La similitudine 1 Definizione ESEMPIO Si chiama similitudine la trasformazione geometrica che si...
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La similitudine 1 Definizione ESEMPIO Si chiama similitudine la trasformazione geometrica che si ottiene dal prodotto di una omotetia con una isometria, in qualunque ordine queste trasformazioni vengano applicate. Per indicare che due figure G e G’ sono simili si scrive G ~ G’ Applichiamo alla figura F una omotetia di centro O e rapporto k e successivamente una simmetria di asse r. F ~ F’’
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La similitudine
1
Definizione
ESEMPIO
Si chiama similitudine la trasformazione geometrica che si ottiene dal prodotto di una omotetia con una isometria, in qualunque ordine queste trasformazioni vengano applicate.Per indicare che due figure G e G’ sono simili si scrive G ~ G’
Applichiamo alla figura F una omotetia di centro O e rapporto k e successivamente una simmetria di asse r.
F ~ F’’
La similitudine
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Proprietà
Per la similitudine valgono tutte quelle proprietà che valgono contemporaneamente per una omotetia e per una isometria, quindi, in una similitudine:
il rapporto fra segmenti corrispondenti è costante ed è uguale al valore assoluto del rapporto di omotetia; esso prende il nome di rapporto di similitudine e lo indicheremo con k angoli che si corrispondono sono congruenti
la figura simile a una retta è una retta
se due rette sono parallele anche le loro corrispondenti lo sono e se due rette sono incidenti anche le loro corrispondenti sono incidenti allo stesso modo.
Inoltre:
due figure omotetiche sono anche simili (l’isometria in questo caso coincide con l’identità)
due figure congruenti sono anche simili (l’omotetia ha rapporto k = 1).
La similitudine
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Riconoscere poligoni simili
Per i triangoli esistono inoltre tre criteri di similitudine
Se due poligoni hanno:
i lati proporzionali:
€
AB′ A ′ B
= BC′ B ′ C
=CD′ C ′ D
= AD′ A ′ D
gli angoli congruenti:
€
A≅ ′ A B ≅ ′ B C ≅ ′ C D≅ ′ D
allora sono simili.
La similitudine
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I criteri di similitudine
Teorema (I criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti.
A ≅ A’, B ≅ B’ ABC ~ A’B’C’
La similitudine
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I criteri di similitudine
Teorema (II criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno due lati proporzionali e l’angolo fra essi compreso congruente.
AB : A’B’ = AC : A’C’, A ≅ A’ ABC ~ A’B’C’
La similitudine
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I criteri di similitudine
Teorema (III criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno i tre lati proporzionali.
AB : A’B’ = AC : A’C’ = BC : B’C’ ABC ~ A’B’C’
La similitudine
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Criteri di similitudine
ESEMPIO
Da un punto M del lato AB di un triangolo ABC tracciamo la parallela al lato BC che incontra in N il lato AC; dimostriamo che i triangoli ABC e AMN sono simili.
Hp. MN ║ BC Th. ABC ~ AMN
Possiamo condurre la dimostrazione in diversi modi:
• possiamo dire che i due triangoli si corrispondono nell’omotetia di centro A e che quindi sono anche simili
• possiamo dire che i due triangoli hanno l’angolo di vertice A in comune ed inoltre, per il teorema di Talete, AM : AB = AN : AC; essi sono quindi simili per il secondo criterio
• possiamo dire che, essendo MN ║ BC, i lati dei due triangoli sono proporzionali (conseguneza del
teorema di Talete) e che essi sono quindi simili per il terzo criterio • possiamo dire che i due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti: ANM ≅ ACB e AMN ≅ ABC perché corrispondenti e che essi sono quindi simili per il primo criterio
La similitudine
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Proprietà dei triangoli simili
Se due triangoli sono simili con rapporto di similitudine uguale a k:
il rapporto fra altezze, mediane, bisettrici omologhe è uguale a k
kFC
CF
MC
CM
CH
CH'''''
il rapporto tra i perimetri è uguale a k, cioè: kp
p'2
2
il rapporto tra le aree è uguale al quadrato del rapporto di similitudine, cioè: 2
'k
S
S
La similitudine
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Corrispondenza con i teoremi di Euclide
Dalla similitudine dei triangoli ABC, ABH e ACH si deduce che:
• in ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa
• in ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
La similitudine
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Similitudine e circonferenza
Relativamente ad una circonferenza e alle sue corde, secanti e tangenti, valgono le seguenti proprietà:
• se due corde di una circonferenza si intersecano, i segmenti di una corda sono i medi, i segmenti dell’altra corda sono gli estremi di una proporzione
CP : BP = AP : DP
• se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano due secanti, una secante e la sua parte esterna sono i medi, l’altra secante e la sua parte esterna sono gli estremi di una proporzione
PD : PB = PA : PC
La similitudine
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Similitudine e circonferenza
• se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano una secante e una tangente, il segmento di tangente è medio proporzionale fra l’intera secante e la sua parte esterna
PB : PQ = PQ : PA
La similitudine
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Similitudine e circonferenza
Vale inoltre il teorema di Tolomeo:
E il suo inverso:
Se in un quadrilatero il rettangolo che ha per dimensioni le diagonali è equivalente alla somma dei rettangoli che hanno per lati i lati opposti, allora il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza.
Teorema. Se un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza, il rettangolo che ha per dimensioni le diagonali è equivalente alla somma dei rettangoli che hanno per lati i lati opposti del quadrilatero.
r (AC, BD) r (AB, CD) + r (BC, AD)
