzare l 'ultima ed in questo caso

q~(z_.) dh il valore all'ultima scadenza (praticamente un montante). In generale si pub

dividere _c per ci, ottenendo una valutazione delle operazioni finanziarie alla scadenza

i-esima. In ogni caso il rapporto c~;/c i d~ il valore al tempo i dell'operazione consistente in

una lira versata al tempo k, quindi ~ un fattore di anticipazione ( i < k) o di capitaliz-

zazione ( i > k). 11 risultato di questo lavoro, analogo a quello di G.A. Rossi in [1], viene quindi di-

mostrato senza l'ipotesi di parziale continuitY.

Tale ipotesi anche se utile a snellire la dimostrazione, ~ certamente la meno signi-

ficativa dal punto di vista dell'interpretazione fmanziaria. Quindi ,~lavorare matemati-

camente~ senza l'ipotesi di parziale continuit~ risulta indubbiamente meno immediato,

comunque ci sembra che Io sforzo sia ripagato dalla generalit~ del risultato ottenuto.

165

Inoltre, come completamento del risuhato descritto si considera anche l 'ipotesi di par-

ziale continuith, e si mostra [vedi w come in questo caso si riduca molto rimportanza

dell'ipotesi di parziale mo, notonia.

Per inciso, possiamo asserire (anche se l'argomento non viene esaminato criticamente

in questo lavoro) che l'ipotesi stessa che l'indice sia definito su tutto R'* pub essere sostituita da condizioni leggermente meno restrittive.

In conclusione questo studio mostra che la (1.1) ~ in realt~ molto vincolante rnentre

non tutte le altre ipotesi sono necessarie.

2. Punti separatori

In questo paragrafo daremo alcuni risultati parziali che ci permetteranno di dimostrare

quanto prearmunciato nel w 1.

Iniziamo con l'osservare chela diseguaglianza (1.I) 6 equivalente ad altre disegua-

glianze e implica alcune relazioni come sue conseguenze, (a tale proposito vedi [1] Teo-

rema 1), nel presente lavoro comunque ci riferiremo sempre aUa (1.1) senza precisare

ulteriormente.

Per ragioni di completezza si riporta il Lemma 2.1, ed un cenno di dimostrazione, per

i dettagli vedi [1] Corollario 6.

LEMMA 2.1. Supponiamo che r verifichi la (1.1) e sia r aria tetra qualunque in

R'L Allora esiste un insieme denso D di punti su r dove s i presenta una de l le seguenti

eventuah'tk:

- ) r b costante su D.

- ) r ~ strettamente raonotona su D.

Dimostmm'one. Consideriamo una retta r e due punti di r. Per semplicith possiamo

sempre pensare che uno dei due sia l'origine delle coordinate, indichiamo l'altro con

x*, supponiamo sia

r < r (2.1) .

Segue dalla (1.1) chela r ~ strettamente crescente sui punti di r con coordinate

multipli interi di _z*, inoltre si dimostra facilmente che r ~ strettamente crescente

sui punti di r di coordinate multipli frazionari di z_', segue che r ~ strettarnente

crescente sui punti multipli razionali di :r*. I casi r > r e r = r

sono analoghi. c.v.d.

In particolare fissiamo la dimensione deUo spazion R ", n = 2. Sia allora

r : R 2 ~ R

166

LEMMA 2.2. Sia 05(z,y) funzionc pamialmcnte cresccnte in scnso strctto sia di z chc

di y, e supponiamo che 05( z , y) vefffichi la (1.1). Allora per ogni rctta r di equazione

y = m z + n con ra > O , n E R

esiste un punto ( 7, ~) , appartencntr a tale retta, tale che

05(z,y) <05(0 ,0 ) p c r z < ~ e y < ~ e ( z , y ) E r

ETICNtrC.

05(~:,y) > 05(0,0) p e r z > ~ e y > y e (~:,y) E r .

Si osserva che a priori il punto (~ ,~) potrebbe coincidere con ( 0 , n ) o con

( - n / m , 0). Sia ad esempio n > 0, aUora se

(~ ,~ ) = (o ,n )

tutti i punti della retta con ( - n / m ) < z < 0 verificherebbero

05(z, ~) < 05(0,0)

montre se

(e,~) = ( -n /m,O)

tutti i punti della retta con ( - n / m ) _< x < 0 verificherebbero

05(z,u) > ~,(o,o).

E' chiaro che si invertono le diseguaglianze per n < 0.

Dimostrazione. Poich6 05(z, y) ~ funzione parzialmente crescente sia rispetto la varia-

bile z che rispetto la variabile y, 05(z,y) ~ crescente sulle rette y = m z + n con

m > 0 e sugli assi coordinati.

Quindi nel primo quadrante del sistema di riferimento ci sono tutti punti a quota pifi

alta dell'origine e nel terzo quadrante tutti punti a quota pifi bassa deU'origine. Segue

che per ogni retta di equazione y = m z con m > 0 (n = 0), si ha

(~ ,~ ) = (o ,o ) .

Consideriamo ora una retta r di equazione y = m z + n con m > 0 , n~ 0; sia ad

esempio n > 0. Tutta la dimostrazione 5 analoga per n < 0.

Allora per la monotonia di 05(z, y) sulle rette del tipo considemto, si ha:

05(-n/ra, O) < 05(z, raz + n) < 05(0,n) per ( - n / m ) < ~. < 0

167

r anco l~d

r < r < r < r

Consideriamo un punto sulla retta r, ad esempio

( x*, y*) = ( - n / 2 m, n/2).

Confrontiamo poi r y*) con r

Si pub presentare una delle seguenti eventualitY:

a) r = r b) r > r

c) r v*) < r o)

per ( - n / m ) < x < O .

Caso a). Significa che (z*, y*) = (~, ~) in quanto per la monotonia di r x, y) sulla retta r

r < r = r perx < x* e y < y*

mentre

r > r = r p e r z > x* e y > y*.

Caso b). Per la monotonia di q~(x, y) sulla retta r certamente

r < r p e r x > x* e y > y*.

Mentreper - n / m < z < x ' , 0 < V < y* nonconosciamoivaloridi r V) rispetto ~ 0 , 0 ) .

Possiamo procedere considerando un punto ( x l , y l ) con - n / m < x 1 < x* e

0 < Yl < Y* [ad e~empio dimezzando ancora una volta il nuovo intervallo in conside-

razione, cio~ (z 1,vl) = ( - ( 3 n ) / ( 2 2 m ) , n/22)] econfrontareilvaloredi r Yl) con r

Quindi si ripresenta uno dei casi a), b), c) con (x l , Yl) al posto di (x*, y*).

Caso c). Si procede analogamente al caso b).

Mediante il procedimento descritto, ogni volta si viene a conoscere il comportamento

di r y) suUa retta r per un intervaUo di ascisse sempre pifa grande.

168

Mentre, se non si presenta il caso a), non sappiamo cosa succede in un intervallo di

ampiezza:

(-r/m) 2 u con/a intero posifivo fissato.

Allora ~ sempre possibile costruire due successioni, (z~,y~) e (:ri, Yi), di punfi, tali

che ( - n / m ) < z~ < O, ( - n / m ) < z i < 0 e inoltre

mentre

~(:~, v~) < ~(o, o)

r z~, v~) > q~(0,0).

Proprio per il procedimento di costruzione di tali successioni

a:' i < z j per ogni i e per ogni j .

t ~. - - n / l q ] , ' ~ una successione monotona crescente (oppure costante, cio~ :r i Inoltre z i perogni i) e z j ~ una successione monotona decrescente (oppure costante, cio~ z j = 0

per ogni j ) .

Si ha poi che

Quindi

( - ,~/-0 r

~ri - :ri = 2 i

lim z' i - z i= O. i-.-*+ oo

Si pub dunque concludere che le due classi di numeri {z~} e {~ri} sono due classi

contigue, segue che hanno un elemento separatore

z~ <_ ~ _< z i per ogni i

(dove l 'uguaglianza vale see solo se una deUe due classi ~ costante e dalla sua parte).

Analogamente, sia ~ l 'ordinata di ~ sulla retta r segue che

Y'i -< Y -< Vi per ogni i

dove

Quindi

t = 77~ti 4- rk Yi

r 9) < ~(0 ,0)

r > r

p e r x < ~ e y < ~ e ( ~ , ~ ) E r

per z > ~ e ~ > ~ e (E ,~) E r .

c.v.d.

169

OSSERVAZIONE 2.1. Perla stretta monotonia di 05(z, y) sulle rette con m > 0, solo in

(~, ~) la funzione potrebbe valere 05(0,0).

D'ora in poi chiameremo (5, ~) punto ((separatore~) per la pmprieth che esso ha di

~separarer~ i punti di una determinata retta a quota pi?a alta di (0 , O) dai punti della

stessa retta a quota pifi bassa di (0 ,0 ) .

LEMMA 2.3. Sia 05( z , y) funzione parzialmente crescente in senso stretto sia di z che

di y e supponiamo che OS( x ,y ) veril~chi la (1.1).

A11ora tutti i punti del tipo ( 5, "if), (r162 di cui ~ stata dimostrata l ' esistenza

nel Lemma 2.2, appartengono ad una stessa tetra per l'otigine delle coordinate.

Dimostrazione. Per semplicit~ schemafizziamo la dimostrazione in tre patti:

a) Esistenza di una semiretta di punti ((separatorb~ nel secondo quadrante, eventual-

mente coincidente con il semiasse posifivo deUe ordinate oppure con il semiasse ne-

gativo deUe ascisse.

b) Esistenza di una semiretta dei punti <~separatori. nel quarto quadrante, eventualmente

coincidente con il semiasse negativo delle ordinate oppure semiasse positivo deUe

ascisse.

c) Esistenza di una retta di punti (<sepamtori>~.

a) Sia n > 0 econsideriamounaretta r, diequazione y = m z + n c o n m > O.

Sia ( 5 , ~ il punto ~<separatore~> di tale retta. Supponiamo - n / m < 5 < 0. Sia ~ il

coefficiente angolare della retta ~ chepassaper (5 ,~) e ( 0 , 0 ) , ovviamente ~ < 0.

Sappiamo gih che tutti i punti del primo quadrante verificano

05(z, ~) > 05(0,0)

cos'~ come

Vorremmo dimostrare che vale

05(0, ~) > 05(o, o)

05(z,0) > 05(0,0)

per y > 0

per z > 0.

r > r

perogni (:~, y) tale che

z<O

170

Sia (:r.l,yl) un punto di r con ~ < x 1 < 0 , e indichiamo con m I iI coefficiente

angolaredeUaretta s I per ( x l , y l ) e ( 0 , 0 ) , allora

m~ < ~ < 0 .

Inoltre poich6

vale per il Lemma 2.1

r > r

r > 4 ( 0 , 0 )

per un insieme denso D di punti (z*, y*) d i s : .

Dato poi un qualunque punto di questo insieme denso per la parziale monotonia di

r y) si ha:

r + h,v'+ k) > r + k) > r

e anche

Cio&

perogni h ,k re~inonnegaf iv i

r + h, y" + k) > r + h, v') > r y')

per ogni h, k reali non negativi.

r > r

perogni ( z , y ) con x > x* e y > y" alvariare di ( z ' , y * ) inun ins ieme denso di

punti sulla retta s I . Sia aUora (~, .~) un qualunque punto del piano con

~ < 0

Le rette y = .~ e x = 5; incontrano s 1 indue punti (xl ,Y) e (~ ,Yl) , comunque

esiste (x ' ,y*) E D con ~1 < x* < ~ e .V1 < Y" < .~ tale che

(x*+ h,y* + k) = (?r,~l) per h ,k > 0

e quindi

Allora qualunque sia (~, 9) con

r ~) > r o).

{ y - - m x > O

.~<0

171

esiste sempre m 1 < ~ tale che valga

elaret ta y = mlZ incontrala retta r inunpunto ( Z l , Y l ) con ~ < z 1 < 0, cio~

4,(zl,y I) > r

Possiamo, a questo punto, ripetere il discorso precedentemente fatto per la retta sl.

Si pu6 quindi concludere che per ogni (z , y), con

{ y--~z >O ~>0

vale

4,(z, v) > 4,(0, o).

Sappiamo gi~ che tutti i punti del terzo quadrante vefificano

cos~ come

4,(z, ~) < 4,(0, o)

4,(0, y) < 4,(0,0) per y < 0

4,(z,o) < 4,(0,0)

si pu6 far vedere, analogamente al caso precedente, che

perogni (:r, ~) tale che

4,(z, y) < 4,(o, o)

{ y - ~ ' z < 0

a : < 0

I casi (~,~) = (0, n) oppure (~,~) = (-him, O) si dimostrano in modo simile.

Riassumendo si ha che tutti i punti (~, y--)

appartengono ad una semiretta di equazione

y---- rrt,2;

172

per z < 0

con ~ < 0

<<separatori>> generati da rette di equazione

c o n m > 0 e n > 0

oppure

oppure

semiasse positivo delle ordinate

semiasse negativo delle ascisse.

b) E ' chiaro poi che se la retta r ha equazione

V= tax+ n c o n m > 0 e n < 0

si ripete tutta la dimostrazione fatta in a) con ovvie modifiche. E ' quindi possibile con-

cludere che tutti i punti (~, V-) generati da rette di equazione

V= m z + n c o n m > 0 e n < 0

appartengono ad una semiretta

oppure

oppure

V = m z con ~ < 0

semiasse positivo deUe ascisse

semiasse negativo deUe ordinate.

e) Dimostriamo infine che i punti (~, V--) appartengono ad una stessa retta.

Supponiamo che non sia vero.

Consideriamo prima il caso di due semirette di punti <<sepamtori>~ entrambe diverse

da uno dei semiassi coordinati.

Quindi i punti <<separatorb, (~, V--) del secondo quadrante si trovano su una semiretta

V = ~ z con ~ < 0 e i punti <<sepamtorb> del quarto quadrante si trovano su una

semiretta V = m z con m < 0 e ~ k m.

Caso A. Sia

Consideriamo ( ~:, .~)

~ < ~ .

del quarto quadrante tale che

f .~- m.~ < 0

V - m ~ > O

Allora

~(~, .~) < ~(0,0).

173

n punto ( - 2 , - ~ ) (si tmva nel secondo quadrante) e verifica

{ . ~ - ~ > 0

9 - ~ < o

inokre (come soluzione della sr disequazione)

4(-2, -9) < 4(0,0).

D'altra parte per la (1.1)

4(2,9) < 4(o,o) =~ r < r

Segue l'assurdo.

Caso B. Sia ~ > ~ . Analogo al caso A), basta invertire il verso delle diseguaglianze.

Tutti gli altri casi che si possono presentare, cio6 semiasse coordinato e una retta

y = raz con m < 0 oppure caso di due semiassi come semirette di punti <<separatori>~,

si ridimostrano analogamente al caso A) o al caso B). Si ~ cosl completata la dimostra-

zione del Lemma 2.3.

c.v.d.

TEOREMA 2.4. Sia r z , y) una funzione reale &" due variabih'reali,

qb( z, y) : R 2 --~ R.

Supponiamo r z, y) pm'zialmente crescente in senso stretto sia dspetto z che rispetto

y. Inoltre r y) venfictu" la formula

r < r ~ r z_) < r z_)

per ogni u, v_, z__ 6 1t 2.

Allora per ogni punto ( 2, 9) del piano esiste una retta, passante per il pun to stesso,

y = m z + n c o n m < O

[eventualmente y = ~ oppure z = ~r], tate the ogni ( x, y) con

vedlica

174

y - r a z - n > O

r ~) > r ~, 9)

mentre ogni ( z, y) con

verifi~

y - - m z - - n < O

r y) < r ~).

Dimostrazione: Dato ($ , ~) un punto del piano, per la par-ziale monotonia in senso

stretto di r si ha

r - h, .~ - k) < r ~) < r + h, ~ + Ir per ogni h, k > O .

Poniamo in (~, ~) l 'origine deUe coordinate quindi per i Lemmi 2.2 e 2.3 esiste una

retta y = rex, con m < 0 (eventualmente y = 0, x = 0) di punti (<separatori~. AUora

rispetto il sistema di riferimento originale si ha che esiste n tale che ogni ( z , y) con

y - - m z - - n > O

vefifica

mentre ogni ( z , y) con

vefifica

r > r

y - - m z - - n < O

r y) < r ~).

c.v.d.

OSSERVAZIONE 2.2. Per quanto dimostrato la funzione r y) pub essere costante solo

su punti appartenenti ad una stessa retta di coefficiente angolare negativo, retta di punti

,~sepamtori~.

LEMMA 2.5. Nelle ipotesi del Teorema 2.4. si ha che le rette di punti r sono

parallele.

Dimostrazione. Supponiamo che non 10 siano.

Dati allora ( : r l , y 1) e ( z2 ,y2 ) distintiin R 2, sia s I (di equazione y = m l : r + r ~)

la tetra di punti <<separatori>> per ( z ~ , y l ) , ed s 2 (di equazione y = ra2a: + n2) , la

retta di punti <~separatori>> per ( z2, Y2), con ml ~ m2 per ipotesi.

Certamente

q~(~l, Yl) :~ ~(Z2, Y2)

175

altrimenti le rette di punti ~separatorb, sarebbero coincidenti per la Osservazione 2.2,

quindi parallele.

S e a 1 e s 2 non sono parallele, si intersecano in un punto, quindi esistono punti del

piano che verificano

V--(mlZ+ nl) > 0 (2 .2) V - ( m 2 z + n,.2) < 0

e altri che verificano

( ~-(mlz + rh) < 0

- ( m 2 z + rv2) > 0 (2.3)

Cio~ esistono punti del piano che verificano

r < r < ,~(z2,v2)

mentre altri vefificano

~(z l ,v l ) > r > 4(z2,v2).

I punti soluzioni di (2.2) portano ad un assurdo se

a) ~(Z2,Y 2) < ~(Zl,~/1)

mentre i punti che verificano (2.3) portano ad tin assurdo se

b) ~(Zl,Y t) < ~(z2,Y2)-

Poich6 ~ stato supposto (:gl, ~/1), (Z2, ~/2) appartenenti a rette di punti <<separatorb,

distinte le uniche possibilith che si possono presentare sono a) e b).

Quindi m 1 = ra 2 cio6 le due rette di punti <<separatorb> sono parallele, (eventual-

mente coincidenti).

La dimostrazione 6 analoga nel caso che una o entrambe le rette s I e s z risultino

parallele agli assi coordinati.

c.v.d.

3. Insiemi di livello

In questo pamgrafo si mostra la stretta correlazione che esiste tra rette di punfi ~<se-

paratod>~ ed insiemi di livello.

Abbiamo gi~ osservato che ~b(z, V) pub essere costante solo su punti appartenenti

ad una stessa retta di punti ~<separatori>~.

Vale poi il seguente Lemma:

176

LEMMA 3.1. Sia r x, y) parzialmente cmscente in senso stretto e ven'fichi la (1.1), allora

a) r z, !I) ~ costante su almeno una tetra di puntl ,,separatori, che ~ perci6 un insieme

di livello.

b) Tutti gh" insiemi di livello sono rette.

c) (Come ovvia conseguenza di a) e b)) Le rette di punti ,<separatori, non sono parallele

agli assi.

Dimostrazione: a) Sia t una retta di equazione

Y = m l Z + n c o n m 1 > 0

r y) ~ una funzione di una sola variabile su t, strettamente crescente, ha punti di

discontinuit~ di prima specie su t, e punti di continuitL Consideriamo r y) su t in

un punto di continuitY, per comodit~ poniamo in questo punto l 'origine delle coordinate.

Allora

lira r z , m l z ) = r x.-*O

Cio&

per ogni e > 0, esiste 6 > 0 tale che, per max(Imxzl,lzl) < 6 siha:

I r - r < e.

Sia ~ la retta di punti <<separatori>> per l 'origine degli assi, analizziamo prima il caso

in cui ~ non coincida con l 'asse delle ordinate, allora ~ ha equazione y = ~ z con

< 0 per quanto dimostrato nel paragrafo precedente. Consideriamo ora la differenza

r ~ z ) - r

Per ogni x e per ogni x~ > 0, si ha:

( ~ ( - - Z l , - - m l Z l ) -- (~(0 ,0) < ( ~ ( Z , ~ Z ) -- (~(0,0) < ~ ) ( ~ l , m l ~ l ) -- 6 ( 0 , 0 )

e inohre

per ogni e > 0 , esiste 6 > 0 tale che, per max{Im~z~l , Iz~[} < 6 si ha:

- ~ < [ r - r < [ r - r <

< [ r m l z l ) - r <

cio~ per ogni e > 0

I r - r < indipendentemente da z.

177

Segue che ~(z ,V) ~ costante su ~.

I1 caso in cui ~ coincida con l 'asse delle ordinate 5 simile.

Si ~ cosi dimostrato il punto a).

b) Poichd come conseguenza della (1.1) si ha che

r = ,/,(v_.) =,. ,/,(_u + z_.) = , / ,(v_+ z_.) per ogni u, s z E R 2

(vedi [1]), e poichd le rette di punti <<separatori, sono parallele, segue che qS(z, 1/)

costante su tutte le rette di punfi ~<separatorb, e quindi il punto b) del Teorema 3.1

completamente dimostrato.

c) Segue immediatamente da a) e b).

c. v.d.

NOTA 3.1. Sia (0, 0) il punto della dimostrazione in a) del Lemma 3.1.

Vogliamo dimostrare che (0, 0) ~ di continuit~ per #5(z, 1/) oltre che per qb(:r, m 1 z) .

Infatti le rette parallele agli assi coordinati per un qualunque punto del piano ( z, V),

intersecano la retta t /= mlz in due punti, rispettivamente (z*, 1/) e (:r, y*).

Per la parziale crescenz.a in senso stretto di ~( z, 1/) si ha:

[ r - r < [ r 1/) - ~ ( o , o ) ] < [ r - ~ ( o , o ) ]

per (z,V) tale che y - m l z > 0, mentre si invertono le diseguagfianze se (:r, p)

tale che y - m 1 z < 0. Allora per la continuit~ di ~b(z, m 1 z) in (0, 0), si ha che per ogni c > 0, esiste

t5 > 0 talc che, per Iz*l < ~ eperc ib I1/I < ~ e Izl <

Ir - r <

c.v.d.

TEOREMA 3.2. Sia •( z_) : R" --* R parzialmente cresccnte in senso stzetto e vedfictff la diseguaglianza (1.1).

Allora gl i insiemi di fivello di ~( z_) sono sottospazi lineazi di R" di dimensione

Dimostrazione. Se n = 1 la tesi ~ vera, per n = 2 ~ stato dimostrato il Teorema 3.1,

sia ora n = 3 e consideriamo la funzione ~b(z, V, z) che verifica la (1.1).

La funzione di due variabili qb(z, 1/, 0) ha insiemi di IivelIo rette parallele di equa-

zione

v = m z + b con m < 0 , b E R.

178

La funzione di due variabili r y, z) ha insiemi di livello mtte parallele di equazione

y = I z + c conl < 0 , c E R.

Quindi

r z , m z + b, O) = K

r Iz + c, z) = K '

Consideriamo in entrambi i casi l'insieme di liveUo per l'origine deUe coordinate, allora

r m z , O) = H = r z)

Inol tre

r z, m z , O) = r = ~(0, Iz, z)

Dalla prima uguaglianza in (3.1) e dalla (1.1) si ha

r m z + lz, z) = r lz, z)

Analogamente dalla seconda uguaglianza in (3.1) e daUa (1.1) si ha

r m z , O) = r m z + lz, z)

Da (3.1) e da (3.2) [o dalla (3.3)] si ottiene che

y = m x + Iz

per ogni z e per ogni z.

(3.1)

(3.2)

(3.3)

l 'insieme di livello per l'origine delle coordinate in R 3 ed ~ un sottospazio lineare di

dimensione due.

Poich6 tutti gli insiemi di livello di funzioni r che verificano la (1.1) sono uguali

tra loro a meno di traslazioni, (per i dettagli si veda a tale proposito [1] Corollario 11),

segue la tesi nel caso n = 3.

I1 caso n > 3 segue per induzione suUa dimensione n dello spazio ed ~ perfetta-

mente analogo al caso n = 3, dove z ~ l'n-esima componente, y la ( n - 1)-esima

ed x il complesso delle prime n - 2 componenti del generico vettore di R ~.

c.v.d.

4. Teorema di rappresentazione

In questo paragrafo si traggono le conclusioni di quanto esposto nei paragrafi prece-

denti e si dimostra nel caso n-dimensionale il Teorema di rappresentazione per l'indice r

179

TEOREMA 4.1. (Teorema di rappresentazione) Considetiamo un qualunque criterio di

preferenza tra operazioni l~narzziaffe certe, discrete, avenu" n scadenze, rappresentato

da una funzione reale

r : z_ ~ r perogniz_ E R".

Sia r parzialmente crescente in senso stretto e ved#clu" la dis~gusglianza (1.1).

Allora r ammette la rappresentazione

r = c . _ z

dove il vettore c ha componenti tutte positive.

Dimostrazione. Segue dal Teorema 3.2. che ~ possibile scrivere

r z_) = g( c_. z_)

dove c . x = costante ~ l 'equazione degli insiemi di livello di r con _c vettore che

ha tutte le componenti positive.

Per la parziale stretta crescenza di q~ si ha poi che g(t) ~ una funzione strettamente

crescentc.

Poich6 trasformarc l 'indice r mediante una funzione strettamente monotona non

altcra l 'ordinamento da esso subordinato, si pub considerate per l ' indice ~b la rapprc-

sentazione

~(z__) = c . z

con _c vettore a componenti tutte positive. c.v.d.

NOTA 4.1. Osserviamo che nella classe delle funzioni che rappresentano lo stesso indice

r ve ne sono anche di discontinue, ma poich6 la funzione di una sola variabile g pub

avere al pith un insieme numerabile di discontinuit~ di prima specie, segue che, ad esem-

pio in due variabili, la funzione ~z_.) = g(_c. z__) pub avere al pith un insieme numembile

di salti, in corrispondenza delle rette di livello.

5. Completamento dei risultati precedenti

Nei paragrafi precedenti siamo riusciti a caratterizzare un indice analogo al valore

attuale con un insieme di ipotesi assai scamo e facilmente interpretabile da l punto di

vista del comportamento.

In questo paragrafo a completamento dei risultati precedent.i, si prende in esame

un'altra ipotesi usualmente considerata nella letteratura sull 'argomento: la parziale con-

tinuit~ dell 'indice r Si mette in chiaro un risultato (non esplicito in [1]) cio~ che

180

l'ipotesi di parziale continuit~ 6 molto forte e implica rispetto a ciascuna deUe variabili

o costanza o stretta monotonia; quindi l'ipotesi di parziale (stretta) monotonia si riduce

ad una scelta di uno su pochi casi possibili.

Sia n = 2 la dimensione dello spazio R ~, vale in particolare il seguente teorema:

TEOREMA 5.1. Sia r parzialmente continua e veriScln'la (1.1). Allora p e r r y)

vale una delle seguenti eventualit, i:

(i) r Y) e costante su tutto R 2 .

(ii) r V) ha per insiemi di livello rette parallele ad uno degll assi coordinate; ed

strettamente monotona su ogni altra retta.

(Lr)) r V) e pamialmente monotona in senso stretto.

Dimostrazione. Per il Lemm a 2.1. e per l'ipotesi di parziale cominuit~ di r V), Imago

gli assi coordinati si pu6 presentare una deUe seguenti situazioni:

a) r V) e costante su entrambi gli assi coordinati,

b) r V) e costante su un solo asse e sull'allro ~ strettamente monotona.

c) r V) e strettamente monotona su entrambi gli assi coordinati.

Dimostriamo che a) ---. (i).

Infatti per a) si ha:

r = r = ~(o ,o ) per ogni z e per ogni y.

Allora per ogni punto (7, ~) del piano si ha:

r = r = r

e parla (1.1) segue

o anche

r v-) = r

r = r

quindi r V) e costante in tutto il piano, cio~ i).

Dimostriamo che b) --~ (ii). Infatti sia ad esempio r y) costante lungo l'asse x e strettamente crescente Imago

l'asse y.

Quindi

r 0) = k per ogni x.

Dalla (1.1) segue che, perogni Y fissato, dati z* e ~ vale

r V) = r ~) per ogni z" per ogni

181

cio~ le rette y = C

sono insiemi di liveUo per la funzione. Poichd tutti gli insiemi di livello della 4 (z , / / )

sono uguali tra di loro a meno di traslazioni (vedi [1] CoroUario 11), segue che tutti gli

insiemi di liveUo sono rette parallele all'asse delle z.

Nel caso 4 ( z , y) costante lungo l 'asse delle y il discorso ~ analogo.

E questa ~ la prima parte della (ii).

Sia r u n a retta di equazione

y = m z + n ra~O, h E R .

Consideriamo (z l ,m:r I + n) e ( z2 ,mz 2 + r/,) con z 1 < z2, allora

4(z2 , rn:r2 + n) - 4(Zl , mZl + n) = 4 (z2 , mz2 + n) - 4 (z2 , mZl + 91.) ~> [ <~] 0

dove per l'ipotesi di stretta crescenza di 4(:r, y) considerata come funzione di y, vale

il maggiore quando ra > 0, e il minore per m < 0.

E ' chiaro poi che stretta decrescenza lungo l 'asse y implica stretta decrescenza lungo

le rette con rn > 0 e stretta crescenza lungo le rette con m < 0.

Segue che 4( z, ~) ~ strettamente monotona su ogni retta non parallela all'asse a:.

11 caso 4( z, y) strettamente monotona lungo l'asse z, ~ analogo.

Quindi tutta la (ii) ~ dimostrata.

Dimostriamo che c) --* (iii).

Supponiamo 4(a:, y) strettamente crescente lungo l'asse z e strettamente crescente

lungo l 'asse ~/.

Allora per ogni Yl e Y2 con Yl < Y2 si ha

4(0,Yl) <~ ~ (0 ,y 2)

e per la (1.1)

~(Z,y 1) <~ r 2)

Da cui la stretta crescenza di Oh(z, ~) lungo le rette z = h.

Analogamente per ogni z 1 e z 2 con z 1 < z 2 si ha

per ogni z fissato.

r < ~(a72,0)

e per la (1.1)

r < r per ogni V fissato.

Quindi segue stretta crescenza lungo le rette V = k.

Dunque 4 (z , y) ~ strettamente crescente rispetto la variable z, e strettamente cre-

scente rispetto la variabile y.

182

Con ipotesi di diversa stretta monotonia lungo gli assi coordinati segue la stessa par-

ziale monotonia per r y).

(iii) ~ cosl dimostrata.

c.v.d.

Questo risultato si pub estendere anche a R ~ con dimostrazione analoga, ma certa-

mente pi~ gravosa.

BIBLIOGRAFIA

[1 ] G.A. ROSSI: Una disequazione funzionale e le scelte finanziati~ Quademi dell'Istituto di Ma- tematica Finanziaria di Torino Serie III n. 23, Tecnografica, Parma, 1980.

[2] L. PECC~'I: Sul procedimento dell'attualiz~azione, Studi e Ricerche VIII-IX 1971-72, La Na- zionale, Parma, 1972.

[3] L. PECCA'n: Su di una caratterizz.~zione del critedo de11'attuah'7~.qzlone, Quademi dell'Istituto di Matematica Finanziaria n. 6, Studium Parmense, Parma, 1972.

[4] L. PECCATI: Sull'impostazione delle scelte finanziad~ Giornate di lavoro AIRO '77, Parma, 1977.

Character iza t ion of an index equivalent to present value

ABSTRACT

Let _z be a vector in R" and r real-valued functions in R".

We assume that such functions satisfy

r < r =~ r z__) < r z_) ( , )

for every u, v__, z__ E R n. In this paper it is proved that if the functions r are partially strictly increasing

then they can be represented in particular as follows:

r = c - z

where _c is a vector with all positive components.

This result is particularly interesting from a financial viewpoint, because in this field

we can represent the preference ordering in certain and discrete financial operations by

means of a function

On the other hand it is easy to interpret in this applied field the requirements for

r : to be partially strictly monotone and to satisfy ( , ) . Then the particular repre-

sentation for r acquires a specific financial meaning: we just outline that with an

183

appropriate normalization the components of _c are discount factors and therefore the

index realizes the preference ordering which in a way is equivalent to the decision rules

based on discounted present value. For a more detailed financial interpretation see G.A.

Rossi [1 ], where a similar representation is proved but by means of a further hypothesis

of partial continuity of ~b(z.).

Finally in this paper we also consider the hypothesis of partial continuity but just to

prove how in this case the importance of the hypothesis of partial monotony decreases.

184