Cemento Armato Precompresso Progetto Trave CAP

CEMENTO ARMATO

PRECOMPRESSO

Progetto di una trave in C.A.P. da impiegare per la copertura di un edificio

industriale

Pretensione con cavi ad eccentricità costante

Acciaio Ordinario

B450C

Acciaio da Precompresso

Trefoli 12.5 mm

fptk= 1860 N/mm2

fp(1)k= 1670 N/mm2

Calcestruzzo

Rck 50

Dott. Ing. EDOARDO TRIPPETTA

www.tecnoingegneria.altervista.org

Gennaio 2011

www.tecnoingegneria.altervista.org

INTRODUZIONE 20 gennaio

2011

www.tecnoingegneria.altervista.org - [email protected] 1

INTRODUZIONE

Il presente elaborato ha come oggetto la progettazione di una trave in C.A.P. da impiegare per la copertura

di un capannone industriale. La tecnologia adottata è quella della pretensione con cavi ad eccentricità

costante. Come si evince dalla planimetria di seguito riportata, la trave in esame deve coprire una luce di

17m ed un’area di influenza di 17m x 7m.

51.3

0 m

28.30 m

7.00 m

17.0

0 m


2011


1 AZIONI DI CALCOLO

Le verifiche devono essere effettuate nei riguardi degli stati limite di esercizio e degli stati limite ultimi.

Come stabilito dal D.M. 14 Gennaio 2008, le azioni sulle costruzioni devono essere cumulate in modo da

determinare condizioni di carico tali da risultare più sfavorevoli ai fini delle singole verifiche tenendo conto

della probabilità ridotta di intervento simultaneo di tutte le azioni con i rispettivi valori più sfavorevoli.

Per gli STATI LIMITE ULTIMI la normativa prevede la seguente combinazione di carico:

ni

i

ikikqkpkgd QQPGF2

01

dove:

Gk: il valore caratteristico delle azioni permanenti;

Pk: il valore caratteristico della forza di precompressione;

Qlk: il valore caratteristico dell’azione di base di ogni combinazione;

Qik: i valori caratteristici delle azioni variabili tra loro indipendenti;

g: 1.4 (1.0 se il suo contributo aumenta la sicurezza);

p: 0.9 (1.2 se il suo contributo diminuisce la sicurezza);

q: 1.5 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza);

oi: coefficiente di combinazione allo stato limite ultimo da determinarsi sulla base di considerazioni

statistiche.

Per gli STATI LIMITE DI ESERCIZIO si devono prendere in esame le combinazioni rare, frequenti e quasi

permanenti con g = p = q = 1, e applicando ai valori caratteristici delle azioni variabili adeguati coefficienti

0, 1, 2.

In forma convenzionale le combinazioni possono essere espresse nel modo seguente:

a) Combinazioni rare:

ni

i

ikikkkd QQPGF2

01

b) Combinazioni frequenti:

ni

i

ikikkkd QQPGF2

2111

c) Combinazioni quasi permanenti:

ni

i

ikikkd QPGF2

2

1i = coefficiente atto a definire i valori delle azioni assimilabili ai frattili di ordine 0,95 delle distribuzioni dei

valori istantanei;


2011


2i = coefficiente atto a definire i valori quasi permanenti delle azioni variabili assimilabili ai valori medi

delle distribuzioni dei valori istantanei.

In mancanza di informazioni adeguate si potranno attribuire ai coefficienti 0, 1, 2 i valori seguenti:

Azione 0 1 2

Carichi variabili nei fabbricati per:

abitazioni

uffici, negozi, scuole, ecc.

autorimesse

Vento, neve

0.7

0.7

0.7

0.7

0.5

0.6

0.7

0.2

0.2

0.3

0.6

0


2011


1.1 TENSIONI LIMITE NELL’ACCIAIO E NEL CALCESTRUZZO (D.M. 14 Gennaio 2008)

Gli elementi in C.A.P. vengono progettati in modo da evitare il superamento delle tensioni limite in condizioni

di esercizio e successivamente verificate sia nei confronti dello stato limite ultimo sia dello stato limite di

esercizio.

La trave in questione sarà pertanto progettata sulla base delle tensioni limite di esercizio e successivamente

verificata a flessione e taglio in condizioni di collasso.

A tal fine si ipotizzano Condizioni Iniziali e di Esercizio POCO AGGRESSIVE e con COMBINAZIONE DI

AZIONI RARA.

1.2 MATERIALI IMPIEGATI

CALCESTRUZZO 28gg

Resistenza Caratteristica Cubica

Rck=50 N/mm2

Resistenza Caratteristica Cilindrica

2

ckck 41.5N/mm5083.00.83Rf

Resistenza Cilindrica di Progetto

2

c

ck

cd 27.67N/mm1.5

41.5

γ

ff

Modulo di elasticità

36268Mpa/108f21500E1/3

ckc(28)

Coefficiente di sicurezza

c=1,5

ACCIAIO ORDINARIO

Tensione caratteristica di snervamento

2

yk N/mm450f

Tensione di snervamento di progetto

2

s

yk

yd 391.3N/mm1.15

450

γ

ff

Modulo elastico

2

ns 210000N/mmE


s=1,15


2011


ACCIAIO DA PRECOMPRESSIONE

Diametro del trefolo

12.5mm

Area del trefolo

2

p 93mmA

Tensione caratteristica di rottura

2

ptk 1860N/mmf

Tensione caratteristica di snervamento (1% di

deformazione)

2

p(1)k 1670N/mmf

Modulo elastico

2

ps 210000N/mmE


s=1,15

Di seguito si riporta una tabella con indicate le caratteristiche dei trefoli adottati.


2011


2 PROGETTO TRAVE

Per procedere al dimensionamento della trave è necessario calcolare le tensioni limite di trazione e

compressione relative al calcestruzzo impiegato.

fci= tensione limite di compressione iniziale (immediatamente dopo il trasferimento - 3gg)

fti= tensione limite di trazione iniziale (immediatamente dopo il trasferimento – 3gg)

fcs= tensioni limite di compressione in esercizio (a perdite esaurite)

fts= tensione limite di trazione in esercizio (a perdite esaurite)

A tal fine ricorriamo alla formula fornita dall’ Euro Codice 2 la quale consente di determinare la resistenza del

calcestruzzo a t giorni di stagionatura:

t

281s

t

281s

e8)(fckefcmfcm(t)

dove:

t= 3 giorni

fck= 0,83 Rck = 41,5 Mpa

Rck= 50 Mpa

S= 0,2 per cementi CEM 42,5 R; CEM 52,5N e CEM 52,5 R.

Pertanto per il calcestruzzo in esame la resistenza caratteristica fcm(t) a 3gg dal getto vale:

fcm(t=3gg)= 32,82 Mpa.

fckj(t=3gg)= 24,82 Mpa

Ne consegue che le tensioni limite nel conglomerato cementizio per la combinazione di carico rara ed

ambiente moderatamente aggressivo sono:

TENSIONI LIMITE NEL CLS

fci 0.7fckj -17,37 N/mm2

fti fctkj 1,67 N/mm2

fcs 0.6fck -24,9 N/mm2

fts fctk 2,52 N/mm2


2011


Lo stesso EC-2 fornisce le espressioni per la determinazione del modulo elastico Ec e del modulo elastico al

tempo t indicato come Ec(t).

0.322(fcm/10)Ec

Ecm][fcm(t)/fcEc(t) 0.3

Con:

t= tempo in giorni

fcm= resistenza media a compressione

fcm(t)= resistenza media al tempo t

Pertanto il modulo elastico vale:

Ec= 37324 N/mm2

Ec(t=3gg)= 32995 N/mm2

Ec(t=60gg)= 38041 N/mm2

Ec(t=∞)= 39560 N/mm2

ANALISI DEI CARICHI 20 gennaio

2011


2.2 ANALISI DEI CARICHI

2.2.1 SOLAIO DI COPERTURA

COMPONENTE PESO

Guaina impermeabilizzante 0,6 KN/m2

Coibente termico 0,05 KN/m2

Solaio alveolare in C.A.P. 2,75 KN/m2

PESO SOLAIO (TOTALE) 3,4 KN/m2

2.2.2 CARICO NEVE (D.M. 14 Gennaio 2008)

Come previsto dalle NTC 2008 il carico neve sulla copertura è valutato tramite l’espressione:

qs = i qsk ce ct

dove:

qs= carico neve sulla copertura

ANALISI DEI CARICHI 20 gennaio

2011


i= coefficiente di forma della copertura

qsk= valore di riferimento del carico neve al suolo

ce= coefficiente di esposizione

ct= coefficiente di temperatura

Valore di riferimento del carico neve al suolo

Zona II, as= 906 m.l.m.

qsk= 0,51[1+(as/481)2]= 2.63 KN/m

2

Coefficiente di forma della copertura

= 0; i= 0,8

Coefficiente di esposizione

In assenza di indagini specifiche si assume un coefficiente di esposizione pari ad 1

ce=1

Coefficiente di temperatura

In assenza di indagini specifiche si assume un coefficiente di esposizione pari ad 1

ct= 1

Carico neve sulla copertura

qs=0,8x2,63x1x1=2,1KN/m2

RIEPILOGO

COEFFICIENTE/RELAZIONE

qsk= 0,51[1+(as/481)2]= 2,63 KN/m2

= 0 i= 0,8

ce 1

ct 1

qs=0,8x3,87x1x1= 2,1KN/m2

CARICO NEVE SULLA COPERTURA 2,1KN/m2

DIMENSIONAMENTO SEZIONE 20 gennaio

2011


2.2.3 PESO PROPRIO DELLA TRAVE

Per stabilire quale sia il peso proprio della trave è necessario procedere al predimensionamento di una

sezione di prova.

L/h= 15-20 bw= 14-18 cm

A tal fine facciamo riferimento alla tabella di seguito riportata:

Proprietà della sezione di travi a doppio T simmetriche o scatolari:


2011


La sezione adottata è la seguente:

PROPRIETÀ SEZIONE

b (larghezza ala) 500 mm

h (altazza trave) 600 mm

bw (larghezza anima) 100 mm

hf (altezza ala) 120 mm

Ac=0,520 x h x b (area sezione) 156000 mm2

I=0,0689 x b x h3 (momento di inerzia) 74,41 x 108 mm4

W1=W2=I/c 2,48 x 107 mm3

c (peso specifico) 25 KN/m3

Gk= Ac x c= 156000mm2 x 25KN/m3 (PESO TRAVE) 3,9 KN/m

PESO PROPRIO TRAVE 3,9 KN/m

CARICO LINEARMENTE RIPARTITO

PESO PROPRIO TRAVE 3,9 KN/m 3,9 KN/m (Gkproprio=Peso Proprio)

PESO SOLAIO x Interasse (7 m) 3,4 KN/m2 x 7 m 23,8 KN/m (Gk1=Permanente)

CARICO NEVE x Interasse (7 m) 2,1 KN/m2 x 7m 14,7 KN/m (Qk=Accidentale)

RIEPILOGO SOVRACCARICHI

PESO PROPRIO TRAVE Gkproprio 3,9 KN/m

SOVRACCARICO PERMANENTE Gk1 23.8 KN/m

SOVRACCARICO ACCIDENTALE Qk 14.7 KN/m


2011


MOMENTI SOLLECITANTI IN MEZZERIA - S.L.E. (L=17m)

8

LqM

2

max

MOMENTO DOVUTO AL PESO

PROPRIO IN MEZZERIA (M0) 8

LGkM

2

0

M0 82,39 KNm (M0)

MOMENTO DOVUTO AL

SOVRACCARICO PERMANENTE (Md) 8

LQ1Md

2

Md 859,77 KNm (Md)

MOMENTO DOVUTO AL

SOVRACCARICO ACCIDENTALE (Ml) 8

LQ2Ml

2

Ml 531,04 KNm (MI)

Definito il coefficiente di efficienza della precompressione come R=Pe/Pi, ipotizziamo una perdita di

precompressione intorno al 15%. R=0,85

2.2.4 VERIFICA DELLA SEZIONE ADOTTATA

Affinché le tensioni limite imposte dalla normativa (D.M. 14/01/2008) non vengano superate è necessario

che siano verificate le seguenti relazioni:

37 mm105.84fcsRfti

MlMdMoW1

37 mm109.43Rfcifts

MlMdMoW2

Modulo di resistenza W1 2,48 x 107 mm3 < 5,84 x 107 mm3 Sezione

insufficiente

Modulo di resistenza W2 2,48 x 107 mm3 < 9,43 x 107 mm3 Sezione

insufficiente

Adottiamo pertanto una nuova sezione con moduli di resistenza superiori a quelli appena determinati.


2011


h bw

b

hw

PROPRIETÀ SEZIONE

b (larghezza ala) 800 mm

h (altazza trave) 1100 mm

bw (larghezza anima) 200 mm

hf (altezza ala) 200 mm

Ac (area sezione) 490000 mm2

I (momento di inerzia) 7,2 x 1010 mm4

W1=W2=I/c 13,0 x 107 mm3

r2= (raggio d’inerzia) 146938 mm2

Q= r2(c1c2) ( efficienza flessionale) 0,45<0,48<0,5

c (peso specifico) 25 KN/m3

Gk= Ac x c= 490000mm2 x 25KN/m3 (PESO TRAVE) 12,25 KN/m

PESO PROPRIO TRAVE 12,25 KN/m


PESO PROPRIO TRAVE Gk 12,25 KN/m (nuovo)

SOVRACCARICO PERMANENTE Q1 23.8 KN/m (come al passo precedente)

SOVRACCARICO ACCIDENTALE Q2 14.7 KN/m (come al passo precedente)


2011


NUOVI MOMENTI SOLLECITANTI IN MEZZERIA - S.L.E. (L=17m)

8

LqM

2

max

MOMENTO DOVUTO AL PESO

PROPRIO IN MEZZERIA (M0) 8

LGkM

2

0

M0 258,78 KNm (M0)

MOMENTO DOVUTO AL

SOVRACCARICO PERMANENTE (Md) 8

LQ1Md

2

Md 859,77 KNm (Md)

MOMENTO DOVUTO AL

SOVRACCARICO ACCIDENTALE (Ml) 8

LQ2Ml

2

Ml 531,04 KNm (MI)

Poiché in sede di progettazione è stato accertato che la perdità di precompressione si attesta intorno al 21%,

il dimensionamento della trave e le relative verifiche verranno condotte considerando un coefficiente di

efficienza della precompressione pari a R=0,79.

2.2.5 VERIFICA DELLA “NUOVA” SEZIONE ADOTTATA

Affinché le tensioni limite imposte dalla normativa (D.M. 14/01/2008) non vengano superate è necessario

che siano verificate le seguenti relazioni:

37 mm106.98fcsRfti

MlMdMoW1

37 mm1011.3Rfcifts

MlMdMoW2

Modulo di resistenza W1 13,0 x 107 mm3 > 6,98 x 107 mm3 Verificato

Modulo di resistenza W2 13,0 x 107 mm3 > 11,3 x 107 mm3 Verificato

PROGETTO FORZA DI PRECOMPRESSIONE 20 gennaio

2011


2.3 PROGETTO DELLA FORZA DI PRECOMPRESSSIONE

A partire dalla tensione baricentrica nella sezione in conglomerato cementizio nelle condizioni iniziali, è

possibile determinare la forza di precompressione iniziale.

Tensione baricentrica nella sezione in cls

7.85Mpaffh

c-ff citi

1

ticci

Forza di precompressione iniziale

Pi = Ac x fcci = 3848.6 kN

Eccentricità del baricentro delle armature da precompressione

323.27mmP

Wffe

i

1

cciti

2.3.1 CALCOLO DEL NUMERO DI TREFOLI

La forza di precompressione sarà ottenuta mediante l’utilizzo di trefoli con area nominale di 93 mm2 e

resistenza fp(1)k=1670 N/mm2

Tensione iniziale nell’acciaio da precompressione (D.M. 14/01/2008)

2

p(1)kpi 1503N/mm16709.00.9ff

Area di acciaio

2

2

3

pi

i 2560.61mm1503N/mm

N103848.6

f

PAp

Numero di trefoli

28trefoli93mm

2560.61mm

Ap

Apnp

2

2

1


2011


2.3.2 LIMITE ECONOMICO PER LA FORZA DI PRECOMPRESSIONE

A partire dalla formula di “Navier” la quale consente di determinare la tensione ai lembi della sezione in

condizioni iniziali e di servizio, e noto che che Pe=RPi, è possibile individuare le quattro disequazioni che

definiscono il dominio nel quale è possibile assumere la forza di precompressione senza superare le tensioni

limite ai due lembi della trave.

1)

eA

WR

MWfP

c

tcsi

1

1

2) eA

W

MWfP

c

tii

1

01

3)

eA

WR

MWfP

c

ttsi

2

2

4) eA

W

MWfP

c

cii

2

02

Dalle espressioni 1) e 2) è possibile individuare le relazioni che forniscono il momento flettente massimo

Mmax in funzione dell’eccentricità e della forza di precompressione.

L’intersezione di tali funzioni individua il valore della forza di

precompressione Pi* superata la quale si hanno solo modesti

benefici in termini di resistenza flessionale.

7)

c

tscsi

A

WWR

WfWfP

21

21*

Per la sezione adottata, il “limite economico” ossia il massimo

valore al disopra del quale diminuisce il rendimento della

precompressione, è pari a 6456 kN.

TABELLA DI RIEPILOGO

Forza di precompressione iniziale 3848.6 kN

Eccentricità del baricentro delle armature da precompressione 323.27 mm

Numero di trefoli 28 Trefoli da 93 mm2

Limite economico per la forza di precompressione Pi* 6456 kN

Pi*

Mm

ax

Eq. 10

Eq. 9


2011


2.3.3 FORZA DI PRECOMPRESSIONE PER ECCENTRICITÀ IMPOSTA

Per ottimizzare gli effetti ed i costi della precompressione, è opportuno aumentare l’eccentricità dei cavi,

operazione che consente di ridurre l’entità della forza di precompressione ed il numero di trefoli necessari.

Un valido strumento di progetto è il DIAGRAMMA DI MAGNEL

2.3.4 DIAGRAMMA DI MAGNEL

Elaborando le espressioni già viste al paragrafo precedente (2.3.2), è possibile individuare le quattro

relazioni che definiscono il DIAGRAMMA DI MAGNEL.

Il diagramma di Magnel è definito dalle relazioni di seguito riportate:

8)

1

1

1

1

W

Mf

W

e

AR

P tcs

c

i

9)

1

0

1

1

1

W

Mf

W

e

A

Pti

c

i

10)

2

2

1

1

W

Mf

W

e

AR

P tts

c

i

11)

2

0

2

1

1

W

Mf

W

e

A

Pci

c

i

Tali espressioni individuano relazioni lineari tra la quantità 1/Pi e l’eccentricità e.


2011


Graficando le stesse equazioni si ottiene il diagramma di Magnel di seguito riportato.

Tale grafico consente, assunta una determinata eccentricità compatibile con la geometria della sezione, di

individuare l’insieme dei possibili valori della forza di precompressione tali da non indurre tensioni superiori a

quelle imposte dalla normativa.

Assumendo un’eccentricità pari a e= 430 mm, posso applicare una Pi= 2893.36 kN.

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

10

^6/P

i

e (mm)

DIAGRAMMA DI MAGNEL

Disequazione 1 Disequazione 2 Disequazione 3 Disequazione 4

Eccentricità

max copriferro


2011


2.3.5 CALCOLO DEL NUMERO DI TREFOLI

La forza di precompressione sarà applicata mediante l’utilizzo di trefoli con area nominale di 93 mm2 e

resistenza fp(1)k=1670 N/mm2

Tensione iniziale nell’acciaio da precompressione (D.M. 14/01/2008)

2

p(1)kpi 1503N/mm16709.00.9ff

Area di acciaio

2

2

3

pi

i 1925.06mm1503N/mm

N102893.36

f

PAp

Numero di trefoli

21trefoli93mm

1925.06mm

Ap

Apnp

2

2

1

Forza di precompressione effettiva

2935.36kNfpiApPi

TABELLA DI RIEPILOGO

Forza di precompressione iniziale 2935.36 kN

Eccentricità del baricentro delle armature da precompressione 430 mm

Numero di trefoli 21 Trefoli da 93 mm2

Limite economico per la forza di precompressione Pi* 6456.47 kN

CONFRONTO PRECOMPRESSIONE e= 314 mm eimposta= 430 mm

Forza di precompressione iniziale 3848 kN 2935 kN

Eccentricità del baricentro delle armature da precompressione 323 mm 430 mm

Numero di trefoli 28 Trefoli da 93 mm2 21 Trefoli da 93 mm2

Area di acciaio da precompresso 2559 mm2 1925 mm2

Limite economico per la forza di precompressione Pi* 6456 kN 6456 kN


2011


2.3.6 CONTROLLO DELLE TENSIONI

2.3.6.1 TRASFERIMENTO DELLA PRECOMPRESSIONE IN ELEMENTI PRE-TESI

Trasferimento della precompressione

Al rilascio delle armature di precompressione, si può ritenere che la precompressione sia trasferita al

calcestruzzo mediante una tensione di aderenza uniforme fbpt, pari a:

(t)fηηf ctd1p1pbt

dove:

p1 è un coefficiente che tiene conto del tipo di armatura di precompressione e delle condizioni di aderenza

all’atto del rilascio:

p1= 2,7 per fili indentati,

p1= 3,2 per trefoli a 3 e 7 fili;

1 =1,0 in condizioni di buona aderenza

= 0,7 altrimenti, a meno che un maggior valore sia giustificato in relazione a particolari circostanze

riscontrate nel corso dell’ esecuzione;

fctd(t) è il valore della resistenza a trazione di progetto all’istante del rilascio; (Vedi EC2)

Lunghezza di trasferimento

Il valore della lunghezza di trasmissione lpt, è dato da:

bptpm021 /flpt


2011


dove:

α1 = 1,0 per rilascio graduale,

= 1,25 per rilascio improvviso;

α2 = 0,25 per armature da precompressione a sezione circolare,

= 0,19 per trefoli a 3 e 7 fili;

diametro nominale dell’armatura di precompressione;

pm0 tensione nell’armatura di precompressione subito dopo il rilascio.

972.56mmlpt

2.3.6.2 CONTROLLO DELLE TENSIONI INIZIALI E DI ESERCIZIO

2.3.6.2.1 CONDIZIONI INIZIALI

Sezione di mezzeria

2

1

0(Max)

1

i

c

i1 mm

N0.22W

M

W

eP

A

Pf

2

2

0(Max)

2

i

c

i2 mm

N12.2W

M

W

eP

A

Pf

Appoggi (ad Ltr dalla sezione di estremità)

2

1

0(Ltr)

1

i

c

i1 mm

N2.87W

M

W

eP

A

Pf

2

1

0(Ltr)

2

i

c

i2 mm

N14.85W

M

W

eP

A

Pf

2.3.6.2.2 CONDIZIONI DI ESERCIZIO

Sezione di mezzeria

2

1

(Max)

1

e

c

e

1 mmN11.8

W

Mt

W

eP

A

Pf

2

2

(Max)

2

e

c

e

2 mmN1.72

W

Mt

W

eP

A

Pf


2011


Appoggi (ad Ltr dalla sezione di estremità)

2

1

(Ltr)

1

e

c

e

1 mmN-0.18

W

Mt

W

eP

A

Pf

2

1

(Ltr)

2

e

c

e

2 mmN9.28

W

Mt

W

eP

A

Pf

TENSIONI IN MEZZERIA (N/mm2) TENSIONI AD Ltr DAGLI APPOGGI (N/mm2)

Iniziali In servizio Iniziali In servizio

f1=0.22 <1.67 f1=-11.8 >-24.9 f1=2.87 <1.67 NO! f1=-0.18 > -24.9

f2=-12.2 >-17.37 f2=1.72 <2.52 f2=-14.85 >-17.37 f2=-9.28 < 2.52

Affinchè le tensioni siano verificate in tutte le sezioni, è necessario inserire delle guaine che impediscano

l’aderenza tra acciaio da precompresso e cls al fine di ridurre la forza di precompressione man mano che ci

si avvicina all’appoggio.

Si procede pertanto ad inguainare 7 trefoli per una lunghezza di 1.96 metri.

Le nuove tensioni saranno pertanto:

TENSIONI IN MEZZERIA (N/mm2) TENSIONI AGLI APPOGGI (N/mm2)

Iniziali In servizio Iniziali In servizio

f1=0.22 <1.67 f1=-11.8 >-24.9 f1=1.67 <1.67 f1=-1.13 > -24.9

f2=-12.2 >-17.37 f2=1.72 <2.52 f2=-9.66 >-17.37 f2=-5.18 < 2.52

PROGETTO VERIFICA SLU 20 gennaio

2011


2.4 PROGETTO - VERIFICA A FLESSIONE

Deve risultare:

Mrd>Msd

Mrd= momento resistente offerto dalle armature

Msd= momento sollecitante allo S.L.U.

2.4.1 MOMENTO SOLLECITANTE ALLO S.L.U.


PESO PROPRIO TRAVE Gk 12,25 KN/m

SOVRACCARICO PERMANENTE Q1 23.8 KN/m

SOVRACCARICO ACCIDENTALE Q2 14,7 KN/m

MOMENTO SOLLECITANTE IN MEZZERIA - S.L.U. (L=17m)

8

L1.5Qk)(1.4GkM

2

sd

2612.2kNm

8

1714.71.523.812.251.4M

2

sd


2011


2.4.2 MOMENTO RESISTENTE

Ipotesi di calcolo

1a Ipotesi: Estensione del diagramma rettangolare equivalente inferiore o uguale allo spessore medio della

soletta superiore

2a ipotesi: Acciaio snervato

Legame costitutivo di calcolo del calcestruzzo

Secondo la vigente normativa la distribuzione delle tensioni di compressione in una trave può essere

rappresentata mediante una distribuzione rettangolare equivalente di tensioni di valore costante pari a

0.85fcd ed estensione 0.80x

Legame costitutivo di calcolo dell’acciaio

Il diagramma tensioni-deformazioni è schematizzato come una bilatera in cui il primo tratto ha pendenza

corrispondente al modulo di elasticità Ep ed il secondo tratto è generalmente orizzontale con ordinata iniziale

pari a 0,9fptk/s.


2011


Equilibrio alla traslazione orizzontale

C-T=0

0Apfpsb0.8x0.85fcd

b0.80.85fcd

Apfpsx

poiché:

2

s

m1455.65N/m1.15

18600.9

γ

fptk0.9fps

241.5N/mm5083.00.83Rckfck

2

c

27.67N/mm1.5

41.5

γ

fckfcd

Ap=1953 mm2

con:

fps= tensione di rottura di progetto

fptk= tensione caratteristica di rottura

0.8x= estensione della zona compressa

risulta:

188.86mm8000.827.670.85

19531455.65x

Momento resistente

zTMrd

poiché:


2011


2842.88kN19531455.65AfpsT p

0.4xdz

904.44mm188.860.4-980z980mm430550d

risulta:

2571.24kNm904.442842.88zTMrd

VERIFICA A FLESSIONE

Mrd Msd

2571 kNm 2612 kNm

Mrd<Msd

È necessario disporre armatura aggiuntiva.

40.96kNmMrdMsdΔM

Z'

ΔMΔTZ'ΔTΔM

poiché:

1004.44mm-0.4X*dZ'

d*=altezza utile riferita all’armatura lenta

risulta:

40.78kNΔT

2

s

104.22mm)(fyk/γ

ΔTAs

Si dispongono 48, Asl= 48= 201.06 mm2


2011


Nuova posizione dell’asse neutro

Posto che l’armatura aggiuntiva risulti snervata, la nuova posizione dell’asse neutro sarà data da:

C-T=0

Asγ

fykAp

γ

fptk0.9b0.8x0.85fcd

ss

0.8b0.85fcd

Asγ

fykAp

γ

fptk0.9

x ssnuovo

194.11mmx nuovo

Nuovo momento resistente

z'ΔTzTMrd effettivonuovo

-0.4x)*(dAsγ

fyk0.4x)-(dAp

γ

fptk0.9Mrd

ss

nuovo

2644.15kNmMrdnuovo

NUOVA VERIFICA A FLESSIONE

Mrd Msd

2644.15 kNm 2612.2 kNm

Mrd>Msd

Verifica soddisfatta.


2011


2.4.3 DEFORMAZIONE DELL’ARMATURA IN CONDIZIONI ULTIME

DEFORMAZIONE NEI CAVI DA PRECOMPRESSO

ps=pe+pb

ps= deformazione totale cavi da precompresso

pe= deformazione indotta dalla pretensione in fase di esercizio

pb= deformazione di origine flessionale in condizioni ultime

Deformazione dovuta alla forza di precompressione

EpAp

RPi

EpAp

Pe

Ep

fpeε pe

0.0056ε pe

Deformazione di origine flessionale

La deformazione pb di origine flessionale si ottiene dal diagramma delle deformazioni:

x

εxdε

xd

ε

x

ε cu

pb

pbcu

poiché:

cu è la deformazione ultima del cls dedotta da prove sperimentali e pari a 0.0035, risulta:


2011


x

εx-dε cu

pb

0.0142

194.11

0.0035194.11-980ε pb

Deformazione dei cavi in condizioni ultime

pbpeps εεε

0198.00.01420.0056ε ps

Deformazione di snervamento nei cavi

ps

sp

py ε0.0069210000

1455.95

γE

fptk0.9ε

DEFORMAZIONE DELL’ARMATURA LENTA

Deformazione dell’armatura ordinaria in condizioni ultime (solo di origine flessionale)

x

εx-dε cu

sl

0.0159

194.11

0.0035194.11-1080ε sl

Deformazione di snervamento dell’ acciaio ordinario

sl

ss

sy ε0.001861.15210000

450

γE

fykε

Deformazione in CONDIZIONI ULTIME

(ARMATURA DA PRECOMPRESSO)

Deformazione in CONDIZIONI ULTIME

(ARMATURA LENTA)

py=0.0069 (Deformazione di Snervamento) sy=0.00186 (Deformazione di Snervamento)

ps=0.0198 >py sl=0.0159 >sy


2011


2.5 PROGETTO - VERIFICA A TAGLIO

Il metodo di calcolo a taglio proposto nell’EC2 si basa su tre valori della resistenza di calcolo:

VRd,c: resistenza di calcolo dell’elemento privo di armatura a taglio;

VRd,max: massima forza di taglio di calcolo che può essere sopportata senza rottura delle bielle

compresse convenzionali di calcestruzzo;

VRd,s: forza di taglio di calcolo che può essere sopportata da un elemento con armatura a taglio.

2.5.1 ELEMENTI PRIVI DI ARMATURA SPECIFICA A TAGLIO

Se lo sforzo di taglio agente sulla trave VEd è minore di Vrd,c; non è richiesta armatura specifica a taglio ma

è sufficiente la sola armatura minima.

VEd < Vrd,c

2.5.2 VERIFICA DELLA SEZIONE

Qualora in sede di verifica risulti:

VEd > VRd,max

sarà necessario incrementare la sezione della trave.

2.5.3 ARMATURA SPECIFICA A TAGLIO

Qualora non sia verificata la condizione di cui sopra, è necessario disporre di armatura specifica a taglio tale

che risulti:

Vrd= VRd,s+Vtd ≥ VEd

con:

VRd,s= resistenza offerta dall’armatura trasversale

Vtd= resistenza offerta da eventuali cavi inclinati presenti (Vtd= Pesen, = angolo di inclinazione del cavo)


2011


2.5.4 TAGLIO DI CALCOLO ALLO S.L.U.


PESO PROPRIO TRAVE Gk 12,25 KN/m

SOVRACCARICO PERMANENTE Q1 23.8 KN/m

SOVRACCARICO ACCIDENTALE Q2 14,7 KN/m

TAGLIO DI CALCOLO AGLI APPOGGI - S.L.U. (L=17m)

2

L1.5Qk)(1.4GkVEd

616.42kN

2

1714.71.523.812.251.4VEd


2011


2.5.6 ELEMENTI PRIVI DI ARMATURA SPECIFICA A TAGLIO

Se lo sforzo di taglio agente sulla trave VEd è minore di Vrd,c; non è richiesta armatura specifica a taglio ma

è sufficiente la sola armatura minima.

VEd < Vrd,c

dbσkfck100ρkCV wcp1

1/3

lcrd,cRd,

dove:

0.120.18/1.50.18/C ccrd,

2.0(200/d)1k 0.5

k1=0.15

2

cecp N/mm 4.73/APσ

Pe= precompressione in esercizio

1= rapporto di armatura tesa,

db

AAρ

w

sp

l

pertanto:

257.17kNdbσkfck100ρkCV wcp1

1/3

lcrd,cRd,

Il valore trovato non deve essere minore di:

216.39kNd)bσk(νV wcp1mincRd, (6.2b)

con:

1/2

ck

3/2

min f0.035k


2011


Nelle zone non fessurate per flessione (dove la tensione di trazione dovuta a flessione è minore di

fctk,0.05/c=0.7fctm), la resistenza a taglio è data da:

495.47kNfσα)(fS

bIV ctdcp1

2

ctd

w

cRd,

(6.4)

dove:

I è il momento d’inerzia della sezione;

bw è la larghezza della sezione in corrispondenza dell’asse baricentrico,

S è il momento statico rispetto all’asse neutro dell’area posta sopra l’asse neutro;

αl = lx/lpt2 ≤ 1,0 per armature di precompressione pre-tese;

= 1,0 per altri tipi di precompressione;

lx è la distanza della sezione considerata dal punto iniziale della lunghezza di trasmissione;

lpt2 è il limite superiore della lunghezza di trasmissione dell’elemento precompresso

17.257614.64

cRd,Ed VV

È necessario predisporre armatura specifica a taglio.


2011


2.5.7 VERIFICA DELLA SEZIONE (verifica delle bielle compresse)

Qualora in sede di verifica risulti:

VEd > VRd,max

sarà necessario incrementare la sezione della trave.

tgθctgθfcdzνbαV 1wcwmaxRd,

dove:

5.0250

fck10.6ν1

cw(1+cp/fcd) per 0 < cp ≤ 0.25 fcd ,171.1cw

bw= spessore minimo dell'elemento, bw= 200mm

d= altezza utile della sezione, d= 980mm

z= braccio delle forze interne, mm 8820.9dz

inclinazione variabile delle bielle di calcestruzzo il cui valore deve essere compreso nell’intervallo:

2.5ctgθ1

Per strutture sottoposte ad elevato sforzo assiale è inoltre necessario aggiungere la limitazione:

ctgθctgθ1

con:

1= angolo di inclinazione della prima fessurazione ricavato da ctg1=/1

= tensione tangenziale, 2

w

Ed N/mm07.4Ib

SVτ

1= tensione principale di trazione, 20.5

22

cpcp1 2.34N/mmτ/2σ/2σσ

I= momento d’inerzia della sezione, I=7.2*10^10

S= momento statico rispetto all’asse neutro dell’area posta sopra l’asse neutro, S=9.26*10^7


2011


pertanto:

29.91θ1.74τ/σctgθ 111

9.21θ

Limite imposto dal D.M. 2008 per

strutture sottoposte ad elevato sforzo

assiale.

ctgθctgθ1

Angolo di inclinazione scelto Intervallo di inclinazione delle bielle

di calcestruzzo. 2.5ctgθ1

1.74ctgθ1 48.2ctgθ 5.2ctgθmax

29.91θ1 9.21θ 80.21θmax

989.68kNtgθctgθfcdzνbαV 1wcwmaxRd,

989.68614.64

maxRd,Ed VV

La sezione non deve essere incrementata.


2011


2.5.8 ARMATURA SPECIFICA A TAGLIO

Qualora non sia verificata la condizione di cui sopra, è necessario disporre di armatura specifica a taglio tale

che risulti:

Vrd= VRd,s+Vtd ≥ VEd

con:

VRd,s= resistenza offerta dall’armatura trasversale

Vtd= resistenza offerta da eventuali cavi inclinati presenti (Vtd= Pesen, = angolo di inclinazione del

cavo)

Resistenza offerta dalla precompressione Vtd

Vtd= Pesen

0Vtd= 0

Poiché la tecnologia adottata è a cavi ad eccentricità costante, la precompressione non comporta benefici in

termini di resistenza al taglio.

Calcolo delle armature (staffe)

ctgfz

VV

s

A

ywd

tdEdSW

2

sywkywd N/mm 391.30450/1.15/γff

882mm0.9dz

716.0s

ASW

Utilizzando staffe del diametro 10, il passo massimo è 200 mm.

L’armatura a taglio da disporre per tutta la lunghezza della trave è riportata nella tabella seguente.


2011


Di seguito si riportano i valori numerici dei contributi resistenti:

x d VRd,max VRd,c VRd,c VRd,c VRd (*) VRd,c VEd VEd,max Vtd

m mm kN

kN kN kN kN kN kN kN kN

eq.(6.9)

eq.(6.2.a) eq.(6.2.b) eq.(6.4) eq.(4.1.15)

eq.(6.5)

0 980,00 989,68 0,010 257,17 216,39 495,47 449,95 257,17 0,00 1356,75 0,00

2 980,00 989,68 0,010 257,17 216,39 495,47 449,95 257,17 144,62 1356,75 0,00

5,1 980,00 989,68 0,010 257,17 216,39 495,47 449,95 257,17 368,78 1356,75 0,00

6,85 980,00 989,68 0,010 257,17 216,39 495,47 449,95 257,17 495,32 1356,75 0,00

8 980,00 989,68 0,010 257,17 216,39 495,47 449,95 257,17 578,48 1356,75 0,00

8,5 980,00 989,68 0,010 257,17 216,39 495,47 449,95 257,17 614,64 1356,75 0,00

x VEd-Vtd Asw/s(rich) sl,max Asw/s(min) Armatura s(eff) Asw/s(eff) VRd,s VRd

m kN mm mm mm

mm mm kN kN

da eq.(6.8) eq.(9.6N) da eq.(9.5N)

eq.(6.8) eq.(6.1)

0 0,00 0,000 735 0,229 1 staffaØ 10 300 0,524 449,53 449,53

2 144,62 0,168 735 0,229 1 staffaØ 10 300 0,524 449,53 449,53

5,1 368,78 0,430 735 0,430 1 staffaØ 10 300 0,524 449,53 449,53

6,85 495,32 0,577 735 0,577 1 staffaØ 10 250 0,628 539,44 539,44

8 578,48 0,674 735 0,674 1 staffaØ 10 200 0,785 674,29 674,29

8,5 614,64 0,716 735 0,716 1 staffaØ 10 200 0,785 674,29 674,29

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 2 4 6 8 10

tag

lio

, k

N

distanza dalla mezzeria, m

Variazione dei contributi resistenti lungo l'asse della trave

VEd VRd,c Vtd


2011


Armatura longitudinale aggiuntiva

La forza di trazione aggiuntiva nell’armatura longitudinale dovuta al taglio VEd vale:

)ctg-(ctgθ0.5VΔF Edtd

da cui l’armatura longitudinale aggiuntiva a quella di inflessione risulta:

2

yd

td 1953.66mmf

ΔFAsl

Si dispongono 426, Asl= 426

La disposizione delle armature è stata eseguita nel rispetto delle indicazioni normative di seguito riportate:

ll massimo diametro consentito per le armature trasversali è max=12mm

Il passo non deve essere maggiore di 0.75d ed è necessario disporre almeno 3 staffe al metro

La sezione complessiva delle staffe deve essere > di 1.5b (mm2/m)

L’area minima di acciaio in zona tesa deve essere dbfyk)0.26(fctm/As t e comunque non

minore di d0.00013b t

Al di fuori delle zone di sovrapposizione l’area max di acciaio non deve superare 0.04AcAsmax

ANALISI VISCOELASTICA 20 gennaio

2011


ANALISI VISCOELASTICA

Scopo dell’analisi viscoelastica è determinare la perdita di precompressione dovuta a deformazioni

istantanee più deformazioni differite nel tempo causate da viscosità e ritiro del calcestruzzo e da

rilassamento dell’acciaio da precompresso.

FASI COSTRUTTIVE

t0= 3gg Applicazione della PRECOMPRESSIONE e del PESO PROPRIO

t1= 60gg Posa in opera ed entrata in servizio (azione dei CARICHI PERMANENTI)

t3= 30000gg Carico neve (azione dei CARICHI ACCIDENTALI)

Tensione e deformazione istantanea:

eequivalent

2

ref(c)0

00

M

N

AB

BJ

)B-(AJE

1

)(t

)(tε

c00c0c yε)(tE)(tσ

)y(εE)(tσ ns0ns0ns

)y(εE)(σ ps0ps0ps t

Forze necessarie per impedire deformazioni dovute a viscosità ritiro e rilassamento:

torilassamenritiroviscositàΔM

ΔN

ΔM

ΔN

ΔM

ΔN

ΔM

ΔN

)(t

)(tε

JB

BAE

ΔM

ΔN

0

00

cc

cc

c

viscosità

c

c

csc

ritiroB

AεE

ΔM

ΔN

prpsps

prps

torilassamenσΔyA

σΔA

ΔM

ΔN


2011


Tensioni necessarie per impedire idealmente viscosità e ritiro del calcestruzzo

cs0c00cvincolo ε)(t)εt(t,)t(t,Eσ

Variazione nelle tensioni e nelle deformazioni:

ΔM

ΔN

AB

BJ

)B-AJ(E

1

Δ

Δε2

c

0

ΔyΔε)t(t,EσΔσ c00cvincoloc

)Δy(ΔEΔσ ns0nsns

)Δy(ΔEΔσΔσ ns0psprps


2011


VISCOSITÀ

Il coefficiente di viscosità (t,t0) può essere determinato tramite la relazione presente sull’EC-2.


2011


Dimensione fittizia dell’elemento h0

203.5mm4816mm

490000mm2

u

2Ach

2

0

Umidità relativa RH

%60RH

Coefficiente di viscosità (t,t0)

2702.1(3,60) , 4355.1(60,30000) , 2.5259(3,30000)


2011


RITIRO

In base all’ EURO CODICE 2 la deformazione totale da ritiro si può esprimere come:


2011


Deformazione totale da ritiro cs(t,t0)

0.000344(3,60)εcs ,

0.000401(3,30000)εcs

0.000057(3,60)ε(3,30000)ε(60,30000)ε cscscs

COEFFICIENTE DI INVECCHIAMENTO

Il coefficiente di invecchiamento è stato determinato mediante l’applicazione in FORTRAN.

0.7523(3,60) ,

0.8746(60,30000)


2011


RILASSAMENTO DELL’ACCIAIO


2011


35.91Mpa(3,60)Δσpr ,

83.36Mpa)(3,Δσpr

37.96Mpa(3,60)Δσ)(3,Δσ)(60,Δσ prprpr

Coefficiente di rilassamento ridotto

Per una corretta stima del rilassamento è opportuno tener conto di un coefficiente riduttivo del rilassamento

intrinseco. Tale coefficiente può essere determinato mediante il grafico di seguito riportato.

ptk

pi

f

σλ

; pi

prps

σ

Δσ-Δσ-Ω

piσ Tensione di tiro iniziale

psσ Variazione di tensione nell’acciaio da precompressione dovuto ai fenomeni lenti

prσ Rilassamento intrinseco

Poiché la perdita di tensione è anche funzione del rilassamento, occorre determinare il coefficiente di

rilassamento ridotto mediante un procedimento iterativo a partire da un valore ipotetico dello stesso

coefficiente di rilassamento.

8.0r


2011


TENSIONI E DEFORMAZIONI IMMEDIATAMENTE DOPO LA PRECOMPRESSIONE (t=3)

Deformazione istantanea nel punto di riferimento

0 (t0) -1,73E-04

(t0) -3,12E-04

Deformazione e tensione istantanea nel calcestruzzo (ai lembi della sezione)

c (t0)sup -1,33E-06

c (t0)inf -3,45E-04

c (t0)sup -0,044 Mpa N/mm2

c (t0)inf -11,381 Mpa N/mm2

Deformazione e tensione istantanea nell'accaio ordinario

ns (t0)sup -1,70E-05

ns (t0)inf -3,29E-04

ns (t0)sup -3,560 Mpa N/mm2

ns (t0)inf -69,156 Mpa N/mm2

Deformazione e tensione istantanea nell'accaio da precompressione

ps (t0) -3,07E-04

ps (t0)= ps_iniz+Eps(0(t0)+(t0)y)

ps (t0)= ps_iniz+(ps)ist

(ps)ist -64,565 Mpa N/mm2

ps (t0) 1503,00 Mpa N/mm2

pistantaneo -126,095 kN 4,30 % Pi


2011


MODIFICHE DI TENSIONE E DEFORMAZIONE DOVUTE A VISCOSITA', RITIRO E RILASSAMENTO t= (60, 3)


c_Vinc)sup (t0) 5,833 Mpa N/mm2

c_Vinc)inf (t0) 13,196 Mpa N/mm2

Reazioni vincolari che ne conseguono NViscosità 1,78E+06 N

MViscosità 4,80E+05 Nm

NRitiro 2,79E+06 N

MRitiro -4,87E+03 Nm

NRilass. -5,61E+04 N MRilass. -2,41E+04 Nm

Ntot 4,51E+06 N

Mtot 4,51E+05 Nm

Variazione di deformazione al momento della rimozione dei vincoli 0 (t0) -4,99E-04

(t0) -2,64E-04

Variazione di deformazione e tensione nell'intervallo (60, 3) nel calcestruzzo (ai lembi della sezione)

c (t,t0)sup -3,67E-04

c (t,t0)inf -6,31E-04

c (t,t0)sup -0,361 Mpa N/mm2

c (t,t0)inf 2,544 Mpa N/mm2

Variazione di deformazione e tensione nell'accaio ordinario nell'intervallo (60, 3) ns (t,t0)sup -3,67E-04

ns (t,t0)inf -6,31E-04

ns (t,t0)sup -77,095 Mpa N/mm2

ns (t,t0)inf -132,583 Mpa N/mm2

Variazione di deformazione e tensione nell'accaio da precompressione nell'intervallo (60, 3) ps (t,t0) -6,13E-04


2011


ps (t,t0)= pr+Eps(+)

ps (t,t0) -157,427 Mpa N/mm2 p (60, 3) -307,4546 kN 10,47 % Pi

TENSIONI E DEFORMAZIONI IMMEDIATAMENTE DOPO L'APPLICAZIONE DEL NUOVO CARICO (t=60)


0 (t0) -2,22E-06

(t0) 2,94E-04


c (t0)sup -1,64E-04

c (t0)inf 1,60E-04


c (t0)inf 6,072 Mpa N/mm2


ns (t0)sup -1,49E-04

ns (t0)inf 1,45E-04


ns (t0)inf 30,429 Mpa N/mm2


ps (t0) 1,24E-04



(ps)ist 26,104 Mpa N/mm2

pistantaneo 50,980 kN


2011


MODIFICHE DI TENSIONE E DEFORMAZIONE DOVUTE A VISCOSITA', RITIRO E RILASSAMENTO t= (30000, 60)


c_Vinc)sup (t0) 4,945 Mpa N/mm2

c_Vinc)inf (t0) 4,385 Mpa N/mm2

Reazioni vincolari che ne conseguono NViscosità 1,79E+06 N

MViscosità -3,98E+04 Nm

NRitiro 4,54E+05 N

MRitiro -7,93E+02 Nm

NRilass. -7,41E+04 N MRilass. -3,19E+04 Nm

Ntot 2,17E+06 N

Mtot -7,25E+04 Nm

Variazione di deformazione al momento della rimozione dei vincoli 0 (t0) -2,44E-04

(t0) 8,02E-05

Variazione di deformazione e tensione nell'intervallo (30000, 60) nel calcestruzzo (ai lembi della sezione)

c (t,t0)sup -2,84E-04

c (t,t0)inf -2,04E-04

c (t,t0)sup 0,157 Mpa N/mm2

c (t,t0)inf 0,949 Mpa N/mm2

Variazione di deformazione e tensione nell'accaio ordinario nell'intervallo (30000, 60) ns (t,t0)sup -2,84E-04

ns (t,t0)inf -2,04E-04

ns (t,t0)sup -59,619 Mpa N/mm2

ns (t,t0)inf -42,784 Mpa N/mm2

Variazione di deformazione e tensione nell'accaio da precompressione nell'intervallo (30000, 60)


2011


ps (t,t0) -2,09E-04

ps (t,t0)= pr+Eps(+)

ps (t,t0) -81,922 Mpa N/mm2 p (∞, 60) -159,994 kN 5,45 % Pi

pTotale -593,543

20,22 % Pi

La perdita di precompressione totale è pari al 21% della precompressione iniziale Pi.

TENSIONI E DEFORMAZIONI IMMEDIATAMENTE DOPO L'APPLICAZIONE DEL NUOVO CARICO (t= ∞)


0 (t0) -1,27E-06

(t0) 1,76E-04


c (t0)sup -9,78E-05

c (t0)inf 9,53E-05


c (t0)inf 3,769 Mpa N/mm2


ns (t0)sup -8,90E-05

ns (t0)inf 8,65E-05


ns (t0)inf 18,164 Mpa N/mm2


ps (t0) 7,42E-05



(ps)ist 15,584 Mpa N/mm2

pistantaneo 30,436 kN


2011


ALLEGATI

Carpenteria Trave

Cemento Armato Precompresso Progetto Trave CAP

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