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FRATTURE

- FLESSIONE DELLA TRAVE- FRATTURE PER FLESSIONE- TORSIONE DELLA TRAVE- FRATTURE PER TORSIONE- STRUTTURE CAVE

corso integrato FISICA e STATISTICA

disciplina : FISICA MEDICA

Laurea Triennale in SCIENZE MOTORIE

2

FLESSIONE DELLA TRAVE

N1 + N

2 – p = 0

N1 – N

2 = 02

2

N2

O

pN1

2

x

y

o

N1 = N

2 =

p2

equilibrio della trave omogenea vincolata alle estremità

• equilibrio globale

3


p – N2 = N

1 =

p2

M(x)

= – M(–x)

M(x)

= x N1 = x p

2

M(–x)

= – x p2

N1 = N

2 =

p2

• equilibrio per sezione

O

p N2

N1

x

AC

– x

4


M(x)

= x p2 M

(– x) = – x

p2

momento

xo 2

p4

forza verticale

xo

p2

+

–p2

2

5


O

p N2N

1

x

AC

–x

deformazione

sezione AC sottoposta a un momento esterno

momento

xo 2

p4

M(x)

= x p2

M(– x)

= – x p2

6


p

deformazione del materiale

x

••O O'

C

A

B

D

N2 = – p2

N1 = – p2

B

DA

C

O'M

N2 = – p2 M interno che

si oppone a quello esterno

•

7


deformazione del materialeper stabilire l'equilibrio si suscita all' interno del materiale un momento flettente M che si oppone al momento esterno (il momento flettente é causato dalla deformazione, conseguenza del momento esterno variabile lungo la trave)

risultato :allungamento / compressione per trazione

(trazione interna)

legge di Hooke applicata al materiale deformato

= EFS

= E

8


asse neutro

OO'

AA'

BB'

C'

R

Cy

O

C

B

y

2

2

= y R

CC' = + = OO' + 2 y tg + 2 y =

= + y = + y

2

2

R

9


= = = E = E = y R

yR

yR

y

r

Ai

asse neutro

Fi

(trave a sezione circolare)forze flettenti interne

striscia Ai

Fi = A

i

Mi = y F

i = y A

i = y2 A

i

momento flettente Mf = M

ii

ER

10


momento flettente Mf = M

ii

Mf = y2 dA =E

RA

ER

r4

4sezione circolare

sforzo interno massimo nella trave : y = r

max

= r = r =ER

4 Mf

r4

4 Mf

r3

flessione trave momento flettente sforzo interno


Mf = y2 dA =E

RA

ER

r4

4

= 4 r4 – = r418

ER

sen44

/2 ER

12

2

r4

4ER

=

Mf = E

RA

dA = 2 x dy = 2 r2 cos2d

y2 dA =

y = r sen dy = r cos dx = r cos

r

y

x

ydy dA

x

= 2 2 r2 cos2r2 sen2d = 4 r4 sen2 cos2d =ER

0

/2

0

/2ER

12

FRATTURA PER FLESSIONE

tibia

d

piede bloccato

p – pg

F

trave vincolata a una estremità

13


max

= 4 M

f

r3 tibia

Mf

tibia

r3

4 Mf

tibia

= 2.13 108 N m–2

Mf = d (p – p

g)

tibia

r3

4 Mf

tibia

d

piede bloccato

p – pg

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spostamento del baricentro di soli 24 cm: frattura probabile !


Mf = d (p – pg) ≥ tibia

r3

4 Mf

r = 1 cm

Mf (frattura) = d (p – pg) = (10–2 m)3 x 2.13 108 N m–2 = 4

= 1.67 102 N m = 1670 kgp cm

p – pg = 70 kgp

1670 kgp cm

70 kgp

d = = 24 cm

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TORSIONE DELLA TRAVE

flessione della trave : momento flettente da momenti delle forze interne

A

C

C'

C

A'

A

C'

A'

N1

p – N

2

torsione della trave :momento di torsione da forze interne opposte

deformazione

16


legge di Hooke per la torsione : = hG

FA

G = modulo di scorrimento E12

osso lungo : G = 0.8 ÷ 1.2 1010 N m–2

F

base vincolata

h

A

=h

deformazione

h

F

17


legge di Hooke per la torsione : = hG

FA

G = modulo di scorrimento E12

osso lungo : G = 0.8 ÷ 1.2 1010 N m–2

• sforzo di torsione t =

• stiramento per torsione t =

piccole torsioni t

legge di Hooke : t = G

tG E1

2

FA

h


deformazione trave sotto carico generico• per flessione (momenti forze interne)• per torsione (forze interne)

deformazione per flessione > deformazione per torsione

(trave cilindrica piena)

deformazione trave sotto carico di pura torsione(niente curvatura)

momento torcente esterno :

base vincolata

FF

T = F R

R

19


r

h

base vincolata

r

fibre

fibre a distanza r dal centro :

raggio trave = R

= = t

=(r)

r h

F2

–

+F2

R

R

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momento torcente esterno T

T = F2

R –R + F2

–

=

= F R

relazione T

F2

–

+F2

–R

R

•

rdr

Si

•

base vincolata

in ogni sezione intermedia agisce momento interno –T

21

F2

–

+F2

–R

R

•

rdr

Si

•

base vincolata

corona circolare i-esima (area Si ) :

forza torcente interna = t S

i

momento forza torcente :

rt S

i = T

i

Ti = r

t S

i = GS

i

t = G

t = G r

h

r2

h

momento torcente T = Ti

i

22


Ti = r

t S

i = GS

i

r2

h

2 Gh

0

R G

2htorsione= r3 dr = R4 = T

• trave cilindrica piena= M

f E

R r4

4flessione• 2 G E

r2

hT = T

i = GdS = G2r dr =

i

S

r2

h0

R

23

• momento torcente terminale Tt

• angolo di frattura per torsione t

femore ................................. tibia ..................................... fibula ................................... omero .................................. radio e ulna ......................... vertebra cervicale ............... vertebra toracica media ...... vertebra lombare .................

100 ......... 140 ......... 12 ......... 60 ......... 20 ......... 5 ......... 17 ......... 44 .........

1.5 3.4 35.7 5.9 15.4 38 24 15

t (gradi)T

t (N m)


FRATTURA PER TORSIONE

• frattura a spiralesci frattura per torsione della tibia

F

d

Tt = 100 N m = F d

d = 1 m F = 100 N

F = 100 N = 10.2 kgp

t = 3.5°

360°

spostamento della punta di

100 cm 3.5°2 = 6.1 cm !!(sgancio da allacciamenti di sicurezza)

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STRUTTURA CAVA

confronto trave cilindrica piena - cava

Rr

•

• uguali massa e densità

•

r

volumi di materia uguali : 2 r r h = R2 h

r > R r = R > 1

2 r r = R2

26

STRUTTURA CAVA

2 r r = R2 r = R > 1

Ti = GS

i

r2

h

r2

h T

cavo = GS = 2 r3 r

= R2 r2

Gh

Gh

Tpieno

= R4 G2 h

struttura cava : momento torcente per conferire angolo maggiore di un fattore 22 più robusta !!

Tcavo

= Tpieno

= 2 2 Tpieno

r2

2 R2

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