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La relatività in dieci minuti
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La relatività in dieci minuti
Riassumendo
• Le leggi dell’elettromagnetismo sono invarianti rispetto alle trasformazioni (dette di Lorentz) per cui
(tA − tB)2 − (xA − xB)
2 = invariantec2
nella geometria di Euclide
x
y
••
A
B
(xA − xB)2 + (yA − yB)
2 = invariante
Teorema di Pitagora
nella geometria di Euclide
x
y y = mx
y = !
1
mx
rette ortogonali hanno pendenze inverse (o reciproche)e opposte (di segno opposto)
rette parallele hanno la stessa pendenza
conseguenza delTeorema di Pitagora
x
t
nella geometria di Minkowski
••
A
B
(tA − tB)2 − (xA − xB)
2 = invariante
Teorema di Pitagora“con il segno sbagliato”
c2
c
nella geometria di Minkowski
(tA − tB)2 − (xA − xB)
2 > 0 intervallo tipo-tempo
(tA − tB)2 − (xA − xB)
2 = 0 intervallo tipo-nullo
(tA − tB)2 − (xA − xB)
2 < 0 intervallo tipo-spazio
c2
c2
c2
x
t t =1
vx
t = vx
rette ortogonali hanno pendenze inverse (o reciproche)nella geometria di Minkowski
rette parallele hanno la stessa pendenza
t =1
v(x ! x0)t =
1
vxEsempio:
t = x
t = x e ortogonale a se stessa
conseguenza delTeorema di Pitagora
“con il segno sbagliato’’
c
x!=
x ! vt!
1 !
v2
c2
t!=
t !vx
c2
!
1 !
v2
c2
Trasformazioni di Lorentz
La relatività in un’ora
linea di universo di K
linea di universo di K’
K si muove con velocita v rispetto a K !
K’ si muove con velocita !v rispetto a K
evento di incontro tra K e K !D
spazio di K
ortogonale alla linea di universo di K
D
ortogonale allo spazio di K
tempo di K
D
t tempo misurato in secondi
t misurato in metri
t = ct
c fattore di conversione
c ha le dimensioni di una velocita
quando il tempo si misura in metri le velocita sono numeri puri ( adimen-sionali)
B
xB
xB = vtB
t =1
vx
D
A
B
tB
xB
xB = vtB
D
A
t!
B = |DB|
tB = tA = |AD|
A B
ab
D
d
a2
= b2! d
2
A B
D
tB
vtB
t!
B
t!
B
2= tB
2! v
2tB
2
t!
B = tB
!
1 ! v2
!T =!T0
!
1 " v2
xB
A B
D
tB
vtB
t!
B!T =
!T0!
1 " v2
xB
D�Paradosso dei gemelli
•
•
•
A B
ab
D
d
a2
= b2! d
2
b = d
a = 0
spazio di KD
E•|DE| = 0
•
!
!
la retta degli eventiche hanno distanza 0 da D
(|DE| = 0) formauno stesso angolo !con la retta del tempo di K
e con (la retta del)lospazio di K
ortogonale alla retta del tempo di K
tempo di K
D•
!!
lo stesso deve accadere per K !
spazio di K !
tempo di K !
•
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D
E
F
D
E
F
D
E
FD
E
F
A B
D
vtB
E
F!
!
triangoli rettangoli simili |AB|
|AD|=
|DF |
|EF |
tB
v =
|DF |
|EF |
|EF | = v|DF |
|DF | ! L0
|EF | = vL0
L0
D
E
F
L0
L
|DE| ! L
L2
= L02! v
2L0
2
L = L0
!
1 ! v2
D
PA
E
F
G
H
Q R
D
PA
E
F
G
H
Q R !
!
D
PA
E
F
G
H
Q R
!
!
!
!
D}} }t
x
}x!
t!
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D
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x!
t!
vx
t ! vx
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!
!
!
!
!}vt}
t
(t ! vx)2 = t!2! v
2t!2 t
!=
t ! vx"
1 ! v2
D
} }x ! vt vt
}x!
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!
!
!
!
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(x ! vt)2 = x!2! v
2x!2 x
!=
x ! vt"
1 ! v2
}t
D
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x
x ! vt vt
}x!
t!
vx
t ! vx
}} vt
!
vx!
!
!
!
!
}vt
