8.1 Introduzione

2

Sino ad ora abbiamo visto che le cariche elettriche sono sorgenti sia di campielettrici (se statiche) che di campi magnetici (se in movimento). A parte questaconnessione tra i due campi, non abbiamo riscontrato altri legami.

LEGGE DI FARADAY8.1 Introduzione

Infine, come anticipato nell’introduzione del capitolo 1 sull’elettrostatica, Maxwelldimostrò che, viceversa, un campo elettrico variabile nel tempo dava origine ad unacampo magnetico.

Gli esperimenti condotti in maniera indipendente da Faraday e Henry hanno invece evidenziato unlegame tra elettricità e magnetismo.

In particolare, essi dimostrarono che un campo magnetico variabile nel tempo genera un campoelettrico non conservativo il quale, a sua volta, può generare una forza elettromotrice e far scorrerecorrente in un circuito chiuso. Un fenomeno analogo si ottiene nei casi di moto relativo tra uncircuito ed un campo magnetico costante.

8.2 Legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica

3

Consideriamo un circuito costituito da una spira A ed un galvanometro esupponiamo di immergere il circuito nel campo magnetico di un magnete.

Se avviciniamo o allontaniamo il magnete dal circuito, il galvanometro segneràil passaggio di una corrente 𝒊 attraverso il circuito, in un verso o in quelloopposto, mentre la corrente misurata è nulla se il magnete è fermo.

In entrambi i casi, la corrente 𝒊 che circola nel circuito contenente la spira A èdetta corrente indotta, generata da una forza elettromotrice ℰ𝒊 originata dalmoto relativo tra una spira ed un campo magnetico.

Lo stesso fenomeno si verifica se, piuttosto che nel campo magnetico di unmagnete, il circuito viene immerso nel campo generato da un secondo circuito,costituito da una spira A’ ed un generatore, in cui circola corrente 𝒊’.

LEGGE DI FARADAY8.2 Legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica

A

A

A’

4

Sia il circuito X che il circuito Y rimangono fermi per tutta la duratadell’esperimento. Si osserva che nel momento in cui l’interruttore vienechiuso, l’amperometro segna il passaggio di corrente, per poi riportarsia zero. Una corrente non nulla viene anche misurata nel momento incui l’interruttore viene aperto.

Consideriamo adesso l’esperimento eseguito per la prima volta da Faraday. Unaspira A connessa ad un amperometro costituisce il circuito Y, posto vicino al circuitoX formato da un solenoide con nucleo di ferro, collegato ad un generatore ed uninterruttore.

Basandosi su queste evidenze sperimentali, Faraday concluse che la variazione delcampo magnetico nel tempo genera una forza elettromotrice in un circuito.Infatti, la corrente si manifesta nel breve intervallo di tempo impiegato dal campomagnetico del solenoide per passare da 0 a 𝑩, alla chiusura, e da 𝑩 a 0, all’aperturadell’interruttore.

LEGGE DI FARADAY8.2 Legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica

5

La legge di Faraday afferma che la variazione, nel tempo, del flusso del campo magneticoconcatenato con un circuito genera, in tale circuito, una forza elettromotrice indotta la cuiespressione è

Tutti questi fenomeni sono spiegati dalla legge di Faraday.

Se consideriamo una linea chiusa s, esiste un numero infinito di superfici 𝚺 cheHanno s come contorno. Valutiamo il flusso del campo magnetico attraverso duesuperfici 𝚺𝟏 e 𝚺𝟐 aventi contorno s. Poiché le linee del campo magnetico sono lineechiuse, deduciamo che il flusso del campo magnetico attraverso 𝚺𝟏 sarà uguale a quello attraverso 𝚺𝟐,ovvero il flusso del campo magnetico è lo stesso attraverso qualunque superficie poggiata ad s.Definiamo tale flusso, flusso concatenato con la linea chiusa s.

Osserviamo che il flusso del campo magnetico può variare nel tempo se, nel tempo, variano:

• Il campo magnetico;

• l’area della spira o la parte di area immersa nel campo magnetico;

• l’orientazione della spira rispetto a 𝑩.

LEGGE DI FARADAY8.2 Legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica

ℰ𝒊 = −𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕

6

La variazione del flusso del campo magnetico concatenato al circuito, nel tempo, origina un campoelettrico indotto 𝑬𝒊 la cui circuitazione non è nulla. Il campo elettrico indotto, quindi, è un camponon conservativo.

Ricordando la definizione di forza elettromotrice, otteniamo

LEGGE DI FARADAY8.2 Legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica

ℰ𝒊 = ර𝑬𝒊 ∙ 𝒅Ԧ𝒔 = −𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕

Se 𝑹 è la resistenza del circuito, la corrente indotta che circola nel circuito è

𝒊 =ℰ𝒊

𝑹= −

𝟏

𝑹

𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕

Weber

Il flusso del campo magneticosi misura in Weber:

𝟏𝑾𝒃 = 𝟏𝑽 ∙ 𝟏𝒔

Il segno negativo nella legge di Faraday ha un significato ben preciso e molto importante, spiegatodalla legge di Lenz. Essa esprime il fatto che la corrente indotta nella spira ha un verso tale dagenerare un campo magnetico che, a sua volta, si opponga alla variazione di campomagnetico che l’ha prodotta. Vedremo che la legge di Lenz è una conseguenza dellalegge di conservazione dell’energia.

8.3 Origine della f.e.m. indotta

7

Riprendiamo la legge di Faraday

che origina una f.e.m. nel circuito

Consideriamo un circuito rettangolare conduttore avente un lato mobile, di lunghezza b, posto in uncampo magnetico uniforme. Se la barretta si muove di moto traslatorio con velocità 𝒗, sugli elettronidelle sbarretta agisce la forza di Lorentz. Definiamo allora un campo elettromotore indotto

LEGGE DI FARADAY8.3 Origine della f.e.m. indotta

dove 𝚺 è una qualsiasi superficie appoggiata alla linea chiusa s (che può coincidere con un circuito).

ℰ𝒊 = ර𝑬𝒊 ∙ 𝒅𝒔 = −𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕= −

𝒅

𝒅𝒕න𝚺

𝑩 ∙ ෞ𝒖𝒏𝒅𝚺

𝑬𝒊 =𝑭𝑳−𝒆

= 𝒗 × 𝑩

ℰ𝒊 = ර𝒗 × 𝑩 ∙ 𝒅𝒔 = න𝑷

𝑸

𝒗 × 𝑩 ∙ 𝒅𝒔 = −𝒗𝑩𝒃

8

Gli elettroni nella spira si muoveranno sotto l’azione del campo elettrico indotto 𝑬𝒊, cheesercita una forza 𝑭𝒊 = −𝒆𝑬𝒊. Iniziato il moto, essi sentiranno l’azione combinata di 𝑭𝒊 e 𝑭𝑳.

Se invece consideriamo una spira ferma e immersa in un campo magnetico che varia nel tempo, lalegge di Faraday ci dice che questa variazione induce un campo elettrico. Supponendo per semplicitàche la spira sia tonda di raggio r, il campo elettrico indotto sarà tangente alla spira e avrà omdulo

LEGGE DI FARADAY8.3 Origine della f.e.m. indotta

Questo risultato, cambiato di segno, è esattamente uguale all’espressione della forza elettromotriceindotta. Possiamo allora concludere che l’origine del campo elettrico e della f.e.m. indotti risiede nellaforza di Lorentz.

𝑬𝒊 =ℰ𝒊𝟐𝝅𝒓

= −𝟏

𝟐𝝅𝒓

𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕= −

𝟏

𝟐𝝅𝒓

𝒅

𝒅𝒕න𝚺

𝑩 ∙ ෞ𝒖𝒏𝒅𝚺 = −𝝅𝒓𝟐

𝟐𝝅𝒓

𝝏𝑩

𝝏𝒕= −

𝒓

𝟐

𝝏𝑩

𝝏𝒕

D’altra parte, se calcoliamo la variazione nel tempo del flusso del campomagnetico attraverso l’area della spira 𝒙 ∙ 𝒃, otteniamo

𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕=𝒅

𝒅𝒕න𝚺

𝑩 ∙ ෞ𝒖𝒏𝒅𝚺 =𝒅

𝒅𝒕𝑩𝒃𝒙 = 𝑩𝒃

𝒅𝒙

𝒅𝒕= 𝑩𝒃𝒗

Possiamo allora concludere che, in ogni caso, la f.e.m. indotta ha origine nella forza diLorentz complessiva 𝑭𝑳 = −𝒆 𝑬𝒊 + 𝒗 × 𝑩

9

Esercizio 8.2

Una spira circolare è immersa in una zona in cui è presente un campo magnetico

variabile nel tempo 𝑩 𝒕 . Determinare l’espressione del campo elettrico indotto 𝑬𝒊.

Esercizio 8.1

Supponiamo una spira rettangolare inizialmente

immersa in una regione con un campo magnetico 𝐁costante ed uniforme. Ad un certo momento la spiraviene trascinata fuori dalla regione ad una velocitàcostante 𝐯. Qual è la forza necessaria a muovere la spiraa velocità costante?

Esercizio 8.3

Abbiamo una spira rettangolare di larghezza L = 3 m e altezza H = 2 m. Il campo

magnetico 𝐁 è variabile e non uniforme con espressione B = 4 t2 x2 ed entrante nelfoglio. Quali sono modulo e direzione della f.e.m. indotta per t = 0.1 s?

LEGGE DI FARADAY8.3 Origine della f.e.m. indotta

8.4 Applicazioni della legge di Faraday

10

Consideriamo una spira rettangolare che ruoti con velocità angolare ω attorno ad un asseverticale passante per il suo centro. All’istante t generico, la spira forma un angolo θ con la direzionedel campo magnetico 𝑩. Il flusso del campo magnetico vale

La f.e.m. varia sinusoidalmente tra ℇ𝒎𝒊𝒏 = −𝝎𝑩𝚺 ed ℇ𝒎𝒂𝒙 = 𝝎𝑩𝚺. Se R è la resistenza della spira, nelcircuito scorre una corrente alternata

LEGGE DI FARADAY8.4 Applicazioni della legge di Faraday

La f.e.m. nel circuito risulta

𝚽 𝑩 = න𝚺

𝑩 ∙ ෞ𝒖𝒏𝒅𝚺 = 𝑩𝚺𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝑩𝚺𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕)

ℇ𝒊 = −𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕= 𝝎𝑩𝚺𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕)

8.4.1 Generatore di corrente alternata

𝒊 =ℇ𝒊𝑹=𝝎𝑩𝚺

𝑹𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕)

Anche la potenza elettrica varia nel tempo. La potenza media, in un periodo di rotazione dellaspira, è equivalente a quella erogata da un generatore avente f.e.m. efficace ℇ𝒆𝒇𝒇= ℇ𝒎𝒂𝒙/ 𝟐e vale

𝓟𝒎 =ℇ𝒎𝒂𝒙𝟐

𝟐𝑹

11

Abbiamo visto che se una spira di resistenza R viene mossa in un campo magnetico,in essa scorre corrente data

Osserviamo che il valore della carica non dipende dalla legge temporale con cui varia il flusso delcampo magnetico, ma solo dal valore iniziale e finale di 𝚽 𝑩 . Questa relazione, nota come legge diFelici, fornisce un metodo semplice per misurare l’intensità del campo magnetico.

LEGGE DI FARADAY8.4 Applicazioni della legge di Faraday

Se allora vogliamo calcolare la carica che è complessivamente fluita nella spira tra due istanti di tempodobbiamo integrare:

𝒊 =ℇ

𝑹= −

𝟏

𝑹

𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕

𝒒 = න𝒕𝟏

𝒕𝟐

𝒊𝒅𝒕 = −𝟏

𝑹න𝒕𝟏

𝒕𝟐 𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕𝒅𝒕 = −

𝟏

𝑹න𝒕𝟏

𝒕𝟐

𝒅𝚽 𝑩 =𝚽𝟏 −𝚽𝟐

𝑹

8.4.2 Misure di campo magnetico

𝑩 =𝒒𝑹

𝑵𝚺

Ad esempio, data una bobina piatta costituita da N spire di area 𝚺, posta in un campo magnetico 𝑩,uniforme, e poi spostata in una zona di campo nullo, possiamo misurare l’intensità di 𝑩 attraverso:

𝒒 =𝚽𝟏 −𝚽𝟐

𝑹=𝑵𝑩𝚺

𝑹

8.5 Autoinduzione

12

Il fattore L viene detto coefficiente di autoinduzione o induttanza del circuito edipende dalla forma del circuito e dalle proprietà magnetiche del mezzo.

LEGGE DI FARADAY8.5 Autoinduzione

Osserviamo che sia il campo magnetico che il suo flusso dipendono dalla corrente che scorre nelcircuito. Perciò, possiamo riscrivere l’equazione precedente come

𝚽 𝑩 = න𝚺

𝑩 ∙ ෞ𝒖𝒏𝒅𝚺 = න𝜮

𝝁𝟎𝒊

𝟒𝝅ර𝒅𝒔 × ෞ𝒖𝒓𝒓𝟐

∙ ෞ𝒖𝒏𝒅𝜮

𝚽 𝑩 = 𝑳𝒊

Un circuito percorso da corrente produce, qualunque sia la sua forma, un campomagnetico 𝑩 in accordo con la legge di Ampere-Laplace. Il flusso di questo campo èovviamente concatenato al circuito stesso e, per questa ragione, viene detto autoflusso. Consideratauna qualsiasi superficie 𝚺 appoggiata al circuito, l’autoflusso di 𝑩 attraverso 𝚺 è

Henry

L’autoinduttanza simisura in Henry:

𝟏 𝑯 =𝟏𝑾

𝟏𝑨= 𝟏𝛀𝟏𝒔

8.6 Induttanza di un solenoide

13

Possiamo allora ricavare l’espressione dell’induttanza di un tratto 𝒍 di solenoide

LEGGE DI FARADAY8.6 Induttanza di un solenoide

Il flusso del campo magnetico attraverso una sezione del solenoide è dato dal prodotto del flusso delcampo magnetico prodotto da una spira per il numero N di spire. Se consideriamo un tratto disolenoide lungo 𝒍, il flusso del campo magnetico generato dalle spire contenute in questo tratto è

𝑩 = 𝝁𝟎 𝒏 𝒊

𝚽𝒔 𝑩 = 𝑵𝚽𝟏 𝑩 = 𝑵𝑩𝚺 = 𝒏𝒍 𝝁𝟎𝒏𝒊𝚺 = 𝝁𝟎𝒏𝟐𝚺 𝒍 𝒊

Abbiamo già visto che il campo magnetico di solenoide infinitamente lungo ecostituito da spire compatte è diretto lungo l’asse. Se n è la densità di spire, 𝚺 la sezionedelle spire e i la corrente che le attraversa, il modulo del campo magnetico è

𝑳 = 𝝁𝟎𝒏𝟐𝚺 𝒍

E l’induttanza per unità di lunghezza è

𝑳𝒍 = 𝝁𝟎𝒏𝟐𝚺

8.7 Circuiti con induttori - Circuito RL

14

Consideriamo un circuito RL, composto da un resistore avente resistenza Re da un induttore con induttanza L, in serie con un generatore di forzaelettromotrice ℇ. Supponiamo di inserire un interruttore S che, alla suachiusura, consente il passaggio della corrente nella maglia. Nel momento incui l’interruttore viene spostato nella posizione a, alla f.e.m. ℇ si aggiungeuna f.e.m. di autoinduzione ℇ𝑳.

LEGGE DI FARADAY8.7 Circuiti con induttori - CircuitoRL

Osserviamo che, quando la corrente in un circuito non è costante, si ha una variazione nel tempodell’autoflusso del campo magnetico che, a sua volta, genera una f.e.m. indotta nel circuito, dettaf.e.m. di autoinduzione, che possiamo dedurre dalla legge di Faraday-Lenz:

ℇ𝑳 = −𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕= −𝑳

𝒅𝒊

𝒅𝒕

Un circuito con induttanza non nulla è detto induttivo. Nei casi in cui l’induttanza èconcentrata in un tratto del circuito, come ad esempio in un avvolgimento delcircuito, questo «tratto» di conduttore si chiama induttore ed è rappresentato comeelemento circuitale dal simbolo in figura.

15

Che possiamo riscrivere come

ℇ − 𝑳𝒅𝒊

𝒅𝒕− 𝑹𝒊 = 𝟎

Questa equazione differenziale del primo ordine ha soluzione

Applichiamo la seconda legge di Kirchhoff alla maglia:

La corrente, inizialmente nulla, cresce lentamente sino al valore a regime (𝒊 =ℇ

𝑹). Una volta raggiunto

il valore di regime, il circuito diventa puramente resistivo.

Osserviamo che la presenza dell’induttore impedisce alla corrente di aumentare in manieraistantanea. La differenza tra il valore della corrente a regime ed il valore della corrente cheeffettivamente scorre nel circuito ci suggerisce che, durante il transitorio, si manifesta unaulteriore corrente, di segno opposto a quello della corrente che possiamo calcolareApplicando la legge di Ohm al resistore, detta extracorrente di chiusura.

LEGGE DI FARADAY8.7 Circuiti con induttori - CircuitoRL

ℇ + ℇ𝑳 = 𝑹𝒊

𝒊 𝒕 =ℇ

𝑹𝟏 − 𝒆−

𝑹𝑳𝒕

ℇ

𝑹

La costante τ =𝑳

𝑹è detta costante di tempo induttiva del circuito.

16

La potenza erogata dal generatore viene in parte spesa per far circolare corrente nelcircuito e trasformato in calore per effetto Joule, in parte speso contro la forza elettromotrice diautoinduzione per far aumentare la corrente. Nell’intervallo di tempo necessario a far aumentare lacorrente nel circuito da 0 a 𝒊, viene speso il lavoro

𝑾𝑳 = න𝟎

𝒊

𝑳𝒊 𝒅𝒊 =𝟏

𝟐𝑳𝒊𝟐

Osserviamo che 𝑾𝑳 dipende solo dai valori iniziale e finale della corrente, per cui possiamo definireun’energia intrinseca della corrente

Calcoliamo la potenza erogata dal generatore quando la corrente ha valore 𝒊:

Per un solenoide, poiché il campo magnetico è tutto contenuto all’interno, si può definire unadensità di energia magnetica

LEGGE DI FARADAY8.7 Circuiti con induttori - CircuitoRL𝑷 = ℇ𝒊 = 𝑳𝒊

𝒅𝒊

𝒅𝒕+ 𝑹𝒊𝟐 = 𝑷𝑳 +𝑷𝑹

𝑈𝐿 = න𝟎

𝒊

𝒅𝑈𝐿 = න𝟎

𝒊

𝑳𝒊 𝒅𝒊 =𝟏

𝟐𝑳𝒊𝟐

che è l’energia immagazzinata nell’induttore e necessaria a creare il campo magnetico al suo interno.

𝑢𝐿 =𝑈𝐿𝒅 𝚺

=𝟏

𝟐𝒅 𝚺𝝁𝟎𝒏

𝟐𝒅 𝚺𝑩𝟐

𝒏𝟐𝝁𝟎𝟐=

𝑩𝟐

𝟐𝝁𝟎

8.8 Legge di Ampère-Maxwell

17

Abbiamo visto che, nel caso di un circuito RC, possiamo definire una corrente di spostamento fittiziache attraversa il condensatore, che ben rappresenta gli effetti della variazione del campo elettrico (edel suo flusso) all’interno del condensatore. Se prendiamo in considerazione tutti i tipi di correnti chepossono essere presenti all’interno di un circuito, otteniamo allora la Legge di Ampère-Maxwell

LEGGE DI FARADAY8.8 Legge di Ampère-Maxwell

con 𝒊𝒄 la corrente concatenata alla linea C su cui è calcolata la circuitazione di 𝑩.

Nel vuoto, il campo magnetico obbedisce alla legge di Ampere:

ර𝑪

𝑩 ∙ 𝒅𝒔 =𝝁𝟎𝒊𝒄

ර𝑪

𝑩 ∙ 𝒅𝒔 =𝝁𝟎 𝒊𝒄 + 𝜺𝟎𝒅𝚽𝚺(𝑬)

𝒅𝒕

la quale stabilisce che i campi magnetici possono essere prodotti sia da cariche inmovimento, ovvero dalle correnti di conduzione, sia da variazioni, nel tempo, del flussodel campo elettrico.

18

Osserviamo che l’equazione appena trovata presenta una simmetria rispetto alla legge di Faraday

LEGGE DI FARADAY8.8 Legge di Ampère-Maxwell

Dove si pone 𝝁𝟎𝜺𝟎 =𝟏

𝒄𝟐.

Osserviamo che, in una regione di spazio in cui non siano presenti cariche diconduzione in movimento (𝒊𝒄 = 𝟎) ma abbia luogo una variazione del campoelettrico nel tempo, la legge di Ampère-maxwell diventa

ර𝑪

𝑩 ∙ 𝒅𝒔 =𝝁𝟎𝜺𝟎𝒅𝚽(𝑬)

𝒅𝒕

In particolare, osservando e confrontando queste due equazioni, possiamo concludere, comefu intuizione di Maxwell, che il campo elettrico e quello magnetico sono strettamentecorrelati e la variazione, nel tempo, di uno di questi due campi, dà luogo alla comparsadell’altro.

ර𝑬𝒊 ∙ 𝒅𝒔 = −𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕

8.9 Equazioni di Maxwell

19

LEGGE DI FARADAY8.9 Equazioni di Maxwell

Tutte le proprietà dei campi 𝑬 e 𝑩 studiate sino ad ora, nel vuoto, sono riassuntedalle seguenti quattro equazioni, note come equazioni di Maxwell

La soluzione di queste equazioni permette di determinare, note 𝑞 ed 𝒊𝒄, i campi 𝑬 e 𝑩 i qualiagiscono su una carica di prova 𝑞0 mediante la forza di Lorentz

Legge di Gauss per 𝑬

Legge di Gauss per 𝑩

Legge di Faraday ර𝑪

𝑬 ∙ 𝒅𝒔 = −𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕

රΣ

𝑩 ∙ ෞ𝒖𝒏𝒅𝚺 = 0

රΣ

𝑬 ∙ ෞ𝒖𝒏𝒅𝚺 =𝑞

𝜀0

Legge di Ampere-Maxwell ර𝑪

𝑩 ∙ 𝒅𝒔 = 𝝁𝟎 𝒊𝒄 + 𝜺𝟎𝒅𝚽 𝑬

𝒅𝒕

Le cariche elettriche sono sorgenti di 𝑬

Il campo magnetico è solenoidale (non esistono i monopoli magnetici)

Un campo magnetico variabile nel tempo è sorgente di 𝑬

Cariche di conduzione e campi elettrici variabili nel tempo sono sorgenti di 𝑩

𝑭 = 𝒒 𝑬+ 𝒗 × 𝑩