LE LIVELLAZIONI

Sono delle operazioni topografiche che consentono di misurare il dislivello tra due punti. Si possono classificare in:

LIVELLAZIONI

VISUALE INCLINATA

TACHEOMETRICA d<300 m

TACHEOMETRICA 300 m <d< 1000 m

TRIGONOMETRICA RECIPROCA

TRIGONOMETRICA DA UN ESTREMO

VISUALE ORIZZONTALE

(GEOMETRICHE)

GEOMETRICA DA UN ESTREMO

GEOMETRICA DAL MEZZO

Nota: Vi sono anche altri tipi di livellazione che però non studieremo

LIVELLAZIONE TACHEOMETRICA d<300 m Lo strumento (stazione totale) viene posto nel punto A mentre nel punto B si posiziona il prisma

DAB

hPR

AB

hST

x

j

hST = altezza strumento hPR = altezza prisma DAB = dislivello j = angolo zenitale AB = distanza

Considerando il triangolo rettangolo che si viene a formare tracciando l’orizzontale al prisma e la verticale si può ricavare il lato x:

verticale

jj

tg

ABx

x

ABtg

AB

PRSTAB htg

ABh D

j

attenzione: se j=100c si ha PRSTPRSTAB hhhtg

ABh D

j

LIVELLAZIONE TACHEOMETRICA 300 m<d<1000 m Lo strumento (stazione totale) viene posto nel punto A mentre nel punto B si posiziona il prisma

DAB

hPR

AB

hST

x

j

hST = altezza strumento hPR = altezza prisma DAB = dislivello j = angolo zenitale AB = distanza

La differenza rispetto al caso precedente è che bisogna tener conto della sfericità della terra e della rifrazione atmosferica. La formula diventa

verticale

AB

)2()1(

2

R

ABkh

tg

ABh PRSTAB

D

j

K=coefficiente di rifrazione atmosferica (0,12÷0,16) R=raggio sfera locale (6.377.000 m)

ESERCIZIO N.1

STAZIONE

PUNTI COLLIMATI

ANGOLI (centes.) DISTANZA

ORIZZ. ALTEZZA PRISMA

Orizz. Vert. (m) (m)

S

h = 1,65 m

A 89c,6520 96c,7810 32,265 1,775

B 35c,6255 107c,5900 18,149 1,775

C 28c,9530 108c,5700 39,098 1,550

Per rilevare un terreno ABC si sono eseguite le seguenti misure

Calcolare: 1. Le coordinate dei vertici A,B,C in un sistema di assi con origine in S e lo zero del cerchio

orizzontale sull’asse y 2. Le quote dei vertici B,C 3. La posizione di un punto M posto sul lato AC sapendo che QM = 120,00 m 4. La quota di un punto N posto sul lato BC a 10,00 m da B 5. La pendenza dei lati AB, BC, CA 6. Disegno quotato in scala

QA = 125,00 m

ESERCIZIO N.2

Si conoscono le coordinate cartesiane di due punti A, B

Calcolare: 1. Le coordinate e la quota del punto P 2. La pendenza del lato AB 3. Disegno quotato in scala

QA = 125,45 m k=0,14 R=6.377.000 m

my

mx

A

A

20,330

50,110

my

mx

B

B

30,230

10,730

Per determinare la posizione di un punto P si sono eseguite le seguenti misure:

Stazione

Punti Collimati

Letture ai cerchi NOTE

orizzontale verticale Graduazione centesimale destrorsa

A

hA = 1,55m P 45c,6520 97c,3200 Il punto P è stato collimato a terra

B 99c,1774 104c,7400 Il punto B è stato collimato a terra

B

A 350c,9320 ------ ------

P 42c,3775 ------ ------

LIVELLAZIONE TRIGONOMETRICA RECIPROCA Si usa per distanze elevate, in genere superiori al km. Bisogna disporre contemporaneamente di due strumenti (stazioni totali) poste nei punti A e B.

hA , hB = altezza strumento hPR = altezza prisma eA, eB = correzioni angolari jA, jB = angolo zenitale D = distanza

La formula per calcolare il dislivello è

BAABm

AB hhtgR

QD

D

2)1(

jj

Qm = quota media tra A e B. Essendo però una delle due quote incognite, si può in prima approssimazione sostituire al posto di Qm la quota che conosciamo. R=raggio sfera locale (6.377.000 m)

jA

jB

eA

eB

QA

QB

D

hA

hB

ESERCIZIO (livellazione trigonometrica reciproca) Per trovare la quota di un punto B si è fatta stazione con due teodoliti nei punti A e B misurando i seguenti valori:

hA = 1,55 m, jA = 97c,9994 hB = 1,48 m, jB = 95c,7451 La distanza risulta essere AB = 2855 m sapendo che QA = 358,00 m calcolare QB.

Risposta: QB = 307,51 m

jA

jB

eA

eB

QA

QB

D

hA

hB

LIVELLAZIONE TRIGONOMETRICA DA UN ESTREMO Si usa per distanze elevate, in genere superiori al km. Bisogna disporre lo strumento in un punto e il prisma nell’altro (si può anche collimare direttamente senza prisma con lB=0).

hA = altezza strumento lB = altezza prisma eA = correzione angolari jA = angolo zenitale D = distanza

La formula per calcolare il dislivello è

Nota: essendo una delle due quote incognite, si può in prima approssimazione sostituire al posto di Qm la quota che conosciamo.

jA eA

QA

QB

D

hA

lB

)2(

)1()1( 2

R

Dk

tg

R

QD

lhA

m

BAAB

Dj

Qm = quota media tra A e B. R=raggio sfera locale (6.377.000 m) K = coefficiente di rifrazione (0,12÷0,16)

ESERCIZIO (livellazione trigonometrica da un estremo) Per trovare la quota di un punto B si è fatta stazione con un teodolite in un punto misurando i seguenti valori:

hA = 1,53 m, jA = 97c,9994 lB = 1,70 m La distanza risulta essere AB = 2257 m sapendo che QA = 515,00 m e che k=0,14 calcolare QB assumendo R=6377000 m

Risposta: QB = 586,13 m

jA eA

QA

QB

D

hA

lB

ESERCIZIO Per trovare la quota di due punti A e B distanti 1843,18 m si è fatta stazione con un teodolite in un punto P misurando i seguenti valori:

Calcolare le quote di A e B

Risposta: QA = 446,72 m QB = 486,14 m

Stazione

Punti Collimati

Letture ai cerchi NOTE

orizzontale verticale

A

hA=1,45m

P 352c,8367 99c,4658 Il punto P è stato collimato a terra

B 25c,6438 ------ ------

B

hA=1,52m

A 165c,3442 ------ ------

P 235c,6889 100c,6433 Il punto P è stato collimato a terra

QP = 466,21 m

k = 0,14 R = 6377000 m

LIVELLAZIONI GEOMETRICHE

In genere si usa insieme alla stadia (che nei moderni strumenti può essere con il codice a barre)

Le livellazioni a visuale orizzontale, note come livellazioni geometriche, vengono effettuate utilizzando livelli, strumenti medianti i quali è possibile realizzare linee di mira orizzontali. Si tratta di strumenti dotati di solo cerchio orizzontale in grado di ruotare attorno all’asse verticale e adatti ad operare su terreni pianeggianti.

LIVELLAZIONE GEOMETRICA DA UN ESTREMO

Per determinare il dislivello tra due punti si posiziona lo strumento nel punto A e la stadia nel punto B.

hA = altezza strumento lB = lettura alla stadia (filo medio)

Il dislivello si calcola semplicemente DAB = hA - lB

DAB

hA

lB

AB

INCONVENIENTI DELLA LIVELLAZIONE GEOMETRICA DA UN ESTREMO

x = errore dovuto alla non perfetta orizzontalità dell’asse (strumento non rettificato) y = errore dovuto alla sfericità della terra

DAB

hA

lB

x

y

Con questo metodo non si tiene conto che lo strumento può non essere rettificato (asse di collimazione non perfettamente orizzontale) e dell’errore dovuto alla sfericità e alla rifrazione atmosferica. Pertanto tale metodo è consigliato solo nel caso non possa applicarsi quella dal mezzo.

LIVELLAZIONE GEOMETRICA DAL MEZZO

DAB

lA

lB

lA, lB = letture alla stadia (filo medio)

Il dislivello si calcola semplicemente DAB = lA - lB

VANTAGGI DELLA LIVELLAZIONE GEOMETRICA DAL MEZZO

Per determinare il dislivello tra due punti si posiziona lo strumento in una posizione intermedia e la stadia sia nel punto A che nel punto B.

DAB

hA lB

1. Non si misura l’altezza dello strumento 2. La battuta raddoppia 3. Si elimina l’errore dovuto alla sfericità e alla rifrazione 4. Lo strumento non deve necessariamente essere allineato con il segmento AB ma può essere

spostato lateralmente in posizione equidistante (nel caso ci siano ostacoli) 5. Il dislivello risulta corretto anche se lo strumento non è rettificato

x x

y y

LIVELLAZIONE GEOMETRICA COMPOSTA

Quando il dislivello da misurare è troppo grande e supera l’altezza della stadia si può procedere suddividendo la distanza in più parti e calcolando i singoli dislivelli. Il dislivello finale sarà dato dalla somma dei singoli dislivelli.

DAB = DAM1 + DM1M2 + DM2M3 + DM3B

ESERCIZIO Sono note le coordinate di tre punti A, B, C

Calcolare la pendenza del segmento AC

Risposta: pAC = 0,06384 (6,384%)

QB = 125,58 m

my

mx

A

A

98,2

00,7

my

mx

B

B

00,24

25,15

my

mx

C

C

96,11

57,4

Facendo stazione con un livello in un punto interno al triangolo equidistante dai vertici si sono ottenute le seguenti letture

Stazione

Punti Collimati Lettura stadia (m)

P A 1,456

B 1,125

P B 1,658

C 1,054

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

-10,00 -5,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00

C

A

B

P

(125,58)