U.Gasparini, Fisica I1 v(t 1 ) v(t 2 ) v(t 3 ) F ds lavoro infinitesimo : m A B lavoro da A a B :...
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U.Gasparini, Fisica I 1
v(t 1)
v(t2 )v(t3)
Fds
lavoro infinitesimo : dW F ds Fds
cos
m
A
B
lavoro da A a B : W dW F dsAB
A
B
A
B
unità di misura del lavoro (S.I.): [W]= N m Joule
Esempio:lavoro della forza d’attrito dinamico:
A B
v
s
Fattr =-Dmgux
B
A
attrattrAB sdFW
D x AB D ABmgu s mg s
x
ux
“Lavoro” compiuto da una forza :
U.Gasparini, Fisica I 2
A
B
zzA
zB
ds
mg
ds
mg
mg ds mgds mgdz cos
dz
dscos
W mg ds mg dz mg z zAB
A
B
A
B
A B
( )
lavoro indipendente dal cammino percorso:
(I)(III)
(II)
W(I)AB = W(II)
AB = W(III)AB
la forza peso é un esempio di “forza conservativa”
Lavoro della forza peso:
U.Gasparini, Fisica I 3
lavoro compiuto per unità di tempo ad un dato istante:
P tdW t
dt( )
( )
Unità di misura (S.I.) :[P] = [W] / [t] = J / s W (“Watt”)
Se F è una forza applicata ad un punto materiale in moto con velocità v,la potenza sviluppata dalla forza F è:
P tF t ds
dtF t v t( )
( )( ) ( )
Potenza media:
lavoro compiuto in un dato tempo diviso il tempo impiegato.Altre unità di misura di uso pratico:
PW
t
Lavoro: KWh KW s J 1 3600 36 106. “chilowattora”
Potenza: h p W. . .745 7 “cavallo vapore”
Potenza istantanea:
U.Gasparini, Fisica I 4
E’ definito quando in ogni punto di una data regione dello spazio è definito un vettore,ossia siano date tre funzioni dei punti dello spazio, in generale indipendenti, che rappresentino le componenti (ad es. cartesiane) di un vettore.Esempio: campo vettoriale delle velocità delle particelle di un fluido in moto.
“Campo di forza”:campo vettoriale che rappresenta, in ogni punto dello spazio in cui è definito, la forza cui un punto materiale è soggetto quando si trova in quel punto introduzione del concetto di “azione a distanza”
In situazioni “statiche” ( sorgenti della forza indipendenti dal tempo) è un utile strumento matematico; in situazioni dinamiche (sorgenti della forza in moto), è indispensabile per la decrizione descrive.
Campo vettoriale
U.Gasparini, Fisica I 5
Campo di forza per il quale il lavoro lungo qualsiasi percorso chiuso sia nullo :
F r ds( ) 0
per qualsiasi curva chiusa
r
F( r )
ds
o, equivalentemente:
F ds F ds
A
B
A
B
1 2
per qualsiasi coppia di punti A,Be per qualsiasi percorsoche li congiunge
A B
Campo di forza conservativo
U.Gasparini, Fisica I 6
“Energia cinetica” di un punto materiale di massa m e velocità v :
E mvk 1
22
Per un punto materiale in moto da un punto A ad punto B sotto l’azione di una forza risultante F vale il teorema dell’energia cinetica :
( dimensioni: E kgm s mkgms mN Jk 2 2 2)
E E E W F dsk kB
kA
A B
A
B
A
BvA
vB
F
m
E mvkA
A1
22
E mvkB
B1
22
Energia cinetica
U.Gasparini, Fisica I 7
W F ds ma ds ma dsA B
A
B
A
B
T
A
B
aaN
aT
ds
dv t
dt
( )
dv t
dt
dv t
dtu
vuT N
( ) ( ) 2
mdv t
dtds m
dv s t
dtds m
dv s
ds
ds t
dtds
( ) ( ( )) ( ) ( )
mvdv s
dsds mvdv mv mv E E
A
B
B A kB
kA( ) 1
2
1
22 2
s(t)
A
B
Teorema dell’ energia cinetica
U.Gasparini, Fisica I 8
dalla legge di Newton: a
x
0
lcondizioni iniziali:x v0 00 0 ,
ad x t
dtg
2
2
( )sin
Integrando l’equazione del moto:
v t g t
x t g t x t tgf f
( ) sin
( ) sin , ( )sin
1
2
22
Utilizzando il teorema dell’energia cinetica, si giunge allo stesso risultato:
E E E mv W mgk kf
ki
f i f 1
22 sin
= 0
lavoro della forza peso
v v t g t gf f f ( ) sin sin 2
v gf 2 sin
la reazione vincolare non compie lavoro
mg
Esempio: moto lungo un piano inclinato privo d’attrito
U.Gasparini, Fisica I 9
Per un campo di forza conservativo, si definisce “energia potenziale” quella funzione dei punti dello spazio tale che la sua differenza tra due qualsiasi punti A, B sia uguale a meno il lavoro compiuto dalla forza del campo per andare da A a B (lungo un qualsiasi percorso):
E r E r E r W F r dspAB
p B p A A B
A
B
( ) ( ) ( ) ( )
ossia: E r E r W E r F r dsp B p A A B p A
A
B
( ) ( ) ( ) ( )
l’energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria ( al valore ad essa convenzionalmente assegnato in un punto arbitrario)
F( r )
rA
E E x y zpA
p A A A ( , , )
E E x y z E x y zpB
p B B B p A A A ( , , ) ( , , )
[ ( , , ) ( , , )F x y z dx F x y z dyx
A
B
y
F x y z dzz ( , , ) ]
F x y z u F x y z u
F x y z u
x x y y
z z
( , , ) ( , , )
( , , )
oux
uy
uz
Energia potenziale
rB
AB
U.Gasparini, Fisica I 10
E r v E E rM k p( , ) ( )
Principio di conservazione dell’energia meccanica :nel moto di un corpo in un campo di forze conservativo, l’energia meccanica è costante :
E E E EkA
pA
kB
pB
per due punti qualsiasi
A,B della traiettoria :
E E W E E EkB
kA
A B p pA
pB
Infatti:
teorema dell’ energia cinetica
definizione dienergia potenziale
Energia meccanica
E’ la somma dell’ energia cinetica e dell’ energia potenziale :
U.Gasparini, Fisica I 11
zA
Bmg
U U U mg ds mgdz mg z zB A
A
B
B A
A
B
( )
U U mg z zB A B A ( )
OIl punto A può essere scelto nell’origine: A O
zA 0 U U mgzB O B
Posto :UO 0. U U z mgzB B B( )
ossia, per il generico punto P di coordinata z :
U z mgz( )
zA
zB
U U mg z zA O A O ( )[ ovvero, considerando il percorso OA:
U U mg z z mg z z U mg z zB O A O B A O B O( ) ( ) ( )]
Esempio: energia potenziale della forza peso:
U.Gasparini, Fisica I 12
z
x
v0
mg
v
h
E mv mgh E mvMi
Mf
1
2
1
202 2
v v gh202 2
[ dall’equazione del moto si giunge allo stesso risultato:
v t v
v t v gtx x
z z
( )
( )
0
0
z t h v t gtz( ) 021
2
z t t v v hg gf f f f( ) /
0 20 0
2
v v gt v v v hg v hgz f z f z z z z
0 0 0 0
2022 2
v v v v v gh v ghf xf zf x z2 2 2
02
02
022 2 ]
Esempio: conservazione dell’energia meccanica nel moto di un corpo sotto l’azione della forza peso.
U.Gasparini, Fisica I 13
F x kxux( )
“costante elastica”: [k] = N / m
(il comportamento “elastico” dei materiali, cioè per deformazioni riproducibili che non inducono modificazioni irreversibili della struttura, è descritto da una legge di questo tipo, detta “legge di Hooke”)
Lavoro:
W F x ds kxdx kx k x xx
x
12
1
2
1
2
212
221
2
1
21
2
( ) ( )
Energia potenziale:E E x E x W k x xp p p ( ) ( ) ( )2 1 12 2
2121
2
E x E x k x xp p( ) ( ) ( ) 12
121
2
Scelto x 10. e posto E xp ( .) . 0 0 E x kxp ( ) 1
22
0.x
ux
F x kxux( )
Lavoro ed energia potenziale di una “forza elastica”
Forza elastica:
U.Gasparini, Fisica I
In presenza di forze sia conservative che non conservative ( o “dissipative”) , vale l’equazione del “bilancio energetico”:
E r v E E r WM k p NC( , ) ( ( ))
energia potenzialeassociata alle forzeconservative presenti
lavoro compiutodalle forze non conservativeInfatti:
E E W W W E E Wkf
ki tot
Cons NC pf
pi
NC . ( )
E E E E Wkf
pf
ki
pi
NC ( )Esempio: moto lungo un piano scabro
Fattr
mg
z
0
E mv mgzMi
i i 1
22
E mvMf
f1
22
zi W F
mgNC att
D
cosl
1
2
1
22 2mv mv mgzf i i
1
2
1
22 2mv mv mgz mgf i i D cos
Bilancio energetico
U.Gasparini, Fisica I 15
La relazione che definisce l’energia potenziale di un campo di forza conservativo:
E r F r dspAB
A
B
( ) ( )
può essere invertita, introducendo il concetto di “gradiente” di una funzione scalare:
data una funzione scalare V ( r ) = V(x,y,z) , si definisce il “gradiente di V”il vettore , indicato con V, tale che per qualsiasi spostamentoinfinitesimo dr risulti:
V dr dV V r dr V r( ) ( )
V
dV
drcos
V dr dVcos
Vdr
P
P’V r( )
V r dr( )
Gradiente di una funzione scalare
Il prodotto scalare del vettoregradiente di V nel punto r con il vettore dr èuguale alla variazione infinitesima della funzione V( r ) tra il punto r e il punto r+dr
U.Gasparini, Fisica I 16
dV
dr
V r r V r
rV V
r
lim
( ) ( )cos
0
La “derivata direzionale”(limite della variazione per unità di spostamento della funzione V( r ) lungo la direzione r ):
é massima (cos = 1 ) quando dr é diretto lungo la direzione del gradiente di V
il gradiente di V é un vettore diretto lungo la direzione di massima variazione (per unità di spostamento) della funzione V( r );il suo modulo é uguale al valore della derivatadirezionale di V( r ) lungo tale direzione; il verso è quello in direzione dei valori crescenti di V
Superficia egual valori di V
V( r ) = V1
V( r ) = V2
dr1
dr2
dV V VdV
drdr
dV
drdr 2 1
11
22
dV
dr
dV
dr1 2
V
Gradiente di una funzione scalare (II)
U.Gasparini, Fisica I 17
In uno spazio bidimensionale (per es.: V(x,y)= h altezza del suolo s.l.m.)
V(x,y)
x
y100
300
y
x
V
V
V
400
200
Esempio: gradiente di una funzione scalare V(x,y)
curve di egual livelloV=100
V=300V=200V=400
Il gradiente di V in ogni punto P è diretto perpendicolarmente alle curve di egual livello(ossia lungo la direione di massima pendenza del terreno)
P1
P3P2
U.Gasparini, Fisica I 18
V dr dV V r dr V r( ) ( )
dV V r dr V r
V x dx y dy z dz V x y z
V x y z
xdx
V x y z
ydy
V x y z
xdz
( ) ( )
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) ( , , )
lim
( , , ) ( , , ) x
V x dx y z V x y z
x0
Dalla definizione di gradiente:
Per una funzione V( r ) = V(x,y,z) :
“derivate parziali”
V dr V dx V dy V dz dV
x y z
VV x y z
x
VV x y z
y
VV x y z
z
x
y
z
( , , )
( , , )
( , , )
Rappresentazione del gradiente in coordinate cartesiane
rappresentazione delvettore gradiente in coordinatecartesiane ortogonali
U.Gasparini, Fisica I 19
Per una funzione V( r ) = V(r,) :
dVV r
rdr
V rd
V rd
( , , ) ( , , ) ( , , )
lo spostamento dr ha componenti polari:
dr dru rd u r d ur sin
P=( r, P’=( r+dr, +d, +d
ur
u
u
dr
r
xy
z
r sin
V dr V dr V rd V r d dV
r sin
V
V
rr
, V
r
V
1
sin V
r
V
1,
dalla definzione di gradiente:
Rappresentazione del gradiente in coordinate polari
dd
U.Gasparini, Fisica I 20
dE r F r dsp ( ) ( ) Dalla definizione di
energia potenziale:
E
xdx
E
ydy
E
zdz F dx F dy F dz
p p px y z ( )
F x y zE x y z
xxp
( , , )( , , )
F x y zE x y z
yyp
( , , )( , , )
F x y zE x y z
zzp
( , , )( , , )
F r E rp( ) ( )
Esempio: dall’energia potenziale della forza peso : E x y z mgz cp ( , , )
F x y zE
xxp
( , , )
0
F x y zE
yyp
( , , )
0
F x y zE
zmgz
p( , , )
F mg ( , , )0 0
Forza : gradiente dell’energia potenziale
U.Gasparini, Fisica I 21
luogo dei punti dello spazio aventi lo stessovalore dell’ energia potenzialeE x y zp ( , , )
costante
xy
z
E Fp
ds per uno spostamento ds lungo la superficie,per definizione:
dE p 0
dE E dsp p
0 E dsp
Il vettore: E Fp
è in ogni punto dello spazio perpendicolare alla superficie equipotenzialepassante per quel punto.
Esempio: superfici equipotenziali della forza peso
mg
EP = - mg E z mgzp ( ) = costante
x
z
y
Superficie equipotenziale