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CORSO DI AGGIORNAMENTO PROFESSIONALE PER DOCENTI DI AREA TECNICA DEGLI ISTITUTI TECNICI C.A.T. DELL'EMILIA ROMAGNA

PROF. STEFANO CATASTA

LEX 24/10/2016 _ L'AZIONE SISMICA SU COSTRUZIONI SEMPLICI_ ANALISI STATICA EQUIVALENTE (PARTE 1)

APPUNTI DAL CORSO DI PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI IMPIANTI PROF. STEFANO CATASTA

ANALISI STATICA EQUIVALENTE

L'analisi statica equivalente consiste nella applicazione di forze statiche equivalenti alle forze di inerzia indotte dalla azione sismica. Il procedimento può applicarsi a quei casi che rispettano alcune condizioni di regolarità in pianta ed in alzato, tali requisiti sono espressamente richiamati dalle NTC2008.

La distribuzione delle forze è congruente con gli spostamenti prodotti dal primo modo di vibrare.

L'entità delle forze sismiche da applicare ai vari piani si ottiene attraverso l'ordinata dello spettro di progetto corrispondente al periodo T1 relativo alla costruzione


Per le costruzioni ordinarie non eccedenti i 40m di altezza con masse distribuite lungo l'altezza, il periodo proprio T1 si calcola con la formula proposta dalla normativa

T1= C1*H^3/4

_ per H si intende l'altezza del fabbricato misurata dallo spiccato delle fondazioni_ per C1 si intendono i valori seguenti: 0,085 telai in acciaio; 0,075 telai in c.a.; 0,05 altri tipi

Il taglio alla base vale: Fh= F1+F2+3

Il peso sismico totale vale:Wtot= W1+W2+W3

I pesi sismici devono intendersi

Nota: il coefficiente (lambda) per edifici < 3 piani vale 1,00 mentre per edifici con 3 o più piani si assume 0,85.Il coefficiente tiene conto delle masse che effettivamente partecipano al primo modo (85%)



Le forze sismiche di piano così calcolate si devono intendere applicate nei centro delle masse di ogni piano e da questo, considerando i solai infidamente rigidi nel loro piano, si distribuiranno sugli elementi resistenti verticali in funzione della rigidezza dell'elemento.

Calcolati il centro delle masse G è quello delle rigidezze K possiamo avere due scenari diversi

Centro delle masse G e centro delle rigidezze K quasi coincidenti

Centro delle masse G e centro delle rigidezze K non coincidenti



Per tenere conto degli effetti torcenti indotti dalle eccentricità accidentali si può, nei sistemi sismoresistenti con baricentri G e K quasi coincidenti, calcolare un coefficiente di maggiorazione che tiene conto della distanza tra l'elemento verticale da analizzare e il centro delle masse G in relazione alla dimensione della direzione trasversale alla azione sismica che si sta considerando


Nel caso di G e K non coincidenti (o in alternativa alla procedura descritta in precedenza) gli effetti torsionali aggiuntivi sono messi in conto spostando il centro di massa di ogni piano nelle direzioni considerate (Ex ed Ey) di una quantità pari a + o - 5% della dimensione massima in direzione perpendicolare alla azione sismica

Le azioni in una direzione si combinano con una quota parte di quelle dell'altra direzione

1*Ex + 0,30*Ey 0,3*Ex+ 1*Ey


ANALISI STATICA EQUIVALENTE_ CASI CON G e K NON COINCIDENTI

Nei casi con G e K non coincidenti le combinazioni di carico possibili in un modellazione di struttura regolare in zona sismica sono:

Az. sism. princ. Eccentricità Az. sism. second Nº combinazioni

Ex

+

+e(y)+0,3*Ey +ex 1

-ex 2

-0,3*Ey +ex 3-ex 4

-e(y)+0,3*Ey +ex 5

-ex 6

-0,3*Ey +ex 7-ex 8

-

+e(y)+0,3*Ey +ex 9

-ex 10

-0,3*Ey +ex 11-ex 12

-e(y)+0,3*Ey +ex 13

-ex 14

-0,3*Ey +ex 15-ex 16

Ed altre 16 combinazioni rispetto alla azione sismica principale Ey. In totale 32 combinazioni

Da qui l'opportunità di impiegare un procedimento di calcolo automatico


ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ sistema regolare intelaiato in c.a. con G e K quasi coincidenti

Analizziamo un sistema intelaiato in c.a. con il software agli elementi finiti SAP2000 educational.

Dati: LAT. 42.732; LON.12.673 (Provincia di Perugia) - classe d'uso II, Vn=50anni, Cu=1, Vr=50anni, cat. suolo C, coeff. Topogr. T1, struttura intelaiata in c.a., classe duttilità B, fattore di struttura q=3,9


ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ coordinate del centro delle masse G

Carichi unitari assegnati:

G1_ strutturePIL 25x50 -- (0,25x0,5x1)x2,5= 3,12kN/mTRV 25x50 -- (0,25x0,5x1)x2,5= 3,12kN/msolaio laterocementizioSOL 20 (16+4) -- 2,8kN/mqG2_permanenti portati

Finiture solaio (massetti, pavimenti, intonaci) -- 1,4kN/mq

Partizioni (incidenza) -- 1,4kN/mq

Muratura perimetrale in blocchi di laterizio alleggerito con aperture incidenti 20% delle superfici dell'involucro

Al ml con h pari all'interpiano -- 8kN/m

I pilastri si estendono per tutta l'altezza del fabbricato con la stessa sezione, da un piano all'altro non ci sono differenze sostanziali in termini di rigidezza e distribuzione delle masse


ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ sistema regolare intelaiato in c.a.

Possiamo determinare i pesi sismici ed i centri delle masse G con l'impiego di un foglio di calcoloPer il primo e secondo impalcato abbiamo gli stessi valori:

W1=W2=857kN

G(4,1;3,9)



Per l'ultimo impalcato abbiamo invece:

W3=634kN

G(4,1;3,9)

Il peso sismico totale vale quindi: W1+W2+W3 = 2*857+634 = 2348kN



Periodo T1 della struttura

T1= C1*H^3/4 = 0,075*11,30^3/4 = 0,46sDa cui ricaviamo la frazione di accelerazione di gravità a cui le masse sono sottoposte in caso di sisma

Il taglio alla base vale: Fh = 0,17*2348*0,85 = 339,30kN

La ripartizione delle forze sismiche ai piani si ottiene con la formula:

Wi zi Wi*zi857 4,30 3685,10 F1 71,40kN857 7,80 6684,60 F2 129,50kN634 11,30 7164,20 F3 139,00kN

Fh 340 Somma 17534

Risolta mediante il foglio di calcolo seguente


ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ sistema regolare intelaiato in c.a.Nei modelli spaziali realizzati con il Sap 2000 l'incidenza dei momenti torcenti prodotti dalle eccentricità tra centro di rigidezza K e centro delle masse G, è implicita nella realizzazione del modello. Per tenere conto delle eccentricità accidentali (5% della massima dimensione in lunghezza) si devono compilare delle specifiche combinazioni di carico

L'entità del momento torcente di eccentricità vale per l'iesimo piano

Mix(+) = Fi * ei(y)

ei'(x) = X(K) - X(G) ------> ei(x) = ei'(x) + 0,05*Lx

ei'(y) = Y(K) - Y(G) ------> ei(y) = ei'(y) + 0,05*Ly

Mix(-) = Fi * -ei(y)Si combinano gli effetti dei momenti con gli effetti della rispettiva forza statica equivalente applicata nel baricentro

Eix(+) = Fi + Mix(+) e Eix(-) = Fi + Mix(-)

La stessa procedura si applica considerando l'azione principale Y:

Azione principale X:

L'entità del momento torcente di eccentricità vale per l'iesimo piano:

Miy(+) = Fi * ei(x) Miy(-) = Fi * -ei(x)

Si combinano gli effetti dei momenti con gli effetti della rispettiva forza statica equivalente applicata nel baricentro

Eiy(+) = Fi + Miy(+) e Eiy(-) = Fi + Miy(-)

Si combinano Ei(x) con 0,3*Ei(y) e Ei(y) con 0,3*Ei(x) poi si combina l'inviluppo di tutte le combinazioni



Rappresentiamo le posizioni spostate dei centri di massa come prodotte dalle eccentricità

Il software consente di gestire in modo automatico le combinazioni una volta che sono state editate le singole situazioni di carico. I risultati da considerare nelle verifiche si assumono dalla combinazione ENVE (inviluppo) che considera per i vari elementi i tratti più sollecitati


ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ variante per K non coincidente

Nel caso di elementi verticali tipo colonna/pilastro abbiamo che la rigidezza vale:

Ki = 12*E*J/ H^3

La procedura di calcolo del centro delle rigidezze può essere agevolmente implementata all'interno di un foglio di calcolo, utilizzando la formula di Varignon Il momento torcente prodotto dalle eccentricità si ripartisce sui telai piani in funzione della distanza di questi dal centro delle masse (la procedura da seguire è analoga a quella in seguito descritta per i sistemi sismoresistenti a "mensole incastrate"

Di seguito si può effettuare il calcolo del telaio piano con un solutore o con uno qualsiasi dei metodi iterativi proposti dalla Scienza delle Costruzioni (Cross, Kani, ecc...)

(Nota: nelle verifiche dei singoli elementi (pilastri, colonne o setti) bisogna tenere conto della azione sismica in direzione opposta al telaio in misura del 30%)


ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ esercizio svolto PASSO-PASSO

Si deve dimensionare una struttura intelaiata in c.a. destinata ad uso residenziale. La costruzione può assumersi regolare in pianta ed in alzato. Con questa ipotesi il modello di comportamento è quello di un oscillatore semplice con più gradi di libertà. Per valutare l'Azione Sismica si devono individuare i parametri di riferimento correlati alle coordinate topografiche, al periodo di ritorno ed al tipo di verifica (SLV, SLD). Per semplicità di trattazione assumiamo le stesse coordinate viste nell'esempio precedente

LAT. 42,732 LONG. 12,673



Calcoliamo il periodo di ritorno:VR = VN*Cu = 50x1= 50 anni ------> da cui otteniamo: SLD = 50anni e SLV = 475anni

Si possono utilizzare diverse procedure per graficizzare lo spettro elastico, in rete si può scaricare gratuitamente il software "Mappe Sismiche" prodotto dalla Acca

Digitando il Comune o la frazione, oppure editando le coordinate WGS84 del sito dove sorgerà l'edificio possiamo ottenere i parametri di riferimento necessari



I valori che ci interessano sono quelli indicati dato che la nostra verifica sarà allo SLV

Ipotizziamo che la Relazione Geologica indichi una Vs,30 = 240 m/s, ci troviamo in questo caso con una caratterizzazione del terreno tipo C. Per la topografia, dato il sito pianeggiante si assume T1



Applichiamo le formule prescritte dalle NTC2008, calcoliamo il valore di Tc essendo:

Tc= Cc*Tc = 1,05*(0,32)^-0,33 x 0,32 = 0,489s il calcolo di TB è immediato essendo: TB = Tc/3 = 0,163s

il calcolo di TD si ricava ponendo: TD = 4*a(g)/g+1,6 = 2,375s

Per il calcolo delle accelerazioni abbiamo:

Se(T) = 0,194*g*(1,42/g)*1*2,42=0,667

Se(TD) = 0,194*1,42*1*2,42*(0,489*2,37/2,37^2) = 0,137

Lo spettro di progetto si ricava a partire dallo spettro elastico, riducendo le ordinate del fattore di struttura "q"

q = qo*KR = ---> KR = 1 e qo= 3*1,3=3,9 ---> q=3,9*1= 3,9 - dividendo le ordinate si arriva al grafico tratteggiato in rosso. Nel tratto significativo TB - TC abbiamo T(d) = 0,667/3,9 = 0,17

Il periodo proprio della costruzione T(1) risulta dalla formula: T(1) = C1*H^0,75 = 0,075*9,6^0,75 = 0,40s

T(1)


ANALISI STATICA EQUIVALENTE _ esercizio svolto PASSO-PASSO_ ANALISI DEI CARICHI UNITARI

PILASTRI: g(1) = (0,25x0,40x1)*25=2,5kN/mTRAVI: g(1) = (0,25x0,6x1)25=3,75kN/mSOLAIO: g(1) = 3,2kN/mq ---> (soluzione 20+4cm) - finiture solaio: g(2) = 2,9kN/mqLa scala è del tipo "appeso" e si valuta in peso come per il solaioTETTO: è del tipo riportato, si assume una incidenza di g(2)=2,4kN/mq - carico NEVE: q(s) = 1,4kN/mqMURATURA: è del tipo in blocchi di laterizio con 20% di foratura ----> si assume 3-0,2*3= 2,4kN/mq

Calcoliamo i pesi sismici di piano con la combinazione sismica:

W3 G1(TRV) = (4x12+3x13)*3,75= 326,25kNG1(PIL) = (2,6x12)x2,5= 78kNG1(SOL) = (12x13)x3,2= 499kNG2(FIN) = (12x13)x2,7= 421kNG2(MUR) = 50x2,4x2,6 = 312kNQs (NEVE) = 12x13x1,4= 218kN

W3 = (326,25+78+499+421+312)+0*218 = 1636kN

W2=W1 G1(TRV) = (4x12+3x13)*3,75= 326,25kNG1(PIL) = (3,2x12)x2,5= 96kNG1(SOL) = (12x13)x3,2= 499kNG2(FIN) = (12x13)x2,9= 452kNG2(MUR) = 50x2,4x3,2 = 384kNQk(VAR) = 12x13x2= 312kN

W2=W1 = (326,25+96+499+452+384+0,3*312) = 1851kN



Calcolo del Valore del Taglio alla Base

Fh= (1637+1851+1851)/g*0,17g*0,85 = 771,50kN

Calcolo delle forze ai piani z(1) = 3,8mz(2) = 7mz(3) = 10,2m

con z(i) quota dallo spiccato ------>

z(1)*W1= 3,8*1851= 7033,8kNz(2)*W2 = 7*1851= 12957kN z(3)*W3 = 10,2*1637 = 16697,4kN -----> Somma = 36688,20kN

F(1)= 771,50 x 7033,8/36688,20 = 147,91kNF(2)= 771,50 x 12957/36688,20 = 272,47 kNF(3)= 771,50 x 16697,4/36688,20 = 351,12kNPer riportare le forze di piano ai vari nodi bisogna determinare i coefficienti di ripartizione che tengono conto degli effetti torsionali accidentali

Ripartizione sui 4 telai in direzione Y 1+ (0,6*6,5)/13 = 1,3 ---> telai esterni1+ (0,6*1,5)13 = 1,07 ---> telai interni

Ripartizione sui 2 telai esterni in direzione X 1+ (0,6*6)/13 = 1,28 ---> telai esterni

Si può a questo punto modellare la struttura con un solutore agli E.F. (Sap2000 vers. Edu) vedi Tutorial dell'arch. Paolo Antonini

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