1

Un invito a riflessioni su ottimizzazione e strategie Gabriele Lucchini

1, 2

1 Un problema proposto da Niccolò Tartaglia Invito a considerare un problema che Niccolò Fontana, detto Tartaglia

3, ha proposto nel General

trattato di numeri et misure 4, riportando – prima di una trascrizione

5– tre riproduzioni: il testo, il

frontespizio, la pagina che contiene il problema.

frontespizio pagina con il problema

1 Dipartimento di Matematica dell’Università degli Studi di Milano - gabriele.lucchini@unimi.it - pagine internet

personali nel sito del Dipartimento: http://newrobin.mat.unimi.it/users/lucchini/gabl00.htm. 2 Note per la lettura sono nell’Allegato (otm-a.doc). Le ultime modifiche al testo sono del 2009-10-05.

3 La sua data di nascita è per alcuni il 1499 e per altri il 1500; la data di morte è il 1557. Nato a Brescia, fu uno dei più

importanti matematici del XVI secolo; informazioni sono reperibili in internet. 4 Opera pubblicata tra il 1556 e il 1560 a Venezia da Curzio Troiano dei Navò. Il testo è reperibile in internet.

Informazioni sono in http://newrobin.mat.unimi.it/users/lucchini/l-tart0.htm.

Il problema qui proposto è la sezione 132 del libro XVI della prima parte, a p. 255. 5 La trascrizione ha variazioni per facilitare la lettura.

2

Sono duoi, che hanno robbato una ampoletta di balsamo a uno signor,

nella qual era dentro oncie 8 di balsamo.

a ponto accadette che costoro nel suo partire trovorno uno vedriaro,

che haveva solamente due ampolette

l'una delle quali teneva oncie 5, l'altra oncie 3

e così per la pressa, che loro havevano egli comperorono queste 2

e caminorno di longo fin che furono al luogo sicuro,

poi si misero a voler partir questo balsamo,

dimando come fecero non havendo ne peso, né altra misura certa.

Io dico se lo vuoi sapere impisse prima quella dalle oncie 3.

piena che la sia vodala in quella delle oncie 5

poi impisse un'altra fiata quella dalle 3 del resto del balsamo,

ch'è rimasto nella grande

trovarai, che gli ne restarà anchora 2.

poi voda anchora quella dalle 3 in quella dalle 5

trovarai che non gli ne intrarà se non 2

e 1 ne resterà in quella dalle 3 e 2 n'erano rimaste nella grande.

Fatto che hai così ritorna a vodar quella dalle 5 nella grande,

e così gli ne faranno 7

poi quella che era in quella dalle 3 vodala in quella dalle 5

poi riempie un'altra fiata quella dalle 3

e poi la revoda in quella dalle 5 dove era rimasta quella sola

faranno a ponto 4

e 4 ne sono rimaste ne11'ampoletta grande,

e così si trovorno haver oncia 4 di balsamo a ponto ciascun di loro,

onde si partirono contenti, e andettero chi di qua chi di là. 6

Oltre che come documento sulla lingua italiana della seconda metà del XVI secolo, il problema

merita attenzione per:

• il modo di proporre il problema da parte di N. Tartaglia, anche se non pare necessario

soffermarsi su questo aspetto;

• il procedimento di risoluzione utilizzato da N. Tartaglia;

• il fatto che esiste una soluzione migliore di quella data da N. Tartaglia.

Leggendo la risoluzione di N. Tartaglia è facile rendersi conto dell’utilità di introdurre delle

notazioni che consentano, innanzitutto, di seguire più agevolmente il ragionamento 7.

Introducendo una notazione del tipo

N(p, q, 8-p-q)

per indicare le quantità p nell’ampolla da 8, q nell’ampolla da 5, restante nell’ampolla da 3 8, la

successione delle operazioni di N. Tartaglia può essere scritta nel modo indicato nella colonna a

destra della figura riportata sotto 9.

Oltre alla strada di riempire l’ampolla piccola, c’è quella di riempire l’ampolla da 5, strada che si

prosegue con la successione di operazioni indicata nella colonna a sinistra nella figura riportata

sotto 9.

Se si evitano travasi inutili (nel senso che portano a stati raggiungibili più rapidamente) 10

, ci sono

soltanto queste due strade.

6 V., anche, http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Feb_02/Cap8.html.

7 Sulla matematizzazione segnalo in Polymath l’articolo “Un invito a riflessioni su matematizzazione e

de/matematizzazione” (v. Progetto Polymath - Un invito a riflessioni su matematizzazione e de/matematizzazione). 8 Sulla scelta di notazioni segnalo la § 4 di http://newrobin.mat.unimi.it/users/lucchini/l-le.htm (Leonhard Euler/Eulero).

9 La figura è ripresa dall’articolo “Diagrammi triangolari: risolubilità ed ottimizzazione” (Didattica delle Scienze, n. 39,

1972), presentato in http://newrobin.mat.unimi.it/users/lucchini/l-gl26.htm. 10

Ovviamente, si possono fare travasi inutili, ma non occorre considerarli.

3

Si noti che:

• le due strade hanno in comune H1(4,4,0);

• quelli elencati sono tutti gli stati raggiungibili rispettando le regole;

• nella figura si potrebbe indicare un unico percorso ad anello, visto che, come già accennato,

le due colonne hanno in comune H1(4,4,0);

• la nuova soluzione 11

è non soltanto migliore di quella di N. Tartaglia (richiedendo 7 travasi

invece di 8), ma anche la migliore possibile in assoluto.

Ovviamente, tutti gli stati elencati in figura (che, come detto, sono tutti quelli raggiungibili con le

regole del problema) sono fissabili come possibili obiettivi di ripartizione del balsamo.

Rileggendo i sedici stati elencati in figura (800, 350, 323, 620, 602, 152, 143, 440, 413, 710, 701,

251, 233, 530, 503, 053), si vede che questi obiettivi non possono comprendere, a terza ampolla

vuota, meno di 3 once nella prima (la seconda ha capacità 5 once) e, ancora in relazione alla

capacità, più di cinque nella seconda.

Il problema può essere generalizzato ad altre capacità di ampolle (non necessariamente con una

delle capacità somma delle altre due) e trattato con altri strumenti 12

, ma non è questo che qui

interessa.

11

Distinguo tra soluzione come risultato e risoluzione come ricerca di un procedimento per risolvere un problema. 12

Si può vedere l’articolo citato in nota 9 o considerare altre trattazioni.

4

2 Migliorabilità, ottimalità, ottimizzazione, strategie In effetti, ciò che interessa in questo articolo (ed è soltanto parzialmente indicato nel titolo) è

invitare a considerare l’opportunità di riflettere e di essere consapevoli sulle possibilità di:

• migliorabilità di un risultato o di un procedimento 13

;

• possibile ottimalità di risultati e procedimenti, nel senso di impossibilità di migliorarli,

almeno da un determinato punto di vista;

• esistenza di procedure e strumenti per l’ottimizzazione, intesa come determinazione del

miglior risultato o procedimento possibile, almeno da un determinato punto di vista 14

;

• esistenza di criteri diversi nella scelta di strategie (di gioco o di comportamento) 15

.

La migliorabilità è spesso evidente ed è stata esemplificata con il problema di N. Tartaglia; mi pare

sufficiente aggiungere che la ricerca di miglioramenti è spesso istintiva 16

o comunque voluta e

invitare a riflettere sul fatto che il non vederne la possibilità non è sufficiente per escluderla, perché

il non saper fare una cosa non significa che un altro non sappia farla o che sia impossibile farla: la

non migliorabilità deve, quindi, essere dimostrata.

Sulla possibilità di ottimalità non pare necessario soffermarsi.

Sulla ottimizzazione è opportuno distinguere tra ragionamenti che permettano di constatare

l’ottimalità di un risultato o di un procedimento (come per il problema di N. Tartaglia) e l’esistenza

di strumenti per determinare direttamente soluzioni ottimali (come vedremo in § 8), che possono

andare anche al di là di quanto qui può essere proposto: ma sembra ragionevole ritenere che gli

esempi che vedremo siano sufficienti a stimolare riflessioni e a sollecitare consapevolezza sulla

possibile utilità di cercare non soltanto miglioramenti, ma anche ottimizzazioni (se realizzabili).

Sulle strategie paiono sufficienti gli spunti degli esempi.

Ritengo opportuno, però, invitare a tenere presenti le questioni di costo di miglioramenti,

ottimizzazioni, strategie, nel senso che la loro individuazione può comportare attività (o anche

spese) che non portino un effettivo vantaggio complessivo: per esempio, impiegare 20 minuti per

risparmiarne 5 su un percorso, che devo fare una sola volta, non è conveniente; ovviamente, diventa

conveniente se quel percorso devo farlo un numero di volte sufficiente per recuperare

l’investimento di tempo 17

.

13

Come è noto, spesso si parla di approssimazioni successive. 14

Ottimale e ottimizzaione sono i termini di uso corrente. 15

Esistono studi chiamati teoria delle decisioni. 16

Ho sentito dire più volte dal correlatore della mia tesi di laurea che “anche i cani sanno che il cammino più breve tra

due punti è il segmento”. 17

Ovviamente, si può riflettere sulle possibilità di ottimizzazione indipendentemente dalla convenienza della singola

operazione, anche soltanto per il piacere di ottimizzare.

5

La possibilità di fare un viaggio con mezzi, tempi, costi diversi dà modo di pensare alla scelta

dell’elemento al quale si attribuisce maggiore importanza o alla possibilità di dare un peso ai singoli

elementi (tempo, costo, comodità, …).

3 Il problema di Didone Come è noto, nell’Eneide di Publio Virgilio Marone (70 a.C. – 19 a.C.) c’è un riferimento, che

viene spesso citato a proposito dell’ottimizzazione.

Nella traduzione di Annibal Caro (1507-1566) il riferimento è nei versi 590-595 del primo libro:

Giunsero in questi luoghi, ov’or vedrai

Sorger la gran cittade e l’alta rocca

De la nuova Cartago che dal fatto

Birsa nomossi, per l’astuta merce

Che, per fondarla, fèr di tanto sito

Quanto cerchiar di bue potesse un tergo.

http://www.bibliotecabertoliana.it/ http://queendido.org/Elissade.pdf

antico/eneide/eneide.htm

In http://queendido.org/Elissade.pdf il riferimento è nei versi 365-368 come traduzione a fronte dei

versi latini.

Raggiunsero i luoghi, dove ora vedrai le enormi

mura e la nascente fortezza della nuova Cartagine,

e comprati il suolo, Birsa dal nome del fatto nomossi,

quanto potessero circondare con una pelle di toro.

devenere locos ubi nunc ingentia cernes

moenia surgentemque novae Karthaginis arcem,

mercatique solum, facti de nomine Byrsam,

taurino quantum possent circumdare tergo.

La “astuta merce” (che costituisce il “fatto”) può essere descritta nel modo seguente per avere una

base di ragionamento.

6

Virgilio si collega alla leggenda della fondazione di Cartagine da parte di Didone, che, arrivata in

Africa, chiese a Iarba, re dei Getuli, un pezzo di terra per costruire una città: questi gliene concesse

tanta quanta ne potesse circondare con la pelle di un toro e, astutamente, Didone tagliò la pelle in

strisce sottilissime e circondò la terra da ottenere affacciata sul mare.

All’astuzia delle strisce si tratta di far seguire la scelta della figura per la terra da circondare: i

commentatori che sviluppano il ragionamento parlano di semicirconferenza.

Perché una semicirconferenza?

Si tratta di considerare due elementi:

• città sul mare per avere un porto;

• adattamento alla situazione considerata della proprietà isoperimetrica nel piano, che dice che

fra tutte le figure piane aventi ugual perimetro, il cerchio ha l'area massima 18

.

[Inizio di “Teoria elementare degli isoperimetri” di Oscar Chisini,

articolo XXVI di Questioni riguardanti le matematiche elementari,

raccolte e coordinate da Federigo Enriques,

Bologna, Zanichelli, 1924-19273

e ristampa anastatica 1983]

Ovviamente, non è detto che la leggenda faccia riferimento alla predetta proprietà o che Virgilio la

conoscesse, anche se Zenodoro è un matematico greco vissuto nel II secolo a.C. 19

: una cosa è

l’astuzia dell’utilizzazione di strisce e un’altra è l’ottimizzazione nell’uso di queste.

Ovviamente, dal punto di vista matematico, e in particolare in questo articolo, interessa la

determinazione della figura che ottimizza l’acquisizione di terreno.

18

Isoperimetrico: che ha lo stesso perimetro nel senso di lunghezza (v., eventualmente, un vocabolario della lingua

italiana). 19

Per ulteriori informazioni su Zenodoro e sulla proprietà isoperimetrica (anche rispetto alla citazione di O. Chisini)

rimando a internet (o ad altre fonti).

7

4 Rettangoli isoperimetrici e area massima 20 Cominciamo con il caso particolare del perimetro di 24 unità di lunghezza (non importa quale):

possiamo considerate rettangoli con lati di lunghezza intera (1 e 11, 2 e 10, 3 e 9, 4 e 8, 5 e 7, 6 e 6)

o di lunghezza razionale (per esempio 5/2 e 19/2, ma non possiamo elencarli) o anche di lunghezza

irrazionale.

Nel primo caso (lunghezza intera) le 6 aree sono 11, 20, 27, 32, 35, 36 (nella unità di misura

conseguente alla scelta di quella di lunghezza) e possiamo dire che l’area massima è 36.

Ma per gli altri due casi che cosa si può dire?

Per andare avanti nelle considerazioni, chiamando 2p il perimetro e x e y le lunghezze dei lati, si ha

che è

x+y = p

e che l’area può essere scritta

A = xy.

Dovendo cercare il massimo di xy con il vincolo x+y=p, ricorriamo a un semplice artificio: essendo

4xy = (x+y)2 − (x−y)

2 = p

2 − (x−y)

2,

xy è massimo per x–y=0, cioè per il quadrato di lato x=y=p/2.

Si noti che per p=12 si ritrova 6, con xy=36.

Ma si noti, anche, che, ad esempio, per p=11 (2p=22) si troverebbe x=y=5,5 mentre i rettangoli con

entrambi i lati di lunghezza intera sarebbero 1 e 10, 2 e 9, 3 e 8, 4 e 7, 5 e 6 e la soluzione non

sarebbe tra questi: si può, quindi, riflettere sul fatto che gli esempi devono essere scelti bene o

essere abbastanza numerosi per non indurre a conclusioni sbagliate, come sull’esempio p=12

sarebbe quella di pensare che la soluzione sia sempre tra i rettangoli a lati con lunghezza intera.

Se si rappresentano i rettangoli nel primo quadrante di un sistema cartesiano, si vede che il luogo

dei quarti vertici è il segmento di estremi R=(p/2, 0) e S=(0, p/2).

20

Nei programmi del 1979 per la Scuola media era previsto il contenuto “semplici problemi di isoperimetria e di

equiestensione”, che è opportuno non intendere banalmente nel senso che figure diverse possono avere lo stesso

perimetro o la stessa area.

8

5 Rettangoli equiestesi e perimetro minimo Cominciamo con il caso particolare dell’area di 36 unità di area (non importa quale): possiamo

considerare rettangoli con lati entrambi di lunghezza intera (1 e 36, 2 e 18, 3 e 12, 4 e 9, 6 e 6) o con

un solo lato di lunghezza intera (per esempio: 5 e 36/5, 7 e 36/7, 8 e 9/2, 10 e 18/5, …, ½ e 72, …,

ma non possiamo elencarli tutti), o con entrambi i lati di lunghezza razionale non intera (per

esempio 5/2 e 72/5, ma non possiamo elencarli tutti) o anche di lunghezza irrazionale.

Nel primo caso (lunghezza intera) i 5 perimetri sono 37, 20, 15, 13, 12 (nella unità di misura

conseguente alla scelta di quella dell’area) e possiamo dire che il perimetro minimo è 12.

Ma per gli altri tre casi che cosa si può dire?

Per andare avanti nelle considerazioni, chiamando A l’area e x e y le lunghezze dei lati, si ha che è

xy = A

e che il semiperimetro può essere scritto

P = x+y.

Dovendo cercare il minimo di x+y con il vincolo xy=A, ricorriamo a un semplice artificio: essendo

(x+y)2 = (x–y)

2 + 4xy = (x–y)

2 + 4A,

x+y è minimo per x-y=0, cioè per il quadrato di lato x=y= √A

Si noti che per A=36 si ritrova 6, con x+y=12.

Ma si noti, anche, che, ad esempio, per A=24 si troverebbe x=y=√ 24 mentre i rettangoli con

entrambi i lati di lunghezza intera sarebbero 1 e 24, 2 e 12, 3 e 8, 4 e 6 e la soluzione non sarebbe

tra questi: anche qui vale la considerazione sul fatto che gli esempi devono essere scelti bene o

essere abbastanza numerosi per non indurre a conclusioni sbagliate, come sull’esempio A=36

sarebbe quella di pensare che la soluzione sia sempre tra i rettangoli a lati con lunghezza intera.

Se si rapprendano i rettangoli nel primo quadrante di un sistema cartesiano, si vede che il luogo dei

quarti vertici è il ramo di iperbole equilatera xy = A.

6 Isoperimetria ed equiestensione in Polymath

In Polymath ci sono costruzioni per gli utenti di Cabri.

7 Isoperimetria ed equiestensione, Analisi matematica e “costi” Il lettore che ha fatto studi di Analisi matematica può passare agevolmente alle funzioni

F1(x) = x(p–x) e F2(x) = x + A/x

e trovare il massimo di F1 e il minimo di F2; ma per chi non ha (ancora) fatto detti studi

l’acquisizione degli strumenti necessari può essere vista come esempio di costi eccessivi.

9

8 Un esempio di programmazione lineare 21

Senza soffermarmi su considerazioni generali, propongo il problema e l’ambientazione del

bellissimo film didattico Linear programming (1966, 10 minuti 22

) prodotto da John Halas per

Educational Film Center Ltd.

Il problema è il seguente: si vuole rendere massimo il profitto di un carico di scatole rosse e scatole

blu (senza limitazioni di disponibilità) con i seguenti dati e vincoli:

peso volume profitto

• scatole rosse 8 6 6

• scatole blu 25 2 5

• vincoli ≤1200 ≤216.

L’ambientazione del film propone un uomo che vuole caricare le scatole su un carretto, senza tenere

conto delle limitazioni, e che viene richiamato a rispettarle dal cavallo, che deve trainare il carretto

e che gli mostra il modo di risolvere il problema (concludendo che è “simple horse sense”!).

Dette x e y le quantità dei due tipi di scatole, il problema può essere matematizzato nella forma

massimo di f(x,y) = 6x + 5y

con i vincoli delle limitazioni

8x+25y ≤ 1200

6x+ 2y ≤ 216

oltre a quelli, ovvi, di non negatività delle incognite (x≥0, y≥0).

Rappresentando le limitazioni con le rette 8x+25y=1200 (σ) e 6x+2y=216 (τ), si ha che i punti che

soddisfano le quattro condizioni sono quelli del quadrilatero tratteggiato OPo.

La retta 6x+5y=300 è una delle rette della famiglia 6x+5y=k: il valore massimo di k compatibile

con i vincoli corrisponde alla retta passante per Po: i conti portano ad attribuire a questo punto le

coordinate xo=1500/37=22,38… e y

o=2736/67= 40,83…; se si ammette che i numeri di scatole

debbano essere interi, questa soluzione non è accettabile e considerando un intorno di Po si arriva

alla soluzione x1=22 e y1=40, con profitto 332, peso 1172, volume 212.

Oltre a questo metodo di risoluzione che utilizza semplici nozioni di Geometria analitica può essere

utilizzato il metodo algoritmo del simplesso, per il quale vale quanto detto sui costi nella sezione

precedente a proposito di metodi della Analisi matematica.

21

Sulla programmazione lineare in Polymath rimando al motore di ricerca interno. 22

Dati del catalogo nel sito http://www.halasandbatchelor.co.uk/; il film è in Maths series con Matrices, Topology,

Measures of Man, Functions and Relations. La presentazione comune è: “An humorous series of films devised to

explain in graphic terms the concepts of these basic mathematical functions.”.

La scheda cartacea del film contiene, anche, proposte didattiche (e dà la durata 9 minuti).

10

Si tenga presente la possibilità di utilizzare pacchetti applicativi per personal computer nei quali

immettere i dati e indicare il tipo di soluzione voluta (a numeri interi, eventuale numero di cifre

dopo la virgola) per avere il risultato.

9 Sull’ottimizzazione di un percorso

Consideriamo il seguente problema.

Uno yacht è ancorato in un punto P,

a 200 metri da un muro frangiflutti RS

lungo 400 metri;

il capitano dello yacht vuole raggiungere,

con un motoscafo, prima il muro RS

per imbarcare un passeggero,

e poi un altro yacht ancorato in Q,

a 300 metri dal muro RS.

Supponendo che per PX e XQ

la velocità sia la stessa

in quale punto X di RS

conviene che si trovi il passeggero?

Tra i modi per risolvere il problema

è particolarmente interessante quello

basato sulla costruzione del punto Q’

simmetrico di Q rispetto a S,

dato che il percorso più breve PXQ

è quello corrispondente a PQ’.

[Analogamente, si potrebbe prendere

P’ simmetrico di P rispetto a R.]

Volendo tradurre in numeri,

basta scrivere

(per la similitudine dei triangoli)

PR:RX=QS:SX

e, detta x la misura di RX, si ha

2:x=3:(4−x)

e quindi

x=8/5.

Ovviamente, il problema può essere generalizzato sulle lunghezze sostituendo PR con a, QS con b,

RS con c e ottenendo

a:x=b(c−x)

e quindi

x=ac/(b+c).

A chi ha risolto (o vuole risolvere) il problema con metodi dell’Analisi matematica suggerisco di

riflettere sulla soluzione scartata e sull’intersezione del prolungamento di RS con il prolungamento

di QP.

11

10 Sul gioco chiamato filetto o tris o … Il gioco chiamato filetto o tris (o in altri modi), che in Polymath è stato trattato da Federico Peiretti

in http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/probegio/GAMEMATH/Filetto/Filetto.htm, può

essere considerato in relazione alla

ottimizzazione per quanto riguarda la ricerca

della strategia ottimale con

la gerarchizzazione delle caselle là proposta.

Alcune considerazioni interessanti sono

reperibili anche in Wikipedia (2009-05-06,

ore 16 circa).

3 2 3

2 4 2

3 2 3

Si tenga presente che, tra due giocatori che applicano la strategia di gerarchizzazione delle caselle e

scelgono razionalmente tra caselle di egual livello, tutte le partite finiscono in parità, a meno di

errori.

11 Su un’altra ricerca di strategia Interessanti considerazioni sulla strategia si possono fare, anche, a proposito del seguente gioco.

Un giocatore nasconde una moneta sul retro

di una scacchiera in corrispondenza di una

casella: l'altro giocatore deve individuare la

casella ponendo domande alle quali può

essere risposto solo sì o no; esiste una

strategia ottimale per formulare le domande?

Le domande possono essere fatte, chiaramente, secondo due criteri sostanzialmente diversi: la

ricerca di una strada sicura che conduca alla determinazione voluta con un certo numero di

domande senza la possibilità di ottenerla con un numero minore e la ricerca di una strada

avventurosa, nella quale si cerchi di ottenere la determinazione voluta con il più basso numero di

domande possibile, anche senza certezza di successo.

Una strategia sicura è, per esempio, quella di individuare la riga e la colonna con domande che

portino a dimezzare ogni volta le possibilità: in ogni strategia di questo tipo occorre fare sei

domande 23

.

Una strategia avventurosa è, ad esempio, quella di chiedere se la moneta si trova in corrispondenza

di una certa casella: con questa strategia la moneta può essere individuata con una sola domanda,

ma è anche possibile che accorrano 63 domande (ciò che accade per le due caselle che rimangono

dopo 62 domande con risposta negativa); supposto che tutte le caselle abbiano eguale probabilità, si

può dire che il numero medio di domande da formulare con questa strategia è

l + 2 + 3 + … + 62 + 63 + 63 63 63

= + = 32,484375.

64 64 2

23

64=26; è possibile un collegamento con la numerazione binaria nella individuazione delle 64 caselle, sul quale non

pare necessario soffermarsi.

12

12 La moneta più pesante tra 27

Utilizzando una bilancia a due piatti, si vuole individuare tra 27 monete quella più pesante delle

altre (tutte di egual peso).

Anche qui, come in § 11, possono essere seguite due strade diverse: la ricerca di una strategia sicura

e la ricerca di una strategia avventurosa.

La strategia sicura migliore è in tre pesate.

La prima pesata è quella di confrontare sui due piatti della bilancia (α, β) due sottoinsiemi di nove

monete ciascuno per individuare in quale sottoinsieme di nove è la moneta più pesante.

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

α β

Su questo sottoinsieme di nove si procede in modo analogo, considerando tre sottoinsiemi di tre

monete ciascuno, individuando quello dei tre che comprende la moneta più pesante.

O O O O O O O O O

α β

Su questo sottoinsieme di tre si procede in modo analogo, individuando la moneta più pesante.

O O O

α β

La strategia avventurosa vincente, che può portare all’individuazione della moneta più pesante con

una sola pesata, è quella di mettere una moneta su ciascun piatto della bilancia: se è una delle due, il

problema è risolto.

O O OOOOOOOOO

α β OOOOOOOOO

OOOOOOO

Ma, ovviamente, possono essere necessari altri 12 confronti per concludere che la moneta più

pesante è nell’ultima coppia o è quella non utilizzata.

O=O O=O O=O O=O O=O O=O

O

O=O O=O O=O O=O O=O O=O

Si noti che la probabilità di trovare la moneta più pesante tra le prime due è 2/27 (ovviamente,

quella dell’evento contrario è 25/27) e che la probabilità che la più pesante sia quella che rimane per

ultima è 1/27.

13

13 La moneta diversa tra 9 Utilizzando una bilancia a due piatti, si vuole individuare tra 9 monete quella avente peso diverso

dalle altre (tutte di egual peso) e stabilire se è più pesante o più leggera.

Anche qui, come in § 11 e in § 12. possono essere seguite due strade diverse: la ricerca di una

strategia sicura e la ricerca di una strategia avventurosa.

Etichettiamo le nove monete, per esempio con le lettere A, B, C, D, E, F, G, H, I.

La strategia sicura migliore è in tre pesate.

La prima pesata è quella di confrontare con la bilancia due sottoinsiemi di tre monete ciascuno, per

esempio A, B, C e D, E, F, per poi procedere distinguendo i due casi indicati con #1 e #2.

A B C D E F G H I

α β

#1 α e β sono in equilibrio e la moneta diversa è G o H o I;

come seconda pesata si confrontano due tra queste monete, per esempio G e H, e si distingue tra

-- G=H: la diversa è I e basta confrontarla con una delle altre otto;

-- G>H (o G<H): la diversa è una di queste due e basta confrontarne una con un’altra;

#2 α e β non sono in equilibrio e la moneta diversa è una delle sei utilizzate;

come seconda pesata si confrontino

C E B F

α β

-- α e β sono in equilibrio: la diversa è A o D e conoscendo da #2 la relazione tra A e D

basta confrontare una delle due con un'altra;

-- α e β non sono in equilibrio e il peso maggiore è sul piatto in cui era in #2:

la diversa è C o F e si procede in modo analogo all’ultimi precedente;

-- α e β non sono in equilibrio e il peso maggiore è sul piatto in cui non era in #2:

la diversa è B o E e si procede in modo analogo all’ultimo precedente.

Si vede che i 18 casi possibili (ognuna delle nove monete, con peso maggiore o minore) sono tutti

considerati e univocamente determinati.

Per avere una strategia avventurosa vincente con due pesate occorre che la moneta diversa sia tra le

tre che si scelgono, per esempio tra A, B, C: il confronto tra A e B e tra A e C (o B e C) permette di

individuare la diversa e il tipo di diversità.

Ma, ovviamente, possono essere necessari 4 confronti per concludere che la moneta di peso diverso

è nell’ultima coppia (per individuare poi in questa coppia la moneta diversa e il tipo di diversità) o è

proprio l’ultima (per stabilire poi se questa è più leggera o più pesante, confrontandola con

un’altra).

O=O O=O O=O O=O O

Si noti che la probabilità che la moneta diversa sia tra A, B, C è 1/3 (ovviamente, quella dell’evento

contrario è 2/3) e che la probabilità che la diversa sia quella che rimane per ultima è 1/9.

14

14 Conclusioni A conclusione di questo invito, rivolto a sollecitare riflessioni su migliorabilità, ottimalità,

ottimizzazione, strategie, soprattutto con esempi ritenuti stimolanti e significativi, pare di poter

chiedere al lettore di prendere in considerazione l’opportunità di una raccolta personale, da

sviluppare nel tempo, di:

• esempi di miglioramenti, ottimizzazione e strategie;

• appunti su strumenti, criteri, accorgimenti per ottimizzazione e strategie, con ampliamenti ad

altri spunti e riflessioni;

• sviluppi, rispetto a questo invito, di possibilità di scelta di criteri di ottimizzazione e di

strategie, anche in relazione alla teoria delle decisioni.

Ovviamente, ritengo auspicabile un sito di riferimento per un archivio comune e discussioni, oltre

che per una rielaborazione sistematica, ben al di là degli spunti delle pagine personali segnalate in

nota 1 (anche con aggiornamenti futuri), delle quali richiamo per comodità del lettore:

http://newrobin.mat.unimi.it/users/lucchini/rp-matw.htm

http://newrobin.mat.unimi.it/users/lucchini/rp-mtzz.htm

http://newrobin.mat.unimi.it/users/lucchini/rp-otmz.htm

http://newrobin.mat.unimi.it/users/lucchini/rp-prbm0.htm

http://newrobin.mat.unimi.it/users/lucchini/l-fs0.htm: l-fs5.doc in § 2

http://newrobin.mat.unimi.it/users/lucchini/l-gllec0.htm

In particolare invito a prepararsi un glossario, per esempio con:

- comunicazione;

- conoscenza;

- criteri, v. ottimizzare;

- decisioni, teoria delle;

- de/matematizzare, v. Polymath del settembre 2009 (link in nota 7);

- giochi;

- matematizzare, v. Polymath del settembre 2009 (link in nota 7);

- migliorabilità;

- miglioramento;

- ottimizzazione, libera, vincolata, assoluta, relativa, criteri, scelte, strumenti;

- problemi;

- programmazione lineare;

- programmi di insegnamento, indicazioni dei;

- risoluzione,

- scelte, v. ottimizzazione;

- soluzione, cercare soluzione;

- strategia, avventurosa, sicura;

- strumenti, v. ottimizzazione.

Ovviamente, un glossario potrebbe essere curato anche in relazione a

• altri termini matematici,

• aspetti segnalati in § 8 dell’Allegato (otm-a.doc).

NB – Sarò grato di osservazioni, segnalazioni e suggerimenti all’indirizzo indicato in nota

1.