U.D. 2 – L’insieme R dei numeri realiContenuti previsti nell’unità:

• Richiami alle proprietà strutturali degli insiemi nu-merici N, Z e Q e generalizzazione del concetto di operazione

• Z come ampliamento di N e Q come ampliamento di Z

• L’irrazionalità di 2 e l’insieme R dei numeri reali come ampliamento di Q

• Approssimazioni per arrotondamento e per tronca-mento: cenni al calcolo con numeri approssimanti

• Proprietà delle operazioni in R

• “Potenza del continuo” dell’insieme R

Obiettivi minimi richiesti1. conoscere le principali definizioni e gli enunciati dei teo-

remi utili a descrivere i contenuti teorici nelle loro linee essenziali; in part.: conoscere la def. di numero reale, ra-zionale e irrazionale, le proprietà che caratterizzano l'in-sieme R, le dimostrazioni più semplici

2. calcolare per approssimazioni successive, con l'uso della calcolatrice tascabile (CT), le cifre decimali esatte richie-ste di una radice di indice 2

3. fornire l'approssimazione di un numero reale per arroton-damento e per troncamento con la precisione richiesta

4. individuare le cifre esatte del risultato di addizioni e mol-tiplicazioni tra numeri reali positivi, di cui si conosca un numero fisso di cifre decimali esatte

Per una riflessione sulle operazioni in N

6 4

+

10

6 4

x

24

6 4

–

2

4 6

–

–2

4 6

0,66666…

Esempi addizione

Esempi moltiplicazione

Operazione interna o legge di composizione interna

Dato un insieme A, si dice operazione interna (o legge di composizione interna) nell’insieme A una regola che permetta di associare ad OGNI coppia di elementi di tale insieme UNO e UN SOLO elemento dell’insieme stesso.

Se una certa operazione è interna in un dato insieme A, dire-mo che A è chiuso rispetto a tale operazione

Esempio 1 – Nell’insieme Z la sottrazione è un’operazione inter-na: infatti ad ogni coppia di numeri interi è possibile associare un unico numero intero che ne è la differenza

p.e. (12;5) 7 (92;113) –21

La divisione non è un’operazione interna in Z: (2;4) 0,5Z

Un esempio per approfondire…

Esempio 2 – Sia dato un piano e l’insieme I delle rette che gli appar-tengono; data una coppia a e b di rette del piano, ad essa si associa: - la retta del piano bisettrice dell’angolo convesso formato da a e b, se a e b sono incidenti (che esiste ed è unica per il postulato sulle bisettrici di un angolo);- la retta stessa, se a e b sono coincidenti;- la retta del piano equidistante da a e b, se a e b sono parallele (essa è parallela ad a e b ed è unica anche in conseguenza del 5° postulato di Euclide).

Quella appena descritta è un’operazione interna in I

poiché è stata definita una regola che permette di associare ad ogni cop-pia di rette a tale insieme una ed una sola retta dello stesso insieme.

non è necessario che l’insieme considerato sia numerico per poter parlare di operazioni (leggi di composizione) interne!!

Riflettiamo insieme…

Chiuso rispetto al-l’operazione di: N Z Q Q-{0}

Addizione

Sottrazione

Moltiplicazione

Divisione

SI NO SI NO SI NO SI NO

SI NO SI NO SI NO SI NO

SI NO SI NO SI NO SI NO

SI NO SI NO SI NO SI NO

Aggiorna

Riflettiamo insieme…Chiuso rispetto al-l’operazione di: N Z Q Q-{0}

Addizione SI SI SI NO

Sottrazione NO SI SI NO

Moltiplicazione SI SI SI SI

Divisione NO NO NO SI

Fatta salva la divisione per 0, l’insieme Q risulta chiuso rispetto alle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, che per questo si chiamano operazioni razionali.

L’insieme dei numeri interi pari è chiuso rispetto al-l’addizione?

E rispetto alla moltiplicazione?

L’insieme dei numeri interi dispari è chiuso rispetto all’addizione?

E rispetto alla moltiplicazione?

Altri quesiti……

risposte

risposte

Q

Z

Dall’insieme dei ni naturali a quello dei ni interi…

Z può essere considerato un ampliamento di N: in Z, infat-ti, diventa possibile la sottra-zione anche quando il minuen-do è minore del sottraendo.

Q può essere considerato un ampliamento di Z: in Q, infatti, diventa possibile la divisione anche quando il dividendo non è un multiplo del divisore.

…e dall’insieme dei ni interi a quello dei ni razionali

N

Quindi: N Z Q

Un’altra particolarità di QAbbiamo già osservato che Q è chiuso rispetto alle quattro operazioni razionali.

Rispetto agli insiemi N e Z ha anche un’altra caratteristica:

Q è un insieme denso: dati due elementi distinti qualsiasi di Q, esiste sempre un terzo numero in Q compreso tra i primi due.

Al contrario, N è un insieme discreto: se consideriamo due elementi distinti di N, non sempre è possibile trovare un terzo elemento di N diverso dai primi due e che sia com-preso tra di essi.

Per lo stesso motivo, anche Z è un insieme discreto.

Conosci altri insiemi non numerici che siano densi?

Compiti per gio. 13 ottobreA) Studiare gli appunti

B) Esercizi:

B.1) Per ciascuno dei seguenti numeri, stabilire se esso appartiene ad N, Z, Q e rappresentarlo su una retta (atten-zione: ciascun numero può appartenere anche a più di un insieme!) :

8; -4/3; -2; 9/4; 5; 0,5; -7; 15/5; 3,(3)

B.2) L’insieme dei numeri interi multipli di 3 è chiuso ri-spetto alla addizione? E alla moltiplicazione? (da dimostra-re come nell’esempio per i numeri pari/dispari)

e-mail: elisabetta.boselli@rcm.inet.it

(insiemi N, Z e Q)N0 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 124897,…..

Insieme dei ni naturali privati dello 0

N 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 124897,….. Insieme dei ni naturali

Z 0, -1, +1, -2, +2, -3, +3, -4, +4, -5, +5, .…..Insieme dei ni interi (relativi)

Q {x | x è rappresentabile sotto forma di frazione , con m, n Z, n 0

Insieme dei ni razionali

Z+ interi positivi Z0+ interi non negativi

eccRICORDIAMO: Tutti i numeri appartenenti a questi insiemi si possono rappresentare su una retta sulla quale sia stato fissato: un orientamento, un’origine, un’unità di misura

n

m

(risposte quesiti 1 dia 7)La somma di due numeri pari è sempre un numero pari; infatti, se indichiamo con 2k e 2h due numeri pari qualsiasi (N.B. un numero pari è sempre il doppio di un qualche numero intero k o h), si ottiene:

2k + 2h = 2(k + h)che è a sua volta un numero pari, essendo il doppio del numero intero k + h

Si conclude, quindi, che l’insieme dei numeri pari è chiuso rispetto all’operazione di addizione.

Analogamente si può dimostrare per la moltiplicazione tra numeri pari:

2k · 2h = 2(2 · k · h)(prova tu a spiegare a parole…)

(risposte quesiti 2 dia 7)La somma di due numeri dispari è sempre un numero pari; infatti, se indichiamo con 2k + 1 e 2h + 1 due numeri dispari qualsiasi (N.B. un numero dispari è sempre il doppio di un qualche numero intero k o h addizionato ad 1), si ottiene:

(2k+1) + (2h+1) = 2k + 2h + 2 = 2(k + h + 1)che è ancora un numero pari, essendo il doppio del numero intero k + h + 1

Si conclude, quindi, che l’insieme dei numeri dispari non è chiuso rispetto all’operazione di addizione.

Per la moltiplicazione tra numeri dispari si dimostra invece:

(2k+1) · (2h+1) = 4kh + 2k + 2h + 1 = 2(2kh + k + h)+1 che è ancora un numero dispari (prova tu a spiegare a paro-le…)