The Science of Structural Engineering Murature

7/25/2019 The Science of Structural Engineering Murature

1/123

Rapido excursus storicosullarte del costruire

da The Science of Structural Engineeringdi Jacques Heyman


2/123

Contenuti

Breve introduzione Architetti e ingegneri

Teorie pre-scientifiche

Archi, cupole e volte

Tensioni e deformazioni

Flessione e svergolamento La Teoria delle Strutture

Il Calcolo Plastico


3/123

Contenuti






Il Calcolo Plastico


4/123

Il problema del tavolino

Si tratta di determinare in che modo laforza passa dal piano a terra

Comefareste

voi?


5/123

E un tipico problemaper il progettista

Procedura:Vanno calcolate le forze che finiscono nelle

zampe

Vanno proporzionate le zampe in modo dasopportare le forze

Entrambi questi passi possonopresentare una certa difficolt


6/123

Momento di una forzarispetto ad un asse

E dato dalla forza per la distanza(ortogonale) dallasse

M=F dF

d


7/123

Equazioni di equilibrio

Sono di due tipi Equilibrio alla traslazione (F= 0)

Nel piano, secondo 2 direzioni

Nello spazio, secondo 3 direzioni

Equilibrio alla rotazione (M= 0)

Nel piano, intorno ad 1 asse Nello spazio, intorno a 3 assi.


8/123


Se voglio trovare come la forza sidistribuisce sui tre vertici (altezze h)

Cio voglio le reazioniRA,RB eRC

A

B

C

hAB

hBC

hAC


9/123


F=FRARBRC= 0 MBC=F dBCRA hBC= 0

MAC=F dACRB hAC= 0

MAB =F dABRC hAB = 0

dAB dBC

dACFA

B

C


10/123


F=FRARBRC= 0 MBC=F dBCRA hBC= 0

MAC=F dACRB hAC= 0

MAB =F dABRC hAB = 0 Si noti che, se il triangolo equilatero,

sommando le ultime 3 trovo:

F (dBC+ dAC+ dAB) (RA + RB + RC) h = 0 (dBC+ dAC+ dAB) h = 0

dBC+ dAC+ dAB = h

che una propriet del triangolo equilatero.

Solo 2 sonoindipendenti

}


11/123


RA =F dBC/ h RB =F dAC/ h

RC=F dAB / h

dAB dBC

dACFA

B

C


12/123

Nel caso ci siano 4 zampe

In questo caso il tavolo si diceiperstatico

La

soluzione pi

complessa

enecessitadi uno

schema di

calcolo


13/123

Ogni progetto si fonda su

La Teoria delle Strutture Cio lo studio degli schemi di calcolo

La Teoria della Resistenza dei Materiali

Cio il dimensionamento degli elementi


14/123

Per complicare il quadro

Pu accadere che il tavolino balli, cioche una delle 4 zampe non tocchi terra

Questa

non portaalcun peso


15/123

Per complicare il quadro

Per evitare che balli, si pu mettere untappo di sughero sotto quella zampa

Questaadesso

poggia suun

elementoflessibile


16/123

Come si fa ?

a calcolare le forze nelle zampe seognuna di queste pu:

Poggiare su un piano rigido

Non poggiare affatto

Poggiare su un piano flessibile

La risposta


17/123

Il Calcolo Plastico

Consente di progettare una struttura(come il tavolo a 4 zampe) il cui statoesatto non pu essere determinato

Tutte le strutture, tranne le pisemplici, sono di questo tipo

Trascurare questo fatto pu portare a

valutare situazioni che non esistononella realt.


18/123

Contenuti






Il Calcolo Plastico


19/123

Architetti e ingegneri quando avvenuto il bivio?

Nel XV secolo si incrin la tradizione, duratapi di 2000 anni, di progettare in base ainumeri

Da Ezechiele (Antico Testamento) Vitruvio (ordinatio, quantitas, )

Le pratiche segrete delle Logge Massoniche

Si trasmettevano oralmente le stesse regole digenerazione in generazione, dimenticandone la genesi

Le complicate Regole Gotiche Non si poteva pensare di progettare una costruzione

senza esperienza pratica ed un lungo apprendistato.


20/123

Il De Re Aedificatoria

Il testo dellAlberti (1485), favoritodallavvento della stampa, diffuse regolesemplici ed illustrate per il corretto

proporzionamento degli edifici Un uomo colto poteva divenire architetto

senza dover imparare a costruire

Storia ed estetica iniziarono a separarsi dallatecnica, in modo impensabile per un mastromedievale, che sapeva come impiegare i materialiper dare un senso architettonico alledificio.


21/123

Il bivio

Larchitetto inizi a concentrarsi sulleregole di proporzione contenute nelleteorie del costruire

Lingegnere inizi ad esplorare le regolescientifiche contenute nella pratica del

costruire.


22/123

Nel XVIII secolo

Quattro grandi problemi assillavanoarchitetti ed ingegneri:

La resistenza delle travi

La resistenza delle colonne

La spinta degli archi

La spinta dei terreni


23/123

Charles Coulomb

Quando fu inviato come ufficialedellesercito francese in Martinica percostruire delle fortificazioni, si accorse

che non esisteva alcuna teoria perquesti quattro problemi

Nel 1773, dopo 9 anni di permanenza,rientr in patria e present le suesoluzioni allAcadmie


24/123

Il primo articolo scientifico diCharles Coulomb (1773)

Come si puvalutare il carico dirottura di una

mensola inflessa,se si conosce laresistenza del

materiale a trazionee a compressione?


25/123

Contenuti






Il Calcolo Plastico


26/123

Ars sine scientia nihil est

Il termine scienzaoggi implica: Compiere delle osservazioni

Costruire delle ipotesi

Realizzare esperimenti per avvalorare osmentire le ipotesi

Eseguire valutazioni matematiche

Definire una teoria, che: Spieghi le osservazioni

Predica nuovi risultati.


27/123

La prima scienza ?

Lastronomia babilonese, fra 1000 e 500 a.C. Eseguiva accurate osservazioni giornaliere della

posizione del sole, della luna e dei pianeti

Costruiva tavole numeriche da cui predire le futureposizioni dei corpi celesti

Mancava per il perch

Bisogner attendere pi di 2000 anni peravere la Teoria della Gravitazione Universaledi Newton.


28/123

La scientiadel costruire

Nel Medioevo lapproccio era lo stesso: Le nuove costruzioni si basavano sulla

conoscenza, o teoria, acquisita dalla

pratica La teoria consisteva in una serie di regole

dedotte da costruzioni del passato Raccolte in testi custoditi da logge massoniche

Tutte le grandi realizzazioni che oggivediamo vengono da questo approccio


29/123

Il primo esempio di regole

Nella Bibbia, Cap. 40-41-42 (Ezechiele)c un antesignano di un manuale per icostruttori del 600 a.C.

Vengono riportate le misure di ingressi,cortili, vestiboli, celle, pilastri, ecc. di un

grande tempio vidi un uomo che teneva una corda di lino intrecciato edunasta per misurare e quellasta era sei cubiti inlunghezza


30/123

I materiali

Oggi riesce difficile credere che le costruzionidi allora dipendessero da regole numerichebasate sulle proporzioni fra le varie parti

Il fatto per che tali costruzioni esistanoancora oggi, suggerisce che questo sialapproccio giusto per la muratura/pietra

Ci confermato dalla Teoria delle Strutturedel XX secolo.


31/123

I materiali

Fino a poco pi di un secolo fa iprincipali materiali disponibili per lecostruzioni erano:

La pietra Il legno


32/123

La pietra e il legno

Grandi differenze La pietra si usa in elementi di piccole o

medie dimensioni Eccezione: i grandi architravi dei Greci, che non

facevano uso dellarco

Il legno si trova in natura come elementi

anche di grande estensione Le propriet meccaniche riflettono la propria

origine organica: un albero deve resistere al

proprio peso e allazione di forze trasversali


33/123

La pietra e il legno

Grandi differenze La pietra assemblata a blocchi non resiste

a trazione I singoli blocchi hanno buona resistenza Gli assemblaggi sono a secco o con malta, che

ha scarsa resistenza a trazione

Il legno ha buona resistenza a flessione,che implica una buona resistenza atrazione e compressione.


34/123

La pietra

Situazione Ideale Carico centrato

Compressione uniforme


35/123

La pietra

Situazione Compatibile Carico eccentrico

Sezione compressa


36/123

La pietra

Situazione Limite Sezione parzializzata

Resistenza superata


37/123

La pietra

Situazione Instabile Risultante esterna allappoggio

Ribaltamento


38/123

La stabilitsi ottiene mediante

la compressione

Si verifica lequilibrioGeometria e distribuzione

delle masse garantiscono il correttoflusso delle forze nelle sezioni resistenti

Si verifica la resistenzaAzioni ed effetti nelle sezioni resistenti

devono esser compatibili con la resistenza

dei materiali

La pietra


39/123

ROMA: Orti Liciniani - Tempio Di Minerva Medica. (IV d.C.)

OSTIA: Domus di Amore e Psiche

(IV d.C.)

OSTIA: Domus

Fortuna Annonaria

(IV d.C.)


40/123

La pietra

La trazione produce fessurazione neigiunti e separazione della fabbrica

E difficile immaginare una colonna di

mattoni appesa dallalto


41/123

La pietra


42/123

La pietra

La trazione produce fessurazione neigiunti e separazione della fabbrica E difficile immaginare una colonna di

mattoni appesa dallalto La compressione trasferita per

contatto

Le quattro colonne di una cattedralepossono portare le 10.000 tonnellate delpeso della torre sovrastante.


43/123

La pietra

Le cattedrali gotiche


44/123

La pietra

In effetti la tensione di compressione neiblocchi di una cattedrale molto bassarispetto alla loro resistenza

Ad es., qual la massima altezza che puavere una torre senza schiacciarsi sotto ilproprio peso? Se in pietra arenaria: 2 km

Se in granito: 10 km Le pi alte cattedrali gotiche: 50 m

Per portano, oltre al proprio, il peso delle volte,

del tetto, la forza del vento, ecc.


45/123

La pietra

In termini moderni, il coefficiente disicurezza enormemente elevato

La tensione media, rispetto alla

resistenza a schiacciamento delmateriale: Nelle colonne intorno a 1/10

Nei contrafforti intorno a 1/100 Nelle pareti intorno a 1/1000


46/123

La pietra: il ruolo dellattrito

La compressione, anche se bassa, essenziale alla stabilit delle costruzioniin muratura

I piccoli blocchi di pietra sonocompattati dalla gravit secondo laforma attribuita dallarchitetto

La forma si mantiene se i blocchi nonscorrono luno rispetto allaltro


47/123

La pietra: il ruolo dellattrito

In assenza di intagli o chiavi, la tensione dicompressione consente lo sviluppo di forze diattrito, che vincolano i blocchi rispetto alloscorrimento


48/123

Le costruzioni a blocchi

Sono quindi caratterizzate da: Bassa resistenza a trazione

Basse tensioni di compressione

Forze di attrito che mantengono la forma Possono quindi essere usati materiali a

bassa resistenza Tufo (carbonato di calcio poroso)Adobe (fango essiccato con paglia)

ecc.


49/123

Il calcestruzzo

I Romani producevano una mistura di: Pozzolana (cenere vulcanica)

Limo

Inerti vari (pietre, ghiaia)Anche il calcestruzzo pu essere visto

come un materiale di analoghe

propriet, anche se monolitico Bassa resistenza a trazione


50/123

Alcune cupole

Pantheon (120 d.C.) Calcestruzzo

S. Maria del Fiore Muratura

S. Pietro Pietra

Tutte presentano estese fessurazioni incorrispondenza delle zone in trazione

Gli appunti di


51/123

Gli appunti di

Villard de Honnecourt (1235)

Rimangono 33pagine dischizzi (1235)

su edifici,orologi emacchinari

Gli appunti di


52/123

Gli appunti di


Vengono descritti anche animali fantasiosi

Gli appunti di


53/123

Gli appunti di


Si pone il problema, come gi Vitruvio,di raddoppiare larea di un quadrato (come fareste voi?)

100 m2200 m2

10 m ? m102 m


54/123

Numeri irrazionali

Il problema banale, ma pone unafondamentale difficolt matematica Non possibile segnare 2 su unasta di

misura

La dimostrazione di Pitagoradellirrazionalit di 2 sopravvissuta

per pi di 2000 anni Ma per gli architetti medievali era un

problema da risolvere Lucio Russo, La rivoluzione dimenticata.

G. Feltrinelli Editore, Milano 1997.


55/123

0 1 2 3

Numeri irrazionali

Bisogner attendere la notazionedecimale dedotta dagli Arabi per potermisurare 2 con un grado di

accuratezza sufficiente per leapplicazioni pratiche e segnare ilcorrispondente punto su unasta

decimale2


56/123

Contenuti



Archi, cupole e volte Tensioni e deformazioni

Flessione e svergolamento

La Teoria delle Strutture

Il Calcolo Plastico

Due tipi di ponte usati negli


57/123


ultimi 6000 anni

Il ponte sospeso

GiapponePeriodo Iitsu:

Ponte sospeso fra

Hida ed Etchu"



58/123


ultimi 6000 anni

Il ponte ad arco

Frontespizio diWilliam Hogarth aDr. Brook Taylor'sMethod of

Perspective(1754)


59/123

Il ponte ad arco

Nato forse in Mesopotamia nel 4000 a.C. I mattoni venivano cotti al sole

Qualche secolo dopo anche in Egitto

Nel 3000 a.C. le prime pietre sagomate

Gli Etruschi tagliavano le pietre a cuneo

Gi nel 500 a.C. i Romani costruivanoponti ad arco di grande luce.


60/123

Il Pont du Gard (20-10 a.C.)

E letteralmente una pila di pietre,senza cemento n malta (luci 20-27 m)


61/123

Vitruvio e larco

Vitruvio (ca. 30 a.C.) non fornisceregole per il progetto dellarco

Il problema : come portare la porzione

di parete sovrastante unapertura?Si deve scaricare il carico della parete

mediante archi composti da conci con i

giunti che convergono verso il centro

Quasi tutti gli archi romani sono infattisemicircolari con i giunti centrati.


62/123

Larco semicircolare

Il termine centina, che denota la casseraturausata per la costruzione fino alla posa del concio dichiave, deriva da questa impostazione.


63/123

Il Pontefice Massimo

La teoria e la pratica della costruzionedei ponti furono affidate ad unaistituzione a carattere religioso, il

Collegium Pontifices, che aveva ilcontrollo di strade e ponti

A capo di questa istituzione era ilPontifex Maximus, che ancora uno deititoli del Papa.


64/123

I Fratres Pontifices

Certamente non calcolavano le forze

Ma erano sicuramente consapevoli dicome un arco si comporti in maniera

opposta rispetto ad un ponte sospeso Larco spinge sulle imposte

Il ponte sospeso tira gli ancoraggi

Una delle maggiori difficolt progettare imposte adeguate a resisterea tale spinta.


65/123


Analogia con il cavo teso


66/123


Analogia con il cavo teso


67/123

Archi in muratura

Il primo testo sul calcolo delle imposte degliarchi fu pubblicato nel 1717 da Gautier, cheaffront 5 temi fondamentali:1. Lo spessore delle imposte

2. Lo spessore delle pile interne in rapporto allaluce degli archi

3. Lo spessore dellarco

4. La forma dellarco

5. Le dimensioni dei muri di sostegno

Il problema 1 necessita di conoscere laspinta dellarco, la quale dipende da 3 e 4.


68/123

Robert Hooke

In realt il problema era gi statoaffrontato e in parte risolto da Hookenel 1675

Il clima competitivo fra gli scienziatidellepoca lo obblig a nascondere lesue scoperte fra anagrammi:

Ut pendet continuum flexile, sic stabitcontiguum rigidum inversum

Riconobbe la corrispondenza matematicafra il ponte sospeso e larco in muratura.


69/123

La catenaria

Risolvendo il difficile problema dellacatenaria, si sarebbe risolto anche il problemadellarco


70/123

La catenaria

Risolvendo il difficile problema dellacatenaria, si sarebbe risolto anche il problemadellarco che per la verit Leibniz, Huygens e Bernoulli

avevano gi risolto, tenendolo per segreto


71/123

Hooke su Giove (!?!)

siconsolscoprendola macchia

sullasuperficiedi Giove


72/123

Lintuizione di Gregory (1697)

In un testo aperto dice: e quando un arco di forma qualsiasi si

tiene in piedi, perch nel suo spessore si formata una qualche catenaria

Questa affermazione contiene ilteorema fondamentale della meccanicastrutturale, che deve attendere il XXsecolo per la dimostrazione matematica! E sufficiente provare che una strutturapu

stare in piedi; se pu farlo, lo far.


73/123

La funicolare dei carichi

E linverso della catenaria Rappresenta il percorso delle forze di

compressione che si trasmettono

attraverso i conci fino alle imposte


74/123

Larco a tre cerniere

Quando la funicolare cadefuori dal terzo medio, i concisi aprono Perch la malta ha scarsa

resistenza a trazione

Questo pu accadere, ades., quando, per la spinta

laterale dellarco, le impostesi allontanano, oppure inarchi di spessore ridotto.


75/123

Larco a tre cerniere

Larco comunque stabile

Conoscendo la posizionedelle cerniere, la funicolare nota.

cerniere


76/123

La funicolare dei carichi

La funicolare di muove fra due estremi

Minima spinta se larco si apre

Massima spinta se larco si chiude

Minima spinta

Massima spinta


77/123

Cupole La forma pi semplice di cupola si ottiene

ruotando un arco intorno al suo asse centrale Un arco semicircolare genera una cupola

emisferica

Altre curve (es. parabole) generano cupoledifferenti

La cupola tridimensionale molto diversa

dallarco bidimensionale, in termini di: Comportamento strutturale

Procedure costruttive.

Procedure costruttive


78/123

Arco Nella costruzione di un arco, la presenza della

centinatura essenziale I conci scivolerebbero verso linterno

Ipotesi di John Fitchen sulla

centinatura del Pont du Gard

Completato larco con la messa inopera del concio di chiave, iltrasferimento dei carichi dalla

centina allarco avveniva tramitela progressiva rimozione di cunei

di legno inseriti allinterfaccia.



79/123

Cupola

La costruzione di una cupola pi semplice Un anello completato, essendo virtualmente

incompressibile, non pu scivolare su quellosottostante verso linterno.



80/123

Cupola

La costruzione avviene per anelli successivi

Non esiste il concetto di concio di chiave.


81/123

Il funzionamento delle cupole

Analogie S: arco corda sospesa

No: cupola membrana sospesa

In termini matematici: Un arco una figura sviluppabile

Si pu ottenere da un foglio di carta

La cupola no Non si pu ottenere da un foglio di carta

A meno di tagliare ed incollare

Dopo di che, la cupola risulta rigida.


82/123

Il funzionamento delle cupole Superficie sviluppabile e non sviluppabile


83/123

Il funzionamento delle cupole Andamento delle forze normali

N nei meridiani eN nei paralleli


84/123



Paralleli

Meridiani

N

N

wa

-wa

-wa


85/123




86/123

Il funzionamento delle cupole Le cupole hanno infatti la tendenza a

sviluppare fessure lungo i meridiani

Fessure nella cupola di S. Maria del Fiore


87/123

Il funzionamento delle cupole Si pu ovviare irrigidendo lanello di base

Questo per introduce sollecitazioni di flessione,anche se una superficie ridotta (5%) della cupola


88/123

Arco

Cupola

Il funzionamento delle cupole Spessore t rispetto al raggio R, in funzione

dellangolo rispetto alla verticale

Il funzionamento pi efficace di questo

l f


89/123

Alcuni confronti Spessore/Diametro = 1/10

Pantheon, S. Maria del Fiore, S. Pietro

Spessore/Diametro = 1/100

Uovo(spessore 0.4 mm, diametro 40 mm) (luovo di Brunelleschi)Volte a ventaglio

Kings College a Cambridge

Spessore/Diametro = 1/1000 Coperture moderne in c.a.

La cupola della Cattedrale

di S i P l (1675)


90/123

di Saint Paul (1675) E una tripla cupola

che consiste di: Una struttura esterna

leggera, in legno

ricoperta di piombo Una cupola conica in

pietra e mattoni chesostiene la lanterna

Una cupola internacon un oculo insommit.

La cupola della Cattedrale

di S i t P l (1675)


91/123

di Saint Paul (1675) Christopher Wren nel

progetto si ispir aglistudi di Hooke

La cupola interna

segue il principiodella catenaria Il tamburo infatti

inclinato

La cupola nonpresenta alcunafessurazione.

V lt i t


92/123

Volte in muratura

V lt b tt


93/123

Volte a botte

Volte centinate e volte autoportanti adarchi inclinati (egiziane ed assire)

V lt i t


94/123

Volte in muratura Gli archi, per

contenere la catenaria,devono avere unospessore di circa 1/10

del raggio Le volte a botte della

cattedrale di Amiens,di luce 14 metri,dovrebbero avere unospessore di 700 mm.

V lt i t


95/123

Volte in muratura Un miglioramento drastico

si ebbe con lintroduzionedella volta a crociera

E una vera volta 3-D, nonuna serie di archi 2-D

Vantaggi Supporti solo agli angoli

Aperture sulle facce laterali

Spessori ridotti. Deriva dallintersezionedi due volte a botte

Costolone

Volte a crociera


96/123

Volte a crociera

Se le volte non erano fatte in cemento,si poneva il problema del taglio dellepietre in corrispondenza delle

intersezioni (larte della stereotomia) Si prefer allora lasciare libert

allarchitetto sulla forma dei costoloni

Non erano pi necessariamente legateallintersezione di due volte a botte.

Volte a crociera


97/123

Volte a crociera Nel tardo romanico e nel gotico, venivano prima

costruiti i costoloni come archi in pietra, mediantecentina, e poi realizzati i riempimenti in muratura,alla francese o allinglese

Volte a crociera


98/123

Volte a crociera Nel tardo romanico e nel gotico, venivano prima

costruiti i costoloni come archi in pietra, mediantecentina, e poi realizzati i riempimenti in muratura,alla francese o allinglese Entrambi i metodi davano luogo a strutture estremamente

resistenti

Il riempimento poteva anche essere poco curato (mattonimal tagliati, malta a riempire i giunti), perch poi venivaintonacato e decorato

La struttura portante fra i costoloni era comunque quella diarchi bidimensionali.

Volte

tardo romaniche e gotiche


99/123

tardo-romaniche e gotiche Lavorano essenzialmente come membrane

Le direzioni curve portano le tensioni maggiori Le direzioni piane portano tensioni basse

Le volte possono essere affettate in serie di archi,

a loro volta sostenuti dai costoloni.

Volte

gotiche


100/123

gotiche Le volte gotiche consentono

una chiara lettura delfunzionamento strutturale

Anche se i capomastriragionavano in termini diforme e proporzioni

Bisogner attendere ilRinascimento per arrivare al

concetto di

Abside della chiesa diSt Pierre a Beauvais

(il cantiere dur dal 1225 al 1605)

Contenuti


101/123

Contenuti Breve introduzione

Architetti e ingegneri


Archi, cupole e volte Tensioni e deformazioni


La Teoria delle Strutture Il Calcolo Plastico



102/123

Tensioni e deformazioni I progettisti dei templi greci o delle

cattedrali gotiche non consideravano lostato tensionale Questo era talmente basso da non

produrre pericolo di rottura del materiale N tantomeno erano interessati alle

deformazioni Queste divennero di interesse pi tardi

nelle costruzioni in ferro ed acciaio.

I Discorsi di Galileo


103/123

I Discorsidi GalileoAlla pubblicazione dei Discorsi su due nuove

scienze(1638) Galileo aveva 74 anni

5 anni prima era stato condannato per

eresia con divieto di pubblicazione di libri LOlanda era fuori della giurisdizione della

Inquisizione, e quindi i fratelli Elsevier

pubblicarono i Discorsia Leyden.

I Discorsi di Galileo


104/123

I Discorsidi Galileo Ci sono tre interlocutori

Salviati: Galileo anziano

Sagredo: Galileo da uomo, che propone punti di vistache Galileo ha ormai rigettato

Simplicio: Galileo da giovane, istruito dagli altri due Sono organizzati su 4 giornate (una quinta fu

aggiunta postuma nel 1644) Nella 3a e nella 4a si tratta di una nuova scienza

meccanica (pre-newtoniana)

Nella 2a si tratta di problemi strutturali.

Problemi di scala


105/123

Problemi di scala I ragionamenti di Salviati si scagliano contro il

comune pensare dellepoca, ancora basatosullimpostazione medievale del costruire in base aregole di proporzioni Se una cattedrale era stabile, lo sarebbe stata anche se

costruita pi grande di 2 o 10 volte.

Queste ossa corrispondono a dueanimali, uno dei quali tre volte ingrandezza laltro. I pesi sono dunquein rapporto 27 a 1. La larghezza delsecondo necessaria se devonoavere medesima resistenza.

Problemi di scala


106/123

Problemi di scala Salviati dice allora:

Dunque, Sagredo, dacci la tua opinione per la qualestrutture dello stesso materiale e aventi esattamentele stesse proporzioni fra le parti saranno egualmente

disposte a resistere a forze esterne.Perch pu essere dimostrato matematicamente che icorpi pi grandi sono sempre proporzionalmentemeno resistenti di quelli pi piccoli.

Come lo dimostrereste?

Problemi di scala


107/123

Problemi di scala Se considero due blocchi, uno con dimensioni

doppie dellaltro, soggetti al proprio peso, ho:

Area di base = A

Altezza = hPeso N = AhPressione alla base = N/A = h

Area di base = 4A

Altezza = 2hPeso N = 4A2hPressione alla base = N/4A = 2h



108/123

La resistenza delle travi Salviati immagina una trave

in legno con una estremitincastrata in una parete inmuratura

La trave lavora a mensola Se si aumenta la lunghezza

dello sbalzo, la trave

raggiunger la rottura Bisogna per conoscere la

resistenza assoluta delmateriale.

Il problema di Galileo


109/123

Il problema di Galileo Galileo affronta allora il problema

della forza di rottura (resistenza)delle travi Il test rappresentato forse non mai

stato eseguito (perch?)

Definisce il concetto di tensione

E una forza per unit di superficie

Non una grandezza misurabile La forza invece lo .

Il problema di Galileo e

la legge di Hooke


110/123

la legge di Hooke Unaltra grandezza misurabile

labbassamento Dividendolo per la lunghezza si

ottiene la deformazione

Hooke individua proporzionalitfra tensioni e deformazioni

=E La costante di proporzionalitE

il modulo di Young.



111/123

La resistenza delle travi Salviati sostiene quindi che allincastro

la mensola raggiunger la suaresistenza assoluta a trazione

Dimostra allora che il momentoresistente pari alla forzacorrispondente a tale

resistenza, moltiplicataper met altezza della trave.



112/123

La resistenza delle travi La trave raggiunge una

situazione in cui tutta laresistenza viene mobilitata A questa corrisponde una

risultante S, posizionata a

met altezza La risultante S sostiene la

trave rispetto alribaltamento attorno alpunto B

Per il calcolo di W Galileous il principio della leva.


secondo Galileo


113/123

secondo Galileo Chiamandof il limite di resistenza del

materiale:

T = f b h

h

b

h/2

MMRR = T h/2= (f b h) h/2

== ff bb hh22

E il momento resistentedella sezione di incastro

secondo Galileo

f



114/123

La resistenza delle travi Galileo raggiunge dunque il risultato

corretto che la resistenza di una trave proporzionale alla sua larghezza ed alquadrato dellaltezza

Per il coefficiente di proporzionalitdi non corretto Lidea che tutte le fibre

si attivino raggiungendola tensione di rottura in genere sbagliata.

La teoria di Mariotte


115/123

La teoria di Mariotte Mariotte nel 1686 ipotizz una distribuzione

lineare delle tensioni nella sezione dincastrodella trave

Galileo(tutti i pesi sono uguali)

Mariotte(i pesi variano con la distanza)


secondo Mariotte


116/123

Chiamandof il limite di resistenza del

materiale:

T = f b h

h

b

2h/3

MMRR = T 2h/3= (f bh) 2h/3

==ff bb hh

22


secondo Mariotte

f


secondo Mariotte 2


117/123

Mariotte si accorse per che il casoprecedente non rispettava lequilibrioalla traslazione lungo lasse della trave

Ipotizz allora una distribuzione afarfalla, (C), avente risultante nulla

Purtroppo fece un errore aritmeticonei calcoli e abbandon lidea

Finalmente Parent nel 1713 trov lasoluzione esatta.


secondo Mariotte 2


118/123

Chiamandof il limite di resistenza del

materiale:

h

b

MMRR = T h= (f bh) h

== ff bb hh22

/6/6E il momento resistentedella sezione di incastro

secondo Mariotte 2

f

T = f b h/2

h

C = T


secondo il calcolo plastico


119/123

p Chiamandof il limite di resistenza del

materiale:

T = f b h/2

h

b

h/2

MMRR = T h/2= (f b h/2) h/2

== ff bb hh22


secondo il calcolo plastico

C = T

f



120/123

Lerrore di calcolo di Galileo non imped

per di svolgere considerazioni sullaresistenza relativadelle travi

Qual quella pi resistente?


e la sicurezza


121/123

La teoria di Mariotte/Parent divenne la teoria

di Coulomb Parent pubblic su libri inaccessibili, mentre

Coulomb pubblic allAcadmie

Presto divenne la teoria di Navier/Coulombquando Navier nel 1826 pubblic i suoiappunti delle lezioni, corretti e integrati nel

1864 da de Saint-Venant Navier introdusse il concetto di sicurezza per cui la

massima tensione doveva essere inferiore a quelladi rottura e quindi il comportamento elastico.

Contenuti


122/123

Breve introduzione

Architetti e ingegneri Teorie pre-scientifiche




La Teoria delle Strutture Il Calcolo Plastico

Il calcolo plastico


123/123

The Science of Structural Engineering Murature

Documents

Transcript of The Science of Structural Engineering Murature