Corso di Progetto di Strutture ­ Prof. Marco di Prisco Corso di Laurea in Ingegneria Edile/Architettura 

IV Esercitazione progettuale ‐ ing. Anna Magri, ing. Giulio Zani  Trave  in  calcestruzzo  armato  precompresso  a  cavi  aderenti postesi 

  Si considera il seguente schema statico appoggio‐appoggio con luce paro a 10m. 

  Analisi dei carichi  Carico permanente portato   g1=40 kN/m Carico variabile     q =50 kN/m  Peso proprio della trave da definire dopo aver stabilito la geometria e le caratteristiche geometriche.  Scelta della tipologia sezionale  

  

Le travi a T hanno un baricentro spostato verso l’alto rispetto a quelle di forma a I, quindi la distanza tra  i  cavi  di  precompressione  e  il  baricentro  è maggiore.  Questo  è  vantaggioso  perché  permette  di avere  un momento  utile  più  elevato.  Questa  tipologia  sezionale  è  adatta  in  presenza  di  forti  carichi permanenti. La  trave  a  I  si  utilizza  prevalentemente  quando  i  carichi  variabili  sono  dominanti  rispetto  ai permanenti come nel caso delle travi da ponte.  Caratteristiche dei materiali  Calcestruzzo C50/60fck 45.0 MPaγc 1.5 -fctm 3.8 MPafctk 2.7 MPaEC 35000.0 MPafcd 25.5 MPa   Si considera γ = 1.5 perché non è possibile effettuare controlli di qualità in cantiere. 

 Armatura ordinariafyk 500.0 MPafyd 435.0 MPaEs 205000.0 MPafsd 455.0fctm 3.53 MPa   Trefoli da precompressioneA 139.0 mm2

Ep 195000.0 MPafptk 1860.0 MPafp0,1k 1580.0 MPafptd 1455.7 MPa   Progettazione della sezione  Variabili di progetto: h, b, Ap, tiro dei cavi, tracciato dei cavi.  h~ L/10 ~ 10m /10 ~ 1 m  Per ricavare la larghezza b della trave si considera come limiti inferiori i vincoli geometrici dati dalla disposizione dell’armatura. L’altezza della trave viene  dettata dalle verifiche di deformabilità perché il calcolo della freccia dipende in modo quadratico dall’altezza invece le verifiche di resistenza, condotte allo SLU, dipendono solo in modo lineare dall’altezza. La freccia massima si ha nella sezione di mezzeria e vale:  

20012

1035

10903845

3845

36

44 LbhEI

pLv ≤⋅⋅

⋅⋅=⋅=  

 Si sceglie la sezione più opportuna seguendo le indicazioni da catalogo fornite dai produttori di prefabbricati. 

 

Caratteristiche geometriche della sezione in calcestruzzo  A = 276400 mm2 

( )

kNmmmkNppropriopeso

mmyIW

mmdAII

G

iiii

9,6276400,025__

107,76

102,42

23

36

49

=⋅=

⋅==

⋅=⋅+= ∑

 

 Dimensionamento dell’armatura di precompressione e posizionamento  Si stabilisce in fase di tiro una tensione di  .13001343158085,085,0 1,00 MPaMPaf kpp ≅=⋅=⋅=σ   Condizioni in fase iniziale Inizialmente si ipotizza un cavo di precompressione .  Dati:  Atrave= 276400 mm2 

 

 

mmcye

mmyIW

kNmLqgpM

kNmmmkNLpM

cavog

G

4752

107,76

25,12118

109,968

)(

25,868

10/9,68

max

36

22

max

222

0

=−−=

⋅==

=⋅

=⋅++

=

=⋅

=⋅

=

φ

 

 c: copriferro pari al diametro del cavo di precompressione 5 cm  

  

Area minima di un cavo con sette trefoli = 139*7=973 mm2 

Incognite: Ap e la posizione e dei cavi. Inizialmente si considera come valore di eccentricità quella massima sopra calcolata. 

 Condizione in fase iniziale 

 

MPafWM

WA

AA

WM

WeN

AN

ckjpppp 186,0

47513001300 00max00inf =≤−

⋅⋅+

⋅=−

⋅+=σ  

MPafWM

WeN

AN

ctmjpp 8,33,10max00

sup −=−≥+⋅

−=σ  

dove  ckjf6,0  è la pressione ammissibile del conglomerato prima che si verifichi fenomeni di splitting; 

ctmjf3,1−  è il valore di resistenza a trazione per flessione. 

 

MPaAA pp 18

107,761025,86

107,764751300

2764001300

6

6

6inf ≤⋅⋅

−⋅

⋅⋅+

⋅=σ  

 

MPaAA pp 8,3

107,761025,86

107,764751300

2764001300

6

6

6sup −≥⋅⋅

+⋅

⋅⋅−

⋅=σ  

 Si ricava quindi che   

2

6

6

6

1499

107,764751300

2764001300

107,761025,8618

mmAp =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

+≤  

 

2

6

6

6

1471

107,764751300

2764001300

107,761025,868,3

mmAp =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−−≤  

 La condizione più restrittiva è la seconda: 

 21471mmAp ≤  

 Condizioni in fase finale a tempo ∞  

MPafW

MW

AA

AW

MW

eNA

Nctk

pppp 64.33,1475900900 maxmaxmax

inf −=−≥−⋅⋅

+⋅

=−⋅

+=σ  

 A tempo infinito in fase di predimensionamento si considerano le perdite pari al 30%. Quindi il valore di σP0 vale 900 N/mm².  

MPaP 90013007,00 =⋅=σ  

2

6

6

6

1376

107.76475900

276400900

107.761025.121164.3

mmAp =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

+−≥  

 

²/276,0maxmaxsup mmNf

WM

WeN

AN

ckpp =⋅≤+⋅

−=σ  

 Ineguaglianza impossibile.  Dalle condizioni iniziali e finali si deduce il seguente intervallo entro al quale scegliere la quantità di armatura di precompressione.  

22 14711376 mmAmm p ≤≤   Si usano due cavi con 5 trefoli ciascuno.  

2139052139 mmnnAA tefolicavitrefolop =⋅⋅=⋅⋅=   Per il posizionamento dei cavi si rispettano i minimi geometrici. 

mme cavi 4252 =   

  

Si calcolano nuovamente le aree d’armatura considerando la nuova eccentricità per vedere se due cavi con 5 trefoli rispettano le ineguaglianze a tempo iniziale e finale.  Condizioni a tempo iniziale   

2

6

6

6

1606

107,764251300

2764001300

107,761025,8618

mmAp =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

+≤  

2

6

6

6

1969

107,764251300

2764001300

107,761025,868,3

mmAp =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−−≤  

 La condizione più restrittiva è la prima: 

21606mmAp ≤   Condizioni a tempo finale ∞  

[1] 2

6

6

6

1474

107.76425900

276400900

107.761025.121164.3

mmAp =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

+−≥  

[2]   Si ricava quindi che l’intervallo è pari a  

22 16061474 mmAmm p ≤≤   Quindi se si considerano due cavi con 5 trefoli: 

2139052139 mmnnAA tefolicavitrefolop =⋅⋅=⋅⋅=  Questo valore non rispetta i limiti calcolati, quindi si considerano due cavi con 6 trefoli:  

2166862139 mmnnAA tefolicavitrefolop =⋅⋅=⋅⋅=   Tra  le  due possibili  alternative  si  sceglie  la  seconda  in  quanto  la  condizione non  rispettata  è  quella riferita  alla  condizione  a  tempo  iniziale  (quindi  nel  transitorio)  e  le  fessure  iniziali  andranno  a richiudersi.  Posizionamento dei cavi  Punto limite inferiore: 

mmmmMPa

NmmmmNMeu

p

38516681300

1025,86425 2

6

0

mininf =

⋅⋅

−=−=  

 Il punto limite superiore è trovato con il medesimo procedimento, applicando però tutti i carichi.  

mmmmMPa

NmmmmN

Meu

p

13416681300

1025,1211425 2

6

0

maxsup =

⋅⋅

+−=+−=  

 (misurati a partire dal baricentro verso l’alto).  Il cavo verrà posizionato tra i due limiti  

134²45,485,484)(

)(

²45,35,39385)()(

sup0

max

0

mininf

−−=−=

−+=+=

xxuN

xMxe

xxN

xMuxe

p

p  

 Si ha quindi la zona in cui il tracciato equivalente del cavo deve cadere.  Dato che non c’è momento nelle sezioni di estremità, l’azione di precompressione dovrebbe cadere nel baricentro della trave.  Si imposta per il due cavi un’equazione parabolica del tipo Ax²+Bx+C=y :  Condizioni per il cavo inferiore : y’(5m) = 0 y(5m) = 475 mm y(0) = 250 mm   Condizioni per il cavo superiore :  y’(5m) = 0 y(5m) = 375mm y(0) = ‐250 mm  y si misura dal baricentro verso il basso.  Si ha quindi:  Cavo inferiore : y = ‐9x²+90x+250 Cavo superiore : y = ‐25x²+250x‐250  Valutazione delle perdite  Bisogna valutare l’inclinazione del cavo agli estremi :  

1) l’azione assiale è opposta al taglio. 2) valutazione della caduta di tensione per attrito. 

 Complemento della perdita :   

0)(

ps NeN αϕµ +−=  

 Dove µ  è un  coefficiente d’attrito  pari a 0,2; αs = fattore correttivo per tener conto del fatto che anche con i tracciati rettilinei si perde parte della precompressione per attrito; α = 0,01 rad/m; s = ascissa curvilinea del cavo; ϕ = variazione d’angolo fra la sezione iniziale del cavo e la sezione dove si compie la verifica.  

Cavo superiore : s = 5 e ϕ = 0,25 →  %2,94=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

fNN

 

Cavo inferiore : s = 5 e ϕ = 0,09 →  %2,97=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

fNN

 

Si perde di più nel cavo superiore per la maggiore curvatura.  ∆Ns = 0,058*650 = 37,7 N/mm² ∆Ni = 0,028*650 = 18,2 N/mm²  Verifiche tensionali  

²/5,22²/0045,01037809

25,1211425,08,631425,03,612276400

1,1244

²/77,33,1²/0045,0107,76

25,1211425,08,631425,03,612276400

1,1244

3sup

sup

6inf

inf

mmNmmN

WMeNeN

ANNN

mmNfmmN

WMeNeN

ANNN

iisssp

ctk

iissisp

<=⋅

+⋅−⋅−=

+⋅−⋅−

∆−∆−=

−=−>=⋅

−⋅+⋅+=

−⋅+⋅+

∆−∆−=

σ

σ

σ

σ

 

 Verifica per flessione allo SLU  

mmx

fAfxb pdpcd

1,2385,255008,0

1456166808,0

=⋅⋅

⋅=

=⋅−⋅⋅⋅ 

kNmM

xdfAM

Rd

pdpRd

2136)1,2384,0975(14561668

)4,0(

=⋅−⋅=

−⋅= 

kNmM Ed 17298²10)505,19,4635,1( =⋅⋅+⋅=  

EdRd MM >  la verifica è soddisfatta  Verifica per taglio allo SLU (sezione d’appoggio) 

 

Cavo inferiore : y’(x) = ‐18x+90 tgα1 = ‐18   α1 = ‐86,8°  Cavo superiore : y’(x) = ‐50x+250 tgα2 = ‐50   α2 = ‐88,8°  

( ) ( ) ( )

( ) ( ) kN

NNqgV

kNAN

ppEd

ppp

3,5778,88cos6,7508,86cos6,7505)505,14035,1(

cos2

cos22

5,135,1

15011668900

20

10

00

=°−°−⋅⋅+⋅=

=⋅−⋅−⋅⋅+⋅=

=⋅=⋅=

αα

σ

l 

 N.B.  In  fase  di  calcolo  esecutivo  è  opportuno  considerare  anche  il  peso  proprio  dell’elemento strutturale e verificare diverse sezioni. A scopo esemplificativo si riporta un solo caso.  

²/4,2743320

577300

74355593369

2413157276124131572761855593368,6

4

3

mmNmmmm

Nzb

V

mmSIz

mmImmS

Ed =⋅

=⋅

=

===

=

=

τ

 

 Si considera  l’effetto della precompressione  linearmente variabile, con precompressione attiva per  il 25%. Questo significa che si considera come efficace il 25% della forza di precompressione.   

%25%5,22580

9080

90≈=

⋅==

cmcmcmx

b

b

φl 

 Dove xb  indica  la posizione della  sezione dove viene effettuata  la verifica  e lb  indica  la  lunghezza di ancoraggio del cavo pari a circa 80 volte il diametro del cavo. Nella fibra in cui si ha la τ massima c’è anche uno sforzo σ. La sollecitazione è a favore di sicurezza, si può quindi prendere un coefficiente di sicurezza pari a 0,9.  

MPaA

N

kNN

kNN

kNAN

pEd

pEd

p

Ppp

22,1276400

7,337

7,3373,3759,0

3,375150125,0%25

15019001668

0

00

===

=⋅=

=⋅=⋅

=⋅=⋅=

σ

σ

 

 Sforzo principale di trazione :   

( ) MPaI 86,14²4,2²22,122,121

=⋅++−=σ  

 Inclinazione dell’angolo di prima fessurazione :  

°=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=→=== 7,37

29,11arctan)29,1(cot29,1

86,14,2 garc

II σ

τλ  

 L’effetto della precompressione è di fare diminuire l’angolo di prima fessurazione.  Un  limite  superiore  per  l’inclinazione  di  rottura  è  dato,  relativamente  a  quello  della  prima fessurazione, in base alla duttilità dell’acciaio, dall’espressione: λr = λI +  ∆λ = λI + 1 = 2,29, dove ∆λ = 1 per acciai di normale duttilità.   Si procede infine al dimensionamento dell’armatura trasversale e al calcolo del taglio resistente VRd.