Lavoro redatto dalla prof.ssa Fabbri Francesca 1

Trasformazioni geometriche nel piano: dalle isometrie alle affinità

Le trasformazioni geometriche In generale una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca del piano in sé, ossia associa ad un punto del piano uno ed un solo punto del piano stesso: : 't P P→ . Essendo la corrispondenza biunivoca, esiste sempre la trasformazione inversa 1 : 't P P− → In generale, data una trasformazione geometrica t, per trasformare un grafico di equazione ( )y f x= , è necessario trovare le equazioni della trasformazione inversa t-1 ed eseguire le sostituzioni nell’equazione data. Un punto è unito se è trasformato in se stesso (se ha per immagine se stesso). Una figura è unita se ha per immagine se stessa. N.B. I punti di una figura possono corrispondere ai punti della figura stessa, senza necessariamente essere punti uniti; se ad esempio in una retta ogni punto è unito, la retta si dice retta di punti uniti (o retta puntualmente unita) altrimenti si dice semplicemente retta unita (o retta globalmente unita). Una retta di punti unita è anche retta unita (non viceversa). La trasformazione che ad ogni punto associa se stesso si chiama identità; nell’identità ogni punto è unito.

Composizione di trasformazioni geometriche. Supponiamo di avere due o più trasformazioni e di volerle applicare una dopo l'altra. Questo vuol dire che dopo avere applicato la prima, applico la seconda alla figura ottenuta dalla prima trasformazione e così di seguito. Se ho due trasformazioni, prima applico ad esempio 1 : 't P P→ e poi 2 : ' ''t P P→ ; è come aver applicato la trasformazione composta 2 1 : ''t t P P→o . Generalmente, per la composizione di trasformazioni geometriche non vale la proprietà commutativa ( 1 2 2 1t t t t≠o o ). Vale invece la proprietà associativa ( ) ( )1 2 3 1 2 3t t t t t t=o o o o .

Inoltre, per la definizione di trasformazione inversa, è vero che 1 1t t t t i− −= =o o , si ottiene cioè l’identità. Una trasformazione si dice involutoria se componendola con se stessa si ottiene l’identità: t t i=o , ossia la trasformazione inversa coincide con quella di partenza.

Elementi uniti. Per trovare i punti uniti basta porre x=x’ e y=y’ nell’equazione della trasformazione; si ottiene un sistema lineare nelle due incognite x e y. A seconda dei casi si potrà avere una sola soluzione (un solo punto unito), infinite soluzioni (infiniti punti uniti, tutti appartenenti alla medesima retta che sarà una retta di punti uniti), nessuna soluzione (nessun punto unito). Per trovare le rette unite basta calcolare le equazioni della trasformazione inversa t-1 ed applicarle sulla generica retta di equazione y mx q= + ed imporre che i coefficienti delle due rette siano identicamente uguali; bisogna però porre attenzione alle rette parallele all’asse delle ordinate (la cui equazione non è compresa in quelle del tipo y mx q= + ) controllando il comportamento della trasformazione sulle rette del tipo x h= , analogamente a sopra.

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Le isometrie Si dice isometria una trasformazione geometrica che conserva le distanze. Dati due punti A, B l'isometria fa ad essi corrispondere due punti A' e B' tali che ' 'AB A B= . Per isometria sono invarianti la congruenza di segmenti e di angoli pertanto le figure trasformate conservano la forma e la grandezza e dunque risultano congruenti a quelle date. Ci sono 5 tipi di isometria: traslazione, simmetria centrale, rotazione, simmetria assiale e glissosimmetria. Nel seguito sono indicate le equazioni nel piano cartesiano x0y, considerando ( );P x y e il suo

corrispondente a seguito della trasformazione ( );P x yʹ′ ʹ′ ʹ′ . Le equazioni delle varie trasformazioni sono indicate anche mediante la notazione matriciale.

La traslazione

Le equazioni sono del tipo: :x x py y q

τʹ′ = +⎧

⎨ ʹ′ = +⎩ ossia

1 00 1

x x py y qʹ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ʹ′⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

con p e q costanti reali. La

matrice della trasformazione è la matrice identità. Si dice anche che la traslazione trasforma i punti del piano secondo il vettore ( );v p q

r.

Proprietà fondamentali delle traslazioni. Si può dimostrare che una traslazione gode delle seguenti proprietà: • una traslazione (diversa dall'identità) non ha né punti uniti né rette di punti uniti;

• le rette parallele al vettore ( );v p qr

, ossia quelle di coefficiente angolare qp

sono rette unite;

• componendo due traslazioni di vettori 1 2 e v vr r

si ha ancora una traslazione di vettore 1 2v v+r r

.

La simmetria centrale

Le equazioni sono del tipo: 2

:2

MM

M

x x xs

y y yʹ′ = −⎧

⎨ ʹ′ = −⎩ ossia

21 020 1

M

M

xx xyy y

ʹ′ − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ʹ′ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dove ( );M MM x y è

il centro della simmetria ed il punto medio del segmento individuato da punti corrispondenti.

Proprietà fondamentali delle simmetrie centrali. Si può dimostrare che una simmetria centrale gode delle seguenti proprietà:

• L’unico punto unito della simmetria centrale è il centro; ogni retta passante per il centro è retta unita;

• È una trasformazione involutoria: componendola con se stessa si ottiene l’identità. La simmetria rispetto all’origine ne è un caso particolare;

• La simmetria centrale di centro O è uguale al composto di due simmetrie assiali aventi gli assi fra loro perpendicolari in O;

• Date due simmetrie centrali 1M

S e 2M

S , la trasformazione composta 2 1M MT S S= o è una

traslazione di vettore 1 22v M M=r uuuuuuur

.

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α

β

P’(x’;y’) P(x;y)

O

La rotazione Utilizzando la goniometria è possibile scrivere:

( )( )

cos

sin essendo '

'cos( ) ' cos cos sin sin cos sin

'sin( ) ' sin cos cos sin sin cos

x OP

y OP OP OP

x OP OP x y

y OP OP x y

β

β

α β α β α β α α

α β α β α β α α

↓

=

= =

ʹ′ = + = − = −

ʹ′ = + = + = +

Le equazioni della rotazione di un angolo α (in senso antiorario) e di centro O sono allora:

0,

cos sin:

sin cosx x yy x yα

α αρ

α α

ʹ′ = −⎧⎨ ʹ′ = +⎩

o anche cos sinsin cos

x xy y

α α

α α

ʹ′ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ʹ′⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

. Osserva che ( )det 1A = .

La rotazione inversa 10,αρ− è la rotazione di centro O e angolo α− ; infatti le equazioni sono:

10,

cos sin:

sin cosx x yy x y

αα α

ρα α

−ʹ′ ʹ′= +⎧

⎨ ʹ′ ʹ′= − +⎩ o anche

cos sinsin cos

x xy y

α α

α α

ʹ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ʹ′−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

dove 1cos sinsin cos

Aα α

α α−⎛ ⎞

=⎜ ⎟−⎝ ⎠ è

proprio la matrice inversa della matrice cos sinsin cos

Aα α

α α

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Osserva infatti che ( )

( ) ( )( ) ( )

1 cos sincos sin cos sin1sin cossin cos sin cosdet

AA

α αα α α αα αα α α α

− ⎛ ⎞− + −− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

riscrivendo i coefficienti della matrice considerando gli angoli opposti (ricorda che la funzione coseno è pari mentre la funzione seno è dispari!) si può concludere che la rotazione inversa ha lo stesso centro ma angolo α− . Se il centro di rotazione di angolo α è ( );c cC x y allora le equazioni diventano

( ) ( )( ) ( ),

cos sin:

sin cosc c c

Cc c c

x x x y y xy x x y y yα

α αρ

α α

ʹ′⎧ = − − − +⎪⎨ ʹ′ = − + − +⎪⎩

o anche cos sinsin cos

c c

c c

x x x xy y y y

α α

α α

ʹ′− −−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ʹ′ − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Se l’equazione è scritta come ,

cos sin:

sin cosC

x x y py x y qα

α αρ

α α

ʹ′ = − +⎧⎨ ʹ′ = + +⎩

, il centro della rotazione è determinabile

come unico punto unito della trasformazione. La trasformazione inversa di una rotazione di centro C e angolo α è ancora una rotazione di centro C ma con angolo α− , cioè la rotazione inversa di ,C αρ

risulta essere 1,C αρ−− .

Proprietà fondamentali delle rotazioni. Si può dimostrare che una rotazione gode delle seguenti proprietà:

• se 0 o 2α α π= = , la rotazione risulta essere l’identità; • se α π= o α π= − , la rotazione coincide con la simmetria centrale; • componendo due rotazioni con lo stesso centro C di angoli 1 2 e α α si ha ancora una rotazione

di centro C e angolo 1 2α α+ ; • componendo due rotazioni di centri C1 e C2 diversi si può ottenere una rotazione di diverso

centro C e angolo 1 2α α+ oppure una traslazione.

Lavoro redatto dalla prof.ssa Fabbri Francesca 4

α

P’(x’;y’)

P(x;y)

r

La simmetria assiale Riportiamo le equazioni delle più comuni simmetrie assiali:

Equaz. Simm. rispetto all’asse x

Equaz. Simm. rispetto all’asse y

Equaz. Simm. rispetto a y=k (⁄⁄

asse x)

Equaz. Simm. rispetto a x=h (⁄⁄

asse y)

Equaz. Simm. rispetto a y=x

Equaz. Simm. rispetto a y=-x

x xy yʹ′ =⎧

⎨ ʹ′ = −⎩

x xy yʹ′ = −⎧

⎨ ʹ′ =⎩

2x xy k yʹ′ =⎧

⎨ ʹ′ = −⎩

2x h xy yʹ′ = −⎧

⎨ ʹ′ =⎩

x yy xʹ′ =⎧

⎨ ʹ′ =⎩

x yy xʹ′ = −⎧

⎨ ʹ′ = −⎩

Matrici dei coefficienti delle simmetrie assiali più comuni:

Simmetria rispetto all’asse x

Simmetria rispetto all’asse y

Simmetria rispetto a y=k (⁄⁄

asse x)

Simmetria rispetto a x=h (⁄⁄

asse y)

Simmetria rispetto a y=x

Simmetria rispetto a y=-x

1 00 1⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 00 1−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 00 1⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 00 1−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0 11 0⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0 11 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

In generale, due punti P e P’ si corrispondono in una simmetria assiale rispetto ad una retta :r y mx q= + se e solo se r risulta essere l’asse del segmento PP’. Su questa definizione si basa il

procedimento per determinare le equazioni della simmetria assiale rispetto ad una generica retta:

+q (punto medio PP' r)2 2

1 (retta PP' retta r)

y y x xm

y yx x m

ʹ′ ʹ′+ +⎧ = ∈⎪⎪⎨ ʹ′−⎪ = − ⊥⎪ ʹ′−⎩

Con considerazioni di carattere goniometrico (*) e nel caso in cui la retta r, asse di simmetria, passi per l’origine, cioè :r y mx= , e formi un angolo di ampiezza α con la direzione positiva dell’asse delle ascisse, si può trovare che l’equazione della simmetria è, in forma matriciale:

( ) ( )( ) ( )

cos 2 sin 2sin 2 cos 2

x xy y

α α

α α

ʹ′ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ʹ′ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

; se è dato direttamente l’angolo che l’asse

di simmetria forma con l’asse x nella matrice si mettono il coseno ed il seno dell’angolo doppio e l’equazione della simmetria rispetto a tale retta è presto determinata. (*) Ricordando tanm α= e le formule parametriche razionali in funzione di tant α= :

2

2 2

1 2cos2 ,sin 21 1t tt t

α α−

= =+ +

…

Proprietà fondamentali delle simmetrie assiali.

• I punti uniti sono i punti dell’asse di simmetria (che è retta di punti uniti). Oltre all’asse di simmetria, ogni retta perpendicolare all’asse è retta unita;

• È una trasformazione involutoria: componendola con se stessa si ottiene l’identità.

La glissosimmetria (o antitraslazione) È definita come la composizione di una simmetria assiale con una traslazione di vettore parallelo all’asse di simmetria. Si riconosce perché è un’isometria indiretta senza punti uniti e l’unica retta unita è l’asse di simmetria.

Lavoro redatto dalla prof.ssa Fabbri Francesca 5

O

P

P’

Le isometrie – sintesi finale -

Tutte le isometrie sono rappresentate da equazioni lineari del tipo: x ax by cy a x b y cʹ′ = + +⎧

⎨ ʹ′ ʹ′ ʹ′ ʹ′= + +⎩.

Dal calcolo del determinante della matrice dei coefficienti a b

Aa b⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ʹ′ ʹ′⎝ ⎠ si ha che esso vale sempre

( )det 1A = ± .

Se ( )det 1A = si ha una ISOMETRIA DIRETTA (traslazione o simmetria centrale o rotazione);

se ( )det 1A = − si ha una ISOMETRIA INDIRETTA (simmetria assiale o glissosimmetria) Relativamente ai punti uniti: • nella traslazione e nella glissosimmetria non ci sono punti uniti; • nella simmetria centrale e nella rotazione c’è un solo punto unito: il centro; • nella simmetria assiale i punti uniti sono quelli dell’asse di simmetria (ci sono ∞ punti uniti).

Relativamente alle rette (globalmente) unite: • nella traslazione sono quelle parallele al vettore che individua la traslazione stessa (ci sono ∞ rette

unite); • nella simmetria centrale sono quelle passanti per il centro (ci sono ∞ rette unite); • nella rotazione non ci sono rette unite; • nella simmetria assiale sono quelle perpendicolari all’asse di simmetria (ci sono ∞ rette unite)

mentre l’asse di simmetria è retta di punti uniti; • nella glissosimmetria l’asse di simmetria è retta unita. Tabella che serve per riconoscere e classificare le varie isometrie:

( )det A Trasformazione Punti Uniti Rette di punti uniti

Rette Unite

+1 TRASLAZIONE ∃ ∃ Rette // vr

+1 SIMMETRIA CENTRALE Centro di simm. ∃ Rette per il Centro +1 ROTAZIONE Centro di rotaz. ∃ ∃ -1 SIMMETRIA ASSIALE Punti ∈ asse Asse di simm. Rette ⊥ Asse -1 GLISSOSIMMETRIA ∃ ∃ Asse di simm.

Le omotetie Dato un numero reale non nullo h e un punto P del piano, l’omotetia di rapporto h e centro O è quella trasformazione che associa a P il punto P' tale che 'OP h OP= ⋅ . Se è P(x,y) allora P'(hx ; hy).

P' è detto omotetico di P. O si dice centro di omotetia. Il numero h è detto rapporto di omotetia.

• se h>0 l'omotetia si dice diretta (due punti corrispondenti si trovano sulla stessa semiretta di origine il centro O);

• se h<0 l'omotetia si dice indiretta ( “ “ “ si trovano su semirette opposte di origine O).

Lavoro redatto dalla prof.ssa Fabbri Francesca 6

Nel caso in cui il centro di omotetia O corrisponda con l'origine degli assi le equazioni dell'omotetia

sono 0, :hx hxy hy

ωʹ′ =⎧

⎨ ʹ′ =⎩ dove la matrice della trasformazione è

00hh

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

e vale det(A)=h2.

Se il centro è il punto ( );C CC x y le equazioni sono ( )( ), :

C CC h

C C

x h x x xy h y y y

ωʹ′⎧ = − +⎪

⎨ ʹ′ = − +⎪⎩ o anche, svolgendo i

calcoli , :C h

x hx py hy q

ωʹ′ = +⎧

⎨ ʹ′ = +⎩ il cui centro è calcolabile ricordando che esso è l'unico punto unito per

l’omotetia. Le rette passanti per il centro dell’omotetia sono invece rette unite per l’omotetia. “Omotetia” deriva dal greco e significa “simile-posto”; in effetti, per omotetia una figura risulta ingrandita o rimpicciolita, ma non risulta “spostata” rispetto al centro della trasformazione.

Proprietà fondamentali delle omotetie. Si può dimostrare che un'omotetia gode delle proprietà delle similitudini (trasforma un segmento in un segmento proporzionale, una retta in una retta ad essa parallela, conserva le ampiezze degli angoli) ed in particolare: • trasforma una figura geometrica in una figura simile a quella data, ingrandendola se 1h > o

riducendola se 1h < . • componendo due omotetie con lo stesso centro C, si ha ancora una omotetia di centro C e rapporto

dato dal prodotto dei singoli rapporti di omotetia. • componendo due omotetie con centri diversi, si ha o una traslazione (se il prodotto dei rapporti di

omotetia è uguale a 1) o una omotetia (se tale prodotto è diverso da 1). • Ogni omotetia ,C hω ammette l’omotetia inversa 1

1,Ch

ω− .

Osservazioni:

Un’omotetia è un tipo particolare di similitudine. Inoltre il valore assoluto h del rapporto di omotetia è

uguale al rapporto di similitudine k, cioè 2 2a b= = +h k .

Le similitudini Una similitudine è una trasformazione geometrica che conserva il rapporto fra le lunghezze di segmenti corrispondenti; cioè comunque si scelgano A e B, considerati i loro trasformati A' e B' si ha ' 'A B kAB= , dove k (sempre positivo) si chiama rapporto di similitudine.

Una similitudine è definita da equazioni x ax by cy a x b y cʹ′ = + +⎧

⎨ ʹ′ ʹ′ ʹ′ ʹ′= + +⎩ con la condizione però che sia:

2 2 2 2

0a a b bab a b

⎧ ʹ′ ʹ′+ = +⎨

ʹ′ ʹ′+ =⎩.

Da questa relazione segue che una similitudine può essere espressa in due soli modi: 2 2 2

1 : con 0x ax by c a b

a b ky bx ay c b a

σʹ′ = − + −⎧

= + = >⎨ ʹ′ ʹ′= + +⎩ SIMILITUDINE DIRETTA

oppure

2 2 22 : con 0

x ax by c a ba b k

y bx ay c b aσ

ʹ′ = + +⎧= − − = − <⎨ ʹ′ ʹ′= − + −⎩

SIMILITUDINE INDIRETTA

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In entrambi i casi il rapporto di similitudine k positivo di cui sopra è dato da 2 2det( )k A a b= = + .

Proprietà fondamentali delle similitudini. Si può dimostrare che una similitudine gode delle seguenti proprietà: • conserva il rapporto fra le lunghezze; • trasforma un angolo in un angolo congruente (conserva l’ampiezza degli angoli); • trasforma rette parallele in rette parallele e rette perpendicolari in rette perpendicolari; • trasforma circonferenze in circonferenze; • una figura geometrica in una figura simile a quella data; • se F' è la figura geometrica trasformata di F, allora valgono: Area(F')=k2⋅Area(F) e

perimetro(F')=k⋅perimetro(F); • componendo due similitudini di rapporti 1 2 e k k , si ha ancora una similitudine di rapporto 1 2k k⋅ .

Composizione di un’omotetia e di un’isometria La composizione di un’omotetia con un’isometria è sempre una similitudine; ogni similitudine si può ottenere dalla composizione di un’omotetia e di un’isometria (o viceversa). In particolare si ha una similitudine diretta se è il composto di un’omotetia e di un’isometria diretta (in ordine qualsiasi), mentre si ha una similitudine indiretta se è il composto di un’omotetia e di un’isometria indiretta (in ordine qualsiasi). Il composto di due similitudini dirette è una similitudine diretta, mentre il composto di due similitudini indirette è una similitudine diretta. Una similitudine che abbia l’origine come punto fisso si può pensare come il risultato della composizione di:

• una omotetia di centro l’origine di rapporto 0k ≠ e matrice 0

0kk

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

e di

• una isometria che lascia fissa l’origine che può essere diretta o indiretta. Componendo l’omotetia con ognuna delle due isometrie si ottengono le matrici dei due tipi di similitudini (ambedue di rapporto k ): Per studiare una similitudine, conviene mettere in evidenza il rapporto di similitudine (che indicherà anche il rapporto dell’omotetia) per studiare poi la matrice dell’isometria che resta.

Lavoro redatto dalla prof.ssa Fabbri Francesca 8

Le affinità Si chiama affinità (o trasformazione affine) la corrispondenza biunivoca T che fa corrispondere al

punto P di coordinate ( );x y il punto P' di coordinate ( );x yʹ′ ʹ′ secondo le equazioni: x ax by cy a x b y cʹ′ = + +⎧

⎨ ʹ′ ʹ′ ʹ′ ʹ′= + +⎩

ossia x a b x cy a b y cʹ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ʹ′ ʹ′ ʹ′ ʹ′⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, dove i coefficienti a, b, c, a’, b’, c’sono numeri reali. L'applicazione è

biiettiva se e solo se det( ) 0a b

A ab a ba b

ʹ′ ʹ′= = − ≠ʹ′ ʹ′

. La matrice A si chiama matrice dell’affinità.

Se c e c’ sono nulli l’origine resta fissa. N.B. det(A)≠0 ⇔ 1 1det( )

b bA

a aA−

ʹ′ −⎛ ⎞∃ = ⎜ ⎟ʹ′−⎝ ⎠

; A-1 è la matrice

associata alla trasformazione inversa T-1 la cui equazione risulta quindi: 1x x cA

y y c−

ʹ′ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ʹ′ ʹ′−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Proprietà fondamentali delle affinità. Si può dimostrare che un'affinità gode delle seguenti proprietà:

• a una retta corrisponde un’altra retta; (conserva l’allineamento); • a rette parallele corrispondono rette parallele; (conserva il parallelismo); • a rette incidenti corrispondono rette incidenti; (conserva l’incidenza); • le coniche si trasformano in coniche (ellisse → ellisse, parabola → parabola, iperbole →

iperbole); • il rapporto delle aree di figure corrispondenti è costante, cioè: se la figura F' è l'immagine

corrispondente di una figura F, allora Area (F')=|det(A)|⋅Area (F).

Il rapporto costante fra tali aree si chiama rapporto di affinità r, cioè Area(F')det( )Area(F)

r A= = .

Esso rappresenta l’area del parallelogramma nel quale si trasforma il quadrato di lato unitario.

Nel caso in cui il rapporto di affinità r sia uguale a +1, l’affinità conserva le aree e si dice equivalenza. Affinità diretta (si conserva l’orientamento dei vertici di un poligono) ⇔ det(A)>0; Affinità indiretta (si inverte l’orientamento dei vertici di un poligono) ⇔ det(A)<0; In generale un’affinità non conserva le distanze fra i punti, gli angoli, la forma delle figure. Infatti l’immagine di un rettangolo è in generale un parallelogramma, così come l'immagine di una circonferenza sarà un'ellisse.

Particolari affinità: le dilatazioni

Le equazioni x hx py h y qʹ′ = +⎧

⎨ ʹ′ ʹ′= +⎩, con , 0h hʹ′ ≠ rappresentano particolari affinità chiamate dilatazioni di

rapporti h e h’.

Si ottengono dall’equazione x ax by cy a x b y cʹ′ = + +⎧

⎨ ʹ′ ʹ′ ʹ′ ʹ′= + +⎩con 0 0b aʹ′= ∧ = )

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Classificazione delle affinità Le affinità si possono classificare in vari tipi a seconda delle proprietà di cui godono o meglio a seconda delle proprietà invarianti, proprietà cioè che si conservano nella trasformazione. Le proprietà invarianti delle trasformazioni sono riassunte nella tabella che segue; si può osservare che, passando dall’insieme delle isometrie a quello delle similitudini a quello delle affinità, le proprietà invarianti diventano via via “più deboli”:

Invarianti delle isometrie Invarianti delle similitudini Invarianti delle affinità Allineamento dei punti Allineamento dei punti Allineamento dei punti Incidenza e parallelismo tra coppie di rette

Incidenza e parallelismo tra coppie di rette

Incidenza e parallelismo tra coppie di rette

Forma delle figure Forma delle figure Ampiezza degli angoli Ampiezza degli angoli Lunghezze: A'B' AB=

Rapporti tra le lunghezze: A'B'det( )AB

k A= =

Aree: Area(F')=Area(F)

Rapporti tra le aree: 2 Area(F')det( )

Area(F)k A= =

Rapporti tra le aree: Area(F')det( )Area(F)

r A= =

Il rapporto di affinità è il quadrato del rapporto di similitudine 2r k= oppure il rapporto di similitudine è la radice quadrata del rapporto di affinità: ossia k r= . Un’isometria è una particolare similitudine in cui il rapporto di similitudine k vale 1: det( ) 1k A= = . L’insieme delle affinità si può quindi così rappresentare e schematizzare.

Si osserva che all'insieme delle affinità appartengono le similitudini e le isometrie come casi particolari di affinità. All'insieme delle similitudini appartengono le omotetie e le isometrie.

Traslazioni Simmetrie centrali Rotazioni

Simmetrie assiali Glissosimmetrie

Isometrie DIRETTE

Isometrie INDIRETTE

Lavoro redatto dalla prof.ssa Fabbri Francesca 10

Un’affinità di equazioni x ax by cy a x b y cʹ′ = + +⎧

⎨ ʹ′ ʹ′ ʹ′ ʹ′= + +⎩è una similitudine se e solo se vale:

2 2 2 2

0a a b bab a b

⎧ ʹ′ ʹ′+ = +⎨

ʹ′ ʹ′+ =⎩.

L’omotetia è una particolare similitudine diretta (si ottiene dall’equaz. x ax by cy bx ay cʹ′ = − +⎧

⎨ ʹ′ ʹ′= + +⎩con 0b = )

Un’affinità di equazioni x ax by cy a x b y cʹ′ = + +⎧

⎨ ʹ′ ʹ′ ʹ′ ʹ′= + +⎩ è una isometria se e solo se vale:

2 2 2 2 10

a a b bab a b

⎧ ʹ′ ʹ′+ = + =⎨

ʹ′ ʹ′+ =⎩ e

det(A)=±1.

Approfondimento

Da dove derivano le condizioni 2 2 2 2

0a a b bab a b

⎧ ʹ′ ʹ′+ = +⎨

ʹ′ ʹ′+ =⎩ e

2 2 2 2 10

a a b bab a b

⎧ ʹ′ ʹ′+ = + =⎨

ʹ′ ʹ′+ =⎩ per similitudini e

isometrie??? I versori di un sistema di riferimento sono: Mediante l’applicazione di una trasformazione geometrica, la cui matrice dei coefficienti è

a bA

a b⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ʹ′ ʹ′⎣ ⎦, i versori si trasformano come segue.

Esempio: 1 21 1

A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

La matrice A dei coefficienti ci fornisce informazioni su come si trasformano i versori del sistema di riferimento a seguito della trasformazione affine: le due colonne corrispondono alle componenti dei

trasformati dei versori fondamentali, cioè a b

Aa b

i j

⎡ ⎤= ⎢ ⎥ʹ′ ʹ′⎣ ⎦

ʹ′ ʹ′r r

. Il quadrato di lato unitario individuato dai

versori e i jr r

viene trasformato nel parallelogramma che ha per lati e i jʹ′ ʹ′r ur

. Nell’esempio della figura l’area di questo parallelogramma è 3 che è proprio il valore del determinante della matrice della trasformazione. Questo fatto vale in generale e lo si può provare.

( )deta b

A ab a ba b

ʹ′ ʹ′= = −ʹ′ ʹ′

L’area del parallelogramma nel quale si trasforma il quadrato di lato unitario è uguale al valore assoluto del determinante della matrice della trasformazione:

( )detArea A=

( ) ( )1 0

1;0 0;10 1

i j⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

r r

10

01

a b a b ai i

a b a b a

a b a b bj j

a b a b b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ʹ′ = ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ʹ′ ʹ′ ʹ′ ʹ′ ʹ′⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ʹ′ = ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ʹ′ ʹ′ ʹ′ ʹ′ ʹ′⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

r r

r r

Lavoro redatto dalla prof.ssa Fabbri Francesca 11

Veniamo alle isometrie. Per isometria due figure sono congruenti ed in particolare hanno la stessa area. Questo comporta che i versori fondamentali e i j

r r devono essere trasformati in modo da definire ancora un quadrato di lato

unitario. Ciò implica che sia ( )det 1A = ± . Ciò però non basta. Affinché il parallelogramma dei versori

trasformati sia un quadrato di lato unitario occorre che e i jʹ′ ʹ′r ur

siano perpendicolari e abbiano modulo 1.

Data quindi la matrice della trasformazione a b

Aa b⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ʹ′ ʹ′⎣ ⎦ e i trasformati dei versori fondamentali

( ) ( )= ; e ;i a a j b bʹ′ ʹ′ ʹ′ ʹ′r ur

occorre che sia:

1a ba bʹ′ ʹ′⋅ = − ossia ab a bʹ′ ʹ′= − cioè: 0ab a bʹ′ ʹ′+ = (condizione di perpendicolarità)

Inoltre = 1i jʹ′ ʹ′ =r ur

che significa: 2 2 2 2 1a a b bʹ′ ʹ′+ = + = , cioè: 2 2 2 2 1a a b bʹ′ ʹ′+ = + =

(moduli dei versori fondamentali trasformati uguali a 1). Affinché un’affinità sia una similitudine deve comunque valere la condizione di perpendicolarità mentre basta che i moduli dei versori trasformati siano fra loro uguali.